Základné metódy riešenia rovníc

Čo je riešením rovnice?

Transformácia identity. Hlavné

typy identických transformácií.

cudzí koreň. Strata koreňov.

Riešenie rovnice je proces spočívajúci najmä v nahradení danej rovnice inou rovnicou, ktorá je jej ekvivalentná . Takáto náhrada je tzvtransformácia identity . Hlavné transformácie identity sú nasledovné:

1.

Nahradenie jedného výrazu iným, identicky s ním rovným. Napríklad rovnica (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 možno nahradiť nasledujúcim ekvivalentom:9 X 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

Prenos členov rovnice z jednej strany na druhú s opačnými znamienkami. Takže v predchádzajúcej rovnici môžeme preniesť všetky jej členy z pravej strany na ľavú so znamienkom „-“: 9 X 2 + 12 x + 4 – 15 X- 10 = 0, po čom dostaneme:9 X 2 – 3 X- 6 = 0 .

3.

Násobenie alebo delenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom (číslom) iným ako nula. To je veľmi dôležité, pretoženová rovnica nemusí byť ekvivalentná predchádzajúcej, ak sa výraz, ktorým násobíme alebo delíme, môže rovnať nule.

PRÍKLAD RovnicaX- 1 = 0 má jeden koreňx= 1.

Vynásobením oboch stránX- 3 , dostaneme rovnicu

( X- 1)( X- 3) = 0, čo má dva korene:x= 1 aX = 3.

Posledná hodnota nie je koreňom danej rovnice

X- 1 = 0. Ide o tzvcudzí koreň .

Naopak, rozdelenie môže viesť kstrata koreňov . Takže

v našom prípade, akX- 1 )( X- 3 ) = 0 je originál

rovnica, potom koreňx= 3 prehrá v divízii

obe strany rovniceX- 3 .

V poslednej rovnici (položka 2) môžeme vydeliť všetky jej členy 3 (nie nulou!) a nakoniec dostaneme:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej rovnici:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

Môcťzvýšiť obe strany rovnice na nepárnu mocninu aleboextrahujte nepárny koreň z oboch strán rovnice . Treba mať na pamäti, že:

a) erekciapárny stupeň môže mať za následokk získaniu cudzích koreňov ;

b)nesprávne extrakciadokonca koreň môže viesť kstrata koreňov .

PRÍKLADY. Rovnica 7X = 35 má jeden koreňX = 5 .

Umocnením oboch strán tejto rovnice dostaneme

rovnica:

49 X 2 = 1225 .

má dva korene:X = 5 aX = – 5. Posledná hodnota

je cudzí koreň.

nesprávne pričom odmocnina oboch

časti rovnice 49X 2 = 1225 výsledkov v 7X = 35,

a stratíme koreňX = – 5.

Správne branie druhej odmocniny vedie k

rovnica: | 7X | = 35, a teda dva prípady:

1) 7 X = 35, potomX = 5 ; 2) – 7 X = 35, potomX = – 5 .

Preto, keďsprávne extrahovanie štvorca

koreň nestrácame korene rovnice.

Čo znamenásprávny extrahovať koreň? Tu sa stretávame

s veľmi dôležitým konceptomaritmetický koreň

(cm. ).

Môže viesť k objaveniu sa takzvaných cudzích koreňov. V tomto článku najprv podrobne analyzujeme, čo to je cudzie korene. Po druhé, povedzme si o dôvodoch ich výskytu. A po tretie, pomocou príkladov zvážime hlavné spôsoby preosievania cudzích koreňov, to znamená kontroly koreňov na prítomnosť cudzích medzi nimi, aby sme ich vylúčili z odpovede.

