Matematika ako veda vznikla v súvislosti s potrebou riešiť praktické problémy: merania na zemi, navigácia atď. V dôsledku toho bola matematika numerickou matematikou a jej cieľom bolo získať riešenie vo forme čísla. Numerické riešenie aplikovaných úloh vždy zaujímalo matematikov. Najväčší predstavitelia minulosti spájali vo svojich štúdiách štúdium prírodných javov, získavali ich matematický popis, t.j. jeho matematický model a jeho výskum. Analýza komplikovaných modelov si vyžiadala vytvorenie špeciálnych, zvyčajne numerických metód na riešenie problémov. Názvy niektorých z týchto metód naznačujú, že ich vyvinuli najväčší vedci svojej doby. Sú to metódy Newtona, Eulera, Lobačevského, Gaussa, Čebyševa, Hermita.
Súčasnú dobu charakterizuje prudký rozmach aplikácií matematiky, do značnej miery spojený s tvorbou a rozvojom výpočtovej techniky. V dôsledku objavenia sa počítačov za menej ako 40 rokov sa rýchlosť operácií zvýšila z 0,1 operácie za sekundu s manuálnym počítaním na 10 operácií za sekundu na moderných počítačoch.
Rozšírený názor o všemohúcnosti moderných počítačov vyvoláva dojem, že matematici sa zbavili všetkých problémov spojených s numerickým riešením úloh a vývoj nových metód na ich riešenie už nie je taký významný. V skutočnosti je situácia iná, pretože potreby evolúcie sú spravidla postavené pred vedecké úlohy, ktoré sú na pokraji jej možností. Rozmach aplikácie matematiky viedol k matematizácii rôznych vedných odborov: chémie, ekonómie, biológie, geológie, geografie, psychológie, medicíny, techniky atď.
Existujú dve okolnosti, ktoré spočiatku viedli k túžbe po matematizácii vied:
po prvé, iba použitie matematických metód umožňuje dať kvantitatívny charakter štúdiu jedného alebo druhého fenoménu materiálneho sveta;
po druhé, a to je hlavné, iba matematický spôsob myslenia vytvára objekt. Tento spôsob výskumu sa nazýva výpočtový experiment – štúdia je plne objektívna.
V poslednom období sa objavuje ďalší faktor, ktorý má silný vplyv na procesy matematizácie znalostí. Ide o rýchly rozvoj výpočtovej techniky. Použitie počítačov na riešenie vedeckých, inžinierskych a aplikovaných problémov vo všeobecnosti je úplne založené na ich matematizácii.
matematické modely.
Moderná technológia na štúdium zložitých problémov je založená na konštrukcii a analýze, zvyčajne pomocou počítača, matematických modelov skúmaného problému. Výpočtový experiment, ako sme už videli, zvyčajne pozostáva z niekoľkých etáp: stanovenie problému, zostavenie matematického modelu (matematická formulácia problému), vývoj numerickej metódy, vývoj algoritmu na implementáciu numerickej metódy, vývoj program, ladenie programu, vykonávanie výpočtov, analýza výsledkov.
Takže použitie počítačov na riešenie akéhokoľvek vedeckého alebo inžinierskeho problému je nevyhnutne spojené s prechodom od skutočného procesu alebo javu k jeho matematickému modelu. Aplikácia modelov vo vedeckom výskume a inžinierskej praxi je teda umením matematického modelovania.
Model sa zvyčajne nazýva reprezentovaný alebo materiálne realizovaný systém, ktorý reprodukuje hlavné najvýznamnejšie znaky daného javu.
Hlavnými požiadavkami na matematický model sú primeranosť posudzovaného javu, t.j. mala by dostatočne odrážať charakteristické znaky javu. Zároveň by mal mať porovnateľnú jednoduchosť a dostupnosť výskumu.
Matematický model odráža závislosť medzi podmienkami pre výskyt skúmaného javu a jeho výsledkami v určitých matematických konštrukciách. Najčastejšie sa ako takéto konštrukcie používajú tieto matematické pojmy: funkcia, funkcionál, operátor, numerická rovnica, obyčajná diferenciálna rovnica, parciálna diferenciálna rovnica.
Matematické modely možno klasifikovať podľa rôznych kritérií: statické a dynamické, koncentrované a distribuované; deterministické a pravdepodobnostné.
Zvážte problém hľadania koreňov nelineárnej rovnice
Korene rovnice (1) sú tie hodnoty x, ktoré pri dosadení zmenia na identitu. Len pre najjednoduchšie rovnice je možné nájsť riešenie vo forme vzorcov, t.j. analytická forma. Častejšie je potrebné riešiť rovnice približnými metódami, z ktorých najrozšírenejšie sú v súvislosti s nástupom počítačov numerické metódy.
Algoritmus na hľadanie koreňov približnými metódami možno rozdeliť do dvoch etáp. Najprv sa študuje umiestnenie koreňov a vykonáva sa ich oddelenie. Existuje oblasť, v ktorej sa nachádza koreň rovnice alebo počiatočná aproximácia ku koreňu x 0 . Najjednoduchším spôsobom riešenia tohto problému je štúdium grafu funkcie f(x) . Vo všeobecnom prípade je na jeho vyriešenie potrebné zapojiť všetky prostriedky matematickej analýzy.
Existencia aspoň jedného koreňa rovnice (1) na nájdenom intervale vyplýva z Bolzanovej podmienky:
f(a)*f(b)<0 (2)
Taktiež sa predpokladá, že funkcia f(x) je na danom segmente spojitá. Táto podmienka však neodpovedá na otázku o počte koreňov rovnice na danom intervale. Ak sa požiadavka kontinuity funkcie doplní o požiadavku jej monotónnosti, a to vyplýva zo znamienkovej stálosti prvej derivácie, potom môžeme tvrdiť existenciu jedinečného koreňa na danom segmente.
Pri lokalizácii koreňov je tiež dôležité poznať základné vlastnosti tohto typu rovníc. Spomeňte si napríklad na niektoré vlastnosti algebraických rovníc:
kde sú skutočné koeficienty.
- a) Rovnica stupňa n má n koreňov, medzi ktorými môžu byť skutočné aj zložité. Komplexné korene tvoria komplexné konjugované páry, a preto má rovnica párny počet takýchto koreňov. Pre nepárnu hodnotu n existuje aspoň jeden skutočný koreň.
- b) Počet kladných reálnych koreňov je menší alebo rovný počtu premenných znamienok v postupnosti koeficientov. Nahradením x za -x v rovnici (3) môžete rovnakým spôsobom odhadnúť počet záporných koreňov.
V druhej fáze riešenia rovnice (1) sa pomocou získanej počiatočnej aproximácie skonštruuje iteračný proces, ktorý umožňuje spresniť hodnotu koreňa s určitou vopred stanovenou presnosťou. Iteračný proces spočíva v postupnom spresňovaní počiatočnej aproximácie. Každý takýto krok sa nazýva iterácia. V dôsledku iteračného procesu sa nájde postupnosť približných hodnôt koreňov rovnice. Ak sa táto postupnosť približuje k skutočnej hodnote koreňa x ako n rastie, potom iteračný proces konverguje. O iteračnom procese sa hovorí, že konverguje aspoň k rádu m, ak je splnená nasledujúca podmienka:
kde С>0 je nejaká konštanta. Ak m=1, potom hovoríme o konvergencii prvého rádu; m=2 - približne kvadratická, m=3 - približne kubická konvergencia.
Iteračné cykly sa skončia, ak sú pre danú povolenú chybu splnené kritériá pre absolútne alebo relatívne odchýlky:
alebo malý zvyšok:
Táto práca je venovaná štúdiu algoritmu na riešenie nelineárnych rovníc pomocou Newtonovej metódy.
