Maximul ar trebui numit cel mai mare număr sau cea mai mare limită care poate fi atinsă. Minimul este, după cum știm cu toții foarte bine, exact opusul maximului, adică. este cel mai mic număr și cea mai mică limită. Cuvintele minim și maxim, precum și derivatele lor, se găsesc în expresii și expresii precum:

Profitați la maximum de comunicare.

Pentru a învăța o poezie, trebuie să o citești de cel puțin 3-4 ori.

Cel mai mult poate face este...

Au cel puțin doi prieteni comuni.

A luat cel mai mare punctaj.

Profită la maximum de oportunitățile tale!

Acesta este minimul pe care trebuie să-l știți.

Salariul de trai.

Presiunea atmosferică minimă.

Minim/maxim rece timp de ….. ani.

Veți avea nevoie de cel puțin câteva ore pentru a finaliza această lucrare.

Concepte precum maxim și minim pot fi găsite și în termeni științifici speciali. De exemplu, în matematică există un astfel de concept ca maxim și minim al unei funcții.

Astfel, maximul la matematică este cea mai mare valoare a unei funcții. În acest caz, valoarea maximă a funcției este mai mare decât toate valorile adiacente acesteia. Maximul unei funcții este valoarea acesteia atunci când valoarea crește mai întâi și apoi începe imediat să scadă, în timp ce are un maxim în locul în care creșterea și scăderea funcției trec de la una la alta. Minimul unei funcții este, în consecință, cea mai mică valoare a funcției.

Prima derivată a unei funcții poate fi considerată pozitivă, dacă crește atunci când creștem variabila, atunci funcția poate fi considerată pozitivă. Dacă prima variabilă scade odată cu creșterea derivatei, atunci funcția ar trebui considerată negativă.

Derivata este principala valoare utilizată în calculele diferențiale (studiul derivatei și diferențialei, care ajută la studiul funcțiilor matematice), poate fi înțeleasă ca rata de schimbare a unei funcții într-un anumit punct. Cu cât viteza este mai mare, cu atât funcția se schimbă mai puternică, cu atât mai mică, cu atât mai lent (totuși, acest lucru este adevărat numai dacă funcția este pozitivă). Astfel, rata de schimbare a unei funcții la un punct dat este cea care determină pantele și umflăturile acesteia. O variabilă este o cantitate care își poate schimba valoarea. Este notat cu x sau timp.

O variabilă poate fi considerată un atribut al unui sistem (atât fizic, cât și abstract) care își poate schimba valoarea. Într-un sens mai global, o variabilă poate fi numită atât timp, cât și temperatură și, în general, toată viața (se pot schimba). O variabilă are multe valori pe care le poate prelua. Putem presupune că această mulțime este o variabilă.

În ceea ce privește funcția în sine, aceasta trebuie să treacă de la valoarea pozitivă la valoarea negativă prin zero. Astfel, la valoarea variabilei, care corespunde maximului funcției, derivata acesteia va fi egală cu zero. Această proprietate a funcției face posibilă determinarea valorilor lui x la care funcția atinge maximul. Totuși, dacă creștem variabila și, în același timp, funcția crește mai întâi și apoi scade, atunci funcția, la trecerea de la o valoare negativă la una pozitivă (trecând prin zero), nu va atinge maximul, dar, dimpotrivă, valoarea minimă. Deși, logic, aceasta ar putea fi luată ca valoare maximă (este în partea de sus a funcției).

Punctele maxime și minime ale unei funcții sunt numite și puncte extreme.

Astfel, atât în ​​viața obișnuită, cât și în matematică, maximul și minimul sunt două extreme opuse care denotă ceva cel mai mare și ceva cel mai mic.

Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul funcției în care valoarea funcției ia o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției din aceste puncte se numesc extreme (minime și maxime) ale funcției.

Definiție. Punct X1 domeniul de aplicare al funcției f(X) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maxim.

Definiție. Punct X2 domeniul de aplicare al funcției f(X) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). În acest caz, se spune că funcția are la punctul X2 minim.

