Napríklad postupnosť \(2\); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \(14\)… je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním troch):

V tejto postupnosti je rozdiel \(d\) kladný (rovná sa \(3\)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\(d\) však môže byť aj záporné číslo. Napríklad, v aritmetickej postupnosti \(16\); \(desať\); \(štyri\); \(-2\); \(-8\)… rozdiel postupu \(d\) sa rovná mínus šesť.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Čísla, ktoré tvoria progresiu, sa nazývajú členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetický postup, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetická postupnosť \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) pozostáva z prvkov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \(a_n = \vľavo\(2; 5; 8; 11; 14…\vpravo\)\)

Riešenie problémov s aritmetickým postupom

Vyššie uvedené informácie už v zásade postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetická postupnosť je daná podmienkami \(b_1=7; d=4\). Nájsť \(b_5\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_5=23\)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \(62; 49; 36…\) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto postupnosti.
Riešenie:

	Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \(d=49-62=-13\).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k požadovanému (prvému negatívnemu) prvku.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \(...5; x; 10; 12,5...\) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \(x\).
Riešenie:

	Aby sme našli \(x\), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami, progresívny rozdiel. Nájdeme to z dvoch známych susedných prvkov: \(d=12,5-10=2,5\).
	A teraz bez problémov nájdeme to, čo hľadáme: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný nasledujúcimi podmienkami: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:

	Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou nám daného: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Požadovaná suma bola nájdená.

odpoveď: \(S_6=9\).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Nájdite rozdiel tohto postupu.
Riešenie:

odpoveď: \(d=7\).

Dôležité vzorce aritmetického postupu

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci – že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).

Niekedy však existujú situácie, keď je veľmi nepohodlné rozhodnúť sa "na čelo". Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \(b_5\), ale tristoosemdesiaty šiesty \(b_(386)\). Čo je to, musíme \ (385 \) krát pridať štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Počítanie je mätúce...

Preto v takýchto prípadoch neriešia „na čelo“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \(n\) prvých členov.

Vzorec pre \(n\)-tý člen: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kde \(a_1\) je prvý člen postupnosti;
\(n\) – číslo požadovaného prvku;
\(a_n\) je členom postupnosti s číslom \(n\).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotinu, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý prvok a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je daný podmienkami: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Nájdite \(b_(246)\).
Riešenie:

odpoveď: \(b_(246)=1850\).

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kde

\(a_n\) je posledný sčítaný člen;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami \(a_n=3,4n-0,6\). Nájdite súčet prvých \(25\) členov tejto postupnosti.
Riešenie:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (pozri podrobnosti). Vypočítajme prvý prvok nahradením \(n\) jedným.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Teraz nájdime dvadsiaty piaty člen dosadením dvadsaťpäť namiesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Teraz bez problémov vypočítame požadovanú sumu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(25)=1090\).

Pre súčet \(n\) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namiesto \(a_n\) dosaďte vzorec \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kde

\(S_n\) – požadovaný súčet \(n\) prvých prvkov;
\(a_1\) je prvý člen, ktorý sa má sčítať;
\(d\) – progresívny rozdiel;
\(n\) - počet prvkov v súčte.

Príklad. Nájdite súčet prvých \(33\)-ex členov aritmetickej postupnosti: \(17\); \(15,5\); \(štrnásť\)…
Riešenie:

odpoveď: \(S_(33)=-231\).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Dokončite tému úvahami o problémoch, v ktorých musíte nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Riešenie:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme riešiť rovnakým spôsobom: najprv nájdeme \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Teraz by sme do vzorca pre súčet dosadili \(d\) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \(n\). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? Zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. Ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \(a_n=a_1+(n-1)d\) pre náš prípad.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Potrebujeme, aby \(a_n\) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, pre čo \(n\) sa to stane.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strany nerovnosti vydelíme \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenášame mínus jedna, pričom nezabúdame na zmenu značiek
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Výpočtový...
\(n>65 333…\)		…a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \(66\). Podľa toho má posledný zápor \(n=65\). Pre každý prípad, poďme sa na to pozrieť.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Preto musíme pridať prvých \(65\) prvkov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \(S_(65)=-630,5\).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je daný podmienkami: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Nájdite súčet od \(26\)-tého do \(42\) prvku vrátane.
Riešenie:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \(26\)-ého. Nemáme na to vzorec. Ako sa rozhodnúť? Jednoduché – ak chcete získať súčet od \(26\)-tej do \(42\)-tej, musíte najprv nájsť súčet od \(1\)-tej do \(42\)-tej a potom od nej odčítať súčet od prvý až \ (25 \) tý (pozri obrázok).
	Pre náš postup \(a_1=-33\) a rozdiel \(d=4\) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \(42\)-uh prvkov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Teraz súčet prvých \(25\)-tých prvkov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	A nakoniec vypočítame odpoveď.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odpoveď: \(S=1683\).

