A.V. Glasco

PREDNÁŠKY Z MATEMATICKÉHO ROZBORU

"ZÁKLADNÉ FUNKCIE A LIMITY"

Moskva, MSTU im. N.E. Bauman

§jedna. logická symbolika.

Pri písaní matematických výrazov budeme používať nasledujúce logické symboly:

	Význam		Význam
			Pre kohokoľvek, pre každého, pre každého (od
			Existuje, existuje, existuje (existuje)
			znamená, nasleduje (preto)
			Ekvivalentne vtedy a len vtedy,
			potrebné a dostatočné
Takže ak A a B sú nejaké návrhy, potom

			Význam
			A alebo B (alebo A alebo B, alebo A aj B)
			Pre ľubovoľné x máme A
			Existuje x, pre ktoré platí A
			Z A nasleduje B (ak je pravda A, potom je pravda B)
(implicita)
			A je ekvivalentné B, A nastane vtedy a len vtedy, keď sa vyskytne B,
			A je potrebné a postačujúce pre B
	Komentujte. „A B“ znamená, že A je dostatočné pre B a B je potrebné pre A.

Príklad. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Niekedy použijeme iný špeciálny znak: A =df B.

To znamená, že A = B podľa definície.

§2. Súpravy. Prvky a časti súpravy.

Pojem množina je primárnym pojmom, nie je definovaný z hľadiska jednoduchších. Slová: súbor, rodina, súbor sú jeho synonymá.

Príklady zostáv: veľa žiakov v triede, veľa učiteľov v oddelení, veľa áut na parkovisku atď.

Primárne pojmy sú tiež pojmy nastaviť prvok a vzťahy

medzi prvkami súpravy.

Príklad. N je množina prirodzených čísel, jej prvkami sú čísla 1,2,3, ... Ak x a y sú prvky N, potom sú v jednom z nasledujúcich vzťahov: x = y, x r.

Súhlasíme s tým, že množiny budeme označovať veľkými písmenami: A, B, C, X, Y, ... a ich prvky malými písmenami: a, b, c, x, y, ...

Vzťahy medzi prvkami alebo súbormi sú označené symbolmi vloženými medzi písmená. Napríklad. Nech je A nejaká množina. Potom vzťah a A znamená, že a je prvkom množiny A. Označenie a A znamená, že a nie je prvkom množiny A.

Sada môže byť definovaná rôznymi spôsobmi. 1. Vymenovanie jeho prvkov.

Napríklad A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Určenie vlastností prvkov. Nech A je množina prvkov a s vlastnosťou p. Dá sa to zapísať ako: A=( a:p ) alebo A=( ap ).

Napríklad zápis А= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) znamená, že A je množina reálnych čísel spĺňajúcich nerovnosť x2 -1>0.

Uveďme niekoľko dôležitých definícií.

Def. Množina sa nazýva konečná, ak pozostáva z určitého konečného počtu prvkov. V opačnom prípade sa nazýva nekonečný.

Napríklad množina študentov v triede je konečná, ale množina prirodzených čísel alebo množina bodov v segmente je nekonečná.

Def. Množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok, sa nazýva prázdna a označuje sa.

Def. O dvoch množinách sa hovorí, že sú rovnaké, ak pozostávajú z toho istého

Tie. pojem množina neznamená konkrétne poradie prvkov. Def. Množina X sa nazýva podmnožina množiny Y, ak ktorýkoľvek prvok množiny X je prvkom množiny Y (v tomto prípade všeobecne nie

prvok množiny Y je prvkom množiny X). V tomto prípade sa používa označenie: X Y.

Napríklad množina pomarančov O je podmnožinou množiny plodov F : O F a množina prirodzených čísel N je podmnožinou množiny reálnych čísel R : N R .

Znaky „ “ a „ “ sa nazývajú inklúzne znaky. Každá množina sa považuje za podmnožinu samej seba. Prázdna množina je podmnožinou ľubovoľnej množiny.

Def. Volá sa akákoľvek neprázdna podmnožina B množiny A, ktorá sa nerovná A

vlastnú podmnožinu.

§ 3. Euler-Vennove diagramy. Elementárne operácie na množinách.

Množiny je vhodné znázorniť graficky ako oblasti v rovine. To znamená, že body oblasti zodpovedajú prvkom množiny. Takéto grafické znázornenia množín sa nazývajú Euler-Vennove diagramy.

Príklad. A je množina študentov MSTU, B je množina študentov v publiku. Ryža. 1 jasne ukazuje, že A B .

Euler-Vennove diagramy sú vhodné na vizuálne znázornenie elementárnych prvkov operácie na súpravách. Medzi hlavné operácie patria nasledujúce.

