Rezolvarea problemelor pentru determinarea câmpului de temperatură se realizează pe baza ecuației diferențiale a conducției căldurii, ale cărei concluzii sunt prezentate în literatura specială. Acest manual oferă variante ale ecuațiilor diferențiale fără derivații.

Ecuația

Ecuația (4.10) este o ecuație de energie diferențială într-un sistem de coordonate carteziene (ecuația Fourier  Kirchhoff). În această formă, este utilizat în studiul procesului de conducere a căldurii în orice corp.

Dacă  x = y = z = 0, adică se consideră un corp solid, iar în absența surselor interne de căldură q v = 0, atunci ecuația energiei (4.10) intră în ecuația căldurii pentru corpuri solide (ecuația Fourier). )

(4.11)

Valoarea С=a, m 2 sec din ecuația (4.10) se numește difuzivitate termică, care este un parametru fizic al unei substanțe care caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism în timpul proceselor instabile.

Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică este o măsură a proprietăților inerțiale termice ale corpului. Din ecuația (4.10) rezultă că modificarea temperaturii în timp t pentru orice punct din spațiu este proporțională cu valoarea „a”, adică rata de schimbare a temperaturii în orice punct al corpului va fi cu atât mai mare, cât mai mare difuzivitate termică. Prin urmare, ceteris paribus, egalizarea temperaturilor în toate punctele din spațiu va avea loc mai rapid în corpul care are o difuzivitate termică mare. Difuzitatea termică depinde de natura substanței. De exemplu, lichidele și gazele au o inerție termică mare și, în consecință, o difuzivitate termică scăzută. Metalele au inerție termică scăzută, deoarece au un coeficient mare de difuzivitate termică.

Pentru a desemna suma derivatelor secunde în raport cu coordonatele din ecuațiile (4.10) și (4.11), puteți folosi simbolul  2 , așa-numitul operator Laplace și apoi în sistemul de coordonate cartezian

Expresia  2 t într-un sistem de coordonate cilindric are forma

Pentru un corp solid în condiții staționare cu o sursă de căldură internă, ecuația (4.10) este transformată în ecuația Poisson

(4.12)

În sfârșit, pentru conducția staționară a căldurii și în absența surselor interne de căldură, ecuația (4.10) ia forma ecuației Laplace

(4.13)

Ecuația diferențială a căldurii în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă

(4.14)

4.2.6. Condiții de unicitate pentru procesele de conducție a căldurii

Deoarece ecuația diferențială a conducției căldurii este derivată pe baza legilor generale ale fizicii, ea caracterizează fenomenul conducției căldurii în forma sa cea mai generală. Prin urmare, putem spune că ecuația diferențială rezultată caracterizează o întreagă clasă de fenomene de conducere a căldurii. Pentru a separa procesul considerat în mod specific dintr-un număr nenumărabil și pentru a oferi descrierea sa matematică completă, este necesar să adăugați ecuației diferențiale o descriere matematică a tuturor caracteristicilor particulare ale procesului luat în considerare. Aceste caracteristici particulare, care, împreună cu ecuația diferențială, oferă o descriere matematică completă a unui anumit proces de conducere a căldurii, sunt numite condiții de unicitate sau condiții la limită, care includ:

a) conditii geometrice care caracterizeaza forma si dimensiunile corpului in care are loc procesul;

b) condiţiile fizice care caracterizează proprietăţile fizice ale mediului şi ale corpului (, С z , , a etc.);

c) condiţii de timp (iniţiale) care caracterizează distribuţia temperaturilor în organismul studiat la momentul iniţial de timp;

d) condiţii la limită care caracterizează interacţiunea corpului considerat cu mediul.

Condițiile inițiale sunt necesare atunci când se consideră procese non-staționare și constau în stabilirea legii de distribuție a temperaturii în interiorul corpului în momentul inițial de timp. În cazul general, condiția inițială poate fi scrisă analitic după cum urmează pentru =0:

t =  1 x, y, z. (4,15)

În cazul unei distribuţii uniforme a temperaturii în corp, se simplifică condiţia iniţială: la =0; t=t0=idem.

