MAOU "Liceul de Tehnologii Inovatoare"

Colțuri cu mai multe fațete. Poliedre convexe

Pregătit de un elev de clasa a 10-a B: Alexey Burykin

Verificat de: Dubinskaya I.A.

Habarovsk

unghi poliedric

unghi poliedric se numește figură formată din unghiuri plate astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții:

1) nici două unghiuri nu au puncte comune, cu excepția vârfului lor comun sau a întregii laturi;

2) pentru fiecare dintre aceste unghiuri, fiecare dintre laturile sale este comună cu unul și numai un alt astfel de unghi;

3) de la fiecare colt la fiecare se poate merge de-a lungul colturilor care au o latura comuna;

4) nu există două unghiuri cu o latură comună în același plan.

• Unghiurile ASB, BSC,... se numesc colțuri plate sau chipuri, se numesc laturile lor SA, SB, ... coaste, iar vârful comun S- vârf unghi cu mai multe fațete.

Teorema 1.

Într-un unghi triedric, fiecare unghi plat este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate.

Consecinţă

• / ASC- / ASB/CSB; / ASC- / CSB/ASB.

Într-un unghi triedric, fiecare unghi plan este mai mare decât diferența celorlalte două unghiuri. .

Teorema 2.

• Suma valorilor tuturor celor trei unghiuri plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360° .

180°, ceea ce înseamnă că α + β + γ " width="640"

Dovada

Denota,

apoi din triunghiuri ASC, ASB, BSC avem

Acum inegalitatea ia forma

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°,

de unde rezultă că

α + β + γ

Cele mai simple cazuri de egalitate a unghiurilor triedrice

• 1) printr-un unghi diedru egal cuprins între două unghiuri plane egale și, respectiv, egal distanțate sau 2) de-a lungul unui unghi plan egal, cuprins între două unghiuri diedre, respectiv egale și egal distanțate .

Unghi poliedric convex

• Un unghi poliedric se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale, care este extins la infinit.

Poliedru.

Poliedru, în spațiul tridimensional - o colecție de un număr finit de poligoane plate, astfel încât fiecare parte a oricăruia dintre poligoane este simultan o latură a altuia, numită adiacentă primului.

Poliedre convexe

Poliedru numit convex, dacă se află în întregime pe o parte a planului oricăreia dintre fețele sale; atunci fețele sale sunt și ele convexe.

Poliedru convex taie spațiul în două părți - extern și intern. Partea sa interioară este un corp convex. În schimb, dacă suprafața unui corp convex este poliedrică, atunci poliedrul corespunzător este convex.

Teorema. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360 ​​de grade.

Proprietatea 1.Într-un poliedru convex, toate fețele sunt poligoane convexe.

Proprietatea 2. Orice poliedru convex poate fi compus din piramide cu un vârf comun, a căror bază formează suprafața poliedrului.

unghi poliedric

o parte a spațiului delimitată de o cavitate a unei suprafețe conice poliedrice, al cărei ghid este un poligon plat fără auto-intersecții. Fețele acestei suprafețe se numesc fețele M. at., vârful - vârful M. at. Ale mele. se numește regulat dacă toate unghiurile sale liniare și toate unghiurile sale diedrice sunt egale. Meroy M. y. este aria delimitata de un poligon sferic obtinut prin intersectia fetelor lui M. at., o sfera cu raza egala cu unu, si cu centrul in varful lui M. at. Vezi și unghi solid.

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Vedeți ce este „Unghiul poliedric” în alte dicționare:

Vezi unghiul solid... Dicţionar enciclopedic mare

Vezi unghi solid. * * * UNGHI POLITEDRUL UNGHI POLITEDRUL, vezi Unghi solid (vezi Unghi solid) … Dicţionar enciclopedic

O parte a spațiului delimitată de o cavitate a unei conice poliedrice. suprafețe care se îndreaptă către un roi de poligon plat fără autointersecții. Marginile acestei suprafețe se numesc se confruntă cu M. at., vârful de sus N despre y M. at. unghi poliedric. dreapta... Enciclopedie matematică

