Definícia 1. číselná os ( číselný rad, súradnicový rad) Ox sa nazýva priamka, na ktorej je zvolený bod O referenčný bod (počiatok súradníc)(obr.1), smer
O → X
uvedené ako pozitívny smer a je označený segment, ktorého dĺžka sa berie ako jednotka dĺžky.
Definícia 2. Úsek, ktorého dĺžka sa berie ako jednotka dĺžky, sa nazýva mierka.
Každý bod číselnej osi má súradnicu , čo je reálne číslo. Súradnica bodu O sa rovná nule. Súradnica ľubovoľného bodu A ležiaceho na lúči Ox sa rovná dĺžke úsečky OA. Súradnica ľubovoľného bodu A číselnej osi, ktorý neleží na lúči Ox, je záporná av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke úsečky OA.
Definícia 3. Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy v rovine zavolajte oboch navzájom kolmýčíselné osi Ox a Oy s rovnakej mierke a spoločný pôvod v bode O navyše tak, že rotácia od lúča Ox o uhol 90° k lúču Oy sa vykonáva v smere proti smeru hodinových ručičiek(obr. 2).
Poznámka . Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy znázornený na obrázku 2 sa nazýva pravý súradnicový systém, Na rozdiel od ľavé súradnicové systémy, v ktorom sa otáčanie lúča Ox pod uhlom 90° k lúču Oy uskutočňuje v smere hodinových ručičiek. V tejto príručke sme zvážiť iba správne súradnicové systémy bez toho, aby som to konkrétne spomenul.
Ak v rovine zavedieme nejaký systém pravouhlých karteziánskych súradníc Oxy, tak každý bod roviny nadobudne dve súradnice – úsečka a ordinát, ktoré sa vypočítajú nasledovne. Nech A je ľubovoľný bod roviny. Pustime kolmice z bodu A AA 1 a AA 2 k čiaram Ox a Oy (obr. 3).
Definícia 4. Súradnica bodu A je súradnicou bodu A 1 na číselnej osi Ox, súradnica bodu A je súradnicou bodu A 2 na číselnej osi Oy .
Označenie . Súradnice (osová a ordináta) bodu A v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy (obr. 4) sa zvyčajne označuje A(X;r) alebo A = (X; r).
Poznámka . Bod O, tzv pôvodu, má súradnice O(0 ; 0) .
Definícia 5. V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy sa číselná os Ox nazýva os x a číselná os Oy sa nazýva ordináta (obr. 5).
Definícia 6. Každý pravouhlý karteziánsky súradnicový systém rozdeľuje rovinu na 4 štvrtiny ( kvadranty), ktorých číslovanie je znázornené na obrázku 5.
Definícia 7. Rovina, na ktorej je daný pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, sa nazýva súradnicová rovina.
Poznámka . Os x je daná v rovine súradníc rovnicou r= 0 , os y je daná v rovine súradníc rovnicou X = 0.
Vyhlásenie 1. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi súradnicová rovina
A 1 (X 1 ;r 1) a A 2 (X 2 ;r 2)
vypočítané podľa vzorca
Dôkaz . Zvážte obrázok 6.
| |A 1 A 2 | 2 = = (X 2 -X 1) 2 + (r 2 -r 1) 2 . | (1) |
teda
Q.E.D.
Rovnica kružnice v súradnicovej rovine
Uvažujme na rovine súradníc Oxy (obr. 7) kružnicu s polomerom R so stredom v bode A 0 (X 0 ;r 0) .
Usporiadaná sústava dvoch alebo troch na seba kolmých pretínajúcich sa osí so spoločným počiatkom (pôvodom) a spoločnou jednotkou dĺžky sa nazýva pravouhlý karteziánsky súradnicový systém .
Všeobecný karteziánsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) môžu tiež zahŕňať nie nevyhnutne kolmé osi. Na počesť francúzskeho matematika Rene Descartesa (1596-1662) je pomenovaný taký súradnicový systém, v ktorom sa na všetkých osiach počíta spoločná jednotka dĺžky a osi sú priame.
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine má dve osi pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore - tri osi. Každý bod v rovine alebo v priestore je určený usporiadanou množinou súradníc - čísel v súlade s jednotkovou dĺžkou súradnicového systému.
Všimnite si, že ako vyplýva z definície, existuje kartézsky súradnicový systém na priamke, teda v jednom rozmere. Zavedenie karteziánskych súradníc na priamke je jedným zo spôsobov, ako sa ľubovoľnému bodu na priamke priradí presne definované reálne číslo, teda súradnica.