Condițiile limită pot fi specificate în mai multe moduri.

A. Condiții la limită de primul fel, specificând distribuția temperaturii pe suprafața corpului t c pentru fiecare moment de timp:

t c =  2 x, y, z, . (4,16)

În cazul particular în care temperatura de la suprafață este constantă pe toată durata proceselor de transfer de căldură, ecuația (4.16) este simplificată și ia forma t c =idem.

B. Condiții la limită de al doilea fel, specificând valoarea densității fluxului de căldură pentru fiecare punct al suprafeței și orice moment de timp. Analitic, aceasta poate fi reprezentată după cum urmează:

q n = x, y, z, , (4.17)

unde q n  densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului.

În cel mai simplu caz, densitatea fluxului de căldură pe suprafață și în timp rămâne constantă q n =idem. Un astfel de caz de transfer de căldură apare, de exemplu, atunci când diferite produse metalice sunt încălzite în cuptoare cu temperatură înaltă.

B. Condiții la limită de al treilea fel, stabilirea temperaturii ambiante t W și legea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu. Legea lui Newton este folosită pentru a descrie procesul de transfer de căldură între suprafața corpului și mediu.

Conform legii lui Newton, cantitatea de căldură degajată de o unitate de suprafață a corpului pe unitatea de timp este proporțională cu diferența de temperatură dintre corp t c și mediu t f

q = t c  t f . (4,18)

Coeficientul de transfer de căldură caracterizează intensitatea transferului de căldură între suprafața corpului și mediu. Din punct de vedere numeric, este egală cu cantitatea de căldură degajată (sau percepută) de o unitate de suprafață pe unitatea de timp cu o diferență de temperatură între suprafața corpului și mediu egală cu un grad.

Conform legii conservării energiei, cantitatea de căldură care este îndepărtată dintr-o unitate de suprafață pe unitatea de timp din cauza transferului de căldură (4.18) trebuie să fie egală cu căldura furnizată unei unități de suprafață pe unitatea de timp datorită conducției căldurii de la volumele interne ale corpului (4.7), i.e.

, (4.19)

unde n  normal cu suprafața corpului; indicele „C” indică faptul că temperatura și gradientul se referă la suprafața corpului (când n=0).

Condiția de limită finală de al treilea fel poate fi scrisă ca

. (4.20)

Ecuația (4.20), în esență, este o expresie particulară a legii conservării energiei pentru suprafața unui corp.

D. Condiții la limită de al patrulea fel, care caracterizează condițiile de schimb de căldură a unui sistem de corpuri sau a unui corp cu mediul înconjurător conform legii conducerii căldurii. Se presupune că există un contact perfect între corpuri (temperaturile suprafețelor de contact sunt aceleași). În condițiile luate în considerare, fluxurile de căldură care trec prin suprafața de contact sunt egale:

. (4.21)

Declarația sarcinilor TMO

Avem un volum care este afectat de sarcini termice, este necesar să se determine valoarea numerică q Vși distribuția pe volum.

Fig.2-Surse externe și interne de frecare

1. Determinați geometria volumului investigat în orice sistem de coordonate ales.

2. Determinați caracteristicile fizice ale volumului investigat.

3. Determinați condițiile care inițiază procesul TMT.

4. Clarificați legile care determină transferul de căldură în volumul studiat.

5. Determinați starea termică inițială în volumul studiat.

Sarcini de rezolvat în analiza TMT:

1. Sarcini „directe” ale TMT

Date: 1,2,3,4,5

Determinați: distribuția temperaturii în spațiu și timp (în continuare 6).

2. Probleme „inversate” ale TMT (invers):

a) invers limite sarcini

Date: 1,2,4,5,6

Definiți: 3;

b) invers cote sarcini

Date: 1,3,4,5,6

Definiți: 2;

c) invers retrospectiv sarcină

Date: 1,2,3,4,6

Determinați: 5.

3. Sarcini „inductive” ale TMT

Date: 1,2,3,5,6

Determinați: 4.