Pre aritmetický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.

Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Písmenové indexy, n-tý člen progresie, rozdiel progresie - to všetko je nejako mätúce, áno ... Poďme zistiť význam aritmetického postupu a všetko bude fungovať hneď.)

Pojem aritmetická progresia.

Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. Pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.

Napíšem nedokončenú sériu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Môžete predĺžiť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... ehm ..., skrátka každý príde na to, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.

Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Môžete zachytiť vzor, ​​predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?

Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak nerozumiete, čítajte ďalej.

Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)

Prvý kľúčový bod.

Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, zostavovať grafy a tak ďalej ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...

Je to v poriadku. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Series" a pracuje s radmi čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)

Druhý kľúčový bod.

V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.

V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhej - tri. Akékoľvek číslo je trikrát väčšie ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.

Tretí kľúčový bod.

Tento moment nie je nápadný, áno... Ale veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak si ich náhodne popletiete, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Je to len séria čísel.

To je celá podstata.

V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a zápisy. Potrebujú vedieť. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:

Napíšte prvých šesť členov aritmetickej progresie (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a zápisu. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.

Termíny a označenia.

Aritmetický postup je rad čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.

Táto hodnota sa nazýva . Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.

Rozdiel aritmetického postupu.

Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac ten predchádzajúci.

Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo postupu pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.

Na výpočet, povedzme druhýčísla riadku, je potrebné najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať do štvrtý dobre, atď.

Rozdiel aritmetického postupu možno pozitívne potom sa každé číslo série ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu je každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.

Rozdiel môže byť negatívne potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.

Napríklad:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.

Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha zorientovať sa v rozhodovaní, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.

Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.

Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva "rozdiel".)

Definujme si napr. d pre rastúci aritmetický postup:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo tie. osem:

Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.

Môžete len vziať ľubovoľný počet progresií, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu žiadne predchádzajúce.)

Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pridáme 3 - dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pridáme tri, dostaneme siedme číslo - dvadsať.

Poďme definovať d pre klesajúci aritmetický postup:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľný počet progresie, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné.

Iné termíny a označenia.

Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.

Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý člen, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete ...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie- prísne v poriadku!

Ako napísať progresiu vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa spravidla používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členovia sa píšu oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1 je prvé číslo a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).

Existujú progresie konečný a nekonečný.

konečný postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.

Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)

Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetci členovia a bodka na konci:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Alebo takto, ak je veľa členov:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:

(a n), n = 20

Nekonečný postup možno rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.

Teraz už môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.

Príklady úloh na aritmetický postup.

Pozrime sa bližšie na vyššie uvedenú úlohu:

1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.

Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Vzhľadom na nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Známy rozdiel v postupe: d = -2,5. Musíme nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.

Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť členov, pričom druhý člen je päť:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Vo výraze dosadíme a 2 = 5 a d = -2,5. Nezabudnite na mínus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnotu, takže samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Takže termíny od tretieho do šiesteho boli vypočítané. Výsledkom bola séria:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, a zobrať:

1 = a 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je všetko. Odpoveď na úlohu:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Na okraj podotýkam, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie o predchádzajúce (susedné) číslo. O ďalších spôsoboch práce s progresiou sa bude diskutovať neskôr.

Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.

Pamätajte:

Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.

Pamätáte si? Tento jednoduchý záver nám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.

Samozrejme, že všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú pripojené k postupu. ale podľa progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.

Zvážte napríklad niektoré populárne úlohy na túto tému.

2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n=5, d=0,4 a a 1=3,6.

Všetko je tu jednoduché. Všetko je už dané. Musíte si pamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. Je vhodné nepreskakovať slová v podmienke úlohy: „final“ a „ n=5". Aby ste nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Zostáva napísať odpoveď:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ďalšia úloha:

3. Určte, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kto vie? Ako niečo definovať?

Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či bude sedmička alebo nie! My veríme:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.

odpoveď: nie.

A tu je úloha založená na skutočnej verzii GIA:

4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:

...; pätnásť; X; 9; 6; ...

Tu je séria bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo môžeme vedieť z tohto riadku? Aké sú parametre troch hlavných?

Čísla členov? Nie je tu ani jedno číslo.

Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "za sebou" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, existuje! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:

Zostávajú voľné miesta. Aké číslo bude predchádzajúce pre x? Pätnásť. Takže x sa dá ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. K 15 pridajte rozdiel aritmetického postupu:

To je všetko. odpoveď: x=12

Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto hádanky nie sú určené na vzorce. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.

5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.

6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.

7. Je známe, že v aritmetickej progresii a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Nájdite 3.

8. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.

9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu, pričom svoju rýchlosť postupne zvyšoval o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.

10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a6 = -5. Nájdite 1.

Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; štyri.

Všetko vyšlo? úžasné! V nasledujúcich lekciách sa môžete naučiť aritmetický postup na vyššej úrovni.

Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej sekcii 555 sú všetky tieto problémy rozobrané na kúsky.) A samozrejme je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite zvýrazní riešenie takýchto úloh jasne, zreteľne, ako na dlani!

Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden - čisto podľa postupu a druhý - spoločný pre všetky úlohy z matematiky a fyziky. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.

V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam napíšte sériu, všetko sa rozhodne.

Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kúsky série, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú komplikovanejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude oveľa horší.)

A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov úplne absurdné, napríklad:

Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

A čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Je možné sa zabiť!?

Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa budeme zaoberať aritmetickým postupom a príkladmi s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné uviesť definíciu uvažovaného postupu, ako aj uviesť základné vzorce, ktoré sa budú ďalej používať pri riešení problémov.

Je známe, že v niektorých algebraických postupnostiach sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohto výrazu ľahko vypočítate rozdiel: d = (18 - 6) / 6 = 2. Prvá časť úlohy bola teda zodpovedaná.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej postupnosti, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.

Príklad č. 3: Progresia

Poďme si ešte viac skomplikovať stav problému. Teraz musíte odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú dané dve čísla, napríklad 4 a 5. Je potrebné urobiť algebraickú postupnosť tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Pred začatím riešenia tohto problému je potrebné pochopiť, aké miesto budú dané čísla zaujímať v budúcom postupe. Keďže medzi nimi budú ešte tri výrazy, potom 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Po zistení pristúpime k úlohe, ktorá je podobná predchádzajúcej. Opäť, pre n-tý člen, použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Rozdiel tu nie je celočíselná hodnota, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 ktorá sa zhodovala so stavom problému.

Príklad č. 4: Prvý člen postupu

Pokračujeme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešením. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme úlohu iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, od ktorého čísla táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť a 1 a d. V stave problému nie je o týchto číslach nič známe. Vypíšme si však výrazy pre každý výraz, o ktorom máme informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Zadaný systém je najjednoduchšie vyriešiť, ak v každej rovnici vyjadríte 1 a potom porovnáte výsledné výrazy. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (uvedené sú iba 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov pre 1 . Napríklad prvý: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ak sú o výsledku pochybnosti, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. člen progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: Suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami súčtu aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená postupne sčítať všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel je 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštne, že tento problém sa nazýva „gausovský“, keďže začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte vo veku len 10 rokov, dokázal vyriešiť v mysli za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate dvojice čísel na okrajoch postupnosti, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14.

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže výrazov je málo, táto metóda nie je dostatočne prácna. Napriek tomu sa navrhuje riešiť tento problém druhou metódou, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že súčet 2 zahŕňa aj prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pridáme k nemu člen a m (v prípade zobratia rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Skôr ako začnete riešiť niektorý z týchto problémov, odporúča sa pozorne si prečítať podmienku, jasne pochopiť, čo chcete nájsť, a až potom pristúpiť k riešeniu.

Ďalším tipom je snažiť sa o jednoduchosť, to znamená, že ak dokážete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte všeobecnú úlohu na samostatné podúlohy (v tomto prípade najskôr nájdite výrazy a n a a m).

Ak existujú pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých z uvedených príkladov. Ako nájsť aritmetickú progresiu, zistilo sa. Keď na to prídete, nie je to také ťažké.

Aritmetický postup pomenovať postupnosť čísel (členov postupnosti)

V ktorom sa každý nasledujúci člen líši od predchádzajúceho oceľovým členom, ktorý sa nazýva aj krokový alebo postupový rozdiel.

Takže nastavením kroku progresie a jej prvého členu môžete pomocou vzorca nájsť ktorýkoľvek z jeho prvkov

Vlastnosti aritmetického postupu

1) Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým číslom, je aritmetickým priemerom predchádzajúceho a nasledujúceho člena postupu

Opak je tiež pravdou. Ak sa aritmetický priemer susedných nepárnych (párnych) členov postupnosti rovná prvku, ktorý stojí medzi nimi, potom je táto postupnosť čísel aritmetickou postupnosťou. Týmto tvrdením je veľmi ľahké skontrolovať akúkoľvek sekvenciu.

