Extrapolácia - ide o metódu vedeckého výskumu, ktorá je založená na šírení minulých a súčasných trendov, zákonitostí, vzťahov k budúcemu vývoju prognostického objektu. Extrapolačné metódy zahŕňajú metóda kĺzavého priemeru, metóda exponenciálneho vyhladzovania, metóda najmenších štvorcov.
Metóda exponenciálneho vyhladzovania najefektívnejšie pri tvorbe strednodobých prognóz. Je to prijateľné, ak sa predpovedá iba jedno obdobie dopredu. Jeho hlavnými výhodami sú jednoduchosť postupu výpočtu a schopnosť zohľadniť váhy počiatočnej informácie. Pracovný vzorec metódy exponenciálneho vyhladzovania je:
Predpovedanie pomocou tejto metódy má dva problémy:
- výber hodnoty parametra vyhladzovania α;
- určenie počiatočnej hodnoty Uo.
Hodnota α závisí ako rýchlo klesá váha vplyvu predchádzajúcich pozorovaní. Čím väčšie α, tým menší vplyv predchádzajúcich rokov. Ak je hodnota α blízka jednotke, potom to vedie k tomu, že v prognóze sa berie do úvahy najmä vplyv len najnovších pozorovaní. Ak je hodnota α blízka nule, tak váhy, ktorými sa vážia úrovne časového radu pomaly klesajú, t.j. prognóza zohľadňuje všetky (alebo takmer všetky) minulé pozorovania.
Ak teda existuje istota, že počiatočné podmienky, na základe ktorých sa prognóza vypracúva, sú spoľahlivé, mala by sa použiť malá hodnota parametra vyhladzovania (α→0). Keď je parameter vyhladzovania malý, skúmaná funkcia sa správa ako priemer veľkého počtu minulých úrovní. Ak nie je dostatočná dôvera v počiatočné podmienky prognózy, potom by sa mala použiť veľká hodnota α, čo povedie k tomu, že sa v prognóze zohľadní najmä vplyv posledných pozorovaní.
Neexistuje presná metóda na výber optimálnej hodnoty vyhladzovacieho parametra α. V niektorých prípadoch autor tejto metódy profesor Brown navrhol určiť hodnotu α na základe dĺžky intervalu vyhladzovania. V tomto prípade sa α vypočíta podľa vzorca:
kde n je počet pozorovaní zahrnutých do intervalu vyhladzovania.
Uo problém s výberom (exponenciálne vážený počiatočný priemer) sa rieši nasledujúcimi spôsobmi:
- ak existujú údaje o vývoji javu v minulosti, potom môžete použiť aritmetický priemer a prirovnať k nemu Uo;
- ak takéto informácie neexistujú, potom sa počiatočná prvá hodnota predpovednej základne Y1 použije ako Uo.
Môžete použiť aj znalecké posudky.
Všimnite si, že pri štúdiu ekonomických časových radov a predpovedaní ekonomických procesov metóda exponenciálneho vyhladzovania nie vždy „funguje“. Je to spôsobené tým, že ekonomické časové rady sú príliš krátke (15-20 pozorovaní) a v prípade vysokých temp rastu a rastu táto metóda „nestíha“ reflektovať všetky zmeny.
Príklad použitia metódy exponenciálneho vyhladzovania na vytvorenie prognózy
Úloha . Existujú údaje charakterizujúce mieru nezamestnanosti v kraji, %
- Zostavte prognózu miery nezamestnanosti v regióne na mesiace november, december, január pomocou metód: kĺzavý priemer, exponenciálne vyhladzovanie, najmenšie štvorce.
- Vypočítajte chyby vo výsledných prognózach pomocou každej metódy.
- Porovnajte získané výsledky, urobte závery.
Exponenciálne vyhladzovacie riešenie
1) Určte hodnotu parametra vyhladzovania podľa vzorca:
kde n je počet pozorovaní zahrnutých do intervalu vyhladzovania. a = 2/ (10+1) = 0,2
2) Počiatočnú hodnotu Uo určíme dvoma spôsobmi:
Metóda I (aritmetický priemer) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/ 10 = 22,13/10 = 2,21
Metóda II (berieme prvú hodnotu predpovednej základne) Uo = 2,99
3) Vypočítajte exponenciálne vážený priemer pre každé obdobie pomocou vzorca
kde t je obdobie predchádzajúce prognózovanému obdobiu; t+1 – prognózované obdobie; Ut+1 - predpokladaný indikátor; α - parameter vyhladzovania; Уt je skutočná hodnota študovaného ukazovateľa za obdobie predchádzajúce prognóze; Ut - exponenciálne vážený priemer za obdobie predchádzajúce prognózovanému obdobiu.
Napríklad:
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 \u003d 2,37 (metóda I)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 \u003d 2,43 (metóda I) atď.
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,99 (metóda II)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,92 (metóda II)
Uapr \u003d 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 \u003d 2,86 (metóda II) atď.
4) Pomocou rovnakého vzorca vypočítame predpokladanú hodnotu
Nenovember \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 \u003d 1,95 (metóda I)
Nenovember \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 \u003d 2,03 (metóda II)
Výsledky sme dali do tabuľky.
5) Vypočítajte priemernú relatívnu chybu pomocou vzorca:
ε = 209,58/10 = 20,96 % (metóda I)
ε = 255,63/10 = 25,56 % (metóda II)
V každom prípade presnosť predpovede je uspokojivá, pretože priemerná relatívna chyba sa pohybuje v rozmedzí 20 – 50 %.
Po vyriešení tohto problému metódami kĺzavý priemer a najmenších štvorcov Urobme závery.
Jednoduchý a logicky prehľadný model časového radu má nasledujúcu podobu:
Yt = b + et
y = b + rn (11,5)
kde b je konštanta, e je náhodná chyba. Konštanta b je relatívne stabilná v každom časovom intervale, ale môže sa časom meniť aj pomaly. Jedným z intuitívnych spôsobov, ako extrahovať hodnotu b z údajov, je použiť vyhladzovanie kĺzavým priemerom, pri ktorom sa najnovším pozorovaniam pripisuje väčšia váha ako predposledným, predposledné sú váženejšie ako predposledné atď. Jednoduché exponenciálne vyhladzovanie je práve to. Tu sa starším pozorovaniam pripisujú exponenciálne klesajúce váhy, pričom na rozdiel od kĺzavého priemeru sa berú do úvahy všetky predchádzajúce pozorovania série, a nielen tie, ktoré spadli do určitého okna. Presný vzorec pre jednoduché exponenciálne vyhladzovanie je:
St = ayt + (1-a) St-1
Keď sa tento vzorec použije rekurzívne, každá nová vyhladená hodnota (ktorá je tiež predpoveďou) sa vypočíta ako vážený priemer aktuálneho pozorovania a vyhladeného radu. Je zrejmé, že výsledok vyhladenia závisí od parametra a . Ak a je 1, predchádzajúce pozorovania sa úplne ignorujú. Ak a je 0, súčasné pozorovania sa ignorujú. Hodnoty medzi 0 a 1 poskytujú stredné výsledky. Empirické štúdie ukázali, že jednoduché exponenciálne vyhladzovanie často poskytuje pomerne presnú predpoveď.