Vezi unghiul solid... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

unghi poliedric- mat. O parte din spațiu delimitată de mai multe plane care trec printr-un punct (partea de sus a colțului) ... Dicționar cu multe expresii

MULTIFACEȚAT, cu mai multe fațete, cu mai multe fațete (carte). 1. Avand mai multe fete sau laturi. Piatra cu mai multe fațete. Unghi poliedric (o parte a spațiului delimitată de mai multe plane care se intersectează într-un punct; mat.). 2. schimbare… … Dicționar explicativ al lui Ushakov

- (mat.). Dacă trasăm drepte OA și 0B din punctul O pe acest plan, atunci obținem unghiul AOB (Fig. 1). Rahat. 1. Punctul 0 ref. vârful unghiului, iar liniile drepte OA și 0B sunt laturile unghiului. Să presupunem că sunt date două unghiuri ΒΟΑ și Β 1 Ο 1 Α 1. Să le suprapunem astfel încât ... ...

- (mat.). Dacă trasăm drepte OA și 0B din punctul O pe acest plan, atunci obținem unghiul AOB (Fig. 1). Rahat. 1. Punctul 0 ref. vârful unghiului, iar liniile drepte OA și 0B sunt laturile unghiului. Să presupunem că sunt date două unghiuri ΒΟΑ și Β1Ο1Α1. Le suprapunem astfel încât vârfurile O ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Acest termen are alte semnificații, vezi Unghi (sensuri). Unghi ∠ Dimensiune ° Unități SI Radian ... Wikipedia

O figură plată, geometrică, formată din două raze (laturile U.) care ies dintr-un punct (vârfurile U.). Orice U. având un vârf în centrul O al unui cerc (U. central), definește un arc AB pe cerc, delimitat de ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

slide 1

Figura formată din suprafața specificată și una dintre cele două părți ale spațiului delimitate de aceasta se numește unghi poliedric. Vârful comun S se numește vârful unghiului poliedric. Razele SA1, …, SAn se numesc muchiile unghiului poliedric, iar unghiurile plane însele A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 se numesc fețele unghiului poliedric. Un unghi poliedric este notat cu literele SA1…An, indicând vârful și punctele de pe marginile sale. Suprafața formată dintr-o mulțime finită de unghiuri plane A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 cu un vârf comun S, în care unghiurile învecinate nu au puncte comune, cu excepția punctelor unei raze comune, iar unghiurile neînvecinate au nu există puncte comune, cu excepția unui vârf comun, vom numi suprafață poliedrică.

slide 2


În funcție de numărul de fețe, unghiurile poliedrice sunt triedrice, tetraedrice, pentaedrice etc.

slide 3

COLTURI TRIHEDRALE

Teorema. Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate ale sale. Demonstrație Se consideră unghiul triedric SABC. Fie cel mai mare dintre unghiurile sale plate unghiul ASC. Apoi inegalitățile ASB ASC

slide 4


Proprietate. Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360°. În mod similar, pentru unghiurile triedrice cu vârfurile B și C sunt valabile următoarele inegalități: ABС

slide 5

UNGHURI POLIDEDRICE CONVEXE

Un unghi poliedric se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare două dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le leagă.Figura prezintă exemple de unghiuri poliedrice convexe și neconvexe. Proprietate.Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°. Demonstrarea este similară cu demonstrarea proprietății corespunzătoare pentru un unghi triedric.

slide 6

Unghiuri poliedrice verticale

Figurile prezintă exemple de unghiuri verticale triedrice, tetraedrice și pentaedrice Teoremă. Unghiurile verticale sunt egale.

Slide 7

Măsurarea unghiurilor poliedrice

Deoarece valoarea gradului unui unghi diedru dezvoltat este măsurată prin valoarea gradului a unghiului liniar corespunzător și este egală cu 180°, vom presupune că valoarea gradului a întregului spațiu, care constă din două unghiuri diedrice dezvoltate, este de 360°. . Valoarea unui unghi poliedric, exprimată în grade, arată ce parte din spațiu ocupă unghiul poliedric dat. De exemplu, unghiul triedric al unui cub ocupă o optime din spațiu și, prin urmare, valoarea gradului său este 360o:8 = 45o. Unghiul triedric într-o prismă n-gonală regulată este egal cu jumătate din unghiul diedric de la marginea laterală. Avand in vedere ca acest unghi diedric este egal, obtinem ca unghiul triedric al prismei este egal.

