numere în formă trigonometrică.

Formula De Moivre

Fie z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) și z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Forma trigonometrică a unui număr complex este convenabilă de utilizat pentru a efectua operațiile de înmulțire, împărțire, ridicare la o putere întreagă și extragerea unei rădăcini de gradul n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

La înmulțirea a două numere complexeîn formă trigonometrică, modulele lor sunt înmulțite și argumentele lor sunt adăugate. La împărțire modulele lor sunt împărțite și argumentele lor sunt scăzute.

O consecință a regulii de înmulțire a unui număr complex este regula de ridicare a unui număr complex la o putere.

z = r(cos  + i sin ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Acest raport se numește formula lui De Moivre.

Exemplul 8.1 Găsiți produsul și câtul numerelor:

Și

Soluţie

z1∙z2
∙

=

;

Exemplul 8.2 Scrieți un număr în formă trigonometrică

∙
-i) 7 .

Soluţie

Denota
și z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

§ 9 Extragerea rădăcinii unui număr complex

Definiție. rădăcinănputerea a unui număr complex z (indicând
) este un număr complex w astfel încât w n = z. Dacă z = 0, atunci
= 0.

Fie z  0, z = r(cos + isin). Notăm w = (cos + sin), apoi scriem ecuația w n = z sub următoarea formă

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Prin urmare  n = r,

 =

Astfel w k =
·
.

Există exact n valori distincte printre aceste valori.

Prin urmare, k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui n-gon regulat înscris într-un cerc cu o rază
centrat în punctul O (Figura 12).

Figura 12

Exemplul 9.1 Găsiți toate valorile
.

Soluţie.

Să reprezentăm acest număr în formă trigonometrică. Găsiți modulul și argumentul acestuia.

w k =
, unde k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Pe planul complex, aceste puncte sunt vârfurile unui pătrat înscris într-un cerc cu rază
centrat la origine (Figura 13).

Figura 13 Figura 14

Exemplul 9.2 Găsiți toate valorile
.

Soluţie.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, unde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

Pe plan complex, aceste puncte sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza 2 centrat în punctul O (0; 0) - Figura 14.

§ 10 Forma exponenţială a unui număr complex.

Formula lui Euler

Denota
= cos  + isin  și
= cos  - isin  . Aceste rapoarte se numesc Formule Euler .

Funcţie
are proprietățile obișnuite ale unei funcții exponențiale:

Să se scrie numărul complex z în forma trigonometrică z = r(cos + isin).

Folosind formula lui Euler, putem scrie:

z = r
.

Această intrare este numită forma indicativa număr complex. Folosind-o, obținem regulile pentru înmulțire, împărțire, exponențiere și extragerea rădăcinilor.

Dacă z 1 = r 1
și z 2 = r 2
?Acea

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, unde k = 0, 1, … , n – 1.

Exemplul 10.1 Scrieți un număr în formă algebrică

z=
.

Soluţie.

Exemplul 10.2 Rezolvați ecuația z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.

Soluţie.

Pentru orice coeficienți complexi, această ecuație are două rădăcini z 1 și z 1 (posibil care coincid). Aceste rădăcini pot fi găsite folosind aceeași formulă ca în cazul real. Deoarece
ia două valori care diferă doar prin semn, atunci această formulă are forma:

Deoarece –9 \u003d 9 e  i, atunci valorile
numerele vor fi:

Apoi
Și
.

Soluţie.

Rădăcinile dorite ale ecuației vor fi valorile
.

Pentru z = –1 avem r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Exerciții

9 Prezentați în formă exponențială numerele:

10 Scrieți în forme exponențiale și algebrice ale numărului:

11 Scrieți în forme algebrice și geometrice numerele:

12 Numerele date

Prezentându-le în formă exponențială, găsiți
.

13 Folosind forma exponențială a unui număr complex, faceți următoarele:

A)
b)

V)
G)

Cuși numărul natural n 2 .

Număr complex Z numit rădăcinăn– c, Dacă Z n = c.

