Sisteme de ecuații liniare omogene
Formularea problemei. Găsiți o bază și determinați dimensiunea spațiului liniar al soluțiilor sistemului
Plan de rezolvare.
1. Notați matricea sistemului:
iar cu ajutorul transformărilor elementare transformăm matricea într-o formă triunghiulară, adică. la o astfel de formă când toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero. Rangul matricei sistemului este egal cu numărul de rânduri liniar independente, adică, în cazul nostru, numărul de rânduri în care rămân elemente diferite de zero:
Dimensiunea spațiului soluției este . Dacă , atunci sistemul omogen are o soluție unică zero, dacă , atunci sistemul are un număr infinit de soluții.
2. Alegeți variabilele de bază și libere. Variabilele libere sunt notate cu . Apoi exprimăm variabilele de bază în termenii celor libere, obținând astfel soluția generală a unui sistem omogen de ecuații liniare.
3. Notam baza spatiului de solutii al sistemului stabilind secvential una dintre variabilele libere egala cu unu, iar restul la zero. Dimensiunea spațiului de soluții liniare al sistemului este egală cu numărul de vectori de bază.
Notă. Transformările matricei elementare includ:
1. înmulțirea (împărțirea) unui șir cu un multiplicator altul decât zero;
2. adăugare la orice linie a altei linii, înmulțită cu orice număr;
3. permutarea liniilor pe alocuri;
4. transformările 1–3 pentru coloane (în cazul rezolvării sistemelor de ecuații liniare nu se folosesc transformări elementare ale coloanelor).
Sarcina 3. Găsiți o bază și determinați dimensiunea spațiului liniar al soluțiilor sistemului.
Scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă triunghiulară:
Presupunem atunci
Când am analizat conceptele unui vector n-dimensional și am introdus operații pe vectori, am aflat că mulțimea tuturor vectorilor n-dimensional generează un spațiu liniar. În acest articol, vom vorbi despre cele mai importante concepte conexe - despre dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Considerăm, de asemenea, teorema despre expansiunea unui vector arbitrar în termeni de bază și conexiunea dintre diferite baze ale unui spațiu n-dimensional. Să analizăm în detaliu soluțiile exemplelor tipice.
Navigare în pagină.
Conceptul de dimensiune și bază a spațiului vectorial.
Conceptele de dimensiune și bază ale unui spațiu vectorial sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, așa că vă recomandăm, dacă este necesar, să faceți referire la articolul dependență liniară a unui sistem de vectori, proprietăți de dependență liniară și independență.
Definiție.
Dimensiunea spațiului vectorial se numește numărul egal cu numărul maxim de vectori liniar independenți din acest spațiu.
Definiție.
Baza spațiului vectorial este o mulțime ordonată de vectori liniar independenți ai acestui spațiu, al căror număr este egal cu dimensiunea spațiului.
Prezentăm câteva argumente pe baza acestor definiții.
Se consideră spațiul vectorilor n -dimensionali.
Să arătăm că dimensiunea acestui spațiu este egală cu n .
Să luăm un sistem de n vectori unitari de forma
Să luăm acești vectori drept rânduri ale matricei A. În acest caz, matricea A va fi o matrice de identitate n cu n. Rangul acestei matrice este n (dacă este necesar, consultați articolul). Prin urmare, sistemul de vectori 
este liniar independent și niciun vector nu poate fi adăugat la acest sistem fără a-i încălca independența liniară. Deoarece numărul de vectori din sistem este egal cu n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari stau la baza acestui spatiu.
Din ultima afirmație și definiția bazei, putem concluziona că orice sistem de vectori n-dimensionali al cărui număr de vectori este mai mic decât n nu este o bază.
Acum să schimbăm primul și al doilea vector al sistemului . Este ușor de demonstrat că sistemul de vectori rezultat 
este, de asemenea, o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional. Să compunem o matrice, luând-o drept rânduri ale vectorilor acestui sistem. Această matrice poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primul și al doilea rând, deci rangul său va fi n . Astfel, un sistem de n vectori este liniar independentă și este o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional.
Dacă schimbăm alți vectori ai sistemului , obținem o altă bază.
Dacă luăm un sistem liniar independent de vectori neunitari, atunci acesta este și baza unui spațiu vectorial n-dimensional.
Prin urmare, un spațiu vectorial de dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de n vectori n-dimensionali.
Dacă vorbim despre un spațiu vectorial bidimensional (adică despre un plan), atunci baza lui este oricare doi vectori necoliniari. Baza unui spațiu tridimensional este oricare trei vectori necoplanari.
Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplu.
Sunt vectorii baza unui spațiu vectorial 3D?
Soluţie.
Să examinăm acest sistem de vectori pentru o dependență liniară. Pentru a face acest lucru, vom compune o matrice, ale cărei rânduri vor fi coordonatele vectorilor și vom găsi rangul acesteia: 
Astfel, vectorii a , b și c sunt liniar independenți și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial, prin urmare, ei stau la baza acestui spațiu.
Răspuns:
Da, ei sunt.
Exemplu.
Poate un sistem de vectori să fie baza unui spațiu vectorial?
Soluţie.
Acest sistem de vectori este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori tridimensionali liniar independenți este trei. Prin urmare, acest sistem de vectori nu poate fi o bază a unui spațiu vectorial tridimensional (deși un subsistem al sistemului original de vectori este o bază).
Răspuns:
Nu el nu poate.
Exemplu.
Asigurați-vă că vectorii 
poate fi o bază a unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.
Soluţie.
Să facem o matrice, luând-o ca rânduri ale vectorilor originali: 
Sa gasim: 
Astfel, sistemul de vectori a, b, c, d este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial, prin urmare, a, b, c, d sunt baza acestuia.
Răspuns:
Vectorii originali sunt într-adevăr baza unui spațiu cu patru dimensiuni.
Exemplu.
Sunt vectorii baza unui spațiu vectorial cu 4 dimensiuni?
Soluţie.
Chiar dacă sistemul original de vectori este liniar independent, numărul de vectori din el nu este suficient pentru a fi baza unui spațiu cu patru dimensiuni (baza unui astfel de spațiu este formată din 4 vectori).
Răspuns:
Nu, nu este.
Descompunerea unui vector în termenii unei baze de spațiu vectorial.
Fie vectori arbitrari sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Dacă le adăugăm un vector n-dimensional x, atunci sistemul de vectori rezultat va fi dependent liniar. Din proprietățile dependenței liniare, știm că cel puțin un vector al unui sistem dependent liniar este exprimat liniar în termenii celorlalți. Cu alte cuvinte, cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar este descompus în restul vectorilor.
Ajungem astfel la o teoremă foarte importantă.
Teorema.
Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional este descompus în mod unic în termeni de bază.
Dovada.
