Diskriminačné, ako aj kvadratické rovnice sa začínajú študovať v kurze algebry v 8. ročníku. Kvadratickú rovnicu môžete vyriešiť pomocou diskriminantu a pomocou Vietovej vety. Metodika štúdia kvadratických rovníc, ako aj diskriminačný vzorec sa školákom vštepuje skôr neúspešne, podobne ako v skutočnom vzdelávaní. Preto ubiehajú školské roky, vzdelávanie v ročníkoch 9-11 nahrádza „vysoké vzdelanie“ a každý opäť hľadá - "Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu?", "Ako nájsť korene rovnice?", "Ako nájsť diskriminant?" a...

Diskriminačný vzorec

Diskriminant D kvadratickej rovnice a*x^2+bx+c=0 je D=b^2–4*a*c.
Korene (riešenia) kvadratickej rovnice závisia od znamienka diskriminantu (D):
D>0 - rovnica má 2 rôzne reálne korene;
D=0 - rovnica má 1 koreň (2 zhodné korene):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Vzorec na výpočet diskriminantu je pomerne jednoduchý, preto mnohé stránky ponúkajú online diskriminačnú kalkulačku. Na tento druh skriptov sme ešte neprišli, takže kto vie, ako to implementovať, napíšte na mail Táto e-mailová adresa je chránená pred spamovacími robotmi. Pre zobrazenie musíte mať povolený JavaScript. .

Všeobecný vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice:

Korene rovnice nájdeme podľa vzorca
Ak je koeficient druhej mocniny premennej spárovaný, potom je vhodné vypočítať nie diskriminant, ale jeho štvrtú časť
V takýchto prípadoch sa korene rovnice nachádzajú podľa vzorca

Druhým spôsobom, ako nájsť korene, je Vietin teorém.

Veta je formulovaná nielen pre kvadratické rovnice, ale aj pre polynómy. Môžete si to prečítať na Wikipédii alebo iných elektronických zdrojoch. Pre zjednodušenie však zvážte tú časť, ktorá sa týka redukovaných kvadratických rovníc, teda rovníc tvaru (a=1)
Podstatou vzorcov Vieta je, že súčet koreňov rovnice sa rovná koeficientu premennej s opačným znamienkom. Súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu. Vzorce Vietovej vety majú zápis.
Odvodenie vzorca Vieta je celkom jednoduché. Napíšme kvadratickú rovnicu z hľadiska prvočiniteľov
Ako vidíte, všetko dômyselné je zároveň jednoduché. Je efektívne použiť vzorec Vieta, keď rozdiel v module koreňov alebo rozdiel v module koreňov je 1, 2. Napríklad nasledujúce rovnice podľa Vietovej vety majú korene




Takto by mala vyzerať analýza až 4 rovníc. Súčin koreňov rovnice je 6, takže korene môžu byť hodnoty (1, 6) a (2, 3) alebo páry s opačným znamienkom. Súčet koreňov je 7 (koeficient premennej s opačným znamienkom). Z toho vyvodíme, že riešenia kvadratickej rovnice sa rovnajú x=2; x=3.
Je jednoduchšie vybrať korene rovnice medzi deliteľmi voľného termínu a opraviť ich znamienko, aby sa splnili vzorce Vieta. Na začiatku sa to zdá ťažké, ale s praxou na množstve kvadratických rovníc bude táto technika efektívnejšia ako výpočet diskriminantu a hľadanie koreňov kvadratickej rovnice klasickým spôsobom.
Ako vidíte, školská teória štúdia diskriminantu a spôsobov hľadania riešení rovnice nemá praktický význam - "Prečo školáci potrebujú kvadratickú rovnicu?", "Aký je fyzikálny význam diskriminantu?".

Skúsme na to prísť čo popisuje diskriminant?

V rámci algebry študujú funkcie, schémy na štúdium funkcií a vykresľovanie funkcií. Spomedzi všetkých funkcií zaujíma dôležité miesto parabola, ktorej rovnicu je možné zapísať do tvaru
Takže fyzikálny význam kvadratickej rovnice sú nuly paraboly, to znamená priesečníky grafu funkcie s osou x.
Žiadam vás, aby ste si zapamätali vlastnosti parabol, ktoré sú popísané nižšie. Príde čas robiť skúšky, testy alebo prijímacie skúšky a vy budete vďační za referenčný materiál. Znamienko premennej v štvorci zodpovedá tomu, či budú vetvy paraboly na grafe stúpať (a>0),

alebo parabola s vetvami dole (a<0) .