Metóda súradníc, ktorá vznikla v dielach Reného Descartesa, znamenala revolučnú reštrukturalizáciu celej matematiky. Algebraické rovnice (alebo nerovnice) bolo možné interpretovať vo forme geometrických obrazov (grafov) a naopak hľadať riešenia geometrických problémov pomocou analytických vzorcov, sústav rovníc. Áno, nerovnosť z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nachádza sa nad touto rovinou o 3 jednotky.
Príslušnosť bodu k danej krivke pomocou karteziánskeho súradnicového systému zodpovedá skutočnosti, že čísla X a r splniť nejakú rovnicu. Súradnice bodu kruhu so stredom v danom bode ( a; b) splniť rovnicu (X - a)² + ( r - b)² = R² .
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine
Dve kolmé osi v rovine so spoločným počiatkom a rovnakou mierkou Kartézsky súradnicový systém v rovine . Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y . Tieto osi sa nazývajú aj súradnicové osi. Označiť podľa MX a Mr respektíve priemet ľubovoľného bodu M na náprave Vôl a Oj. Ako získať projekcie? Prejdite cez bodku M Vôl. Táto čiara pretína os Vôl v bode MX. Prejdite cez bodku M priamka kolmá na os Oj. Táto čiara pretína os Oj v bode Mr. To je znázornené na obrázku nižšie.
X a r bodov M budeme nazývať príslušne veľkosti smerovaných segmentov OMX a OMr. Hodnoty týchto smerových segmentov sa vypočítajú ako X = X0 - 0 a r = r0 - 0 . Kartézske súradnice X a r bodov M úsečka a ordinát . Skutočnosť, že bodka M má súradnice X a r, sa označuje takto: M(X, r) .
Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadrant , ktorých číslovanie je znázornené na obrázku nižšie. Označuje tiež usporiadanie značiek pre súradnice bodov v závislosti od ich umiestnenia v jednom alebo inom kvadrante.
Okrem karteziánskych pravouhlých súradníc v rovine sa často zvažuje aj polárny súradnicový systém. O spôsobe prechodu z jedného súradnicového systému do druhého - v lekcii polárny súradnicový systém .
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore
Kartézske súradnice v priestore sú zavedené v úplnej analógii s karteziánskymi súradnicami v rovine.
Tri vzájomne kolmé osi v priestore (súradnicové osi) so spoločným začiatkom O a rovnaký tvar jednotky mierky Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore .
Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y , tretia - os Oz, alebo os aplikácie . Nechať byť MX, Mr Mz- projekcie ľubovoľného bodu M medzery na osi Vôl , Oj a Oz resp.
Prejdite cez bodku M VôlVôl v bode MX. Prejdite cez bodku M rovina kolmá na os Oj. Táto rovina pretína os Oj v bode Mr. Prejdite cez bodku M rovina kolmá na os Oz. Táto rovina pretína os Oz v bode Mz.
Kartézske pravouhlé súradnice X , r a z bodov M budeme nazývať príslušne veľkosti smerovaných segmentov OMX, OMr a OMz. Hodnoty týchto smerových segmentov sa vypočítajú ako X = X0 - 0 , r = r0 - 0 a z = z0 - 0 .
Kartézske súradnice X , r a z bodov M sú podľa toho pomenované úsečka , ordinát a nášivka .
Súradnicové osi sú v pároch umiestnené v súradnicových rovinách xOy , yOz a zOx .
Problémy o bodoch v karteziánskom súradnicovom systéme
Príklad 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na os x.
rozhodnutie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na os x sa nachádza na samotnej osi x, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordinátu (súradnicu na osi Oj, ktorú os x pretína v bode 0), rovný nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice týchto bodov na osi x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Príklad 2 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na osi y.
rozhodnutie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na os y sa nachádza na samotnej osi y, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a úsečku (súradnicu na osi Vôl, ktorú os y pretína v bode 0), rovný nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice týchto bodov na osi y:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Príklad 3 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Vôl .
Vôl Vôl Vôl, bude mať rovnakú úsečku ako daný bod a zvislá súradnica sa v absolútnej hodnote rovná osi daného bodu a v opačnom znamienku. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Vôl :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Vyriešte problémy v karteziánskom súradnicovom systéme sami a potom sa pozrite na riešenia
Príklad 4 Určte, v ktorých kvadrantoch (štvrtiny, obrázok s kvadrantmi - na konci odseku "Obdĺžnikový karteziánsky súradnicový systém v rovine") môže byť bod umiestnený M(X; r) , ak
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − r = 0 ;
4) X + r = 0 ;
5) X + r > 0 ;
6) X + r < 0 ;
7) X − r > 0 ;
8) X − r < 0 .
