VECTORI
Vectori numite obiecte matematice ( A, b, c, …), pentru care sunt definite două operații algebrice:
adăugarea a doi vectori a+b=c
înmulțirea unui vector cu un număr a a = b.
Cea mai semnificativă caracteristică a acestor operații este că ele rezultă întotdeauna într-un vector de același tip cu vectorii originali. Prin urmare, având un set inițial de vectori, îl putem extinde treptat, adică. obține din ce în ce mai mulți vectori noi, aplicând la vectorii deja existenți operațiile de adunare și înmulțire cu un număr. În final, vom ajunge la un astfel de set de vectori care nu se vor mai extinde, adică. se dovedeşte a fi închis faţă de operaţiunile indicate. Un astfel de set de vectori se numește spațiu vectorial.
Dacă, la efectuarea acestor operații, suplimentar conditii de liniaritate :
A( a+b)= A un + A b
(A + b) a = A un + b b
atunci se numește spațiul rezultat liniar spaţiu (LP) sau vector liniar spaţiu (HDL). LCS poate servi, împreună cu grupurile de simetrie, ca un alt exemplu de structuri matematice care sunt seturi închise de obiecte de același tip și ordonate într-un anumit mod (cu ajutorul operațiilor algebrice).
Combinații liniare
Având operațiile de adunare a vectorilor și înmulțirea lor cu numere, este posibil să se construiască o construcție mai complexă de tipul:
A un + b b+ g c + ..... = x
Care e numit combinație liniară vectori (LC). a, b, c,. . . cu coeficienții a, b, g, . . . , respectiv.
Conceptul de LC ne permite să formulăm câteva reguli generale:
· orice LC al oricăror vectori ai unor LP este, de asemenea, un vector al aceluiași LP;
orice vector al unor LP poate fi reprezentat ca un LC al mai multor vectori ai aceluiași LP;
în orice LP există un astfel de set distins de vectori numit set de bază (sau pur și simplu bază ) că toți, fără excepție, vectorii acestui LP pot fi reprezentați ca combinații liniare ale acestor vectori de bază selectați. O condiție importantă este impusă vectorilor aleși ca bază: trebuie să fie liniar independentîntre ele (nu trebuie exprimate unul prin altul, adică: X≠a × y).
Aceste reguli fac posibilă introducerea unui mod special de descriere a oricărui LP. Alegem un set de bază și extindem toți vectorii de interes pentru noi în această bază (adică îi reprezentăm sub formă de vectori de bază LK); atunci fiecare vector poate fi specificat în mod unic prin intermediul unui set de coeficienți LC corespunzători vectorului dat. Astfel de coeficienți se numesc coordonate vector (în raport cu baza dată). Subliniem că coordonatele unui vector sunt numere obișnuite, iar reprezentarea în coordonate a unui vector ne permite să-l descriem doar prin intermediul unui set de numere, indiferent de semnificația fizică specifică pe care o punem conceptului de vector.
Să luăm în considerare un exemplu concret. Să presupunem că avem un set de amestecuri diferite de două substanțe chimice pure: apă și alcool. Dintre toate amestecurile posibile, le evidențiem două speciale:
1) amestec S1 conținând 100% apă și 0% alcool;
2) amestec S2 conţinând 0% apă şi 100% alcool.
Este clar că un amestec arbitrar poate fi reprezentat ca un LC al acestor două amestecuri de bază:
S = n 1 * S1 + n 2 * S2
și caracterizați-l complet cu doar două numere-coordonate: n 1 și n 2. Cu alte cuvinte, având în vedere setul de bază, putem stabili echivalența unui amestec chimic arbitrar și a unui set de numere:
S~ {n 1 , n 2 }.
Acum este suficient să înlocuim cuvântul chimic specific „amestec” cu termenul matematic abstract „vector” pentru a obține un model HDL care descrie setul de amestecuri a două substanțe.
3.3. Independența liniară a vectorilor. Bază.Liniar combinaţie sisteme vectoriale
numit vector
unde a 1 , a 2 , ..., a n - numere arbitrare.
