Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky vygeneruje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Na druhej strane, ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax na vašu stránku, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vloženie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

V mnohých prípadoch je vykreslenie funkcie jednoduchšie, ak najskôr vykreslíte asymptoty krivky.

Definícia 1. Asymptoty sa nazývajú také čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje tak blízko, ako chceme, keď premenná smeruje k plus nekonečnu alebo mínus nekonečnu.

Definícia 2. Priamka sa nazýva asymptota grafu funkcie, ak vzdialenosť od premenného bodu M graf funkcie až po túto čiaru má tendenciu k nule, keď sa bod nekonečne vzďaľuje M od začiatku súradníc pozdĺž ktorejkoľvek vetvy grafu funkcie.

Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne a šikmé.

Vertikálne asymptoty

Definícia. Rovno X = a je vertikálna asymptota grafu funkcie ak bod X = a je bod zlomu druhého druhu pre túto funkciu.

Z definície vyplýva, že riadok X = a je vertikálna asymptota grafu funkcie f(X) ak je splnená aspoň jedna z týchto podmienok:

Zároveň funkcia f(X) nemusia byť vôbec definované, resp X ≥ a a X ≤ a .

komentár:

Príklad 1 Graf funkcií r=ln X má vertikálnu asymptotu X= 0 (t.j. zhoduje sa s osou Oj) na hranici definičného oboru, pretože limita funkcie, keďže x má tendenciu k nule vpravo, sa rovná mínus nekonečnu:

(obr. vyššie).

na vlastnú päsť a potom uvidíte riešenia

Príklad 2 Nájdite asymptoty grafu funkcie.

Príklad 3 Nájdite asymptoty grafu funkcie

Horizontálne asymptoty

If (limita funkcie, keď argument smeruje k plus alebo mínus nekonečnu, sa rovná nejakej hodnote b), potom r = b – horizontálna asymptota nepoctivý r = f(X ) (vpravo, keď x smeruje k plus nekonečnu, vľavo, keď x smeruje k mínus nekonečnu, a obojstranne, ak sú limity, keď x smeruje k plus alebo mínus nekonečnu, rovnaké).

Príklad 5 Graf funkcií

pri a> 1 má ľavú horizontálnu asymptotu r= 0 (t.j. zhoduje sa s osou Vôl), pretože limit funkcie, keď "x" má tendenciu k mínus nekonečnu, je rovný nule:

Krivka nemá pravú horizontálnu asymptotu, pretože limit funkcie, keďže x má tendenciu k plus nekonečnu, sa rovná nekonečnu:

Šikmé asymptoty

Vertikálne a horizontálne asymptoty, ktoré sme uvažovali vyššie, sú rovnobežné so súradnicovými osami, preto sme na ich zostrojenie potrebovali iba určité číslo - bod na osi x alebo ordináta, cez ktorý asymptota prechádza. Viac je potrebné pre šikmú asymptotu - sklon k, ktorý ukazuje uhol sklonu priamky a priesečník b, ktorý ukazuje, koľko je riadok nad alebo pod počiatkom. Tí, ktorí nemali čas zabudnúť na analytickú geometriu az nej - rovnice priamky, si všimnú, že pre šikmú asymptotu nájdu sklonová rovnica. Existenciu šikmej asymptoty určuje nasledujúca veta, na základe ktorej sa nachádzajú práve vymenované koeficienty.

Veta. Aby ste urobili krivku r = f(X) mal asymptotu r = kx + b , je nevyhnutné a postačujúce, aby existovali konečné limity k a b uvažovanej funkcie, ako má premenná tendenciu X do plus nekonečna a mínus nekonečna:

(1)

(2)

Takto zistené čísla k a b a sú koeficienty šikmej asymptoty.

V prvom prípade (keď x smeruje k plus nekonečnu) sa získa pravá šikmá asymptota, v druhom prípade (keď x smeruje k mínus nekonečnu) zostane. Pravá šikmá asymptota je znázornená na obr. zdola.

