Všeobecná metóda linearizácie

Vo väčšine prípadov je možné linearizovať nelineárne závislosti metódou malých odchýlok alebo variácií. Aby sme zvážili ᴇᴦο, obráťme sa na nejaký odkaz v systéme automatického riadenia (obr. 2.2). Vstupné a výstupné veličiny sú označené X1 a X2 a vonkajšia perturbácia je označená F(t).

Predpokladajme, že väzba je opísaná nejakou nelineárnou diferenciálnou rovnicou tvaru

Na zostavenie takejto rovnice je potrebné použiť príslušný odbor technických vied (napríklad elektrotechnika, mechanika, hydraulika atď.), ktorý študuje tento konkrétny typ zariadenia.

Základom linearizácie je predpoklad, že odchýlky všetkých premenných zahrnutých v rovnici dynamiky spoja sú dostatočne malé, pretože práve na dostatočne malom úseku môže byť krivková charakteristika nahradená priamym segmentom. Odchýlky premenných sa v tomto prípade merajú od ich hodnôt v ustálenom procese alebo v určitom rovnovážnom stave systému. Nech je napríklad ustálený proces charakterizovaný konštantnou hodnotou premennej X1, ktorú označíme ako X10. V procese regulácie (obr. 2.3) bude mať premenná X1 hodnoty kde označuje odchýlku premennej X 1 od ustálenej hodnoty X10.

Podobné vzťahy sú zavedené pre ďalšie premenné. Pre uvažovaný prípad máme ˸ a tiež .

Všetky odchýlky sa považujú za dostatočne malé. Tento matematický predpoklad nie je v rozpore s fyzikálnym významom problému, pretože samotná myšlienka automatického riadenia vyžaduje, aby všetky odchýlky regulovanej veličiny počas procesu riadenia boli dostatočne malé.

Ustálený stav spoja je určený hodnotami X10, X20 a F0. Potom treba zapísať rovnicu (2.1) pre ustálený stav vo forme

Rozšírme ľavú stranu rovnice (2.1) v Taylorovom rade

kde D sú členy vyššieho rádu. Index 0 pre parciálne derivácie znamená, že po prevzatí derivácie je potrebné do jej vyjadrenia dosadiť ustálenú hodnotu všetkých premenných.

Výrazy vyššieho rádu vo vzorci (2.3) zahŕňajú vyššie parciálne derivácie vynásobené druhými mocničkami, kockami a vyššími stupňami odchýlok, ako aj súčin odchýlok. Budú malé vyššieho rádu v porovnaní so samotnými odchýlkami, ktoré sú malé prvého rádu.

Rovnica (2.3) je rovnica dynamiky spojenia, rovnako ako (2.1), ale napísaná v inej forme. Z tejto rovnice zahodíme malé hodnoty vyššieho rádu a potom od rovnice (2.3) odčítame rovnice v ustálenom stave (2.2). Výsledkom je nasledujúca približná rovnica dynamiky väzby v malých odchýlkach˸

Do tejto rovnice vstupujú všetky premenné a ich deriváty lineárne, teda do prvého stupňa. Všetky parciálne derivácie sú nejaké konštantné koeficienty v prípade, že sa skúma systém s konštantnými parametrami. Ak má systém premenlivé parametre, potom rovnica (2.4) bude mať premenlivé koeficienty. Uvažujme iba prípad konštantných koeficientov.

Všeobecná metóda linearizácie - pojem a typy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Všeobecná metóda linearizácie" 2015, 2017-2018.

Metóda harmonickej linearizácie (harmonická rovnováha) umožňuje určiť podmienky pre existenciu a parametre možných vlastných oscilácií v nelineárnych automatických riadiacich systémoch. Vlastné oscilácie sú určené limitnými cyklami vo fázovom priestore systémov. Limitné cykly rozdeľujú priestor (všeobecne - viacrozmerný) v oblastiach tlmených a divergentných procesov. V dôsledku výpočtu parametrov vlastných oscilácií je možné vyvodiť záver o ich prípustnosti pre daný systém alebo o potrebe zmeniť parametre systému.

Metóda umožňuje:

Určite podmienky stability nelineárneho systému;

Nájdite frekvenciu a amplitúdu voľných oscilácií systému;

Syntetizovať korekčné obvody na zabezpečenie požadovaných parametrov vlastných oscilácií;

Skúmať vynútené oscilácie a hodnotiť kvalitu prechodových procesov v nelineárnych automatických riadiacich systémoch.