Cudzie korene rovnice, definícia, príklady

Školské učebnice algebry nedefinujú cudzí koreň. Tam sa myšlienka cudzieho koreňa tvorí opisom nasledujúcej situácie: pomocou niektorých transformácií rovnice sa uskutoční prechod z pôvodnej rovnice na rovnicu - dôsledok, korene výslednej rovnice - sa nájde dôsledok a nájdené korene sa skontrolujú dosadením do pôvodnej rovnice, čo ukazuje, že niektoré nájdené korene nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, tieto korene sa nazývajú cudzie korene pre pôvodnú rovnicu.

Na základe tohto základu si môžete vziať nasledujúcu definíciu cudzieho koreňa:

Definícia

cudzie korene sú korene rovnice-následku získanej ako výsledok transformácií, ktoré nie sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Vezmime si príklad. Uvažujme rovnicu a dôsledok tejto rovnice x·(x−1)=0 , získaný nahradením výrazu výrazom x·(x−1), ktorý sa mu identicky rovná. Pôvodná rovnica má jeden koreň 1 . Rovnica získaná ako výsledok transformácie má dva korene 0 a 1 . Takže 0 je cudzí koreň pre pôvodnú rovnicu.

Príčiny možného vzhľadu cudzích koreňov

Ak sa na získanie rovnice dôsledkov nepoužijú žiadne „exotické“ transformácie, ale použijú sa iba základné transformácie rovníc, potom môžu vzniknúť cudzie korene iba z dvoch dôvodov:

• z dôvodu rozšírenia ODZ a
• pretože obe strany rovnice sú umocnené na rovnakú párnu mocninu.

Tu je potrebné pripomenúť, že dochádza najmä k expanzii ODZ v dôsledku transformácie rovnice

• Pri redukcii frakcií;
• Pri výmene produktu s jedným alebo viacerými nulovými faktormi nulou;
• Pri nahradení nuly zlomkom s nulovým čitateľom;
• Pri použití niektorých vlastností mocnin, koreňov, logaritmov;
• Pri použití niektorých goniometrických vzorcov;
• Pri vynásobení oboch častí rovnice rovnakým výrazom, ktorý pre túto rovnicu zaniká na ODZ;
• Pri uvoľnení v procese riešenia znakov logaritmov.

Príklad z predchádzajúceho odseku článku ilustruje výskyt cudzieho koreňa v dôsledku expanzie ODZ, ku ktorému dochádza pri prechode z rovnice na rovnicu dôsledkov x·(x−1)=0 . ODZ pre pôvodnú rovnicu je množina všetkých reálnych čísel okrem nuly, ODZ pre výslednú rovnicu je množina R, to znamená, že ODZ je rozšírená o číslo nula. Toto číslo sa nakoniec ukáže ako cudzí koreň.

Uvedieme tiež príklad výskytu cudzieho koreňa v dôsledku zvýšenia oboch častí rovnice na rovnakú párnu mocninu. Iracionálna rovnica má jediný koreň 4 a dôsledok tejto rovnice, získaný z nej kvadratúrou oboch častí rovnice, teda rovnica , má dva korene 1 a 4 . Z toho je vidieť, že kvadratúra oboch strán rovnice viedla k objaveniu sa cudzieho koreňa pre pôvodnú rovnicu.

Všimnite si, že rozšírenie ODZ a zvýšenie oboch častí rovnice na rovnakú rovnomernú silu nevedie vždy k objaveniu sa cudzích koreňov. Napríklad pri prechode z rovnice na dôsledkovú rovnicu x=2 sa ODZ rozšíri z množiny všetkých nezáporných čísel na množinu všetkých reálnych čísel, ale cudzie korene sa neobjavia. 2 je jediným koreňom prvej aj druhej rovnice. Počas prechodu z rovnice na dôsledok rovnice sa tiež neobjavujú žiadne cudzie korene. Jediný koreň prvej aj druhej rovnice je x=16 . Preto nehovoríme o príčinách výskytu cudzích koreňov, ale o dôvodoch možného výskytu cudzích koreňov.

Čo je to odstraňovanie cudzích koreňov?