FORME DE TRANSFER DE CĂLDURĂ ŞI PROCESE TERMICE

Există 3 forme de transfer de căldură:

1) conductivitatea termică în solide (determinată de microparticule, iar în metale de electroni liberi);

2) convecție (determinată de macroparticulele mediului în mișcare);

3) radiația termică (determinată de unde electromagnetice).

Conductibilitatea termică a solidelor

Concepte generale

Câmp de temperatură este un set de valori ale temperaturii în volumul studiat, luate la un moment dat în timp.

t(x, y, z, τ) este o funcție care determină câmpul de temperatură.

Există câmpuri de temperatură staționare și nestaționare:

staționar - t(x,y,z);

nestaționar - t(x, y, z, τ).

Condiția de staționaritate este:

Să luăm un anumit corp și să conectăm puncte cu temperaturi egale

Fig.3-Gradientul de temperatură și fluxul de căldură

grad t- gradient de temperatură;

pe cealalta parte: .

legea Fourier - fluxul de căldură în solide este proporțional cu gradientul de temperatură, suprafața prin care trece și intervalul de timp considerat.

Coeficientul de proporționalitate se numește coeficient de conductivitate termică λ , W/m K.

arată că căldura se propagă în direcția opusă vectorului gradientului de temperatură.

;

Pentru o suprafață și un interval de timp infinit de mici:

Ecuația căldurii (ecuația Fourier)

Luați în considerare un volum infinitezimal: dv =dx dy dz

Fig. 4-Starea termică a unui volum infinitezimal

Avem o serie Taylor:

În mod similar:

; ; .

În cazul general, avem în cub q V. Concluzia se bazează pe legea generalizată a conservării energiei:

.

Conform legii lui Fourier:

; ; .

După transformări avem:

.

Pentru un proces staționar:

Dimensiunea spațială a problemelor este determinată de numărul de direcții în care are loc transferul de căldură.

Problemă unidimensională: ;

pentru un proces staționar: ;

Pentru :

Pentru : ;

A- coeficientul de difuzivitate termică, .sistem cartezian;

k = 1, ξ =x- sistem cilindric;

k = 2, ξ =x- sistem sferic.

Condiții de unicitate

Condiție de unicitate – acestea sunt condiții care ne permit să selectăm din setul de soluții fezabile una și numai una care corespunde sarcinii.

Unde cu p, J/(kg×K) – capacitate termică izobară; r, kg/m 3 - densitate; l, W/(m×K) – coeficient de conductivitate termică; w x, w y, w z sunt proiecțiile vectorului viteza fluidului; qv, W / m 3 - densitatea volumetrică a degajării interne de căldură a lichidului.

Ecuația (1.12) este scrisă pentru acest caz l=const.

Diferenţial pentru solide se numește ecuația diferențială a conducției căldurii și poate fi obținută din (1.12) în condiția w x = w y = w z = 0, cu p=cu v=Cu:

,

unde - difuzivitate termică, caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism. Valori a = f(t) pentru diverse organisme sunt date în cărți de referință.

Ecuația diferențială a conducției căldurii

(1.13)

descrie câmpul de temperatură nestaționar al solidelor cu degajare internă de căldură (cu surse interne de căldură). Astfel de surse de căldură pot fi: Căldura Joule degajată în timpul trecerii curentului electric prin conductori; căldura degajată de elementele combustibile ale reactoarelor nucleare etc.

Ecuația diferențială a căldurii (1.13), scrisă în coordonate carteziene, poate fi reprezentată în formă cilindrice (r,z, φ) si sferica (r, φ , ψ).

În special, în cilindric coordonate ( r- rază; φ este unghiul polar; z- aplicate), ecuaţia diferenţială a conducţiei căldurii are forma

(1.14)

Condiții de unicitate

Ecuația diferențială descrie multe procese de conducere a căldurii. Pentru a evidenția un anumit proces din acest set, este necesar să se formuleze caracteristicile acestui proces, care sunt numite conditii de unicitate și includ:

· conditii geometrice caracterizarea formei și dimensiunii corpului;

· condiţiile fizice caracterizarea proprietăților corpurilor care participă la schimbul de căldură;

· condiţiile de frontieră caracterizarea condițiilor procesului la limita corpului;

· condiții inițiale caracterizarea stării iniţiale a sistemului la procese nestaţionare.