Găsiți toate valorile rădăcinilor n– gradul de la un număr complex Cu. Lăsa c=| c|·(cos Arg c+ i· păcat ArgCu), A Z = | Z|·(cuos Arg Z + i· păcat Arg Z) , Unde Z rădăcină n- gradul de la un număr complex Cu. Atunci trebuie să fie = c = | c|·(cos Arg c+ i· păcat ArgCu). De aici rezultă că
Și n· Arg Z = ArgCu
Arg Z =
(k=0,1,…) . Prin urmare, Z =
(cos
+ i· păcat
), (k=0,1,…) . Este ușor de observat că oricare dintre valori
, (k=0,1,…) diferit de una dintre valorile corespunzătoare
,(k = 0,1,…, n-1) la un multiplu 2π. De aceea , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplu.

Calculați rădăcina lui (-1).

, evident |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + i· păcat π )

, (k = 0, 1).

= i

Gradul cu exponent rațional arbitrar

Luați un număr complex arbitrar Cu. Dacă n numărul natural, deci Cu n = | c| n ·(Cuos nArgcu +i· păcat nArgCu)(6). Această formulă este valabilă și în cazul respectiv n = 0 (c≠0)
. Lăsa n < 0 Și n ZȘi c ≠ 0, Apoi

Cu n =
(cos nArgCu+i sin nArgCu) = (cos nArgCu+ i sin nArgCu) . Astfel, formula (6) este valabilă pentru oricare n.

Să luăm un număr rațional , Unde q număr natural și R este un număr întreg.

Apoi sub grad c r hai sa intelegem numarul
.

Înțelegem asta ,

(k = 0, 1, …, q-1). Aceste valori q bucăți, dacă fracția nu este redusă.

Cursul №3 Limita unei succesiuni de numere complexe

Se numește o funcție cu valori complexe a unui argument natural succesiune de numere complexeși notat (Cu n ) sau Cu 1 , Cu 2 , ..., Cu n . Cu n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) numere complexe.

Cu 1 , Cu 2 , … - membrii secvenței; Cu n - membru comun

Număr complex Cu = A+ b· i numit limita unei secvențe de numere complexe (c n ) , Unde Cu n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , unde pentru orice

, asta pentru toti n > N inegalitatea
. Se numește o secvență care are o limită finită convergente secvenţă.

Teorema.

Pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) (Cu n = a n + b n · i) converg către un număr cu = A+ b· i, este necesar și suficient pentru egalitatelim A n = A, lim b n = b.

Dovada.

Vom demonstra teorema pe baza următoarei inegalități duble evidente

, Unde Z = X + y· i (2)

Necesitate. Lăsa lim(Cu n ) = cu. Să arătăm că egalitățile lim A n = AȘi lim b n = b (3).

Evident (4)

Deoarece
, Când n → ∞ , atunci rezultă din partea stângă a inegalității (4) că
Și
, Când n → ∞ . prin urmare, egalitățile (3) sunt valabile. Necesitatea a fost dovedită.

Adecvarea. Acum să fie valabile egalitățile (3). Din egalitate (3) rezultă că
Și
, Când n → ∞ , prin urmare, din cauza părții drepte a inegalității (4), va fi
, Când n→∞ , Mijloace lim(Cu n )=s. Suficiența a fost dovedită.

Deci, problema convergenței unei secvențe de numere complexe este echivalentă cu convergența a două secvențe de numere reale, prin urmare, toate proprietățile de bază ale limitelor secvențelor de numere reale se aplică șirurilor de numere complexe.

De exemplu, pentru secvențe de numere complexe, criteriul Cauchy este valabil: pentru o succesiune de numere complexe (cu n ) convergentă, este necesar și suficient ca pentru orice

, asta pentru oricen, m > Ninegalitatea
.

Teorema.

Fie o succesiune de numere complexe (cu n ) Și (z n ) converg respectiv cu şiz, apoi egalitatealim(Cu n z n ) = c z, lim(Cu n · z n ) = c· z. Dacă se ştie cu certitudine căznu este egal cu 0, atunci egalitatea
.