V praxi sa zvyčajne odporúča brať menej ako 0,30. Výber hodnoty vyššej ako 0,30 však niekedy poskytuje presnejšiu predpoveď. To znamená, že je stále lepšie odhadnúť optimálnu hodnotu a z reálnych údajov, než použiť všeobecné odporúčania.
V praxi sa optimálny parameter vyhladzovania často hľadá pomocou postupu vyhľadávania mriežky. Možný rozsah hodnôt parametrov je rozdelený mriežkou s určitým krokom. Uvažujme napríklad mriežku hodnôt od a = 0,1 do a = 0,9 s krokom 0,1. Potom sa vyberie hodnota a, pre ktorú je súčet štvorcov (alebo stredných štvorcov) zvyškov (pozorované hodnoty mínus predpovede o krok dopredu) minimálny.
Microsoft Excel poskytuje funkciu exponenciálneho vyhladzovania, ktorá sa bežne používa na vyhladenie úrovní empirického časového radu na základe jednoduchej metódy exponenciálneho vyhladzovania. Ak chcete zavolať túto funkciu, vyberte v lište ponuky Nástroje Þ Analýza údajov. Na obrazovke sa otvorí okno Analýza údajov, v ktorom by ste mali zvoliť hodnotu Exponenciálne vyhladzovanie (Exponenciálne vyhladzovanie). V dôsledku toho sa zobrazí dialógové okno Exponenciálne vyhladzovanie.
V dialógovom okne Exponenciálne vyhladzovanie sa nastavujú takmer rovnaké parametre ako v dialógovom okne kĺzavý priemer, o ktorom sme hovorili vyššie.
1. Vstupný rozsah (vstupné údaje) - v tomto poli sa zadáva rozsah buniek obsahujúcich hodnoty skúmaného parametra.
2. Štítky – toto políčko je zaškrtnuté, ak
prvý riadok (stĺpec) vo vstupnom rozsahu obsahuje hlavičku. Ak hlavička chýba, začiarkavacie políčko by sa malo zrušiť. V tomto prípade sa pre údaje o výstupnom rozsahu automaticky vygenerujú štandardné názvy.
3. Faktor tlmenia - do tohto poľa zadajte hodnotu zvoleného faktora exponenciálneho vyhladenia a. Predvolená hodnota je a = 0,3.
4. Možnosti výstupu - v tejto skupine môžete okrem určenia rozsahu buniek pre výstupné údaje v poli Rozsah výstupu požadovať aj automatické vykreslenie grafu, pre ktorý je potrebné zaškrtnúť možnosť Výstup grafu a vypočítať štandard. chyby, pre ktoré je potrebné zaškrtnúť voľbu Standard Errog (Štandardné chyby).
Úloha 2. Pomocou programu Microsoft Excel pomocou funkcie Exponenciálne vyhladzovanie vypočítajte na základe údajov o objeme výstupu úlohy 1 vyhladené výstupné úrovne a štandardné chyby. Potom prezentujte skutočné a predpokladané údaje pomocou grafu. Tip: mali by ste dostať tabuľku a graf podobný tým, ktoré ste vykonali v úlohe 1, ale s rôznymi vyhladenými úrovňami a štandardnými chybami.
Metóda analytického zarovnania
kde sú teoretické hodnoty časového radu vypočítané podľa zodpovedajúcej analytickej rovnice v čase t.
Definícia teoretických (vypočítaných) hodnôt sa robí na základe takzvaného adekvátneho matematického modelu, ktorý najlepšie odráža hlavný trend vo vývoji časového radu.
Najjednoduchšie modely (vzorce) vyjadrujúce vývojový trend sú nasledovné:
Lineárna funkcia, ktorej graf je priamka:
Exponenciálna funkcia:
Yt = a 0 * a 1 t
Mocninná funkcia druhého rádu, ktorej graf je parabola:
Yt = a 0 + a 1 * t + a 2 * t2
Logaritmická funkcia:
Yt = a 0 + a 1 * ln t
Parametre funkcie sa zvyčajne vypočítavajú pomocou metódy najmenších štvorcov, v ktorej sa za riešenie považuje minimálny bod súčtu štvorcových odchýlok medzi teoretickou a empirickou úrovňou:
kde - zarovnané (vypočítané) úrovne a Yt - skutočné úrovne.
Parametre rovnice ai spĺňajúce túto podmienku možno nájsť riešením sústavy normálnych rovníc. Na základe nájdenej trendovej rovnice sa vypočítajú zarovnané úrovne.
priamkové zarovnanie sa používa v prípadoch, keď sú absolútne zisky prakticky konštantné, t.j. keď sa úrovne menia aritmetickým postupom (alebo blízko neho).
Zarovnanie pomocou exponenciálnej funkcie platí, keď rad odráža vývoj v geometrickej profesii, t.j. rastové faktory reťazca sú prakticky konštantné.
Zarovnanie výkonových funkcií(parabola druhého rádu) sa používa, keď sa časové rady menia s konštantnými rýchlosťami rastu reťazca.
Nivelizácia pomocou logaritmickej funkcie sa používa vtedy, keď rad odráža vývoj s pomalším rastom na konci obdobia, t.j. keď nárast konečných úrovní časového radu má tendenciu k nule.
Podľa vypočítaných parametrov sa syntetizuje trendový model funkcie, t.j. získanie hodnôt a 0 , a 1 , a ,2 a ich dosadenie do požadovanej rovnice.
Správnosť výpočtov analytických úrovní je možné skontrolovať pomocou nasledujúcej podmienky: súčet hodnôt empirických sérií sa musí zhodovať so súčtom vypočítaných úrovní zarovnaných sérií. V tomto prípade môže dôjsť k malej chybe vo výpočtoch v dôsledku zaokrúhľovania vypočítaných hodnôt:
Na posúdenie presnosti modelu trendu sa používa koeficient určenia:
kde je rozptyl teoretických údajov získaných z trendového modelu a je rozptyl empirických údajov.
Trendový model je adekvátny skúmanému procesu a odráža trend jeho vývoja pri hodnotách R2 blízkych 1.
Po výbere najvhodnejšieho modelu môžete urobiť predpoveď pre ktorékoľvek z období. Pri tvorbe predpovedí neoperujú s bodovým, ale s intervalovým odhadom, určujúcim takzvané intervaly spoľahlivosti predpovede. Hodnota intervalu spoľahlivosti je vo všeobecnosti definovaná takto:
kde je štandardná odchýlka od trendu; ta- tabuľková hodnota Studentovho t-testu na hladine významnosti a, ktorá závisí od hladiny významnosti a(%) a počet stupňov voľnosti k = n- t. Hodnota - je určená vzorcom:
kde a sú skutočné a vypočítané hodnoty úrovní dynamickej série; P - počet úrovní riadkov; t- počet parametrov v trendovej rovnici (pre priamku t - 2, pre rovnicu paraboly 2. rádu t = 3).