Să spunem ideea X1 - punctul maxim al functiei f(X). Apoi în intervalul până la X1 funcția crește, deci derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ), iar în intervalul de după X1 funcția este în scădere, deci derivată de funcție mai putin de zero ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Să presupunem, de asemenea, că ideea X2 - punctul minim al funcției f(X). Apoi în intervalul până la X2 funcția este descrescătoare și derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funcția este în creștere și derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(X) > 0 ). În acest caz și la punct X2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un criteriu necesar pentru existența unui extremum al unei funcții). Dacă punct X0 - punctul extremum al funcției f(X), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(X) = 0 ) sau nu există.

Definiție. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este egală cu zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1 Să luăm în considerare o funcție.

La punctul X= 0 derivata functiei este egala cu zero, deci punctul X= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea pe graficul funcției, aceasta crește în întregul domeniu de definiție, deci punctul X= 0 nu este un punct extrem al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să aibă suficiente indicații, care permit să se judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și care - un maxim sau un minim.

Teoremă (primul criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 f(X) , dacă derivata funcției își schimbă semnul la trecerea prin acest punct, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim .

Dacă aproape de punct X0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o vecinătate a punctului X0 . În acest caz, la punctul X0 nu există extremum.

Asa de, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata unei funcții.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe axa numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele obținute. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul critic este punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2 Găsiți extremele unei funcții .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Echivalează derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, atunci echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic X= 3 . Determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - semnul minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit - un semn plus, adică funcția crește.

Adică punctul X= 3 este punctul minim.

Găsiți valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0) , și este punctul minim.

Teoremă (al doilea criteriu suficient pentru existența unui extremum al unei funcții). Punct critic X0 este punctul extremum al funcției f(X), dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(X) ≠ 0 ), în plus, dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(X) > 0 ), atunci punctul maxim și dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Observaţie 1. Dacă la un moment dat X0 atât prima cât și a doua derivată dispar, atunci în acest moment este imposibil să judecăm prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea semn suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul funcției.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții este de asemenea inaplicabil atunci când derivata întâi nu există în punctul staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, este necesar să se folosească și primul criteriu suficient pentru extremul funcției.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții este de natură locală - aceasta este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu cele mai apropiate valori.

Să presupunem că luați în considerare câștigurile dvs. într-un interval de timp de un an. Dacă în luna mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble, iar în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt maximul funcției de câștig în comparație cu cele mai apropiate valori. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile lunilor aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, o funcție poate avea mai multe extreme pe un interval și se poate dovedi că orice minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul funcției sunt, respectiv, valorile maxime și minime ale acesteia pe întregul segment luat în considerare. În punctul de maxim, funcția are cea mai mare valoare numai în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim, cea mai mică valoare numai în comparație cu acele valori că are în toate punctele suficient de aproape de punctul minim.

Prin urmare, putem rafina conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și numim punctele minime puncte minime locale, iar punctele maxime - puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3

Rezolvare.Funcția este definită și continuă pe întreaga dreaptă numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare, în acest caz, numai cele la care , adică, servesc ca puncte critice. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu al funcției în trei intervale de monotonitate: . Selectăm câte un punct de control în fiecare dintre ele și găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de referință poate fi : găsim . Luând un punct din interval, obținem , iar luând un punct din interval, avem . Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primului semn suficient al unui extremum, nu există un extrem în punct (deoarece derivata își păstrează semnul în intervalul ), iar funcția are un minim în punct (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus când trece). prin acest punct). Găsiți valorile corespunzătoare ale funcției: , și . În interval, funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval.

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini și , adică două puncte (0; 0) și (4; 0) din graficul funcției se găsesc. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi la începutul exemplului).

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Exemplul 4 Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul funcției este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, adică. .

Pentru a scurta studiul, putem folosi faptul că această funcție este pară, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru intervalul .

