Ako rozložiť štvorcový trojčlen na lineárne faktory. Ako rozdeliť štvorcovú trojčlenku na rozklad

V tejto lekcii sa naučíme, ako rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory. Na to je potrebné pripomenúť Vietovu vetu a jej inverznú. Táto zručnosť nám pomôže rýchlo a pohodlne rozložiť štvorcové trojčlenky na lineárne faktory a tiež zjednodušiť redukciu zlomkov pozostávajúcich z výrazov.

Takže späť ku kvadratickej rovnici, kde .

To, čo máme na ľavej strane, sa nazýva štvorcová trojčlenka.

Veta je pravdivá: Ak sú korene štvorcovej trojčlenky, potom je identita pravdivá

Kde je vodiaci koeficient, sú korene rovnice.

Máme teda kvadratickú rovnicu - štvorcový trinom, kde korene kvadratickej rovnice sa nazývajú aj korene kvadratickej trinómie. Ak teda máme korene štvorcovej trojčlenky, potom sa táto trojčlenka rozloží na lineárne faktory.

dôkaz:

Dôkaz tejto skutočnosti sa vykonáva pomocou Vietovej vety, o ktorej sme uvažovali v predchádzajúcich lekciách.

Pripomeňme si, čo nám hovorí Vietin teorém:

Ak sú odmocniny štvorcového trojčlenu pre ktoré , potom .

Z tejto vety vyplýva nasledujúce tvrdenie, že .

Vidíme, že podľa Vietovej vety, t.j. nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného vzorca, dostaneme nasledujúci výraz

Q.E.D.

Pripomeňme si, že sme dokázali vetu, že ak sú korene štvorcového trojčlenu, rozklad je platný.

Teraz si pripomeňme príklad kvadratickej rovnice, ku ktorej sme pomocou Vietovej vety vybrali korene. Z tohto faktu môžeme vďaka dokázanej vete získať nasledujúcu rovnosť:

Teraz skontrolujeme správnosť tejto skutočnosti jednoduchým rozšírením zátvoriek:

Vidíme, že sme faktorizovali správne a každá trojčlenka, ak má korene, môže byť rozdelená podľa tejto vety na lineárne faktory podľa vzorca

Pozrime sa však, či je pre niektorú rovnicu takáto faktorizácia možná:

Vezmime si napríklad rovnicu. Najprv skontrolujme znamienko diskriminantu

A pamätáme si, že na splnenie vety, ktorú sme sa naučili, musí byť D väčšie ako 0, preto je v tomto prípade faktorizácia podľa študovanej vety nemožná.

Preto formulujeme novú vetu: ak štvorcová trojčlenka nemá korene, potom ju nemožno rozložiť na lineárne faktory.

Takže sme zvážili Vietovu vetu, možnosť rozkladu štvorcového trinomu na lineárne faktory, a teraz vyriešime niekoľko problémov.

Úloha č.1

V tejto skupine budeme vlastne riešiť problém inverzne k predloženému. Mali sme rovnicu a našli sme jej korene, rozkladali sme sa na faktory. Tu urobíme opak. Povedzme, že máme korene kvadratickej rovnice

Inverzný problém je tento: napíšte kvadratickú rovnicu tak, aby boli jej korene.

Existujú 2 spôsoby, ako tento problém vyriešiť.

Pretože sú korene rovnice, teda je kvadratická rovnica, ktorej korene sú dané číslami. Teraz otvorme zátvorky a skontrolujte:

Toto bol prvý spôsob, ako sme vytvorili kvadratickú rovnicu s danými koreňmi, ktorá nemá žiadne iné korene, pretože každá kvadratická rovnica má najviac dva korene.

Táto metóda zahŕňa použitie inverznej Vietovej vety.

Ak sú korene rovnice, potom spĺňajú podmienku, že .

Pre redukovanú kvadratickú rovnicu , , teda v tomto prípade a .

Takto sme vytvorili kvadratickú rovnicu, ktorá má dané korene.

Úloha č. 2

Musíte znížiť zlomok.