Podmienky použiteľnosti metódy harmonickej linearizácie.

1) Pri použití metódy sa predpokladá, že lineárnečasť systému je stabilná alebo neutrálna.

2) Signál na vstupe nelineárneho spoja je tvarovo blízky harmonickému signálu. Toto ustanovenie si vyžaduje vysvetlenie.

Obrázok 1 zobrazuje blokové schémy nelineárneho ACS. Obvod pozostáva zo sériovo zapojených spojov: nelineárneho spoja y=F(x) a lineárneho

th, ktorý je opísaný diferenciálnou rovnicou

Pre y = F(g - x) = g - x získame pohybovú rovnicu lineárneho systému.

Zvážte voľný pohyb, t.j. pre g(t) º 0. Potom,

V prípade, že v systéme dochádza k vlastným osciláciám, voľný pohyb systému je periodický. Neperiodický pohyb v priebehu času končí zastavením systému v určitej konečnej polohe (zvyčajne na špeciálne poskytnutom obmedzovači).

Pri akejkoľvek forme periodického signálu na vstupe nelineárneho prvku bude signál na jeho výstupe obsahovať okrem základnej frekvencie aj vyššie harmonické. Predpoklad, že signál na vstupe nelineárnej časti systému možno považovať za harmonický, t.j.

x(t)@a×sin(hmotn.),

kde w=1/T, T je perióda voľných kmitov systému, je ekvivalentná predpokladu, že lineárna časť systému efektívne filtre vyššie harmonické signálu y(t) = F(x (t)).

Vo všeobecnom prípade, keď na vstupe pôsobí nelineárny prvok harmonického signálu x(t), výstupný signál môže byť Fourierovou transformáciou:

Koeficienty Fourierových radov

Pre zjednodušenie výpočtov nastavíme C 0 =0, t.j., že funkcia F(x) je symetrická vzhľadom na počiatok. Takéto obmedzenie nie je potrebné a robí sa analýzou. Výskyt koeficientov Ck¹0 znamená, že vo všeobecnom prípade je nelineárna transformácia signálu sprevádzaná fázovými posunmi konvertovaného signálu. Deje sa to najmä v nelineárnostiach s nejednoznačnými charakteristikami (s rôznymi druhmi hysteréznych slučiek), oneskorením av niektorých prípadoch fázový predstih.

Predpoklad efektívnej filtrácie znamená, že amplitúdy vyšších harmonických na výstupe lineárnej časti systému sú malé, tj.

Splnenie tejto podmienky je uľahčené tým, že v mnohých prípadoch sú amplitúdy harmonických už priamo na výstupe nelinearity výrazne menšie ako amplitúda prvej harmonickej. Napríklad na výstupe ideálneho relé s harmonickým signálom na vstupe

y(t)=F(с×sin(wt))=a×znamienko(sin(wt))

neexistujú žiadne párne harmonické a amplitúda tretej harmonickej in tri krát menšia ako amplitúda prvej harmonickej

Poď robiť posúdenie stupňa potlačenia vyšších harmonických signálu v lineárnej časti ACS. Aby sme to dosiahli, robíme niekoľko predpokladov.

1) Frekvencia voľných oscilácií ACS približne rovná medznej frekvencii jeho lineárna časť. Všimnite si, že frekvencia voľných oscilácií nelineárneho automatického riadiaceho systému sa môže výrazne líšiť od frekvencie voľných oscilácií lineárneho systému, takže tento predpoklad nie je vždy správny.

2) Index oscilácie ACS vezmeme rovný M=1,1.

3) LAH v blízkosti medznej frekvencie (w s) má strmosť -20 dB/dec. Hranice tohto úseku LAH súvisia s indexom oscilácie vzťahmi

4) Frekvencia w max je konjugovaná so sekciou LPH, takže keď w > w max je strmosť LAH aspoň mínus 40 dB/dec.

5) Nelinearita - ideálne relé s charakteristikou y = sgn(x), takže na jeho nelineárnom výstupe budú prítomné iba nepárne harmonické.

Frekvencie tretej harmonickej w 3 \u003d 3w c, piatej w 5 \u003d 5w c,

lgw 3 = 0,48 + lgw c ,

lgw5 = 0,7 + lgwc.