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o întrerupere în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcția dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, verificăm doar punctul după al doilea semn suficient al extremului. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua si determinam semnul acestuia la : obtinem . Deoarece și , atunci este punctul minim al funcției, în timp ce .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului funcției, să aflăm comportamentul acesteia la limitele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința X la zero în dreapta și X rămâne pozitivă; în mod similar înseamnă aspirație X la zero în stânga și X rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

acestea. daca atunci .

Graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Pentru autoverificare în timpul calculelor, puteți utiliza calculator de derivate online .

Continuăm să căutăm împreună extreme ale funcției

Exemplul 8 Aflați extremele funcției.

Soluţie. Găsiți domeniul funcției. Deoarece inegalitatea trebuie să se mențină, obținem din .

Să găsim prima derivată a funcției.

Teorema. (condiție necesară pentru existența unui extremum) Dacă funcția f (x) este diferențiabilă în punctul x \u003d x 1 și punctul x 1 este un punct extrem, atunci derivata funcției dispare în acest punct.

Dovada. Să presupunem că funcția f(x) are un maxim în punctul x = x 1.

Atunci, pentru Dх>0 pozitiv suficient de mic, următoarea inegalitate este adevărată:

Prioritate A:

Acestea. dacă Dх®0, dar Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, apoi f¢(x 1) £ 0.

Și acest lucru este posibil numai dacă la Dх®0 f¢(x 1) = 0.

Pentru cazul în care funcția f(x) are un minim în punctul x 2, teorema se demonstrează în mod similar.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Reversul nu este adevărat. Dacă derivata unei funcții la un moment dat este egală cu zero, atunci aceasta nu înseamnă că funcția are un extremum în acest punct. Un exemplu elocvent în acest sens este funcția y \u003d x 3, a cărei derivată în punctul x \u003d 0 este egală cu zero, dar în acest moment funcția are doar o inflexiune și nu un maxim sau un minim.

Definiție. puncte critice Funcțiile sunt puncte în care derivata funcției nu există sau este egală cu zero.

Teorema considerată mai sus ne oferă condițiile necesare pentru existența unui extremum, dar acest lucru nu este suficient.

Exemplu: f(x) = ôxô Exemplu: f(x) =

y y

În punctul x = 0 funcția are un minim, dar în punctul x = 0 funcția nu are niciunul

nu are derivat. maxim, fără minim, nu

În general, funcția f(x) poate avea un extrem în punctele în care derivata nu există sau este egală cu zero.

Teorema. (Condiții suficiente pentru existența unui extremum)

Fie ca funcția f(x) să fie continuă în intervalul (a, b), care conține punctul critic x 1 și să fie diferențiabilă în toate punctele acestui interval (cu excepția, poate, a punctului x 1 însuși).

Dacă, la trecerea prin punctul x 1 de la stânga la dreapta, derivata funcției f¢(x) își schimbă semnul din „+” în „-“, atunci în punctul x = x 1 funcția f(x) are un maxim, iar dacă derivata își schimbă semnul de la „- „ la „+” - atunci funcția are un minim.

Dovada.

Lăsa

Conform teoremei lui Lagrange: f(x) - f(x 1) = f¢(e)(x - x 1), unde x< e < x 1 .

Atunci: 1) Dacă x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

2) Dacă x > x 1, atunci e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно

f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).

Deoarece răspunsurile sunt aceleași, putem spune că f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.

Dovada teoremei pentru punctul minim este similară.

Teorema a fost demonstrată.

Pe baza celor de mai sus, este posibil să se dezvolte o singură procedură pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un segment:

1) Aflați punctele critice ale funcției.

2) Găsiți valorile funcției în punctele critice.

3) Găsiți valorile funcției la capetele segmentului.

4) Alegeți dintre valorile obținute cea mai mare și cea mai mică.

Investigarea unei funcții până la extrem folosind

derivate de ordin superior.

Fie f¢(x 1) = 0 în punctul x = x 1 și fie f¢¢(x 1) să existe și să fie continuă într-o vecinătate a punctului x 1 .