Existuje mnoho rôznych metód na riešenie nelineárnych rovníc, niektoré z nich sú uvedené nižšie:
- 1)Iteračná metóda. Pri riešení nelineárnej rovnice iteráciou používame rovnicu v tvare x=f(x). Je nastavená počiatočná hodnota argumentu x 0 a presnosť e. Prvá aproximácia riešenia x 1 sa zistí z výrazu x 1 \u003d f (x 0), druhá - x 2 \u003d f (x 1) , atď. Vo všeobecnom prípade sa aproximácia i+1 zistí podľa vzorca xi+1 =f(xi). Tento postup opakujeme, kým |f(xi)|>e. Podmienka konvergencie iteračnej metódy |f"(x)|
- 2)Newtonova metóda. Pri riešení nelineárnej rovnice Newtonovou metódou sa nastaví počiatočná hodnota argumentu x 0 a presnosť e. Potom v bode (x 0, F (x 0)) nakreslíme dotyčnicu ku grafu F (x ) a určte priesečník dotyčnice s osou x 1. V bode (x 1, F (x 1)) opäť postavíme dotyčnicu, nájdeme ďalšiu aproximáciu požadovaného riešenia x 2 atď. Tento postup opakujeme až do |F(xi)| > e. Na určenie priesečníka (i + 1) dotyčnice s osou x použijeme nasledujúci vzorec
x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).
Podmienka konvergencie pre metódu dotyčníc F(x 0) F""(x)>0 atď.
3). metóda dichotómie. Technika riešenia je redukovaná na postupné delenie počiatočného intervalu neistoty na polovicu podľa vzorca
C do \u003d a do + do / 2.
Aby sme z dvoch výsledných segmentov vybrali ten potrebný, je potrebné nájsť hodnotu funkcie na koncoch výsledných segmentov a zvážiť tú, na ktorej funkcia zmení znamienko, teda podmienku f ( a k) * f (v k)<0.
Proces delenia segmentu sa vykonáva dovtedy, kým dĺžka aktuálneho intervalu neistoty nie je menšia ako špecifikovaná presnosť, to znamená v k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.
4). akordová metóda. Myšlienkou metódy je, že tetiva je skonštruovaná na segmente, ktorý sťahuje konce oblúka grafu funkcie y=f(x) a bod c, priesečník tetivy s osou úsečky. , sa považuje za približnú hodnotu koreňa
c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),
c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).
Ďalšia aproximácia sa hľadá na intervale alebo v závislosti od znamienok funkčných hodnôt v bodoch a, b, c
x* O, ak f(c) Hf(a) > 0;
x* O ak f(c) x f(b)< 0 .
Ak f "(x) nezmení znamienko na , potom označujeme c \u003d x 1 a považujeme a alebo b za počiatočnú aproximáciu, dostaneme iteračné vzorce akordovej metódy s pevným pravým alebo ľavým bodom.
x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), pričom f "(x) H f" (x)\u003e 0;
x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), pričom f "(x) H f" (x)< 0 .
Konvergencia akordovej metódy je lineárna
Algebraické a transcendentálne rovnice. Metódy lokalizácie koreňov.
Najvšeobecnejšia forma nelineárnej rovnice:
f(x)=0 (2.1)
kde je funkcia f(x) je definovaná a spojitá na konečnom alebo nekonečnom intervale [a, b].
Definícia 2.1. Akékoľvek číslo, ktoré invertuje funkciu f(x) na nulu sa nazýva koreň rovnice (2.1).
Definícia 2.2. Číslo sa nazýva koreň k-tej násobnosti, ak je spolu s funkciou f(x) jeho deriváty do (k-1)-tého rádu vrátane sa rovnajú nule:
Definícia 2.3. Jediný koreň sa nazýva jednoduchý koreň.
Nelineárne rovnice s jednou premennou sa delia na algebraické a transcendentálne.
Definícia 2.4 . Rovnica (2.1) sa nazýva algebraická, ak je funkcia F(x) algebraická.
Algebraickými transformáciami z akejkoľvek algebraickej rovnice možno získať rovnicu v kanonickom tvare:
kde sú skutočné koeficienty rovnice, x je neznáma.
Z algebry je známe, že každá algebraická rovnica má aspoň jeden skutočný alebo dva komplexne združené korene.
Definícia 2.5. Rovnica (2.1) sa nazýva transcendentálna, ak funkcia F(x) nie je algebraická.
Riešenie rovnice (2.1) znamená:
- 1. Určte, či má rovnica korene.
- 2. Určte počet koreňov rovnice.
- 3. Nájdite hodnoty koreňov rovnice s danou presnosťou.
Rovnice, s ktorými sa v praxi stretávame, sa často nedajú vyriešiť analytickými metódami. Na riešenie takýchto rovníc sa používajú numerické metódy.
Algoritmus na nájdenie koreňa rovnice pomocou numerickej metódy pozostáva z dvoch fáz:
- 1) oddelenie alebo lokalizácia koreň, t.j. nastavenie intervalu, ktorý obsahuje jeden koreň:
- 2) objasnenie koreňové hodnoty metódou postupných aproximácií.
Metódy lokalizácie koreňov. Teoretickým základom algoritmu separácie koreňov je Cauchyho veta o stredných hodnotách spojitej funkcie.
Veta 2.1. Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na segmente [a, b] a f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, potom pre každý bod C ležiaci medzi A a B existuje bod, ktorý.
Dôsledok. Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na segmente [a, b] a na svojich koncoch nadobúda hodnoty rôznych znamienok, potom na tomto segmente existuje aspoň jeden koreň rovnice f (x) \u003d 0.
Nech je doménou definície a spojitosti funkcie konečný segment [a,b]. Rozdeľte segment na n diely: ,
Postupným výpočtom hodnôt funkcie v bodoch nájdeme také segmenty, pre ktoré je podmienka splnená:
tie. , alebo, . Tieto segmenty obsahujú aspoň jeden koreň.
Veta 2.2. Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na segmente [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.
Na oddelenie koreňov môžete použiť aj graf funkcie pri= f (X). Korene rovnice (2.1) sú tieto hodnoty X, pri ktorej graf funkcie y=f(x) pretína os x. Konštrukcia grafu funkcie, dokonca aj s nízkou presnosťou, zvyčajne poskytuje predstavu o umiestnení koreňov rovnice (2.1). Ak vykreslenie funkcie y \u003d f (x) spôsobuje ťažkosti, potom by sa pôvodná rovnica (2.1) mala previesť do tvaru c1(x)= c2(x) takže grafy funkcií pri= c1(x) a pri= c2(x) boli celkom jednoduché. Úsečky priesečníkov týchto grafov budú koreňmi rovnice (2.1).
Príklad 1 Oddeľte korene rovnice x 2 -2cosx=0.
Riešenie. Uvažujme o dvoch spôsoboch oddeľovania koreňov.
- a) Grafický spôsob. Prepíšme rovnicu v tvare x 2 =2cosx a zostavme graf funkcií y=x 2 a y=2cosx v rovnakom súradnicovom systéme (obrázok 5). keďže tieto grafy sa pretínajú v dvoch bodoch, rovnica má dva korene umiestnené symetricky okolo začiatku na intervaloch (-/2; 0) a (0; /2).