Lăsa - baza spatiului vectorial n -dimensional. Să adăugăm un vector n-dimensional x acestor vectori. Atunci sistemul de vectori rezultat va fi dependent liniar și vectorul x poate fi exprimat liniar în termeni de vectori : , unde sunt câteva numere. Deci am obținut expansiunea vectorului x în termeni de bază. Rămâne de demonstrat că această descompunere este unică.
Să presupunem că există o altă descompunere, unde 
- unele numere. Scădeți din părțile din stânga și din dreapta ultimei egalități, respectiv, părțile din stânga și din dreapta ale egalității:
Deoarece sistemul de vectori de bază este liniar independentă, atunci, prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea rezultată este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt egali cu zero. Prin urmare, , care demonstrează unicitatea expansiunii vectorului în ceea ce privește baza.
Definiție.
Se numesc coeficienții coordonatele vectorului x din bază .
După ce ne-am familiarizat cu teorema expansiunii unui vector în termeni de bază, începem să înțelegem esența expresiei „ni se dă un vector n-dimensional. 
". Această expresie înseamnă că luăm în considerare un vector x al unui spațiu vectorial n-dimensional ale cărui coordonate sunt date într-o anumită bază. În același timp, înțelegem că același vector x dintr-o altă bază a spațiului vectorial n-dimensional va avea coordonate diferite de .
Luați în considerare următoarea problemă.
Fie, într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional, ni se dă un sistem de n vectori liniar independenți 
și vector . Apoi vectorii sunt, de asemenea, o bază a acestui spațiu vectorial.
Trebuie să găsim coordonatele vectorului x în bază . Să notăm aceste coordonate ca .
Vector x în bază are o idee. Scriem această egalitate sub formă de coordonate:
Această egalitate este echivalentă cu un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute :
Matricea principală a acestui sistem are forma 
Să-l notăm ca A. Coloanele matricei A sunt vectori ai unui sistem de vectori liniar independent , deci rangul acestei matrice este n , prin urmare determinantul său este diferit de zero. Acest fapt indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin orice metodă, de exemplu, sau .
Deci coordonatele dorite vor fi găsite vector x în bază .
Să analizăm teoria cu exemple.
Exemplu.
În anumite baze ale spațiului vectorial tridimensional, vectorii 
Asigurați-vă că sistemul vectorial este, de asemenea, o bază a acestui spațiu și găsiți coordonatele vectorului x în această bază.
Soluţie.
Pentru ca un sistem de vectori să fie baza unui spațiu vectorial tridimensional, acesta trebuie să fie liniar independent. Să aflăm determinând rangul matricei A , ale cărei rânduri sunt vectori . Găsim rangul prin metoda Gauss 
prin urmare, Rank(A) = 3 , care arată independența liniară a sistemului de vectori .
Deci vectorii sunt baza. Fie vectorul x să aibă coordonate în această bază. Apoi, așa cum am arătat mai sus, relația dintre coordonatele acestui vector este dată de sistemul de ecuații 
Substituind în el valorile cunoscute din condiție, obținem 
Să o rezolvăm prin metoda lui Cramer: 
Astfel, vectorul x din bază are coordonate 
.
Răspuns:
Exemplu.
Într-o anumită bază 
spațiului vectorial cu patru dimensiuni i se dă un sistem de vectori liniar independent 
Se știe că 
. Găsiți coordonatele vectorului x în bază .
Soluţie.
Deoarece sistemul de vectori 
este liniar independent prin presupunere, atunci este o bază a unui spațiu cu patru dimensiuni. Apoi egalitatea înseamnă că vectorul x din bază are coordonate. Notați coordonatele vectorului x în bază Cum .
Sistemul de ecuații care definește relația dintre coordonatele vectorului x în baze Și are forma 
Înlocuim valorile cunoscute în el și găsim coordonatele dorite: 
Răspuns:
.
Comunicarea între baze.
Să fie date două sisteme liniar independente de vectori pe baza unui spațiu vectorial n-dimensional 
Și
adică sunt şi bazele acestui spaţiu.
Dacă 
- coordonate vectoriale în bază , apoi relația de coordonate 
Și este dat de un sistem de ecuații liniare (am vorbit despre asta în paragraful anterior): 
, care în formă matriceală poate fi scrisă ca 
În mod similar, pentru un vector, putem scrie 
Egalitățile matricei anterioare pot fi combinate într-una singură, care definește în esență relația vectorilor a două baze diferite. 
În mod similar, putem exprima toți vectorii de bază prin baza 
:
Definiție.
Matrice 
numit matricea de tranziție de la bază la baza , apoi egalitatea 
Înmulțind ambele părți ale acestei ecuații din dreapta cu
primim 
Să găsim matricea de tranziție, în timp ce nu ne vom opri asupra găsirii matricei inverse și înmulțirii matricelor (vezi, dacă este necesar, articolele și): 
Rămâne de aflat relația dintre coordonatele vectorului x în bazele date.
Fie ca vectorul x să aibă coordonate în bază, atunci 
iar în bază vectorul x are coordonatele , atunci 
Deoarece părțile din stânga ultimelor două egalități sunt aceleași, putem echivala părțile din dreapta: 
Dacă înmulțim ambele părți din dreapta cu
atunci primim 
Pe cealaltă parte 
(găsiți singur matricea inversă).
Ultimele două egalități ne oferă relația dorită a coordonatelor vectorului x în baze și .
Răspuns:
Matricea de tranziție de la bază la bază are forma 
;
coordonatele vectorului x în baze și sunt legate prin relații 
sau .
Am luat în considerare conceptele de dimensiune și baza unui spațiu vectorial, am învățat cum să descompunem un vector în funcție de o bază și am descoperit o legătură între diferite baze ale unui spațiu n-dimensional de vectori printr-o matrice de tranziție.
Pagina 1
Subspațiul, baza și dimensiunea acestuia.
Lăsa L este spațiul liniar peste câmp P Și A este un subset al L. Dacă A el însuşi constituie un spaţiu liniar peste câmp P pentru aceleași operațiuni ca L, Acea A numit subspațiu al spațiului L.
Conform definiţiei unui spaţiu liniar, astfel încât A a fost un subspațiu pentru a verifica fezabilitatea A operatii:
1) : 
;
2) 
: 
;
și verificați dacă operațiunile în A supuse opt axiome. Totuși, acestea din urmă vor fi redundante (datorită faptului că aceste axiome sunt valabile în L), adică. următoarele
Teorema. Fie L un spațiu liniar peste un câmp P și 
. O mulțime A este un subspațiu al lui L dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele cerințe:
1. : ;
2. : .
Afirmație. Dacă L – n-spaţiu liniar dimensional şi A subspațiul său, atunci A este, de asemenea, un spațiu liniar de dimensiuni finite și dimensiunea lui nu depășește n.
P 
exemplu 1. Este mulțimea S a tuturor vectorilor planului, fiecare dintre care se află pe una dintre axele de coordonate 0x sau 0y, un subspațiu al spațiului vectorilor de segment V 2?