V čitateli máme trojčlenku a v menovateli trojčlenku a trojčlenky môžu alebo nemusia byť rozkladané na súčin. Ak sú čitateľ aj menovateľ faktorizovaný, potom medzi nimi môžu byť rovnaké faktory, ktoré možno znížiť.

V prvom rade je potrebné rozložiť čitateľa na faktor.

Najprv musíte skontrolovať, či je možné túto rovnicu faktorizovať, nájsť diskriminant . Pretože , potom znamienko závisí od súčinu (musí byť menšie ako 0), v tomto príklade , t.j. daná rovnica má korene.

Na riešenie používame Vietovu vetu:

V tomto prípade, keďže máme čo do činenia s koreňmi, bude dosť ťažké jednoducho vybrať korene. Vidíme však, že koeficienty sú vyrovnané, t. j. ak predpokladáme, že a túto hodnotu dosadíme do rovnice, dostaneme nasledujúci systém: t.j. 5-5=0. Zvolili sme teda jeden z koreňov tejto kvadratickej rovnice.

Druhý koreň budeme hľadať dosadením už známeho do sústavy rovníc, napríklad , t.j. .

Našli sme teda obidva korene kvadratickej rovnice a ich hodnoty môžeme nahradiť do pôvodnej rovnice, aby sme ju vynásobili:

Pripomeňme si pôvodný problém, potrebovali sme znížiť zlomok.

Skúsme problém vyriešiť dosadením namiesto čitateľa .

Je potrebné nezabudnúť, že v tomto prípade sa menovateľ nemôže rovnať 0, t.j.

Ak sú tieto podmienky splnené, potom sme pôvodný zlomok zredukovali na tvar .

Úloha č. 3 (úloha s parametrom)

Pri akých hodnotách parametra je súčet koreňov kvadratickej rovnice

Ak korene tejto rovnice existujú, potom , otázka je kedy .

Faktorizácia štvorcových trojčlenov je jednou zo školských úloh, s ktorou sa skôr či neskôr stretne každý. Ako to spraviť? Aký je vzorec na rozklad štvorcového trojčlenu? Poďme si to prejsť krok za krokom na príkladoch.

Všeobecný vzorec

Faktorizácia štvorcových trinómov sa uskutočňuje riešením kvadratickej rovnice. Ide o jednoduchú úlohu, ktorú je možné vyriešiť niekoľkými metódami – nájdením diskriminantu, pomocou Vietovej vety, existuje aj grafický spôsob riešenia. Prvé dve metódy sa študujú na strednej škole.

Všeobecný vzorec vyzerá takto:lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algoritmus vykonávania úlohy

Na rozklad na štvorcové trojčlenky potrebujete poznať Witovu vetu, mať po ruke program na riešenie, vedieť nájsť riešenie graficky alebo hľadať korene rovnice druhého stupňa cez diskriminačný vzorec. Ak je zadaná štvorcová trojčlenka a musí byť zohľadnená, algoritmus akcií je nasledujúci:

1) Prirovnajte pôvodný výraz k nule, aby ste dostali rovnicu.

2) Uveďte podobné výrazy (ak je to potrebné).

3) Nájdite korene akoukoľvek známou metódou. Grafická metóda sa najlepšie používa, ak je vopred známe, že korene sú celé čísla a malé čísla. Je potrebné mať na pamäti, že počet koreňov sa rovná maximálnemu stupňu rovnice, to znamená, že kvadratická rovnica má dva korene.

4) Náhradná hodnota X do výrazu (1).

5) Napíšte rozklad na štvorcové trojčlenky.

Príklady

Cvičenie vám umožňuje konečne pochopiť, ako sa táto úloha vykonáva. Príklady ilustrujú rozklad štvorcového trinomu:

musíte rozšíriť výraz:

Použime náš algoritmus:

1) x 2 -17 x + 32 = 0

2) podobné výrazy sú redukované

3) podľa vzorca Vieta je ťažké nájsť korene tohto príkladu, preto je lepšie použiť výraz pre diskriminant:

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Nahraďte korene, ktoré sme našli v hlavnom vzorci pre rozklad:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Potom bude odpoveď:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Pozrime sa, či riešenia nájdené diskriminantom zodpovedajú vzorcom Vieta:

14,845 . 2,155=32

Pre tieto korene sa aplikuje Vietova veta, našli sa správne, čo znamená, že aj faktorizácia, ktorú sme získali, je správna.

