Determinant de matrice

Găsirea determinantului unei matrice este o problemă foarte comună în matematica superioară și algebră. De regulă, nu se poate face fără valoarea determinantului matricei atunci când rezolvăm sisteme complexe de ecuații. Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații este construită pe calculul determinantului matricei. Folosind definiția unui determinat, se determină prezența și unicitatea soluției sistemelor de ecuații. Prin urmare, este dificil de supraestimat importanța capacității de a găsi corect și precis determinantul unei matrice în matematică. Metodele de rezolvare a determinanților sunt teoretic destul de simple, dar pe măsură ce dimensiunea matricei crește, calculele devin foarte greoaie și necesită mare grijă și mult timp. Este foarte ușor să faci o greșeală minoră sau o greșeală de tipar în astfel de calcule matematice complexe, ceea ce va duce la o eroare în răspunsul final. Prin urmare, chiar dacă găsiți determinant matriceal independent, este important să verificați rezultatul. Acest lucru ne permite să facem serviciul nostru Găsirea determinantului unei matrice online. Serviciul nostru oferă întotdeauna un rezultat absolut exact, care nu conține erori sau greșeli de scriere. Puteți refuza calculele independente, deoarece din punct de vedere aplicat, constatarea determinant matriceal nu are caracter didactic, ci pur și simplu necesită mult timp și calcule numerice. Prin urmare, dacă în sarcina dvs determinarea determinantului matriceal sunt auxiliare, calcule laterale, folosiți serviciul nostru și găsiți determinantul matricei online!

Toate calculele sunt efectuate automat cu cea mai mare precizie și absolut gratuit. Avem o interfață foarte convenabilă pentru introducerea elementelor matriceale. Dar principala diferență între serviciul nostru și cele similare este posibilitatea de a obține o soluție detaliată. Serviciul nostru la calcularea determinantului matricei online folosește întotdeauna metoda cea mai simplă și cea mai scurtă și descrie în detaliu fiecare pas al transformărilor și simplificărilor. Deci obțineți nu doar valoarea determinantului matricei, rezultatul final, ci întreaga soluție detaliată.

Conceptul de determinant este unul dintre cele mai importante în cursul algebrei liniare. Acest concept este inerent NUMAI MATRICE PĂTRATE, iar acest articol este dedicat acestui concept. Aici vom vorbi despre determinanții matricilor ale căror elemente sunt numere reale (sau complexe). În acest caz, determinantul este un număr real (sau complex). Toate prezentările ulterioare vor fi un răspuns la întrebările despre cum se calculează determinantul și ce proprietăți are acesta.

În primul rând, dăm definiția determinantului unei matrici pătrate de ordin n cu n ca sumă a produselor permutărilor elementelor matricei. Pe baza acestei definiții, scriem formule pentru calcularea determinanților matricelor de ordinul întâi, al doilea și al treilea și analizăm în detaliu soluțiile mai multor exemple.

În continuare, ne întoarcem la proprietățile determinantului, pe care le vom formula sub formă de teoreme fără demonstrație. Aici se va obține o metodă de calcul a determinantului prin extinderea acestuia peste elementele unui rând sau coloane. Această metodă reduce calculul determinantului unei matrici de ordin n cu n la calculul determinanților matricelor de ordin 3 cu 3 sau mai puțin. Asigurați-vă că arătați soluții la mai multe exemple.

În concluzie, să ne oprim asupra calculului determinantului prin metoda Gauss. Această metodă este bună pentru a găsi determinanți ai matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3 deoarece necesită mai puțin efort de calcul. Vom analiza și soluția de exemple.

Navigare în pagină.

Definiția matricei determinant, calculul matricei determinant prin definiție.

Reamintim câteva concepte auxiliare.

Definiție.

Permutarea ordinului n se numeste multime ordonata de numere, formata din n elemente.

Pentru o mulțime care conține n elemente, există n! (n factorial) de permutări de ordinul n. Permutările diferă între ele numai în ordinea elementelor.

De exemplu, să considerăm o mulțime formată din trei numere: . Notăm toate permutările (sunt șase în total, deoarece ):

Definiție.

Inversarea într-o permutare a ordinului n se numește orice pereche de indici p și q, pentru care elementul p al permutației este mai mare decât q-lea.