Ryža. 1. Príklad Euler-Vennovho diagramu.

1. Priesečník A B množín A a B je množina C, ktorá pozostáva zo všetkých prvkov patriacich súčasne do oboch množín A a B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(na obr. 2 je množina C znázornená šrafovanou oblasťou).

Ryža. 2. Priesečník množín.

2. Zväz A B množín A a B je množina C, ktorá pozostáva zo všetkých prvkov patriacich aspoň do jednej z množín A alebo B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(na obr. 3 je množina C znázornená šrafovanou oblasťou).

Ryža. 3. Spojenie množín.

Ryža. 4. Rozdiel sád.

3. Rozdiel A \ B množín A a B je množina C, pozostávajúca zo všetkých prvkov patriacich do množiny A, ale nepatriacich do množiny B:

A \ B = ( z: (z A) (z B) )

(na obr. 4 je množina C znázornená plochou vytieňovanou žltou).

§ 4. Množina reálnych čísel.

Zostrojme množinu reálnych (reálnych) čísel R. Aby sme to urobili, zvážme najskôr množina prirodzených čísel, ktorý definujeme nasledovne. Zoberme si číslo n=1 ako prvý prvok. Každý nasledujúci prvok sa získa z predchádzajúceho pridaním jedného:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, ...) = (1, 2, 3, ..., n, ...).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

Množina celých čísel Z definovať ako spojenie troch množín: N, -N a množiny pozostávajúcej z jedného prvku - nula:

Množina racionálnych čísel je definovaná ako množina všetkých možných pomerov celých čísel:

Q = (xx = m/n; m, nZ, n°).

Je zrejmé, že N Z Q.

Je známe, že každé racionálne číslo možno zapísať ako konečný reálny alebo nekonečný periodický zlomok. Sú racionálne čísla dostatočné na meranie všetkých veličín, s ktorými sa môžeme stretnúť pri skúmaní sveta okolo nás? Už v starovekom Grécku sa ukázalo, že nie: ak vezmeme do úvahy rovnoramenný pravouhlý trojuholník s nohami dĺžky jedna, dĺžku prepony nemožno vyjadriť ako racionálne číslo. Nemôžeme sa teda obmedziť na množinu racionálnych čísel. Je potrebné rozšíriť pojem čísla. Toto rozšírenie sa dosiahne zavedením množiny iracionálnych čísel J, čo je najjednoduchšie predstaviť si ako množinu všetkých neperiodických nekonečných desatinných miest.

Spojenie množín racionálnych a iracionálnych čísel sa nazýva

množina reálnych (reálnych) čísel R: R =Q Y.

Niekedy považujú rozšírenú množinu reálnych čísel R, porozumenie

Reálne čísla sú vhodne znázornené ako bodky na číselnej osi.

Def. Číselná os sa nazýva priamka, ktorá označuje začiatok, mierku a smer referencie.

Medzi reálnymi číslami a bodmi číselnej osi sa vytvorí korešpondencia jedna k jednej: akékoľvek reálne číslo zodpovedá jednému bodu číselnej osi a naopak.

Axióma úplnosti (kontinuity) množiny reálnych čísel. Akékoľvek neprázdne množiny А= ( a ) R a B= (b) R sú také, že pre každé a a b platí nerovnosť a ≤ b, existuje číslo cR také, že a ≤ c ≤ b (obr. 5).

Obr.5. Ilustrácia axiómy úplnosti množiny reálnych čísel.

§5. Číselné sady. Okolie.

Def. Numerická sada sa nazýva ľubovoľná podmnožina množiny R. Najdôležitejšie číselné množiny: N, Z, Q, J a tiež

segment: (x R | a x b ),

interval: (a,b) (xR |axb), (,)=R

polovičné intervaly: ( x R| a x b),

(xR | xb).

Najdôležitejšiu úlohu v matematickej analýze hrá koncept okolia bodu na číselnej osi.

Def. -okolie bodu x 0 je interval dĺžky 2 so stredom v bode x 0 (obr. 6):

u (x 0) (x 0, x 0).

Ryža. 6. Okolie bodu.

Def. Prepichnuté susedstvo bodu je susedstvom tohto bodu,

z ktorého je vylúčený samotný bod x 0 (obr. 7):

u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

Ryža. 7. Prepichnuté okolie bodu.

Def. Pravé okolie bodu x0 nazývaný polovičný interval

u (x 0 ), rozsah: E= [-π/2,π/2 ].

Ryža. 11. Graf funkcie y arcsin x.