- b) Analytická metóda. Nechaj f(x)= x 2-2cosx. Pretože f(x) je párna funkcia, stačí zvážiť iba nezáporné hodnoty x. Kvôli nerovnosti 2cosx2
Derivát f"(x)=2(x+sinx). V intervale (0; /2) f"(x)>0 , teda f(x) tu monotónne narastá a jej graf môže pretínať os X nie viac ako jeden bod. Všimni si f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. To znamená, že rovnica má jeden kladný koreň ležiaci na intervale (0; /2). Keďže funkcia je párna, rovnica má aj jeden záporný koreň, symetrický s kladným. Teraz prejdime k zjemneniu koreňa. Ak chcete použiť kombinovanú metódu spresnenia koreňov, musíte sa uistiť f "" (x) on (0; /2) zachová znamienko a zvolí počiatočnú aproximáciu koreňa pre aplikáciu tangentovej metódy. Musí spĺňať podmienku: f(x)f ""(x)>0. Pretože f "" (x)=2(1+cosx) je kladné na , potom /2 možno považovať za počiatočnú aproximáciu koreňa v metóde dotyčnice. Preto možno dať X=/21,570796, X 1 = 0 (pozri schému algoritmu). V našom prípade metóda akordu poskytne približnú hodnotu koreňa s nevýhodou a metóda dotyčnice - s prebytkom.
Zvážte jeden iteračný krok spresňovania koreňov. Vypočítajte hodnoty f(0), f(/2), f"(/2). Nové hodnoty X 1 a X nájdite podľa vzorcov:
|x-x 1 |=0,387680,4>10-4 =.
Nedosiahne sa špecifikovaná presnosť a vo výpočtoch sa musí pokračovať.
|
Iteračné číslo |
X 1 |
f(x 1 ) |
|x-x 1 | |
|||
Preto bola približná hodnota koreňa s požadovanou presnosťou zistená ako výsledok troch iterácií a je približne rovná 1,0217.
Vzhľadom na symetriu grafu funkcie f(x) hodnota druhej odmocniny je približne rovná -1,0217.
Objasnenie koreňa.
Formulácia problému . Predpokladajme, že požadovaný koreň rovnice (2.1) je oddelený, t.j. segment [a; b], ktorý má iba jeden koreň rovnice. Ktorýkoľvek bod tohto segmentu možno považovať za približnú hodnotu koreňa. Chyba tejto aproximácie nepresahuje dĺžku [a; b]. V dôsledku toho sa problém nájsť približnú hodnotu koreňa s danou presnosťou redukuje na nájdenie segmentu [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей vylepšenia koreňov.
Popis numerických metód. Numerické metódy umožňujú nájsť riešenia určitých problémov, pričom vopred vedia, že získané výsledky budú vypočítané s určitou chybou, preto je pri mnohých numerických metódach potrebné vopred poznať „úroveň presnosti“, že výsledné riešenie bude zodpovedať.
V tomto ohľade problém nájdenia koreňov polynómu tvaru (3.1)
má osobitný záujem, pretože vzorce na nájdenie koreňov hoci aj kubickej rovnice sú dosť komplikované. Ak je potrebné nájsť korene polynómu, ktorého stupeň je napríklad 5, potom sa nezaobídete bez pomoci numerických metód, najmä preto, že pravdepodobnosť, že takýto polynóm bude mať prirodzené (alebo celé číslo, alebo presné korene s „krátka“ zlomková časť) je pomerne malá a neexistujú žiadne vzorce na nájdenie koreňov rovnice stupňa väčšieho ako 4. Všetky ďalšie operácie sa de facto zredukujú na objasnenie koreňov, ktorých intervaly sú vopred približne známe. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť tieto "približné" korene, je použiť grafické metódy.
Na nájdenie koreňov polynómu existuje niekoľko numerických metód: metóda iterácie, metóda akordov a dotyčníc, metóda polovičného delenia, metóda sekans.
Bisekčná metóda(známa aj ako „metóda delenia segmentu na polovicu“) je tiež rekurzívna, t.j. zabezpečuje opakovanie, pričom sa zohľadňujú získané výsledky.
Podstata metódy polovičného delenia je nasledovná:
- - je daná funkcia F(x);
- - je určená dovolená chyba Q;
- - je definovaný nejaký interval [ a , b ], ktorý presne obsahuje riešenie rovnice.
1) Vypočítame hodnotu súradnice E, pričom vezmeme stred úsečky, t.j.
E \u003d (a + b) / 2 (3.2)
- 2) Vypočítajte hodnoty F(a), F(b), F(E) a vykonajte nasledujúcu kontrolu: Ak F(E)>Q, potom sa koreň nájde so špecifikovanou presnosťou. Ak F(E)
- 3) Prejdite na bod 1.
Metóda jednoduchých iterácií (metóda postupných aproximácií). Rovnicu (2.1) nahradíme ekvivalentnou rovnicou
x=(x) (3.3)
možno vykonať rôznymi spôsobmi, napr
x=x+cf(x), c0. (3.4)
Predpokladajme, že sa zvolí počiatočná aproximácia koreňa rovnice (3.3). Pomocou vzorcov definujeme číselnú postupnosť
X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)
Takáto postupnosť sa nazýva iteračná.
Ak na segmente obsahujúcom x 0 a všetky nasledujúce aproximácie x n , nN má funkcia (x) spojitú deriváciu "(x) a |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством
Z tejto nerovnosti predovšetkým vyplýva, že miera konvergencie metódy jednoduchej iterácie závisí od hodnoty q: čím menšie q, tým rýchlejšia konvergencia.
Preto je v praxi pri hľadaní koreňov metódou jednoduchej iterácie žiadúce znázorniť rovnicu (2.1) v tvare (3.3) tak, aby derivácia „(x) v okolí koreňa bola príp. v absolútnej hodnote menšie.Na to sa niekedy používa parameter c zo vzorca (3.4).
Newtonova metóda (metóda dotyčníc). Ak je známa dostatočne dobrá počiatočná aproximácia, pre ktorú platí nasledujúca nerovnosť:
potom môžete vypočítať jediný koreň rovnice pomocou Newtonovho vzorca
Ako počiatočnú aproximáciu môžete použiť hranice intervalu a:
Ak je zapnuté.
Pri každej iterácii tejto metódy je množstvo výpočtov väčšie ako pri metódach bisekcií a iterácií, pretože je potrebné nájsť nielen hodnotu funkcie, ale aj jej deriváciu. Rýchlosť konvergencie Newtonovej metódy je však oveľa vyššia.
Veta. Nech je koreň rovnice, t.j. a je nepretržitý. Potom existuje okolie koreňa také, že ak počiatočná aproximácia patrí do tohto okolia, potom pre Newtonovu metódu postupnosť hodnôt konverguje k at. Chybu aproximácie koreňa možno odhadnúť podľa vzorca:
kde je najväčšia hodnota modulu druhej derivácie na segmente, je najmenšia hodnota modulu prvej derivácie na segmente.
Zastaviť pravidlo:
Metóda tetiv a dotyčníc (kombinovaná). Táto metóda je založená na zostrojení schematického grafu funkcie, určení intervalov jej priesečníka s osou x a následnom „stlačení“ tohto intervalu pomocou zostrojených tetiv a dotyčníc ku grafu tejto funkcie.
Treba poznamenať, že oddelene existujú aj metóda akordov (udáva hodnotu koreňa s nedostatkom) a metóda dotyčníc (s nadbytkom). Výhoda kombinovanej metódy však spočíva v „obojstrannej kompresii“ uvažovaného segmentu.
Zvážte nasledujúci prípad:
- - je daná funkcia F(x) a zostavený jej graf;
- - je určená dovolená chyba Q
- - na základe grafu je definovaná úsečka, na ktorej graf funkcie pretína os x, teda na tejto úsečke je koreň uvažovaného polynómu (označíme ho A)
Ďalší algoritmus je zredukovaný na nasledujúce akcie:
- 1) postavíme dotyčnicu ku grafu funkcie v bode F(b)
- 2) vypočítame súradnicu x priesečníka dotyčnice s osou x podľa vzorca (3.9) a označíme ju b "
- 3) zostrojíme tetivu ku grafu funkcie prechádzajúcej bodmi F(a) a F(b).