În exemplul anterior, inversul permutației 4 , 9 , 7 este p=2 , q=3 , deoarece al doilea element al permutației este 9 și este mai mare decât al treilea element, care este 7 . Inversul permutării 9 , 7 , 4 va fi trei perechi: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1, q=3 (9>4) şi p=2, q=3 (7>4).

Vom fi mai interesați de numărul de inversiuni dintr-o permutare, mai degrabă decât de inversarea în sine.

Fie o matrice pătrată de ordin n de n peste câmpul numerelor reale (sau complexe). Fie mulțimea tuturor permutărilor de ordin n ale mulțimii. Setul contine n! permutări. Să notăm a k-a permutare a mulțimii ca , iar numărul de inversiuni în a k-a permutare ca .

Definiție.

Determinant de matriceȘi există un număr egal cu .

Să descriem această formulă în cuvinte. Determinantul unei matrici pătrate de ordin n de n este suma care conține n! termeni. Fiecare termen este un produs al n elemente ale matricei și fiecare produs conține un element din fiecare rând și din fiecare coloană a matricei A. Un coeficient (-1) apare înaintea termenului k, dacă elementele matricei A din produs sunt ordonate după numărul de rând, iar numărul de inversiuni în permutarea k a setului de numere de coloane este impar.

Determinantul unei matrice A este de obicei notat ca și det(A) este, de asemenea, utilizat. De asemenea, puteți auzi că determinantul se numește determinant.

Asa de, .

Aceasta arată că determinantul matricei de ordinul întâi este elementul acestei matrice.

Calcularea determinantului unei matrice pătrate de ordinul doi - Formula și exemplu.

cam 2 pe 2 in general.

În acest caz n=2, deci n!=2!=2.

.

Avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 2 cu 2, are forma .

Exemplu.

Ordin.

Soluţie.

În exemplul nostru. Aplicam formula rezultata :

Calculul determinantului unei matrice pătrate de ordinul trei - formulă și exemplu.

Să găsim determinantul unei matrice pătrate cam 3 pe 3 în general.

În acest caz n=3 , deci n!=3!=6 .

Să aranjam sub forma unui tabel datele necesare pentru aplicarea formulei .

Avem

Astfel, am obținut o formulă de calcul a determinantului unei matrice de ordinul 3 cu 3, are forma

În mod similar, se pot obține formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 4 cu 4, 5 cu 5 și mai mari. Vor arăta foarte voluminoase.

Exemplu.

Calculați determinantul matricei pătrate cam 3 pe 3.

Soluţie.

În exemplul nostru

Aplicăm formula rezultată pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul trei:

Formulele pentru calcularea determinanților matricelor pătrate de ordinul doi și trei sunt foarte des folosite, așa că vă recomandăm să le amintiți.

Proprietăți ale unui determinant de matrice, calculul unui determinant de matrice folosind proprietăți.

Pe baza definiției de mai sus, următoarele sunt adevărate. proprietățile determinante ale matricei.

Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A T , adică .

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul matricei este egală cu determinantul matricei transpuse.

Soluţie.

Să folosim formula pentru a calcula determinantul unei matrice de ordinul 3 cu 3:



Transpunem matricea A:


Calculați determinantul matricei transpuse:



Într-adevăr, determinantul matricei transpuse este egal cu determinantul matricei originale.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele cel puțin unuia dintre rânduri (una dintre coloane) sunt zero, determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero.

Exemplu.

Verificați dacă determinantul matricei ordinul 3 cu 3 este zero.

Soluţie.




Într-adevăr, determinantul unei matrice cu o coloană zero este zero.

Dacă schimbați oricare două rânduri (coloane) într-o matrice pătrată, atunci determinantul matricei rezultate va fi opus celui inițial (adică semnul se va schimba).

Exemplu.

Date două matrice pătrate de ordinul 3 cu 3 Și . Arătați că determinanții lor sunt opuși.

Soluţie.

Matrice B se obține din matricea A prin înlocuirea celui de-al treilea rând cu primul și primul cu al treilea. În funcție de proprietatea considerată, determinanții unor astfel de matrici trebuie să difere ca semn. Să verificăm acest lucru calculând determinanții folosind o formulă binecunoscută.



Într-adevăr, .