Slide 8

Măsurarea unghiurilor triedrice*

Obținem o formulă care exprimă valoarea unui unghi triedric în termenii unghiurilor sale diedrice. Să descriem o sferă unitară în apropierea vârfului S al unghiului triedric și să notăm punctele de intersecție a muchiilor unghiului triedric cu această sferă A, B, C. Planurile fețelor unghiului triedric împart această sferă în șase digoane sferice egale în perechi corespunzătoare unghiurilor diedrice ale unghiului triedric dat. Triunghiul sferic ABC și triunghiul sferic A „B” C simetric față de acesta sunt intersecția a trei digoane.De aceea, suma dublă a unghiurilor diedrice este 360o plus valoarea cvadruplă a unghiului triedric, sau  SA + SB + SC = 180o + 2SABC.

Slide 9

Măsurarea unghiurilor poliedrice*

Fie SA1…An un unghi convex cu n fețe. Împărțind-o în unghiuri triedrice, desenând diagonalele A1A3, …, A1An-1 și aplicând acestora formula rezultată, vom avea:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Unghiurile poliedrice pot fi măsurate și prin numere. Într-adevăr, trei sute șaizeci de grade din întreg spațiul corespund numărului 2π. Trecând de la grade la numere în formula rezultată, vom avea: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

Slide 10

Exercitiul 1

Poate exista un unghi triedric cu colturi plate: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Nici un raspuns; b) nu; c) da.

slide 11

Exercițiul 2

Daţi exemple de poliedre ale căror feţe, intersectându-se la vârfuri, formează numai: a) unghiuri triedrice; b) colţuri tetraedrice; c) colțuri cu cinci laturi. Răspuns: a) Tetraedru, cub, dodecaedru; b) octaedru; c) icosaedru.

slide 12

Exercițiul 3

Cele două unghiuri plane ale unui unghi triedric sunt 70° și 80°. Care este limita celui de-al treilea unghi plan? Raspuns: 10o

slide 13

Exercițiul 4

Unghiurile plane ale unui unghi triedric sunt 45°, 45° și 60°. Aflați unghiul dintre planele unghiurilor plate de 45°. Raspuns: 90o.

Slide 14

Exercițiul 5

Într-un unghi triedric, două unghiuri plane sunt de 45° fiecare; unghiul diedric dintre ele este drept. Găsiți al treilea colț plat. Raspuns: 60o.

slide 15

Exercițiul 6

Unghiurile plane ale unui unghi triedric sunt 60°, 60° și 90°. Segmentele egale OA, OB, OC sunt trasate pe marginile sale de la vârf. Aflați unghiul diedric dintre planul unghiului de 90° și planul ABC. Raspuns: 90o.

slide 16

Exercițiul 7

Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este de 60°. Pe una dintre marginile sale, un segment egal cu 3 cm este așezat din partea de sus și o perpendiculară este coborâtă de la capătul său către fața opusă. Aflați lungimea acestei perpendiculare. Răspuns: vezi

Slide 17

Exercițiul 8

Găsiți locul punctelor interioare ale unui unghi triedric echidistant de fețele sale. Răspuns: O rază al cărei vârf este vârful unui unghi triedric situat pe linia de intersecție a planelor care împarte unghiurile diedrice în jumătate.

Slide 18

Exercițiul 9

Găsiți locul punctelor interioare ale unui unghi triedric echidistant de marginile sale. Răspuns: O rază al cărei vârf este vârful unui unghi triedric situat pe linia de intersecție a planelor care trec prin bisectoarele unghiurilor plane și perpendicular pe planele acestor unghiuri.

Slide 19

Exercițiul 10

Pentru unghiurile diedrice ale tetraedrului avem: , de unde 70o30". Pentru unghiurile triedrice ale tetraedrului avem: 15o45". Răspuns: 15o45". Aflați valorile aproximative ale unghiurilor triedrice ale tetraedrului.