Pojem „odstránenie cudzích koreňov“ možno nazvať len ustáleným pojmom, nenachádza sa vo všetkých učebniciach algebry, ale je intuitívny, preto sa bežne používa. Čo znamená preosievanie cudzích koreňov, je zrejmé z nasledujúcej vety: „...overenie je povinným krokom pri riešení rovnice, ktorý pomôže odhaliť cudzie korene, ak nejaké existujú, a vyradiť ich (zvyčajne hovoria „vytrhnúť ”)”.

Touto cestou,

Definícia

Odburiňovanie cudzích koreňov je detekcia a odmietnutie cudzích koreňov.

Teraz môžete prejsť na spôsoby, ako odstrániť cudzie korene.

Metódy odstraňovania burín z cudzích koreňov

Kontrola náhrady

Hlavným spôsobom, ako odstrániť cudzie korene, je kontrola substitúcie. Umožňuje vám vyradiť cudzie korene, ktoré by mohli vzniknúť tak v dôsledku rozšírenia ODZ, ako aj v dôsledku zvýšenia oboch častí rovnice na rovnakú rovnomernú silu.

Kontrola substitúcie je nasledovná: nájdené korene výslednej rovnice sa postupne dosadia do pôvodnej rovnice alebo do akejkoľvek rovnice jej ekvivalentnej, tie, ktoré dávajú správnu číselnú rovnosť, sú korene pôvodnej rovnice a tie, ktoré dávajú nesprávna číselná rovnosť alebo výraz, sú bezvýznamné cudzie korene pôvodnej rovnice.

Ukážeme si na príklade, ako sú cudzie korene skrínované substitúciou do pôvodnej rovnice.

V niektorých prípadoch je odstraňovanie cudzích koreňov vhodnejšie vykonať inými spôsobmi. Týka sa to najmä tých prípadov, keď je kontrola substitúcie spojená s výraznými výpočtovými ťažkosťami alebo keď štandardný spôsob riešenia rovníc určitého typu zahŕňa inú kontrolu (napríklad preosievanie cudzích koreňov pri riešení zlomkovo-racionálnych rovníc sa vykonáva podľa pod podmienkou, že menovateľ zlomku sa nerovná nule ). Poďme analyzovať alternatívne spôsoby preosievania cudzích koreňov.

Podľa ODZ

Na rozdiel od kontroly substitúcie nie je skríning cudzích koreňov pomocou ODZ vždy vhodný. Faktom je, že táto metóda vám umožňuje odfiltrovať iba cudzie korene, ktoré vznikajú v dôsledku rozšírenia ODZ, a nezaručuje odstránenie cudzích koreňov, ktoré by mohli vzniknúť z iných dôvodov, napríklad v dôsledku zvýšenia oboch častí ODZ. rovnica k rovnakej párnej mocnine . Navyše nie je vždy ľahké nájsť ODZ pre riešenú rovnicu. Metóda preosievania cudzích koreňov pomocou ODZ by sa však mala udržiavať v prevádzke, pretože jej použitie často vyžaduje menej výpočtovej práce ako použitie iných metód.

Preosievanie cudzích koreňov podľa ODZ sa vykonáva takto: všetky nájdené korene dôsledkovej rovnice sa skontrolujú, či patria do oblasti prípustných hodnôt premennej pre pôvodnú rovnicu alebo akejkoľvek rovnice jej ekvivalentnej, teda tých, ktoré patria do ODZ sú korene pôvodnej rovnice a tie z nich, ktoré nepatria do ODZ, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.

Analýza poskytnutých informácií vedie k záveru, že je vhodné vylúčiť cudzie korene podľa ODZ, ak súčasne:

• je ľahké nájsť ODZ pre pôvodnú rovnicu,
• cudzie korene by mohli vzniknúť len v dôsledku rozšírenia ODZ,
• substitučné overenie je spojené so značnými výpočtovými ťažkosťami.

Ukážeme si, ako sa v praxi vykonáva odburiňovanie cudzích koreňov.