Soluţie: Lăsa 
, 
Și 
, 
. Apoi 
. Prin urmare, S nu este un subspațiu 
.
Exemplul 2 V 2 set de segmente vectoriale ale planului S toți vectorii plani al căror început și sfârșit se află pe o dreaptă dată l acest avion?
Soluţie.
E 
vector sli 
înmulțiți cu un număr real k, atunci obținem un vector 
, aparţinând tot lui S. Dacă 
Și 
sunt doi vectori din S, atunci 
(după regula adunării vectorilor pe linie dreaptă). Prin urmare, S este un subspațiu 
.
Exemplul 3 Este un subspațiu liniar al unui spațiu liniar V 2 o multime de A toți vectorii planului ale căror capete se află pe dreapta dată l, (presupunem că originea oricărui vector coincide cu originea)?
R 
soluţie.
În cazul în care direct l nu trece prin origine A subspațiul liniar al spațiului V 2
nu este, pentru că 
.
În cazul în care direct l
trece prin origine, prin mulţime A este un subspațiu liniar al spațiului V 2
,
deoarece 
iar la înmulțirea oricărui vector 
la un număr real α
în afara câmpului R primim 
. Astfel, cerințele de spațiu liniar pentru mulțime A efectuat.
Exemplul 4 Să fie dat un sistem de vectori 
din spațiul liniar L peste câmp P. Demonstrați că mulțimea tuturor combinațiilor liniare posibile 
cu coeficienți 
din P este un subspațiu L(acesta este un subspațiu A se numește subspațiul generat de sistemul de vectori sau înveliș liniar acest sistem de vectori, și se notează după cum urmează: 
sau 
).
Soluţie. Într-adevăr, din moment ce , apoi pentru orice elemente X,
y
A avem: 
, 
, Unde 
, 
. Apoi
Deoarece , Acea 
, De aceea 
.
Să verificăm fezabilitatea celei de-a doua condiții a teoremei. Dacă X este orice vector din AȘi t- orice număr de la P, Acea . Deoarece 
Și 
,, Acea 
, , De aceea 
. Astfel, conform teoremei, mulțimea A este un subspațiu al unui spațiu liniar L.
Pentru spațiile liniare cu dimensiuni finite, este adevărat și invers.
Teorema. Orice subspațiu A spațiu liniar L peste câmp 
este intervalul liniar al unui sistem de vectori.
La rezolvarea problemei găsirii bazei și dimensiunii învelișului liniar, se folosește următoarea teoremă.
Teorema. Baza de înveliș liniar 
coincide cu baza sistemului de vectori . Dimensiunea carcasei liniare coincide cu rangul sistemului de vectori .
Exemplul 4 Găsiți baza și dimensiunea unui subspațiu 
spațiu liniar R 3
[
X]
, Dacă 
, 
, 
, 
.
Soluţie. Se știe că vectorii și rândurile lor de coordonate (coloanele) au aceleași proprietăți (în ceea ce privește dependența liniară). Facem o matrice A=
din coloanele de coordonate ale vectorilor 
în bază 
.
Aflați rangul unei matrice A.
. M 3
=
. 
.
Prin urmare, rangul r(A)=
3. Deci, rangul sistemului de vectori este egală cu 3. Prin urmare, dimensiunea subspațiului S este egală cu 3, iar baza sa constă din trei vectori 
(pentru că la minorul de bază 
sunt incluse doar coordonatele acestor vectori)., . Acest sistem de vectori este liniar independent. Într-adevăr, să .
ȘI 
.
Se poate verifica că sistemul 
dependent liniar pentru orice vector X din H. Aceasta demonstrează că 
sistem maxim liniar independent de vectori subspațiali H, adică - baza in Hși dim H=n 2
.
Pagina 1
1. Lasă subspațiul L = L(A 1 , A 2 , …, a m) , acesta este L este învelișul liniar al sistemului A 1 , A 2 , …, a m; vectori A 1 , A 2 , …, a m este sistemul generatorilor acestui subspațiu. Apoi baza L este baza sistemului de vectori A 1 , A 2 , …, a m, adică baza sistemului de generatoare. Dimensiune L este egal cu rangul sistemului de generatoare.
2. Lasă subspațiul L este suma subspațiilor L 1 și L 2. Sistemul de generare a subspațiilor poate fi obținut prin combinarea sistemelor de generare a subspațiilor, după care se află baza sumei. Dimensiunea sumei se află prin următoarea formulă:
dim(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – dim(L 1 Z L 2).
3. Fie suma subspațiilor L 1 și L 2 linie dreaptă, adică L = L 1 Å L 2. în care L 1 Z L 2 = {O) Și dim(L 1 Z L 2) = 0. Baza sumei directe este egală cu unirea bazelor sumelor. Dimensiunea sumei directe este egală cu suma dimensiunilor termenilor.
4. Să dăm un exemplu important de subspațiu și o varietate liniară.
Luați în considerare un sistem omogen m ecuații liniare cu n necunoscut. O mulțime de soluții M 0 al acestui sistem este o submulțime a mulțimii R nși este închisă sub adunarea vectorilor și înmulțirea lor cu un număr real. Aceasta înseamnă că acesta este un set M 0 - subspațiu al spațiului R n. Baza subspațiului este setul fundamental de soluții al sistemului omogen, dimensiunea subspațiului este egală cu numărul de vectori din setul fundamental de soluții al sistemului.
O multime de M soluții comune de sistem m ecuații liniare cu n necunoscut este, de asemenea, un subset al mulțimii R nși este egală cu suma mulțimii M 0 și vector A, Unde A este o soluție specială a sistemului original și a setului M 0 este mulțimea de soluții ale unui sistem omogen de ecuații liniare care însoțește acest sistem (diferă de sistemul original doar în termeni liberi),
M = A + M 0 = {A = m, m Î M 0 }.
Asta înseamnă că mulți M este o varietate liniară a spațiului R n cu vector de deplasare Ași direcție M 0 .
Exemplul 8.6. Aflați baza și dimensiunea unui subspațiu dat de un sistem omogen de ecuații liniare:
Soluţie. Să găsim soluția generală a acestui sistem și setul său fundamental de soluții: 
Cu 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Cu 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Cu 3 = (11, –8, 0, 0, 1).
Baza subspațială este formată din vectori Cu 1 , Cu 2 , Cu 3, dimensiunea sa este trei.
Sfârșitul lucrării -
Acest subiect aparține:
Algebră liniară
Universitatea de Stat Kostroma numită după N.A. Nekrasov.
Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:
Ce vom face cu materialul primit:
Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:
| tweet |
Toate subiectele din această secțiune:
BBK 22.174ya73-5
M350 Tipărit prin hotărâre a consiliului editorial și editorial al KSU. N. A. Nekrasova Referent A. V. Cherednikov
BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU im. N. A. Nekrasova, 2013
Unire (sau sumă)
Definiție 1.9.Uniunea mulțimilor A și B este mulțimea A È B, formată din acele și numai acele elemente care aparțin deși
Intersecție (sau produs)
Definiția 1.10. Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea A Ç B, care constă din acele și numai acele elemente aparținând aceluiași
Diferență
Definiție 1.11 Diferența mulțimilor A și B este mulțimea A B, formată din acele și numai acele elemente care aparțin mulțimii A
produs cartezian (sau produs direct)
Definiția 1.14. O pereche ordonată (sau pereche) (a, b) sunt două elemente a, b luate într-o anumită ordine. Perechi (a1
Proprietățile operațiilor de set
Proprietățile operațiilor de unire, intersecție și complement sunt uneori numite legile algebrei mulțimilor. Să enumerăm principalele proprietăți ale operațiilor pe mulțimi. Fie un set universal U
Metoda inducției matematice
Metoda inducției matematice este folosită pentru a demonstra afirmațiile în care este implicat parametrul natural n. Metoda inducției matematice - metoda de demonstrare a matematicii
Numere complexe
Conceptul de număr este una dintre principalele realizări ale culturii umane. Mai întâi au apărut numerele naturale N = (1, 2, 3, …, n, …), apoi numerele întregi Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rațional Q
Interpretarea geometrică a numerelor complexe
Se știe că numerele negative au fost introduse în legătură cu rezolvarea ecuațiilor liniare cu o variabilă. În probleme specifice, un răspuns negativ a fost interpretat ca valoarea cantității direcționate (
Forma trigonometrică a unui număr complex
Un vector poate fi specificat nu numai prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular, ci și prin lungime și
Operații pe numere complexe în formă trigonometrică
Este mai convenabil să efectuați adunarea și scăderea numerelor complexe în formă algebrică și înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică. 1. Înmulțiri Fie două k
Exponentiație
Dacă z = r(cosj + i×sinj), atunci zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), unde n Î
Forma exponențială a unui număr complex
Din analiza matematică se știe că e = , e este un număr irațional. Eile
Conceptul de relație
Definiție 2.1. O relație n-ară (sau n-ară) P pe mulțimile A1, A2, …, An este orice submulțime
Proprietățile relațiilor binare
Fie dată relația binară P pe o mulțime nevidă A, adică P Í A2. Definiție 2.9 Relația binară P pe o mulțime
Relația de echivalență
Definiția 2.15. O relație binară pe o mulțime A se numește relație de echivalență dacă este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Raport echivalent
Funcții
Definiția 2.20 O relație binară ƒ н A ´ B se numește funcție de la mulțimea A la mulțimea B dacă pentru orice x
Concepte generale
Definiție 3.1. O matrice este un tabel dreptunghiular de numere care conține m rânduri și n coloane. Numerele m și n se numesc ordine (sau
Adăugarea de matrici de același tip
Puteți adăuga doar matrici de același tip. Definiția 3.12. Suma a două matrice A = (aij) și B = (bij), unde i = 1,
Proprietăți de adăugare a matricei
1) comutativitate: "A, B: A + B \u003d B + A; 2) asociativitate:" A, B, C: (A + B) + C \u003d A
Înmulțirea unei matrice cu un număr
Definiția 3.13. Produsul matricei A = (aij) și numărul real k este matricea C = (сij) pentru care
Proprietățile înmulțirii unei matrice cu un număr
1) „A: 1 × A = A; 2) „ α, β Î R, „ A: (αβ) × A = α × (β × A) = β ×
Înmulțirea matricei
Definim inmultirea a doua matrici; Pentru a face acest lucru, trebuie să introducem câteva concepte suplimentare. Definiția 3.14. Matricele A și B se numesc consistente
Proprietățile înmulțirii matriceale
1) Înmulțirea prin matrice nu este comutativă: A×B ≠ B×A. Această proprietate poate fi demonstrată cu exemple. Exemplul 3.6. A)
Transpunerea matricei
Definiția 3.16. Matricea Аt, obtinuta din data prin inlocuirea fiecaruia dintre randurile sale cu o coloana cu acelasi numar, se numeste transpusa matricei date A
Determinanți ai matricelor de ordinul doi și trei
Fiecărei matrice pătrate A de ordinul n i se atribuie un număr, care se numește determinantul acestei matrici. Denumire: D, |A|, det A,
Definiție 4.6.
1. Pentru n = 1, matricea A este formată dintr-un număr: |A| = a11. 2. Fie cunoscut determinantul pentru o matrice de ordin (n – 1). 3. Definiți
Proprietăți calificative
Pentru a calcula determinanții de ordine mai mari de 3 se folosesc proprietățile determinanților și teorema lui Laplace. Teorema 4.1 (Laplace). Determinant al unei matrice pătrate
Calculul practic al determinanților
O modalitate de a calcula determinanții unei ordine de peste trei este să o extindeți într-o coloană sau rând. Exemplul 4.4 Calculați determinantul D =
Conceptul de rang de matrice
Fie A o matrice m ´ n. Alegem în mod arbitrar k rânduri și k coloane în această matrice, unde 1 ≤ k ≤ min(m, n).
Găsirea rangului unei matrice prin metoda limitării minorilor
Una dintre metodele de găsire a rangului unei matrice este enumerarea minorilor. Această metodă se bazează pe determinarea rangului matricei. Esența metodei este următoarea. Dacă există cel puțin un element
Găsirea rangului unei matrice folosind transformări elementare
Luați în considerare o altă modalitate de a găsi rangul unei matrice. Definiție 5.4. Următoarele transformări se numesc transformări matriceale elementare: 1. înmulțiți
Conceptul de matrice inversă și cum să o găsiți
Fie dată o matrice pătrată A. Definiţia 5.7. Matricea A–1 se numește inversul matricei A dacă A×A–1
Algoritm pentru găsirea matricei inverse
Luați în considerare una dintre modalitățile de a găsi inversul unei matrice date cu ajutorul adunărilor algebrice. Fie dată o matrice pătrată A. 1. Aflați determinantul matricei |A|. UE
Găsirea matricei inverse folosind transformări elementare
Luați în considerare o altă modalitate de a găsi matricea inversă folosind transformări elementare. Să formulăm conceptele și teoremele necesare. Definiție 5.11 Numele matricei B
Metoda Cramer
Să considerăm un sistem de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, adică m = n și sistemul arată astfel:
Metoda matricei inverse
Metoda matricei inverse este aplicabilă sistemelor de ecuații liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, iar determinantul matricei principale nu este egal cu zero. Sistem de notație matriceală
metoda Gauss
Pentru a descrie această metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sistemelor arbitrare de ecuații liniare, sunt necesare câteva concepte noi. Definiție 6.7. 0× ecuația
Descrierea metodei Gauss
Metoda Gauss - metoda eliminării succesive a necunoscutelor - constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul original este redus la un sistem echivalent de trepte sau t.