- 4) Priesečník tetivy s osou úsečky vypočítame podľa vzorca (2) a označíme a“.
Dostaneme teda nový segment, ktorý (podľa definície tetivy a dotyčnice) stále obsahuje riešenie rovnice A.
Teraz berieme segment ako nový segment a opakujeme kroky 1-4, kým rozdiel F(b)-F(a) nebude menší ako pôvodne vložená chyba Q. Upozorňujeme tiež, že potom sa odporúča použiť aritmetický priemer F ako požadovaný roztok (a) a F(b).
Ak teda tetiva (tangens) udáva hodnotu koreňa s prebytkom, potom sa tento koreň berie ako nová pravá hranica, a ak s nedostatkom, tak ľavá. V oboch prípadoch leží presný koreň medzi priesečníkmi tetivy a dotyčnice s osou x.
Poznámky k metóde akordov a dotyčníc. Keďže riešenie úlohy vyžaduje nájdenie derivácie funkcie F(x), metóda tetiv a dotyčníc je na programovej úrovni dosť ťažko realizovateľná, pretože pravidlá výpočtu derivátov vo všeobecnej forme sú pre „pochopenie“ počítača dosť ťažkopádne; pri priamom zadaní derivácie pre každý stupeň polynómu je pamäť počítača vážne zaťažená, čo značne spomaľuje prácu a nastavenie funkcie a teda aj jej derivácie priamo v programovom kóde je neprijateľné. Pri použití tejto metódy však dochádza ku konvergencii intervalu ku koreňu najrýchlejšie, najmä ak sa metóda akordov a dotyčníc kombinuje s metódou bisekcie, pretože stred nového segmentu často dáva úplne uspokojivé riešenie.
Sekantová metóda. Sekčnú metódu možno získať z Newtonovej metódy nahradením derivácie približným výrazom - rozdielovým vzorcom:
Vzorec (3.8) používa dve predchádzajúce aproximácie u. Preto je potrebné pre danú počiatočnú hodnotu vypočítať ďalšiu aproximáciu napríklad Newtonovou metódou s približným nahradením derivácie vzorcom
Algoritmus sečenskej metódy:
1) uvádza sa počiatočná hodnota a chyba. Vypočítať
2) pre n= 1,2, .... keď je podmienka splnená, vypočítame podľa vzorca (3.8).
Formulácia problému
Oddelenie koreňov
Spresnenie koreňa
1.2.3.2. Iteračná metóda
1.2.3.4. akordová metóda
Formulácia problému
Algebraické rovnice
( 1.2.1-1)
transcendentálna rovnica
(1.2.1-2)
Iteratívne zjemňovanie koreňov.
V štádiu oddeľovania koreňov je vyriešený problém nájdenia čo najužších segmentov, ktorý obsahuje iba jeden koreň rovnice.
Cieľom kroku spresnenia koreňa je vypočítať približnú hodnotu koreňa s danou presnosťou. V tomto prípade sa používajú iteračné metódy na výpočet postupných aproximácií ku koreňu: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., v ktorých každá nasledujúca aproximácia x n+1 je vypočítaná na základe predchádzajúceho x n . Každý krok sa nazýva iterácia. Ak postupnosť x 0 , x 1 , ..., x n , ... ako n ® ¥ má limit rovný hodnote odmocniny , potom sa hovorí, že iteračný proces konverguje.
Existujú rôzne spôsoby, ako oddeliť a zjemniť korene, o ktorých budeme diskutovať nižšie.
Oddelenie koreňov
Koreň rovnice f(x)=0 sa považuje za oddelený (lokalizovaný) na segmente, ak táto rovnica nemá na tomto segmente žiadne iné korene. Na oddelenie koreňov rovnice je potrebné rozdeliť rozsah prípustných hodnôt funkcie f(x) na dostatočne úzke segmenty, z ktorých každý obsahuje iba jeden koreň. Existovať grafický a analytické metódy separácie koreňov.
Spresnenie koreňa
Úlohou spresnenia koreňa rovnice s presnosťou oddelenou intervalom je nájsť takú približnú hodnotu koreňa, pre ktorú je nerovnosť . Ak rovnica nemá jeden, ale niekoľko koreňov, potom sa fáza spresnenia vykoná pre každý oddelený koreň.
Metóda polovičného delenia
Nech je koreň rovnice f(x)=0 oddelený na segmente , to znamená, že na tomto segmente je jeden koreň a funkcia na tomto segmente je spojitá.
Metóda bisekcie vám umožňuje získať sekvenciu vnorených segmentov , , …,,… takú, že f(a i).f(b i)< 0 , kde i=1,2,…,n a dĺžka každého nasledujúceho segmentu je polovičná ako dĺžka predchádzajúceho:
Postupné zúženie segmentu okolo neznámej hodnoty koreňa zaisťuje vykonanie v určitom kroku n nerovnosti |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое
Môže sa brať ako približná hodnota koreňa, napríklad jeho stred
Pri bisekčnej metóde sa od iterácie po iteráciu dĺžka počiatočného segmentu konzistentne skracuje na polovicu (obr. 1.2.3-1). Preto v n-tom kroku platí nasledujúci odhad chyby výsledku:
( 1.2.3-1)
kde je presná hodnota koreňa, x n н je približná hodnota koreňa v n-tom kroku.
Porovnaním výsledného odhadu chyby s danou presnosťou môžeme odhadnúť požadovaný počet krokov:
(1.2.3-2)
Zo vzorca je vidieť, že pokles hodnoty e(zvýšenie presnosti) vedie k výraznému zvýšeniu množstva výpočtov, preto sa v praxi na pomerne hrubé zistenie koreňa používa metóda polovičného delenia a jeho ďalšie spresňovanie sa vykonáva inými, efektívnejšími metódami. .
 |
Ryža. 1.2.3-2. Schéma algoritmu bisekčnej metódy
Schéma bisekčného algoritmu je znázornená na obr. 1.2.3-2. Vyššie uvedený algoritmus predpokladá, že ľavá strana rovnice f(x) je navrhnutá ako softvérový modul.
Príklad 1.2.3-1. Zadajte koreň rovnice x 3 +x-1=0 s presnosťou =0,1, ktorý je lokalizovaný na segmente .
Výsledky sú vhodne prezentované pomocou tabuľky 1.2.3-3.
Tabuľka 1.2.3-3
| k | a | b | f(a) | f(b) | (a+b)/2 | f((a+b)/2) | a k | b k |
| -1 | 0.5 | -0.375 | 0.5 | |||||
| 0.5 | -0.375 | 0.75 | 0.172 | 0.5 | 0.75 | |||
| 0.5 | 0.75 | -0.375 | 0.172 | 0.625 | -0.131 | 0.625 | 0.75 | |
| 0.625 | 0.75 | -0.131 | 0.172 | 0.688 | 0.0136 | 0.625 | 0.688 |
Po štvrtej iterácii je dĺžka segmentu |b 4 -a 4 | = |0,688-0,625| = 0,063 je menej ako hodnota e, preto pre približnú hodnotu koreňa môžete vziať hodnotu stredu tohto segmentu: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0,656 .
Hodnota funkcie f(x) v bode x = 0,656 je f(0,656) = -0,062 .
Iteračná metóda
Iteračná metóda zahŕňa nahradenie rovnice f(x)=0 ekvivalentnou rovnicou x=j(x). Ak je koreň rovnice oddelený na segmente , potom na základe počiatočnej aproximácie x 0 н, môžete získať postupnosť aproximácií ku koreňu
x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)
kde funkcia j(x) sa nazýva iteračná funkcia.
Podmienka konvergencie pre metódu jednoduchej iterácie je určená nasledujúcou vetou.