Podľa podmienok ODZ

Ako sme povedali v predchádzajúcom odseku, ak by cudzie korene mohli vzniknúť len v dôsledku rozšírenia ODZ, potom ich možno odfiltrovať podľa ODZ pre pôvodnú rovnicu. Nie vždy je ale jednoduché nájsť ODZ vo forme číselnej sady. V takýchto prípadoch je možné vytriediť cudzie korene nie podľa ODZ, ale podľa podmienok, ktoré ODZ určujú. Vysvetlíme, ako sa vykonáva skríning cudzích koreňov podľa podmienok ODZ.

Nájdené korene sa postupne nahradia do podmienok, ktoré určujú ODZ pre pôvodnú rovnicu alebo akúkoľvek rovnicu jej ekvivalentnú. Tie z nich, ktoré spĺňajú všetky podmienky, sú koreňmi rovnice. A tie z nich, ktoré nespĺňajú aspoň jednu podmienku alebo dávajú výraz, ktorý nedáva zmysel, sú cudzie korene pôvodnej rovnice.

Uveďme príklad vytriedenia cudzích koreňov podľa podmienok ODZ.

Vylúčenie vonkajších koreňov vznikajúcich pri zvýšení oboch strán rovnice na rovnomernú moc

Je jasné, že odstránenie cudzích koreňov, ktoré vznikajú pri zvýšení oboch častí rovnice na rovnakú párnu mocninu, sa môže uskutočniť dosadením do pôvodnej rovnice alebo do akejkoľvek rovnice, ktorá je jej ekvivalentná. Takéto overenie však môže byť spojené so značnými výpočtovými ťažkosťami. V tomto prípade stojí za to poznať alternatívny spôsob odstránenia cudzích koreňov, o ktorom teraz budeme hovoriť.

Vylúčenie vonkajších koreňov, ktoré môžu vzniknúť, keď sa obe časti iracionálnych rovníc formy zvýšia na rovnakú párnu mocnosť , kde n je nejaké párne číslo, možno vykonať podľa podmienky g(x)≥0 . Vyplýva to z definície párneho koreňa: párny koreň n je nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná číslu odmocniny, odkiaľ . Hlasový prístup je teda akousi symbiózou metódy zvýšenia oboch častí rovnice na rovnakú mieru a metódy riešenia iracionálnych rovníc určením koreňa. Teda rovnica , kde n je párne číslo, sa rieši zvýšením oboch častí rovnice na rovnakú párnu mocninu a preosievanie cudzích koreňov sa vykonáva podľa podmienky g(x)≥0 prevzatej z metódy riešenia iracionálnych rovníc na určenie koreň.

Strata koreňov a cudzích koreňov pri riešení rovníc

MOU "Stredná škola č. 2 s hĺbkovým štúdiom jednotlivých predmetov" mesta Vsevolozhsk. Výskumnú prácu vypracoval žiak triedy 11 B: Vasiliev Vasilij. Vedúci projektu: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Rovnica Na začiatok zvážte rôzne spôsoby riešenia tejto rovnice sinx+cosx =- 1

Riešenie #1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Odpoveď: +2

Riešenie č. 2 sinx + cosx \u003d - 1 i Odpoveď: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + \u003d 0 sin cos + \u003d 0 cos (cos + sin) \u003d 0 cos \u003d 0 cos + sin \u003d 1 \u003d + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Riešenie #3 i y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Odpoveď:

sinx+cosx =-1 Riešenie č. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Odpoveď: - + 2 n

Porovnávame riešenia Správne riešenia Poďme zistiť, v ktorých prípadoch sa môžu objaviť cudzie korene a prečo #2 Odpoveď: +2 #3 Odpoveď: #4 Odpoveď: + 2 n #1 Odpoveď: +2

Overenie riešenia Musím vykonať overenie? Skontrolujte korene len v prípade, pre spoľahlivosť? To je samozrejme užitočné, keď sa to dá ľahko nahradiť, ale matematici sú racionálni ľudia a nerobia zbytočné akcie. Zvážte rôzne prípady a pamätajte, kedy je overenie skutočne potrebné.