Po potrebných výpočtoch sa určí interval, v ktorom sa bude s určitou pravdepodobnosťou nachádzať predpokladaná hodnota.
Použitie programu Microsoft Excel na vytváranie trendových modelov je pomerne jednoduché. Najprv by sa empirický časový rad mal prezentovať ako graf jedného z nasledujúcich typov: histogram, stĺpcový graf, graf, bodový graf, plošný graf a potom kliknite pravým tlačidlom myši na jednu z údajových značiek na grafe. V dôsledku toho sa na grafe zvýrazní samotný časový rad a na obrazovke sa otvorí kontextové menu. Z tejto ponuky vyberte príkaz Pridať trendovú čiaru. Zobrazí sa dialógové okno Pridať trendovú čiaru.
Na karte Typ tohto dialógového okna je vybratý požadovaný typ trendu:
1. lineárne (Lineárne);
2. logaritmický (Logaritmický);
3. polynóm, od 2. do 6. stupňa vrátane (Polinomial);
4. moc (Power);
5. exponenciálny (Exponenciálny);
6. kĺzavý priemer s vyznačením periódy vyhladzovania od 2 do 15 (pohyblivý priemer).
Na karte Možnosti tohto dialógového okna sa nastavujú ďalšie možnosti trendov.
1. Názov trendovej čiary (Názov vyhladenej krivky) - v tejto skupine sa vyberá názov, ktorý sa bude zobrazovať v grafe na označenie funkcie použitej na vyhladenie časového radu. Možné sú nasledujúce možnosti:
♦ Automatic (Automaticky) – Keď je tento prepínač začiarknutý, Microsoft Excel automaticky vygeneruje názov funkcie vyhladzovania trendu na základe zvoleného typu trendu, ako je napríklad Lineárny.
♦ Vlastné – Keď je prepínač nastavený na túto pozíciu, môžete do poľa napravo zadať svoj vlastný názov funkcie trendu v dĺžke až 256 znakov.
2. Predpoveď (Forecast) - v tejto skupine môžete určiť, o koľko období dopredu (pole Forward) chcete premietnuť trendovú čiaru do budúcnosti a o koľko období dozadu (pole Backward) chcete premietnuť trendovú čiaru do minulosti (tieto polia nie sú dostupné v režime kĺzavého priemeru).
3. Nastaviť priesečník (priesečník krivky s osou Y v bode) – zaškrtávacie políčko tejto možnosti a vstupné pole umiestnené vpravo vám umožňujú priamo určiť bod, v ktorom má trendová čiara pretínať os Y (tieto polia nie sú dostupné pre všetky režimy).
4. Zobraziť rovnicu na grafe – keď je táto možnosť zaškrtnutá, na grafe sa zobrazí rovnica popisujúca vyhladzovaciu trendovú čiaru.
5. Zobrazte na grafe druhú mocninu R R2)- po zaškrtnutí tohto políčka sa v diagrame zobrazí hodnota koeficientu determinácie.
Chybové úsečky sa môžu zobraziť aj spolu s trendovou čiarou na grafe časovej rady. Ak chcete vložiť chybové riadky, musíte vybrať rad údajov, kliknúť naň pravým tlačidlom myši a z kontextovej ponuky vybrať príkaz Formátovať rad údajov. Na obrazovke sa otvorí dialógové okno Formátovať rad údajov, v ktorom by ste mali prejsť na kartu Y Error Bars (Chyby Y).
Na tejto záložke pomocou prepínača Množstvo chyby vyberáte typ tyčí a možnosť ich výpočtu v závislosti od typu chyby.
1. Pevná hodnota (Pevná hodnota) - pri nastavení prepínača do tejto polohy sa za prípustnú hodnotu chyby berie konštantná hodnota uvedená v poli počítadla vpravo;
2. Percento (relatívna hodnota) - keď je prepínač nastavený do tejto polohy, vypočíta sa povolená odchýlka pre každý údajový bod na základe percentuálnej hodnoty uvedenej v poli počítadla vpravo;
3. Smerodajná odchýlka(y) - pri nastavení prepínača do tejto polohy sa pre každý dátový bod vypočíta štandardná odchýlka, ktorá sa potom vynásobí číslom uvedeným v poli počítadla vpravo (násobiteľ);
4. Štandardná chyba - pri nastavení prepínača do tejto polohy sa predpokladá hodnota štandardnej chyby, ktorá je konštantná pre všetky dátové položky;
5. Vlastné (Custom) - keď je prepínač nastavený do tejto polohy, zadá sa ľubovoľné pole hodnôt odchýlok na kladnej a / alebo zápornej strane (môžete zadať odkazy na rozsah buniek).
Chybové úsečky je možné tiež formátovať. Ak to chcete urobiť, vyberte ich kliknutím pravého tlačidla myši az kontextovej ponuky vyberte príkaz Formátovať chybové pruhy.
Úloha 3. Pomocou programu Microsoft Excel na základe údajov o objeme vydania Úlohy 1 musíte:
Prezentujte časový rad ako graf vytvorený pomocou Sprievodcu grafom. Potom pridajte trendovú čiaru a vyberte najvhodnejšiu verziu rovnice.
Výsledky prezentujte vo forme tabuľky „Výber trendovej rovnice“:
Tabuľka "Výber trendovej rovnice"
Vybranú rovnicu prezentujte graficky, vyneste údaje o názve získanej funkcie a hodnote aproximačnej spoľahlivosti (R 2).
Úloha 4. Odpovedzte na nasledujúce otázky:
1. Pri analýze trendu pre určitý súbor údajov vyšiel koeficient determinácie pre lineárny model 0,95, pre logaritmický model - 0,8 a pre polynóm tretieho stupňa - 0,9636. Ktorý trendový model je najvhodnejší pre skúmaný proces:
a) lineárne;
b) logaritmické;
c) polynóm 3. stupňa.
2. Podľa údajov uvedených v úlohe 1 predpovedajte objem produkcie v roku 2003. Aký všeobecný trend v správaní skúmanej veličiny vyplýva z výsledkov vašej prognózy:
a) došlo k poklesu výroby;
b) výroba zostáva na rovnakej úrovni;
c) dochádza k zvýšeniu produkcie.
V tomto materiáli boli zvážené hlavné charakteristiky časových radov, modely rozkladu časových radov, ako aj hlavné metódy vyhladzovania radu - metóda kĺzavého priemeru, exponenciálne vyhladzovanie a analytické zarovnanie. Na vyriešenie týchto problémov ponúka Microsoft Excel nástroje ako Moving Average (Moving Average) a Exponenciálne vyhladzovanie (Exponential Smoothing), ktoré vám umožňujú vyhladiť úrovne empirického časového radu, ako aj príkaz Add Trendiine (Pridať trendovú čiaru ), ktorý vám umožňuje zostavovať modely trendov a vytvárať prognózy na základe dostupných hodnôt časového radu.