Nechajte koreň X* rovnice x=j(x) oddelené na segmentea zostrojili postupnosť aproximácií podľa pravidla x n \u003d j (x n -1) .
Potom, ak všetci členovia postupnosti x n = j(x n-1) n a existuje taký q(0
Ak je teda splnená podmienka konvergencie iteračnej metódy, potom postupnosť x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, získaná pomocou vzorca x n +1 = j(x n ), konverguje k presnej hodnote koreňa:
Podmienka j(x)н pre xн znamená, že všetky aproximácie x 1 , x 2 , …, x n ,… získané iteračným vzorcom musia patriť do segmentu, v ktorom je oddelený koreň.
Odhadnúť chybu iteračnej metódy, podmienku
za číslo q môže mať najväčšiu hodnotu |j"(x)| , a proces iterácií by mal pokračovať až do nerovnosti
(1.2.3-5)
V praxi sa často používa zjednodušený vzorec na odhad chýb. Napríklad, ak 0 |x n -1 - x n | £ . Použitie iteračného vzorca x n +1 = j(x n) vám umožňuje získať hodnotu koreňa rovnice f(x)=0 s ľubovoľným stupňom presnosti .
Geometrické znázornenie metódy iterácie. Na rovine X0Y nakreslíme grafy funkcií y=x a y=j(x ).
Koreňom rovnice x=j(x) je úsečka priesečníka grafov funkcie y = j(x )
a priame y=x. Zoberme si počiatočnú aproximáciu x 0 н . Na krivke y \u003d j (x) zodpovedá bodu A 0 \u003d j (x 0). Ak chcete nájsť ďalšiu aproximáciu, nakreslite rovnú vodorovnú čiaru cez bod A 0 k priesečníku s priamkou y \u003d x (bod B 1) a spustite kolmicu na priesečník s krivkou (bod A 1), tj. x 1 \u003d j (x 0) .
Ak pokračujeme v konštrukcii podobným spôsobom, máme prerušovanú čiaru A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., pre ktorú sú spoločné úsečky bodov postupnou aproximáciou x 1, x 2, . .., x n („rebrík“) ku koreňu X*. Z obr. 1.2.3-3a je možné vidieť, že proces konverguje ku koreňu rovnice. Uvažujme teraz o inom tvare krivky y = j(x) (obr. 1.2.6b). V tomto prípade má prerušovaná čiara A0, B1, A1, B2, A2... tvar „špirály“. V tomto prípade sa však pozoruje aj konvergencia. Je ľahké vidieť, že v prvom prípade derivát spĺňa podmienku 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>- jeden. Je teda zrejmé, že ak |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню. Teraz zvážte prípady, kde |j'(x) |> 1. Na obr. 1.2.3-4a znázorňuje prípad, keď j'(x)>1 a na obr. 1.2.3-4b – keď j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня. Spôsoby, ako zlepšiť konvergenciu iteračného procesu. Zvážte dve možnosti zobrazenia funkcie j(x) pri prechode z rovnice f(x) na x=j(x). 1.
Nech je funkcia j(x) diferencovateľná a monotónna v okolí koreňa a nech existuje číslo k £ |j‘(x)|, kde k ³ 1 (t. j. proces diverguje). Nahradme rovnicu x=j(x) jej ekvivalentnou rovnicou x=Y(x )
, kde Y(x) = 1/j(x)(prejdime k inverznej funkcii). Potom 2.
Funkciu j(x) reprezentujeme ako j(x) = x - lf(x), kde l je koeficient ,
nerovná sa nula. Aby sa proces zblížil, je potrebné, aby a proces bude konvergovať, rekurzívny vzorec má tvar Ak f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1
. Parameter λ možno určiť aj pravidlom: Ak , potom , a ak , potom , kde Schéma algoritmu iteračnej metódy je znázornená na obr. 1.2.3-5. Pôvodná rovnica f(x)=0 bola transformovaná do formy vhodnej pre iterácie: Ľavá strana pôvodnej rovnice f(x) a iteračná funkcia fi(x) v algoritme sú navrhnuté ako samostatné softvérové moduly. Ryža. 1.2.3-5. Schéma iteračnej metódy algoritmu Príklad 1.2.3-2. Spresnite koreň rovnice 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 s presnosťou na 0,1, ktorý je lokalizovaný na intervale . Prinášame rovnicu do formy vhodnej pre iterácie: Preto za približnú hodnotu koreňa rovnice berieme hodnotu x 3 =3,6892, ktorá poskytuje požadovanú presnosť výpočtov. V tomto bode f(x 3) = 0,0027. akordová metóda Geometrická interpretácia akordovej metódy je nasledujúci Nakreslíme priamku cez body A a B. Ďalšia aproximácia x 1 je úsečka priesečníka tetivy s osou 0x. Zostavme rovnicu priamky: Dajme y = 0 a nájdime hodnotu x = x 1 (ďalšia aproximácia): Zopakujeme proces výpočtu, aby sme získali ďalšiu aproximáciu ku koreňu - x 2 :
V našom prípade (obr. 1.2.11) a výpočtový vzorec akordovej metódy bude vyzerať Tento vzorec platí, keď sa bod b berie ako pevný bod a bod a pôsobí ako počiatočná aproximácia. Zvážte iný prípad (obr. 1.2.3-9), keď . Rovnica s priamkou pre tento prípad má tvar Ďalšia aproximácia x 1 pri y = 0 Potom má rekurzívny vzorec pre metódu akordov pre tento prípad tvar Treba poznamenať, že pre pevný bod v metóde akordov sa volí koniec segmentu, pre ktorý je splnená podmienka f (x) ∙ f¢¢ (x)>0. Ak sa teda bod a berie ako pevný bod ,
potom x 0 = b pôsobí ako počiatočná aproximácia a naopak. Dostatočné podmienky, ktoré zabezpečia výpočet koreňa rovnice f(x)=0 pomocou vzorca tetiv, budú rovnaké ako pri metóde dotyčníc (Newtonova metóda), ale namiesto počiatočnej aproximácie sa zvolí pevný bod. Akordová metóda je modifikáciou Newtonovej metódy. Rozdiel je v tom, že ďalšou aproximáciou v Newtonovej metóde je priesečník dotyčnice s osou 0X a pri metóde tetiv - priesečník tetivy s osou 0X - sa aproximácie zbiehajú ku koreňu od rôzne strany. Odhad chyby akordovej metódy je určený výrazom Ukončovacia podmienka iteračného procesu metódou akordov Ak M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e. Príklad 1.2.3-4. Zadajte koreň rovnice e x - 3x = 0, oddelený na segmente s presnosťou 10 -4 . Pozrime sa na podmienku konvergencie: Preto a=0 by sa malo zvoliť ako pevný bod a x 0 \u003d 1 by sa malo brať ako počiatočná aproximácia, pretože f (0) \u003d 1> 0 a f (0) * f "(0)> 0 . Výsledky výpočtu získané pomocou vzorca Tabuľka 1.2.3-4 Ryža. 1.2.3-10. Schéma algoritmu akordovej metódy Nelineárna rovnica je 1)
algebraická alebo transcendentálna rovnica 2)
algebraická rovnica 3)
goniometrická rovnica 4)