Príklad 5 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj .
Pokračujeme v riešení problémov spoločne
Príklad 6 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj .
rozhodnutie. Otočte o 180 stupňov okolo osi Oj smerovaný úsečku od osi Oj až do tohto bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oj, bude mať rovnakú ordinátu ako daný bod a úsečka sa v absolútnej hodnote rovná úsečke daného bodu a v opačnom znamienku. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom okolo osi Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Príklad 7 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Nájdite súradnice bodov, ktoré sú symetrické k týmto bodom vzhľadom na počiatok.
rozhodnutie. Otočíme sa o 180 stupňov okolo počiatku smerovaného segmentu idúceho z počiatku do daného bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický s daným bodom vzhľadom na počiatok súradníc bude mať úsečku a ordinátu rovnú v absolútnej hodnote úsečke a osi daného bodu. , ale opačne ako oni. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Príklad 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov:
1) v lietadle Oxy ;
2) do lietadla Oxz ;
3) do lietadla Oyz ;
4) na osi x;
5) na osi y;
6) na osi aplikácie.
1) Priemet bodu do roviny Oxy nachádza sa v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a ordinátu rovnú úsečke a osi daného bodu a aplikáciu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Priemet bodu do roviny Oxz nachádza sa v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Priemet bodu do roviny Oyz nachádza sa v tejto rovine samotnej, a preto má ordinátu a aplikáciu rovnajúcu sa ordinate a aplikácii daného bodu a úsečku rovnajúcu sa nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na os x sa nachádza na samotnej osi x, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordináta a aplikácia projekcie sa rovnajú nule (keďže os ordinát a aplikovaná os pretínajú úsečku v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na os x:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Priemet bodu na osi y sa nachádza na samotnej osi y, teda na osi Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a súradnica a aplikovaná projekcia sa rovnajú nule (keďže súradnica a aplikovaná os pretínajú os súradnice v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na osi y:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Priemet bodu na osi aplikácie sa nachádza na samotnej osi aplikácie, teda na osi. Oz, a preto má aplikáciu rovnajúcu sa aplikácii samotného bodu a úsečka a ordináta projekcie sa rovnajú nule (keďže os úsečky a ordináta pretínajú os aplikácie v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na osi aplikácie:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Príklad 9 Body sú dané v karteziánskom súradnicovom systéme v priestore
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Nájdite súradnice bodov, ktoré sú symetrické k týmto bodom vzhľadom na:
1) lietadlo Oxy ;
2) lietadlo Oxz ;
3) lietadlo Oyz ;
4) os x;
5) os y;
6) os aplikácie;
7) pôvod súradníc.
1) "Posunúť" bod na druhej strane osi Oxy Oxy, bude mať úsečku a zvislú os rovnajúcu sa úsečke a zvislej osi daného bodu a aplikáciu rovnajúcu sa veľkosti úsečky daného bodu, ale jej opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Posunúť" bod na druhej strane osi Oxz na rovnakú vzdialenosť. Podľa obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oxz, bude mať úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnajúcu sa veľkosti osy daného bodu, ale jej opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Posunúť" bod na druhej strane osi Oyz na rovnakú vzdialenosť. Podľa obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oyz, bude mať súradnicu a aplikáciu rovnajúcu sa súradnici a aplikácii daného bodu a úsečku rovnajúcu sa veľkosti úsečky daného bodu, ale opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na rovinu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogicky so symetrickými bodmi v rovine a bodmi v priestore symetrickými k údajom vzhľadom na roviny si všimneme, že v prípade symetrie okolo niektorej osi karteziánskeho súradnicového systému v priestore, súradnica na osi, okolo ktorej je symetria nastavená si zachová svoje znamienko a súradnice na ďalších dvoch osiach budú v absolútnej hodnote rovnaké ako súradnice daného bodu, ale v opačnom znamienku.
4) Úsečka si zachová svoje znamienko, kým ordináta a aplikácia zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom o osi x:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordináta si zachová svoje znamienko, zatiaľ čo úsečka a aplikácia zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom o osi y:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Žiadosť si zachová svoje znamienko a úsečka a ordináta zmenia znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom o osi aplikácie:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogicky k symetrii v prípade bodov v rovine, v prípade symetrie o pôvode súradníc, všetky súradnice bodu symetrického k danej súradnici sa budú v absolútnej hodnote rovnať súradniciam daného bodu, ale opačne ako oni. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov, ktoré sú symetrické k údajom vzhľadom na počiatok.