Frekvencia w max = 1,91w s, lgw max = 0,28+lgw s. Rohová frekvencia je vzdialená 0,28 dekády od medznej frekvencie.

Pokles amplitúd vyšších harmonických signálu pri ich prechode cez lineárnu časť systému bude pre tretiu harmonickú

L 3 \u003d -0,28 × 20-(0,48-0,28) × 40 \u003d -13,6 dB, teda 4,8-krát,

pre piaty - L 5 \u003d -0,28 × 20-(0,7-0,28) × 40 \u003d -22,4 dB, to znamená 13-krát.

V dôsledku toho bude signál na výstupe lineárnej časti blízko harmonickej

To je ekvivalentné predpokladu, že systém je dolnopriepustný filter.

Pokiaľ ide o funkciu Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ, nelineárny vzhľadom na systém jeho argumentov, riešenie úlohy vo vyššie formulovanej formulácii možno spravidla získať len približne na základe metódy linearizácie. Podstata metódy linearizácie spočíva v tom, že nelineárna funkcia sa nahradí nejakou lineárnou a potom sa podľa už známych pravidiel zistia numerické charakteristiky tejto lineárnej funkcie, ktoré sa považujú za približne rovnaké ako numerické charakteristiky nelineárnej funkcie. lineárna funkcia.

Uvažujme o podstate tejto metódy na príklade funkcie jedného náhodného argumentu.

Ak je náhodná premenná Z daná funkcia

náhodný argument X, potom jeho možné hodnoty z spojené s možnými hodnotami argumentu X funkciu rovnakého druhu, t.j.

(napríklad, ak Z = hriech X, potom z= hriechX).

Rozšírime funkciu (3.20) v Taylorovom rade v okolí bodu X= m , pričom sa obmedzíme len na prvé dva členy expanzie, a budeme to predpokladať

Hodnota derivácie funkcie (3.20) vzhľadom na argument X pri X = t x.

Tento predpoklad je ekvivalentný nahradeniu danej funkcie (3.19) lineárnou funkciou

Na základe teorémov o matematických očakávaniach a rozptyloch získame výpočtové vzorce na určenie číselných charakteristík mz ja vo forme

Upozorňujeme, že v posudzovanom prípade by sa smerodajná odchýlka a r mala vypočítať podľa vzorca

(Modul derivátu sa tu berie preto, že

môže byť negatívny.)

Aplikácia metódy linearizácie na nájdenie numerických charakteristík nelineárnej funkcie

ľubovoľný počet náhodných argumentov vedie k výpočtovým vzorcom na určenie jeho matematického očakávania, ktoré majú tvar

x 2, ..., x n) argumentmi X. a X. vypočítané s prihliadnutím na znamienka v bode sh x, m^, t Xp, t.j. nahradením všetkých ich argumentov x v x 2, ..., x n ich matematické očakávania.

Spolu so vzorcom (3.26) na určenie disperzie D? môžete použiť kalkulačný vzorec formulára

kde g x x - korelačný koeficient náhodných argumentov X.

Pri použití na nelineárnu funkciu nezávislých (alebo aspoň nekorelovaných) náhodných argumentov majú vzorce (3.26) a (3.27) tvar

Vzorce založené na linearizácii nelineárnych funkcií náhodných argumentov umožňujú určiť ich číselné charakteristiky len približne. Presnosť výpočtu je tým menšia, čím viac sa dané funkcie líšia od lineárnych a tým väčší je rozptyl argumentov. Nie je vždy možné odhadnúť možnú chybu v každom konkrétnom prípade.

Na spresnenie výsledkov získaných touto metódou možno použiť techniku ​​založenú na zachovaní v expanzii nelineárnej funkcie nielen lineárnej, ale aj niektorých následných členov expanzie (zvyčajne kvadratického).

Navyše číselné charakteristiky nelineárnej funkcie náhodných argumentov možno určiť na základe predbežného hľadania zákona o jej rozdelení pre dané rozdelenie sústavy argumentov. Treba si však uvedomiť, že analytické riešenie takéhoto problému je často príliš komplikované. Preto sa na nájdenie numerických charakteristík nelineárnych funkcií náhodných argumentov široko používa metóda štatistického modelovania.