transcendentálna rovnica Téma 1.2. Metódy riešenia nelineárnych rovníc Formulácia problému Oddelenie koreňov 1.2.2.1. Grafické oddelenie koreňov 1.2.2.2. Analytická vetva koreňov Spresnenie koreňa 1.2.3.1. Metóda polovičného delenia 1.2.3.2. Iteračná metóda 1.2.3.3. Newtonova metóda (metóda dotyčnice) 1.2.3.4. akordová metóda 1.2.3.5. Porovnanie metód riešenia nelineárnych rovníc 1.2.4. Testové úlohy na tému "Metódy riešenia nelineárnych rovníc" Formulácia problému Jedným z najdôležitejších a najbežnejších problémov matematickej analýzy je problém určenia koreňov rovnice s jednou neznámou, ktorá môže byť reprezentovaná vo všeobecnom tvare ako f(x) = 0. V závislosti od tvaru funkcie f( x), rozlišujú sa algebraické a transcendentálne rovnice. Algebraické rovnice sa nazývajú rovnice, v ktorých je hodnota funkcie f(x) polynómom n-tého stupňa: f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1) Volá sa akákoľvek nealgebraická rovnica transcendentálna rovnica. Funkciou f(x) v takýchto rovniciach je aspoň jedna z nasledujúcich funkcií: exponenciálna, logaritmická, trigonometrická alebo inverzná trigonometrická. Riešenie rovnice f (x) \u003d 0 je množina koreňov, to znamená také hodnoty nezávislej premennej, pre ktoré sa rovnica zmení na identitu. Presné hodnoty koreňov však možno nájsť len analyticky pre niektoré typy rovníc. Najmä vzorce vyjadrujúce riešenie algebraickej rovnice možno získať len pre rovnice nie vyššie ako štvrtý stupeň. Existuje ešte menej príležitostí na získanie presného riešenia transcendentálnych rovníc. Treba poznamenať, že problém nájsť presné hodnoty koreňov nie je vždy správny. Ak sú teda koeficienty rovnice približné čísla, presnosť vypočítaných hodnôt koreňov určite nemôže prekročiť presnosť pôvodných údajov. Tieto okolnosti nás nútia uvažovať o možnosti nájsť korene rovnice s obmedzenou presnosťou (približné korene). Problém nájdenia koreňa rovnice s danou presnosťou (> 0) sa považuje za vyriešený, ak sa vypočíta približná hodnota, ktorá sa od presnej hodnoty koreňa nelíši o viac ako hodnotu e (1.2.1-2) Proces hľadania približného koreňa rovnice pozostáva z dvoch fáz: 1) oddelenie koreňov (lokalizácia koreňov); Rovnice, ktoré obsahujú neznáme funkcie umocnené na mocninu väčšiu ako jedna, sa nazývajú nelineárne. Systém nelineárnych rovníc je súčasné riešenie niekoľkých nelineárnych rovníc s jednou alebo viacerými premennými. Existuje mnoho metód riešenie nelineárnych rovníc a sústavy nelineárnych rovníc, ktoré sa zvyčajne zaraďujú do 3 skupín: numerické, grafické a analytické. Analytické metódy umožňujú určiť presné hodnoty riešenia rovníc. Grafické metódy sú najmenej presné, ale umožňujú v zložitých rovniciach určiť čo najpribližnejšie hodnoty, z ktorých v budúcnosti môžete začať hľadať presnejšie riešenia rovníc. Numerické riešenie nelineárnych rovníc zahŕňa prechod cez dve fázy: oddelenie koreňa a jeho spresnenie na určitú špecifikovanú presnosť. Zoberme si niekoľko metód na rafináciu koreňov so špecifickou presnosťou. metóda polovičného delenia. Podstatou metódy polovičného delenia je rozdeliť interval na polovicu (с=(a+b)/2) a časť intervalu, v ktorej nie je koreň, zahodiť, t.j. podmienka F(a)xF(b) Obr.1. Využitie metódy polovičného delenia pri riešení nelineárnych rovníc. Zvážte príklad. Obr.2. Tabuľka výsledkov výpočtu Ako výsledok výpočtov získame hodnotu, berúc do úvahy požadovanú presnosť, rovnajúcu sa x=-0,946 akordová metóda. Pri použití akordovej metódy sa špecifikuje segment, v ktorom je len jeden koreň s uvedenou presnosťou e. Cez body v úsečke a a b, ktoré majú súradnice (x(F(a); y(F(b))) je nakreslená priamka (tetiva). Ďalej sú priesečníky tejto priamky s osou x. (bod z) sú určené. Obr.3. Využitie metódy akordov pri riešení nelineárnych rovníc. Zvážte príklad. Je potrebné vyriešiť rovnicu x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 s presnosťou e Vo všeobecnosti rovnica vyzerá takto: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 Nájdite hodnoty F(x) na koncoch segmentu: F(-1) = -0,2>0; Definujme druhú deriváciu F''(x) = 6x-0,4. F''(-1)=-6,4 Na koncoch segmentu je dodržaná podmienka F(-1)F’’(-1)>0, preto na určenie koreňa rovnice použijeme vzorec: Všetky výpočty sú uvedené v tabuľke nižšie. Obr.4. Tabuľka výsledkov výpočtu Ako výsledok výpočtov získame hodnotu, berúc do úvahy požadovanú presnosť, rovnajúcu sa x=-0,946 Tangentová metóda (Newton) Táto metóda je založená na konštrukcii dotyčníc ku grafu, ktoré sú nakreslené na jednom z koncov intervalu. V bode priesečníka s osou X (z1) sa vytvorí nová dotyčnica. Tento postup pokračuje, kým získaná hodnota nebude porovnateľná s požadovaným parametrom presnosti e (F(zi) Obr.5. Využitie metódy dotyčníc (Newton) pri riešení nelineárnych rovníc. Zvážte príklad. Je potrebné vyriešiť rovnicu x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 s presnosťou e Vo všeobecnosti rovnica vyzerá takto: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 Definujme prvú a druhú deriváciu: F'(x)=3x^2-0,4x+0,5, F''(x)=6x-0,4; F''(-1)=-6-0,4=-6,4 Kde x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2 Všetky výpočty sú uvedené v tabuľke nižšie. Obr.6. Tabuľka výsledkov výpočtu Ako výsledok výpočtov získame hodnotu, berúc do úvahy požadovanú presnosť, rovnajúcu sa x=-0,946 Zvážte problém hľadania koreňov nelineárnej rovnice Korene rovnice (1) sú tie hodnoty x, ktoré pri dosadení zmenia na identitu. Len pre najjednoduchšie rovnice je možné nájsť riešenie vo forme vzorcov, t.j. analytická forma. Častejšie je potrebné riešiť rovnice približnými metódami, z ktorých najrozšírenejšie sú v súvislosti s nástupom počítačov numerické metódy. Algoritmus na hľadanie koreňov približnými metódami možno rozdeliť do dvoch etáp. Najprv sa študuje umiestnenie koreňov a vykonáva sa ich oddelenie. Existuje oblasť, v ktorej sa nachádza koreň rovnice alebo počiatočná aproximácia ku koreňu x 0 . Najjednoduchším spôsobom riešenia tohto problému je štúdium grafu funkcie f(x) . Vo všeobecnom prípade je na jeho vyriešenie potrebné zapojiť všetky prostriedky matematickej analýzy. Existencia aspoň jedného koreňa rovnice (1) na nájdenom intervale vyplýva z Bolzanovej podmienky: f(a)*f(b)<0 (2) Taktiež sa predpokladá, že funkcia f(x) je na danom segmente spojitá. Táto podmienka však neodpovedá na otázku o počte koreňov rovnice na danom intervale. Ak sa požiadavka kontinuity funkcie doplní o požiadavku jej monotónnosti, a to vyplýva zo znamienkovej stálosti prvej derivácie, potom môžeme tvrdiť existenciu jedinečného koreňa na danom segmente. Pri lokalizácii koreňov je tiež dôležité poznať základné vlastnosti tohto typu rovníc. Spomeňte si napríklad na niektoré vlastnosti algebraických rovníc: kde sú skutočné koeficienty. V druhej fáze riešenia rovnice (1) sa pomocou získanej počiatočnej aproximácie skonštruuje iteračný proces, ktorý umožňuje spresniť hodnotu koreňa s určitou vopred stanovenou presnosťou. Iteračný proces spočíva v postupnom spresňovaní počiatočnej aproximácie. Každý takýto krok sa nazýva iterácia. V dôsledku iteračného procesu sa nájde postupnosť približných hodnôt koreňov rovnice. Ak sa táto postupnosť približuje k skutočnej hodnote koreňa x ako n rastie, potom iteračný proces konverguje. O iteračnom procese sa hovorí, že konverguje aspoň k rádu m, ak je splnená nasledujúca podmienka: kde С>0 je nejaká konštanta. Ak m=1, potom hovoríme o konvergencii prvého rádu; m=2 - približne kvadratická, m=3 - približne kubická konvergencia. Iteračné cykly sa skončia, ak sú pre danú povolenú chybu splnené kritériá pre absolútne alebo relatívne