Atunci când se rezolvă problemele de conducție a căldurii, există:

· condiţii la limită de primul fel când este dată distribuția temperaturii pe suprafața corpului:

t c = f (x, y, z, τ) sau t c = const;

· condiţii la limită de al doilea fel când densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului este dată:

q c = f (x, y, z, τ) sau q c = const;

· condiţii la limită de al treilea fel când temperatura medie este setată tși coeficientul de transfer de căldură între suprafață și mediu.

În conformitate cu legea Newton-Richmann, fluxul de căldură transferat de la 1 m 2 de suprafață într-un mediu cu o temperatură t,

În același timp, acest flux de căldură este furnizat la 1m 2 din suprafață din straturile adânci ale corpului prin conductivitate termică.

Apoi, ecuația de echilibru termic pentru suprafața corpului poate fi scrisă sub formă

(1.15)

Ecuația (1.15) este o formulare matematică a condițiilor la limită de al treilea fel.

Sistemul de ecuații diferențiale, împreună cu condițiile de unicitate, este o formulare matematică a problemei. Soluțiile ecuațiilor diferențiale conțin constante de integrare, care sunt determinate folosind condiții de unicitate.

Controlați întrebările și sarcinile

1. Analizați modul în care căldura este transferată de la apă caldă la aer prin peretele caloriferului: de la apă la suprafața interioară, prin perete, de la suprafața exterioară la aer.

2. De ce există un minus în partea dreaptă a ecuației (1.3)?

3. Analizați cu ajutorul literaturii de referință dependența λ(t) pentru metale, aliaje, materiale termoizolante, gaze, lichide și răspunde la întrebarea: cum se modifică coeficientul de conductivitate termică cu temperatura pentru aceste materiale?

4. Cum se determină fluxul de căldură? (Q, W ) cu transfer de căldură convectiv, conductivitate termică, radiație termică?

5. Notați ecuația diferențială a conductibilității termice în coordonate carteziene, care descrie un câmp de temperatură staționar tridimensional fără surse interne de căldură.

6. Notați ecuația diferențială pentru câmpul de temperatură al firului, care este alimentat mult timp la o sarcină electrică constantă.

2. CONDUCTIVITATE TERMICA SI TRANSFER DE CALDURA
ÎN MOD STATIONAR

2.1. Conductibilitatea termică a unui perete plat

Dat: grosimea peretelui plat uniform δ (Fig. 2.1) cu un coeficient de conductivitate termică constant λ si temperaturi constante t1Și t2 pe suprafete.

Defini: ecuația câmpului temperaturii t=f(x)și densitatea fluxului de căldură q, W/m2.

Câmpul de temperatură al peretelui este descris de ecuația de conducere diferențială a căldurii (1.3) în următoarele condiții:

Deoarece modul este staționar;

· deoarece nu există surse interne de căldură;

· deoarece temperatura t1Și t2 pe suprafețele peretelui sunt constante.

Temperatura peretelui este în funcție de o singură coordonată X iar ecuația (1.13) ia forma

Expresiile (2.1), (2.2), (2.3) sunt formularea matematică a problemei, a cărei soluție ne va permite să obținem ecuația de câmp de temperatură necesară t=f(x).

Integrarea ecuației (2.1) dă

La integrarea repetată, obținem soluția ecuației diferențiale în forma

Dependenta t=f(x), conform (2.5) este o linie dreaptă (Fig. 2.1), ceea ce este adevărat pentru λ=const.

Pentru a determina densitatea fluxului de căldură care trece prin perete, folosim legea Fourier

Tinand cont obținem formula de calcul pentru densitatea fluxului de căldură transmis printr-un perete plat,

Formula (2.6) poate fi scrisă ca

Unde

Valoarea este numită conductivitate termică rezistență termică perete plat.