Vrchol paraboly leží uprostred medzi koreňmi

Fyzický význam diskriminantu:

Ak je diskriminant väčší ako nula (D>0), parabola má dva priesečníky s osou Ox.
Ak je diskriminant rovný nule (D=0), potom sa parabola v hornej časti dotýka osi x.
A posledný prípad, keď je diskriminant menší ako nula (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Neúplné kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". Znamená to, že v rovnici nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho v rovnici môže byť (alebo nemusí byť!) len x (do prvého stupňa) a len číslo (voľný člen). A nemali by tam byť x v stupni väčšom ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale a- všetko okrem nuly. Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete...

V týchto kvadratických rovniciach je vľavo Plný setčlenov. x na druhú s koeficientom a, x na prvú mocninu s koeficientom b a voľný člen

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú kompletný.

Čo ak b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvom stupni. Stane sa to pri násobení nulou.) Ukázalo sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

Atď. A ak oba koeficienty b a c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom prečo a nemôže byť nula? A namiesto toho nahrádzate a nula.) X v štvorci zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A robí sa to inak...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. na pohľad:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a počítať. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c= -4. Tu píšeme:

Príklad takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo myslíte, nemôžete sa pokaziť? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena so znakmi hodnôt a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko klesne. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Vyjde to tak akurát. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa vyrieši jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Vedeli ste?) Áno! to neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Musíte len správne zistiť, čo sa tu rovná a, b a c.

Realizované? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? Vôbec neexistuje! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly do vzorca nahraďte nulu c, a všetko nám vyjde. Podobne s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme S, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš? Potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? Niečo...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako všeobecný vzorec. Mimochodom, ktorý X bude prvý a ktorý druhý - je úplne ľahostajné. Jednoduché písanie v poradí x 1- podľa toho, čo je menej x 2- čo je viac.

Druhá rovnica sa dá tiež ľahko vyriešiť. Posúvame 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Získajte:

aj dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vytiahnutím X zo zátvoriek, alebo jednoduchým prenesením čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto metódy. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, a v druhom prípade nie je čo vytiahnuť zo zátvoriek ...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodnite sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na triky od diskriminujúceho! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Diskriminant sa zvyčajne označuje písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také zvláštne? Prečo si zaslúži špeciálne pomenovanie? Čo zmysel slova diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci konkrétne nepomenúvajú ... Písmená a písmená.

Ide o to. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej môžete extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, nejde o jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť o tom jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Záporné číslo nemá druhú odmocninu. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Aby som bol úprimný, s jednoduchým riešením kvadratických rovníc sa koncept diskriminantu skutočne nevyžaduje. Dosadíme hodnoty koeficientov do vzorca a zvážime. Tam sa všetko ukáže samo, a dva korene a jeden, a nie jeden. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a diskriminačný vzorec nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre GIA a jednotnú štátnu skúšku!)

takze ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo naučené, čo tiež nie je zlé.) Viete sa správne identifikovať a, b a c. Vieš ako opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne spočítať výsledok. Pochopili ste, že kľúčové slovo je tu - opatrne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré je to potom bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po akejkoľvek transformácii dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať vzorec koreňov! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv x na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x na druhú vás môže poriadne rozladiť. Zabudnúť na to je ľahké... Zbavte sa mínusov. ako? Áno, ako sa učí v predchádzajúcej téme! Musíme celú rovnicu vynásobiť -1. Dostaneme:

A teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Rozhodnite sa sami. Mali by ste skončiť s koreňmi 2 a -1.

Druhá recepcia. Skontrolujte svoje korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, ľahko skontrolujte korene. Stačí ich namnožiť. Mali by ste dostať voľný termín, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyšlo, znamená to, že sa už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to vyšlo, musíte zložiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mal by byť pomer b S opak znamenie. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred x, sa rovná -1. Takže všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale overte si aspoň takéto rovnice! Bude menej chýb.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity". Pri práci so zlomkami chyby z nejakého dôvodu stúpajú ...

Mimochodom, sľúbil som zlý príklad s kopou mínusov na zjednodušenie. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je zábava!