Poučenie
Zapíšte si matematické operácie v textovej forme a zadajte ich do vyhľadávacieho poľa na hlavnej stránke stránky Google, ak nemôžete používať kalkulačku, ale máte prístup na internet. Tento vyhľadávač má vstavanú multifunkčnú kalkulačku, ktorá sa používa oveľa jednoduchšie ako ktorákoľvek iná. Neexistuje žiadne rozhranie s tlačidlami - všetky údaje je potrebné zadať v textovej forme do jedného poľa. Napríklad, ak je známy súradnice extrémne body segment v trojrozmernom súradnicovom systéme A(51,34 17,2 13,02) a A(-11,82 7,46 33,5), potom súradnice stredný bod segment C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Zadaním (51,34-11,82) / 2 do poľa vyhľadávacieho dopytu, potom (17,2 + 7,46) / 2 a (13,02 + 33,5) / 2, môžete použiť Google na získanie súradnice C (19,76 ± 12,33 ± 23,26).
Štandardná kruhová rovnica vám umožňuje zistiť niekoľko dôležitých informácií o tomto obrázku, napríklad súradnice jeho stredu, dĺžku polomeru. V niektorých úlohách je naopak potrebné zostaviť rovnicu pre dané parametre.
Poučenie
Zistite, či máte informácie o kruhu, na základe zadanej úlohy. Pamätajte, že konečným cieľom je určiť súradnice stredu, ako aj priemer. Všetky vaše akcie by mali byť zamerané na dosiahnutie tohto konkrétneho výsledku.
Použite údaje o prítomnosti priesečníkov so súradnicovými alebo inými čiarami. Upozorňujeme, že ak kružnica prechádza cez úsečku, druhá bude mať súradnicu 0, a ak cez súradnicu, tak prvá. Tieto súradnice vám umožnia nájsť súradnice stredu kruhu a tiež vypočítať polomer.
Nezabudnite na základné vlastnosti sekán a dotyčníc. Najužitočnejšia je najmä veta, že v bode dotyku tvoria polomer a dotyčnica pravý uhol. Upozorňujeme však, že môžete byť požiadaní, aby ste dokázali všetky vety použité v kurze.
Vyriešte najbežnejšie typy, aby ste sa naučili, ako okamžite vidieť, ako použiť určité údaje pre kruhovú rovnicu. Takže okrem už naznačených problémov s priamo danými súradnicami a tých, pod ktorými sú uvedené informácie o prítomnosti priesečníkov, na zostavenie rovnice kruhu môžete použiť znalosti o strede kruhu, dĺžke akord a na ktorom tento akord leží.
Na vyriešenie zostavte rovnoramenný trojuholník, ktorého základňou bude daná tetiva a rovnaké strany budú polomery. Make up, z ktorého ľahko zistíte potrebné údaje. Na to stačí použiť vzorec na zistenie dĺžky úsečky v rovine.
Podobné videá
Kruh sa chápe ako obrazec, ktorý pozostáva z množiny bodov v rovine rovnako vzdialenej od jeho stredu. Vzdialenosť od stredu k bodom kruhy nazývaný polomer.
Polárne súradnice
Číslo sa volá polárny polomer bodky alebo prvá polárna súradnica. Vzdialenosť nemôže byť záporná, takže polárny polomer ľubovoľného bodu je . Prvá polárna súradnica sa tiež označuje gréckym písmenom („rho“), no ja som si už zvykol na latinskú verziu a v budúcnosti ju budem používať.
Číslo sa volá polárny uhol daný bod resp druhá polárna súradnica. Polárny uhol sa štandardne mení v rámci (tzv hlavné hodnoty uhla). Je však celkom prijateľné použiť rozsah a v niektorých prípadoch je priama potreba zvážiť všetky hodnoty uhla od nuly po „plus nekonečno“. Odporúčam, mimochodom, zvyknúť si na radiánovú mieru uhla, keďže vo vyššej matematike sa nepovažuje za zbytočné pracovať so stupňami.
Dvojica sa volá polárne súradnice body . Ľahko vyhľadateľné a ich konkrétny význam. Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve: teda samotný uhol: 
. Podľa Pytagorovej vety sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh: teda polárny polomer:
teda 
.