Teorema. Dacă f¢(x 1) = 0, atunci funcția f(x) în punctul x = x 1 are un maxim dacă f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.

Dovada.

Fie f¢(x 1) = 0 și f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .

Deoarece f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 la x x 1 . Aceasta înseamnă că la trecerea prin punctul x = x 1, derivata f¢(x) își schimbă semnul din „+” în „-”, adică.

în acest moment funcția f(x) are un maxim.

Pentru cazul unei funcții minime, teorema se demonstrează în mod similar.

Dacă f¢¢(x) = 0, atunci natura punctului critic este necunoscută. Sunt necesare cercetări suplimentare pentru a-l determina.

Convexitatea și concavitatea unei curbe.

Puncte de inflexiune.

Definiție. Curba este convexă sus pe intervalul (a, b) dacă toate punctele sale se află sub oricare dintre tangentele sale pe acest interval. O curbă cu un punct convex în sus se numește convex, iar curba convexă în jos se numește concav.

la

Figura prezintă o ilustrare a definiției de mai sus.

Teorema 1. Dacă în toate punctele intervalului (a, b) derivata a doua a funcției f(x) este negativă, atunci curba y = f(x) este convexă în sus (convexă).

Dovada. Fie x 0 О (a, b). Desenați o tangentă la curbă în acest punct.

Ecuația curbei: y = f(x);

Ecuația tangentei:

Trebuie demonstrat că .

Conform teoremei Lagrange pentru f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.

Conform teoremei Lagrange pt

Fie x > x 0 apoi x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 și c - x 0 > 0 și, în plus, prin condiție

Prin urmare, .

Fie x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то

Se poate dovedi în mod similar că dacă f¢¢(x) > 0 pe intervalul (a, b), atunci curba y=f(x) este concavă pe intervalul (a, b).

Teorema a fost demonstrată.

Definiție. Se numește punctul care separă partea convexă a curbei de partea concavă punct de inflexiune.

Evident, în punctul de inflexiune, tangenta intersectează curba.

Teorema 2. Fie curba definită de ecuația y = f(x). Dacă derivata a doua f¢¢(a) = 0 sau f¢¢(a) nu există și la trecerea prin punctul x = a f¢¢(x) își schimbă semnul, atunci punctul curbei cu abscisa x = a este un punct de inflexiune.

Dovada. 1) Fie f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 pentru x > a. Apoi la

X< a кривая выпукла, а при x >o curbă este concavă, adică punctul x = a este punctul de inflexiune.

2) Fie f¢¢(x) > 0 pentru x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b - se umflă. Atunci x = b este un punct de inflexiune.

Teorema a fost demonstrată.

Asimptote.

În studiul funcțiilor, se întâmplă adesea ca atunci când coordonata x a unui punct al unei curbe este îndepărtată la infinit, curba se apropie la infinit de o anumită linie dreaptă.

Definiție. Apelat direct asimptotă curbă, dacă distanța de la punctul variabil al curbei la această linie dreaptă tinde spre zero atunci când punctul este îndepărtat la infinit.

Trebuie remarcat faptul că nu orice curbă are o asimptotă. Asimptotele pot fi drepte sau oblice. Studiul funcțiilor pentru prezența asimptotelor este de mare importanță și vă permite să determinați mai precis natura funcției și comportamentul graficului curbei.

În general, curba, apropiindu-se de asimptota ei la nesfârșit, o poate intersecta și nu la un moment dat, așa cum se arată în graficul funcției de mai jos . Asimptota sa oblică y = x.

Să luăm în considerare mai detaliat metodele de găsire a asimptotelor curbelor.

Asimptote verticale.

Din definiția asimptotei rezultă că dacă sau sau , atunci linia x = a este asimptota curbei y = f(x).

De exemplu, pentru o funcție, linia x = 5 este asimptota verticală.

Asimptote oblice.

Să presupunem că curba y = f(x) are o asimptotă oblică y = kx + b.