P.S. Ak chcete povoliť balík analýzy údajov, vyberte príkaz Nástroje → Analýza údajov (Nástroje → Analýza údajov).
Ak analýza údajov chýba, musíte vykonať nasledujúce kroky:
1. Vyberte príkaz Nástroje → Doplnky (Doplnky).
2. Vyberte Analysis ToolPak z navrhovaného zoznamu nastavení a potom kliknite na OK. Potom sa stiahne balík prispôsobenia Analýza údajov a pripojí sa k Excelu. Príslušný príkaz sa zobrazí v ponuke Nástroje.
©2015-2019 stránka
Všetky práva patria ich autorom. Táto stránka si nenárokuje autorstvo, ale poskytuje bezplatné používanie.
Dátum vytvorenia stránky: 27.04.2016
Prognostické úlohy sú postavené na zmene niektorých údajov v čase (tržby, dopyt, ponuka, HDP, uhlíkové emisie, obyvateľstvo...) a premietanie týchto zmien do budúcnosti. Bohužiaľ, trendy identifikované na historických údajoch môžu byť narušené rôznymi nepredvídanými okolnosťami. Údaje v budúcnosti sa teda môžu výrazne líšiť od toho, čo sa stalo v minulosti. Toto je problém s prognózami.
Existujú však techniky (nazývané exponenciálne vyhladzovanie), ktoré umožňujú nielen pokúsiť sa predpovedať budúcnosť, ale aj číselne vyjadriť neistotu všetkého, čo s prognózou súvisí. Numerické vyjadrenie neistoty vytváraním predpovedných intervalov je skutočne neoceniteľné, no v predpovednom svete často prehliadané.
Stiahnite si poznámku vo formáte alebo formáte, príklady vo formáte
Počiatočné údaje
Povedzme, že ste fanúšikom Pána prsteňov a už tri roky vyrábate a predávate meče (obrázok 1). Zobrazme tržby graficky (obr. 2). Dopyt sa za tri roky zdvojnásobil – možno je to trend? K tejto myšlienke sa vrátime trochu neskôr. Na mape je niekoľko vrcholov a údolí, čo môže byť znakom sezónnosti. Najmä vrcholy sú v mesiacoch 12, 24 a 36, ktoré sú náhodou decembrom. Ale možno je to len náhoda? Poďme zistiť.
Jednoduché exponenciálne vyhladzovanie
Metódy exponenciálneho vyhladzovania sa spoliehajú na predpovedanie budúcnosti z údajov z minulosti, kde novšie pozorovania majú väčšiu váhu ako staršie. Takéto váženie je možné vďaka vyhladzovacím konštantám. Prvá metóda exponenciálneho vyhladzovania, ktorú vyskúšame, sa nazýva jednoduché exponenciálne vyhladzovanie (SES). Používa iba jednu vyhladzovaciu konštantu.
Jednoduché exponenciálne vyhladzovanie predpokladá, že váš časový rad údajov má dve zložky: úroveň (alebo priemer) a určitú chybu okolo tejto hodnoty. Neexistuje žiadny trend ani sezónne výkyvy – existuje len úroveň, okolo ktorej kolíše dopyt, obklopený malými chybami tu a tam. Uprednostnením novších pozorovaní môže TEC spôsobiť posuny v tejto úrovni. V jazyku vzorcov,
Dopyt v čase t = úroveň + náhodná chyba okolo úrovne v čase t
Ako teda zistíte približnú hodnotu úrovne? Ak akceptujeme, že všetky časové hodnoty majú rovnakú hodnotu, mali by sme jednoducho vypočítať ich priemernú hodnotu. To je však zlý nápad. Väčšia váha by sa mala venovať nedávnym pozorovaniam.
Vytvorme niekoľko úrovní. Vypočítajte základnú líniu pre prvý rok:
úroveň 0 = priemerný dopyt za prvý rok (mesiace 1-12)
Pre dopyt po mečoch je to 163. Používame úroveň 0 (163) ako predpoveď dopytu na mesiac 1. Dopyt v mesiaci 1 je 165, čo sú 2 meče nad úrovňou 0. Oplatí sa aktualizovať aproximáciu základnej línie. Jednoduchá rovnica exponenciálneho vyhladzovania:
úroveň 1 = úroveň 0 + niekoľko percent × (dopyt 1 - úroveň 0)
úroveň 2 = úroveň 1 + niekoľko percent × (dopyt 2 - úroveň 1)
Atď. "Niekoľko percent" sa nazýva vyhladzovacia konštanta a označuje sa písmenom alfa. Môže to byť ľubovoľné číslo od 0 do 100 % (0 až 1). Ako zvoliť hodnotu alfa sa dozviete neskôr. Vo všeobecnosti hodnota pre rôzne časové body:
Úroveň aktuálne obdobie = úroveň predchádzajúce obdobie +
alfa × (aktuálne obdobie dopytu – predchádzajúce obdobie na úrovni)
Budúci dopyt sa rovná poslednej vypočítanej úrovni (obr. 3). Keďže neviete, čo je alfa, nastavte bunku C2 na 0,5. Po zostavení modelu nájdite alfa tak, aby súčet druhých mocnín chyby - E2 (alebo štandardná odchýlka - F2) bol minimálny. Ak to chcete urobiť, spustite možnosť Hľadanie riešenia. Ak to chcete urobiť, prejdite cez ponuku ÚDAJE –> Hľadanie riešenia a nastavte ho v okne Možnosti vyhľadávania riešení požadované hodnoty (obr. 4). Ak chcete zobraziť výsledky prognózy na grafe, najskôr vyberte rozsah A6:B41 a vytvorte jednoduchý čiarový graf. Potom kliknite pravým tlačidlom myši na diagram a vyberte možnosť Vyberte údaje. V okne, ktoré sa otvorí, vytvorte druhý riadok a vložte do neho predpovede z rozsahu A42:B53 (obr. 5).
Možno máte trend
Na otestovanie tohto predpokladu stačí prispôsobiť lineárnu regresiu údajom dopytu a vykonať Studentov t-test na vzostupe tejto trendovej čiary (ako v ). Ak je sklon čiary nenulový a štatisticky významný (v Studentovom teste je hodnota R menej ako 0,05), údaj má trend (obr. 6).
Použili sme funkciu LINREGRESE, ktorá vracia 10 popisných štatistík (ak ste túto funkciu ešte nepoužívali, odporúčam) a funkciu INDEX, ktorá umožňuje „vytiahnuť“ len tri požadované štatistiky, a nie celú množinu. Ukázalo sa, že sklon je 2,54 a je významný, pretože Studentov test ukázal, že 0,000000012 je výrazne menej ako 0,05. Existuje teda trend a zostáva ho zahrnúť do prognózy.