Zopakujme si teda tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient pre ňu je rovný jednej, riešenie možno ľahko skontrolovať Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešiť rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Sedí všetko? Výborne! Kvadratické rovnice vás nebolí. Prvé tri dopadli, ale zvyšok nie? Potom problém nie je v kvadratických rovniciach. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nefunguje? Alebo to nefunguje vôbec? Potom vám pomôže sekcia 555. Tam sú všetky tieto príklady zoradené podľa kostí. Zobrazuje sa hlavné chyby v riešení. Samozrejme vypovedá aj o aplikácii identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Napríklad pre trojčlenku \(3x^2+2x-7\) bude diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). A pre trojčlenku \(x^2-5x+11\) sa to bude rovnať \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminant sa označuje písmenom \(D\) a často sa používa pri riešení. Tiež podľa hodnoty diskriminantu môžete pochopiť, ako vyzerá graf (pozri nižšie).

Diskriminant a korene kvadratickej rovnice

Hodnota diskriminantu ukazuje množstvo kvadratickej rovnice:
- ak je \(D\) kladné, rovnica bude mať dva korene;
- ak sa \(D\) rovná nule - iba jeden koreň;
- ak je \(D\) záporné, neexistujú žiadne korene.

Toto sa netreba učiť, k takémuto záveru sa dá ľahko dospieť, stačí vedieť, že z diskriminantu (to znamená \(\sqrt(D)\) je zahrnuté vo vzorci na výpočet koreňov kvadratickej rovnice : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) Pozrime sa viac na každý prípad.

Ak je diskriminant pozitívny

V tomto prípade je jeho koreň nejaké kladné číslo, čo znamená, že \(x_(1)\) a \(x_(2)\) budú mať rozdielnu hodnotu, pretože v prvom vzorci \(\sqrt(D) \) sa pridá a v druhom - sa odpočíta. A máme dva rôzne korene.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(x^2+2x-3=0\)
Riešenie :

Odpoveď : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ak je diskriminant nulový

A koľko koreňov bude, ak bude diskriminant nulový? Uvažujme.

Koreňové vzorce vyzerajú takto: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . A ak je diskriminant nula, potom jeho koreň je tiež nula. Potom sa ukáže:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

To znamená, že hodnoty koreňov rovnice budú rovnaké, pretože pridanie alebo odčítanie nuly nič nezmení.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(x^2-4x+4=0\)
Riešenie :

\(x^2-4x+4=0\)		Vypíšeme koeficienty:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Vypočítajte diskriminant pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Hľadanie koreňov rovnice
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Dostali sme dva rovnaké korene, takže nemá zmysel ich písať oddelene - zapisujeme ich ako jeden.

Odpoveď : \(x=2\)

Uvažujme o probléme. Základňa obdĺžnika je o 10 cm dlhšia ako výška a jeho plocha je 24 cm². Nájdite výšku obdĺžnika. Nechaj X cm je výška obdĺžnika, potom jeho základňa je ( X+10) cm. Plocha tohto obdĺžnika je X(X+ 10) cm². Podľa zadania X(X+ 10) = 24. Rozbalením zátvoriek a prenesením čísla 24 s opačným znamienkom na ľavú stranu rovnice dostaneme: X² + 10 X-24 = 0. Pri riešení tejto úlohy sa získala rovnica, ktorá sa nazýva kvadratická rovnica.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru

sekera ²+ bx+c= 0

kde a, b, c sú uvedené čísla a a≠ 0 a X- neznámy.

Šance a, b, c Kvadratická rovnica sa zvyčajne nazýva takto: a- prvý alebo najvyšší koeficient, b- druhý koeficient, c- voľný člen. Napríklad v našom probléme je seniorský koeficient 1, druhý koeficient 10, voľný termín -24. Riešenie mnohých problémov matematiky a fyziky sa redukuje na riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie kvadratických rovníc

Kompletné kvadratické rovnice. Prvým krokom je uvedenie danej rovnice do štandardného tvaru sekera²+ bx+ c= 0. Vráťme sa k nášmu problému, v ktorom možno rovnicu zapísať ako X(X+ 10) = 24 prenesme to do štandardného formulára, otvorte zátvorky X² + 10 X- 24 = 0, túto rovnicu riešime pomocou vzorca koreňov všeobecnej kvadratickej rovnice.

Výraz pod koreňovým znakom v tomto vzorci sa nazýva diskriminant D = b² - 4 ac

Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva rôzne korene, ktoré možno nájsť podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice.

Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň.

Ak D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Nahraďte hodnoty v našom vzorci a= 1, b= 10, c= -24.

dostaneme D>0, takže dostaneme dva korene.

Uvažujme o príklade, kde D=0, za tejto podmienky by sa mal získať jeden koreň.