Dacă cel puțin două rânduri (două coloane) sunt aceleași într-o matrice pătrată, atunci determinantul său este egal cu zero.

Exemplu.

Să se arate că determinantul matricei este egal cu zero.

Soluţie.

În această matrice, a doua și a treia coloană sunt aceleași, deci, conform proprietății luate în considerare, determinantul acesteia trebuie să fie egal cu zero. Hai să verificăm.



De fapt, determinantul unei matrice cu două coloane identice este zero.

Dacă într-o matrice pătrată toate elementele oricărui rând (coloană) sunt înmulțite cu un număr k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale, înmulțit cu k. De exemplu,



Exemplu.

Demonstrați că determinantul matricei este egal cu de trei ori determinantul matricei .

Soluţie.

Elementele primei coloane a matricei B se obțin din elementele corespunzătoare ale primei coloane a matricei A prin înmulțirea cu 3. Atunci, în virtutea proprietății considerate, egalitatea ar trebui să se mențină. Să verificăm acest lucru calculând determinanții matricelor A și B.



Prin urmare, , ceea ce trebuia demonstrat.

NOTĂ.

Nu confundați sau confundați conceptele de matrice și determinant! Proprietatea considerată a determinantului unei matrice și operația de înmulțire a unei matrice cu un număr sunt departe de același lucru.
, Dar .

Dacă toate elementele oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate sunt suma a s termeni (s este un număr natural mai mare decât unu), atunci determinantul unei astfel de matrice va fi egal cu suma a s determinanți ai matricelor obținute din cel original, dacă ca elemente ale rândului (coloanei) lasă câte un termen. De exemplu,


Exemplu.

Demonstrați că determinantul unei matrici este egal cu suma determinanților matricelor .

Soluţie.

În exemplul nostru , prin urmare, datorită proprietății considerate a determinantului matricei, egalitatea . O verificăm calculând determinanții corespunzători ai matricelor de ordin 2 cu 2 folosind formula .


Din rezultatele obținute se poate observa că . Aceasta completează dovada.

Dacă la elementele unui rând (coloană) a matricei adăugăm elementele corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțite cu un număr arbitrar k, atunci determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei inițiale.

Exemplu.

Asigurați-vă că dacă elementele coloanei a treia a matricei se adună elementele corespunzătoare din a doua coloană a acestei matrice, înmulțite cu (-2), și se adună elementele corespunzătoare din prima coloană a matricei, înmulțite cu un număr real arbitrar, apoi determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale.

Soluţie.

Dacă pornim de la proprietatea considerată a determinantului, atunci determinantul matricei obținut după toate transformările indicate în problemă va fi egal cu determinantul matricei A.

Mai întâi, calculăm determinantul matricei originale A:



Acum să efectuăm transformările necesare ale matricei A.

Să adăugăm elementelor din a treia coloană a matricei elementele corespunzătoare din a doua coloană a matricei, înmulțindu-le anterior cu (-2) . După aceea, matricea va arăta astfel:


La elementele coloanei a treia a matricei rezultate, adăugăm elementele corespunzătoare din prima coloană, înmulțite cu:


Calculați determinantul matricei rezultate și asigurați-vă că este egal cu determinantul matricei A, adică -24:



Determinantul unei matrice pătrate este suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) după lor. adunări algebrice.



Iată complementul algebric al elementului de matrice , .

Această proprietate permite calcularea determinanților matricilor de ordin mai mare decât 3 cu 3 prin reducerea acestora la suma mai multor determinanți ai matricelor de ordin cu una mai mică. Cu alte cuvinte, aceasta este o formulă recurentă pentru calcularea determinantului unei matrice pătrate de orice ordin. Vă recomandăm să-l amintiți datorită aplicabilității sale destul de frecvente.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

comandați 4 cu 4, extinzându-l

• prin elemente de pe al 3-lea rând,
• de elementele coloanei a 2-a.

Soluţie.

Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele din al 3-lea rând



Avem



Deci problema găsirii determinantului unei matrici de ordin 4 cu 4 a fost redusă la calculul a trei determinanți ai matricelor de ordin 3 cu 3:



Inlocuind valorile obtinute ajungem la rezultatul:


Folosim formula pentru extinderea determinantului cu elementele coloanei a 2-a


și acționăm în același mod.