Holt exponenciálne vyhladzovanie s korekciou trendu
Často sa označuje ako dvojité exponenciálne vyhladzovanie, pretože má dva parametre vyhladzovania, alfa, a nie jeden. Ak má časová postupnosť lineárny trend, potom:
dopyt v čase t = úroveň + t × trend + náhodná odchýlka úrovne v čase t
Holt exponenciálne vyhladzovanie s korekciou trendu má dve nové rovnice, jednu pre úroveň, keď sa pohybuje dopredu v čase a druhú pre trend. Rovnica úrovne obsahuje parameter vyhladzovania alfa a rovnica trendu obsahuje hodnotu gama. Takto vyzerá nová rovnica úrovne:
úroveň 1 = úroveň 0 + trend 0 + alfa × (dopyt 1 - (úroveň 0 + trend 0))
poznač si to úroveň 0 + trend 0 je len jednokroková predpoveď z pôvodných hodnôt do 1. mesiaca, takže dopyt 1 – (úroveň 0 + trend 0) je jednokroková odchýlka. Takže základná rovnica aproximácie úrovne bude vyzerať takto:
úroveň súčasného obdobia = úroveň predchádzajúceho obdobia + trend predchádzajúceho obdobia + alfa × (dopyt v aktuálnom období - (úroveň predchádzajúceho obdobia) + trend predchádzajúceho obdobia))
Rovnica aktualizácie trendu:
trend bežného obdobia = trend predchádzajúce obdobie + gama × alfa × (aktuálne obdobie dopytu – (úroveň predchádzajúce obdobie) + trend predchádzajúce obdobie))
Holt vyhladzovanie v Exceli je podobné ako jednoduché vyhladzovanie (obr. 7), a ako je uvedené vyššie, cieľom je nájsť dva koeficienty a zároveň minimalizovať súčet štvorcových chýb (obr. 8). Ak chcete získať pôvodnú úroveň a hodnoty trendu (v bunkách C5 a D5 na obrázku 7), vytvorte graf za prvých 18 mesiacov predaja a pridajte k nemu trendovú čiaru s rovnicou. Zadajte počiatočnú hodnotu trendu 0,8369 a počiatočnú úroveň 155,88 do buniek C5 a D5. Údaje z prognózy možno graficky znázorniť (obr. 9).
Ryža. 7. Exponenciálne Holt vyhladzovanie s korekciou trendu; Ak chcete obrázok zväčšiť, kliknite naň pravým tlačidlom myši a vyberte Otvoriť obrázok na novej karte
Hľadanie vzorov v údajoch
Existuje spôsob, ako otestovať silu prediktívneho modelu – porovnať chyby so sebou samými, posunuté o krok (alebo niekoľko krokov). Ak sú odchýlky náhodné, model nemožno vylepšiť. V údajoch o dopyte však môže byť sezónny faktor. Koncept chyby, ktorá koreluje s vlastnou verziou v inom období, sa nazýva autokorelácia (viac o autokorelácii nájdete v ). Ak chcete vypočítať autokoreláciu, začnite s údajmi o chybách prognózy pre každé obdobie (preneste stĺpec F na obrázku 7 do stĺpca B na obrázku 10). Ďalej určte priemernú chybu prognózy (obrázok 10, bunka B39; vzorec v bunke: =AVERAGE(B3:B38)). V stĺpci C vypočítajte odchýlku chyby prognózy od priemeru; vzorec v bunke C3: =B3-B$39. Potom postupne posúvajte stĺpec C o stĺpec doprava a riadok nadol. Vzorce v bunkách D39: =SUMPRODUCT($C3:$C38;D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).
Čo môže znamenať „synchrónny pohyb“ so stĺpcom C pre jeden zo stĺpcov D:O. Ak sú napríklad stĺpce C a D synchrónne, potom číslo, ktoré je v jednom z nich záporné, musí byť v druhom záporné a v jednom kladné , pozitívny v priateľovi. To znamená, že súčet súčinov dvoch stĺpcov bude významný (rozdiely sa hromadia). Alebo, čo je rovnaké, čím je hodnota v rozsahu D41:O41 bližšie k nule, tým nižšia je korelácia stĺpca (resp. od D po O) so stĺpcom C (obr. 11).
Jedna autokorelácia je nad kritickou hodnotou. Chyba posunutá o rok koreluje sama so sebou. To znamená 12-mesačný sezónny cyklus. A to nie je prekvapujúce. Ak sa pozriete na graf dopytu (obr. 2), ukazuje sa, že každé Vianoce sú vrcholy dopytu a v apríli až máji poklesy. Zvážte techniku prognózovania, ktorá zohľadňuje sezónnosť.
Multiplikatívne exponenciálne Holt-Wintersovo vyhladzovanie
Metóda sa nazýva multiplikačná (z multiplikovať - násobiť), pretože používa násobenie na zohľadnenie sezónnosti:
Dopyt v čase t = (úroveň + t × trend) × sezónna úprava v čase t × akékoľvek zostávajúce nepravidelné úpravy, ktoré nemôžeme zaúčtovať
Holt-Wintersovo vyhladzovanie sa nazýva aj trojité exponenciálne vyhladzovanie, pretože má tri parametre vyhladzovania (alfa, gama a delta sezónny faktor). Napríklad, ak existuje 12-mesačný sezónny cyklus:
Mesačná predpoveď 39 = (úroveň 36 + 3 × trend 36) x sezónnosť 27
Pri analýze údajov je potrebné zistiť, aký je trend v rade údajov a aká je sezónnosť. Ak chcete vykonať výpočty pomocou Holt-Wintersovej metódy, musíte:
- Vyhladzujte historické údaje pomocou metódy kĺzavého priemeru.
- Porovnajte vyhladenú verziu časového radu s originálom, aby ste získali hrubý odhad sezónnosti.
- Získajte nové údaje bez sezónnej zložky.
- Nájdite aproximácie úrovne a trendov na základe týchto nových údajov.
Začnite s pôvodnými údajmi (stĺpce A a B na obrázku 12) a pridajte stĺpec C s vyhladenými hodnotami na základe kĺzavého priemeru. Keďže sezónnosť má 12-mesačné cykly, má zmysel používať 12-mesačný priemer. S týmto priemerom je malý problém. 12 je párne číslo. Ak vyhladíte dopyt za mesiac 7, mal by sa považovať za priemerný dopyt od 1. do 12. mesiaca alebo od 2. do 13. mesiaca? Aby sme sa vyrovnali s týmto problémom, musíme vyhladiť dopyt pomocou „kĺzavého priemeru 2x12“. To znamená, že vezmite polovicu z dvoch priemerov z 1. až 12. mesiaca az 2. až 13. mesiaca. Vzorec v bunke C8 je: =(AVERAGE(B3:B14)+AVERAGE(B2:B13))/2.