Tiež vďaka vlastnosti aritmetickej progresie možno vyššie uvedený vzorec zovšeobecniť na nasledujúce

Dá sa to ľahko overiť, ak výrazy napíšeme napravo od znamienka rovnosti

V praxi sa často používa na zjednodušenie výpočtov v problémoch.

2) Súčet prvých n členov aritmetickej progresie sa vypočíta podľa vzorca

Dobre si zapamätajte vzorec pre súčet aritmetickej progresie, je nevyhnutný pri výpočtoch a je celkom bežný v jednoduchých životných situáciách.

3) Ak potrebujete nájsť nie celý súčet, ale časť postupnosti od jej k-tého člena, bude sa vám hodiť nasledujúci súčtový vzorec

4) Je praktické nájsť súčet n členov aritmetickej postupnosti od k-tého čísla. Ak to chcete urobiť, použite vzorec

Tu teoretická látka končí a prechádzame k riešeniu problémov, ktoré sú v praxi bežné.

Príklad 1. Nájdite štyridsiaty člen aritmetickej postupnosti 4;7;...

Riešenie:

Podľa stavu máme

Definujte krok postupu

Podľa známeho vzorca nájdeme štyridsiaty člen progresie

Príklad2. Aritmetický postup je daný jeho tretím a siedmym členom. Nájdite prvý člen postupu a súčet desiatich.

Riešenie:

Dané prvky postupnosti zapisujeme podľa vzorcov

Odčítame prvú rovnicu od druhej rovnice, ako výsledok nájdeme krok postupu

Nájdená hodnota sa dosadí do ktorejkoľvek z rovníc, aby sa našiel prvý člen aritmetickej progresie

Vypočítajte súčet prvých desiatich členov progresie

Bez použitia zložitých výpočtov sme našli všetky požadované hodnoty.

Príklad 3. Aritmetický postup je daný menovateľom a jedným z jeho členov. Nájdite prvý člen postupnosti, súčet jeho 50 termínov od 50 a súčet prvých 100.

Riešenie:

Napíšme vzorec pre stý prvok postupu

a nájsť prvé

Na základe prvého nájdeme 50. termín progresie

Nájdenie súčtu časti progresie

a súčet prvých 100

Súčet postupu je 250.

Príklad 4

Nájdite počet členov aritmetického postupu, ak:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Riešenie:

Rovnice napíšeme z hľadiska prvého člena a kroku postupu a definujeme ich

Získané hodnoty dosadíme do súčtového vzorca, aby sme určili počet členov v súčte

Vykonávanie zjednodušení

a vyriešiť kvadratickú rovnicu

Z dvoch zistených hodnôt je pre stav problému vhodné iba číslo 8. Súčet prvých ôsmich členov progresie je teda 111.

Príklad 5

vyriešiť rovnicu

1+3+5+...+x=307.

Riešenie: Táto rovnica je súčtom aritmetickej progresie. Vypíšeme jeho prvý termín a nájdeme rozdiel v progresii

Skôr ako sa začneme rozhodovať problémy s aritmetickou progresiou, zvážte, čo je to číselná postupnosť, keďže aritmetická postupnosť je špeciálnym prípadom postupnosti čísel.

Číselná postupnosť je číselná množina, ktorej každý prvok má svoje poradové číslo. Prvky tejto množiny sa nazývajú členy postupnosti. Poradové číslo prvku sekvencie je označené indexom:

Prvý prvok sekvencie;

Piaty prvok postupnosti;

- "n-tý" prvok postupnosti, t.j. prvok „stojí v rade“ pri čísle n.

Existuje závislosť medzi hodnotou prvku sekvencie a jeho poradovým číslom. Preto môžeme postupnosť považovať za funkciu, ktorej argumentom je poradové číslo prvku postupnosti. Inými slovami, dá sa to povedať postupnosť je funkciou prirodzeného argumentu:

Postupnosť je možné určiť tromi spôsobmi:

1 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou tabuľky. V tomto prípade jednoducho nastavíme hodnotu každého člena postupnosti.

Niekto sa napríklad rozhodol urobiť si osobný time management a na začiatok vypočítať, koľko času trávi na VKontakte počas týždňa. Zapísaním času do tabuľky dostane sekvenciu pozostávajúcu zo siedmich prvkov:

Prvý riadok tabuľky obsahuje číslo dňa v týždni, druhý - čas v minútach. Vidíme, že v pondelok Niekto strávil na VKontakte 125 minút, to znamená vo štvrtok - 248 minút, a teda v piatok iba 15.