Pri hľadaní rovnice šikmej asymptoty je potrebné vziať do úvahy tendenciu x k plus nekonečnu aj mínus nekonečnu. Pre niektoré funkcie, napríklad pre zlomkové racionality, sa tieto limity zhodujú, ale pre mnohé funkcie sú tieto limity odlišné a môže existovať iba jedna z nich.

Keď sa limity zhodujú s x smerujúcim k plus nekonečnu a mínus nekonečnu, priamka r = kx + b je obojstranná asymptota krivky.

Ak je aspoň jedna z limít definujúcich asymptotu r = kx + b , neexistuje, potom graf funkcie nemá šikmú asymptotu (ale môže mať zvislú).

Je ľahké vidieť, že horizontálna asymptota r = b je špeciálny prípad šikmého r = kx + b pri k = 0 .

Preto, ak má krivka horizontálnu asymptotu v akomkoľvek smere, potom v tomto smere neexistuje žiadna šikmá asymptota a naopak.

Príklad 6 Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Funkcia je definovaná na celej číselnej osi okrem X= 0, t.j.

Preto v bode zlomu X= 0 krivka môže mať vertikálnu asymptotu. V skutočnosti, limit funkcie, pretože x má tendenciu zľava nula, je plus nekonečno:

v dôsledku toho X= 0 je vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.

Graf tejto funkcie nemá horizontálnu asymptotu, pretože limit funkcie, keď x smeruje k plus nekonečnu, sa rovná plus nekonečnu:

Zistime prítomnosť šikmej asymptoty:

Má konečné limity k= 2 a b= 0. Rovno r = 2X je obojstranná šikmá asymptota grafu tejto funkcie (obr. vo vnútri príkladu).

Príklad 7 Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Funkcia má jeden bod zlomu X= -1. Vypočítajme jednostranné limity a určme typ diskontinuity:

Záver: X= −1 je bod nespojitosti druhého druhu, teda priamka X= −1 je vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.

Hľadajú sa šikmé asymptoty. Keďže táto funkcia je čiastočne racionálna, limity pre a pre sa budú zhodovať. Nájdeme teda koeficienty na dosadenie priamky - šikmej asymptoty do rovnice:

Dosadením nájdených koeficientov do rovnice priamky so sklonom dostaneme rovnicu šikmej asymptoty:

r = −3X + 5 .

Na obrázku je graf funkcie označený bordovou farbou a asymptoty sú čiernou farbou.

Príklad 8 Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Keďže táto funkcia je spojitá, jej graf nemá žiadne vertikálne asymptoty. Hľadáme šikmé asymptoty:

.

Graf tejto funkcie má teda asymptotu r= 0 at a nemá asymptotu v .

Príklad 9 Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Najprv hľadáme vertikálne asymptoty. Aby sme to dosiahli, nájdeme doménu funkcie. Funkcia je definovaná, keď nerovnosť platí a . variabilné znamenie X zodpovedá znameniu. Zvážte preto ekvivalentnú nerovnosť . Z toho dostaneme rozsah funkcie: . Vertikálna asymptota môže byť len na hranici definičného oboru funkcie. ale X= 0 nemôže byť vertikálna asymptota, pretože funkcia je definovaná pre X = 0 .

Zvážte pravý limit na (ľavý limit neexistuje):

.

Bodka X= 2 je bod nespojitosti druhého druhu, teda čiara X= 2 - vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.

Hľadáme šikmé asymptoty:

takže, r = X+ 1 - šikmá asymptota grafu tejto funkcie pri . Hľadáme šikmú asymptotu pre:

takže, r = −X − 1 - šikmá asymptota pri .

Príklad 10 Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie. Funkcia má rozsah . Keďže vertikálna asymptota grafu tejto funkcie môže byť len na hranici definičného oboru, jednostranné limity funkcie nájdeme v .