Dacă tot un i = 0, atunci se numește combinația liniară banal . În acest caz, evident
Definiția 5.
|
Dacă pentru un sistem de vectori
există o combinație liniară non-trivială (cel puțin una a i ¹ 0) egal cu vectorul zero: atunci se numeste sistemul de vectori liniar dependent. Dacă egalitatea (1) este posibilă numai dacă toate un i =0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent . |
Teorema 2 (Condiții de dependență liniară).
Definiția 6.
Din teorema 3 rezultă că, dacă o bază este dată în spațiu, apoi adăugându-i un vector arbitrar, obținem un sistem de vectori dependent liniar. În conformitate cu Teorema 2 (1) , unul dintre ele (se poate arăta că vectorul ) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a restului:
.
Definiția 7.
|
Numerele numit coordonate vectori în bază (notat
|
Dacă vectorii sunt considerați pe un plan, atunci baza va fi o pereche ordonată de vectori necoliniari
iar coordonatele vectorului din această bază sunt o pereche de numere:
Observația 3. Se poate arăta că pentru o bază dată, coordonatele vectorului sunt determinate în mod unic . Din aceasta, în special, rezultă că dacă vectorii sunt egali, atunci coordonatele lor corespunzătoare sunt egale și invers .
Astfel, dacă o bază este dată în spațiu, atunci fiecărui vector al spațiului îi corespunde un triplu ordonat de numere (coordonate vectoriale în această bază) și invers: fiecărui triplu de numere îi corespunde un vector.
Pe plan se stabilește o corespondență similară între vectori și perechi de numere.
Teorema 4 (Operații liniare prin coordonatele vectorilor).
|
Dacă într-o anumită bază Și A este un număr arbitrar, atunci în această bază |
Cu alte cuvinte:
când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr ;
când se adaugă vectori, se adaugă coordonatele corespunzătoare .
Exemplul 1 . În anumite baze, vectoriiau coordonate
Arătați că vectorii formează o bază și găsiți coordonatele vectorului în această bază.
Vectorii formează o bază dacă nu sunt coplanari, prin urmare (conform Teorema 3(2) ) sunt liniar independente.
Prin definiție 5 aceasta înseamnă că egalitatea
posibil doar atunci cândX = y = z = 0.
O combinație liniară de vectori de la se numește vector st la . Este clar că o combinație liniară de combinații liniare de vectori este din nou o combinație liniară a acestor vectori.
Un set de vectori se numește liniar independent dacă egalitatea este posibilă numai pentru . Dacă, totuși, există și care nu sunt egali cu zero în același timp și astfel încât st - 0, atunci mulțimea de vectori se numește dependentă liniar. Aceste definiții sunt aceleași cu cele date la pagina 108 pentru șiruri.
Propoziția 1. O colecție de vectori este dependentă liniar dacă și numai dacă unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți.
Propoziția 2. Dacă colecția de vectori este liniar independentă, iar colecția este liniar dependentă, atunci vectorul este o combinație liniară de vectori
Propoziția 3. Dacă vectorii sunt combinații liniare de vectori , atunci mulțimea este dependentă liniar.
Dovezile acestor propoziții nu sunt diferite de dovezile propozițiilor similare pentru șiruri (pp. 108-110).
Un set de vectori se numește generator dacă toți vectorii spațiului sunt combinațiile lor liniare. Dacă există un sistem generator finit pentru spațiul S, atunci spațiul se numește finit-dimensional, în caz contrar se numește infinit-dimensional. Într-un spațiu cu dimensiuni finite, nu pot exista colecții de vectori liniar independente, arbitrar mari (după numărul de vectori), deoarece, conform Propoziției 3, orice colecție de vectori care depășește colecția generatoare în numărul de vectori este dependentă liniar.
Spațiul matricelor de dimensiuni fixe și, în special, spațiul rândurilor de lungime fixă sunt de dimensiuni finite; ca sistem generator, se pot lua matrici cu una într-o poziție și cu zerouri în rest.
Spațiul tuturor polinoamelor din este deja infinit, deoarece mulțimea de polinoame este liniar independentă pentru orice .
În cele ce urmează, vom lua în considerare spațiile cu dimensiuni finite.