Nu vom descrie în detaliu calculul determinanților matricilor de ordinul trei.



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 4 pe 4.

Soluţie.

Puteți descompune determinantul matricei în elemente ale oricărei coloane sau ale oricărei rânduri, dar este mai benefic să alegeți rândul sau coloana care conține cel mai mare număr de elemente zero, deoarece acest lucru va ajuta la evitarea calculelor inutile. Să extindem determinantul cu elementele primului rând:



Calculăm determinanții obținuți ai matricelor de ordin 3 cu 3 după formula cunoscută nouă:



Înlocuim rezultatele și obținem valoarea dorită


Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 5 pe 5.

Soluţie.

Al patrulea rând al matricei are cel mai mare număr de zero elemente dintre toate rândurile și coloanele, așa că este recomandabil să extindem determinantul matricei tocmai cu elementele din al patrulea rând, deoarece în acest caz avem nevoie de mai puține calcule.



Determinanții obținuți ai matricelor de ordinul 4 cu 4 au fost găsiți în exemplele anterioare, așa că vom folosi rezultatele gata făcute:



Exemplu.

Calculați determinantul matricei cam 7 pe 7.

Soluţie.

Nu trebuie să vă grăbiți imediat să descompuneți determinantul prin elementele oricărui rând sau coloană. Dacă te uiți atent la matrice, vei observa că elementele celui de-al șaselea rând al matricei pot fi obținute prin înmulțirea cu două a elementelor corespunzătoare din al doilea rând. Adică, dacă adăugăm elementele corespunzătoare din al doilea rând înmulțite cu (-2) la elementele celui de-al șaselea rând, atunci determinantul nu se va modifica din cauza proprietății a șaptea, iar al șaselea rând al matricei rezultate va consta din zerouri. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero prin a doua proprietate.

Răspuns:

Trebuie remarcat faptul că proprietatea luată în considerare permite calcularea determinanților matricilor de orice ordin, totuși, trebuie efectuate o mulțime de operații de calcul. În cele mai multe cazuri, este mai avantajos să găsim determinantul matricelor de ordin mai mare decât a treia prin metoda Gauss, pe care o vom considera mai jos.

Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unei matrice pătrate și a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) este egală cu zero.


Exemplu.

Să se arate că suma produselor elementelor coloanei a treia a matricei pe complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare primei coloane este egală cu zero.

Soluţie.




Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor, adică , unde m este un număr natural mai mare decât unu, A k , k=1,2,…,m sunt matrici pătrate de același ordin.

Exemplu.

Asigurați-vă că determinantul produsului a două matrici și este egal cu produsul determinanților lor.

Soluţie.

Să găsim mai întâi produsul determinanților matricelor A și B:


Acum să efectuăm înmulțirea matricei și să calculăm determinantul matricei rezultate:



Prin urmare, , care urma să fie arătat.

Calculul determinantului matricei prin metoda Gauss.

Să descriem esența acestei metode. Folosind transformări elementare, matricea A este redusă la o astfel de formă încât în ​​prima coloană toate elementele cu excepția lui devin zero (acest lucru este întotdeauna posibil dacă determinantul matricei A este diferit de zero). Vom descrie această procedură puțin mai târziu, dar acum vom explica de ce se face acest lucru. Se obțin elemente zero pentru a obține cea mai simplă expansiune a determinantului peste elementele primei coloane. După o astfel de transformare a matricei A, ținând cont de a opta proprietate și , obținem

Unde - ordinul minor (n-1)., obținut din matricea A prin ștergerea elementelor primului rând și primei sale coloane.

Cu matricea căreia îi corespunde minorul se face aceeași procedură de obținere a zero elemente în prima coloană. Și tot așa până la calculul final al determinantului.

Acum rămâne să răspundem la întrebarea: „Cum să obțineți elemente nule în prima coloană”?

Să descriem algoritmul acțiunilor.

Dacă , atunci elementele primului rând al matricei se adaugă elementelor corespunzătoare ale rândului k, în care . (Dacă, fără excepție, toate elementele primei coloane a matricei A sunt zero, atunci determinantul său este zero prin a doua proprietate și nu este necesară nicio metodă Gaussiană). După o astfel de transformare, elementul „nou” va fi diferit de zero. Determinantul matricei „noii” va fi egal cu determinantul matricei originale datorită celei de-a șaptea proprietăți.