Asymptoty grafu funkcie

Duch asymptoty sa po stránke potuluje už dlho, aby sa nakoniec zhmotnil v jedinom článku a priniesol mimoriadnu radosť zmäteným čitateľom plne funkčné štúdium. Nájdenie asymptot grafu je jednou z mála častí zadanej úlohy, ktorá je v školskom kurze zahrnutá len v prehľadnom poradí, keďže udalosti sa točia okolo výpočtu limity funkcií, ale stále patria do vyššej matematiky. Návštevníci, ktorí sa zle orientujú v matematickej analýze, myslím, že nápoveda je zrozumiteľná ;-) ... stop-stop, kam idete? limity- je to ľahké!

Príklady asymptot sa stretli hneď v prvej lekcii o grafy elementárnych funkcií a teraz sa tejto téme podrobne venuje pozornosť.

Čo je teda asymptota?

Predstavte si variabilný bod, ktorý „cestuje“ po grafe funkcie. Asymptota je rovno, ku ktorému neobmedzené zatvorenie graf funkcie sa približuje, keď jej premenný bod ide do nekonečna.

Poznámka : definícia je zmysluplná, ak potrebujete formuláciu v zápise matematickej analýzy, pozrite si učebnicu.

V rovine sú asymptoty klasifikované podľa ich prirodzeného usporiadania:

1) Vertikálne asymptoty, ktoré sú dané rovnicou v tvare , kde "alfa" je reálne číslo. Populárny predstaviteľ definuje samotnú os y,
pri záchvate miernej nevoľnosti pripomíname hyperbolu.

2) Šikmé asymptoty tradične napísané priamka rovnica s faktorom sklonu. Niekedy sa osobitný prípad vyčlení ako samostatná skupina - horizontálne asymptoty. Napríklad rovnaká hyperbola s asymptotou .

Rýchlo ideme, prejdeme na tému krátkym automatickým výbuchom:

Koľko asymptot môže mať graf funkcie?

Žiadna, jedna, dve, tri... alebo nekonečné číslo. Po príklady nepôjdeme ďaleko, budeme si pamätať elementárne funkcie. Parabola, kubická parabola, sínusoida nemajú vôbec žiadne asymptoty. Graf exponenciálnej logaritmickej funkcie má jedinú asymptotu. Arkustangens, arkotangens ich má dve a tangens kotangens ich má nekonečný počet. Nie je nezvyčajné, že graf má horizontálne aj vertikálne asymptoty. Hyperbola, vždy ťa bude milovať.

Čo znamená ?

Vertikálne asymptoty grafu funkcie

Vertikálna asymptota grafu je zvyčajne v bode nekonečna funkcie. Je to jednoduché: ak v určitom bode funkcia utrpí nekonečný zlom, potom priamka daná rovnicou je vertikálna asymptota grafu.

Poznámka : Všimnite si, že notácia sa používa na označenie dvoch úplne odlišných konceptov. Bod je implikovaný alebo rovnica priamky - závisí od kontextu.

Na zistenie prítomnosti zvislej asymptoty v bode teda stačí to ukázať aspoň jeden od jednostranných limitov nekonečné. Najčastejšie je to bod, kde sa menovateľ funkcie rovná nule. V skutočnosti sme už v posledných príkladoch lekcie našli vertikálne asymptoty. o kontinuite funkcie. Ale v niektorých prípadoch existuje len jedna jednostranná hranica, a ak je nekonečná, potom znova - milujte a uprednostňujte vertikálnu asymptotu. Najjednoduchšia ilustrácia: a os y (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií).

Z vyššie uvedeného vyplýva aj zjavná skutočnosť: ak je funkcia nepretržite zapnutá, potom neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. Z nejakého dôvodu mi napadla parabola. Naozaj, kde tu môžete „prilepiť“ rovnú čiaru? ... áno ... chápem ... stúpenci strýka Freuda sa chúlili v hysterii =)

Opačné tvrdenie vo všeobecnosti neplatí: napríklad funkcia nie je definovaná na celej reálnej čiare, ale je úplne zbavená asymptot.