odchýlky: alebo malý zvyšok: Táto práca je venovaná štúdiu algoritmu na riešenie nelineárnych rovníc pomocou Newtonovej metódy. Oddelenie: ASOIiU Laboratórne práce K téme: HĽADANIE KOREŇA NELINEÁRNEJ ROVNICE. METÓDY RIEŠENIA SYSTÉMU NELINEÁRNYCH ROVNIC Moskva, 2008 HĽADANIE KOREŇA NELINEÁRNEJ ROVNICE 1. Vyjadrenie problému Nech je daná funkcia, ktorá je spojitá spolu s jej niekoľkými deriváciami. Je potrebné nájsť všetky alebo niektoré skutočné korene rovnice Táto úloha je rozdelená do niekoľkých podúloh. Najprv je potrebné určiť počet koreňov, preskúmať ich povahu a umiestnenie. Po druhé, nájdite približné hodnoty koreňov. Po tretie, vyberte si z nich korene, ktoré nás zaujímajú, a vypočítajte ich s požadovanou presnosťou, napr. Prvá a druhá úloha sa rieši spravidla analytickými alebo grafickými metódami. V prípade, že sa hľadajú iba skutočné korene rovnice (1), je užitočné zostaviť tabuľku funkčných hodnôt. Ak má funkcia v dvoch susedných uzloch tabuľky rôzne znamienka, tak medzi týmito uzlami leží nepárny počet koreňov rovnice (aspoň jeden). Ak sú tieto uzly blízko, s najväčšou pravdepodobnosťou je medzi nimi iba jeden koreň. Nájdené približné hodnoty koreňov je možné spresniť pomocou rôznych iteračných metód. Uvažujme tri metódy: 1) metóda dichotómie (alebo delenia segmentu na polovicu); 2) jednoduchá iteračná metóda a 3) Newtonova metóda. 2. Metódy riešenia problému 2.1 Spôsob delenia segmentu na polovicu Najjednoduchšou metódou na nájdenie koreňa nelineárnej rovnice (1) je metóda polovičného delenia. Nech je na segmente daná spojitá funkcia. Ak hodnoty funkcie na koncoch segmentu majú rôzne znamienka, t.j. Takže algoritmus dichotomickej metódy: 1. Nastavte vzdialenosť a chybu e. 2. Ak majú f(a) a f(b) rovnaké znamienka, vypíšte správu o nemožnosti nájsť koreň a zastavte. Obr.1. Metóda delenia úsečky na polovicu pri riešení rovnice v tvare f(x)=0. 3. V opačnom prípade vypočítajte c=(a+b)/2 4. Ak f(a) a f(c) majú rôzne znamienka, dajte b=c, inak a=c. 5. Ak je dĺžka nového segmentu , vypočítajte hodnotu odmocniny c=(a+b)/2 a zastavte, inak prejdite na krok 3. Keďže sa dĺžka segmentu zmenší 2 N-krát v N krokoch, daná chyba pri hľadaní koreňa e sa dosiahne v iteráciách. Ako vidno, miera konvergencie je nízka, ale medzi výhody metódy patrí jednoduchosť a bezpodmienečná konvergencia iteračného procesu. Ak segment obsahuje viac ako jeden koreň (ale nepárny počet), jeden sa vždy nájde. Komentujte. Na určenie intervalu, v ktorom leží koreň, je potrebná dodatočná analýza funkcie založená buď na analytických odhadoch alebo na použití metódy grafického riešenia. Je tiež možné organizovať vyhľadávanie funkčných hodnôt v rôznych bodoch, kým nie je splnená podmienka zmeny znamienka funkcie 2.2 Jednoduchá iteračná metóda Pri použití tejto metódy treba pôvodnú nelineárnu rovnicu (1) prepísať do tvaru Označme koreň tejto rovnice ako C * . Nech je známa počiatočná aproximácia koreňa. Dosadením tejto hodnoty do pravej strany rovnice (2) získame novú aproximáciu atď. Pre (n+1)-krok získame nasledujúcu aproximáciu Podľa vzorca (3) teda získame postupnosť С 0 , С 1 ,…,С n +1 , ktorá smeruje ku koreňu С * v n®¥. Iteračný proces sa zastaví, ak sú výsledky dvoch po sebe idúcich iterácií blízko, t. j. podmienka Pozrime sa na podmienku a rýchlosť konvergencie číselnej postupnosti (C n ) pre n®¥. Pripomeňme si definíciu miery konvergencie. Postupnosť (C n ) konvergujúca k limite С * má rýchlosť konvergencie rádu a, ak pre n®¥ platí podmienka Predpokladajme, že má spojitú deriváciu, potom možno znázorniť chybu v (n+1)-tom iteračnom kroku e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) ako séria e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (Cn-C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼ Tak to získame za podmienky çg¢(C *) ç<1(6) postupnosť (3) bude konvergovať ku koreňu s lineárnou rýchlosťou a=1. Podmienka (6) je podmienkou konvergencie metódy jednoduchej iterácie. Je zrejmé, že úspech metódy závisí od toho, ako dobre je funkcia zvolená. Napríklad, ak chcete extrahovať druhú odmocninu, t. j. vyriešiť rovnicu v tvare x \u003d a 2, môžete vložiť x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a) x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b) Je ľahké to ukázať ½g 1" (C)½=1, ½ g 2" (C)½<1. Prvý proces (7a) teda vôbec nekonverguje, zatiaľ čo druhý (7b) konverguje pre akúkoľvek počiatočnú aproximáciu Co >0. Ryža. 2. Grafická interpretácia metódy jednoduchých iterácií na riešenie rovnice tvaru x=g(x). Konštrukcia niekoľkých po sebe idúcich aproximácií podľa vzorca (3) С 0 , С 1 , …, С n = C * znázornené na obrázku 2. 2.3 Newtonova metóda V literatúre sa táto metóda často nazýva tangentová metóda, ako aj metóda linearizácie. Zvolíme počiatočnú aproximáciu С 0 . Predpokladajme, že odchýlka С 0 od skutočnej hodnoty koreňa С * je malá, potom rozšírením f(C *) do Taylorovho radu v bode С 0 dostaneme f(C *) = f(C0) + f¢(C0) (C*-C0) +¼(8) Ak f¢(C 0) ¹ 0 , potom v (8) sa môžeme obmedziť na lineárne členy v DC =C-C 0 . Vzhľadom na to, že f(C *)=0, z (9) môžeme nájsť nasledujúcu aproximáciu koreňa C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0) alebo pre (n+1)-tú aproximáciu Cn+1 = Cn – f (Cn) / f ¢(Cn) (9) Na ukončenie iteračného procesu je možné použiť jednu z dvoch podmienok çC n +1 – C n ç çf(Cn+1) ç Štúdium konvergencie Newtonovej metódy prebieha podobne ako v predchádzajúcom prípade. Nezávisle to získajte pod podmienkou ½f""(C)/2f"(C)½<1. Newtonova metóda má kvadratickú mieru konvergencie (). Ryža. 3. Grafická interpretácia Newtonovej metódy riešenia rovnice tvaru f(x)=0. Konštrukcia niekoľkých po sebe idúcich aproximácií podľa vzorca (9) С 0 , С 1 , …, С n = C * znázornené na obrázku 3. 1. Pre danú funkciu f(x) Určite počet reálnych koreňov rovnice f(x)=0, ich umiestnenie a približné hodnoty (zostavte graf alebo vytlačte tabuľku hodnôt). · Vypočítajte jeden z nájdených koreňov (akýkoľvek) s presnosťou e=0,5*10 -3. Na výpočty použite metódu rozdelenia segmentu na polovicu (určte počet iterácií) a potom nájdite rovnaký koreň pomocou Newtonovej metódy (tiež určenie počtu krokov iterácie). Porovnajte svoje výsledky. Možnosti úloh 1.x3 –3x 2 +6x – 5 = 0 2.x3 +sinx –12x-1=0 3. x 3 –3x 2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0 5. x 2 +4 sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5 7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0,1x 2 +0,3x –0,6 = 0 9. 11. 13. x 3 -4x 2 -10x -10 = 0 14. 15. 16. 19. 20. 23. 24. x 4 - 2,9 x 3 + 0,1 x 2 + 5,8 x - 4,2 = 0 25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26. METÓDY RIEŠENIA SYSTÉMU NELINEÁRNYCH ROVNIC 1.