Studiul unui sistem de ecuații liniare
A investiga un sistem de ecuații liniare înseamnă, fără a rezolva sistemul, să răspunzi la întrebarea: sistemul este sau nu consistent și, dacă da, câte soluții are? Răspunde la asta în
Sisteme omogene de ecuații liniare
Definiție 6.11 Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă termenii săi liberi sunt egali cu zero. Sistem omogen de m ecuații liniare
Proprietăți ale soluțiilor unui sistem omogen de ecuații liniare
1. Dacă vectorul а = (a1, a2, …, an) este o soluție a unui sistem omogen, atunci vectorul k×а = (k×a1, k&t
Ansamblu fundamental de soluții pentru un sistem omogen de ecuații liniare
Fie M0 mulțimea soluțiilor sistemului omogen (4) de ecuații liniare. Definiţia 6.12.Vectorii c1, c2, ..., c
Dependența liniară și independența unui sistem de vectori
Fie a1, a2, …, am un set de m bucăți de vectori n-dimensionali, care este denumit în mod obișnuit sistem de vectori, și k1
Proprietăți ale unei dependențe liniare a unui sistem de vectori
1) Sistemul de vectori care conțin vectorul zero este dependent liniar. 2) Un sistem de vectori este dependent liniar dacă oricare dintre subsistemele sale este dependent liniar. Consecinţă. Dacă da
Sistem vectorial unitar
Definiția 7.13. Un sistem de vectori unitari în spațiul Rn este un sistem de vectori e1, e2, …, en
Două teoreme de dependență liniară
Teorema 7.1. Dacă un sistem mai mare de vectori este exprimat liniar în termeni de unul mai mic, atunci sistemul mai mare este dependent liniar. Să formulăm această teoremă mai detaliat: fie a1
Baza și rangul unui sistem de vectori
Fie S un sistem de vectori în spațiul Rn; poate fi fie finit, fie infinit. S" este un subsistem al sistemului S, S" Ì S. Să dăm două
Rangul sistemului vectorial
Să dăm două definiții echivalente ale rangului unui sistem de vectori. Definiția 7.16. Rangul unui sistem de vectori este numărul de vectori din orice bază a acestui sistem.
Constatarea practică a rangului și bazei unui sistem de vectori
Din sistemul de vectori dat, compunem o matrice prin aranjarea vectorilor ca șiruri ale acestei matrice. Aducem matricea într-o formă în trepte folosind transformări elementare peste rândurile acestei matrice. La
Definirea unui spațiu vectorial peste un câmp arbitrar
Fie P un câmp arbitrar. Exemple de câmpuri cunoscute de noi sunt domeniul numerelor raționale, reale, complexe. Definiție 8.1. Mulțimea V este numită
Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale
1) o este un vector zero (element), definit în mod unic într-un spațiu vectorial arbitrar peste câmp. 2) Pentru orice vector a О V, există un unic
Subspații. Varietăți liniare
Fie V un spațiu vectorial, L Ì V (L este o submulțime a lui V). Definiție 8.2. Submulțimea L a vectorului pro
Intersecția și suma subspațiilor
Fie V un spațiu vectorial peste un câmp P, L1 și L2 fiind subspațiile acestuia. Definiție 8.3. Subintersectie
Varietăți liniare
Fie V un spațiu vectorial, L un subspațiu și fie a un vector arbitrar din spațiul V. Definiția 8.6.Prin o varietate liniară
Spații vectoriale cu dimensiuni finite
Definiția 8.7 Un spațiu vectorial V se numește n-dimensional dacă conține un sistem liniar independent de vectori constând din n vectori și pentru
Baza unui spațiu vectorial cu dimensiuni finite
V este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul P, S este un sistem de vectori (finiți sau infiniti). Definiția 8.10. Baza sistemului S
Coordonatele vectoriale relativ la baza dată
Se consideră un spațiu vectorial V de dimensiune finită de dimensiune n, vectorii e1, e2, …, ro formează baza acestuia. Lasă a fi prod
Coordonate vectoriale în diferite baze
Fie V un spațiu vectorial n-dimensional în care sunt date două baze: e1, e2, ..., en este vechea bază, e "1, e
Spații vectoriale euclidiene
Dat un spațiu vectorial V peste câmpul numerelor reale. Acest spațiu poate fi fie un spațiu vectorial de dimensiune finită de dimensiunea n, fie infinit.
Punctează produsul în coordonate
Într-un spațiu vectorial euclidian n-dimensional V, este dată o bază e1, e2, …, en. Vectorii x și y descompuși în vectori
Concepte metrice
În spațiile vectoriale euclidiene, se poate trece de la produsul scalar introdus la conceptele de norma unui vector și unghiul dintre vectori. Definiția 8.16. Norma (
Proprietăți de normă
1) ||a|| = 0 w a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, deoarece ||la|| =
Baza ortonormală a unui spațiu vectorial euclidian
Definiția 8.21. O bază a unui spațiu vectorial euclidian se numește ortogonală dacă vectorii bazei sunt ortogonali pe perechi, adică dacă a1, a
Procesul de ortogonalizare
Teorema 8.12. Fiecare spațiu euclidian n-dimensional are o bază ortonormală. Dovada. Fie a1, a2
Produs punctat în bază ortonormală
Este dată o bază ortonormală e1, e2, …, en a spațiului euclidian V. Deoarece (ei, ej) = 0 pentru i
Complement subspațial ortogonal
V este un spațiu vectorial euclidian, L este subspațiul său. Definiția 8.23. Se spune că un vector a este ortogonal unui subspațiu L dacă vectorul
Relația dintre coordonatele unui vector și coordonatele imaginii acestuia
Un operator liniar j este dat în spațiul V, iar matricea sa M(j) se găsește în anumite baze e1, e2, …, en. Să fie aceasta baza
Matrici similare
Să considerăm mulţimea Pn´n de matrice pătrate de ordin n cu elemente dintr-un câmp arbitrar P. Introducem pe această mulţime relativul
Proprietățile relației de similitudine a matricei
1. Reflexivitate. Orice matrice este similară cu ea însăși, adică A ~ A. 2. Simetrie. Dacă matricea A este similară cu B, atunci B este similară cu A, adică.
Proprietăți ale vectorilor proprii
1. Fiecare vector propriu aparține unei singure valori proprii. Dovada. Fie x un vector propriu cu două valori proprii
Polinom caracteristic al unei matrice
Dată o matrice A Î Pn´n (sau A Î Rn´n). Defini
Condiții în care o matrice este similară cu o matrice diagonală
Fie A o matrice pătrată. Putem presupune că aceasta este matricea unui operator liniar dat într-o anumită bază. Se știe că într-o altă bază matricea operatorului liniar
Iordan forma normală
Definiția 10.5. O celulă Jordan de ordinul k legată de numărul l0 este o matrice de ordinul k, 1 ≤ k ≤ n,
Reducerea unei matrice la forma Jordan (normală).