Să desemnăm punctul de intersecție al curbei și perpendiculara pe asimptotă - M, P - punctul de intersecție al acestei perpendiculare cu asimptota. Unghiul dintre asimptotă și axa x va fi notat cu j. Perpendiculara MQ pe axa x intersectează asimptota în punctul N.

Atunci MQ = y este ordonata punctului curbei, NQ = este ordonata punctului N de pe asimptotă.

După condiție: , РNMP = j, .

Atunci unghiul j este constant și nu este egal cu 90 0

Apoi .

Deci, linia y = kx + b este o asimptotă a curbei. Pentru a determina cu precizie această linie, este necesar să găsiți o modalitate de a calcula coeficienții k și b.

În expresia rezultată, scoatem x din paranteze:

Deoarece x®¥, atunci , deoarece b = const, atunci .

Apoi , prin urmare,

.

Deoarece , Acea , prin urmare,

Rețineți că asimptotele orizontale sunt un caz special de asimptote oblice pentru k =0.

Exemplu. .

1) Asimptote verticale: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, prin urmare, x = 0 este o asimptotă verticală.

2) Asimptote oblice:

Astfel, linia dreaptă y = x + 2 este o asimptotă oblică.

Să diagramăm funcția:

Exemplu. Găsiți asimptote și reprezentați grafic funcția.

Liniile x=3 și x=-3 sunt asimptotele verticale ale curbei.

Găsiți asimptote oblice:

y = 0 este asimptota orizontală.

Exemplu. Găsiți asimptote și reprezentați grafic funcția .

Linia x = -2 este asimptota verticală a curbei.

Să găsim asimptote oblice.

În total, linia y = x - 4 este o asimptotă oblică.

Schema de studiu a funcției

Procesul de cercetare a unei funcții constă din mai multe etape. Pentru cea mai completă idee despre comportamentul funcției și natura graficului acesteia, este necesar să găsiți:

1) Domeniul de aplicare al funcției.

Acest concept include atât domeniul valorilor, cât și domeniul unei funcții.

2) Puncte de întrerupere. (Dacă sunt disponibile).

3) Intervale de crestere si scadere.

4) Puncte de maxim și minim.

5) Valoarea maximă și minimă a funcției pe domeniul său de definire.

6) Zone de convexitate și concavitate.

7) Puncte de inflexiune (dacă există).

8) Asimptote (dacă există).

9) Construirea unui grafic.

Să folosim această schemă cu un exemplu.

Exemplu. Investigați funcția și trasați graficul acesteia.

Găsiți aria de existență a funcției. Este evident că domeniul definirii funcția este aria (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

La rândul lor, se poate observa că liniile x = 1, x = -1 sunt asimptote verticale strâmb.

Zona valoric al acestei funcții este intervalul (-¥; ¥).

puncte de pauză funcțiile sunt punctele x=1, x=-1.

Găsim puncte critice.

Să găsim derivata funcției

Puncte critice: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Să găsim derivata a doua a funcției

Să determinăm convexitatea și concavitatea curbei la intervale.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < 0, y¢¢ >0, curbă concavă

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ >0, curbă concavă

< x < ¥, y¢¢ >0, curbă concavă

Găsirea lacune crescândȘi Descendentă funcții. Pentru a face acest lucru, determinăm semnele derivatei funcției pe intervale.

-¥ < x < - , y¢ >0, funcția este în creștere

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ >0, funcția este în creștere

Se poate observa că punctul x = - este un punct maxim, iar punctul x = este punctul minim. Valorile funcției în aceste puncte sunt -3/2 și, respectiv, 3/2.

Despre verticală asimptote s-a spus deja mai sus. Acum să găsim asimptote oblice.

Deci, ecuația asimptotă oblică este y = x.

Să construim programa Caracteristici:

Funcțiile mai multor variabile

Când luăm în considerare funcțiile mai multor variabile, ne limităm la o descriere detaliată a funcțiilor a două variabile, deoarece toate rezultatele obţinute vor fi valabile pentru funcţii ale unui număr arbitrar de variabile.

