Definícia. Vpustiť n opakované pokusy (testy) nejaký event ALE prišiel n A raz.

číslo n A nazývaná frekvencia udalosti ALE a pomer

sa nazýva relatívna frekvencia (alebo frekvencia) udalosti ALE v tejto sérii testov.

Vlastnosti relatívna frekvencia

Relatívna frekvencia udalosti má nasledujúce vlastnosti.

1. Frekvencia akejkoľvek udalosti leží v rozmedzí od nuly do jednej, t.j.

2. Frekvencia nemožné podujatie rovná sa nule, t.j.

3. Frekvencia určitej udalosti je 1, t.j.

4. Frekvencia súčtu dvoch nezlučiteľné udalosti sa rovná súčtu frekvencií (frekvencií) týchto dejov, t.j. ak =Ø, tak

Frekvencia má nehnuteľnosť , nazývaná nehnuteľnosť štatistická stabilita : so zvýšeným počtom experimentov (t. j. so zvýšením n ) frekvencia udalosti nadobúda hodnoty blízke pravdepodobnosti tejto udalosti R .

Definícia. Štatistická pravdepodobnosť udalosti Ačíslo, okolo ktorého kolíše relatívna frekvencia udalosti, sa nazýva ALE na dosť veľké čísla testy (experimenty) n .

Pravdepodobnosť udalosti ALE označené symbolom R (ALE ) alebo R (ALE ). Vzhľad listu ako symbolu pojmu „pravdepodobnosť“ R určená jeho prítomnosťou na prvom mieste v anglické slovo pravdepodobnosť - pravdepodobnosť.

Podľa túto definíciu

Vlastnosti štatistickej pravdepodobnosti

1. Štatistická pravdepodobnosť akúkoľvek udalosť ALE je medzi nulou a jednotkou, t.j.

2. Štatistická pravdepodobnosť nemožnej udalosti ( ALE= Ø) sa rovná nule, t.j.

3. Štatistická pravdepodobnosť určitej udalosti ( ALE= Ω) sa rovná jednej, t.j.

4. Súčet štatistickej pravdepodobnosti nezlučiteľné udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, t.j. ak A B= Ø teda

Klasická definícia pravdepodobnosti

Nechajte experiment vykonať s n výsledky, ktoré možno znázorniť ako skupinu nezlučiteľných rovnako pravdepodobných udalostí. Prípad, ktorý spôsobil, že udalosť nastala ALE , sa nazýva priaznivý alebo priaznivý, t.j. deje w spôsobí udalosť ALE , w A .

Definícia. Pravdepodobnosť udalosti ALE nazývaný pomer čísla m prípadov priaznivých pre túto udalosť, k celkovému počtu n prípady, t.j.

Vlastnosti "klasickej" pravdepodobnosti

1. axióma nezápornosť : pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti ALE je nezáporná, t.j.

R(ALE) ≥ 0.

2. axióma normalizácie : pravdepodobnosť určitej udalosti ( ALE= Ω) sa rovná jednej:

3. axióma aditívnosť : pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľné udalosti (alebo pravdepodobnosť výskytu jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí) sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, t.j. ak A B=Ø teda

Pravdepodobnosť udalosti: R() = 1 – R(ALE).

Pre pravdepodobnosť udalosti, ktorá je súčtom akýkoľvek dve udalosti ALE a AT, správny vzorec je:

Ak udalosti ALE a AT nemôže nastať v dôsledku jedného testu súčasne, t.j. inými slovami, ak A B- nemožná udalosť, nazývajú sa nezlučiteľné alebo nezlučiteľné , a potom R(A B) = 0 a vzorec pre pravdepodobnosť súčtu udalostí má obzvlášť jednoduchú formu:

Ak udalosti ALE a AT môžu nastať v dôsledku jedného testu, sú tzv kompatibilné .