Vyhladené údaje za mesiace 1–6 a 31–36 nie je možné získať, pretože nie je dostatok predchádzajúcich a nasledujúcich období. Pre názornosť je možné pôvodné a vyhladené dáta znázorniť v diagrame (obr. 13).
Teraz v stĺpci D vydeľte pôvodnú hodnotu vyhladenou hodnotou, aby ste získali odhad sezónnej úpravy (stĺpec D na obrázku 12). Vzorec v bunke D8: =B8/C8. Všimnite si nárasty o 20 % nad normálny dopyt v mesiacoch 12 a 24 (december), zatiaľ čo na jar dochádza k poklesom. Táto technika vyhladzovania vám poskytla dva bodové odhady za každý mesiac (spolu 24 mesiacov). Stĺpec E je priemerom týchto dvoch faktorov. Vzorec v bunke E1 je: =AVERAGE(D14,D26). Pre prehľadnosť je možné úroveň sezónnych výkyvov znázorniť graficky (obr. 14).
Teraz môžete získať sezónne očistené údaje. Vzorec v bunke G1: =B2/E2. Zostavte graf na základe údajov v stĺpci G, doplňte ho trendovou čiarou, zobrazte trendovú rovnicu na grafe (obr. 15) a použite koeficienty v nasledujúcich výpočtoch.
Vytvorte nový list, ako je znázornené na obr. 16. Dosaďte hodnoty v rozsahu E5:E16 z obr. 12 oblastí E2:E13. Vezmite hodnoty C16 a D16 z rovnice trendovej čiary na obr. 15. Nastavte hodnoty vyhladzovacích konštánt tak, aby začínali okolo 0,5. Rozšírte hodnoty v riadku 17 v rozsahu mesiacov 1 až 36. Spustite Hľadanie riešenia optimalizovať koeficienty vyhladzovania (obr. 18). Vzorec v bunke B53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.
Teraz v predpovedi je potrebné skontrolovať autokorelácie (obr. 18). Keďže všetky hodnoty sú umiestnené medzi hornou a dolnou hranicou, chápete, že model odviedol dobrú prácu pri pochopení štruktúry hodnôt dopytu.
Vytvorenie intervalu spoľahlivosti prognózy
Takže máme celkom fungujúcu predpoveď. Ako nastavíte hornú a dolnú hranicu, ktorá sa dá použiť na realistické odhady? Pomôže vám v tom simulácia Monte Carlo, s ktorou ste sa už stretli (pozri aj ). Ide o to, vygenerovať budúce scenáre správania dopytu a určiť skupinu, do ktorej spadá 95 % z nich.
Odstráňte predpoveď z buniek B53:B64 z hárku Excel (pozri obr. 17). Napíšeš tam dopyt na základe simulácie. Ten je možné vygenerovať pomocou funkcie NORMINV. Pre budúce mesiace jej stačí dodať priemer (0), štandardné rozdelenie (10,37 z bunky $H$2) a náhodné číslo medzi 0 a 1. Funkcia vráti odchýlku s pravdepodobnosťou zodpovedajúcou zvončeku krivka. Vložte simuláciu jednokrokovej chyby do bunky G53: =NORMINV(RAND();0;H$2). Rozšírením tohto vzorca na G64 získate simulácie chyby predpovede pre 12-mesačnú jednokrokovú predpoveď (obrázok 19). Vaše simulačné hodnoty sa budú líšiť od hodnôt zobrazených na obrázku (preto ide o simuláciu!).
S Forecast Error máte všetko, čo potrebujete na aktualizáciu úrovne, trendu a sezónneho faktora. Vyberte teda bunky C52:F52 a roztiahnite ich na riadok 64. Výsledkom je simulovaná chyba prognózy a samotná predpoveď. Z opaku je možné predpovedať hodnoty dopytu. Do bunky B53 vložte vzorec: =F53+G53 a roztiahnite ho na B64 (obr. 20, rozsah B53:F64). Teraz môžete pri každej aktualizácii prognózy stlačiť tlačidlo F9. Umiestnite výsledky 1000 simulácií do buniek A71:L1070, pričom zakaždým transponujte hodnoty z rozsahu B53:B64 do rozsahu A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070. Ak vám to prekáža, napíšte kód VBA.
Teraz máte 1 000 scenárov na každý mesiac a môžete použiť funkciu PERCENTIL na získanie hornej a dolnej hranice v strede 95 % intervalu spoľahlivosti. V bunke A66 je vzorec: =PERCENTIL(A71:A1070,0,975) a v bunke A67: =PERCENTIL(A71:A1070,0,025).
Ako obvykle, pre prehľadnosť môžu byť údaje prezentované v grafickej podobe (obr. 21).
Na grafe sú dva zaujímavé body:
- Medzera chýb sa časom zvyšuje. To dáva zmysel. Neistota sa hromadí každý mesiac.
- Rovnakým spôsobom sa chyba zvyšuje v častiach pripadajúcich na obdobia sezónneho nárastu dopytu. Jeho následným pádom sa chyba zmenšuje.
Na základe materiálu z knihy Johna Foremana. – M.: Vydavateľstvo Alpina, 2016. – S. 329–381
9 5. Metóda exponenciálneho vyhladzovania. Výber konštanty vyhladzovania
Pri použití metódy najmenších štvorcov na určenie prediktívneho trendu (trendu) sa vopred predpokladá, že všetky retrospektívne údaje (pozorovania) majú rovnaký informačný obsah. Samozrejme, logickejšie by bolo brať do úvahy proces diskontovania počiatočných informácií, teda nerovnakú hodnotu týchto údajov pre vypracovanie prognózy. V metóde exponenciálneho vyhladzovania sa to dosiahne tak, že sa posledným pozorovaniam časového radu (to znamená hodnotám bezprostredne predchádzajúcim predpovedanému obdobiu prognózy) pridelia významnejšie „váhy“ v porovnaní s počiatočnými pozorovaniami. Medzi výhody metódy exponenciálneho vyhladzovania by mala patriť aj jednoduchosť výpočtových operácií a flexibilita pri popise rôznej dynamiky procesov. Metóda našla najväčšie uplatnenie pri implementácii strednodobých prognóz.
5.1. Podstata metódy exponenciálneho vyhladzovania
Podstatou metódy je, že časový rad sa vyhladzuje pomocou váženého "kĺzavého priemeru", v ktorom sa váhy riadia exponenciálnym zákonom. Inými slovami, čím ďalej od konca časového radu je bod, pre ktorý sa vypočítava vážený kĺzavý priemer, tým menšiu „účasť si vyžaduje“ na vývoji prognózy.