Jeden tučniak je dobrý, ale kŕdeľ je lepší: 
Negatívne orientované rohy 
pre každý prípad, označil som šípkami, zrazu jeden z čitateľov o tejto orientácii ešte nevedel. Ak chcete, môžete „naskrutkovať“ 1 otáčku ku každému z nich (rad. alebo 360 stupňov) a získať, mimochodom, pohodlné tabuľkové hodnoty:
Ale nevýhodou týchto "tradične" orientovaných rohov je, že sú príliš ďaleko (viac ako 180 stupňov) "pootočené" proti smeru hodinových ručičiek. Predvídam otázku: "prečo nedostatok a prečo vôbec potrebujeme nejaké negatívne uhly?" V matematike sa oceňujú najkratšie a najracionálnejšie cesty. No z hľadiska fyziky má často zásadný význam smer otáčania - každý z nás skúšal otvárať dvere potiahnutím kľučky v zlom smere =)
Poradie a technika konštrukcie bodov v polárnych súradniciach
Krásne obrázky sú krásne, ale zostavenie systému polárnych súradníc je pomerne náročná úloha. Ťažkosti nevznikajú s bodmi, ktorých polárne uhly sú rovnaké 
, v našom príklade sú to body 
; hodnoty, ktoré sú násobkom 45 stupňov, tiež nespôsobujú veľké problémy: . Ale ako správne a kompetentne postaviť povedzme bod?
Budete potrebovať kockovaný kus papiera, ceruzku a nasledujúce nástroje na kreslenie: pravítko, kružidlo, uhlomer. V extrémnych prípadoch sa môžete zaobísť s jedným pravítkom, alebo dokonca ... úplne bez neho! Čítajte ďalej a získate ešte jeden dôkaz, že táto krajina je neporaziteľná =)
Príklad 1
Zostrojte bod v polárnom súradnicovom systéme.
Najprv musíte zistiť mieru uhla. Ak vám uhol nie je známy alebo máte pochybnosti, vždy je lepšie ho použiť tabuľky alebo všeobecný vzorec na prevod radiánov na stupne. Náš uhol je teda (alebo ).
Nakreslíme polárny súradnicový systém (pozri začiatok lekcie) a vezmeme uhlomer. Pre majiteľov okrúhleho nástroja nebude ťažké označiť 240 stupňov, ale s vysokou pravdepodobnosťou budete mať na rukách polkruhovú verziu zariadenia. Problém úplnej absencie uhlomeru v prítomnosti tlačiarne a nožníc riešené vyšívaním.
Existujú dva spôsoby: otočte list a označte 120 stupňov alebo „skrutkujte“ pol otáčky a zvážte opačný uhol. Vyberme si metódu pre dospelých a urobme značku 60 stupňov: 
Buď trpasličí uhlomer, alebo obrovská klietka =) Na meranie uhla však mierka nie je dôležitá.
Ceruzkou nakreslíme tenkú rovnú čiaru prechádzajúcu tyčou a urobenú značku: 
Zistili sme uhol, ďalším krokom je polárny polomer. Berieme kompas a podľa pravítka jeho riešenie nastavíme na 3 jednotky, najčastejšie sú to, samozrejme, centimetre: 
Teraz opatrne položíme ihlu na palicu a rotačným pohybom urobíme malý zárez (červený). Požadovaný bod je vytvorený: 
Bez kružidla sa zaobídete tak, že pravítko priložíte priamo na postavenú čiaru a odmeriate 3 centimetre. Ale ako uvidíme neskôr, v úlohách na stavbu v polárnom súradnicovom systéme typická situácia je, keď potrebujete označiť dva alebo viac bodov s rovnakým polárnym polomerom, takže je efektívnejšie kov kaliť. Najmä v našom nákrese, otočením nohy kompasu o 180 stupňov, je ľahké urobiť druhý zárez a vytvoriť bod symetrický vzhľadom na pól. Na ňom vypracujme materiál z nasledujúceho odseku:
Vzťah pravouhlých a polárnych súradnicových systémov
Samozrejme pripojiť sa na polárny súradnicový systém "normálnej" súradnicovej siete a nakreslite bod na výkres: 
Toto spojenie je vždy užitočné mať na pamäti pri kreslení polárnych súradníc. Aj keď, chtiac-nechtiac, naznačuje sa bez prílišného náznaku.
Stanovme vzťah medzi polárnymi a karteziánskymi súradnicami na príklade konkrétneho bodu. Uvažujme pravouhlý trojuholník, v ktorom sa prepona rovná polárnemu polomeru: a nohy sú súradnice "x" a "hra" bodu v karteziánskom súradnicovom systéme: 
.
Sínus ostrého uhla je pomer protiľahlej nohy k prepone: 
Kosínus ostrého uhla je pomer priľahlej nohy k prepone: 
Zároveň si zopakovali definície sínusu, kosínusu (a o niečo skôr tangenty) z programu 9. ročníka všeobecnej školy.