Propunerea 4. Orice set generator minim (după numărul de vectori) de vectori este liniar independent.
Într-adevăr, să fie setul generator minim de vectori. Dacă este dependent liniar, atunci unul dintre vectori, de exemplu, este o combinație liniară a celorlalți, iar orice combinație liniară este o combinație liniară a unui set mai mic de vectori, care se dovedește astfel a fi generator.
Propoziţia 5. Orice set maxim (prin numărul de vectori) independent liniar de vectori este generator.
Într-adevăr, fie colecția maximă liniar independentă și u orice vector spațial. Atunci mulțimea și nu va fi liniar independentă și, în virtutea Propoziției 2, vectorul este o combinație liniară
Propozitia 6. Orice multime generatoare liniar independenta este minima printre generatoare si maxima intre cele liniar independente.
Într-adevăr, să fie un set generator liniar independent de vectori. Dacă - un alt grup generator, atunci ele sunt combinații liniare și de aici concluzionăm că, pentru că dacă ar fi atunci, în virtutea propunerii ar fi o mulțime dependentă liniar. Fie acum orice mulțime liniar independentă. Vectorii sunt combinații liniare de vectori și, în consecință, deoarece, în virtutea aceleiași propoziții, ar constitui o mulțime liniar dependentă.
Astfel, în Propozițiile 4, 5, 6 se stabilește identitatea a trei concepte - setul generator minim de vectori, setul maxim liniar independent de vectori și setul generator liniar independent.
Mulțimea de vectori care îndeplinește aceste condiții se numește baza spațiului, iar numărul de vectori care alcătuiesc baza se numește dimensiunea spațiului. Dimensiunea spațiului S se notează cu . Astfel, dimensiunea este egală cu numărul maxim de vectori liniar independenți (de multe ori în cele ce urmează vom spune cuvintele „liniar independenți” și „liniar dependenți” în loc să spunem „vectori care alcătuiesc o populație liniar dependentă” și respectiv - pentru o populaţie liniar independentă) şi numărul minim de vectori generatori.
Propozitia 7. Fie o multime liniar independenta de vectori, iar numarul lor este mai mic decat dimensiunea spatiului. Apoi un vector poate fi atașat acestora în așa fel încât colecția să rămână liniar independentă.
Dovada. Luați în considerare un set de combinații liniare. Nu epuizează întregul spațiu, deoarece nu constituie un set generator de vectori. Luați un vector care nu este o combinație liniară
Atunci este o colecție liniar independentă, deoarece altfel ar fi o combinație liniară de vectori în virtutea Propoziției 2.
Din Propoziția 7 rezultă că orice colecție liniar independentă de vectori poate fi completată la o bază.
Aceeași propoziție și dovada ei indică natura arbitrarului în alegerea unei baze. Într-adevăr, dacă luăm un vector arbitrar diferit de zero, atunci acesta poate fi completat la bază luând al doilea vector după cum doriți, dar nu o combinație liniară a primului, al treilea după cum doriți, dar nu o combinație liniară a primele două etc.
Se poate „coborî” la bază, pornind de la un set generator arbitrar.
Propoziţia 8. Orice set generator de vectori conţine o bază.
Într-adevăr, să fie un set generator de vectori. Dacă este dependent liniar, atunci unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți și poate fi exclus din setul generator. Dacă vectorii rămași sunt dependenți liniar, atunci încă un vector poate fi eliminat și așa mai departe, până când rămâne un set generator liniar independent, adică o bază.
În conformitate cu acest criteriu de compromis, pentru fiecare soluție se determină o combinație liniară a profiturilor minime și maxime.
A doua opțiune implică concentrarea pe un criteriu. Poate fi fie ales ca unul dintre indicatorii standard care au o interpretare economică complet de înțeles (de exemplu, unul dintre indicii de lichiditate, rata de acoperire a dobânzii etc.), fie acest criteriu este dezvoltat sub forma unui indicator artificial care generalizează criterii private. Pentru acest criteriu generalizat se stabilește o valoare prag, cu care se face o comparație a valorii efective a criteriului calculată pentru un potențial împrumutat. Principala dificultate în implementarea acestei abordări constă în metoda de construire a unui indicator generalizat. Cel mai adesea, este o combinație liniară de criterii parțiale, fiecare dintre acestea fiind inclusă în indicatorul general cu un anumit coeficient de greutate. Această abordare a fost folosită de E. Altman atunci când a dezvoltat criteriul Z pentru prezicerea falimentului.