Acum avem o matrice care are . Când la elementele din al doilea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele celui de-al treilea rând, elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Și așa mai departe. În concluzie, la elementele din al n-lea rând, adăugăm elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu . Deci se va obține matricea transformată A, toate elementele primei coloane din care, cu excepția , vor fi zero. Determinantul matricei rezultate va fi egal cu determinantul matricei originale datorită proprietății a șaptea.

Să analizăm metoda atunci când rezolvăm un exemplu, astfel încât să fie mai clar.

Exemplu.

Calculați determinantul unei matrici de ordinul 5 cu 5 .

Soluţie.

Să folosim metoda Gauss. Să transformăm matricea A astfel încât toate elementele primei ei coloane, cu excepția , să devină zero.

Deoarece elementul este inițial , atunci adăugăm elementelor din primul rând al matricei elementele corespunzătoare, de exemplu, al doilea rând, deoarece:

Semnul „~” înseamnă echivalență.

Acum adăugăm elementelor din al doilea rând elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu , la elementele celui de-al treilea rând - elementele corespunzătoare din primul rând, înmulțite cu și procedați în mod similar până la a șasea linie:

Primim

cu matrice efectuăm aceeași procedură pentru obținerea zero elemente în prima coloană:

Prin urmare,

Acum efectuăm transformări cu matricea :

Cometariu.

La o anumită etapă a transformării matricei prin metoda Gauss, poate apărea o situație când toate elementele ultimelor câteva rânduri ale matricei devin zero. Acesta va vorbi despre egalitatea determinantului cu zero.

Rezuma.

Determinantul unei matrice pătrate ale cărei elemente sunt numere este un număr. Am luat în considerare trei moduri de a calcula determinantul:

1. prin suma produselor de combinații de elemente ale matricei;
2. prin extinderea determinantului de către elementele rândului sau coloanei matricei;
3. metoda de reducere a matricei la cea triunghiulară superioară (prin metoda Gauss).

Au fost obținute formule pentru calcularea determinanților matricilor de ordinul 2 cu 2 și 3 cu 3 .

Am analizat proprietățile determinantului matricei. Unele dintre ele vă permit să înțelegeți rapid că determinantul este zero.

La calcularea determinanților matricelor de ordin mai mare de 3 cu 3, se recomandă utilizarea metodei Gauss: efectuați transformări elementare ale matricei și aduceți-o la cea triunghiulară superioară. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul tuturor elementelor de pe diagonala principală.

Amintiți-vă teorema lui Laplace:
Teorema lui Laplace:

Fie k rânduri (sau k coloane) să fie alese în mod arbitrar în determinantul d de ordinul n, . Apoi, suma produselor tuturor minorilor de ordin k conținute în rândurile selectate și a complementelor lor algebrice este egală cu determinantul d.

Pentru a calcula determinanții în cazul general, k se ia egal cu 1. Adică, în determinantul d de ordinul n, se alege în mod arbitrar un rând (sau coloană). Apoi, suma produselor tuturor elementelor conținute în rândul (sau coloana) selectat și a complementelor lor algebrice este egală cu determinantul d.

Exemplu:
Calculați determinant

Soluţie:

Să alegem un rând sau o coloană arbitrară. Dintr-un motiv care va deveni evident puțin mai târziu, ne vom limita alegerea fie la al treilea rând, fie la a patra coloană. Și oprește-te la a treia linie.

Să folosim teorema lui Laplace.

Primul element al rândului selectat este 10, este în al treilea rând și în prima coloană. Să calculăm complementul algebric al acestuia, i.e. găsiți determinantul obținut prin ștergerea coloanei și rândului pe care se află acest element (10) și aflați semnul.

„plus dacă suma numerelor tuturor rândurilor și coloanelor în care se află M minor este pară și minus dacă această sumă este impară”.
Și am luat minorul constând dintr-un singur element 10, care se află în prima coloană a celui de-al treilea rând.

Asa de:


Al patrulea termen al acestei sume este 0, motiv pentru care merită să alegeți rânduri sau coloane cu numărul maxim de elemente zero.