Slide 20

Exercițiul 11

Aflați valorile aproximative ale unghiurilor tetraedrice ale octaedrului. Pentru unghiurile diedrice ale octaedrului avem: , de unde 109o30". Pentru unghiurile tetraedrice ale octaedrului avem: 38o56". Răspuns: 38o56".

slide 21

Exercițiul 12

Găsiți valorile aproximative ale unghiurilor cu cinci laturi ale icosaedrului. Pentru unghiurile diedrice ale icosaedrului avem: , de unde 138o11". Pentru unghiurile pentaedrice ale icosaedrului avem: 75o28". Răspuns: 75o28".

slide 22

Exercițiul 13

Pentru unghiurile diedrice ale dodecaedrului avem: , de unde 116o34". Pentru unghiurile triedrice ale dodecaedrului avem: 84o51". Răspuns: 84o51". Aflați valorile aproximative ale unghiurilor triedrice ale dodecaedrului.

slide 23

Exercițiul 14

Într-o piramidă pătraedică obișnuită SABCD, latura bazei este de 2 cm, înălțimea este de 1 cm. Aflați unghiul tetraedric din vârful acestei piramide. Rezolvare: Piramidele indicate împart cubul în șase piramide egale cu vârfuri în centrul cubului. Prin urmare, unghiul cu 4 laturi din vârful piramidei este o șesime din unghiul de 360°, adică. egal cu 60o. Raspuns: 60o.

slide 24

Exercițiul 15

Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, marginile laterale sunt egale cu 1, unghiurile din vârf sunt de 90o. Găsiți unghiul triedric din vârful acestei piramide. Rezolvare: Piramidele indicate împart octaedrul în opt piramide egale cu vârfuri în centrul O al octaedrului. Prin urmare, unghiul cu 3 laturi din vârful piramidei este o opteme din unghiul de 360°, adică. egal cu 45o. Raspuns: 45o.

Slide 25

Exercițiul 16

Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, marginile laterale sunt egale cu 1, iar înălțimea Găsiți unghiul triedric din vârful acestei piramide. Rezolvare: Piramidele indicate împart tetraedrul obișnuit în patru piramide egale cu vârfuri în centrul tetraedrului. Prin urmare, unghiul cu 3 laturi din vârful piramidei este o pătrime din unghiul de 360°, adică. este egal cu 90o. Raspuns: 90o.

Vizualizați toate diapozitivele

Unghiuri poliedrice Un unghi poliedric este un analog spațial al unui poligon pe un plan. Amintiți-vă că un poligon pe un plan este o figură formată dintr-o linie întreruptă închisă simplă a acestui plan și regiunea internă delimitată de acesta.

Definiția unghiului poliedric O suprafață formată dintr-o mulțime finită de unghiuri plane A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 cu un vârf comun S, în care colțurile învecinate nu au puncte comune, cu excepția punctelor unei raze comune, iar colțurile neînvecinate nu au puncte comune, cu excepția unui vârf comun, se va numi suprafață poliedrică. Figura formată din suprafața specificată și una dintre cele două părți ale spațiului delimitate de aceasta se numește unghi poliedric. Vârful comun S se numește vârful unghiului poliedric. Razele SA 1, …, SAn se numesc muchii ale unghiului poliedric, iar unghiurile plane însele A 1 SA 2, A 2 SA 3, …, An-1 SAn, An. SA 1 - fețele unui unghi poliedric. Un unghi poliedric este notat cu literele SA 1…An, indicând vârful și punctele de pe marginile acestuia.

Tipuri de unghiuri poliedrice În funcție de numărul de fețe, unghiurile poliedrice sunt triedrice, tetraedrice, pentaedrice etc.

Exerciţiul 1 Daţi exemple de poliedre ale căror feţe, care se intersectează la vârfuri, formează numai: a) unghiuri triedrice; b) colţuri tetraedrice; c) colțuri cu cinci laturi. Răspuns: a) Tetraedru, cub, dodecaedru; b) octaedru; c) icosaedru.