Un rând e se numește o combinație liniară de rânduri e, e-..., em ale unei matrice dacă
Conceptul de combinație liniară, dependență liniară și independență a vectorilor e, e2. f em sunt similare conceptelor corespunzătoare pentru rândurile matricei e, e2,..., em (11.5).
După cum se arată în , pentru mulțimile admisibile mărginite și convexe (2.14), vectorul x% 0 care satisface constrângerea A xk bk poate fi reprezentat ca o combinație liniară convexă a unei mulțimi finite de puncte extreme
Procedura de optimizare pentru calcularea valorilor limită ale elementelor a și combinațiilor lor liniare este în mare parte lipsită de aceste neajunsuri.
Este evident că punctul (X1, q) obținut prin combinația liniară a lui (A/, q) și (L., q") este și o soluție a sistemului (4.43), (4.44).
În această secțiune, vom lua în considerare regulile de calcul a așteptărilor matematice și a varianței unei variabile aleatoare multivariate, care este o combinație liniară de variabile aleatoare corelate
Prin urmare, pentru o combinație liniară a unui număr arbitrar de variabile aleatoare, obținem
Luați în considerare cazul în care investiția se face în mai multe active (portofoliu). Un portofoliu este o combinație liniară de active, fiecare dintre ele având propriile randamente așteptate și dispersia rentabilității.
Spre deosebire de o combinație liniară arbitrară de variabile aleatoare, ponderile activelor respectă regula de normalizare
În paragraful anterior, s-a arătat că atunci când coeficientul de corelație între active este mai mic de 1, diversificarea portofoliului poate îmbunătăți raportul dintre randamentul așteptat și riscul așteptat. Acest lucru se datorează faptului că randamentul așteptat al unui portofoliu este o combinație liniară a randamentelor așteptate ale activelor incluse în portofoliu, iar varianța portofoliului este o funcție pătratică a s.d. incluse în portofoliul de active.
Deoarece funcția discriminantă depinde doar de o combinație liniară de intrări, neuronul este un discriminator liniar. În unele situații cele mai simple, un discriminator liniar este cel mai bun posibil, și anume, în cazul în care probabilitățile de apartenență la clasa k a vectorilor de intrare sunt date de distribuții gaussiene.
Pentru a fi mai precis, ieșirile rețelei Oya sunt combinații liniare ale primelor componente principale W. Pentru a obține exact componentele principale în sine, este suficient în regula Oya să înlocuiți sumarea tuturor ieșirilor cu
Vectorii b formează, de asemenea, așa-numita bază minimă. Și anume, acesta este numărul minim de vectori, cu ajutorul unei combinații liniare a cărei toți vectorii memorați pot fi reprezentați
Următoarea procedură sistematică este capabilă să extragă în mod iterativ cele mai semnificative caracteristici care sunt combinații liniare ale variabilelor de intrare X = W X (un subset de intrări este un caz special al unei combinații liniare, adică formal se poate găsi o soluție mai bună decât ceea ce este disponibil prin selectând cele mai semnificative combinații de intrări).
În cursul analizei, pentru a caracteriza diverse aspecte ale stării financiare, acestea sunt utilizate ca. indicatori absoluti și indicatori financiari, care sunt indicatori relativi ai stării financiare. Acestea din urmă sunt calculate ca rapoarte ale indicatorilor absoluti ai stării financiare sau combinațiile lor liniare. Conform clasificării lui N.A. Blatov, unul dintre fondatorii științei echilibrului, indicatorii relativi ai stării financiare sunt împărțiți în coeficienți de distribuție și sunt utilizați în cazurile în care este necesar să se determine care parte dintr-unul sau altul.
Concept de vector
Definiția 1.Vector se numește segment direcționat (sau, ceea ce este același lucru, pereche ordonată de puncte).
