În acest articol, ne vom opri asupra conceptului de produs încrucișat a doi vectori. Vom da definițiile necesare, vom scrie o formulă pentru găsirea coordonatelor unui produs vectorial, vom enumera și vom justifica proprietățile acestuia. După aceea, ne vom opri asupra semnificației geometrice a produsului încrucișat a doi vectori și vom lua în considerare soluțiile diferitelor exemple tipice.

Navigare în pagină.

Definiția unui produs vectorial.

Înainte de a da o definiție a unui produs încrucișat, să ne ocupăm de orientarea unui triplu ordonat de vectori în spațiul tridimensional.

Să amânăm vectorii dintr-un punct. În funcție de direcția vectorului, triplul poate fi la dreapta sau la stânga. Să vedem de la sfârșitul vectorului cum cea mai scurtă viraj de la vector la . Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci se numește triplul vectorilor dreapta, in caz contrar - stânga.

Acum să luăm doi vectori necoliniari și . Lăsați vectorii deoparte și din punctul A. Să construim un vector care este perpendicular pe și și în același timp. Evident, atunci când construim un vector, putem face două lucruri, oferindu-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

În funcție de direcția vectorului, triplul ordonat al vectorilor poate fi dreapta sau stânga.

Deci ne-am apropiat de definiția unui produs vectorial. Este dat pentru doi vectori dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiție.

Produs vectorial al doi vectoriși , dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se numește vector astfel încât

Produsul încrucișat al vectorilor și este notat ca .

Coordonatele produsului vectorial.

Acum dăm a doua definiție a unui produs vectorial, care ne permite să găsim coordonatele acestuia din coordonatele vectorilor dați și.

Definiție.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs încrucișat a doi vectori Și este un vector, unde sunt vectori de coordonate.

Această definiție ne oferă produsul încrucișat sub formă de coordonate.

Este convenabil să se reprezinte produsul vectorial ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul al treilea, al cărei prim rând este ortele, al doilea rând conține coordonatele vectorului, iar al treilea rând conține coordonatele vectorului în un sistem de coordonate dreptunghiular dat:

Dacă extindem acest determinant cu elementele primului rând, atunci obținem egalitate din definiția produsului vectorial în coordonate (dacă este necesar, consultați articolul):

Trebuie remarcat faptul că forma coordonată a produsului încrucișat este pe deplin conformă cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Mai mult, aceste două definiții ale unui produs încrucișat sunt echivalente. Dovada acestui fapt poate fi găsită în cartea indicată la finalul articolului.

Proprietățile produsului vectorial.

Deoarece produsul vectorial în coordonate poate fi reprezentat ca determinant al matricei , următoarele pot fi fundamentate cu ușurință pe baza proprietățile produsului vectorial:

Ca exemplu, să demonstrăm proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

A-prioriu Și . Știm că valoarea determinantului unei matrice este inversată atunci când două rânduri sunt schimbate, deci, , care demonstrează proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial.

Produs vectorial - exemple și soluții.

Practic, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, sunt date lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei și este necesar să se găsească lungimea produsului încrucișat. În acest caz, se utilizează formula .

Exemplu.

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor și dacă este cunoscut .

Soluţie.

Știm din definiție că lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu produsul lungimilor vectorilor și multiplicat cu sinusul unghiului dintre ei, prin urmare, .

Răspuns:

.

Sarcinile de al doilea tip sunt asociate cu coordonatele vectorilor, în care produsul vectorial, lungimea acestuia sau altceva este căutat prin coordonatele vectorilor dați Și .

Există multe opțiuni diferite disponibile aici. De exemplu, nu coordonatele vectorilor și , ci expansiunile lor în vectori de coordonate ai formei și , sau vectori și pot fi specificate prin coordonatele punctelor lor de început și de sfârșit.

Să luăm în considerare exemplele tipice.

Exemplu.

Doi vectori sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular . Găsiți produsul lor vectorial.

Soluţie.

Conform celei de-a doua definiții, produsul încrucișat a doi vectori în coordonate este scris astfel:

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi scris produsul vectorial prin determinant

Răspuns:

.

Exemplu.

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor și , unde sunt ortele sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie.