1. Najjednoduchšie hotové vzorce c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a Pri používaní takýchto vzorcov si však treba uvedomiť podmienky, za ktorých sa môžu aplikovať. Napríklad vzorec = možno použiť za podmienky a 0, -4ac 0 A najväčšou chybou je odpoveď x= arccos2+2 pre rovnicu cosx =2, pretože vzorec x= arccos a +2 možno použiť iba pre korene rovnice cosx = a, kde | a | jeden

2. Transformácie Pri riešení rovníc často musíte vykonať veľa transformácií. Ak je rovnica nahradená novou rovnicou, ktorá má všetky korene predchádzajúcej, a transformovaná tak, aby nedošlo k strate alebo získaniu koreňov, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné. 1. Pri prenose zložiek rovnice z jednej časti do druhej. 2. Pridaním rovnakého čísla do oboch častí. 3. Pri vynásobení oboch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom. štyri . Pri použití identít, ktoré sú pravdivé na množine všetkých reálnych čísel. V tomto prípade sa overenie nevyžaduje!

Nie každá rovnica sa však dá vyriešiť ekvivalentnými transformáciami. Častejšie je potrebné aplikovať nerovnaké transformácie. Takéto transformácie sú často založené na použití vzorcov, ktoré nie sú pravdivé pre všetky skutočné hodnoty. V tomto prípade sa mení najmä doména definície rovnice. Táto chyba je v riešení #4. Budeme analyzovať chybu, ale najprv sa znova pozrieme na riešenie číslo 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Chyba spočíva vo vzorci sin2x= Môžete použiť tento vzorec, ale mali by ste dodatočne skontrolovať či ide o čísla odmocniny tvaru +, pre ktoré tg nie je definované. Teraz je jasné, že v roztoku dochádza k strate koreňov. Poďme to dotiahnuť do konca.

Riešenie #4 i y x 0 1 Skontrolujte čísla = + n dosadením: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Takže x= +2 n je koreň rovnice Odpoveď: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Zvažovali sme jeden zo spôsobov, ako stratiť korene, v matematike ich je veľa, takže sa musíte rozhodnúť opatrne a pamätať si na všetky pravidlá. Tak ako môžete stratiť korene rovnice, môžete pri jej riešení aj získať ďalšie. Pozrime sa na riešenie č. 3, ktoré urobilo takúto chybu.

Riešenie #3 i y x 0 1 2 2 a extra korene! Cudzie korene sa mohli objaviť, keď boli obe strany rovnice odmocnené. V tomto prípade musíte skontrolovať. Pre n=2k máme sin k+cos k=-1; cos k=-1 pre k=2m-1 , Potom n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Odpoveď: +2 Pre n=2k+1 máme sin + cos =- 1 hriech(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 pre k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Zvažovali sme teda niekoľko možných prípadov, ktorých je veľmi veľa. Snažte sa nestrácať čas a nerobiť hlúpe chyby.

ZUBY. Zuby stavovcov v ich štruktúre a vývoji sú úplne podobné plakoidným šupinám, ktoré pokrývajú celú kožu žraločích rýb. Keďže celá ústna dutina a čiastočne aj hltanová dutina je vystlaná ektodermálnym epitelom, typickým plakoidom ... ...