Teorema 10.3. Forma normală Jordan este definită în mod unic pentru o matrice până la ordinea în care celulele Jordan sunt situate pe diagonala principală. etc
Forme biliniare
Definiție 11.1. O formă biliniară este o funcție (mapping) f: V ´ V ® R (sau C), unde V este un vector arbitrar n
Proprietățile formelor biliniare
Orice formă biliniară poate fi reprezentată ca o sumă de forme simetrice simetrice. Cu baza aleasă e1, e2, …, en în vector
Transformarea unei matrice de formă biliniară la trecerea la o nouă bază. Rangul formei biliniare
Fie două baze e = (e1, e2, …, en) și f = (f1, f2,
Forme cuadratice
Fie A(x, y) o formă biliniară simetrică definită pe un spațiu vectorial V. Definiția 11.6.Printr-o formă pătratică
Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică
Având o formă pătratică (2) A(x, x) = , unde x = (x1
Legea inerției formelor pătratice
Se stabilește că numărul de coeficienți canonici nenuli ai unei forme pătratice este egal cu rangul acesteia și nu depinde de alegerea unei transformări nedegenerate prin care forma A(x
Condiție necesară și suficientă pentru ca o formă pătratică să fie definită de semn
Afirmația 11.1. Pentru ca forma pătratică A(x, x) dată în spațiul vectorial n-dimensional V să fie definită de semn, este necesar
O condiție necesară și suficientă pentru formele cuadratice cvasi-schimbătoare
Afirmația 11.3. Pentru ca forma pătratică A(x, x) definită în spațiul vectorial n-dimensional V să fie cvasi-alternantă (adică,
Criteriul lui Sylvester pentru definirea semnului unei forme pătratice
Fie forma A(x, x) în baza e = (e1, e2, …, en) să fie definită de matricea A(e) = (aij)
Concluzie
Algebra liniară este o parte obligatorie a oricărui program avansat de matematică. Orice altă secțiune presupune prezența cunoștințelor, aptitudinilor și abilităților stabilite în timpul predării acestei discipline.
Lista bibliografică
Burmistrova E.B., Lobanov S.G. Algebră liniară cu elemente de geometrie analitică. - M .: Editura Școlii Superioare de Științe Economice, 2007. Beklemishev D.V. Curs de Geometrie Analitică și Algebră Liniară.
Algebră liniară
Material didactic Editor și corector G. D. Neganova Compoziție computerizată de T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina
Spațiul liniar V se numește n-dimensională, dacă conține un sistem de n vectori liniar independenți și orice sistem de mai mulți vectori este dependent liniar. Se numește numărul n dimensiune (numar de masuratori) spaţiul liniar V şi se notează \operatorname(dim)V. Cu alte cuvinte, dimensiunea unui spațiu este numărul maxim de vectori liniar independenți din acel spațiu. Dacă un astfel de număr există, atunci se spune că spațiul este de dimensiune finită. Dacă pentru orice număr natural n în spațiul V există un sistem format din n vectori liniar independenți, atunci un astfel de spațiu se numește infinit-dimensional (ei scriu: \operatorname(dim)V=\infty). În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, vor fi luate în considerare spațiile cu dimensiuni finite.
Bază Spațiul liniar n-dimensional este un set ordonat de n vectori liniar independenți ( vectori de bază).
Teorema 8.1 privind expansiunea unui vector în termeni de bază. Dacă este o bază a unui spațiu liniar n-dimensional V , atunci orice vector \mathbf(v)\în V poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază:
\mathbf(v)=\mathbf(v)_1\cdot \mathbf(e)_1+\mathbf(v)_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+\mathbf(v)_n\cdot \mathbf(e)_n
si, mai mult, intr-un mod unic, i.e. cote \mathbf(v)_1, \mathbf(v)_2,\ldots, \mathbf(v)_n sunt definite fără ambiguitate. Cu alte cuvinte, orice vector spațial poate fi extins într-o bază și, în plus, într-un mod unic.
Într-adevăr, dimensiunea spațiului V este egală cu n . Sistem vectorial \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n liniar independent (aceasta este baza). După adăugarea oricărui vector \mathbf(v) la bază, obținem un sistem dependent liniar \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n, \mathbf(v)(deoarece acest sistem este format din (n + 1) vectori ai spațiului n-dimensional). Prin proprietatea a 7 vectori liniar dependenți și liniar independenți, obținem concluzia teoremei.
Consecința 1. Dacă \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n este o bază a spațiului V , atunci V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n), adică spațiul liniar este intervalul liniar al vectorilor de bază.
Într-adevăr, pentru a dovedi egalitatea V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n) două seturi, este suficient să arătăm că incluziunile V\subset\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n)și sunt executate în același timp. Într-adevăr, pe de o parte, orice combinație liniară de vectori dintr-un spațiu liniar aparține spațiului liniar însuși, adică. \operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n)\subset V. Pe de altă parte, prin teorema 8.1 orice vector spațial poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază, adică. V\subset\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). Aceasta implică egalitatea mulțimilor considerate.
Consecința 2. Dacă \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n este un sistem liniar independent de vectori în spațiul liniar V și orice vector \mathbf(v)\în V poate fi reprezentat ca o combinație liniară (8.4): \mathbf(v)=v_1\mathbf(e)_1+ v_2\mathbf(e)_2+\ldots+v_n\mathbf(e)_n, atunci spațiul V are dimensiunea n , iar sistemul \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots,\mathbf(e)_n este baza sa.
Într-adevăr, în spațiul V există un sistem de n vectori liniar independenți și orice sistem \mathbf(u)_1,\mathbf(u)_2,\ldots,\mathbf(u)_n a mai mulți vectori (k>n) este dependent liniar, deoarece fiecare vector din acest sistem este exprimat liniar în termeni de vectori \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Mijloace, \operatorname(dim) V=nȘi \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n- baza V .