Mai întâi, găsiți coordonatele produsului vectorial într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Deoarece vectorii și au coordonatele și respectiv (dacă este necesar, a se vedea coordonatele articolului unui vector într-un sistem de coordonate dreptunghiular), atunci conform celei de-a doua definiții a unui produs încrucișat, avem

Adică produsul vectorial are coordonate în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea unui produs vectorial ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale (am obținut această formulă pentru lungimea unui vector în secțiunea privind găsirea lungimii unui vector):

Răspuns:

.

Exemplu.

Coordonatele a trei puncte sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector care este perpendicular pe și în același timp.

Soluţie.

Vectori și au coordonatele și, respectiv (vezi articolul găsirea coordonatelor unui vector prin coordonatele punctelor). Dacă găsim produsul încrucișat al vectorilor și , atunci prin definiție este un vector perpendicular atât pe cât și pe, adică este soluția problemei noastre. Să-l găsim

Răspuns:

este unul dintre vectorii perpendiculari.

În sarcinile de al treilea tip, se verifică abilitățile de utilizare a proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea proprietăților, se aplică formulele corespunzătoare.

Exemplu.

Vectorii și sunt perpendiculari, iar lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului vectorial .

Soluţie.

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie

În virtutea proprietății asociative, scoatem coeficienții numerici pentru semnul produselor vectoriale din ultima expresie:

Produse vectoriale și sunt egale cu zero, deoarece Și , Apoi .

Deoarece produsul vectorial este anticomutativ, atunci .

Deci, folosind proprietățile produsului vectorial, am ajuns la egalitate .

Prin condiție, vectorii și sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu . Adică avem toate datele pentru a găsi lungimea necesară

Răspuns:

.

Sensul geometric al produsului vectorial.

Prin definiție, lungimea produsului încrucișat al vectorilor este . Și din cursul de geometrie din liceu, știm că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale triunghiului și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, lungimea produsului încrucișat este egală cu dublul aria unui triunghi cu laturile vectorilor și , dacă acestea sunt amânate dintr-un punct. Cu alte cuvinte, lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu aria unui paralelogram cu laturile și și un unghi între ele egal cu . Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.

Testul nr. 1

Vectori. Elemente de algebră superioară

1-20. Lungimile vectorilor și și sunt cunoscute; este unghiul dintre acești vectori.

Calculați: 1) și, 2) .3) Aflați aria unui triunghi construit pe vectorii și.

Faceți un desen.

Soluţie. Folosind definiția produsului scalar al vectorilor:

Și proprietățile produsului scalar: ,

1) găsiți pătratul scalar al vectorului:

adică Atunci .

Argumentând în mod similar, obținem

adică Atunci .

Prin definiția unui produs vectorial: ,

tinand cont de faptul ca

Aria unui triunghi construit pe vectori și este egală cu

21-40. Sunt cunoscute coordonatele a trei vârfuri A, B, D paralelogram ABCD. Cu ajutorul algebrei vectoriale, aveți nevoie de:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Soluţie.

Se știe că diagonalele unui paralelogram în punctul de intersecție sunt împărțite la jumătate. Prin urmare, coordonatele punctului E- intersecțiile diagonalelor - găsiți ca coordonatele mijlocului segmentului BD. Indicându-le cu X E ,y E , z Eînţelegem asta

Primim .

Cunoscând coordonatele punctului E- puncte medii diagonale BDși coordonatele unuia dintre capete ale acestuia A(3;0;-7), prin formule determinăm coordonatele dorite ale vârfului CU paralelogram:

Deci partea de sus.

2) Pentru a găsi proiecția unui vector pe un vector , găsim coordonatele acestor vectori: ,

la fel . Proiecția unui vector pe un vector, găsim prin formula:

3) Unghiul dintre diagonalele paralelogramului se găsește ca unghi între vectori

Și prin proprietatea produsului scalar:

Apoi

4) Aria paralelogramului se găsește ca modul al produsului vectorial:

5) Volumul piramidei se găsește ca o șesime din modulul produsului mixt al vectorilor , unde O(0;0;0), atunci

Apoi volumul dorit (unități cubice)

41-60. Date matrice:

V C -1 +3A T

Denumiri:

În primul rând, găsim inversul matricei C.