Definiție: Dacă fiecărei perechi de numere independente (x, y) dintr-o anumită mulțime i se atribuie una sau mai multe valori ale variabilei z conform unei reguli, atunci variabilei z se numește funcție a două variabile.

Definiție: Dacă o pereche de numere (x, y) corespunde unei valori a lui z, atunci funcția este numită lipsit de ambiguitate, iar dacă mai mult de unul, atunci - ambiguu.

Definiție: Domeniul de aplicare al definiției funcția z este mulțimea de perechi (x, y) pentru care există funcția z.

Definiție: Punct de vecinătate M 0 (x 0, y 0) cu raza r este colecția tuturor punctelor (x, y) care îndeplinesc condiția .

Definiție: Se numește numărul A limită funcția f(x, y) deoarece punctul M(x, y) tinde către punctul M 0 (x 0, y 0), dacă pentru fiecare număr e > 0 există un astfel de număr r > 0 încât pentru orice punct M (x, y) pentru care condiția

conditia este si ea adevarata .

Scrie:

Definiție: Fie punctul M 0 (x 0, y 0) să aparțină domeniului funcției f(x, y). Atunci se numește funcția z = f(x, y). continuuîn punctul M 0 (x 0, y 0), dacă

(1)

în plus, punctul M(x, y) tinde spre punctul M 0 (x 0, y 0) în mod arbitrar.

Dacă condiția (1) nu este îndeplinită în niciun moment, atunci acest punct este numit punctul limita funcțiile f(x, y). Acest lucru poate fi în următoarele cazuri:

1) Funcția z \u003d f (x, y) nu este definită în punctul M 0 (x 0, y 0).

2) Nu există limită.

3) Această limită există, dar nu este egală cu f(x 0 , y 0).

Proprietate. Dacă funcția f(x, y, …) este definită și continuă într-un și închis

zona delimitata D, atunci in aceasta zona exista cel putin un punct

N(x 0 , y 0 , …) astfel încât inegalitatea

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

precum și un punct N 1 (x 01 , y 01 , ...), astfel încât pentru toate celelalte puncte inegalitatea este adevărată

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

atunci f(x 0 , y 0 , …) = M – cea mai mare valoare funcții și f(x 01 , y 01 , ...) = m - cea mai mică valoare funcțiile f(x, y, …) în domeniul D.

O funcție continuă într-un domeniu închis și mărginit D atinge cel puțin o dată valoarea sa maximă și o dată valoarea sa minimă.

Proprietate. Dacă funcția f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, iar M și m sunt cele mai mari și, respectiv, cele mai mici valori ale funcției din acest domeniu, atunci pentru orice punct m О există este un punct

N 0 (x 0 , y 0 , …) astfel încât f(x 0 , y 0 , …) = m.

Mai simplu spus, o funcție continuă preia în domeniul D toate valorile intermediare dintre M și m. O consecință a acestei proprietăți poate fi concluzia că dacă numerele M și m au semne diferite, atunci în domeniul D funcția dispare cel puțin o dată.

Proprietate. Funcția f(x, y, …), continuă într-un domeniu mărginit închis D, limitatîn această zonă, dacă există un astfel de număr K încât pentru toate punctele ariei inegalitatea este adevărată .

Proprietate. Dacă o funcție f(x, y, …) este definită și continuă într-un domeniu închis și mărginit D, atunci aceasta uniform continuuîn acest domeniu, adică pentru orice număr pozitiv e există un astfel de număr D > 0 încât pentru oricare două puncte (x 1 , y 1) și (x 2 , y 2) ale ariei situate la o distanță mai mică decât D, inegalitatea

Proprietățile de mai sus sunt similare cu proprietățile funcțiilor unei variabile care sunt continue pe un interval. Consultați Proprietățile funcțiilor continue pe un interval.

Derivate și diferențiale de funcții

variabile multiple.

Definiție. Fie dată o funcție z = f(x, y) într-un anumit domeniu. Luați un punct arbitrar M(x, y) și setați incrementul Dx la variabila x. Atunci cantitatea D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) se numește creșterea parțială a funcției în x.