25X² - 30 X+ 9 = 0

Uvažujme o príklade, kde D<0, при этом условии решения не должно быть.

2X² + 3 X+ 4 = 0

Číslo pod znamienkom odmocniny (diskriminant) je záporné, odpoveď zapíšeme takto: rovnica nemá skutočné korene.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Kvadratická rovnica sekera² + bx+ c= 0 sa nazýva neúplné, ak je aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovná sa nule. Neúplná kvadratická rovnica je rovnica jedného z nasledujúcich typov:

sekera² = 0,

sekera² + c= 0, c≠ 0,

sekera² + bx= 0, b≠ 0.

Zvážte niekoľko príkladov, vyriešte rovnicu

Vydelením oboch strán rovnice číslom 5 dostaneme rovnicu X² = 0, odpoveď bude mať jeden koreň X= 0.

Zvážte rovnicu tvaru

3X² - 27 = 0

Vydelením oboch strán číslom 3 dostaneme rovnicu X² - 9 = 0, alebo to môže byť napísané X² = 9, odpoveď bude mať dva korene X= 3 a X= -3.

Zvážte rovnicu tvaru

2X² + 7 = 0

Vydelením oboch strán 2 dostaneme rovnicu X² = -7/2. Táto rovnica nemá skutočné korene, pretože X² ≥ 0 pre akékoľvek reálne číslo X.

Zvážte rovnicu tvaru

3X² + 5 X= 0

Rozložením ľavej strany rovnice dostaneme X(3X+ 5) = 0, odpoveď bude mať dva korene X= 0, X=-5/3.

Najdôležitejšie pri riešení kvadratických rovníc je uviesť kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, zapamätať si vzorec pre korene všeobecnej kvadratickej rovnice a nenechať sa zmiasť v znamienkach.

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Uvažujme všetko podrobne: podstatu a zápis kvadratickej rovnice, stanovme sprievodné pojmy, analyzujeme schému riešenia neúplných a úplných rovníc, zoznámime sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, nadviažme spojenia medzi koreňmi a koeficientmi atď. samozrejme dáme názorné riešenie praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, kde X– premenné, a , b a c sú nejaké čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože kvadratická rovnica je v skutočnosti algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, a c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najvyšší koeficient je 6 , druhý koeficient je − 2 , a voľný termín sa rovná − 11 . Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a/alebo c sú záporné, potom sa použije skrátená forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ​​ak koeficienty a a/alebo b rovný 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu explicitne podieľať na písaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami písania uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 − y + 7 = 0 seniorský koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Podľa hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, kde vedúci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu je kvadratická rovnica neredukovaná.

Tu je niekoľko príkladov: kvadratické rovnice x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sú redukované, v každej z nich je vodiaci koeficient 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akúkoľvek neredukovanú kvadratickú rovnicu možno previesť na redukovanú rovnicu vydelením oboch jej častí prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Zváženie konkrétneho príkladu nám umožní jasne demonštrovať prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Vzhľadom na rovnicu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovanej podoby.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe časti pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6 . Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0 : 3 a toto je to isté ako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Odtiaľ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Prejdime k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme to špecifikovali a ≠ 0. Pre rovnicu je potrebná podobná podmienka a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, od r a = 0 v podstate sa transformuje na lineárnu rovnicu b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b a c sa rovnajú nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica a x 2 + b x + c \u003d 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b a c(alebo oboje) je nula.

Kompletná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve takéto názvy.

Pre b = 0 má kvadratická rovnica tvar a x 2 + 0 x + c = 0, ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0. o c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0, čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0. o b = 0 a c = 0 rovnica bude mať tvar a x 2 = 0. Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje naraz. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovníc názov - neúplné.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 = 0, koeficienty zodpovedajú takejto rovnici b = 0 a c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 pre b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 pre c = 0 .

Zvážte postupne riešenie každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 \u003d 0

Ako už bolo uvedené vyššie, takáto rovnica zodpovedá koeficientom b a c, rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a, nerovná sa nule. Zjavným faktom je, že koreň rovnice x2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0 . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa vysvetľuje vlastnosťami stupňa: pre ľubovoľné číslo p , nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá p2 > 0, z ktorého vyplýva, že kedy p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 nikdy nebude dosiahnuté.

Definícia 5

Pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 teda existuje jedinečný koreň x=0.