Pentru a face acest lucru, găsim determinantul său:

Determinantul este diferit de zero, prin urmare, matricea este nesingulară și pentru aceasta puteți găsi matricea inversă C -1

Să găsim complemente algebrice prin formula , unde este minorul elementului:

Apoi , .

61–80. Rezolvați sistemul de ecuații liniare:

metoda lui Cramer; 2. Metoda matricei.

Soluţie.

a) metoda lui Cramer

Să găsim determinantul sistemului

Din , sistemul are o soluție unică.

Aflați determinanții și , înlocuind prima, a doua, a treia coloană din matricea coeficienților, respectiv, cu o coloană de membri liberi.

Conform formulelor lui Cramer:

b)metoda matricei (folosind matricea inversă).

Scriem acest sistem sub formă de matrice și îl rezolvăm folosind matricea inversă.

Lăsa A este matricea coeficienților pentru necunoscute; X este matricea coloanei de necunoscute X, y, zȘi H este o matrice coloane de membri liberi:

Partea stângă a sistemului (1) poate fi scrisă ca un produs de matrice, iar partea dreaptă ca o matrice H. Prin urmare, avem ecuația matriceală

Deoarece determinantul matricei A este diferit de zero (elementul „a”), apoi matricea A are o matrice inversă. Înmulțind ambele părți ale egalității (2) din stânga cu matricea , obținem

De unde E este matricea identității și , atunci

Să avem o matrice nesingulară A:

Atunci matricea inversă se găsește prin formula:

Unde A ij- complement algebric al unui element A ijîn determinant matriceal A, care este produsul dintre (-1) i+j și minorul (determinant) n-1 ordine obtinuta prin stergere i-a linii şi j-a coloane din determinantul matricei A:

De aici obținem matricea inversă:

Coloana X: X=A -1 H

81–100. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Soluţie. Scriem sistemul sub forma unei matrice extinse:

Efectuăm transformări elementare cu șiruri.

Din al 2-lea rând scădem primul rând înmulțit cu 2. Din rândul 3 scădem primul rând înmulțit cu 4. Din rândul 4 scădem primul rând, obținem matricea:

În continuare, obținem zero în prima coloană a rândurilor următoare, pentru aceasta scădem al treilea rând din al doilea rând. Din al treilea rând scădem al doilea rând înmulțit cu 2. Din al patrulea rând scădem al doilea rând înmulțit cu 3. Ca rezultat, obținem o matrice de forma:

Scădeți a treia din a patra linie.

Schimbați penultimul și ultimul rând:

Ultima matrice este echivalentă cu sistemul de ecuații:

Din ultima ecuație a sistemului găsim .

Înlocuind în penultima ecuație, obținem .

Din a doua ecuație a sistemului rezultă că

Din prima ecuație găsim x:

Răspuns:

Examenul nr. 2

Geometrie analitică

1-20. Având în vedere coordonatele vârfurilor triunghiului ABC. Găsi:

1) lungimea laterală AÎN;

2) ecuații laterale ABȘi soareși pantele acestora;

3) unghi ÎNîn radiani până la două zecimale;

4) ecuația înălțimii CD si lungimea acestuia

5) ecuația mediană AE

înălţime CD;

LA paralel cu latura AB,

7) faceți un desen.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Soluţie.

Aplicând (1), găsim lungimea laturii AB:

2) ecuații laterale ABȘi soareși pantele lor:

Ecuația unei drepte care trece prin puncte și are forma

Înlocuind în (2) coordonatele punctelor AȘi ÎN, obținem ecuația laterală AB:

(AB).

(î.Hr).

3) unghi ÎNîn radiani până la două zecimale.

Se știe că tangenta unghiului dintre două drepte, ai căror coeficienți de pantă sunt, respectiv, egali și se calculează prin formula

Unghiul dorit ÎN format prin direct ABȘi soare, ai caror coeficienti unghiulari se gasesc: ; . Aplicând (3), obținem

; , sau

4) ecuația înălțimii CD si lungimea acestuia.

Distanța de la punctul C la linia AB:

5) ecuația mediană AE iar coordonatele punctului K de intersectie a acestei mediane cu

înălţime CD.

mijlocul BC:

Atunci ecuația AE:

Rezolvam sistemul de ecuatii:

6) ecuația unei drepte care trece printr-un punct LA paralel cu latura AB:

Deoarece linia dorită este paralelă cu latura AB, atunci panta sa va fi egală cu panta dreptei AB. Înlocuind în (4) coordonatele punctului găsit LAși coeficientul unghiular, obținem

; (CE FACI).