Základom metódy je simulácia série testov, z ktorých každý má určitý súbor x i, x 2i, ..., xni náhodné hodnoty argumentov x v x 2 ,..., x n zo súboru zodpovedajúceho ich spoločnému rozdeleniu. Získané hodnoty pomocou daného vzťahu (3.24) sa transformujú na zodpovedajúce hodnoty z. skúmanej funkcie Z. Podľa výsledkov z v z 2, ..., z., ..., zk všetky do pri takýchto testoch sa požadované numerické charakteristiky vypočítajú metódami matematickej štatistiky.

Príklad 3.2. Na základe metódy linearizácie určte matematické očakávanie a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej

1. Vzorcom (3.20) dostaneme

2. Pomocou tabuľky derivácií elementárnych funkcií nájdeme

a vypočítajte hodnotu tohto derivátu v bode :

3. Vzorcom (3.23) dostaneme

Príklad 3.3. Na základe metódy linearizácie určte matematické očakávanie a smerodajnú odchýlku náhodnej premennej

1. Vzorcom (3.25) dostaneme

2. Napíšme vzorec (3.27) pre funkciu dvoch náhodných argumentov

3. Nájdite parciálne derivácie funkcie Z vzhľadom na argumenty X 1 a X 2:

a vypočítajte ich hodnoty v bode (m Xi ,t x2):

4. Dosadením získaných údajov do vzorca na výpočet rozptylu Z získame Dz= 1. Preto u r = 1.

Diferenciálne rovnice môžu byť linearizované nasledujúcimi metódami:

1. Nelineárna funkcia pracovnej oblasti je rozšírená do Taylorovho radu.

2. Nelineárne funkcie uvedené vo forme grafov sú v pracovnej rovine linearizované priamkami.

3. Namiesto priameho určovania parciálnych derivácií sa do pôvodných nelineárnych rovníc zavádzajú premenné.

,

. (33)

4. Táto metóda je založená na stanovení koeficientov metódou najmenších štvorcov.

, (34)

kde - časová konštanta pneumatického pohonu;

- prevodový pomer pneumatického pohonu;

- koeficient tlmenia pneumatického pohonu.

Vnútorná štruktúra prvkov ACS sa najjednoduchšie určí pomocou blokových diagramov grafov. Na rozdiel od dobre známych blokových diagramov v grafoch sú premenné indikované vo forme času a oblúky označujú buď parametre alebo prenosové funkcie typických prepojení. Je medzi nimi vyrovnaný vzťah.

mm nelineárne prvky

Linearizačné metódy uvedené v prvej kapitole sú použiteľné vtedy, keď nelinearita obsiahnutá v objekte LSA je aspoň raz diferencovateľná alebo aproximovaná tangentou s malou chybou nejakého okolia blízko pracovného bodu. Existuje celá trieda nelinearít, pre ktoré nie sú splnené obe podmienky. Zvyčajne ide o významné nelinearity. Patria sem: krokové, po častiach lineárne a viachodnotové funkcie s bodmi diskontinuity prvého druhu, ako aj mocninné a transtendentálne funkcie. Použitie CCM, ktoré poskytujú vykonávanie logicko-algebraických operácií v systémoch, viedlo k novým typom linearít, ktoré sú reprezentované spojitými premennými pomocou špeciálnej logiky.

Na matematický popis takýchto nelinearít sa používajú ekvivalentné prenosové funkcie v závislosti od koeficientov linearizácie, ktoré sa získajú minimalizáciou strednej štvorcovej chyby reprodukcie daného vstupného signálu. Tvar vstupných signálov prichádzajúcich na vstup nelinearit môže byť ľubovoľný. V praxi sa najviac využívajú harmonické a náhodné typy vstupných signálov a ich časové kombinácie. V súlade s tým sa metódy linearizácie nazývajú harmonické a statické.

Všeobecná metóda na opis ekvivalentných prenosových funkcií ne

Celá trieda základných nelinearít je rozdelená do dvoch skupín. Do prvej skupiny patria jednohodnotové nelinearity, v ktorých je spojenie medzi vstupom a víkendy vektorových signálov závisí len od tvaru statickej charakteristiky nelinearity
.

.

V tomto prípade s určitou formou vstupných signálov:

.

Použitie linearizačnej matice
môžete zistiť približnú hodnotu výstupných signálov:

.