Pridajte si do svojej referenčnej knihy pracovné vzorce, ktoré vyjadrujú karteziánske súradnice bodu v jeho polárnych súradniciach - budeme sa s nimi musieť zaoberať viackrát a nabudúce práve teraz =)
Nájdite súradnice bodu v pravouhlom súradnicovom systéme: 
takto:
Výsledné vzorce otvárajú ďalšiu medzeru v konštrukčnom probléme, keď sa môžete zaobísť bez uhlomeru: najprv nájdeme karteziánske súradnice bodu (samozrejme na výkrese), potom v duchu nájdeme správne miesto na výkrese. a označte tento bod. V záverečnej fáze nakreslíme tenkú priamku, ktorá prechádza cez vytvorený bod a pól. V dôsledku toho sa ukazuje, že uhol bol údajne meraný uhlomerom.
Je smiešne, že úplne zúfalí študenti sa zaobídu aj bez pravítka a namiesto neho použijú hladký okraj učebnice, zošita alebo učebnice - veď výrobcovia zošitov si dali záležať na metrike, 1 bunka = 5 milimetrov.
To všetko mi pripomenulo známu anekdotu, v ktorej vynaliezaví piloti načrtli kurz pozdĺž balíka Belomor \u003d) Hoci vtipy sú vtipy a anekdota nie je tak ďaleko od reality, pamätám si, že na jednom z domácich letov cez Ruskej federácie, všetky navigačné zariadenia zlyhali vo vložke a posádka úspešne pristála na palube pomocou obyčajného pohára vody, ktorý ukázal uhol sklonu lietadla voči zemi. A pristávacia dráha - tu je, viditeľná z čelného skla.
Pomocou Pytagorovej vety citovanej na začiatku lekcie je ľahké získať inverzné vzorce: , teda:
Samotný uhol "phi" je štandardne vyjadrený prostredníctvom arkus tangens - presne rovnaký ako argument komplexného čísla so všetkými jeho zvláštnosťami.
Je tiež vhodné umiestniť druhú skupinu vzorcov do vašej referenčnej batožiny.
Po podrobnom rozbore letov s jednotlivými bodmi prejdime k prirodzenému pokračovaniu témy:
Rovnica priamky v polárnych súradniciach
V podstate rovnica priamky v polárnom súradnicovom systéme je funkcia polárneho polomeru polárneho uhla (argument). V tomto prípade sa berie do úvahy polárny uhol v radiánoch(!) a nepretržite preberá hodnoty od do (niekedy by sa to malo považovať donekonečna alebo v mnohých problémoch pre pohodlie od do ). Každá hodnota uhla "phi", ktorá je zahrnutá v doména funkcie, zodpovedá jedinej hodnote polárneho polomeru.
Polárna funkcia sa dá porovnať s druhom radaru - keď sa lúč svetla vychádzajúci z pólu otáča proti smeru hodinových ručičiek a „detekuje“ (kreslí) čiaru.
Bežným príkladom polárnej krivky je Archimedova špirála. Ukazuje ju nasledujúci obrázok prvá zákruta– keď polárny polomer sledujúci polárny uhol nadobúda hodnoty od 0 do : 
Ďalej, prekročením polárnej osi v bode , sa špirála bude ďalej odvíjať, nekonečne ďaleko od pólu. Ale takéto prípady sú v praxi dosť zriedkavé; typickejšia situácia, keď pri všetkých nasledujúcich otáčkach „kráčame po tej istej čiare“, ktorá sa získa v rozsahu .
V prvom príklade sa stretávame aj s pojmom domén polárna funkcia: keďže polárny polomer nie je záporný, nemožno tu brať do úvahy záporné uhly.
! Poznámka : v niektorých prípadoch je zvykom používať zovšeobecnené polárne súradnice, kde polomer môže byť záporný a tento prístup si stručne preštudujeme o niečo neskôr
Okrem Archimedovej špirály existuje mnoho ďalších známych kriviek, ale, ako sa hovorí, nebudete hýčkať umením, a tak som zobral príklady, ktoré sú v skutočných praktických úlohách veľmi bežné.
Najprv najjednoduchšie rovnice a najjednoduchšie riadky:
Rovnica tvaru špecifikuje výstup z pólu Ray. Naozaj, premýšľajte o tom, ak je hodnota uhla vždy(bez ohľadu na to, "er" je) neustále, potom aká je hranica?