Pe baza ecuației

qR=t 1 – t 2

se poate concluziona că rezistența termică a peretelui este direct proporțională cu diferența de temperatură pe grosimea peretelui.

Luați în considerare dependența coeficientului de conductivitate termică de temperatură, λ(t), este posibil dacă înlocuim în ecuațiile (2.6) și (2.7) valorile λav pentru intervalul de temperatură t1-t2.

Luați în considerare conductivitatea termică perete plat multistrat, constând, de exemplu, din trei straturi
(Fig. 2.2).

Dat:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = const, t4=const.

Defini: q, W/m2; t2, t3.

În modul staționar și temperaturi constante ale suprafețelor pereților, fluxul de căldură transmis prin peretele cu trei straturi poate fi reprezentat prin sistemul de ecuații:

Temperaturi la limitele stratului t2Și t3 poate fi calculat folosind ecuațiile (2.8) - (2.10) după densitatea fluxului de căldură ( q) prin (2.12).

Forma generală a ecuației (2.12) pentru un perete plat multistrat constând din P straturi omogene cu temperaturi constante pe suprafetele exterioare si , are forma

2.2. Conductibilitatea termică a unui perete cilindric
în condiţii la limită de primul fel

Dat: Perete cilindric omogen (perete conductă) cu rază interioară r1, extern - r2, lungime , cu conductivitate termică constantă λ , cu temperaturi de suprafață constante t1Și t2.
(Fig. 2.3).

Defini: ecuația câmpului temperaturii
t=f(r), fluxul de căldură transmis prin perete
Q, W.

Ecuația diferențială a căldurii în coordonate cilindrice (1.14) pentru condițiile acestei probleme:

ia forma

Procedura de rezolvare a sistemului de ecuații (2.15) - (2.17) este aceeași ca și în cazul unui perete plat: se găsește integrala generală a ecuației diferențiale de ordinul doi (2.15), care conține două constante de integrare.
de la 1Și din 2. Acestea din urmă sunt determinate folosind condițiile la limită (2.16) și (2.17), iar după înlocuirea valorilor lor în soluția ecuației diferențiale (integrala generală), obținem ecuația câmpului de temperatură a unui perete cilindric t = f (r) la fel de

Dacă luăm derivata părții drepte a ecuației (2.18) și o înlocuim în (2.19), obținem formula de calcul pentru fluxul de căldură al peretelui cilindric

(2.20)

În calculele tehnice, fluxul de căldură este adesea calculat pentru 1 m lungime de conductă:

și a sunat densitatea fluxului termic liniar.

Scriem ecuația (2.20) ca

Unde – rezistența termică a conductibilității termice a unui perete cilindric.

Pentru un perete cilindric cu trei straturi(conducta acoperita cu doua straturi de termoizolatie) cu temperaturi de suprafata constante cunoscute ( t1Și t4), cu dimensiuni geometrice cunoscute ( r1, r2, r3, r4, ) și coeficienții de conductivitate termică a straturilor ( λ1, λ2, λ 3) (Fig. 2.4), putem scrie următoarele ecuații pentru fluxul de căldură Q:

Temperaturile la limitele straturilor (t 2,t3) poate fi calculat din ecuațiile (2.21).

Pentru perete cilindric multistrat, constând din P straturi, formula (2.22) poate fi scrisă în forma generală

(2.23)

Conductivitate termică eficientă pentru un perete cilindric multistrat, precum și pentru un perete plat multistrat, se determină din egalitatea sumei rezistențelor termice ale unui perete multistrat cu rezistența termică a unui perete omogen de aceeași grosime cu cel multistrat. Deci, pentru o izolație termică în două straturi a unei țevi
(Fig. 2.4) conductivitate termică efectivă (λeff) se determină din egalitate

2.3. Conductibilitatea termică a pereților plani și cilindrici
în condiții limită de al treilea fel (transfer de căldură)

Condiții limită de al treilea fel consta in setarea temperaturii lichidului (t w)și coeficientul de transfer termic () între suprafața peretelui și lichid.

Transferul de căldură de la un fluid la altul printr-un perete care le desparte se numește transfer de căldură.