2 . Postupnosť môže byť špecifikovaná pomocou vzorca n-tého člena.

V tomto prípade je závislosť hodnoty prvku sekvencie od jeho čísla vyjadrená priamo ako vzorec.

Napríklad, ak , tak

Aby sme našli hodnotu prvku sekvencie s daným číslom, dosadíme číslo prvku do vzorca pre n-tý člen.

To isté robíme, ak potrebujeme nájsť hodnotu funkcie, ak je známa hodnota argumentu. Namiesto toho dosadíme hodnotu argumentu do rovnice funkcie:

Ak napr. , potom

Ešte raz podotýkam, že v postupnosti, na rozdiel od ľubovoľnej číselnej funkcie, môže byť argumentom iba prirodzené číslo.

3 . Postupnosť je možné špecifikovať pomocou vzorca, ktorý vyjadruje závislosť hodnoty člena postupnosti s číslom n od hodnoty predchádzajúcich členov. V tomto prípade nám na zistenie jeho hodnoty nestačí poznať iba číslo člena postupnosti. Musíme špecifikovať prvý člen alebo niekoľko prvých členov postupnosti.

Zvážte napríklad postupnosť ,

Môžeme nájsť hodnoty členov sekvencie v sekvencii, počnúc treťou:

To znamená, že vždy, keď nájdeme hodnotu n-tého člena postupnosti, vrátime sa k predchádzajúcim dvom. Tento spôsob sekvenovania sa nazýva opakujúci, z latinského slova recurro- vráť sa.

Teraz môžeme definovať aritmetickú progresiu. Aritmetická progresia je jednoduchý špeciálny prípad číselnej postupnosti.

Aritmetický postup sa nazýva číselná postupnosť, ktorej každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, sčítanému s rovnakým číslom.

Číslo sa volá rozdiel aritmetického postupu. Rozdiel aritmetického postupu môže byť kladný, záporný alebo nulový.

Ak title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zvyšujúci sa.

Napríklad 2; 5; osem; jedenásť;...

Ak , potom je každý člen aritmetickej progresie menší ako predchádzajúci a progresia je ubúdanie.

Napríklad 2; - jeden; - štyri; -7;...

Ak , potom sa všetky členy postupu rovnajú rovnakému číslu a postupnosť je stacionárne.

Napríklad 2;2;2;2;...

Hlavná vlastnosť aritmetického postupu:

Pozrime sa na obrázok.

To vidíme

, a zároveň

Pridaním týchto dvoch rovností dostaneme:

.

Vydeľte obe strany rovnice 2:

Takže každý člen aritmetickej progresie, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru dvoch susedných:

Navyše od r

, a zároveň

, potom

, a preto

Každý člen aritmetického postupu začínajúceho sa title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

členský vzorec.

Vidíme, že pre členov aritmetickej progresie platia tieto vzťahy:

a nakoniec

Máme vzorec n-tého členu.

DÔLEŽITÉ! Ktorýkoľvek člen aritmetickej progresie môže byť vyjadrený pomocou a . Keď poznáte prvý výraz a rozdiel aritmetického postupu, môžete nájsť ktoréhokoľvek z jeho členov.

Súčet n členov aritmetickej progresie.

V ľubovoľnom aritmetickom postupe sú súčty termínov rovnako vzdialené od extrémov navzájom rovnaké:

Uvažujme aritmetickú progresiu s n členmi. Nech sa súčet n členov tejto postupnosti rovná .

Usporiadajte podmienky progresie najprv vo vzostupnom poradí čísel a potom v zostupnom poradí:

Poďme to spárovať:

Súčet v každej zátvorke je , počet párov je n.

Dostaneme:

takže, súčet n členov aritmetickej progresie možno nájsť pomocou vzorcov:

Zvážte riešenie problémov aritmetického postupu.

1 . Postupnosť je daná vzorcom n-tého člena: . Dokážte, že táto postupnosť je aritmetickou progresiou.

Dokážme, že rozdiel medzi dvoma susednými členmi postupnosti sa rovná rovnakému číslu.

Zistili sme, že rozdiel dvoch susedných členov postupnosti nezávisí od ich počtu a je konštantný. Preto je podľa definície táto postupnosť aritmetickou progresiou.

2 . Daná aritmetická progresia -31; -27;...

a) Nájdite 31 podmienok postupu.

b) Určte, či je číslo 41 zahrnuté v tomto postupe.

a) Vidíme to;

Zapíšme si vzorec pre n-tý člen našej postupnosti.

Všeobecne

V našom prípade , preto