PĽÚCNA TUBERKULÓZA- TUBERKULÓZA PĽÚC. Obsah: I. Patologická anatómia ........... 110 II. Klasifikácia pľúcnej tuberkulózy.... 124 III. Klinika ...................... 128 IV. Diagnóza ................... 160 V. Prognóza .................... 190 VI. Liečba… Veľká lekárska encyklopédia

OTRAVA- OTRAVA. Otrava sa chápe ako „poruchy funkcií zvierat. organizmy spôsobené exogénnymi alebo endogénnymi, chemicky alebo fyzikálno-chemicky aktívnymi látkami, ktoré sú cudzie z hľadiska kvality, množstva alebo koncentrácie ... ... Veľká lekárska encyklopédia

Nodulové baktérie strukovín- Paleontologické dôkazy naznačujú, že najstaršie strukoviny, ktoré mali uzliny, boli niektoré rastliny patriace do skupiny Eucaesalpinioideae. V moderných druhoch strukovín sa našli uzliny ... Biologická encyklopédia

Zoznam epizód animovaného seriálu "Luntik"- V tomto článku chýbajú odkazy na zdroje informácií. Informácie musia byť overiteľné, inak môžu byť spochybnené a odstránené. Môžete ... Wikipedia

RASTLINA A ŽIVOTNÉ PROSTREDIE- Život rastliny, ako každého iného živého organizmu, je komplexný súbor vzájomne súvisiacich procesov; najvýznamnejšou z nich, ako je známe, je výmena látok s prostredím. Životné prostredie je zdrojom, z ktorého ... ... Biologická encyklopédia

Zoznam epizód seriálu "Luntik"- Hlavný článok: Dobrodružstvá Luntika a jeho priateľov Obsah 1 Počet epizód 2 Zoznam epizód animovaného seriálu Luntik a jeho priatelia ... Wikipedia

Choroby ovocných stromov- Ovocné stromy by v dôsledku neustálej starostlivosti o človeka mali dosahovať oveľa vyšší vek ako ich nekultivovaní príbuzní, nebyť protichodných vplyvov mnohých podmienok samotnej kultúry, konkrétne požiadaviek, ktoré kladieme ... . .

výrub lesa- V. lesy, alebo ťažba lesných príjmov vo forme dreva a kôry, sa dá robiť dvojakým spôsobom: vykopávaním alebo vyklčovaním celých stromov, teda kmeňov spolu s koreňmi, alebo samostatne, po častiach, najprv spadnú. , alebo sú odstránené z ...... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

cent- (poľský groš, z nem. Groschen, z latinského grossus (dēnārius) "hustý denár") minca rôznych krajín a dôb. Obsah 1 Vzhľad penny ... Wikipedia

americké mince- 20 dolárov St.Gaudens je najkrajšia a najdrahšia minca USA.Americké mince razené v americkej mincovni. Vydávané od roku 1792 ... Wikipedia

knihy

• Hlavné príčiny vypadávania vlasov u žien, Alexey Michman, Šesť z desiatich žien trpí v určitom okamihu svojho života problémom vypadávania vlasov. Vypadávanie vlasov môže nastať z mnohých dôvodov, ako je dedičnosť, hormonálne zmeny v... Kategória:

V minulej lekcii sme pri riešení rovníc použili tri stupne.

Prvá etapa je technická. Pomocou reťazca transformácií z pôvodnej rovnice sa dostaneme k celkom jednoduchej, ktorú vyriešime a nájdeme korene.

Druhou fázou je analýza riešenia. Analyzujeme transformácie, ktoré sme vykonali, a zistíme, či sú ekvivalentné.

Treťou fázou je overenie. Kontrola všetkých nájdených koreňov ich dosadením do pôvodnej rovnice je povinná pri vykonávaní transformácií, ktoré môžu viesť k výslednej rovnici

Je pri riešení rovnice vždy potrebné rozlišovať tri stupne?

Samozrejme, že nie. Ako napríklad pri riešení tejto rovnice. V každodennom živote zvyčajne nie sú izolované. Všetky tieto fázy však treba „zapamätať“ a vykonať v tej či onej forme. Nezabudnite analyzovať ekvivalenciu transformácií. A ak analýza ukázala, že je potrebné vykonať kontrolu, potom je to potrebné. V opačnom prípade rovnicu nemožno považovať za správne vyriešenú.

Je vždy možné skontrolovať korene rovnice iba substitúciou?