Răspuns: -1228

Exemplu:
Calculați determinantul:

Soluţie:
Să alegem prima coloană, pentru că două elemente din el sunt egale cu 0. Să extindem determinantul din prima coloană.


Extindem fiecare dintre determinanții de ordinul trei în ceea ce privește primul și al doilea rând


Extindem fiecare dintre determinanții de ordinul doi din prima coloană


Răspuns: 48
Cometariu: la rezolvarea acestei probleme nu s-au folosit formule de calcul a determinanților ordinului 2 și 3. S-a folosit doar extinderea pe rând sau coloană. Ceea ce duce la scăderea ordinii determinanților.

Calculul determinanților n-a comanda:

Conceptul de determinant n-a comanda

Folosind acest articol despre determinanți, veți învăța cu siguranță cum să rezolvați probleme precum următoarele:

Rezolvați ecuația:

și multe altele pe care profesorii le place atât de mult să vină.

Determinantul matriceal sau pur și simplu determinantul joacă un rol important în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. În general, determinanții au fost inventați în acest scop. Deoarece se spune adesea și „determinantul unei matrice”, vom menționa și aici matrice. Matrice este un tabel dreptunghiular format din numere care nu pot fi schimbate. O matrice pătrată este un tabel care are același număr de rânduri și coloane. Doar o matrice pătrată poate avea un determinant.

Este ușor de înțeles logica scrierii determinanților după următoarea schemă. Să luăm un sistem de două ecuații cu două necunoscute cunoscute de la școală:

În determinant, coeficienții pentru necunoscute se scriu secvențial: în prima linie - din prima ecuație, în a doua linie - din a doua ecuație:

De exemplu, dacă i se oferă un sistem de ecuații

atunci se formează următorul determinant din coeficienții necunoscutelor:

Deci, să presupunem că ni se oferă un tabel pătrat format din numere aranjate în n rânduri (rânduri orizontale) și în n coloane (rânduri verticale). Cu ajutorul acestor numere, după niște reguli, pe care le vom studia mai jos, găsesc un număr, pe care îl numesc determinant n de ordinul al-lea și sunt notate după cum urmează:

(1)

Se numesc numere elemente determinant (1) (primul indice înseamnă numărul rândului, al doilea - numărul coloanei, la intersecția căreia se află un element; i = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). Ordinea unui determinant este numărul de rânduri și coloane ale acestuia.

O linie dreaptă imaginară care leagă elementele determinantului pentru care ambii indici sunt aceiași, i.e. elemente

numit diagonala principală, cealaltă diagonală este latură.

Calculul determinanților de ordinul doi și trei

Să arătăm cum se calculează determinanții primelor trei ordine.

Determinantul de ordinul întâi este elementul în sine, adică.

Cel de-al doilea determinant este numărul obținut după cum urmează:

, (2)

Produsul elementelor de pe diagonala principală și, respectiv, secundară.

Egalitatea (2) arată că produsul elementelor diagonalei principale se ia cu semnul său, iar produsul elementelor diagonalei secundare se ia cu semnul opus. .

Exemplul 1 Calculați determinanții de ordinul doi:

Soluţie. Prin formula (2) găsim:

Cel de-al treilea determinant este un număr obținut astfel:

(3)

Este greu de reținut această formulă. Cu toate acestea, există o regulă simplă numită regula triunghiului , ceea ce facilitează reproducerea expresiei (3). Notând elementele determinantului cu puncte, legăm prin segmente drepte pe acelea dintre ele care dau produsele elementelor determinantului (Fig. 1).

Formula (3) arată că produsele elementelor diagonalei principale, precum și elementele situate la vârfurile a două triunghiuri, ale căror baze sunt paralele cu aceasta, sunt luate cu semnele lor; cu cele opuse - produsele elementelor diagonalei secundare, precum și elementele situate la vârfurile a două triunghiuri care sunt paralele cu aceasta .

În Fig.1, diagonala principală și bazele triunghiurilor corespunzătoare acesteia și diagonala secundară și bazele triunghiurilor corespunzătoare acesteia sunt evidențiate cu roșu.

La calcularea determinanților, este foarte important, ca și în liceu, să ne amintim că un număr minus înmulțit cu un număr minus are ca rezultat un semn plus, iar un semn plus înmulțit cu un număr minus dă un număr cu semnul minus.