Podobne rozširujeme 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

V predchádzajúcom prípade boli riešenia necelé, ale reálne čísla, ktoré ľahko nájdete s kalkulačkou pred vami. Teraz zvážte zložitejší príklad, v ktorom sú korene zložité: faktorizujte x 2 + 4x + 9. Podľa vzorca Vieta sa korene nedajú nájsť a diskriminant je negatívny. Korene budú v komplexnej rovine.

D = -20

Na základe toho dostaneme korene, o ktoré máme záujem -4 + 2i * 5 1/2 a -4-2i * 5 1/2 pretože (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Požadovanú expanziu získame dosadením koreňov do všeobecného vzorca.

Ďalší príklad: musíte rozložiť výraz 23x 2 -14x + 7.

Máme rovnicu 23x 2 -14x+7 =0

D = -448

Takže korene sú 14+21,166i a 14-21,166i. Odpoveď bude:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14 + 21,166i ).

Uveďme príklad, ktorý sa dá vyriešiť aj bez pomoci diskriminanta.

Nech je potrebné rozložiť kvadratickú rovnicu x 2 -32x + 255. Je zrejmé, že to môže vyriešiť aj diskriminant, ale v tomto prípade je rýchlejšie nájsť korene.

x 1 = 15

x2 = 17

Prostriedky x 2 – 32 x + 255 = (x-15) (x-17).

Nájdite súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice. Pomocou vzorcov (59.8) pre korene vyššie uvedenej rovnice získame

(prvá rovnosť je zrejmá, druhá sa získa po jednoduchom výpočte, ktorý čitateľ vykoná samostatne; vhodné je použiť vzorec na vynásobenie súčtu dvoch čísel ich rozdielom).

Nasledujúci

Vietov teorém. Súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a ich súčin sa rovná voľnému členu.

V prípade neredukovanej kvadratickej rovnice by sme mali nahradiť výrazy vzorca (60.1) do vzorcov (60.1) a mať tvar

Príklad 1. Zostavte kvadratickú rovnicu podľa jej koreňov:

Riešenie a) Zistíme, že rovnica má tvar

Príklad 2. Nájdite súčet druhých mocnín koreňov rovnice bez riešenia samotnej rovnice.

Riešenie. Súčet a súčin koreňov sú známe. Vo formulári reprezentujeme súčet druhých mocnín

a získať

Zo vzorcov Vieta je ľahké získať vzorec

vyjadrujúce pravidlo pre rozklad štvorcového trojčlenu.

Do formulára totiž zapisujeme vzorce (60.2).

Teraz máme

čo je to, čo potrebujete získať.

Vyššie uvedené odvodenie vzorcov Vieta je čitateľovi známe z kurzu algebry na strednej škole. Iné odvodenie možno uviesť pomocou Bezoutovej vety a rozkladom polynómu (§§ 51, 52).

Nech korene rovnice potom, podľa všeobecného pravidla (52.2), trojčlenka na ľavej strane rovnice sa rozkladá na faktor:

Rozšírením zátvoriek na pravej strane získame túto identickú rovnosť

a porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninoch získame vzorce Vieta (60.1).

Výhodou tohto odvodenia je, že ho možno aplikovať aj na rovnice vyšších stupňov za účelom získania vyjadrení pre koeficienty rovnice z hľadiska jej koreňov (bez toho, aby sa nachádzali samotné korene!). Napríklad, ak korene redukovanej kubickej rovnice

podstatou je, že podľa rovnosti (52.2) nájdeme

(v našom prípade otvorením zátvoriek na pravej strane rovnosti a zberom koeficientov v rôznych stupňoch získame