Desemnați: (punctul A este începutul vectorului), punctul B este sfârșitul vectorului) sau cu o literă -.
Definiția 2.Lungimea vectorului (modulo) este distanța dintre începutul și sfârșitul vectorului. Lungimea unui vector se notează cu sau.
Definiția 3.Vector zero Se numește un vector al cărui început și sfârșit sunt același. Desemna:
Definiția 4.vector unitar este un vector a cărui lungime este egală cu unu.
Un vector unitar care are aceeași direcție ca un vector dat se numește vector vectorial și este notat cu simbolul.
Definiția 5. Vectorii sunt numiți coliniar, daca sunt situate pe aceeasi linie sau pe linii paralele. Vectorul nul este considerat coliniar oricărui vector.
Definiția 6. Vectorii sunt numiți egal dacă sunt coliniare, au aceeași lungime și aceeași direcție.
Operații liniare pe vectori
Definiția 7.Operații liniare pe vectori se numesc adunarea vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr.
Definiția 8.Suma a doi vectori se numește vector care merge de la începutul vectorului până la sfârșitul vectorului, cu condiția ca vectorul să fie atașat la capătul vectorului (regula triunghiului). În cazul vectorilor necoliniari, în locul regulii triunghiului, se poate folosi regula paralelogramului: dacă vectorii și sunt reprezentați dintr-o origine comună și pe ei este construit un paralelogram, atunci suma este un vector care coincide cu diagonala. a acestui paralelogram provenind dintr-o origine comună.
Definiția 9.Diferența a doi vectori si se numeste un vector care, in suma cu un vector, alcatuieste un vector. Dacă doi vectori și sunt amânați de la un început comun, atunci diferența lor este un vector care vine de la sfârșitul vectorului („scăzut”) până la sfârșitul vectorului („redus”).
Definiția 10. Se numesc doi vectori coliniari de lungime egala orientati in directii opuse opus. Se notează vectorul opus vectorului.
Produsul unui vector și al unui număr este notat cu α.
Unele proprietăți ale operațiilor liniare
7)
;
Teorema 1.(Pe vectorii coliniari). Dacă și sunt doi vectori coliniari, iar vectorul este diferit de zero, atunci există un număr unic x astfel încât = x
În special, un vector diferit de zero și orto-ul său sunt legate prin egalitatea:=·.
Proprietățile formulate ale operațiilor liniare fac posibilă transformarea expresiilor compuse din vectori conform regulilor obișnuite ale algebrei: puteți deschide paranteze, puteți aduce termeni similari, puteți transfera unii termeni într-o altă parte a egalității cu semnul opus etc.
Exemplul 1
Demonstrați egalitățile:
și află care este semnificația lor geometrică.
Soluţie. a) În partea stângă a egalității, deschidem parantezele, dăm termeni similari, obținem un vector în partea dreaptă. Să explicăm geometric această egalitate. Fiți dați doi vectori, lăsați-i deoparte de originea comună și priviți paralelogramul și diagonalele sale, obținem:
§2 Combinaţie liniară de vectori
Baza vectorială în plan și în spațiu.
Definiția 1.Combinație liniară de vectori,, este suma produselor acestor vectori cu unele numere,,:++.
Definiția 2.baza vectoriala orice pereche de vectori necoliniari din acest plan este numită într-un plan dat.
Vectorul se numește primul vector de bază, al doilea vector.
Următoarea teoremă este adevărată.
Teorema 1. Dacă baza ,– baza vectoriala intr-un plan, atunci orice vector al acestui plan poate fi reprezentat, si in plus intr-un mod unic, ca o combinatie liniara de vectori de baza: = x + y. (*)
Definiția 3. Egalitatea (*) se numește , iar numerele x și y sunt coordonate vectoriale în bază,(sau in ceea ce priveste baza,). Dacă este clar în prealabil ce bază este discutată, atunci ei scriu pe scurt: = (x, y). Din definiția coordonatelor unui vector în raport cu bază, rezultă că vectorii egali au coordonate egale în mod corespunzător.