Exerciţiul 2 Daţi exemple de poliedre ale căror feţe, intersectându-se la vârfuri, formează numai: a) unghiuri triedrice şi tetraedrice; b) unghiuri triedrice și pentaedrice; c) unghiuri tetraedrice şi pentaedrice. Raspuns: a) piramida patruunghiulara, bipiramida triunghiulara; b) o piramidă pentagonală; c) o bipiramidă pentagonală.

Inegalitatea triunghiului Următoarea teoremă este valabilă pentru un triunghi. Teorema (Inegalitatea triunghiului). Fiecare latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două laturi. Să demonstrăm că următorul analog spațial al acestei teoreme este valabil pentru un unghi triedric. Teorema. Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate ale sale.

Dovada Se consideră unghiul triedric SABC. Fie cel mai mare dintre unghiurile sale plate unghiul ASC. Apoi inegalitățile ASB ASC

Punct de intersecție al bisectoarelor Următoarea teoremă este valabilă pentru un triunghi. Teorema. Bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris. Să demonstrăm că următorul analog spațial al acestei teoreme este valabil pentru un unghi triedric. Teorema. Planele bisectoriale ale unghiurilor diedrice ale unui unghi triedric se intersectează de-a lungul unei drepte.

Dovada Se consideră unghiul triedric SABC. Planul bisectorial SAD al unui unghi diedru SA este locul punctelor acestui unghi care sunt echidistante de fețele sale SAB și SAC. În mod similar, planul bisectorial SBE al unui unghi diedru SB este locul punctelor acestui unghi care sunt echidistante de fețele sale SAB și SBC. Linia lor de intersecție SO va consta din puncte echidistante de toate fețele unghiului triedric. Prin urmare, planul bisectoare al unghiului diedru SC va trece prin el.

Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare Pentru un triunghi, este valabilă următoarea teoremă. Teorema. Perpendicularele mediane pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct - centrul cercului circumscris. Să demonstrăm că următorul analog spațial al acestei teoreme este valabil pentru un unghi triedric. Teorema. Planele care trec prin bisectoarele fețelor unui unghi triedric și perpendiculare pe aceste fețe se intersectează de-a lungul unei drepte.

Dovada Se consideră unghiul triedric SABC. Planul care trece prin bisectoarea SD a unghiului BSC și perpendicular pe planul său este format din punctele echidistante de muchiile SB și SC ale unghiului triedric SABC. În mod similar, planul care trece prin bisectoarea SE a unghiului ASC și perpendicular pe planul său este format din puncte echidistante de muchiile SA și SC ale unghiului triedric SABC. Linia lor de intersecție SO va consta din puncte echidistante de toate muchiile unghiului triedric. Prin urmare, va conține un plan care trece prin bisectoarea unghiului ASB și perpendicular pe planul său.

Punctul de intersecție al medianelor Următoarea teoremă este valabilă pentru un triunghi. Teorema. Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct - centrul cercului înscris. Să demonstrăm că următorul analog spațial al acestei teoreme este valabil pentru un unghi triedric. Teorema. Planele care trec prin marginile unghiului triedric și bisectoarele fețelor opuse se intersectează de-a lungul unei linii drepte.

Dovada Se consideră unghiul triedric SABC. Pe marginile sale graficăm segmente egale SA = SB = CS. Bisectoarele SD, SE, SF ale unghiurilor plane ale unui unghi triedric sunt medianele triunghiurilor SBC, respectiv SAB. Prin urmare, AD, BE, CF sunt mediane ale triunghiului ABC. Fie O punctul de intersecție al medianelor. Atunci linia SO va fi linia de intersecție a planurilor considerate.

Punctul de intersecție al altitudinilor Pentru un triunghi, este valabilă următoarea teoremă. Teorema. Înălțimile unui triunghi sau prelungirile lor se intersectează într-un punct. Să demonstrăm că următorul analog spațial al acestei teoreme este valabil pentru un unghi triedric. Teorema. Planele care trec prin marginile unghiului triedric și perpendiculare pe planurile fețelor opuse se intersectează de-a lungul unei linii drepte.