Formulácia problému Nech je potrebné vyriešiť systém n nelineárnych rovníc: Neexistujú žiadne priame metódy riešenia systému (1). Iba v niektorých prípadoch je možné tento systém priamo vyriešiť. Napríklad pre prípad dvoch rovníc je niekedy možné vyjadriť jednu neznámu premennú pomocou inej a tak zredukovať problém na riešenie jednej nelineárnej rovnice vzhľadom na jednu neznámu. Systém rovníc (1) možno stručne zapísať vo vektorovej forme: Rovnica (2) môže mať jeden alebo viac koreňov v doméne D. Je potrebné zistiť existenciu koreňov rovnice a nájsť približné hodnoty týchto koreňov. Na nájdenie koreňov sa zvyčajne používajú iteračné metódy, pri ktorých má zásadný význam výber počiatočnej aproximácie. Počiatočná aproximácia je niekedy známa z fyzikálnych úvah. V prípade dvoch neznámych je možné počiatočnú aproximáciu nájsť graficky: krivky f 1 (x 1 , x 2)=0 a f 2 (x 1 , x 2)=0 vyneste do roviny (x 1, x 2). ) a nájdite ich priesečníky. Pre tri alebo viac premenných (rovnako ako pre komplexné korene) neexistujú žiadne uspokojivé spôsoby výberu počiatočnej aproximácie. Uvažujme dve hlavné iteračné metódy riešenia sústavy rovníc (1), (2) - metódu jednoduchej iterácie a Newtonovu metódu. 2. Metódy riešenia sústavy nelineárnych rovníc 2.1 Jednoduchá iteračná metóda Predstavme si systém (1) vo forme alebo vo vektorovej forme: Algoritmus jednoduchej iteračnej metódy je nasledujúci. Zvolíme nejakú nulovú aproximáciu Nasledujúca aproximácia sa nachádza podľa vzorcov: alebo podrobnejšie: Iteračný proces (5) pokračuje dovtedy, kým sa zmeny všetkých neznámych v dvoch po sebe nasledujúcich iteráciách nestanú malými, t.j. V praxi sa nerovnosť často používa namiesto poslednej podmienky: kde je rms norma n-rozmerného vektora Pri použití tejto metódy je úspech do značnej miery určený dobrým výberom počiatočnej aproximácie: mala by byť dostatočne blízko skutočnému riešeniu. V opačnom prípade iteračný proces nemusí konvergovať. Ak proces konverguje, potom je jeho rýchlosť konvergencie lineárna. 2.2. Newtonova metóda V prekladovej literatúre sa môžete stretnúť s názvom Newton-Raphsonova metóda. Táto metóda konverguje oveľa rýchlejšie ako metóda jednoduchej iterácie. Nech je známe nejaké priblíženie ku koreňu, aby Potom môže byť pôvodný systém (2) napísaný takto: Rozšírením rovnice (7) v Taylorovom rade v blízkosti bodu a obmedzením sa na lineárne členy v odchýlke dostaneme: alebo v súradnicovom tvare: Systém (8) možno prepísať ako: Výsledná sústava (9) je sústavou lineárnych algebraických rovníc vzhľadom na prírastky Hodnota funkcií F 1 , F 2 , …, F n a ich derivácie v (9) sú vypočítané pri Determinant systému (9) je Jacobian J: Aby existovalo jedinečné riešenie sústavy rovníc (9), musí sa líšiť od nuly. Po vyriešení systému (9) napríklad Gaussovou metódou nájdeme novú aproximáciu: Skontrolujeme stav (6). Ak nie je splnená, nájdeme aj Jacobián (10) s novou aproximáciou a opäť vyriešime (9), teda nájdeme 2. aproximáciu atď. Iterácie sa zastavia, akonáhle je splnená podmienka (6). Pomocou Newtonovej metódy nájdite riešenia systému nelineárnych rovníc s danou presnosťou. Preskúmajte konvergenciu iteračného procesu. Možnosti úloh 1 3 5 7 9 11 13 15. 17. 19. 21. 
čo znamená q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ),
kde m 1 a M 1 sú minimálne a maximálne hodnoty f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) pre хн, t.j. 0£ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £1. Potom
.
(Obr.1.2.3-8).
(1.2.3-15)
(1.2.3-16)
1.2.3-14 sú uvedené v tabuľke 1.2.3-4.
Napríklad y=ax+b je lineárna rovnica, x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 je nelineárna (všeobecne písaná ako F(x)=0).
Oddelenie koreňov sa vykonáva rôznymi spôsobmi: graficky, pomocou rôznych špecializovaných počítačových programov atď.Metódy numerického riešenia nelineárnych rovníc
Rozdeľme segment na 2 časti: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Ak je súčin F(a)*F(x)>0, tak začiatok segmentu a sa prenesie na x (a=x), v opačnom prípade sa koniec segmentu b prenesie do bodu x (b=x ). Výsledný segment opäť rozdelíme na polovicu atď. Všetky výpočty sú uvedené v tabuľke nižšie.
Ak F(a)xF(z)
F''(0) = -0,4
F''(0) = -0,4
Podmienka F(-1)F''(-1)>0 je splnená, takže výpočty sa robia podľa vzorca: 
potom to znamená, že vo vnútri daného segmentu je nepárny počet koreňov. Pre istotu nech máme len jeden koreň. Podstatou metódy je znížiť dĺžku segmentu na polovicu pri každej iterácii. Nájdeme stred segmentu (pozri obr. 1) 
Vypočítajte hodnotu funkcie a vyberte segment, na ktorom funkcia zmení znamienko. Rozdeľte nový segment znova na polovicu. A pokračujeme v tomto procese, kým sa dĺžka segmentu nerovná vopred určenej chybe vo výpočte koreňa e. Konštrukcia niekoľkých po sebe idúcich aproximácií podľa vzorca (3) je znázornená na obrázku 1.
(3)
(4)
10. (x -1) 3 + 0,5e x = 0
12,x5 -3x2 + 1 = 0
(1)
. (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
, t.j.
(8)
(9)
.
(10)
.
2
4
6
8
10
12
14. 
16. 
18. 
20. 
22. 