Teorema 8.2 privind completarea unui sistem de vectori la o bază. Orice sistem liniar independent de k vectori într-un spațiu liniar n-dimensional (1\leqslant k Într-adevăr, să fie un sistem liniar independent de vectori într-un spațiu n-dimensional V~(1\leqslant k Observații 8.4 1. Baza unui spațiu liniar este definită ambiguu. De exemplu, dacă \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2, \ldots, \mathbf(e)_n este baza spațiului V , apoi sistemul de vectori \lambda \mathbf(e)_1,\lambda \mathbf(e)_2,\ldots,\lambda \mathbf(e)_n pentru orice \lambda\ne0 este de asemenea o bază a lui V . Numărul de vectori de bază în diferite baze ale aceluiași spațiu finit-dimensional este, desigur, același, deoarece acest număr este egal cu dimensiunea spațiului. 2. In unele spatii, des intalnite in aplicatii, una dintre bazele posibile, cea mai convenabila din punct de vedere practic, se numeste cea standard. 3. Teorema 8.1 ne permite să spunem că o bază este un sistem complet de elemente ale unui spațiu liniar, în sensul că orice vector spațial este exprimat liniar în termeni de vectori de bază. 4. Dacă mulţimea \mathbb(L) este un interval liniar \operatorname(Lin)(\mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k), apoi vectorii \mathbf(v)_1,\mathbf(v)_2,\ldots,\mathbf(v)_k se numesc generatori ai multimii \mathbb(L) . Corolarul 1 al teoremei 8.1, în virtutea egalității V=\operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) ne permite să spunem că baza este sistem generator minim spațiu liniar V , deoarece este imposibil să se reducă numărul de generatoare (eliminați cel puțin un vector din mulțime \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n) fără a încălca egalitatea V=\operatorname(Lin)(\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n). 5. Teorema 8.2 ne permite să spunem că baza este sistem maxim liniar independent de vectori spațiu liniar, deoarece baza este un sistem liniar independent de vectori și nu poate fi completat de niciun vector fără a pierde independența liniară. 6. Este convenabil să folosiți Corolarul 2 al teoremei 8.1 pentru a găsi baza și dimensiunea unui spațiu liniar. În unele manuale, este necesar să se definească baza, și anume: sistem liniar independent \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n vectorii unui spațiu liniar se numesc bază dacă orice vector al spațiului este exprimat liniar în termeni de vectori \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n. Numărul de vectori de bază determină dimensiunea spațiului. Desigur, aceste definiții sunt echivalente cu cele date mai sus. Indicăm dimensiunea și baza pentru exemplele de spații liniare considerate mai sus. 1. Spațiul liniar zero \(\mathbf(o)\) nu conține vectori liniar independenți. Prin urmare, dimensiunea acestui spațiu se presupune a fi zero: \dim\(\mathbf(o)\)=0. Acest spațiu nu are nicio bază. 2. Spațiile V_1,\,V_2,\,V_3 au dimensiunile 1, 2, respectiv 3. Într-adevăr, orice vector diferit de zero al spațiului V_1 , formează un sistem liniar independent (vezi punctul 1. din Observațiile 8.2), și oricare doi vectori diferit de zero ai spațiului V_1 sunt coliniari, adică. sunt dependente liniar (vezi Exemplul 8.1). Prin urmare, \dim(V_1)=1 , iar baza spațiului V_1 este orice vector diferit de zero. În mod similar, demonstrăm că \dim(V_2)=2 și \dim(V_3)=3 . Baza spațiului V_2 este oricare doi vectori necoliniari luați într-o anumită ordine (unul dintre ei este considerat primul vector de bază, celălalt - al doilea). Baza spațiului V_3 este orice trei vectori necoplanari (care nu se află în același plan sau paralel), luați într-o anumită ordine. Baza standard în V_1 este vectorul unitar \vec(i) pe linie. Baza standard din V_2 este baza \vec(i),\,\vec(j), constând din doi vectori unitari reciproc perpendiculari ai planului. Baza standard din spațiul V_3 este baza \vec(i),\,\vec(j),\,\vec(k), compus din trei vectori perpendiculari perechi unitar care formează triplul drept. 3. Spațiul \mathbb(R)^n conține nu mai mult de n vectori liniar independenți. Într-adevăr, să luăm k coloane din \mathbb(R)^n și să facem o matrice de dimensiuni de n\ ori k din ele. Dacă k>n , atunci coloanele sunt dependente liniar de teorema 3.4 de rangul unei matrice. Prin urmare, \dim(\mathbb(R)^n)\leqslant n. În spațiul \mathbb(R)^n nu este greu de găsit n coloane liniar independente. De exemplu, coloanele matricei de identitate \mathbf(e)_1=\begin(pmatrix)1\\0\\\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0\\1\ \\vdots\\0\end(pmatrix)\!,\quad \ldots,\quad \mathbf(e)_n= \begin(pmatrix) 0\\0\\\vdots\\1 \end(pmatrix)\ !. sunt liniar independente. Prin urmare, \dim(\mathbb(R)^n)=n. Se numește spațiul \mathbb(R)^n spațiu aritmetic real n-dimensional. Setul specificat de vectori este considerat a fi baza standard a spațiului \mathbb(R)^n . În mod similar, este dovedit că \dim(\mathbb(C)^n)=n, deci spațiul \mathbb(C)^n este numit spațiu aritmetic complex n-dimensional. 4. Amintiți-vă că orice soluție a sistemului omogen Ax=o poate fi reprezentată ca x=C_1\varphi_1+C_2\varphi_2+\ldots+C_(n-r)\varphi_(n-r), Unde r=\operatorname(rg)A, A \varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)- sistem fundamental de decizie. Prin urmare, \(Ax=o\)=\operatorname(Lin) (\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_(n-r)), adică baza spațiului \(Ax=0\) al soluțiilor unui sistem omogen este sistemul său fundamental de soluții, iar dimensiunea spațiului este \dim\(Ax=o\)=n-r , unde n este numărul de necunoscute, iar r este rangul matricei sistemului. 5. În spațiul M_(2\times3) al matricilor de dimensiunea 2\times3, pot fi selectate 6 matrici: \begin(gathered)\mathbf(e)_1= \begin(pmatrix)1&0&0\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_2= \begin(pmatrix)0&1&0\\0&0&0\end( pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_3= \begin(pmatrix) 0&0&1\\0&0&0\end(pmatrix)\!,\hfill\\ \mathbf(e)_4= \begin(pmatrix) 0&0&0\\ 1&0&0 \end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_5= \begin(pmatrix)0&0&0\\0&1&0\end(pmatrix)\!,\quad \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)0&0&0 \\0&0&1\end(pmatrix)\!,\hfill \end(gathered) \alpha_1\cdot \mathbf(e)_1+\alpha_2\cdot \mathbf(e)_2+\alpha_3\cdot \mathbf(e)_3+ \alpha_4\cdot \mathbf(e)_4+\alpha_5\cdot \mathbf(e)_5+ \alpha_6\cdot \mathbf(e)_6= \begin(pmatrix)\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_4&\alpha_5&\alpha_6\end(pmatrix) este egală cu matricea zero numai în cazul banal \alpha_1=\alpha_2= \ldots= \alpha_6=0. Citind egalitatea (8.5) de la dreapta la stânga, ajungem la concluzia că orice matrice din M_(2\times3) este exprimată liniar în termenii celor 6 matrici alese, i.e. M_(2\times)= \operatorname(Lin) (\mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6). Prin urmare, \dim(M_(2\times3))=2\cdot3=6, și matrice \mathbf(e)_1, \mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_6 sunt baza (standard) a acestui spațiu. În mod similar, este dovedit că \dim(M_(m\times n))=m\cdot n. 6. Pentru orice număr natural n din spațiul P(\mathbb(C)) al polinoamelor cu coeficienți complexi, se pot găsi n elemente liniar independente. De exemplu, polinoamele \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=z, \mathbf(e)_3=z^2,\,\ldots, \mathbf(e)_n=z^(n-1) sunt liniar independente, deoarece combinația lor liniară a_1\cdot \mathbf(e)_1+a_2\cdot \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_n= a_1+a_2z+\ldots+a_nz^(n-1) este egal cu polinomul zero (o(z)\equiv0) numai în cazul trivial a_1=a_2=\ldots=a_n=0. Deoarece acest sistem de polinoame este liniar independent pentru orice n natural, spațiul P(\mathbb(C)) este infinit-dimensional. În mod similar, concluzionăm că spațiul P(\mathbb(R)) al polinoamelor cu coeficienți reali are o dimensiune infinită. Spațiul P_n(\mathbb(R)) al polinoamelor de gradul cel mult n este de dimensiuni finite. Într-adevăr, vectorii \mathbf(e)_1=1, \mathbf(e)_2=x, \mathbf(e)_3=x^2,\,\ldots, \mathbf(e)_(n+1)=x^n formează o bază (standard) pentru acest spațiu, deoarece sunt independenți liniar și orice polinom din P_n(\mathbb(R)) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a acestor vectori: a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0=a_0\cdot \mathbf(e)_1+a_1 \mathbf(e)_2+\ldots+a_n\cdot \mathbf(e)_(n+1)Exemple de baze pentru spații liniare
care sunt liniar independente. Într-adevăr, combinația lor liniară
7. Spațiul C(\mathbb(R)) al funcțiilor continue este infinit-dimensional. Într-adevăr, pentru orice natural n polinoamele 1,x,x^2,\ldots, x^(n-1), considerate ca funcții continue, formează sisteme liniar independente (vezi exemplul anterior).