Poznámka : v zovšeobecnenom polárnom súradnicovom systéme táto rovnica definuje priamku prechádzajúcu pólom
Rovnica tvaru určuje ... hádajte prvýkrát - ak pre hocikoho rohový polomer "phi" zostáva konštantný? V skutočnosti táto definícia kruhy vycentrovaný na pól polomeru .
Napríklad, . Pre názornosť nájdeme rovnicu tejto priamky v pravouhlom súradnicovom systéme. Pomocou vzorca získaného v predchádzajúcom odseku vykonáme výmenu:
Vyrovnajme obe strany:
– kruhová rovnica so stredom v počiatku súradníc polomeru 2, ktorý sa mal overiť.
Od vytvorenia a vydania článku na lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti vektorov Dostal som niekoľko listov od návštevníkov stránky, ktorí sa pýtali v duchu: „Tu je jednoduchý a pohodlný pravouhlý súradnicový systém, prečo potrebujeme nejaký iný šikmý afinný prípad?“. Odpoveď je jednoduchá: matematika sa snaží obsiahnuť všetko a všetkých! Okrem toho je v tejto alebo tej situácii dôležité pohodlie - ako vidíte, je oveľa výnosnejšie pracovať s kruhom v polárnych súradniciach kvôli extrémnej jednoduchosti rovnice.
A niekedy matematický model predvída vedecké objavy. Takže svojho času rektor Kazanskej univerzity N.I. Lobačevského dôsledne dokázané, cez ľubovoľný bod roviny je možné kresliť nekonečný počet riadkov paralelne s daným. V dôsledku toho bol očierňovaný celým vedeckým svetom, ale ... nikto nemohol túto skutočnosť vyvrátiť. Až po dobrom storočí astronómovia zistili, že svetlo sa vo vesmíre šíri po zakrivených trajektóriách, kde začína fungovať neeuklidovská geometria Lobačevského, ktorú formálne vyvinul dávno pred týmto objavom. Predpokladá sa, že ide o vlastnosť samotného priestoru, ktorého zakrivenie je pre nás neviditeľné kvôli malým (na astronomické pomery) vzdialenostiam.
Zvážte zmysluplnejšie stavebné úlohy:
Príklad 2
postaviť líniu
rozhodnutie: prvý nález doména. Keďže polárny polomer nie je záporný, nerovnosť musí platiť. Môžete si pamätať školské pravidlá riešenia goniometrických nerovností, ale v jednoduchých prípadoch, ako je tento, radím rýchlejší a názornejší spôsob riešenia:
Predstavte si kosínusovú zápletku. Ak sa ho ešte nepodarilo uložiť do pamäte, nájdite ho na stránke Grafy elementárnych funkcií. Čo nám hovorí nerovnosť? Hovorí nám, že by mal byť umiestnený kosínusový graf nie menej vodorovná os. A to sa deje v segmente. A preto interval nesedí.
Oblasť našej funkcie je teda: , čiže graf sa nachádza napravo od pólu (podľa terminológie karteziánskeho systému v pravej polrovine).
V polárnych súradniciach je často nejasná predstava o tom, ktorá čiara definuje túto alebo tú rovnicu, takže na jej zostavenie musíte nájsť body, ktoré k nej patria - a čím viac, tým lepšie. Zvyčajne obmedzené na tucet alebo dva (alebo ešte menej). Najjednoduchší spôsob je, samozrejme, vziať tabuľkové hodnoty uhla. Pre väčšiu prehľadnosť „upevním“ jednu otáčku na záporné hodnoty: 
Vzhľadom na paritu kosínusu 
zodpovedajúce kladné hodnoty možno opäť vynechať: 
Znázornime polárny súradnicový systém a odložme nájdené body, pričom je vhodné vyčleniť rovnaké hodnoty „er“ naraz a vytvoriť párové pätky s kompasom podľa technológie diskutovanej vyššie: 
V zásade je čiara jasne nakreslená, ale aby sme úplne potvrdili odhad, nájdime jej rovnicu v karteziánskom súradnicovom systéme. Môžete použiť novo odvodené vzorce 
, ale poviem vám o zložitejšom triku. Obe časti rovnice umelo vynásobíme „er“: a použijeme kompaktnejšie prechodové vzorce:
Výberom celého štvorca privedieme rovnicu priamky do rozpoznateľnej podoby: 
– kruhová rovnica so stredom v bode, polomer 2.
Keďže podľa stavu bolo jednoducho potrebné stavbu dokončiť a je to, nájdené body plynulo spojíme čiarou: 
Pripravený. Nevadí, ak to dopadne trochu nerovnomerne, nemuseli ste vedieť, že ide o kruh ;-)
Prečo sme nezohľadnili hodnoty uhla mimo intervalu? Odpoveď je jednoduchá: nedáva to zmysel. Vzhľadom na periodicitu funkcie nás čaká nekonečný beh po zostrojenej kružnici.