Šikmé asymptoty grafu funkcie

Šikmé (ako špeciálny prípad - horizontálne) asymptoty možno nakresliť, ak má argument funkcie tendenciu k "plus nekonečnu" alebo "mínus nekonečnu". Preto graf funkcie nemôže mať viac ako dve šikmé asymptoty. Napríklad graf exponenciálnej funkcie má jednu horizontálnu asymptotu v , a graf arkus tangens v má dve takéto asymptoty a rôzne.

Keď sa graf sem-tam priblíži k jedinej šikmej asymptote, je zvykom spájať „nekonečná“ pod jeden záznam. Napríklad ... uhádli ste správne: .

Všeobecné pravidlo:

Ak sú dve finálny, konečný limit , potom je priamka šikmá asymptota grafu funkcie v . Ak aspoň jeden z vyššie uvedených limitov je nekonečný, potom neexistuje žiadna šikmá asymptota.

Poznámka : vzorce zostávajú platné, ak "x" smeruje len k "plus nekonečnu" alebo len k "mínus nekonečnu".

Ukážme, že parabola nemá žiadne šikmé asymptoty:

Limita je nekonečná, takže neexistuje žiadna šikmá asymptota. Všimnite si, že pri hľadaní limitu už nie je potrebný, pretože odpoveď už bola prijatá.

Poznámka : ak máte (alebo budete mať) ťažkosti s porozumením znamienkam plus-mínus, mínus-plus, pozrite si pomoc na začiatku lekcie
o infinitezimálnych funkciách, kde som povedal, ako správne interpretovať tieto znaky.

Je zrejmé, že akákoľvek kvadratická, kubická funkcia, polynóm 4. a vyššieho stupňa tiež nemá šikmé asymptoty.

A teraz sa presvedčíme, že pri grafe tiež nie je šikmá asymptota. Na odhalenie neistoty používame L'Hopitalovo pravidlo:
, ktorá mala byť overená.

Keď však funkcia rastie donekonečna, neexistuje taká priamka, ku ktorej by sa jej graf približoval nekonečne blízko.

Prejdime k praktickej časti lekcie:

Ako nájsť asymptoty grafu funkcie?

Takto je formulovaná typická úloha a zahŕňa nájdenie VŠETKÝCH asymptot grafu (vertikálne, šikmé / horizontálne). Aj keď, aby som bol presnejší pri formulácii otázky, hovoríme o štúdii na prítomnosť asymptot (napokon nemusia byť žiadne). Začnime niečím jednoduchým:

Príklad 1

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie Je vhodné rozdeliť ho do dvoch bodov:

1) Najprv skontrolujeme, či existujú vertikálne asymptoty. Menovateľ zmizne pri , a hneď je jasné, že v tomto bode funkcia trpí nekonečná medzera, a priamka daná rovnicou je vertikálna asymptota grafu funkcie . Pred vyvodením takéhoto záveru je však potrebné nájsť jednostranné limity:

Pripomínam vám techniku ​​výpočtu, nad ktorou som sa tiež pozastavil v článku Kontinuita funkcie. body zlomu. Vo výraze pod medzným znakom namiesto "x" dosadíme . V čitateli nie je nič zaujímavé:
.

Ale v menovateli to dopadá nekonečne malé záporné číslo:
, určuje osud limitu.

Ľavá hranica je nekonečná a v zásade je už možné vyniesť verdikt o prítomnosti vertikálnej asymptoty. Ale nielen na to sú potrebné jednostranné limity – POMÁHAJÚ POMÁHAŤ, AKO lokalizuje sa graf funkcie a vykreslí sa SPRÁVNE. Preto musíme vypočítať aj pravý limit:

Záver: jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že priamka je zvislou asymptotou grafu funkcie v bode .

Prvý limit konečný, čo znamená, že je potrebné „pokračovať v konverzácii“ a nájsť druhý limit:

Aj druhý limit konečný.