Poate fi scris

.

Apoi a sunat derivat parțial funcțiile z = f(x, y) în x.

Desemnare:

Derivata parțială a unei funcții în raport cu y este definită în mod similar.

sens geometric derivata parțială (să spunem) este tangenta pantei tangentei trasate în punctul N 0 (x 0, y 0, z 0) la secțiunea suprafeței de către planul y \u003d y 0.

Creșterea totală și diferența totală.

plan tangent

Fie N și N 0 puncte ale suprafeței date. Să trasăm o linie dreaptă NN 0 . Se numeste planul care trece prin punctul N 0 plan tangent la suprafaţă dacă unghiul dintre secanta NN 0 şi acest plan tinde spre zero când distanţa NN 0 tinde spre zero.

Definiție. normal faţă de suprafaţa din punctul N 0 se numeşte dreptă care trece prin punctul N 0 perpendicular pe planul tangent la această suprafaţă.

La un moment dat, suprafața are fie un singur plan tangent, fie nu îl are deloc.

Dacă suprafața este dată de ecuația z \u003d f (x, y), unde f (x, y) este o funcție diferențiabilă în punctul M 0 (x 0, y 0), planul tangent în punctul N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) există și are ecuația:

Ecuația pentru normala la suprafață în acest punct este:

sens geometric a diferenţialului total al unei funcţii de două variabile f (x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonata z) a planului tangent la suprafaţă în timpul tranziţiei de la punct (x 0, y 0) până la punctul (x 0 + Dx, y 0 + Dy).

După cum puteți vedea, semnificația geometrică a diferenţialului total al unei funcții a două variabile este un analog spațial al semnificației geometrice a diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

Exemplu. Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață

în punctul M(1, 1, 1).

Ecuația planului tangent:

Ecuația normală:

Calcule aproximative folosind diferența totală.

Diferenţialul total al funcţiei u este:

Valoarea exactă a acestei expresii este 1,049275225687319176.

Derivate parțiale de ordin superior.

Dacă funcția f(x, y) este definită într-un domeniu D, atunci derivatele sale parțiale și vor fi, de asemenea, definite în același domeniu sau o parte a acestuia.

Vom numi aceste derivate derivate parțiale de ordinul întâi.

Derivatele acestor funcții vor fi derivate parțiale de ordinul doi.

Continuând să diferențiem egalitățile obținute, obținem derivate parțiale de ordin superior.

Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studiul unui astfel de concept este extrem de important pentru înțelegerea fundamentelor matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

In contact cu

Ce este o extremă?

În cursul școlar sunt date multe definiții ale conceptului de „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Extremul este atât valoarea minimă a funcției, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe în care este utilizat acest concept:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Punctele extreme joacă un rol important în determinarea succesiunii unei anumite funcții. Sistemul de coordonate de pe grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de lucru ca un „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-o ordine sau alta.

Derivata în sine este determinată pe baza datelor punctelor extreme, și nu pe cea mai mare sau pe cea mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de lucru drept un „extrem ascuțit”. Până în prezent, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe o diagramă.

Pentru a defini un astfel de concept se folosește teorema lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții de scădere sau creștere pe diagramă.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsești punctul maxim”, trebuie să urmați următoarele prevederi:

1. Găsirea zonei exacte de definiție pe diagramă.
2. Căutați derivata unei funcții și a unui punct extrem.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul argumentului.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutarea unui punct critic al unei funcții este posibilă numai dacă există o derivată de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul funcției

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și puncte maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important să înțelegem că cazul în care un punct dispare nu este principiul principal al găsirii unui punct diferențiabil.

Un extremum ascuțit, precum și un minim al funcției, este un aspect extrem de important al rezolvării unei probleme matematice folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să ne referim la valorile tabelare pentru definirea funcționalului.