Predstavme si teraz pojem komplexnej funkcie ( zobrazovacie kompozície). Nech sú dané tri množiny D, E, M a nech f: D→E, g: E→M. Je zrejmé, že je možné zostrojiť nové zobrazenie h: D→M, ktoré sa nazýva zloženie zobrazení f a g alebo komplexná funkcia (obr. 12).

Komplexná funkcia sa označuje takto: z =h(x)=g(f(x)) alebo h = f o g.

Ryža. 12. Ilustrácia pre koncept komplexnej funkcie.

Zavolá sa funkcia f (x). vnútorná funkcia a funkcia g ( y ) - vonkajšia funkcia.

1. Vnútorná funkcia f (x) = x², vonkajšia g (y) sin y. Komplexná funkcia z= g(f(x))=sin(x²)

2. Teraz naopak. Vnútorná funkcia f (x)= sinx, vonkajšia g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Nechajte premennú X n má nekonečnú postupnosť hodnôt

X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)

a zákon zmeny premennej je známy X n, t.j. pre každé prirodzené číslo n môžete zadať zodpovedajúcu hodnotu X n. Predpokladá sa teda, že premenná X n je funkciou n:

X n = f(n)

Definujme jeden z najdôležitejších pojmov matematickej analýzy - limita postupnosti, alebo, čo je to isté, limita premennej X n bežiaca sekvencia X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .

Definícia. konštantné číslo a volal sekvenčný limit X 1 , X 2 , ..., X n , ... . alebo limit premennej X n, ak pre ľubovoľne malé kladné číslo e také prirodzené číslo existuje N(t.j. číslo N), že všetky hodnoty premennej X n, počnúc X N, líšiť sa od a v absolútnej hodnote menej ako e. Táto definícia je stručne napísaná takto:

| X n - a |< (2)

pre všetkých n  N, alebo, čo je to isté,

Definícia Cauchyho limity. Číslo A sa nazýva limita funkcie f (x) v bode a, ak je táto funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a, možno s výnimkou samotného bodu a a pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre všetkých x spĺňa podmienku |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definícia Heineho limitu. Číslo A sa nazýva limita funkcie f (x) v bode a, ak je táto funkcia definovaná v niektorom okolí bodu a, možno s výnimkou samotného bodu a a akejkoľvek postupnosti takej, konvergujúc k číslu a, zodpovedajúca postupnosť hodnôt funkcie konverguje k číslu A.

Ak má funkcia f(x) limitu v bode a, potom je táto limita jedinečná.

Číslo A 1 sa nazýva ľavá limita funkcie f (x) v bode a, ak pre každé ε > 0 existuje δ >

Číslo A 2 sa nazýva pravá limita funkcie f (x) v bode a, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že nerovnosť

Limita vľavo sa označuje ako limita vpravo - Tieto limity charakterizujú správanie sa funkcie vľavo a vpravo od bodu a. Často sa označujú ako jednosmerné limity. Pri zápise jednostranných limít ako x → 0 sa zvyčajne vynecháva prvá nula: a . Takže pre funkciu

Ak pre každé ε > 0 existuje δ-okolie bodu a také, že pre všetky x spĺňajú podmienku |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, potom hovoríme, že funkcia f (x) má v bode a nekonečnú limitu:

Funkcia má teda v bode x = 0 nekonečnú limitu. Často sa rozlišujú limity rovné +∞ a –∞. takže,

Ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre každé x > δ nerovnosť |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Veta o existencii pre najmenšiu hornú hranicu

Definícia: AR mR, m - horná (spodná) strana A, ak аА аm (аm).

Definícia: Množina A je ohraničená zhora (zdola), ak existuje m takých, že аА, potom je splnené аm (аm).

Definícia: SupA=m, ak 1) m - horná hranica A

2) m’: m’ m' nie je horná strana A

InfA = n, ak 1) n je infimum A

2) n’: n’>n => n’ nie je infimum od A

Definícia: SupA=m je číslo také, že: 1)  aA am

2) >0 a  A, takže a  a-

InfA = n sa nazýva číslo, ktoré:

2) >0 a  A, takže E a+

Veta: Akákoľvek neprázdna množina АR ohraničená zhora má najlepšiu hornú hranicu, a to jedinečnú.

dôkaz:

Zostrojíme číslo m na reálnej čiare a dokážeme, že toto je najmenšia horná hranica A.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - horná strana A

Segment [[m],[m]+1] - rozdelený na 10 častí

m1 =max:aA)]

m2 =max,m1:aA)]

m až =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - horná strana A

Dokážme, že m=[m],m 1 ...m K je najmenšia horná hranica a že je jedinečná:

komu :)