Takže naša asymptota je:

Záver: priamka daná rovnicou je horizontálna asymptota grafu funkcie v .

Na nájdenie horizontálnej asymptoty
Môžete použiť zjednodušený vzorec:

Ak existuje konečný limit , potom je čiara horizontálnou asymptotou grafu funkcie v .

Je ľahké vidieť, že čitateľ a menovateľ funkcie jeden rád rastu, čo znamená, že požadovaný limit bude konečný:

Odpoveď:

Podľa stavu nie je potrebné dokresľovať, ale ak je v plnom prúde funkčný výskum, potom na návrhu okamžite urobíme náčrt:

Na základe troch nájdených limitov sa pokúste nezávisle zistiť, ako sa dá graf funkcie umiestniť. Celkom ťažké? Nájdite 5-6-7-8 bodov a označte ich na výkrese. Graf tejto funkcie je však skonštruovaný pomocou transformácie grafu elementárnej funkcie a čitatelia, ktorí pozorne preskúmali príklad 21 tohto článku, ľahko uhádnu, o aký druh krivky ide.

Príklad 2

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Toto je príklad „urob si sám“. Pripomínam vám, že proces je vhodne rozdelený do dvoch bodov - vertikálne asymptoty a šikmé asymptoty. Vo vzorovom riešení sa horizontálna asymptota nájde pomocou zjednodušenej schémy.

V praxi sa najčastejšie stretávame s frakčnými racionálnymi funkciami a po tréningu na hyperbolách si úlohu skomplikujeme:

Príklad 3

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie: Raz, dva a hotovo:

1) Vertikálne asymptoty sú nájdené v bodoch nekonečnej diskontinuity, takže musíte skontrolovať, či je menovateľ nulový. My sa rozhodneme kvadratická rovnica:

Diskriminant je kladný, takže rovnica má dva skutočné korene a výrazne sa pridáva práca =)

Aby bolo možné ďalej nájsť jednostranné limity, je vhodné faktorizovať štvorcovú trojčlenku:
(pre kompaktný zápis bolo v prvej zátvorke zavedené „mínus“). Pre bezpečnostnú sieť vykonáme kontrolu, mentálne alebo na prievanu, otvorením zátvoriek.

Prepíšme funkciu vo formulári

Nájdite jednostranné limity v bode:

A v bode:

Priamky sú teda zvislé asymptoty grafu uvažovanej funkcie.

2) Ak sa pozriete na funkciu , potom je celkom zrejmé, že limita bude konečná a máme horizontálnu asymptotu. Ukážme si to v skratke:

Priamka (abscisa) je teda horizontálna asymptota grafu tejto funkcie.

Odpoveď:

Nájdené limity a asymptoty poskytujú veľa informácií o grafe funkcie. Skúste si v duchu predstaviť kresbu, berúc do úvahy nasledujúce skutočnosti:

Načrtnite svoju verziu grafu na koncepte.

Samozrejme, nájdené limity neurčujú jednoznačne typ grafu a môžete sa pomýliť, ale samotné cvičenie vám bude neoceniteľnou pomocou počas plne funkčné štúdium. Správny obrázok je na konci hodiny.

Príklad 4

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Príklad 5

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Sú to úlohy pre nezávislé rozhodovanie. Oba grafy majú opäť vodorovné asymptoty, ktoré sú okamžite zistené nasledujúcimi vlastnosťami: v príklade 4 poradie rastu menovateľ viac ako je poradie rastu čitateľa a v príklade 5 čitateľa a menovateľa jeden rád rastu. Vo vzorovom riešení je prvá funkcia skúmaná na prítomnosť šikmých asymptot v plnom rozsahu a druhá - cez limit .