Užitočný algoritmus

Pri hľadaní pravdepodobností pomocou klasickej definície pravdepodobnosti by sa mal postupovať podľa nasledujúceho algoritmu.

1. Je potrebné jasne pochopiť, čo je experiment.

2. Jasne uveďte, o akú udalosť ide ALE, ktorej pravdepodobnosť sa má nájsť.

3. Jasne formulujte, čo bude predstavovať elementárnu udalosť v uvažovanom probléme. Po sformulovaní a definovaní elementárnej udalosti by sa mali skontrolovať tri podmienky, ktoré musí spĺňať súbor výsledkov, t.j. Ω.

6. Podľa klasickej definície pravdepodobnosti určite

Pri riešení problémov najčastejšia chyba je fuzzy chápanie toho, čo sa považuje za elementárnu udalosť w , a od toho závisí správnosť konštrukcie množiny a správnosť výpočtu pravdepodobnosti udalosti. Zvyčajne sa v praxi najjednoduchší výsledok berie ako elementárna udalosť, ktorú nemožno „rozdeliť“ na jednoduchšie.

V klasickej definícii je pravdepodobnosť udalosti určená rovnosťou Р(А)=m/n, kde m je počet elementárnych výsledkov testu, ktoré podporujú vzhľad udalosti А; n je celkový počet možných výsledkov elementárneho testu.

Predpokladá sa, že sa tvoria elementárne výsledky celá skupina a rovnako možné.

Relatívna frekvencia udalosti A: W(A)=m/n, kde m je počet pokusov, v ktorých sa udalosť A vyskytla; n-celkový počet vykonané testy.

V štatistickej definícii sa relatívna frekvencia udalosti berie ako pravdepodobnosť udalosti.

Príklad: sú hodené dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na padnutých tvárach je párny a na aspoň jednej z kociek sa objaví šestka.

Riešenie: na spadnutú tvár „prvého“ kocky môže sa objaviť jeden bod, ..., šesť bodov. podobných šesť základných výsledkov je možných pri hode „druhou“ kockou. Každý z výsledkov „prvého“ hodu možno skombinovať s každým z výsledkov „druhého“ hodu. celkový počet elementárnych výsledkov testu je 6 * 6 = 36. Tieto výsledky tvoria ucelenú skupinu a vzhľadom na symetriu kostí sú rovnako možné. Priaznivé udalosti sú 5 ťahov: 1) 6,2; 2) 6,4; 3) 6,6; 4) 2,6; 5) 4,6;

Požadovaná pravdepodobnosť: P(A)=5/36

Môžete tiež nájsť zaujímavé informácie vo vedeckom vyhľadávači Otvety.Online. Použite vyhľadávací formulár:

Viac k téme 3. Relatívna frekvencia. Stabilita relatívnych frekvencií. Štatistická definícia pravdepodobnosti.:

1. 4. Klasická definícia pravdepodobnosti. Relatívna frekvencia udalosti. štatistická pravdepodobnosť. geometrická pravdepodobnosť.
2. 27. Štatistická definícia vzorky. Variačné rady a ich grafické znázornenie. Polygón a histogram frekvencií (relatívne frekvencie).
3. 39. Konštrukcia intervalového variačného radu. Histogram frekvencií a relatívne frekvencie.
4. 4. Pravdepodobnosť odchýlky relatívnej frekvencie od konštantnej pravdepodobnosti v nezávislých testoch

Klasická definícia pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť - jeden zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti. Existuje niekoľko definícií tohto pojmu. Pravdepodobnosť je číslo, ktoré charakterizuje mieru možnosti výskytu udalosti.

Každý z možných výsledkov testu je tzv elementárny výsledok (elementárna udalosť). Označenia: …,

Tie elementárne výsledky, v ktorých nastane udalosť, ktorá nás zaujíma, zavoláme priaznivý.