O explorare completă a sensului

Trasarea unei valori

1. Determinarea punctelor de creștere și scădere a valorilor. 2. Găsirea punctelor de rupere, a extremului și a intersecției cu axele de coordonate. 3. Procesul de determinare a schimbărilor de poziție pe diagramă. 4. Determinarea indicelui și direcției de convexitate și convexitate, ținând cont de prezența asimptotelor. 5. Crearea unui tabel rezumativ al studiului în ceea ce privește determinarea coordonatelor acestuia. 6. Constatarea intervalelor de crestere si scadere a punctelor extreme si acute. 7. Determinarea convexității și concavității curbei. 8. Construirea unui grafic pe baza studiului vă permite să găsiți un minim sau un maxim.

Elementul principal, atunci când este necesar să se lucreze cu extreme, este construcția exactă a graficului său. Profesorii școlii nu acordă adesea maximă atenție unui aspect atât de important, care este o încălcare gravă a procesului educațional. Graficul este construit numai pe baza rezultatelor studiului datelor funcționale, a definiției extremelor ascuțite, precum și a punctelor din grafic. Extremele ascuțite ale derivatei unei funcții sunt afișate pe un grafic al valorilor exacte utilizând procedura standard pentru determinarea asimptotelor. Punctele maxime și minime ale funcției sunt însoțite de o reprezentare mai complexă. Acest lucru se datorează unei nevoi mai profunde de a rezolva problema unui extremum ascuțit. De asemenea, este necesar să se găsească derivata unei funcții complexe și simple, deoarece acesta este unul dintre cele mai importante concepte în problema extremumului.

Extremul funcțional

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru raportul extremal;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul unui extremum acut.

Există, de asemenea, concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul exact al acestuia. În același timp, funcționalitatea ascuțită este căutarea și crearea tuturor condițiilor necesare pentru lucrul cu graficul funcției.

Se consideră funcția y = f(x), care este considerată pe intervalul (a, b).

Dacă este posibil să se specifice o astfel de b-vecinătate a punctului x1 aparținând intervalului (a, b) încât pentru tot x (x1, b) să fie satisfăcută inegalitatea f(x1) > f(x), atunci y1 = f1(x1) se numește functia maxima y = f(x) vezi fig.

Maximul funcției y = f(x) se notează cu max f(x). Dacă este posibil să se specifice o vecinătate de 6 a punctului x2 aparținând intervalului (a, b) astfel încât pentru tot x să aparțină lui O(x2, 6), x nu este egal cu x2, inegalitatea f(x2)< f(x) , atunci y2= f(x2) se numește minimul funcției y-f(x) (vezi Fig.).

Un exemplu de găsire a maximului, vezi următorul videoclip

Caracteristică minimă

Minimul funcției y = f(x) se notează cu min f(x). Cu alte cuvinte, maximul sau minimul unei funcții y = f(x) numit valoarea sa, care este mai mare (mai mică) decât toate celelalte valori luate în puncte suficient de apropiate de cea dată și diferite de aceasta.

Observația 1. Caracteristica maximă, determinat de inegalitate se numește maxim strict; Maximul nestrict este definit de inegalitatea f(x1) > = f(x2)

Observația 2. au un caracter local (acestea sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției într-o vecinătate suficient de mică a punctului corespunzător); minimele individuale ale unei anumite funcții pot fi mai mari decât maximele aceleiași funcție

Ca rezultat, se apelează maximul (minimul) al funcției maxim local(minimum local) în contrast cu maximul absolut (minimul) - cea mai mare (cea mai mică) valoare din domeniul funcției.

Maximul și minimul unei funcții se numește extremum. . Extreme în găsire pentru funcții de trasare

latin extremum înseamnă „extrem” sens. Valoarea argumentului x, la care se atinge extremul, se numește punctul extremum. Condiția necesară pentru un extremum este exprimată prin următoarea teoremă.

Teorema. În punctul de extremum al funcției diferențiabile și derivata ei este egală cu zero.

Teorema are o semnificație geometrică simplă: tangenta la graficul unei funcții diferențiabile în punctul corespunzător este paralelă cu axa x