Horizontálne asymptoty sú podľa môjho subjektívneho dojmu citeľne bežnejšie ako tie, ktoré sú „skutočne naklonené“. Dlho očakávaný všeobecný prípad:

Príklad 6

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie: klasika žánru:

1) Keďže menovateľ je kladný, funkcia nepretržitý na celej číselnej osi a neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. …Je to dobré? Nie je to správne slovo - skvelé! Položka č. 1 je uzavretá.

2) Skontrolujte prítomnosť šikmých asymptot:

Prvý limit konečný, tak poďme ďalej. Počas výpočtu druhého limitu eliminovať neistota "nekonečno mínus nekonečno" privádzame výraz k spoločnému menovateľovi:

Aj druhý limit konečný preto má graf uvažovanej funkcie šikmú asymptotu:

Záver:

Teda pre graf funkcie nekonečne blízko blíži sa k priamke:

Všimnite si, že v počiatku pretína svoju šikmú asymptotu a takéto priesečníky sú celkom prijateľné – dôležité je, aby v nekonečne bolo „všetko normálne“ (v skutočnosti práve tam hovoríme o asymptotách).

Príklad 7

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Riešenie: nie je veľmi čo komentovať, tak vám vypracujem približnú ukážku konečného riešenia:

1) Vertikálne asymptoty. Poďme preskúmať pointu.

Priamka je vertikálna asymptota grafu v .

2) Šikmé asymptoty:

Priama čiara je šikmá asymptota grafu v .

Odpoveď:

Nájdené jednostranné limity a asymptoty nám umožňujú s vysokou istotou predpokladať, ako vyzerá graf tejto funkcie. Správna kresba na konci hodiny.

Príklad 8

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Toto je príklad nezávislého riešenia, pre uľahčenie výpočtu niektorých limitov môžete rozdeliť čitateľa menovateľom termínom. A znova, pri analýze výsledkov, skúste nakresliť graf tejto funkcie.

Je zrejmé, že vlastníkmi „skutočných“ šikmých asymptot sú grafy tých zlomkovo-racionálnych funkcií, pre ktoré je najvyšší stupeň čitateľa ešte jeden najvyšší stupeň menovateľa. Ak je viac, nebude existovať žiadna šikmá asymptota (napríklad ).

Ale v živote sa dejú aj iné zázraky:

Príklad 9

Príklad 11

Preskúmajte asymptoty v grafe funkcie

Riešenie: to je jasné , preto uvažujeme len pravú polrovinu, kde je graf funkcie.

Teda priamka (os y) je vertikálna asymptota pre graf funkcie v .

2) Štúdium šikmej asymptoty sa môže uskutočniť podľa úplnej schémy, ale v článku Pravidlá L'Hospital zistili sme, že lineárna funkcia vyššieho rádu rastu ako logaritmická, preto: (pozri príklad 1 tej istej lekcie).

Záver: os x je horizontálna asymptota grafu funkcie v .

Odpoveď:
, ak ;
, ak .

Kreslenie pre prehľadnosť:

Je zaujímavé, že zdanlivo podobná funkcia nemá vôbec žiadne asymptoty (kto si to želá, môže si to overiť).

Dva posledné príklady samoštúdia:

Príklad 12

Preskúmajte asymptoty v grafe funkcie

Koľko asymptot môže mať graf funkcie?

Žiadna, jedna, dve, tri... alebo nekonečné číslo. Po príklady nepôjdeme ďaleko, pripomenieme si elementárne funkcie. Parabola, kubická parabola, sínusoida nemajú vôbec žiadne asymptoty. Graf exponenciálnej logaritmickej funkcie má jedinú asymptotu. Arkustangens, arkotangens ich má dve a tangens kotangens ich má nekonečný počet. Nie je nezvyčajné, že graf má horizontálne aj vertikálne asymptoty. Hyperbola, vždy ťa bude milovať.

Čo znamená nájsť asymptoty grafu funkcie?

To znamená zistiť ich rovnice a nakresliť rovné čiary, ak si to podmienka problému vyžaduje. Proces zahŕňa nájdenie limitov funkcie.