Nech pôvodný dynamický rad pozostáva z úrovní (komponentov radu) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Pre každý m po sebe nasledujúcich úrovní tejto série
(m dynamický rad s krokom rovným jednej. Ak je m nepárne číslo a je lepšie použiť nepárny počet úrovní, pretože v tomto prípade bude vypočítaná hodnota úrovne v strede intervalu vyhladzovania a je ľahké ňou nahradiť skutočnú hodnotu, potom Na určenie kĺzavého priemeru je možné napísať nasledujúci vzorec: t+ ξ t+ ξ ∑ y i ∑ y i i= t−ξ i= t−ξ 2ξ + 1 kde y t je hodnota kĺzavého priemeru pre moment t (t = 1 , 2 ,..., n ), y i je skutočná hodnota hladiny v okamihu i; i je poradové číslo úrovne v intervale vyhladzovania. Hodnota ξ sa určí z trvania intervalu vyhladzovania. Pretože m = 2 ξ +1 pre nepárne m teda ξ = m 2 − 1 . Výpočet kĺzavého priemeru pre veľký počet úrovní možno zjednodušiť definovaním postupných hodnôt kĺzavého priemeru rekurzívne: y t = y t - 1 + yt + ξ − y t − (ξ + 1 ) 2ξ + 1 Ale vzhľadom na skutočnosť, že najnovším pozorovaniam treba prikladať väčšiu „váhu“, kĺzavý priemer je potrebné interpretovať inak. Spočíva v tom, že hodnota získaná spriemerovaním nenahrádza centrálny člen intervalu priemerovania, ale jeho posledný člen. Podľa toho môže byť posledný výraz prepísaný ako Mi = Mi + 1 y i− y i− m Kĺzavý priemer súvisiaci s koncom intervalu je tu označený novým symbolom Mi. V podstate sa Mi rovná yt posunutým o ξ krokov doprava, to znamená, Mi = yt + ξ, kde i = t + ξ. Vzhľadom na to, že M i − 1 je odhadom y i − m , výraz (5.1) možno prepísať do formy y i+ 1 M i - 1 , M i definované výrazom (5.1). kde M i je odhad Ak sa výpočty (5.2) opakujú, keď prichádzajú nové informácie a prepísať do inej formy, potom získame vyhladenú funkciu pozorovania: Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1, alebo v ekvivalentnej forme Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 Výpočty uskutočnené pomocou výrazu (5.3) s každým novým pozorovaním sa nazývajú exponenciálne vyhladzovanie. V poslednom výraze sa na odlíšenie exponenciálneho vyhladzovania od kĺzavého priemeru zavádza označenie Q namiesto M . Hodnota α , ktorá je analóg m 1 sa nazýva vyhladzovacia konštanta. Hodnoty α ležia v interval [ 0 , 1 ] . Ak je α znázornené ako séria α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n , je ľahké vidieť, že "váhy" klesajú exponenciálne v čase. Napríklad pre α = 0 dostaneme 2 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + … Súčet radu má tendenciu k jednote a členy súčtu sa časom znižujú. Hodnota Q t vo výraze (5.3) je exponenciálny priemer prvého rádu, teda priemer získaný priamo z vyhladenie pozorovaných údajov (primárne vyhladenie). Niekedy je pri vývoji štatistických modelov užitočné uchýliť sa k výpočtu exponenciálnych priemerov vyšších rádov, teda priemerov získaných opakovaným exponenciálnym vyhladzovaním. Všeobecný zápis v rekurzívnom tvare exponenciálneho priemeru rádu k je Q t (k) = α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ). Hodnota k sa mení v rámci 1, 2, …, p ,p+1 , kde p je poradie prediktívneho polynómu (lineárneho, kvadratického atď.). Na základe tohto vzorca pre exponenciálny priemer prvého, druhého a tretieho rádu, výrazy Qt (1 ) = α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1); Qt (2) = α Qt (1)+ (1 − α) Qt (− 2 1 ); Q t (3 ) = α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ). 5.2. Stanovenie parametrov prediktívneho modelu pomocou metódy exponenciálneho vyhladzovania Je zrejmé, že s cieľom vyvinúť prediktívne hodnoty založené na dynamickom rade pomocou metódy exponenciálneho vyhladzovania je potrebné vypočítať koeficienty trendovej rovnice prostredníctvom exponenciálnych priemerov. Odhady koeficientov sú určené základnou Brown-Meyerovou vetou, ktorá spája koeficienty prediktívneho polynómu s exponenciálnymi priemermi zodpovedajúcich rádov: (−
1
) aˆp α (1 − α )∞ −α
)
j (p − 1 + j) ! ∑j p=0 p! (k− 1) !j = 0 kde aˆ p sú odhady koeficientov polynómu stupňa p . Koeficienty nájdeme riešením sústavy (p + 1 ) rovníc сp + 1 neznámy. Takže pre lineárny model aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ); aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 )− Q t (2 )); pre kvadratický model aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 ); aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3)]; aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] . Predpoveď je realizovaná podľa zvoleného polynómu, resp. pre lineárny model ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ; pre kvadratický model ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2, kde τ je predikčný krok. Treba poznamenať, že exponenciálne priemery Q t (k ) možno vypočítať len so známym (zvoleným) parametrom, pričom poznáme počiatočné podmienky Q 0 (k ). Odhady počiatočných podmienok, najmä pre lineárny model Q(1)=a 1 − α Q(2 ) = a − 2 (1 − α ) a pre kvadratický model Q(1)=a 1 − α + (1 − α )(2 − α ) a 2(1−α) (1− α )(3− 2α ) Qo(2) = a 0- 2α 2 Q(3)=a 3(1−α) (1 − α ) (4 − 3 α ) a kde koeficienty a 0 a a 1 sú vypočítané metódou najmenších štvorcov. Hodnota vyhladzovacieho parametra α je približne vypočítaná vzorcom α ≈ m 2 + 1, kde m je počet pozorovaní (hodnôt) v intervale vyhladzovania. Postupnosť výpočtu prediktívnych hodnôt je uvedená v Výpočet koeficientov radu metódou najmenších štvorcov Stanovenie intervalu vyhladzovania Výpočet vyhladzovacej konštanty Výpočet počiatočných podmienok Výpočet exponenciálnych priemerov Výpočet odhadov a 0 , a 1 atď. Výpočet predpovedaných hodnôt série Ryža. 5.1. Postupnosť výpočtu prognózovaných hodnôt Ako príklad uvažujme postup na získanie prediktívnej hodnoty doby prevádzkyschopnosti produktu, vyjadrenej časom medzi poruchami. Počiatočné údaje sú zhrnuté v tabuľke. 5.1. Lineárny predpovedný model volíme v tvare y t = a 0 + a 1 τ Riešenie je možné s nasledujúcimi počiatočnými hodnotami: a0,0 = 64,2; a1,0 = 31,5; a = 0,305. Tabuľka 5.1. Počiatočné údaje Číslo pozorovania, t Dĺžka kroku, predpoveď, τ MTBF, y (hodina) Pre tieto hodnoty sú vypočítané "vyhladené" koeficienty pre hodnoty y2 sa budú rovnať = α Q (1 )− Q (2 ) = 97, 9 ; [ Q (1) − Q (2) 31,