Ak sa pri riešení rovnice použili ekvivalentné transformácie, overenie sa nevyžaduje. Pri kontrole koreňov rovnice sa veľmi často používa ODZ (rozsah prijateľných hodnôt), ak je ťažké skontrolovať ODZ, potom sa vykoná dosadením do pôvodnej rovnice.

Cvičenie 1

Vyriešte rovnicu druhá odmocnina z dvoch x plus tri sa rovná jedna plus x.

Riešenie

Rovnica ODZ je definovaná systémom dvoch nerovností: dve x plus tri sú väčšie alebo rovné nule a jedna plus x je väčšie alebo rovné nule. Riešenie je x väčšie alebo rovné mínus jedna.

Odmocníme obe strany rovnice, prenesieme členy z jednej strany rovnice na druhú, pridáme rovnaké členy, dostaneme kvadratickú rovnicu x na druhú sa rovná dva. Jeho korene sú

x prvý, druhý sa rovná plus alebo mínus druhej odmocnine z dvoch.

Vyšetrenie

Hodnota x prvého sa rovná druhej odmocnine z dvoch je koreňom rovnice, pretože je zahrnutá v DPV.
Hodnota x sekundy je mínus druhá odmocnina z dvoch nie je koreňom rovnice, pretože nie je zaradený do ODZ.
Skontrolujeme, či sa odmocnina x rovná druhej odmocnine z dvoch, dosadením do pôvodnej rovnosti dostaneme

skutočná rovnosť, takže x rovné druhej odmocnine z dvoch je koreňom rovnice.

Odpoveď: druhá odmocnina z dvoch.

Úloha 2

Vyriešte rovnicu druhá odmocnina z x mínus osem sa rovná päť mínus x.

Riešenie

ODZ iracionálnej rovnice je určená systémom dvoch nerovností: x mínus osem je väčšie alebo rovné nule a päť mínus x je väčšie alebo rovné nule. Keď to vyriešime, zistíme, že tento systém nemá žiadne riešenia. Koreňom rovnice nemôže byť žiadna z hodnôt premennej x.

Odpoveď: žiadne korene.

Úloha 3

Vyriešte rovnicu druhá odmocnina z x na kocky plus štyri x mínus jedna mínus osem druhých odmocnín z x na štvrtú mocninu mínus x sa rovná druhej odmocnine x na kocky mínus jedna plus dve odmocniny x.

Riešenie

Nájsť ODZ v tejto rovnici je dosť ťažké.

Urobme transformácie: odmocnime obe strany tejto rovnice,

prenesieme všetky členy na ľavú stranu rovnice a prinesieme podobné členy, napíšeme dva korene pod jeden, dostaneme ako radikály, dáme rovnaké jednotky, vydelíme faktorom mínus 12 a rozložíme koreňový výraz na faktory, dostaneme rovnica vo forme súčinu dvoch faktorov rovných nule. Pri jeho riešení nájdeme korene:

x prvé sa rovná jednej, x druhé sa rovná nule.

Keďže sme obe časti rovnice zvýšili na rovnomernú moc, kontrola koreňov je povinná.

Vyšetrenie

Ak sa x rovná jednej, potom

dostaneme správnu rovnosť, čo znamená, že x rovné jednej je koreňom rovnice.

Ak x je nula, potom druhá odmocnina mínus jedna nie je definovaná.

Preto x rovné nule je cudzí koreň.

Odpoveď: jeden.

Úloha 4

Vyriešte rovnicu pre logaritmus x na druhú plus päť x plus dva základ dva sa rovná tri.

Riešenie

Poďme nájsť rovnicu ODZ. Aby sme to dosiahli, riešime nerovnosť x štvorec plus päť x plus dva väčšiu ako nula.