Príklad 2

Napríklad vyriešme neúplnú kvadratickú rovnicu − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentná rovnici x2 = 0, jej jediným koreňom je x=0, potom má pôvodná rovnica jediný koreň - nulu.

Riešenie je zhrnuté takto:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c \u003d 0

Ďalšie v poradí je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b \u003d 0, c ≠ 0, teda rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Transformujme túto rovnicu tak, že prenesieme člen z jednej strany rovnice na druhú, zmeníme znamienko na opačné a obe strany rovnice vydelíme číslom, ktoré sa nerovná nule:

• vydržať c na pravú stranu, čo dáva rovnicu a x 2 = − c;
• vydeľte obe strany rovnice a, dostaneme ako výsledok x = - c a .

Naše transformácie sú ekvivalentné, respektíve výsledná rovnica je ekvivalentná aj pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť záver o koreňoch rovnice. Z akých sú hodnoty a a c závisí od hodnoty výrazu - c a: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 a c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = -2 a c=6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nerovná sa nule, pretože c ≠ 0. Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d - c a bude číslo - c a, pretože - c a 2 \u003d - c a. Je ľahké pochopiť, že číslo - - c a - je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a .

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať opačnou metódou. Najprv nastavme zápis koreňov nájdených vyššie ako x 1 a − x 1. Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x2, ktorý sa líši od koreňov x 1 a − x 1. Vieme to dosadením do rovnice namiesto X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 a − x 1 napíš: x 1 2 = - c a , a pre x2- x 2 2 \u003d - c a. Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jednu skutočnú rovnosť od iného člena po člene, čím dostaneme: x 1 2 − x 2 2 = 0. Použite vlastnosti číselných operácií na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva x1 − x2 = 0 a/alebo x1 + x2 = 0, čo je to isté x2 = x1 a/alebo x 2 = − x 1. Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x2 sa líši od x 1 a − x 1. Takže sme dokázali, že rovnica nemá iné korene ako x = - ca a x = - - c a .

Zhrnieme všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a , ktorá:

• nebude mať korene na - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a, keď - c a > 0 .

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť jeho riešenie.

Riešenie

Voľný člen prenesieme na pravú stranu rovnice, potom rovnica nadobudne tvar 9 x 2 \u003d - 7.
Obe strany výslednej rovnice vydelíme o 9 , dospejeme k x 2 = - 7 9 . Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: daná rovnica nemá korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu − x2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňme sa o 36 na pravú stranu: − x 2 = − 36.
Rozdeľme si obe časti na − 1 , dostaneme x2 = 36. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = -36.
Extrahujeme koreň a napíšeme konečný výsledok: neúplnú kvadratickú rovnicu − x2 + 36 = 0 má dva korene x=6 alebo x = -6.

odpoveď: x=6 alebo x = -6.

Riešenie rovnice a x 2 +b x=0

Analyzujme tretí druh neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0. Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, používame metódu faktorizácie. Rozložíme polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice, pričom spoločný faktor vyberieme zo zátvoriek X. Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0. A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x=0 a a x + b = 0. Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň: x = − b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x=0 a x = − b a.

Upevnime materiál na príklade.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Riešenie

Vyberieme X mimo zátvorky a získajte rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x=0 a 23x-227 = 0. Teraz by ste mali vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Stručne povedané, riešenie rovnice zapíšeme takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminant, vzorec koreňov kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešenia kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 a, kde D = b 2 − 4 a c je takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Zápis x \u003d - b ± D 2 a v podstate znamená, že x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bude užitočné pochopiť, ako bol uvedený vzorec odvodený a ako ho použiť.

Odvodenie vzorca koreňov kvadratickej rovnice

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• vydeľ obe strany rovnice číslom a, odlišné od nuly, získame redukovanú kvadratickú rovnicu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• vyberte celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Potom bude mať rovnica tvar: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• teraz je možné preniesť posledné dva členy na pravú stranu, pričom znamienko zmeníme na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Došli sme teda k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, ktorá je ekvivalentná pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

O riešení takýchto rovníc sme hovorili v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pre b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 má rovnica tvar x + b 2 · a 2 = 0, potom x + b 2 · a = 0.

Odtiaľ je zrejmý jediný koreň x = - b 2 · a;

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 je správne: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , čo je rovnako ako x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 a c 4 · a 2 napísané na pravej strane. A znak tohto výrazu je daný znakom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladné), teda znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu môžete napísať podstatu diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, koľko koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepíšme to diskriminačným zápisom: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Zopakujme si závery:

Definícia 9

• pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
• pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 rovnica má dva korene: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 alebo x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať ako: x \u003d - b 2 a + D 2 a alebo - b 2 a - D 2 a. A keď otvoríme moduly a zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa, dostaneme: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Takže výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b 2 − 4 a c.