Aria unui paralelogram este de 12 metri pătrați. unități, două dintre vârfurile sale sunt puncte A(-1;3)Și B(-2;4). Găsiți alte două vârfuri ale acestui paralelogram dacă se știe că punctul de intersecție al diagonalelor sale se află pe axa x. Faceți un desen.

Soluţie. Fie punctul de intersecție al diagonalelor să aibă coordonate.

Atunci este evident că

de unde coordonatele vectorilor .

Aria unui paralelogram este găsită prin formula

Atunci coordonatele celorlalte două vârfuri sunt .

În problemele 51-60, coordonatele punctelor A și B. Necesar:

Scrieți ecuația canonică a unei hiperbole care trece prin puncte date A și B dacă focarele hiperbolei sunt situate pe axa x;

Găsiți semiaxele, focarele, excentricitatea și ecuațiile asimptotelor acestei hiperbole;

Aflați toate punctele de intersecție ale unei hiperbole cu un cerc centrat la origine dacă acest cerc trece prin focarele hiperbolei;

Construiți o hiperbolă, asimptotele acesteia și un cerc.

A(6;-2), B(-8;12).

Soluţie. Se scrie ecuația hiperbolei dorite în forma canonică

Unde A este semiaxa reală a hiperbolei, b- axă imaginară. Înlocuirea coordonatelor punctului AȘi ÎNîn această ecuație găsim aceste semiaxe:

- ecuaţia hiperbolei: .

Semiaxele a=4,

Focali de distanță focală (-8,0) și (8,0)

Excentricitate

Aciptote:

Dacă cercul trece prin origine, ecuația sa

Înlocuind unul dintre focare, găsim și ecuația cercului

Găsiți punctele de intersecție ale hiperbolei și cercului:

Construirea unui desen:

În problemele 61-80 graficați funcția în sistemul de coordonate polar prin puncte, dând valori  prin intervalul  /8 (0   2). Găsiți ecuația dreptei într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare (semiaxa pozitivă a abscisei coincide cu axa polară, iar polul coincide cu originea).

Soluţie. Să construim o linie cu puncte, completând anterior tabelul de valori și φ.

Număr	φ ,	φ, grade			Număr	φ , bucuros	grade
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 concluzionăm că această ecuație definește o elipsă: Puncte date A,ÎN , C, D . Necesar pentru a găsi: 1. Ecuația planului (Q), trecând prin puncte A, B, C D in avion (Q); 2. Ecuația unei drepte (eu) trecând prin puncte ÎNși D; 3. Unghiul dintre plan (Q) si direct (eu); 4. Ecuația planului (R), trecând printr-un punct A perpendicular pe linie (eu); 5. Unghiul dintre planuri (R)Și (Q) ; 6. Ecuația unei drepte (T), trecând printr-un punct Aîn direcția vectorului său de rază; 7. Unghiul dintre liniile drepte (eu)Și (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Ecuația planului (Q), trecând prin puncte A, B, Cși verificați dacă este punctul Dîn plan este determinată de formula Găsiţi : 1) . 2) Pătrat paralelogram, construit peȘi. 3) Volumul paralelipipedului, construit pe vectori, Și. Control Loc de munca pe această temă " Elemente teoria spatiilor liniare... Orientări pentru implementarea testelor pentru cursurile de licență prin corespondență pentru calificarea 080100. 62 în direcția Instrucțiuni Paralepipedul și volumul piramidei, construit pe vectori, Și. Rezolvare: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. SARCINI PENTRU CONTROL LUCRĂRI Secţiunea I. Linear algebră. 1 – 10. Dana...

În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Este gresit. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este A NU GREȘI CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei mingi. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Reamintim una dintre formulele geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât în ​​problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii , adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca urmare deget mare- produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate aveți o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci Și . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector și însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate pătrat paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important în termeni practici. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

Este timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresiile vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschideți parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, dat în baza ortonormală , este exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor pe a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometric și câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne afundăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

A-prioriu produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. În termeni simpli, produsul mixt poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.