Se numesc doi sau mai multi vectori din spatiu coplanar, dacă sunt paralele cu același plan sau se află în acel plan.
Definiția 4.baza vectorialaîn spațiu se numesc oricare trei vectori , ,.
În acest caz, vectorul se numește primul vector de bază, al doilea și al treilea.
Cometariu. 1. Trei vectori = (),= () și = () formează baza spațiului dacă determinantul compus din coordonatele lor este diferit de zero:
.
2. Principalele prevederi ale teoriei determinanților și modul de calcul al acestora sunt luate în considerare în modulul 1 „algebră liniară”.
Teorema 2. Lăsa , , este o bază vectorială în spațiu. Atunci orice vector din spațiu poate fi reprezentat și, mai mult, într-un mod unic, ca o combinație liniară de vectori de bază , Și:
X+y+z. (**)
Definiția 5. Egalitatea (**) se numește extinderea vectorului în termeni de bază,,, iar numerele x, y, z sunt coordonatele (componentele) vectorului din bază , ,.
Dacă este clar în prealabil ce bază este discutată, atunci ei scriu pe scurt: = (x, y, z).
Definiția 6. Bază , , se numește ortonormal, dacă vectorii , , sunt perpendiculare perechi și au lungimea unitară. În acest caz, se adoptă notația ,,.
Acțiuni asupra vectorilor date de coordonatele lor.
Teorema 3. Să fie aleasă o bază vectorială pe plan , iar în raport cu vectorii săi și sunt date de coordonatele lor: = (),= ().
Atunci =(),=( 
), adică la adăugarea sau scăderea vectorilor, se adună sau se scad coordonatele lor cu același nume; = ( ;), i.e. când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr.
Condiție de coliniaritate pentru doi vectori
Teorema 4. Un vector este coliniar cu un vector diferit de zero dacă și numai dacă coordonatele vectorului sunt proporționale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului.e.
Operațiile liniare pe vectori dați de coordonatele lor în spațiu sunt efectuate în mod similar.
Exemplul 1 Fie vectorii = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) să fie dați pe o bază vectorială , ,. Aflați coordonatele combinației liniare 2+3-4.
Soluţie. Să introducem notația pentru combinația liniară=2+3+(-4).
Coeficienți de combinație liniară =2,=3,=-4. Scriem această egalitate vectorială în forma de coordonate = (x, y, z) =:
2
Evident, fiecare coordonată a unei combinații liniare de vectori este egală cu aceeași combinație liniară de coordonate cu același nume, adică.
x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,
y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,
z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.
Coordonatele vectoriale în bază , , va fi:
Răspuns:= {7,10,-3}.
Sistem de coordonate carteziene general (afin).
Definiția 7. Fie O un punct fix, pe care îl vom numi început.
Dacă M este un punct arbitrar, atunci vectorul este numit vector rază punctul M față de origine, pe scurt, vectorul rază al punctului M.
Coordonate carteziene (afine) pe o linie
Să fie dată o linie dreaptă în spațiu l. Să alegem originea O situată pe această linie. În plus, alegem pe linie l vector diferit de zero, pe care îl vom numi vector de bază.
Definiția 8. Fie punctul M să se afle pe dreapta l. Deoarece vectorii sunt coliniari, atunci = x, unde x este un număr. Vom suna la acest număr coordona punctele M de pe linie.
Originea O are coordonate pozitive sau negative, în funcție de faptul că direcțiile vectorilor sunt aceleași sau opuse. Linia dreaptă pe care coordonatele se numesc axa de coordonate sau axa OX.
Introducerea coordonatelor pe o linie corespunde unui singur număr x, iar invers, există un punct unic M pentru care acest număr este o coordonată.
Coordonate carteziene (afine) pe plan.
Alegem doi vectori necoliniari u pe planul O, formând o anumită bază. Evident, lungimile vectorilor pot fi diferite.
Definiția 9. Mulțimea (0;;) a punctului O și a bazei vectoriale , numit Sistem cartezian (afin). la suprafata.
Două drepte care trec prin O și, respectiv, paralele cu vectorii , se numesc axe de coordonate. Prima dintre ele se numește de obicei axa absciselor și se notează Ox, a doua este axa ordonatelor și se notează Oy.