In spatiu T_(\omega)(\mathbb(R)) binoamele trigonometrice (frecvențele \omega\ne0 ) cu coeficienți de bază reali formează monomii \mathbf(e)_1(t)=\sin\omega t,~\mathbf(e)_2(t)=\cos\omega t. Ele sunt liniar independente, din moment ce egalitatea de identitate a\sin\omega t+b\cos\omega t\equiv0 posibil doar în cazul banal (a=b=0) . Orice funcție a formei f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t exprimat liniar în termenii celor de bază: f(t)=a\,\mathbf(e)_1(t)+b\,\mathbf(e)_2(t).
8. Spațiul \mathbb(R)^X al funcțiilor reale definite pe mulțimea X , în funcție de domeniul lui X, poate fi finit-dimensional sau infinit-dimensional. Dacă X este o mulțime finită, atunci spațiul \mathbb(R)^X este finit-dimensional (de exemplu, X=\(1,2,\ldots,n\)). Dacă X este o mulțime infinită, atunci spațiul \mathbb(R)^X este infinit-dimensional (de exemplu, spațiul \mathbb(R)^N al secvențelor).
9. În spațiul \mathbb(R)^(+) orice număr pozitiv \mathbf(e)_1 care nu este egal cu 1 poate servi drept bază. Luați, de exemplu, numărul \mathbf(e)_1=2 . Orice număr pozitiv r poate fi exprimat în termeni de \mathbf(e)_1 , i.e. prezent sub formă \alpha\cdot \mathbf(e)_1\colon r=2^(\log_2r)=\log_2r\ast2=\alpha_1\ast \mathbf(e)_1, unde \alpha_1=\log_2r . Prin urmare, dimensiunea acestui spațiu este 1, iar numărul \mathbf(e)_1=2 este o bază.
10. Lasă \mathbf(e)_1,\mathbf(e)_2,\ldots,\mathbf(e)_n este o bază a spațiului liniar real V . Definim funcții scalare liniare pe V setând:
\mathcal(E)_i(\mathbf(e)_j)=\begin(cases)1,&i=j,\\ 0,&i\ne j.\end(cases)
În același timp, datorită liniarității funcției \mathcal(E)_i , pentru un vector arbitrar obținem \mathcal(E)(\mathbf(v))=\sum_(j=1)^(n)v_j \mathcal(E)(\mathbf(e)_j)=v_i.
Deci, n elemente (covectori) sunt definite \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2, \ldots, \mathcal(E)_n spațiu dual V^(\ast) . Să demonstrăm asta \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n- baza V^(\ast) .
În primul rând, arătăm că sistemul \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n liniar independent. Într-adevăr, luați o combinație liniară a acestor covectori (\alpha_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n)(\mathbf(v))=și echivalează-l cu funcția zero
\mathbf(o)(\mathbf(v))~~ (\mathbf(o)(\mathbf(v))=0~ \forall \mathbf(v)\in V)\colon~ \alpha_1\mathcal(E )_1(\mathbf(v))+\ldots+\alpha_n\mathcal(E)_n(\mathbf(v))= \mathbf(o)(\mathbf(v))=0~~\forall \mathbf(v) )\în V.
Înlocuind în această egalitate \mathbf(v)=\mathbf(e)_i,~ i=1,\ldots,n, primim \alpha_1=\alpha_2\cdot= \alpha_n=0. Prin urmare, sistemul de elemente \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots,\mathcal(E)_n spațiul V^(\ast) este liniar independent, deoarece egalitatea \alpha_1\mathcal(E)_1+\ldots+ \alpha_n\mathcal(E)_n =\mathbf(o) posibil doar în cazul banal.
În al doilea rând, demonstrăm că orice funcție liniară f\in V^(\ast) poate fi reprezentată ca o combinație liniară de covectori \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n. Într-adevăr, pentru orice vector \mathbf(v)=v_1 \mathbf(e)_1+v_2 \mathbf(e)_2+\ldots+v_n \mathbf(e)_n datorită liniarității funcției f, obținem:
\begin(aligned)f(\mathbf(v))&= f(v_1 \mathbf(e)_1+\ldots+v_n \mathbf(e)_n)= v_1 f(\mathbf(e)_1)+\ldots+ v_n f(\mathbf(e)_n)= f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1(\mathbf(v))+ \ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E) _n (\mathbf(v))=\\ &=(f(\mathbf(e)_1)\mathcal(E)_1+\ldots+ f(\mathbf(e)_n)\mathcal(E)_n)(\mathbf ( v))= (\beta_1\mathcal(E)_1+ \ldots+\beta_n\mathcal(E)_n) (\mathbf(v)),\end(aligned)
acestea. funcția f este reprezentată ca o combinație liniară f=\beta_1 \mathcal(E)_1+\ldots+\beta_n\mathcal(E)_n funcții \mathcal(E)_1,\mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n(numerele \beta_i=f(\mathbf(e)_i) sunt coeficienții combinației liniare). Prin urmare, sistemul de covectori \mathcal(E)_1, \mathcal(E)_2,\ldots, \mathcal(E)_n este o bază a spaţiului dual V^(\ast) şi \dim(V^(\ast))=\dim(V)(pentru un spațiu finit-dimensional V ).
Dacă observați o eroare, greșeală de scriere sau aveți sugestii, scrieți în comentarii.