Z (42) vyplýva, že maticou koeficientov linearizácie jednohodnotových nelinearít sú reálne veličiny a ich ekvivalentné prenosové funkcie:

.

Do druhej skupiny patria dvojhodnotové (viachodnotové) nelinearity, pri ktorých vzťah medzi vstupným a výstupným signálom závisí nielen od tvaru statickej charakteristiky, ale je určený aj históriou vstupného signálu. V tomto prípade sa výraz (42) zapíše takto:

.

Aby sme zohľadnili vplyv prehistórie vstupného periodického signálu, budeme brať do úvahy nielen samotný signál , ale aj rýchlosť jeho zmeny, diferenciál .

Pre vstupné signály:

približná hodnota vstupného signálu bude:

kde
a
- koeficienty harmonickej linearizácie dvojhodnotových nelinearit;

- perióda kmitania na pravej harmonickej;

- harmonická funkcia.

Ekvivalentná prenosová funkcia:

Existujú nelinearity všeobecnejšieho tvaru:

,

,

kde
a
- koeficienty harmonickej linearizácie;

je harmonické číslo.

Periodické matice koeficientov linearizácie . S ohľadom na to možno prenosovú funkciu dvoch dvojhodnotových nelinearit reprezentovať analogicky s prenosovou funkciou

Pomocou definujeme zovšeobecnený vzorec na výpočet prenosovej funkcie jednohodnotových a dvojhodnotových nelinearit.

V prípade jednohodnotovej nelinearity matica koeficientov linearizácie v závislosti od parametrov vektora
, volíme tak, aby sme linearizovali strednú hodnotu druhej mocniny rozdielu medzi presnými a približné
vstupné signály:

Po transformáciách, zjednodušeniach, trikoch a zvýšenej ostražitosti dostaneme ekvivalentnú prenosovú funkciu vo forme systému matíc:
,
.

,

pri
,
.

.

Určite koeficient linearizácie pre jednohodnotovú nelinearitu. Keď prvá harmonická sínusového signálu príde na jeho vstup:

kde
.

.

Rovnica (56) je prvý harmonický linearizačný faktor pre jednohodnotovú nelinearitu, definuje ekvivalentnú prenosovú funkciu
.

V budúcnosti, porovnaním vzorca na určenie koeficientov linearizácie najjednoduchších nelinearit, keď sú na ich vstupy aplikované periodické signály: sínusový, trojuholníkový, ukážeme účelnosť použitia výsledných ekvivalentných prenosových funkcií.

Stanoví sa koeficient linearizácie
,
.

,

.

Príklad. Určte koeficient linearity dvojhodnotovej nelinearity, keď prvá harmonická sínusového signálu vstupuje na jeho vstup a má jeden vstup. Zo sústavy matíc (60) dostaneme:

,

.

V tomto príklade zapíšeme vstupný signál ako:

,

.

Keď pre dvojhodnotovú nelinearitu je všeobecná ekvivalentná funkcia:

. .

AT

Ryža. 2.2. Odkaz ATS

Vo väčšine prípadov je možné linearizovať nelineárne závislosti metódou malých odchýlok alebo variácií. Aby sme to zvážili, obráťme sa na určitý odkaz v systéme automatického riadenia (obr. 2.2). Vstupné a výstupné veličiny sú označené X 1 a X 2 a vonkajšia perturbácia je označená F(t).

Predpokladajme, že väzba je opísaná nejakou nelineárnou diferenciálnou rovnicou tvaru

Na zostavenie takejto rovnice je potrebné použiť príslušný odbor technických vied (napríklad elektrotechnika, mechanika, hydraulika atď.), ktorý študuje tento konkrétny typ zariadenia.

Základom linearizácie je predpoklad, že odchýlky všetkých premenných zahrnutých v rovnici dynamiky spoja sú dostatočne malé, pretože práve na dostatočne malom úseku môže byť krivková charakteristika nahradená priamym segmentom. Odchýlky premenných sa v tomto prípade merajú od ich hodnôt v ustálenom procese alebo v určitom rovnovážnom stave systému. Nech je napríklad ustálený proces charakterizovaný konštantnou hodnotou premennej X 1 , ktorú označíme ako X 10 . V procese regulácie (obr. 2.3) bude mať premenná X 1 hodnoty kde
označuje odchýlku premennej Xi od ustálenej hodnoty X10.