Vertikálne asymptoty grafu funkcie

Vertikálna asymptota grafu je spravidla v bode nekonečnej diskontinuity funkcie. Je to jednoduché: ak v určitom bode funkcia utrpí nekonečný zlom, potom priamka daná rovnicou je vertikálna asymptota grafu.

Poznámka: Upozorňujeme, že označenie sa používa na označenie dvoch úplne odlišných konceptov. Bod je implikovaný alebo rovnica priamky - závisí od kontextu.

Na zistenie prítomnosti vertikálnej asymptoty v bode teda stačí ukázať, že aspoň jedna z jednostranných limitov je nekonečná. Najčastejšie je to bod, kde sa menovateľ funkcie rovná nule. Vertikálne asymptoty sme v skutočnosti už našli v posledných príkladoch lekcie o spojitosti funkcie. Ale v niektorých prípadoch existuje len jedna jednostranná hranica, a ak je nekonečná, potom znova - milujte a uprednostňujte vertikálnu asymptotu. Najjednoduchšia ilustrácia: a os y.

Z vyššie uvedeného tiež vyplýva zrejmá skutočnosť: ak je funkcia spojitá, potom neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. Z nejakého dôvodu mi napadla parabola. Naozaj, kde tu môžete „prilepiť“ rovnú čiaru? ... áno ... chápem ... stúpenci strýka Freuda sa chúlili v hysterii =)

Opačné tvrdenie vo všeobecnosti neplatí: napríklad funkcia nie je definovaná na celej reálnej čiare, ale je úplne zbavená asymptot.

Šikmé asymptoty grafu funkcie

Šikmé (ako špeciálny prípad - horizontálne) asymptoty možno nakresliť, ak má argument funkcie tendenciu k "plus nekonečnu" alebo "mínus nekonečnu". Preto graf funkcie nemôže mať viac ako 2 šikmé asymptoty. Napríklad graf exponenciálnej funkcie má jednu horizontálnu asymptotu at a graf arkustangens at má dve takéto asymptoty a rôzne.

Asymptota grafu funkcie y \u003d f (x) sa nazýva čiara, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu (x, f (x)) k tejto čiare má tendenciu k nule s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Obrázok 3.10. sú uvedené grafické príklady vertikálne, horizontálne a šikmé asymptota.

Nájdenie asymptot grafu je založené na nasledujúcich troch vetách.

Vertikálna asymptotová veta. Nech je funkcia y \u003d f (x) definovaná v nejakom okolí bodu x 0 (prípadne s vylúčením tohto bodu samotného) a aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie je rovná nekonečnu, t.j. Potom je čiara x \u003d x 0 vertikálna asymptota grafu funkcie y \u003d f (x).

Je zrejmé, že čiara x \u003d x 0 nemôže byť vertikálna asymptota, ak je funkcia spojitá v bode x 0, pretože v tomto prípade . Vertikálne asymptoty by sa preto mali hľadať v bodoch diskontinuity funkcie alebo na koncoch jej oblasti.

Veta o horizontálnej asymptote. Nech je funkcia y \u003d f (x) definovaná pre dostatočne veľké x a existuje konečná limita funkcie . Potom priamka y = b je vodorovná asymptota grafu funkcie.

Komentujte. Ak je len jedna z limit konečná, potom funkcia má, resp. ľavostranný alebo pravostranný horizontálna asymptota.

V prípade, že funkcia môže mať šikmú asymptotu.

Veta o šikmej asymptote. Nech je funkcia y = f(x) definovaná pre dostatočne veľké x a existujú konečné limity . Potom priamka y = kx + b je šikmá asymptota grafu funkcie.

Bez dôkazu.

Šikmá asymptota, rovnako ako horizontálna, môže byť pravotočivá alebo ľavotočivá, ak základom zodpovedajúcich limitov je nekonečno určitého znamienka.