Tieto vzorce umožňujú, keď je diskriminant väčší ako nula, určiť oba skutočné korene. Keď je diskriminant nulový, použitie oboch vzorcov poskytne rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, že je diskriminant záporný, pri pokuse použiť vzorec kvadratickej odmocniny budeme čeliť potrebe extrahovať druhú odmocninu zo záporného čísla, čím sa dostaneme za reálne čísla. S negatívnym diskriminantom nebude mať kvadratická rovnica skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus na riešenie kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžite pomocou koreňového vzorca, ale v zásade sa to robí vtedy, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov sa hľadanie zvyčajne nezameriava na komplexné, ale na skutočné korene kvadratickej rovnice. Potom je optimálne pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (inak dôjdeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnotu koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

• podľa vzorca D = b 2 − 4 a c nájsť hodnotu diskriminantu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - b 2 · a ;
• pre D > 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice podľa vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a , dostane rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a .

Zvážte príklady.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uvádzame riešenie príkladov pre rôzne hodnoty diskriminantu.

Príklad 6

Je potrebné nájsť korene rovnice x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riešenie

Zapisujeme číselné koeficienty kvadratickej rovnice: a \u003d 1, b \u003d 2 a c = - 6. Ďalej konáme podľa algoritmu, t.j. Začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a , b a c do diskriminačného vzorca: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Takže sme dostali D > 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie používame koreňový vzorec x \u003d - b ± D 2 · a a nahradením príslušných hodnôt dostaneme: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Výsledný výraz zjednodušíme odstránením faktora zo znamienka odmocniny a následnou redukciou zlomku:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = -1 + 7, x = -1-7.

Príklad 7

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica iba jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

odpoveď: x = 3, 5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5 , b = 6 a c = 2 . Na nájdenie diskriminantu použijeme tieto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť komplexné korene, použijeme koreňový vzorec vykonaním operácií s komplexnými číslami:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 alebo x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i alebo x = - 3 5 - 1 5 i.

odpoveď: neexistujú žiadne skutočné korene; komplexné korene sú: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

V školských osnovách sa štandardne neuvádza požiadavka hľadať komplexné korene, preto ak je diskriminant pri riešení definovaný ako negatívny, okamžite sa zaznamená odpoveď, že skutočné korene neexistujú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) umožňuje získať iný vzorec, kompaktnejší, umožňujúci nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom na x (alebo s koeficientom tvaru 2 a n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme, ako je tento vzorec odvodený.

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a potom použijeme koreňový vzorec:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Označme výraz n 2 − a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar:

x \u003d - n ± D 1 a, kde D 1 \u003d n 2 - a c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4 . Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

• nájdite D 1 = n 2 − a c ;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pre D 1 = 0 určte jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - n a ;
• pre D 1 > 0 určte dva skutočné korene pomocou vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môže byť reprezentovaný ako 2 · (− 3) . Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kde a = 5 , n = − 3 a c = − 32 .

Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene. Definujeme ich zodpovedajúcim vzorcom koreňov:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonávať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 3 1 5 alebo x = - 2.

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratická rovnica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 je jednoznačne vhodnejšia na riešenie ako 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením jej oboch častí určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušené znázornenie rovnice 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, získanej delením oboch jej častí číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú relatívne prvočísla. Potom sa zvyčajne obe časti rovnice delia najväčším spoločným deliteľom absolútnych hodnôt jej koeficientov.

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definujme gcd absolútnych hodnôt jeho koeficientov: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6. Vydelme obe časti pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne eliminujú zlomkové koeficienty. V tomto prípade vynásobte najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) \u003d 6, potom bude napísaná v jednoduchšom tvare x 2 + 4 x - 18 = 0.

Nakoniec si všimneme, že takmer vždy sa zbavte mínusu pri prvom koeficiente kvadratickej rovnice, pričom sa menia znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch častí − 1. Napríklad z kvadratickej rovnice - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice z hľadiska jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca máme možnosť nastaviť ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné sú vzorce Vietovej vety:

x 1 + x 2 \u003d - ba a x 2 \u003d c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhý koeficient s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pomocou tvaru kvadratickej rovnice 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších vzťahov. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter