Vektorový diagram. Pridanie vibrácií.

Riešenie mnohých problémov v teórii kmitov je značne uľahčené a zreteľnejšie, ak sú kmity znázornené graficky pomocou metódy vektorové diagramy. Vyberme si nejakú os X. Z jedného bodu 0 na os nanesieme vektor dĺžky , ktorý najskôr zviera s osou uhol (obr. 2.14.1). Ak tento vektor uvedieme do rotácie uhlovou rýchlosťou, potom sa koniec vektora premietne na os X sa časom podľa zákona zmení

.

Preto projekcia konca vektora na os vykoná harmonické kmitanie s amplitúdou rovnou dĺžke vektora, s kruhovou frekvenciou rovnou uhlovej rýchlosti rotácie vektora a s počiatočnou fázou rovnou na uhol, ktorý zviera vektor s osou v počiatočnom časovom okamihu. Uhol, ktorý zviera vektor s osou v danom časovom okamihu, určuje fázu kmitania v danom okamihu - .

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že harmonické kmitanie možno znázorniť pomocou vektora, ktorého dĺžka sa rovná amplitúde kmitania a jeho smer zviera s určitou osou uhol rovný fáze kmitania. Toto je podstata metódy vektorových diagramov.

Sčítanie kmitov rovnakého smeru.

Zvážte pridanie dvoch harmonických kmitov, ktorých smery sú paralelné:

. (2.14.1)

Výsledný posun X bude súčtom a . Bude to oscilácia s amplitúdou.

Využime metódu vektorových diagramov (obr. 2.14.2). na obrázku a sú fázy výsledných a pridaných kmitov, resp. Je ľahké zistiť, čo možno nájsť pridaním vektorov a . Ak sú však frekvencie pridaných kmitov rozdielne, tak sa výsledná amplitúda v čase mení na veľkosti a vektor rotuje nekonštantnou rýchlosťou, t.j. oscilácia nebude harmonická, ale bude predstavovať nejaký zložitý oscilačný proces. Aby bolo výsledné kmitanie harmonické, musia byť frekvencie pridaných kmitov rovnaké

a výsledné kmitanie nastáva pri rovnakej frekvencii

.

Z konštrukcie je zrejmé, že

Analyzujme výraz (2.14.2) pre amplitúdu výsledného kmitania. Ak fázový rozdiel pridaných kmitov je rovný nule(oscilácie sú vo fáze), amplitúda sa rovná súčtu amplitúd pridaných kmitov, t.j. má maximálnu možnú hodnotu . Ak fázový rozdiel je(oscilácie sú v protifáze), potom výsledná amplitúda sa rovná rozdielu amplitúd, t.j. má najmenšiu možnú hodnotu .

Sčítanie vzájomne kolmých vibrácií.

Nechajte časticu vykonávať dve harmonické kmity s rovnakou frekvenciou: jedno v smere, ktorý označujeme X, druhá je v kolmom smere r. V tomto prípade sa častica bude pohybovať po nejakej, vo všeobecnom prípade, krivočiarej trajektórii, ktorej tvar závisí od fázového rozdielu kmitov.

Počiatok časovej referencie volíme tak, aby počiatočná fáza jednej oscilácie bola rovná nule:

. (2.14.3)

Na získanie rovnice trajektórie častíc je potrebné vylúčiť z (2.14.3) t. Z prvej rovnice a. znamená, . Prepíšeme druhú rovnicu

alebo

.

Prenesením prvého člena z pravej strany rovnice na ľavú stranu, kvadratúrou výslednej rovnice a vykonaním transformácií dostaneme

. (2.14.4)

Táto rovnica je rovnicou elipsy, ktorej osi sú vzhľadom na osi otočené X a r do nejakého uhla. V niektorých špeciálnych prípadoch sa však dosiahnu jednoduchšie výsledky.

1. Fázový rozdiel je nulový. Potom z (2.14.4) dostaneme

alebo . (2.14.5)

Toto je rovnica priamky (obr. 2.14.3). Častica teda kmitá pozdĺž tejto priamky s frekvenciou a amplitúdou rovnou .

Vektorový diagram je spôsob, ako graficky definovať oscilačný pohyb ako vektor.

Oscilujúca hodnota ξ (akejkoľvek fyzikálnej povahy) je vynesená pozdĺž horizontálnej osi. Vektor vynesený z bodu 0 sa v absolútnej hodnote rovná amplitúde kmitania A a smeruje k osi ξ pod uhlom α, ktorý sa rovná počiatočnej fáze kmitania. Ak tento vektor uvedieme do rotácie s uhlovou rýchlosťou ω rovnajúcou sa cyklickej frekvencii kmitov, potom priemet tohto vektora na os ξ udáva hodnotu kmitajúcej veličiny v ľubovoľnom časovom okamihu.

Sčítanie kmitov rovnakej frekvencie a rovnakého smeru

Nech sú dve vibrácie: vytvárame vektorové diagramy a pridávame vektory:

Podľa zákona kosínusov

Pretože potom

Je zrejmé (pozri diagram), že počiatočná fáza výsledného kmitania je určená vzťahom:

Sčítanie kmitov blízkych frekvencií

P est sa pridajú dva kmity s takmer identickými frekvenciami, t.j.

Z trigonometrie:

Aplikovaním na náš prípad dostaneme:

Grafom výslednej oscilácie je tepový graf, t.j. takmer harmonické kmity frekvencie ω, ktorých amplitúda sa pomaly mení s frekvenciou Δω .

Amplitúda v dôsledku prítomnosti znamienka modulu (amplitúda je vždy > 0), frekvencia, s ktorou sa amplitúda mení, nie je rovná Δω / 2, ale dvakrát vyššia - Δω.

Sčítanie vzájomne kolmých kmitov

Nechajte malé teleso kmitať na navzájom kolmých pružinách rovnakej tuhosti. Po akej dráhe sa toto teleso bude pohybovať?

Toto sú rovnice trajektórie v parametrickom tvare. Aby sa získal explicitný vzťah medzi súradnicami x a y, musí byť parameter t vylúčený z rovníc.

Z prvej rovnice: ,

Od druhého

Po vystriedaní

Zbavme sa koreňa:

je rovnica elipsy

H
špeciálne prípady:

27. Tlmené vibrácie. Nútené vibrácie. Rezonancia.

Tlmenie voľných kmitov

V dôsledku odporu voľné kmity vždy skôr či neskôr zaniknú. Pozrime sa na proces tlmenia kmitov. Predpokladajme, že odporová sila je úmerná rýchlosti telesa. (faktor proporcionality je označený ako 2 mg z dôvodu pohodlia, ktorý bude odhalený neskôr). Majme na pamäti prípad, keď je jeho tlmenie počas doby kmitania malé. Potom môžeme predpokladať, že tlmenie bude mať malý vplyv na frekvenciu, ale ovplyvní amplitúdu kmitov. Potom môže byť rovnica tlmených oscilácií reprezentovaná ako tu A(t) predstavuje nejakú klesajúcu funkciu, ktorú je potrebné určiť. Budeme vychádzať zo zákona zachovania a premeny energie. Zmena energie kmitov sa rovná priemernej práci odporovej sily za obdobie, t.j. Obidve strany rovnice vydelíme dt. Na pravej strane budeme mať dx/dt, t.j. rýchlosť v a vľavo dostanete deriváciu energie vzhľadom na čas. Preto berúc do úvahy Ale priemerná kinetická energia rovná polovici celkovej energie. Preto možno napísať, že obe jeho časti vydeľte E a vynásobte dt. Chápeme to Integrujeme obe časti výslednej rovnice: Po potenciácii dostaneme Integračná konštanta C sa zistí z počiatočných podmienok. Nech v t = 0 E = E0, potom E0 = C. Preto, Ale E~A^2. Preto sa amplitúda tlmených kmitov tiež znižuje podľa exponenciálneho zákona:

A takže v dôsledku odporu sa amplitúda kmitov znižuje a vo všeobecnosti vyzerajú tak, ako je znázornené na obr. 4.2. Koeficient sa nazýva koeficient útlmu. Útlm však celkom necharakterizuje. Zvyčajne je tlmenie kmitov charakterizované znížením tlmenia. Ten ukazuje, koľkokrát sa amplitúda oscilácie zníži za čas rovný perióde oscilácie. To znamená, že faktor tlmenia je definovaný takto: Logaritmus dekrementu tlmenia sa nazýva logaritmický dekrement, samozrejme sa rovná

Nútené vibrácie

Ak je kmitavý systém vystavený pôsobeniu vonkajšej periodickej sily, tak vznikajú takzvané vynútené kmity, ktoré majú netlmený charakter. Vynútené oscilácie by sa mali odlišovať od vlastných oscilácií. V prípade vlastných kmitov v systéme sa predpokladá špeciálny mechanizmus, ktorý časom vlastnými kmitmi „dodáva“ do systému malé porcie energie z nejakého energetického zásobníka. Zachovávajú sa tak prirodzené oscilácie, ktoré neklesajú. V prípade samooscilácií sa systém akoby sám tlačí. Hodiny môžu slúžiť ako príklad samooscilačného systému. Hodiny sú vybavené rohatkovým mechanizmom, pomocou ktorého kyvadlo dostáva malé rázy (od stlačenej pružiny) v čase s vlastnými kmitmi. V prípade vynútených kmitov je systém tlačený vonkajšou silou. Nižšie sa budeme zaoberať týmto prípadom za predpokladu, že odpor v systéme je malý a možno ho zanedbať. Ako model vynútených kmitov budeme myslieť to isté teleso zavesené na pružine, na ktoré pôsobí vonkajšia periodická sila (napríklad sila, ktorá má elektromagnetickú povahu). Bez zohľadnenia odporu má pohybová rovnica takéhoto telesa v priemete na os x tvar: kde w* je cyklická frekvencia, B je amplitúda vonkajšej sily. Je známe, že existujú výkyvy. Preto budeme hľadať konkrétne riešenie rovnice vo forme sínusovej funkcie Funkciu dosadíme do rovnice, pre ktorú časovo dvakrát derivujeme . Substitúcia vedie k vzťahu

Rovnica sa zmení na identitu, ak sú splnené tri podmienky: . Potom a rovnica nútených kmitov môže byť reprezentovaná ako Vyskytujú sa s frekvenciou zhodnou s frekvenciou vonkajšej sily a ich amplitúda nie je nastavená ľubovoľne, ako v prípade voľných kmitov, ale je nastavená sama. Táto stanovená hodnota závisí od pomeru frekvencie vlastných kmitov systému a frekvencie vonkajšej sily podľa vzorca

H a obr. 4.3 je znázornený graf závislosti amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie vonkajšej sily. Je vidieť, že amplitúda kmitov sa výrazne zvyšuje, keď sa frekvencia vonkajšej sily približuje frekvencii vlastných kmitov. Fenomén prudkého nárastu amplitúdy vynútených kmitov, keď sa prirodzená frekvencia a frekvencia vonkajšej sily zhodujú, sa nazýva rezonancia.

Pri rezonancii musí byť amplitúda kmitov nekonečne veľká. V skutočnosti je pri rezonancii amplitúda vynútených kmitov vždy konečná. Vysvetľuje to skutočnosť, že pri rezonancii a jej blízkosti sa náš predpoklad zanedbateľne malého odporu stáva nesprávnym. Aj keď je odpor v systéme malý, potom je významný v rezonancii. Jeho prítomnosť spôsobuje, že amplitúda oscilácie v rezonancii je konečná. Skutočný graf závislosti amplitúdy kmitania od frekvencie má teda podobu znázornenú na obr. 4.4. Čím väčší je odpor v systéme, tým nižšia je maximálna amplitúda v bode rezonancie.

Rezonancia v mechanických systémoch je spravidla nežiaducim javom a jeho snažia sa vyhnúť: mechanické konštrukcie podliehajúce kmitom a vibráciám sa snažia navrhovať tak, aby vlastná frekvencia kmitov bola ďaleko od možných hodnôt frekvencií vonkajších vplyvov. Ale v mnohých zariadeniach sa rezonancia používa ako pozitívny jav. Napríklad rezonancia elektromagnetických kmitov je široko používaná v rádiovej komunikácii, rezonancia g-lúčov - v presných zariadeniach.

Stav termodynamického systému. Procesy

Termodynamické stavy a termodynamické procesy

Keď sa okrem zákonov mechaniky vyžaduje aj aplikácia zákonov termodynamiky, systém sa nazýva termodynamický systém. Potreba použiť tento koncept vzniká, ak je počet prvkov systému (napríklad počet molekúl plynu) veľmi veľký a pohyb jeho jednotlivých prvkov je mikroskopický v porovnaní s pohybom samotného systému alebo jeho makroskopickým pohybom. komponentov. V tomto prípade termodynamika popisuje makroskopické pohyby (zmeny makroskopických stavov) termodynamického systému.

Parametre popisujúce takýto pohyb (zmeny) termodynamického systému sa zvyčajne delia na vonkajšie a vnútorné. Toto rozdelenie je veľmi podmienené a závisí od konkrétnej úlohy. Takže napríklad plyn v balóne s elastickým plášťom má ako vonkajší parameter tlak okolitého vzduchu a pre plyn v nádobe s pevným plášťom je vonkajším parametrom objem ohraničený týmto plášťom. V termodynamickom systéme sa objem a tlak môžu meniť nezávisle od seba. Pre teoretický popis ich zmeny je potrebné uviesť ešte aspoň jeden parameter – teplotu.

Vo väčšine termodynamických problémov postačujú tri parametre na opis stavu termodynamického systému. V tomto prípade sú zmeny v systéme opísané pomocou troch termodynamických súradníc spojených s príslušnými termodynamickými parametrami.

rovnovážny stav- stav termodynamickej rovnováhy - nazýva sa taký stav termodynamickej sústavy, v ktorom nedochádza k tokom (energia, hmota, hybnosť a pod.), a makroskopické parametre sústavy sú ustálené a v čase sa nemenia.

Klasická termodynamika tvrdí, že izolovaný termodynamický systém (ponechaný sám sebe) má tendenciu k stavu termodynamickej rovnováhy a po jej dosiahnutí ju nemôže spontánne opustiť. Toto vyhlásenie sa často nazýva nulový zákon termodynamiky.

Systémy v stave termodynamickej rovnováhy majú nasledovné vlastnosti mi:

Ak sú dva termodynamické systémy, ktoré majú tepelný kontakt, v stave termodynamickej rovnováhy, potom je v stave termodynamickej rovnováhy aj celkový termodynamický systém.

Ak je ktorýkoľvek termodynamický systém v termodynamickej rovnováhe s dvoma ďalšími systémami, potom sú tieto dva systémy vo vzájomnej termodynamickej rovnováhe.

Uvažujme termodynamické systémy, ktoré sú v stave termodynamickej rovnováhy. Popisom systémov, ktoré sú v nerovnovážnom stave, teda v stave, kde prebiehajú makroskopické toky, sa zaoberá nerovnovážna termodynamika. Prechod z jedného termodynamického stavu do druhého sa nazýva termodynamický proces. Ďalej budeme uvažovať iba o kvázi-statických procesoch alebo, čo je to isté, o kvázi-rovnovážnych procesoch. Limitným prípadom kvázi-rovnovážneho procesu je nekonečne pomalý rovnovážny proces, ktorý pozostáva z kontinuálne po sebe nasledujúcich stavov termodynamickej rovnováhy. V skutočnosti k takémuto procesu nemôže dôjsť, ak však makroskopické zmeny v systéme prebiehajú pomerne pomaly (v časových intervaloch výrazne presahujúcich čas nastolenia termodynamickej rovnováhy), je možné skutočný proces aproximovať ako kvázistatický (kvázi- rovnováha). Takáto aproximácia umožňuje vykonávať výpočty s dostatočne vysokou presnosťou pre veľkú triedu praktických problémov. Rovnovážny proces je reverzibilný, to znamená proces, v ktorom návrat k hodnotám stavových parametrov, ku ktorým došlo v predchádzajúcom časovom okamihu, by mal uviesť termodynamický systém do predchádzajúceho stavu bez akýchkoľvek zmien v telesách obklopujúcich systém. .

Praktická aplikácia kvázi rovnovážnych procesov v akýchkoľvek technických zariadeniach je neúčinná. Použitie kvázi rovnovážneho procesu napríklad v tepelnom motore, ktorý prebieha pri prakticky konštantnej teplote (pozri popis Carnotovho cyklu v tretej kapitole), teda nevyhnutne vedie k tomu, že takýto stroj bude pracovať veľmi pomaly (v limite - nekonečne pomaly) a majú veľmi malý výkon. Preto sa v praxi kvázi rovnovážne procesy v technických zariadeniach nepoužívajú. Napriek tomu, keďže predpovede rovnovážnej termodynamiky pre reálne systémy sa zhodujú s dostatočne vysokou presnosťou s experimentálnymi údajmi pre takéto systémy, je široko používaný na výpočet termodynamických procesov v rôznych technických zariadeniach.

Ak sa počas termodynamického procesu systém vráti do pôvodného stavu, potom sa takýto proces nazýva kruhový alebo cyklický. Kruhové procesy, ako aj akékoľvek iné termodynamické procesy, môžu byť rovnovážne (a teda vratné) aj nerovnovážne (nevratné). Pri reverzibilnom kruhovom procese po návrate termodynamického systému do pôvodného stavu nevznikajú v telesách, ktoré ho obklopujú, žiadne termodynamické poruchy a ich stavy zostávajú v rovnováhe. V tomto prípade sa vonkajšie parametre systému po implementácii cyklického procesu vrátia na pôvodné hodnoty. V nezvratnom kruhovom procese po jeho ukončení prechádzajú okolité telesá do nerovnovážnych stavov a menia sa vonkajšie parametre termodynamického systému.

Komplexná amplitúdová metóda

Poloha bodu v rovine môže byť jednoznačne určená komplexným číslom:

Ak sa bod ($A$) otáča, súradnice tohto bodu sa menia v súlade so zákonom:

napíšte $z$ v tvare:

kde $Re(z)=x$, teda fyzikálna veličina x sa rovná reálnej časti komplexného výrazu (4). V tomto prípade sa modul komplexného výrazu rovná amplitúde kmitania -- $a$, jeho argument sa rovná fáze ($(\omega )_0t+\delta $). Niekedy, keď vezmeme skutočnú časť $z$, znamienko operácie Re sa vynechá a získa sa symbolický výraz:

Výraz (5) by sa nemal brať doslovne. Často formálne zjednodušovať (5):

kde $A=ae^(i \delta)$ je komplexná amplitúda oscilácie. Komplexná povaha amplitúdy $A$ znamená, že oscilácia má počiatočnú fázu, ktorá sa nerovná nule.

Aby sme odhalili fyzikálny význam výrazu ako (6), predpokladáme, že frekvencia oscilácií ($(\omega )_0$) má skutočnú a imaginárnu časť a môže byť reprezentovaná ako:

Potom výraz (6) možno zapísať ako:

Ak $(\omega )2>0,$, potom výraz (8) popisuje tlmené harmonické kmity s kruhovou frekvenciou $\omega1$ a indexom tlmenia $(\omega )_2$. Ak $(\omega )_2

Komentujte

Mnoho matematických operácií je možné vykonávať s komplexnými veličinami, ako keby veličiny boli skutočné. Operácie sú možné, ak sú samy osebe lineárne a reálne (ako sú sčítanie, násobenie, diferenciácia vzhľadom na reálnu premennú a iné, ale nie všetky). Treba mať na pamäti, že komplexné veličiny samy osebe nezodpovedajú žiadnym fyzikálnym veličinám.

Metóda vektorového diagramu

Nechajte bod $A$ rovnomerne rotovať po kružnici s polomerom $r$ (obr.1), jeho rýchlosť rotácie je $(\omega )_0$.

Obrázok 1.

Polohu bodu $A$ na kružnici je možné určiť pomocou uhla $\varphi $. Tento uhol je:

kde $\delta =\varphi (t=0)$ je uhol natočenia vektora polomeru $\overrightarrow(r)$ v počiatočnom časovom okamihu. Ak sa bod $M$ otáča, potom sa jeho priemet na os $X$ pohybuje pozdĺž priemeru kružnice a medzi bodmi $M$ $N$ vytvára harmonické oscilácie. Úsečka $A$ môže byť napísaná ako:

Podobným spôsobom možno znázorniť kolísanie akejkoľvek veľkosti.

Stačí odfotiť veličinu, ktorá kmitá s osou bodu $A$, ktorý sa rovnomerne otáča po kružnici. Môžete samozrejme použiť ordinát:

Poznámka 1

Na znázornenie tlmených kmitov je potrebné vziať nie kruh, ale logaritmickú špirálu, ktorá sa blíži k ohnisku. Ak je rýchlosť priblíženia bodu pohybujúceho sa po špirále konštantná a bod sa pohybuje smerom k ohnisku, potom projekcia tohto bodu na os $X poskytne vzorce pre tlmené oscilácie.

Poznámka 2

Namiesto bodu môžete použiť vektor polomeru, ktorý sa bude rovnomerne otáčať okolo počiatku. Potom bude hodnota, ktorá vykonáva harmonické oscilácie, znázornená ako projekcia tohto vektora na os $X$. V tomto prípade sú matematické operácie s veličinou $x$ nahradené operáciami s vektorom.

Takže operácia sčítania dvoch veličín:

vhodnejšie je nahradiť súčtom dvoch vektorov (pomocou pravidla rovnobežníka). Vektory sú zvolené tak, že ich projekcie na zvolenú $os X$ sú výrazy $x_1\ a\ x_2$. Potom bude výsledok súčtu vektorov v projekcii na os x rovný $x_1+\ x_2$.

Príklad 1

Ukážme si aplikáciu metódy vektorových diagramov.

Predstavme si teda komplexné čísla ako vektory v komplexnej rovine. Veličina, ktorá sa mení podľa harmonického zákona, je reprezentovaná vektorom, ktorý sa otáča proti smeru hodinových ručičiek okolo svojho začiatku s frekvenciou $(\omega )0$. Dĺžka vektora sa rovná amplitúde kmitov.

Grafická metóda na riešenie napríklad rovnice:

kde $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ je impedancia, môžeme ju znázorniť pomocou obr.2. Tento obrázok znázorňuje vektorový diagram napätí v obvode striedavého prúdu.

Obrázok 2

Zoberme si, že násobenie komplexnej veličiny zložitou jednotkou znamená jej otočenie o uhol $90^0$ proti smeru hodinových ručičiek a násobenie ($-i$) o rovnaký uhol v smere hodinových ručičiek. Z obr. 2 vyplýva, že:

kde $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ Zmena uhla $\varphi $ závisí od vzťahu medzi impedanciami prvkov obvodu a frekvencie. Vonkajšie napätie sa môže meniť vo fáze, od zhody s napätím na indukčnosti až po zhodu s napätím cez kapacitu. Toto sa zvyčajne vyjadruje ako pomer medzi napäťovými fázami na prvkoch obvodu a fázou vonkajšieho napätia:

Fáza napätia na tlmivke $((U)L=i\omega LI)$ vedie fázu vonkajšieho napätia vždy o uhol od $0$ do $\pi .$

Fáza napätia na kapacite $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) vždy zaostáva za fázou vonkajšieho napätia o uhol medzi $0$ a --$\ \pi .$

V tomto prípade môže fáza na odpore buď viesť alebo zaostávať za fázou vonkajšieho napätia o uhol medzi $\frac(\pi )(2)$ a $\frac(\pi )(2)$.

Vektorový diagram (obr. 2) nám umožňuje formulovať nasledovné:

Fáza napätia na induktore predbieha fázu prúdu o $\frac(\pi )(2)$.

Fáza kapacitného napätia je $\frac(\eth )(2)\ $ za aktuálnou fázou.

Fáza napätia na odpore sa zhoduje s fázou prúdu.

Príklad 2

Cvičenie: Ukážte, že kvadratúru nemožno použiť na komplexné veličiny ako na reálne čísla.

Riešenie:

Povedzme, že potrebujeme odmocniť reálne číslo $x$. Správna odpoveď: $x^2$. Formálne aplikujeme komplexnú metódu. Poďme nahradiť:

$x\to x+iy$. Výsledný výraz odmocníme a dostaneme:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

Skutočná časť výrazu (2.1) je:

\[(Späť\vľavo(x+iy\vpravo))^2=Späť\vľavo(x^2-y^2+2xyi\vpravo)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Dôvodom chyby je, že operácia kvadratúry nie je lineárna.

Harmonické vibrácie

Tie. v skutočnosti sa sínusový graf získa z rotácie vektora, ktorý je opísaný vzorcom:

F(x) = sin (ωt + φ),

Kde A je dĺžka vektora (amplitúda oscilácie), φ je počiatočný uhol (fáza) vektora v nulovom čase, ω je uhlová rýchlosť rotácie, ktorá sa rovná:

ω=2 πf, kde f je frekvencia v Hertzoch.

Ako vidíme, ak poznáme frekvenciu signálu, amplitúdu a uhol, môžeme vytvoriť harmonický signál.

Kúzlo začína, keď sa ukáže, že reprezentácia absolútne akéhokoľvek signálu môže byť reprezentovaná ako súčet (často nekonečný) rôznych sínusoidov. Inými slovami, vo forme Fourierovho radu.
Uvediem príklad z anglickej Wikipédie. Vezmime si ako príklad pílovitý signál.

pílovitý signál

Jeho množstvo bude vyjadrené nasledujúcim vzorcom:

Ak zrátame jeden po druhom, vezmeme najprv n=1, potom n=2 atď., uvidíme, ako sa náš harmonický sínusový signál postupne zmení na pílu:

Asi najkrajším spôsobom, ako to ilustrovať, je jeden program, ktorý som našiel na internete. Vyššie už bolo povedané, že sínusový graf je projekciou rotujúceho vektora, ale čo zložitejšie signály? Toto je, napodiv, projekcia množiny rotujúcich vektorov, alebo skôr ich súčtu, a všetko vyzerá takto:

Píla na vektorové kreslenie.

Vo všeobecnosti vám odporúčam, aby ste sa sami riadili odkazom a skúsili sa sami pohrať s parametrami a uvidíte, ako sa signál mení. IMHO názornejšiu hračku na pochopenie som ešte nevidel.

Treba tiež poznamenať, že existuje inverzný postup, ktorý umožňuje získať frekvenciu, amplitúdu a počiatočnú fázu (uhol) z daného signálu, ktorý sa nazýva Fourierova transformácia.

Rozšírenie Fourierovho radu niektorých známych periodických funkcií (odtiaľ)

Nebudem sa tomu podrobne venovať, ale ukážem, ako sa to dá uplatniť v živote. V zozname referencií odporučím, kde si môžete prečítať viac o materiáli.

Prejdime k praktickým cvičeniam!

Zdá sa mi, že každý študent, sediaci na prednáške, napríklad v matane, si kladie otázku: prečo potrebujem všetky tieto nezmysly? A spravidla, keď v dohľadnej dobe nenašiel odpoveď, bohužiaľ stráca záujem o túto tému. Preto hneď ukážem praktickú aplikáciu týchto vedomostí a tieto znalosti si už osvojíte sami :).

Všetko budem ďalej implementovať na tejto stránke. Všetko som robil, samozrejme, pod Linuxom, ale nepoužil som žiadne špecifiká, teoreticky sa program skompiluje a bude fungovať pod inými platformami.

Najprv napíšme program na generovanie zvukového súboru. Súbor wav bol braný ako najjednoduchší. Môžete si prečítať o jeho štruktúre.
Stručne povedané, štruktúra súboru wav je opísaná nasledovne: hlavička, ktorá popisuje formát súboru, a potom príde (v našom prípade) pole 16-bitových údajov (špicaté) s dĺžkou: vzorkovacia_rýchlosť * t sekúnd alebo 44100 * t kusov.

Bol použitý príklad vytvorenia zvukového súboru. Trochu som to upravil, opravil chyby a konečná verzia s mojimi úpravami je teraz na githube tu

Vygenerujme dvojsekundový zvukový súbor s čistou sínusovou frekvenciou 100 Hz. Aby sme to dosiahli, upravíme program nasledujúcim spôsobom:

#define S_RATE (44100) //rýchlosť vzorkovania #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* vyrovnávacia pamäť 2 sekúnd */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float amplitúda = 32000; //zoberie maximálnu možnú amplitúdu float freq_Hz = 100; //frekvencia signálu /* naplní vyrovnávaciu pamäť sínusovou vlnou */ pre (i=0 i

Upozorňujem na skutočnosť, že čistý sínusový vzorec zodpovedá vzorcu, o ktorom sme hovorili vyššie. Amplitúda 32000 (bolo možné vziať 32767) zodpovedá hodnote, ktorú môže nadobudnúť 16-bitové číslo (od mínus 32767 do plus 32767).

Výsledkom je nasledujúci súbor (môžete si ho dokonca vypočuť pomocou akéhokoľvek programu produkujúceho zvuk). Otvorme tento súbor audacity a uvidíme, že signálový graf skutočne zodpovedá čistému sínusu:

Čistý trubicový sínus

Pozrime sa na spektrum tohto sínusu (Analýza-> Plot Spectrum)

Spektrum Plot

Čistý vrchol je viditeľný pri 100 Hz (logaritmická stupnica). Čo je to spektrum? Toto je frekvenčná odozva. Existuje aj fázová odozva. Ak si pamätáte, povedal som vyššie, že na vytvorenie signálu potrebujete poznať jeho frekvenciu, amplitúdu a fázu? Takže tieto parametre môžete získať zo signálu. V tomto prípade máme graf korešpondencie medzi frekvenciami a amplitúdou a amplitúda nie je v reálnych jednotkách, ale v decibeloch.

Chápem, že na vysvetlenie fungovania programu je potrebné vysvetliť, čo je to rýchla Fourierova transformácia a toto je ešte aspoň jeden kyslejší článok.

Najprv si rozdeľme polia:

C = calloc(veľkosť_pola*2, veľkosť(float)); // pole rotačných faktorov v = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //vstup pole out = calloc(veľkosť_pola*2, sizeof(float)); //výstupné pole

Poviem len, že v programe načítavame dáta do poľa dĺžky size_array (ktoré berieme z hlavičky wav súboru).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

Pole pre rýchlu Fourierovu transformáciu musí byť sekvencia (re, im, re, im, ... re, im), kde fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
je to pole komplexných čísel. Dokonca sa bojím predstaviť si, kde sa používa komplexná Fourierova transformácia, ale v našom prípade sa imaginárna časť rovná nule a skutočná časť sa rovná hodnote každého bodu v poli.
Ďalšou vlastnosťou rýchlej Fourierovej transformácie je, že vypočítava polia, ktoré sú iba násobkami mocniny dvoch. V dôsledku toho musíme vypočítať minimálnu silu dvoch:

Int p2=(int)(log2(hlavička.bajty_v_údajoch/hlavička.bajty_podľa_zachytenia));

Logaritmus počtu bajtov v údajoch vydelený počtom bajtov v jednom bode.

Potom vypočítame rotačné faktory:

Fft_make(p2,c);// funkcia na výpočet rotačných faktorov pre FFT (prvý parameter je mocnina dvoch, druhý je alokované pole rotačných faktorov).

A vložíme naše čítacie pole do Fourierovej transformácie:

Fft_calc(p2, c, dnu, von, 1); //(jedna znamená, že dostaneme normalizované pole).

Na výstupe dostaneme komplexné čísla tvaru (re, im, re, im, ... re, im). Pre tých, ktorí nevedia, čo je komplexné číslo, vysvetlím. Tento článok som začal z nejakého dôvodu s množstvom rotujúcich vektorov a množstvom GIFov. Takže vektor v komplexnej rovine je určený skutočnou súradnicou a1 a imaginárnou súradnicou a2. Alebo dĺžka (to je naša amplitúda Am) a uhol Psi (fáza).

Vektor na komplexnej rovine

Všimnite si, že size_array=2^p2. Prvý bod poľa zodpovedá frekvencii 0 Hz (konštantný), posledný bod zodpovedá vzorkovacej frekvencii, konkrétne 44100 Hz. V dôsledku toho musíme vypočítať frekvenciu zodpovedajúcu každému bodu, ktorá sa bude líšiť o delta frekvenciu:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //rýchlosť vzorkovania na veľkosť poľa.

Prideľujeme pole amplitúd:

Dvojitý* ampl; ampl = calloc(veľkosť_pola*2, veľkosť(double));

A pozrite sa na obrázok: amplitúda je dĺžka vektora. A máme jeho projekcie na reálnej a imaginárnej osi. V dôsledku toho budeme mať pravouhlý trojuholník a tu si pripomenieme Pytagorovu vetu a vypočítame dĺžku každého vektora a okamžite ho zapíšeme do textového súboru:

Pre (i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Výsledkom je súbor, ktorý vyzerá takto:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Vyskúšajme!

Teraz nakŕmime výsledný program sínusovým zvukovým súborom

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav formát: 16 bitov, PCM nekomprimovaný, kanál 1, frekvencia 44 100, 88 200 bajtov za sekundu, 2 bajty pri zachytávaní, 2 bity na vzorku, 882 000 chunk = bajtov v dátovom súbore 441000 log2=18 veľkosť poľa=262144 formát wav Max Freq = 99,928 , amp =7216,136

A dostaneme textový súbor frekvenčnej odozvy. Jeho graf vytvoríme pomocou gnuplot

Zostavte skript:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminálu postscript eps vylepšená farba plná sada výstup "result.ps" #set terminal png size 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set ylabel "Amp, dB" set xrange #set yrange plot "test.txt" s použitím názvu 1:2 "(!LANG:AFC" with lines linestyle 1 !}

Dávajte pozor na obmedzenie v skripte na počet bodov v X: set xrange . Máme vzorkovaciu frekvenciu 44100 a ak si spomenieme na Kotelnikovovu vetu, frekvencia signálu nemôže byť vyššia ako polovica vzorkovacej frekvencie, preto nás signál nad 22050 Hz nezaujíma. Prečo je to tak, odporúčam vám prečítať si špeciálnu literatúru.
Takže (bubon), spustite skript a uvidíte:

Spektrum nášho signálu

Všimnite si ostrý vrchol pri 100 Hz. Nezabudnite, že osi sú logaritmické! Vlna napravo sú, myslím, chyby Fourierovej transformácie (tu mi napadajú okná).

Poďme si dopriať, nie?

A poďme! Pozrime sa na spektrá iných signálov!

Hluk všade naokolo...

Najprv si nakreslíme spektrum šumu. Téma o šume, náhodných signáloch atď. si zaslúži samostatný kurz. Ale trochu sa toho dotkneme. Upravme náš program na generovanie súborov wav, pridajte jeden postup:

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Vygeneruje náhodné číslo v danom rozsahu. V dôsledku toho bude main vyzerať takto:

int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitúda = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //inicializácia generátora náhodných čísel pre (i=0; i

Vygenerujme súbor , (odporúčam počúvať). Pozrime sa na to v drzosti.

Signál v drzosti

Pozrime sa na spektrum v drzosti.

Spektrum

A pozrime sa na spektrum pomocou nášho programu:

Naše spektrum

Chcem upozorniť na veľmi zaujímavý fakt a vlastnosť šumu - obsahuje spektrá všetkých harmonických. Ako vidno z grafu, spektrum je celkom rovnomerné. Typicky sa biely šum používa na frekvenčnú analýzu šírky pásma, napríklad audio zariadenia. Existujú aj iné typy hluku: ružová, modrá a iné. Domácou úlohou je zistiť, ako sa líšia.

A čo kompót?

A teraz sa pozrime na ďalší zaujímavý signál – meander. Vyššie som dal tabuľku expanzií rôznych signálov vo Fourierových radoch, pozriete sa, ako sa meander rozkladá, napíšte si to na papier a budeme pokračovať.

Aby sme vygenerovali meander s frekvenciou 25 Hz, opäť upravíme náš generátor súboru wav:

int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* naplňte vyrovnávaciu pamäť sínusovou vlnou */ for (i=0; i

V dôsledku toho dostaneme zvukový súbor (opäť vám odporúčam počúvať), ktorý by ste mali okamžite sledovať v drzosti

Jeho veličenstvo je meander alebo meander zdravého človeka

Nezaháľajme a pozrime sa na jeho spektrum:

meandrové spektrum

Zatiaľ nie je celkom jasné, čo to je ... A pozrime sa na niekoľko prvých harmonických:

Prvé harmonické

Celkom iná vec! No, pozrime sa na tabuľu. Pozri, máme len 1, 3, 5 atď., t.j. nepárne harmonické. Vidíme, že máme prvú harmonickú 25 Hz, ďalšiu (tretiu) 75 Hz, potom 125 Hz atď., pričom naša amplitúda postupne klesá. Teória sa stretáva s praxou!
A teraz pozornosť! V reálnom živote má náš meandrový signál nekonečné množstvo harmonických vyšších a vyšších frekvencií, ale reálne elektrické obvody spravidla nemôžu prechádzať frekvenciami nad určitou frekvenciou (kvôli indukčnosti a kapacite koľají). Výsledkom je, že na obrazovke osciloskopu môžete často vidieť nasledujúci signál:

Meandrový fajčiar

Tento obrázok je ako obrázok z wikipédie, kde nie sú ako príklad meandru brané všetky frekvencie, ale len prvých pár.

Súčet prvých harmonických a ako sa mení signál

Meander sa aktívne používa aj v rádiotechnike (treba povedať, že je to základ celej digitálnej techniky) a stojí za to pochopiť, že pri dlhých reťazcoch sa dá odfiltrovať tak, že ho vaša vlastná matka nerozpozná. Používa sa tiež na kontrolu frekvenčnej odozvy rôznych zariadení. Ďalšou zaujímavosťou je, že TV rušičky fungovali presne na princípe vyšších harmonických, kedy samotný mikroobvod generoval meander desiatok MHz a jeho vyššie harmonické mohli mať frekvencie stoviek MHz, práve na frekvencii TV, a vyššie. harmonické úspešne rušili signál televízneho vysielania.

Vo všeobecnosti je téma takýchto experimentov nekonečná a teraz v nej môžete pokračovať sami.

Kniha

Pre tých, ktorí nerozumejú tomu, čo tu robíme, alebo naopak, pre tých, ktorí rozumejú, ale chcú rozumieť ešte lepšie, ako aj pre študentov študujúcich DSP túto knihu vrelo odporúčam. Toto je DSP pre figuríny, ktorých je autorom tohto príspevku. Tam sa najzložitejšie pojmy rozprávajú jazykom prístupným aj pre dieťa.

Záver

Na záver chcem povedať, že matematika je kráľovnou vied, no bez skutočného uplatnenia o ňu veľa ľudí stráca záujem. Dúfam, že vás tento príspevok inšpiruje k štúdiu takého úžasného predmetu, akým je spracovanie signálu a všeobecne analógové obvody (zapchajte si uši, aby vám mozog nevytekal!). :)
Veľa štastia!

Značky:

Pridať značky

Riešenie mnohých problémov, najmä sčítanie niekoľkých kmitov rovnakého smeru (alebo, čo je to isté, sčítanie niekoľkých harmonických funkcií), je značne uľahčené a zreteľnejšie, ak sú kmity graficky znázornené ako vektory na lietadlo. Takto získaná schéma sa nazýva vektorový diagram.

Zoberme si os, ktorú označíme písmenom x (obr. 55.1). Z bodu O na osi nakreslíme vektor dĺžky a, zvierajúci s osou uhol a.

Ak tento vektor uvedieme do rotácie uhlovou rýchlosťou , potom sa priemet konca vektora bude pohybovať pozdĺž osi x v rozsahu od -a do +a a súradnica tohto premietania sa bude časom meniť podľa zákon

V dôsledku toho bude projekcia konca vektora na os vykonávať harmonické kmitanie s amplitúdou rovnou dĺžke vektora, s kruhovou frekvenciou rovnou uhlovej rýchlosti rotácie vektora a s počiatočnou fázou rovnou k uhlu, ktorý zviera vektor s osou v počiatočnom časovom okamihu.

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že harmonické kmitanie možno špecifikovať pomocou vektora, ktorého dĺžka sa rovná amplitúde kmitania a smer vektora zviera s osou x uhol rovný počiatočnej fáze kmitania. oscilácia.

Zvážte sčítanie dvoch harmonických kmitov rovnakého smeru a rovnakej frekvencie. Výchylka x kmitajúceho telesa bude súčtom výchyliek, ktoré sa zapíšu takto:

Znázornime obe fluktuácie pomocou vektorov (obr. 55.2). Zostrojme výsledný vektor a podľa pravidiel sčítania vektorov.

Je ľahké vidieť, že priemet tohto vektora na osi x sa rovná súčtu priemetov členov vektorov:

Preto vektor a predstavuje výslednú osciláciu. Tento vektor sa otáča rovnakou uhlovou rýchlosťou ako vektory, takže výsledný pohyb bude harmonické kmitanie s frekvenčnou amplitúdou a a počiatočnou fázou a. Z konštrukcie je zrejmé, že

Takže znázornenie harmonických kmitov pomocou vektorov umožňuje zredukovať sčítanie niekoľkých kmitov do operácie sčítania vektorov. Táto technika je obzvlášť užitočná napríklad v optike, kde sú svetelné vibrácie v určitom bode definované ako výsledok superpozície mnohých vibrácií prichádzajúcich do daného bodu z rôznych častí čela vlny.

Vzorce (55.2) a (55.3) je samozrejme možné získať pridaním výrazov (55.1) a vykonaním zodpovedajúcich goniometrických transformácií. Ale spôsob, akým sme tieto vzorce získali, je jednoduchší a jasnejší.

Analyzujme výraz (55.2) pre amplitúdu. Ak je fázový rozdiel oboch kmitov rovný nule, amplitúda výsledného kmitania sa rovná súčtu a a . Ak je fázový rozdiel rovný alebo , t.j. obe oscilácie sú v protifáze, potom sa amplitúda výslednej oscilácie rovná

Ak frekvencie kmitov nie sú rovnaké, vektory a a sa budú otáčať rôznymi rýchlosťami. V tomto prípade výsledný vektor a pulzuje vo veľkosti a otáča sa nekonštantnou rýchlosťou. V dôsledku toho výsledný pohyb v tomto prípade nebude harmonická oscilácia, ale nejaký zložitý oscilačný proces.