9 , 1−α za počiatočných podmienok 1 − α A 0, 0 - 1,0 = −7
,
6
1 − α = −79
,
4
a exponenciálne priemery Q (1 ) = α y + (1 − α ) Q (1 ) 25,
2;
Q(2) = α Q (1) + (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 . „Vyhladená“ hodnota y 2 sa potom vypočíta podľa vzorca Q i (1) Q i (2) a 0, i a 1, i ˆyt Lineárny prediktívny model má teda tvar (tabuľka 5.2). ˆy t + τ = 224,5+ 32τ . Vypočítajme predpovedané hodnoty pre doby prípravy 2 roky (τ = 1 ), 4 roky (τ = 2 ) a tak ďalej, čas medzi poruchami produktu (tabuľka 5.3). Tabuľka 5.3. Predpovedané hodnotyˆy t Rovnica t+2 t+4 t+6 t+8 t+20 regresia (τ = 1) (τ=2) (τ = 3) (τ=5) τ =
ˆy t = 224,5+ 32τ Je potrebné poznamenať, že celkovú „váhu“ posledných m hodnôt časového radu možno vypočítať podľa vzorca c = 1 - (m (- 1) m). m+ 1 Pre posledné dve pozorovania série (m = 2 ) je teda hodnota c = 1 − (2 2 − + 1 1 ) 2 = 0. 667 . 5.3. Voľba počiatočných podmienok a určenie vyhladzovacej konštanty Ako vyplýva z výrazu Q t = α y t+ (1 − α ) Q t− 1, pri vykonávaní exponenciálneho vyhladzovania je potrebné poznať počiatočnú (predchádzajúcu) hodnotu vyhladzovanej funkcie. V niektorých prípadoch môže byť prvé pozorovanie brané ako počiatočná hodnota, častejšie sa počiatočné podmienky určujú podľa výrazov (5.4) a (5.5). V tomto prípade sú hodnoty a 0, 0, a 1, 0 a a 2, 0 sú určené metódou najmenších štvorcov. Ak skutočne neveríme zvolenej počiatočnej hodnote, potom ak vezmeme veľkú hodnotu vyhladzovacej konštanty α až po k pozorovaní, prinesieme „váha“ počiatočnej hodnoty až po hodnotu (1 − α ) k<<
α
, и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α
может быть выбрано малым (близким к 0). Voľba vyhladzovacej konštanty (alebo počtu pozorovaní v kĺzavom priemere) teda zahŕňa kompromis. Zvyčajne, ako ukazuje prax, hodnota vyhladzovacej konštanty leží v rozsahu od 0,01 do 0,3. Je známych niekoľko prechodov, ktoré umožňujú nájsť približný odhad α . Prvý vyplýva z podmienky, že kĺzavý priemer a exponenciálny priemer sú rovnaké α \u003d m 2 + 1, kde m je počet pozorovaní v intervale vyhladzovania. Iné prístupy sú spojené s presnosťou prognózy. Takže je možné určiť α na základe Meyerovho vzťahu: α ≈ S y , kde S y je štandardná chyba modelu; S 1 je stredná kvadratická chyba pôvodného radu. Použitie posledne menovaného pomeru je však komplikované skutočnosťou, že je veľmi ťažké spoľahlivo určiť Sy a S1 z počiatočných informácií. Často parameter vyhladzovania a súčasne koeficienty a 0 , 0 a a 0 , 1 sa vyberajú ako optimálne v závislosti od kritéria S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min j=0 riešením algebraického systému rovníc, ktorý získame rovnaním derivácií k nule ∂S2 ∂S2 ∂S2 ∂a0, 0 ∂ a 1, 0 ∂a2, 0 Takže pre lineárny predpovedný model sa počiatočné kritérium rovná S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0, 0 − a1, 0 τ ] 2 → min. j=0 Riešenie tohto systému pomocou počítača nespôsobuje žiadne ťažkosti. Pre rozumnú voľbu α môžete použiť aj postup zovšeobecneného vyhladzovania, ktorý vám umožňuje získať nasledujúce vzťahy týkajúce sa rozptylu prognózy a parametra vyhladzovania pre lineárny model: S p 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2 pre kvadratický model Sp 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2, kde β =
1
−
α
;Sr– RMS aproximácia počiatočného dynamického radu. Služba umožní vyhladenie časového radu y t exponenciálnou metódou, t.j. zostavte Brown model (pozri príklad).
Poučenie. Zadajte množstvo údajov (počet riadkov) a kliknite na tlačidlo Ďalej. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word. St = (1-a)yt + aSt-1 Niektoré zdroje uvádzajú iný vzorec: St = ayt + (1-a)St-1 Kde α je vyhladzovací parameter (0 V praktických problémoch spracovania ekonomických časových radov sa odporúča (nerozumne) voliť hodnotu vyhladzovacieho parametra v rozsahu od 0,1 do 0,3. dĺžka vyhladeného radu: α = 2/ (n+1). Príklad. Pomocou Irwinovej metódy skontrolujte sériu na odľahlé hodnoty, vyhladzujte pomocou exponenciálneho vyhladzovania (α = 0,1).
Pokiaľ ide o počiatočný parameter S 0 , potom sa v úlohách berie buď rovný hodnote prvej úrovne radu y 1 , alebo rovný aritmetickému priemeru niekoľkých prvých členov radu. Ak sa pri priblížení k pravému koncu časového radu hodnoty vyhladené touto metódou so zvoleným parametrom α začnú výrazne líšiť od zodpovedajúcich hodnôt pôvodného radu, je potrebné prejsť na iný parameter vyhladzovania. Výhodou tejto metódy je, že pri vyhladzovaní sa nestrácajú počiatočné ani konečné úrovne vyhladzovaného časového radu.Exponenciálne vyhladzovanie v Exceli
MS Excel používa na výpočet každej predikcie samostatný, ale algebraicky ekvivalentný vzorec. Obe zložky – údaje z predchádzajúceho pozorovania aj predchádzajúca prognóza – každej prognózy sú násobené faktorom, ktorý predstavuje príspevok tejto zložky k aktuálnej prognóze.
Nástroj Exponenciálne vyhladzovanie môžete aktivovať výberom príkazu Tools/Data Analysis po načítaní doplnku Analysis Pack ().
Ako S 0 berieme aritmetický priemer prvých 3 hodnôt série.
S 0 \u003d (50 + 56 + 46) / 3 \u003d 50,67t r S t Vzorec
1
50
50.07
(1 - 0.1)*50 + 0.1*50.67
2
56
55.41
(1 - 0.1)*56 + 0.1*50.07
3
46
46.94
(1 - 0.1)*46 + 0.1*55.41
4
48
47.89
(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.94
5
49
48.89
(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.89
6
46
46.29
(1 - 0.1)*46 + 0.1*48.89
7
48
47.83
(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.29
8
47
47.08
(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.83
9
47
47.01
(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.08
10
49
48.8
(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.01