Vom înfățișa întotdeauna și ne vom întinde pe axele de coordonate corespunzătoare.
Definiția 10.coordonatele punctului M în plan în raport cu sistemul de coordonate cartezian (afin) (0;;) se numește coordonatele vectorului său de rază în funcție de baza:
X + y, atunci numerele x și y vor fi coordonatele lui M relativ la sistemul de coordonate cartezian (afin) (0;;). Coordonata x este numită abscisă punctul M, coordonata y- ordonată punctele M.
Deci, dacă se alege un sistem de coordonate, (0;;) pe plan, atunci fiecărui punct M al planului îi corespunde un singur punct M din plan: acest punct este sfârșitul vectorului
Introducerea unui sistem de coordonate stă la baza metodei geometriei analitice, a cărei esență este de a putea reduce orice problemă geometrică la probleme de aritmetică sau algebră.
Definiția 11.Coordonatele vectoriale pe plan în raport cu sistemul de coordonate carteziene (0;;) se numesc coordonatele acestui vector în bază,.
Pentru a găsi coordonatele vectorului, trebuie să-l extindeți în termeni de bază:
X + y, unde coeficienții x, y și vor fi coordonatele vectorului relativ la sistemul cartezian (0;;).
Sistem de coordonate carteziene (afine) în spațiu.
Să fie fixat un punct O (început) în spațiu și să fie aleasă o bază vectorială
Definiția 12. Colecția (0;;;) este numită Sistemul de coordonate carteziene in spatiu.
Definiția 13. Trei drepte care trec prin O și paralele cu vectorii , ,, sunat axele de coordonateși notăm, respectiv, Oz, Oy, Oz. Vom reprezenta întotdeauna vectori , culcat pe axele respective.
Definiția 14.coordonatele punctului M în spațiu relativ la sistemul de coordonate carteziene (0;;;) se numește coordonatele vectorului său de rază în acest sistem.
Cu alte cuvinte, coordonatele punctului M sunt trei numere x, y, z, respectiv, abscisa și ordonata punctului M; a treia coordonată z se numește aplicația punctului M.
Introducerea unui sistem de coordonate carteziene în spațiu permite stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între punctele M ale spațiului și triplele ordonate ale numerelor x, y, z.
Definiția 15.Coordonatele vectorialeîn spațiu relativ la sistemul de coordonate carteziene (0;;;) sunt coordonatele acestui vector în bază;;.
Exemplul 2
Date trei vârfuri consecutive ale paralelogramului A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Găsiți a patra coordonată D. Sistemul de coordonate este afin.
Soluţie.
Vectorii sunt egali, ceea ce înseamnă că coordonatele lor sunt egale (coeficienții unei combinații liniare):
= (3;2), =(4-x;-y); 
. Deci D(1;-2).
Răspuns: D(1;-2).
Dependență liniară. Conceptul de bază
Definiția 16. Vectori, numiti dependent liniar, dacă există numere
Această definiție a dependenței liniare a vectorilor este echivalentă cu aceasta: vectorii sunt dependenți liniar dacă unul dintre ei poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți (sau extins peste ceilalți).
Vectorii , sunt numiți liniar dependenți dacă egalitatea (***) este posibilă în singurul caz când
Conceptul de dependență liniară joacă un rol important în algebra liniară. În algebra vectorială, dependența liniară are o semnificație geometrică simplă.
Orice doi vectori coliniari sunt dependenți liniar și invers, doi vectori necoliniari sunt independenți liniar.
Trei vectori coplanari sunt dependenți liniar și invers, trei vectori necoplanari sunt independenți liniar.
Fiecare patru vectori sunt dependenți liniar.
Definiția 17. Se numesc trei vectori liniar independenți baza spatiului acestea. orice vector poate fi reprezentat ca unele.
Definiția 18. Se numesc doi vectori liniar independenti situati intr-un plan baza de avion, acestea. orice vector situat în acest plan poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori.
Sarcini pentru decizie independentă.
vectori pentru a găsi coordonatele în această bază.