Štúdium funkcií a konštrukcia ich grafov zvyčajne zahŕňa tieto kroky:

1. Nájdite doménu funkcie.

2. Preskúmajte funkciu pre párne-nepárne.

3. Nájdite vertikálne asymptoty skúmaním bodov diskontinuity a správania sa funkcie na hraniciach definičného oboru, ak sú konečné.

4. Nájdite vodorovné alebo šikmé asymptoty skúmaním správania funkcie v nekonečne.

5. Nájdite extrémy a intervaly monotónnosti funkcie.

6. Nájdite intervaly konvexnosti funkcie a inflexné body.

7. Nájdite priesečníky so súradnicovými osami a prípadne ďalšie body, ktoré spresňujú graf.

Funkčný diferenciál

Dá sa dokázať, že ak má funkcia limitu rovnajúcu sa konečnému číslu pre určitý základ, potom môže byť reprezentovaná ako súčet tohto čísla a nekonečne malej hodnoty pre ten istý základ (a naopak): .

Aplikujme túto vetu na diferencovateľnú funkciu: .

Prírastok funkcie Dy teda pozostáva z dvoch členov: 1) lineárneho vzhľadom na Dx, t.j. f`(x)Dx; 2) nelineárne vzhľadom na Dx, t.j. a(Dx)Dx. Zároveň od r , tento druhý člen je infinitezimálom vyššieho rádu ako Dx (keďže Dx má tendenciu k nule, má tendenciu k nule ešte rýchlejšie).

Diferenciál funkcia sa nazýva hlavná časť prírastku funkcie, lineárna vzhľadom na Dx, rovná súčinu derivácie a prírastku nezávisle premennej dy = f `(x)Dx.

Nájdite diferenciál funkcie y = x.

Keďže dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, potom dx = Dx, t.j. diferenciál nezávislej premennej sa rovná prírastku tejto premennej.

Preto vzorec pre diferenciál funkcie možno zapísať ako dy = f`(x)dх. Preto je jedným zo symbolov pre deriváciu zlomok dy/dх.

Je znázornený geometrický význam diferenciálu
obrázok 3.11. Vezmite ľubovoľný bod M(x, y) na grafe funkcie y = f(x). Dajme argumentu x prírastok Dx. Potom funkcia y = f(x) dostane prírastok Dy = f(x + Dх) - f(x). Narysujme ku grafu funkcie v bode M dotyčnicu, ktorá zviera s kladným smerom osi x uhol a, t.j. f `(x) = tg a. Z pravouhlého trojuholníka MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Diferenciál funkcie je teda prírastok na súradnici tangens nakreslenej ku grafu funkcie v danom bode, keď sa x zvýši o Dx.

Vlastnosti diferenciálu sú v podstate rovnaké ako vlastnosti derivátu:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v2.

Existuje však dôležitá vlastnosť diferenciálu funkcie, ktorú jej derivácia nemá - to je diferenciálna tvarová invariancia.

Z definície diferenciálu pre funkciu y = f(x) je diferenciál dy = f`(x)dх. Ak je táto funkcia y komplexná, t.j. y = f(u), kde u = j(x), potom y = f a f `(x) = f `(u)*u`. Potom dy = f`(u)*u`dx. Ale pre funkciu
u = j(x) diferenciál du = u`dx. Preto dy = f `(u)*du.

Porovnaním rovnosti dy = f `(x)dх a dy = f `(u)*du sa presvedčíme, že sa diferenciálny vzorec nemení, ak namiesto funkcie nezávislej premennej x uvažujeme funkciu závislá premenná u. Táto vlastnosť diferenciálu sa nazýva invariancia (t. j. invariantnosť) formy (alebo vzorca) diferenciálu.

V týchto dvoch vzorcoch je však ešte rozdiel: v prvom z nich sa diferenciál nezávisle premennej rovná prírastku tejto premennej, t.j. dx = Dx a v druhom prípade je diferenciál funkcie du iba lineárnou časťou prírastku tejto funkcie Du a iba pre malé Dх du » Du.