ALE

Ryža. 2.3. Proces regulácie prepojenia

daňové pomery sa zavádzajú pre iné premenné. Pre posudzovaný prípad máme: a
.

Ďalej môžete napísať:
;
a
, pretože
a

Všetky odchýlky sa považujú za dostatočne malé. Tento matematický predpoklad nie je v rozpore s fyzikálnym významom problému, pretože samotná myšlienka automatického riadenia vyžaduje, aby všetky odchýlky regulovanej veličiny počas procesu riadenia boli dostatočne malé.

Ustálený stav spoja je určený hodnotami X 10 , X 20 a F 0 . Potom je možné zapísať rovnicu (2.1) pre ustálený stav vo forme

Rozšírme ľavú stranu rovnice (2.1) v Taylorovom rade

kde  sú výrazy vyššieho rádu. Index 0 pre parciálne derivácie znamená, že po prevzatí derivácie je potrebné do jej výrazu dosadiť ustálenú hodnotu všetkých premenných.
.

Výrazy vyššieho rádu vo vzorci (2.3) zahŕňajú vyššie parciálne derivácie vynásobené druhými mocničkami, kockami a vyššími stupňami odchýlok, ako aj súčin odchýlok. Budú malé vyššieho rádu v porovnaní so samotnými odchýlkami, ktoré sú malé prvého rádu.

Rovnica (2.3) je rovnica dynamiky spojenia, rovnako ako (2.1), ale napísaná v inej forme. Z tejto rovnice zahodíme maličkosti vyššieho rádu, potom od rovnice (2.3) odčítame rovnice ustáleného stavu (2.2). V dôsledku toho získame nasledujúcu približnú rovnicu dynamiky spojenia s malými odchýlkami:

Do tejto rovnice vstupujú všetky premenné a ich deriváty lineárne, teda do prvého stupňa. Všetky parciálne derivácie sú nejaké konštantné koeficienty v prípade, že sa skúma systém s konštantnými parametrami. Ak má systém premenlivé parametre, potom rovnica (2.4) bude mať premenlivé koeficienty. Uvažujme iba prípad konštantných koeficientov.

Cieľom vykonanej linearizácie je získanie rovnice (2.4). V teórii automatického riadenia je zvykom písať rovnice všetkých väzieb tak, že výstupná hodnota je na ľavej strane rovnice a všetky ostatné členy sa prenášajú na pravú stranu. V tomto prípade sú všetky členy rovnice delené koeficientom na výstupnej hodnote. Výsledkom je, že rovnica (2.4) nadobúda tvar

kde je zavedený nasledujúci zápis

. (2.6)

Okrem toho je pre pohodlie zvykom písať všetky diferenciálne rovnice vo forme operátorov so zápisom

Potom je možné diferenciálnu rovnicu (2.5) zapísať v tvare

Tento záznam sa bude nazývať štandardná forma rovnice dynamiky spojenia.

Koeficienty T 1 a T 2 majú rozmer času - sekundy. Vyplýva to zo skutočnosti, že všetky členy v rovnici (2.8) musia mať rovnaký rozmer a napr. (alebo px 2) sa líši od rozmeru x 2 za sekundu po mínus prvá mocnina (
). Preto sa nazývajú koeficienty T 1 a T 2 časové konštanty .

Koeficient k 1 má rozmer výstupnej hodnoty delený rozmerom vstupu. To sa nazýva prevodový pomer odkaz. Pre spoje, ktorých výstupné a vstupné hodnoty majú rovnaký rozmer, sa používajú aj tieto výrazy: zisk - pre spoj, ktorý je zosilňovačom alebo má vo svojom zložení zosilňovač; prevodový pomer - pre prevodovky, rozdeľovače napätia, zariadenia na úpravu stupnice atď.

Prenosový koeficient charakterizuje statické vlastnosti spoja, keďže v ustálenom stave
. Preto pri malých odchýlkach určuje strmosť statickej charakteristiky. Ak znázorníme celú skutočnú statickú charakteristiku odkazu
, potom linearizácia dáva
alebo
. Koeficient prenosu k 1 bude dotyčnica sklonu dotyčnice v tom bode C (pozri obr. 2.3), od ktorého sa merajú malé odchýlky x 1 a x 2.