Exemplul 2 Calculați determinantul de ordinul trei:

Soluţie. Folosind regula triunghiurilor, obținem

Calculul determinanților n-a comanda

Extinderea pe rând sau pe coloană a determinantului

Pentru a calcula determinantul n de ordinul al-lea, este necesar să cunoașteți și să utilizați următoarea teoremă.

teorema lui Laplace. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând și a complementelor lor algebrice, i.e.

Definiție. Dacă în determinant n a alege în mod arbitrar p linii şi p coloane ( p < n), atunci elementele de la intersecția acestor rânduri și coloane formează o matrice de ordine.

Determinantul acestei matrice se numește minor determinant original. De exemplu, luați în considerare determinantul:

Să construim o matrice din rânduri și coloane cu numere pare:

Determinant

numit minor determinant . A primit un minor de ordinul doi. Este clar că diverși minori din primul, al doilea și al treilea ordin pot fi construiți.

Dacă luăm un element și tăiem rândul și coloana la intersecția cărora se află în determinant, atunci obținem un minor, numit minorul elementului, pe care îl notăm cu:

.

Dacă minorul este înmulțit cu , unde 3 + 2 este suma numerelor rândurilor și coloanelor la intersecția cărora se află elementul, atunci produsul rezultat se numește adunare algebrică element și este notat cu ,

În general, minorul unui element va fi notat cu , iar complementul algebric cu ,

(4)

De exemplu, să calculăm complementele algebrice ale elementelor și determinantul de ordinul trei:

Prin formula (4) obținem

La descompunerea unui determinant, se folosește adesea următoarea proprietate a determinantului n-a comanda:

dacă produsul elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană cu un factor constant este adăugat la elementele oricărui rând sau coloană, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Exemplul 4

Să scădem preliminar elementele celui de-al patrulea rând din primul și al treilea rând, apoi vom avea

În a patra coloană a determinantului obținut, trei elemente sunt zerouri. Prin urmare, este mai profitabilă extinderea acestui determinant prin elementele coloanei a patra, deoarece primele trei produse vor fi zero. De aceea

Puteți verifica soluția cu calculator determinant online .

Și următorul exemplu arată cum calculul determinantului oricărui ordin (în acest caz, al patrulea) poate fi redus la calculul determinantului de ordinul doi.

Exemplul 5 Calculați determinantul:

Să scădem elementele primului rând din al treilea rând și să adăugăm elementele primului rând la elementele celui de-al patrulea rând, apoi vom avea

În prima coloană, toate elementele, cu excepția primului, sunt zerouri. Adică, determinantul poate fi deja descompus în prima coloană. Dar chiar nu vrem să calculăm determinantul de ordinul trei. Prin urmare, vom face mai multe transformări: la elementele din al treilea rând adăugăm elementele celui de-al doilea rând, înmulțite cu 2, iar din elementele din al patrulea rând scădem elementele celui de-al doilea rând. Ca urmare, determinantul, care este un complement algebric, poate fi el însuși extins în prima coloană și va trebui doar să calculăm determinantul de ordinul doi și să nu ne confundam în semne:

Aducerea determinantului într-o formă triunghiulară

Un determinant în care toate elementele aflate pe o parte a uneia dintre diagonale sunt egale cu zero se numește triunghiular. Cazul diagonalei secundare se reduce la cazul diagonalei principale prin inversarea ordinii rândurilor sau coloanelor. Un astfel de determinant este egal cu produsul elementelor diagonalei principale.

Pentru a reduce la o formă triunghiulară, se folosește aceeași proprietate a determinantului n a treia ordine, pe care am folosit-o în paragraful anterior: dacă adăugăm produsul elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând sau coloană cu un factor constant la elementele oricărui rând sau coloană, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Puteți verifica soluția cu calculator determinant online .

Proprietăți determinante n-a comanda

În cele două paragrafe precedente, am folosit deja una dintre proprietățile determinantului n-a ordine. În unele cazuri, pentru a simplifica calculul determinantului, puteți utiliza alte proprietăți importante ale determinantului. De exemplu, se poate reduce un determinant la suma a doi determinanți, unul sau ambii putând fi extins convenabil de-a lungul unui rând sau coloană. Există o mulțime de cazuri de astfel de simplificare, iar chestiunea utilizării uneia sau alteia proprietăți a determinantului ar trebui decisă individual.