Príklad: V urne 10 identické gule, z toho 4 čierne, 6 biele. Udalosť – z urny sa vyžrebuje biela guľa. Počet priaznivých výsledkov, pri ktorých sa budú žrebovať biele loptičky z urny, sú 4.

Pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre udalosť k ich celkovému počtu sa nazýva pravdepodobnosť udalosti; zápis V našom príklade

Pravdepodobnosť udalosti nazvime pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nezlučiteľných základných výsledkov, ktoré tvoria ucelenú skupinu,

kde je počet základných výsledkov v prospech udalosti; počet všetkých možných elementárnych výsledkov testu.

Pravdepodobnostné vlastnosti:

1. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej, t.j.

2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, t.j. e.

3. Existuje pravdepodobnosť náhodnej udalosti kladné číslo medzi nulou a jednotkou, t.j. e.

alebo

Berúc do úvahy vlastnosti 1 a 2, pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosť

4 . Základné vzorce kombinatorika

Kombinatorika študuje počet kombinácií podliehajúcich určitým podmienkam, ktoré môžu byť zložené z danej konečnej množiny prvkov ľubovoľnej povahy. Pri priamom výpočte pravdepodobností sa často používajú kombinatorikové vzorce. Uvádzame najčastejšie používané z nich.

Permutácie nazývané kombinácie pozostávajúce z toho istého rôzne prvky a líšia sa iba v poradí, v akom sa nachádzajú.

Počet všetkých možných permutácií

kde To sa uznáva

Príklad. Počet trojciferných čísel, keď je každá číslica zahrnutá v obrázku trojciferné číslo len raz, to isté

Umiestnenia nazývané kombinácie tvorené rôznymi prvkami prvkami, ktoré sa líšia buď zložením prvkov, alebo ich poradím. Počet všetkých možných umiestnení

Príklad. Počet signálov zo 6 vlajok rôzne farby prevzaté 2:

Kombinácie nazývané kombinácie zložené z rôznych prvkov prvkami, ktoré sa líšia aspoň jedným prvkom. Počet kombinácií

Príklad. Počet spôsobov, ako vybrať dve časti z krabice obsahujúcej 10 častí:

Počty umiestnení, permutácií a kombinácií súvisia podľa rovnosti

Pri riešení úloh sa využíva kombinatorika dodržiavanie pravidiel:

Pravidlo súčtu. Ak nejaký objekt možno vybrať zo množiny objektov spôsobmi a iný objekt možno vybrať spôsobmi, potom buď , alebo možno vybrať spôsobmi.

pravidlo produktu. Ak môže byť objekt vybraný z kolekcie objektov spôsobmi a po každom takomto výbere môže byť objekt vybraný spôsobmi, potom je možné spôsobmi vybrať pár objektov v tomto poradí.

Relatívna frekvencia tiež je základný koncept teórie pravdepodobnosti.

Relatívna frekvencia udalosti sú pomerom počtu pokusov, v ktorých sa udalosť objavila, k celkovému počtu skutočne vykonaných pokusov a je určený vzorcom

,

kde je počet výskytov udalosti v pokusoch, celkový počet pokusov.

Porovnaním definícií pravdepodobnosti a relatívnej frekvencie sme dospeli k záveru, že definícia pravdepodobnosti nevyžaduje testovanie a definícia relatívnej frekvencie zahŕňa skutočné testovanie.

Dlhodobé pozorovania ukazujú, že pri vykonávaní experimentov v rovnaké podmienky, relatívna frekvencia má vlastnosť stability. Táto vlastnosť spočíva v tom, že v rôznych sériách experimentov sa relatívna frekvencia testov v jednotlivých sériách len málo mení a kolíše okolo určitého konštantného čísla. Toto je konštantné číslo a existuje pravdepodobnosť výskytu udalosti.