Z obrázku je vidieť, že vyššie uvedená linearizácia rovnice platí pre riadiace procesy, ktoré zachytávajú taký úsek AB charakteristiky, na ktorom sa dotyčnica len málo líši od samotnej krivky.

Navyše z toho vyplýva ďalší, grafický spôsob linearizácie. Ak je známa statická charakteristika a bod C, ktorý určuje ustálený stav, okolo ktorého prebieha proces regulácie, potom sa koeficient prenosu vo väzbovej rovnici určí graficky z výkresu podľa závislosti k 1 = tg. berúc do úvahy mierku výkresu a rozmery x 2. V mnohých prípadoch metóda grafickej linearizácie sa ukazuje ako pohodlnejšie a vedie k cieľu rýchlejšie.

Rozmer koeficientu k 2 sa rovná rozmeru zosilnenia k 1-násobku času. Preto sa rovnica (2.8) často píše v tvare

kde
je časová konštanta.

P

Ryža. 2.4. Nezávislý budiaci motor

časové konštanty T 1 , T 2 a T 3 určujú dynamické vlastnosti spoja. Tento problém bude podrobne posúdený nižšie.

Faktor k 3 je zisk pre externú poruchu.

Ako príklad linearizácie uvažujme elektromotor riadený zo strany budiaceho obvodu (obr. 2.4).

Aby sme našli diferenciálnu rovnicu, ktorá dáva do súvisu prírastok rýchlosti s prírastkom napätia na budiacom vinutí, zapíšeme si zákon o rovnováhe elektromotorických síl (emf) v budiacom obvode, zákon o rovnováhe emf v obvode kotvy a zákon rovnováhy momentov na hriadeli motora:

;

.

V druhej rovnici je pre jednoduchosť vynechaný člen zodpovedajúci samoindukčnému emf v obvode kotvy.

V týchto vzorcoch sú R B a R I odpory budiaceho obvodu a obvodu kotvy; І В a І Я - prúdy v týchto obvodoch; U V a U I sú napätia aplikované na tieto obvody,  V je počet závitov budiaceho vinutia; Ф – magnetický tok; Ω je uhlová rýchlosť otáčania hriadeľa motora; M je moment odporu vonkajších síl, J je zmenšený moment zotrvačnosti motora; C E a C M - koeficienty proporcionality.

Predpokladajme, že pred objavením sa prírastku napätia aplikovaného na budiace vinutie bol ustálený stav, pre ktorý budú rovnice (2.10) napísané takto:

(2.11)

Ak teraz budiace napätie dostane prírastok U B = U B0 + ΔU B, potom všetky premenné, ktoré určujú stav systému, budú tiež dostávať prírastky. V dôsledku toho budeme mať: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Tieto hodnoty dosadíme do (2.10), vyhodíme malé vyššie a získame:

(2.12)

Odčítaním rovníc (2.11) od rovníc (2.12) dostaneme sústavu rovníc pre odchýlky:

(2.13)

AT

Ryža. 2.5. Magnetizačná krivka

tieto rovnice zaviedli koeficient úmernosti medzi prírastkom toku a prírastkom budiaceho prúdu
určená z magnetizačnej krivky elektromotora (obr. 2.5).

Spoločné riešenie sústavy (2.13) dáva

kde je prevodný koeficient, ,

; (2.15)

elektromagnetická časová konštanta budiaceho obvodu, s,

(2.16)

kde L B = a B je dynamický koeficient samoindukcie budiaceho obvodu; elektromagnetická časová konštanta motora, s,

. (2.17)

Z výrazov (2.15) - (2.17) je vidieť, že uvažovaný systém je v podstate nelineárny, keďže koeficient prenosu a časová "konštanta" v skutočnosti nie sú konštantné. Možno ich považovať za konštantné iba približne pre určitý režim za predpokladu, že odchýlky všetkých premenných od hodnôt v ustálenom stave sú malé.

Zaujímavý je špeciálny prípad, keď v ustálenom stave U B0 = 0; IBO = 0; Ф 0 = 0 a Ω 0 = 0. Potom vzorec (2.14) nadobúda tvar

. (2.18)

V tomto prípade bude statická charakteristika súvisieť so zvýšením zrýchlenia motora
a prírastok napätia v budiacom obvode.