Dovada Se consideră unghiul triedric Sabc. Fie d, e, f dreptele de intersecție a planelor fețelor unui unghi triedric cu planele care trec prin muchiile a, b, c ale acestui unghi și perpendiculare pe planurile corespunzătoare ale fețelor. Alegem un punct C pe marginea c. Să lăsăm perpendicularele CD și CE de la el la liniile d și, respectiv, e. Fie A și B punctele de intersecție ale dreptelor CD și CE cu liniile SB și SA, respectiv. Linia d este proiecția ortogonală a dreptei AD pe planul BSC. Deoarece BC este perpendicular pe dreapta d, este și perpendicular pe dreapta AD. În mod similar, linia AC este perpendiculară pe dreapta BE. Fie O punctul de intersecție al dreptelor AD și BE. Linia BC este perpendiculară pe planul SAD, deci este perpendiculară pe dreapta SO. În mod similar, linia AC este perpendiculară pe planul SBE, deci este perpendiculară pe dreapta SO. Astfel, linia SO este perpendiculară pe liniile BC și AC și, prin urmare, perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, și perpendiculară pe dreapta AB. Pe de altă parte, linia CO este perpendiculară pe dreapta AB. Astfel, linia AB este perpendiculară pe planul SOC. Planul SAB trece prin dreapta AB, care este perpendiculară pe planul SOC și, prin urmare, este ea însăși perpendiculară pe acest plan. Prin urmare, toate cele trei plane considerate se intersectează de-a lungul liniei SO.

Teorema suma unghiurilor plane. Suma unghiurilor plane ale unui unghi triedric este mai mică de 360°. Dovada. Fie SABC un unghi triedric dat. Se consideră un unghi triedric cu vârful A, format din fețele ABS, ACS și unghiul BAC. Din cauza inegalității triunghiulare, avem inegalitatea BAC

Unghiuri poliedrice convexe Un unghi poliedric se numește convex dacă este o figură convexă, adică, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține în întregime segmentul care le leagă. Figura prezintă exemple de unghiuri poliedrice convexe și neconvexe. Proprietate. Suma tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°. Demonstrarea este similară cu demonstrarea proprietății corespunzătoare pentru un unghi triedric.
Exercițiul 5 Cele două unghiuri plane ale unui unghi triedric sunt 70° și 80°. Care este limita celui de-al treilea unghi plan? Raspuns: 10 o

Exercițiul 6 Unghiurile plate ale unui unghi triedric sunt 45°, 45° și 60°. Aflați unghiul dintre planele unghiurilor plate de 45°. Răspuns: 90 aproximativ.

Exercițiul 7 Într-un unghi triedric, două unghiuri plate sunt egale cu 45 °; unghiul diedric dintre ele este drept. Găsiți al treilea colț plat. Răspuns: 60 aproximativ.

Exercițiul 8 Unghiurile plane ale unui unghi triedric sunt 60°, 60° și 90°. Segmentele egale OA, OB, OC sunt trasate pe marginile sale de la vârf. Aflați unghiul diedric dintre planul unghiului de 90° și planul ABC. Răspuns: 90 aproximativ.

Exercițiul 9 Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este de 60°. Pe una dintre marginile sale, un segment egal cu 3 cm este așezat din partea de sus și o perpendiculară este coborâtă de la capătul său către fața opusă. Aflați lungimea acestei perpendiculare. Răspuns: vezi

№1 Data05.09.14

Subiect Geometrie

Clasă 11

Subiectul lecției: Conceptul de unghi poliedric. unghi triunghiular.

Obiectivele lecției:

introduceți conceptele: „unghiuri triedrice”, „unghiuri poliedrice”, „poliedru”;

să familiarizeze elevii cu elementele unghiurilor triedrice și poliedrice, un poliedru, precum și definițiile unui unghi poliedric convex și proprietățile unghiurilor plate ale unui unghi poliedric;

să continue munca la dezvoltarea reprezentărilor spațiale și a imaginației spațiale, precum și a gândirii logice a elevilor.

Tipul de lecție: învățarea de materiale noi

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric.