Klasická definícia pravdepodobnosti má niekoľko nevýhod:

1) počet elementárnych výsledkov testu je konečný, v praxi môže byť tento počet nekonečný;

2) veľmi často nemožno výsledok testu reprezentovať ako súbor elementárnych udalostí;

Z týchto dôvodov sa spolu s klasickou definíciou pravdepodobnosti používa štatistická definícia: v kvalitu štatistická pravdepodobnosť udalosti majú relatívnu frekvenciu.

Relatívna frekvencia. Relatívna frekvenčná stabilita

Relatívna frekvencia udalosti je pomer počtu pokusov, v ktorých sa udalosť vyskytla, k celkovému počtu skutočne vykonaných pokusov. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, relatívna frekvencia udalosti A je daná vzťahom

kde m je počet výskytov udalosti, n je celkový počet pokusov.

Stanovenie pravdepodobnosti nevyžaduje, aby sa testy vykonali v skutočnosti; definícia relatívnej frekvencie predpokladá, že testy boli skutočne vykonané. Inými slovami, pravdepodobnosť sa vypočíta pred zážitkom a relatívna frekvencia sa vypočíta po zážitku.

Dlhodobé pozorovania ukázali, že ak sa experimenty uskutočňujú za rovnakých podmienok, pričom v každom z nich je počet testov dostatočne veľký, potom relatívna frekvencia vykazuje vlastnosť stability. Táto vlastnosť je taká rôzne skúsenosti relatívna frekvencia sa mení málo (čím menej, tým viac testov sa robí), kolíše okolo určitého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je pravdepodobnosť výskytu udalosti.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, v prípade empiricky je nastavená relatívna frekvencia, potom výsledné číslo môžeme brať ako približnú hodnotu pravdepodobnosti.

Príklad 1. Uskutočnili sa opakované experimenty hádzaním mince, pri ktorých sa počítal počet výskytov „erbu“. Výsledky niekoľkých experimentov sú uvedené v tabuľke.

Relatívna frekvencia je zanedbateľná. Odchýliť sa od čísla 0,5 a menšieho ako ďalšie číslo testy.

Ak vezmeme do úvahy, že pravdepodobnosť výskytu ʼʼГʼʼ pri hode mincou = 0,5, potom sme opäť presvedčení, že to súvisí. Frekvencia kolíše okolo ver-ty.

Väčšina slabá stránka klasický Definícia ver-ty je taká, že je veľmi často nemožné znázorniť výsledok testu vo forme elementárnych udalostí. Ešte ťažšie je uviesť dôvody, pre ktoré sa prvok.ob-I považuje za rovnako pravdepodobný. Z tohto dôvodu spolu s klasikou Používa sa definícia ver-ty atď.
Hostené na ref.rf
def. ver. Najmä štatistické: Príbuzní sú braní ako štatistická ver-ty udalostí. frekvenciu alebo číslo blízko nej.

Zároveň má definícia štatistickej ver-ty svoje vlastné ʼʼ-ʼʼ. Napríklad nejednoznačnosť štatistických ver-ty. Takže v uvažovanom príklade možno ako udalosť ver-ty brať nielen 0,5, ale aj 0,5069 a 0,5016 atď.

Koncept '' geometrická verzia''komp. nasledujúce:

Cesta do oblasti G je náhodne hodená bodom. Výraz „náhodne vrhnutý“ sa bežne chápe v tom zmysle, že hodený bod môže zasiahnuť akýkoľvek bod v oblasti G. časť plochy G je úmerná miere tejto časti (dĺžka, plocha, objem) a nezávisí od jej polohy a tvaru.

To. ak je g súčasťou oblasti G, potom pravdepodobnosť zasiahnutia oblasti g podľa definície = P (g) = miera g / miera G. Všimnite si, že tu je množina Ω všetkých elementárnych výsledkov zhodou všetkých bodov oblasti G, a preto pozostáva z nekonečné číslo elementárne udalosti => pojem ʼʼ geom. Ver-tʼʼ možno považovať za zovšeobecnenie pojmu ʼʼklasika. Ver-tʼʼ v prípade experimentov s nekonečné číslo výsledky.

úloha stretnutia. Vyriešte: Označte x a y časy príchodu osôb A a B. Stretnutie sa uskutoční, ak |x-y|≤10.

Ak predstavujete x a y ako Kartézske súradnice na štvorci sú potom všetky možné výsledky reprezentované bodom štvorca so stranami 60.

10≤y-x≤10

Buffonov problém. Resh-e: zavedieme zápis: x je vzdialenosť od stredu ihly k najbližšej rovnobežke;

φ je uhol, ktorý zviera táto rovnobežka s ihlou.

Poloha ihly je úplne určená danými špecifickými hodnotami x a φ. Navyše x Є (0; a), φЄ (0; π). Inými slovami, stred ihly môže zasiahnuť ktorýkoľvek z bodov obdĺžnika so stranami a a π.

To. daný obdĺžnik možno považovať za obrázok G, ktorého bodmi sú všetky možné polohy stredu ihly. Je zrejmé, že táto oblasť postavy \u003d πа.

Nájdite číslo g, ktorého každý bod uprednostňuje udalosť, ktorá nás zaujíma, ᴛ.ᴇ. každý bod obrázku môže slúžiť ako stred ihly, ktorý je prekrížený rovnobežkou.

Ihla prejde najbližšou rovnobežkou k nej za podmienky: x≤l sinφ

Tie. ak stred ihly spadne do ktoréhokoľvek z bodov obrázku vytieňovaného na obr. (2). To. tieňovaný obrázok možno vidieť ako g. Poďme nájsť jeho oblasť:

Odpoveď: 2l/аπ

Relatívna frekvencia. Relatívna frekvenčná stabilita - pojem a typy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Relatívna frekvencia. Relatívna frekvenčná stabilita" 2017, 2018.

Predmet teórie pravdepodobnosti. Skúška. Klasifikácia udalostí.

Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, ktoré študuje vzorce, ktoré sa vyskytujú v hromadných homogénnych testoch (MOT).

Test je komplex akýchkoľvek podmienok, akcií.

MY - to sú testy, v ktorých sa dá teoreticky pokračovať donekonečna (štúdium, ankety, hod mincou).

Výsledok testu je možný výsledok testu.

Udalosť je abstrakcia výsledku testu (či sa jav v MY vyskytol alebo nie).

Napríklad hod mincou je test, zatiaľ čo objavenie sa „orla“ je udalosť.

Udalosť sa zvyčajne označuje veľkou lat. písmená A, B, C.

TYPY UDALOSTÍ:

1. Určitá udalosť sa nazýva udalosť, ktorá nastane s akýmkoľvek výsledkom testu.

2. Nemožné - nestane sa to pri žiadnom výsledku testu.

3. Náhodný – môže, ale nemusí nastať ako výsledok testu.

napr. je hodená kockou.

Udalosť A – počet bodov nie je > 6: významný.

Udalosť B – skóre > 6: nemožné.

Udalosť C – 1 až 6: Náhodné.

NÁHODNÉ UDALOSTI

1. Ekvivalentné - tie, u ktorých existuje rovnosť jednotlivých výstupov testu.

napr. vytiahnutie kráľa, esa, kráľovnej, jacka z balíčka kariet.

2. Jediné možné sú tie, ak sa aspoň jedna z nich určite vyskytne v teste.

Napríklad v rodine sú 2 deti: A - 2 chlapci, B - 2 dievčatá, C - 1 ma 1 d.

Kombinatorika. Základné vzorce kombinatoriky.

Kombinatorika je veda o zlúčeninách. Spojením sa rozumie akákoľvek množina prvkov určitej množiny.

Napr. veľa študentov sedí v hľadisku.

Všetky zlúčeniny sú rozdelené do 3 skupín:

1) Ubytovanie. R-mi od n el-t na m () sa nazývajú také zlúčeniny, ktoré sa navzájom líšia buď zložením el-t, alebo poradím spojenia el-t, alebo oboma.

Anm = n!/(n-m)!

Úloha. Koľko rôznych 2-ciferných čísel možno vytvoriť zo sady číslic (1; 2; 3; 4) a tak, aby boli číslice čísla rôzne.

A zo 4 krát 2 = 4!/(4-2)! = 24/2 = 12

2) Kombinácie. Kombinácie n prvkov podľa m sú také zlúčeniny, ktoré sa navzájom líšia iba zložením prvkov (poradie nie je dôležité)

Od n po m = n!/m!*(n-m)!

Úloha. Koľkými spôsobmi môže skupina 30 ľudí distribuovať poukážky do sanatória Ussuri.

C z 30 x 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Permutácie (Pn). Permutácie n prvkov sú také zlúčeniny, ktoré zahŕňajú všetkých n prvkov a líšia sa od seba iba v poradí ich spojenia.

Úloha. Koľkými spôsobmi môže byť na prehliadkovom ihrisku zoradených 6 kadetov?

PRAVIDLO SÚČTU - ak objekt a možno vybrať z množiny rôznymi spôsobmi a objekt b rôznymi spôsobmi, potom výber jedného z prvkov a alebo pruhu možno vykonať rôznymi spôsobmi.

PRAVIDLO PRODUKTU - ak objekt a možno vybrať rôznymi spôsobmi a po každom takomto výbere možno objekt b vybrať rôznymi spôsobmi, potom výber dvojice prvkov možno vykonať rôznymi spôsobmi (a a b = r*s).

Klasická definícia pravdepodobnosti. Pravdepodobnostné vlastnosti.

Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekompatibilných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria úplnú skupinu (P(A)=m/n).

VLASTNOSTI IN-TI:

1) V-t istá udalosť = 1.

Pretože D- istá udalosť, potom každý možný výsledok testu uprednostňuje udalosť, t.j. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) Hodnota nemožnej udalosti je nula. Pretože udalosť N je nemožná, potom žiadny z elementárnych výsledkov nepodporuje udalosť, t.j. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) Číslo náhodnej udalosti je kladné číslo medzi 0 a 1. Náhodná udalosť S uprednostňuje iba od celkový počet prvok. výsledky testov, t.j. 0

0

In-th ľubovoľnej udalosti teda spĺňa dvojitú nerovnosť: 0<=P(A)<=1.

Relatívna frekvencia. Stabilita relatívnych frekvencií. Štatistická definícia pravdepodobnosti.

Relatívna frekvencia udalosti je pomer počtu pokusov, v ktorých sa udalosť vyskytla, k celkovému počtu skutočne vykonaných pokusov.

W(A)=m/n, kde m je počet výskytov udalosti, n je celkový počet pokusov.

V-Th navrhuje a relatívna frekvencia sa opravuje. V-Th nevyžaduje, aby sa udalosti konali, a relatívna frekvencia - vyžaduje. Inými slovami, in-té udalosti sú vypočítané pred experimentmi a rel. frekvencia po.

STABILITA relatívnej frekvencie.

Dlhodobé pozorovania ukázali, že ak sa experimenty uskutočňujú za rovnakých podmienok, pričom v každom z nich je počet testov dostatočne veľký, potom relatívna frekvencia vykazuje vlastnosť stability.

Táto vlastnosť spočíva v tom, že v rôznych experimentoch sa relatívna frekvencia mení málo, kolíše okolo určitého konštantného čísla.

Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je výskytom udalosti W(A) = P(A).

ŠTATISTICKÁ časť udalosti je číslo, okolo ktorého sú zoskupené relatívne frekvencie tejto udalosti a za konštantných podmienok a neobmedzeného nárastu počtu testov sa relatívna frekvencia mierne líši od tohto čísla.