1. Teorema de descompunere:

Orice determinant este egal cu suma produselor perechilor elementelor oricărei serii și a complementelor lor algebrice.

Pentru eu- a linia:

sau pentru j-a coloană:

Exemplul 7.1. Calculați determinantul extinzându-se peste elementele primului rând:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Teorema de descompunere ne permite să înlocuim calculul unui determinant n- calculul ordinului n determinanti ( n- 1) ordinul.

Cu toate acestea, pentru a simplifica calculele, este recomandabil să folosiți metoda „înmulțirii zerourilor” pentru determinanții de ordine înaltă, bazată pe proprietatea 6 din secțiunea 5. Ideea sa este:

În primul rând, „înmulțiți zerourile” pe un rând, de exemplu. obțineți o serie în care un singur element nu este egal cu zero, restul sunt zerouri;

Apoi extindeți determinantul asupra elementelor acestei serii.

Prin urmare, pe baza teoremei de descompunere, determinantul inițial este egal cu produsul unui element diferit de zero și complementul său algebric.

Exemplul 7.2. Calculați determinantul:

.

„înmulțiți zerourile” în prima coloană.

Din al doilea rând îl scadem pe primul înmulțit cu 2, din al treilea rând îl scadem pe primul înmulțit cu 3, iar din al patrulea rând îl scadem pe primul înmulțit cu 4. Cu astfel de transformări, valoarea determinantului nu se va modifica.

Conform proprietății 4 din secțiunea 5, putem scoate semnul determinant din coloana 1, din coloana a 2-a și din coloana a 3-a.

Consecinţă: Un determinant cu o serie zero este egal cu zero.

2. Teorema de substituție:

Suma produselor perechi ale oricăror numere și a complementelor algebrice ale unei anumite serii ale unui determinant este egală cu determinantul care se obține din cel dat dacă elementele acestei serii sunt înlocuite în ea cu numerele luate.

Pentru linia -a:

1. Teorema de anulare:

Suma produselor perechi ale elementelor oricărei serii și a complementelor algebrice ale unei serii paralele este egală cu zero.

Într-adevăr, prin teorema substituției, obținem un determinant pentru care k-a linie conține aceleași elemente ca în i-a linia

Dar prin proprietatea 3 din secțiunea 5, un astfel de determinant este egal cu zero.

Astfel, teorema de descompunere și corolarele sale pot fi scrise după cum urmează:

8. Informații generale despre matrici. Definiții de bază.

Definiție 8.1 . Matrice numit următorul tabel dreptunghiular:

De asemenea, sunt utilizate următoarele denumiri de matrice: , sau sau .

Rândurile și coloanele unei matrice sunt denumite rânduri.

Valoarea este numită mărimea matrici.

Dacă schimbăm rânduri și coloane într-o matrice, obținem o matrice numită transpus. Matrice transpusă cu , de obicei notat cu simbolul .

De exemplu:

Definiție 8.2. Două matrice AȘi B numit egal, Dacă

1) ambele matrice sunt de aceeași dimensiune, adică Și ;

2) toate elementele lor corespondente sunt egale, i.e.

Apoi . (8,2)

Aici o egalitate de matrice (8.2) este echivalentă cu egalitățile scalare (8.1).

9. Soiuri de matrice.

1) Se numește o matrice, ale cărei toate elementele sunt egale cu zero matrice nulă:

2) Dacă matricea constă dintr-un singur rând, atunci se numește matrice de rânduri, De exemplu . În mod similar, se numește o matrice care are o singură coloană matricea coloanei, De exemplu .

Transpunerea transformă o matrice de coloană într-o matrice de rând și invers.

3) Dacă m=n, atunci matricea este numită matrice pătrată de ordinul al n-lea.

Diagonala termenilor unei matrice pătrate, mergând din colțul din stânga sus până la colțul din dreapta jos, se numește principal. Cealaltă diagonală a membrilor săi, mergând de la colțul din stânga jos până la colțul din dreapta sus, este numită latură.

Pentru o matrice pătrată, determinantul poate fi calculat det(A).