Salutarea elevilor, verificarea gradului de pregătire a clasei pentru lecție, organizarea atenției elevilor, dezvăluirea obiectivelor generale ale lecției și a planului acesteia.

2. Formarea de noi concepte și metode de acțiune.

Sarcini: Să asigure perceperea, înțelegerea și memorarea materialului studiat de către elevi. Să se asigure că studenții stăpânesc metodologia de reproducere a materialului studiat, să promoveze înțelegerea filozofică a conceptelor, legilor, regulilor, formulelor în curs de asimilare. Să stabilească corectitudinea și cunoașterea materialului studiat de către elevi, să identifice lacune în înțelegerea primară, să efectueze o corectare. Să se asigure că studenții își corelează experiența subiectivă cu semnele cunoștințelor științifice.

Să fie date trei razeA, b Șis s punct de plecare comunDESPRE (Fig. 1.1). Aceste trei raze nu se află neapărat în același plan. În figura 1.2, razeleb ȘiCu întins într-un avionR, o razăA nu se află în acest plan.

RazeA, b ȘiCu perechile definesc trei unghiuri plate distinse prin arce (Fig. 1.3).

Luați în considerare o figură formată din cele trei unghiuri indicate mai sus și partea de spațiu delimitată de aceste unghiuri plate. Această figură spațială se numeșteunghi triedric (Fig. 2).

RazeA, b si cu numitmarginile unui unghi triedric, si colturile: = AOC, = AOB,

= BOC , limitarea unghiului triedric, - itchipuri. Aceste colțuri se formeazăsuprafata triedrica. PunctDESPRE numitvârful unui unghi triedric. Un unghi triedric poate fi notat astfel: OABC

După ce am examinat cu atenție toate unghiurile poliedrice prezentate în Figura 3, putem concluziona că fiecare dintre unghiurile poliedrice are același număr de muchii și fețe:

4 fețe și un vârf;

un colț cu cinci laturi are 5 muchii, 5 fețe și un vârf;

• 
  un colț hexagonal are 6 muchii, 6 fețe și un vârf etc.

Unghiurile poliedrice sunt convex Și neconvex.

Imaginează-ți că am luat patru raze cu o origine comună, ca în Figura 4. În acest caz, am obținutunghi poliedric neconvex.

Definiție 1. Un unghi poliedric se numește unghi convex,daca else află pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale.

Cu alte cuvinte, un unghi poliedric convex poate fi întotdeauna plasat de oricare dintre fețele sale pe un anumit plan. Puteți vedea că în cazul prezentat în Figura 4, acest lucru nu este întotdeauna posibil. Unghiul tetraedric prezentat în figura 4 este neconvex.

Rețineți că în tutorialul nostru, dacă spunem „unghi poliedric”, ne referim la faptul că este convex. Dacă unghiul poliedric considerat este neconvex, acest lucru va fi discutat separat.

Proprietățile colțurilor plane ale unui colț poliedric

Teorema 1.Fiecare unghi plat al unui unghi triedric este mai mic decât suma celorlalte două unghiuri plate.

Teorema 2.Suma valorilor tuturor unghiurilor plane ale unui unghi poliedric convex este mai mică de 360°.

3. Aplicare. Formarea deprinderilor și abilităților.

Obiective: Să se asigure că studenții aplică cunoștințele și metodele de acțiune de care au nevoie pentru SW, să creeze condiții pentru ca elevii să identifice modalități individuale de aplicare a ceea ce au învățat.

6. Etapa informații despre teme.

Obiective: Să se asigure că elevii înțeleg scopul, conținutul și metodele de a face temele.

§1(1.1, 1.2) p. 4, nr. 9.

7. Rezumând lecția.

Obiectiv: Să ofere o evaluare calitativă a muncii clasei și a elevilor individuali.

8. Stadiul reflecției.

Sarcini: Să inițieze reflecția elevilor asupra autoevaluării activităților lor. Pentru a se asigura că elevii învață principiile autoreglementării și cooperării.

Conversatie pe:

Ce ți s-a părut interesant la lecție?

Ce nu este clar?

La ce ar trebui să acorde atenție profesorul în lecția următoare?

Cum ai evalua munca ta la clasă?