Exemple de transfer de căldură sunt transferul de căldură de la gazele de ardere la apă prin peretele unei conducte de cazan de abur, transferul de căldură de la apă caldă la aerul ambiant prin peretele unei baterii de încălzire etc.

Schimbul de căldură între suprafață și mediu (lichid de răcire) poate fi convective dacă lichidul de răcire este lichid (apă, ulei etc.) sau radiativ-convectiv când căldura este transferată prin transfer de căldură convectiv și prin radiație, dacă lichidul de răcire este un gaz (gaze de ardere, aer etc.).

Să luăm în considerare transferul de căldură prin pereți plani și cilindrici în condiția unui transfer de căldură numai convectiv pe suprafețe. Transferul de căldură cu transfer de căldură radiativ-convectiv (transfer complex de căldură) pe suprafețe va fi discutat mai târziu Transferul de căldură W/m 2 (Q

Dacă a 1Și a 2 comparabil.

Transfer de căldură printr-un perete cilindric multistrat calculate prin formula

(2.35)

Unde F1Și F2 sunt zonele suprafețelor interioare și exterioare ale peretelui cilindric multistrat.

Studiul oricărui proces fizic este asociat cu stabilirea unei relații între mărimile care caracterizează acest proces. Pentru procesele complexe, care includ transferul de căldură prin conducție termică, atunci când se stabilește relația dintre cantități, este convenabil să se utilizeze metodele fizicii matematice, care ia în considerare cursul procesului nu în întreg spațiul studiat, ci într-un volum elementar de materie pentru un interval de timp infinitezimal. Legătura dintre cantitățile implicate în transferul de căldură prin conductivitate termică se stabilește în acest caz de așa-numita ecuația diferențială a conducției căldurii. În limitele volumului elementar ales și a unei perioade de timp infinit de mică, devine posibilă neglijarea schimbării unor mărimi care caracterizează procesul.

La derivarea ecuaţiei diferenţiale a conducţiei căldurii se fac următoarele ipoteze: mărimi fizice λ, cu pȘi ρ constant; fără surse interne de căldură; corpul este omogen și izotrop; se folosește legea conservării energiei, care în acest caz se formulează astfel: diferența dintre cantitatea de căldură care a intrat datorită conductivității termice într-un paralelipiped elementar în timpul dτși eliberat din acesta în același timp este cheltuit pentru schimbarea energiei interne a volumului elementar considerat. Ca rezultat, ajungem la ecuația:

Valoarea este numită operator Laplaceși este de obicei prescurtat ca 2 t(semnul se citește „nabla”); valoare λ /cρ numit difuzivitate termicăși notat cu scrisoarea A. Cu notația de mai sus, ecuația diferențială pentru conducerea căldurii ia forma

Ecuația (1-10) se numește ecuația diferențială a conducerii căldurii, sau ecuația Fourier, pentru un câmp de temperatură nestaționar tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este ecuația principală în studiul încălzirii și răcirii corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conductivitate termică și stabilește o relație între schimbările de temperatură temporală și spațială în orice punct al câmpului.

Difuzivitate termică A= λ/cr este un parametru fizic al unei substanțe și are o unitate de m 2 / s. În procesele termice nestaţionare, valoarea A caracterizează viteza de schimbare a temperaturii. Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică A este o măsură a proprietăților termo-inerțiale ale corpurilor. Din ecuația (1-10) rezultă că modificarea temperaturii în timp ∂t / ∂τ căci orice punct al corpului este proporțional cu valoarea A Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare va crește mai repede. Gazele au mici, iar metalele - valori mari ale difuzivitatii termice.

Ecuația diferențială a conducerii căldurii cu sursele de căldură din interiorul corpului va avea forma

Unde qv- cantitatea de căldură eliberată pe unitatea de volum a unei substanțe pe unitatea de timp; Cu este capacitatea de căldură în masă a corpului, ρ - densitatea corpului .

Ecuația diferențială a căldurii în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă va avea forma

Unde r- vector rază în coordonate cilindrice; φ - colț.