Nerovnosť riešime metódou intervalov. Aby sme to dosiahli, rozložíme jeho ľavú stranu na faktory, keď sme predtým vyriešili kvadratickú rovnicu a berúc do úvahy znamienko nerovnosti, určíme ODZ. ODZ sa rovná spojeniu otvorených lúčov od mínus nekonečna po mínus zlomok päť plus druhá odmocnina zo sedemnástich delená dvomi a od mínus zlomku päť mínus druhá odmocnina zo sedemnástich delená dvomi až plus nekonečno.

Teraz začnime hľadať korene rovnice. Vzhľadom na to, že tri sa rovná logaritmu ôsmich k základu dvoch, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare: logaritmus výrazu x na druhú plus päť x plus dva k základu dva sa rovná logaritmu výrazu osem k základu dva. základ dva. Zosilníme rovnicu, získame a vyriešime kvadratickú rovnicu.

Diskriminant je štyridsaťdeväť.

Vypočítame korene:

x prvé sa rovná mínus šesť; X sekundy sa rovná jednej.

Vyšetrenie

Mínus šesť patrí ODZ, jedna patrí ODZ, čo znamená, že obe čísla sú koreňmi rovnice.

Odpoveď: mínus šesť; jeden.

V poslednej lekcii sme zvážili otázku vzhľadu cudzích koreňov. Môžeme ich odhaliť kontrolou. Je možné stratiť korene pri riešení rovnice a ako tomu zabrániť?

Pri vykonávaní takýchto akcií na rovnici, ako je po prvé, delenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom ax z x (okrem prípadov, keď je s istotou známe, že ax z x sa nerovná nule pre žiadne x z x). doména rovnice);

po druhé, zúženie rovnice ODZ v procese riešenia môže viesť k strate koreňov rovnice.

Pamätajte!

Rovnica napísaná vo forme

ef z x vynásobené popolom z x sa rovná zhe z x vynásobené popolom z x sa rieši takto:

je potrebné faktorizovať vyňatím spoločného činiteľa zo zátvoriek;

potom sa každý faktor rovná nule, čím sa získajú dve rovnice.

Vypočítame ich korene.

Cvičenie 1

Vyriešte rovnicu x kocka sa rovná x.

Prvý spôsob

Obidve strany tejto rovnice vydelíme x, dostaneme x na druhú rovná jednej, pričom korene x sú najprv rovné jednej,

X sekundy sa rovná mínus jedna.

Druhý spôsob

x kocka sa rovná x. Presuňme x na ľavú stranu rovnice, vyberieme x zo zátvoriek, dostaneme: x krát x na druhú, mínus jedna sa rovná nule.

Vypočítajme jeho korene:

X prvý sa rovná nule, x druhý sa rovná jednej, x tretí sa rovná mínus jedna.

Rovnica má tri korene.

Pri riešení prvým spôsobom sme stratili jeden koreň - x sa rovná nule.

Odpoveď: mínus jedna; nula; jeden.

Pamätajte! Zníženie oboch strán rovnice o faktor obsahujúci neznámu môže viesť k strate koreňov.

Úloha 2

Vyriešte rovnicu desiatkový logaritmus x na druhú je dva.

Riešenie

Prvý spôsob

Definíciou logaritmu dostaneme kvadratickú rovnicu x na druhú sa rovná sto.

Jeho korene: x sa najprv rovná desiatim; x sekunda sa rovná mínus desať.

Druhý spôsob

Podľa vlastnosti logaritmu máme dva desiatkové logaritmy x sa rovná dvom.

Jeho koreň - x sa rovná desiatim

Pri druhej metóde došlo k strate x-rootu rovnajúcej sa mínus desiatim. A dôvodom je, že použili nesprávny vzorec, čím sa zúžil rozsah rovnice. Výraz desiatkový logaritmus x na druhú je definovaný pre všetky x okrem x rovné nule. Výraz desiatkový logaritmus x je pre x väčší ako nula. Správny vzorec je desiatkový logaritmus x na druhú sa rovná dvom desiatkovým logaritmom modulo x.

Pamätajte! Pri riešení rovnice správne aplikujte dostupné vzorce.