Je ľahké vykonať jednoduchú analýzu a dospieť k záveru, že rovnica tvaru definuje kruh s priemerom so stredom v bode. Obrazne povedané, všetky takéto kruhy "sedia" na polárnej osi a nevyhnutne prechádzajú cez pól. Ak , potom sa veselá spoločnosť presunie doľava - na pokračovanie polárnej osi (premýšľajte prečo).
Podobný problém pre nezávislé riešenie:
Príklad 3
Nakreslite čiaru a nájdite jej rovnicu v pravouhlom súradnicovom systéme.
Systematizujeme postup riešenia problému:
Najprv nájdeme doménu funkcie, preto je vhodné sa na ňu pozrieť sínusoida okamžite pochopiť, kde je sínus nezáporný.
V druhom kroku vypočítame polárne súradnice bodov pomocou tabuľkové hodnoty uhlov; analyzovať, či je možné znížiť počet výpočtov?
V treťom kroku si odložíme body v polárnom súradnicovom systéme a opatrne ich spojíme čiarou.
A nakoniec nájdeme rovnicu priamky v karteziánskom súradnicovom systéme.
Ukážkové riešenie na konci lekcie.
Podrobne popisujeme všeobecný algoritmus a techniku konštrukcie v polárnych súradniciach
a výrazne zrýchliť v druhej časti prednášky, ale ešte predtým sa zoznámime s jednou spoločnou líniou:
polárna ruža
Celkom správne, hovoríme o kvete s okvetnými lístkami:
Príklad 4
Nakreslite čiary dané rovnicami v polárnych súradniciach
Existujú dva prístupy k skonštruovaniu polárnej ruže. Najprv poďme pozdĺž vrúbkovanej stopy za predpokladu, že polárny polomer nemôže byť záporný:
rozhodnutie:
a) Nájdite doménu funkcie: 
Takáto trigonometrická nerovnosť sa dá ľahko vyriešiť aj graficky: z materiálov článku Geometrické transformácie grafov Je známe, že ak sa argument funkcie zdvojnásobí, potom sa jeho graf zmenší na os y 2-krát. Nájdite graf funkcie v prvom príklade zadanej lekcie. Kde sa nachádza táto sínusoida nad osou x? V intervaloch 
. Preto zodpovedajúce segmenty spĺňajú nerovnosť a doména naša funkcia: 
.
Všeobecne povedané, riešením uvažovaných nerovností je spojenie nekonečného počtu segmentov, ale opäť nás zaujíma iba jedno obdobie.
Možno niektorým čitateľom bude analytická metóda hľadania domény definície jednoduchšia, podmienečne to nazvem „krájanie okrúhleho koláča“. Narežeme na rovnaké časti a v prvom rade nájsť hranice prvého dielu. Hádame sa takto: sínus je nezáporný, kedy jeho argument sa pohybuje od 0 do rad. vrátane. V našom príklade: . Vydelením všetkých častí dvojitej nerovnosti 2 dostaneme požadovaný interval:
Teraz začneme postupne „rezať rovnaké kusy po 90 stupňoch“ proti smeru hodinových ručičiek:
- nájdený segment je samozrejme zahrnutý do oblasti definície;
– ďalší interval – nie je zahrnutý;
- vstúpi ďalší segment;
- a napokon interval - nie je zahrnutý.
Rovnako ako harmanček - "miluje, nemiluje, miluje, nemiluje" =) S tým rozdielom, že to nie je veštenie. Áno, ukáže sa len nejaký druh lásky v čínštine ....
takze 
a čiara predstavuje ružu s dvoma rovnakými okvetnými lístkami. Je celkom možné nakresliť výkres schematicky, ale je veľmi žiaduce správne nájsť a označiť vrcholy okvetných lístkov. Vrcholy zodpovedajú stredy segmentov domény definície, ktoré v tomto príklade majú zrejmé uhlové súradnice 
. V čom dĺžka okvetného lístka sú: 
Tu je prirodzený výsledok starostlivého záhradníka: 
Treba poznamenať, že dĺžka okvetného lístka je ľahko viditeľná z rovnice - keďže sínus je obmedzený: , potom maximálna hodnota "er" určite nepresiahne dva.
b) Zostrojme priamku danú rovnicou. Je zrejmé, že dĺžka okvetného lístka tejto ruže je tiež dve, ale v prvom rade nás zaujíma oblasť definície. Aplikujeme analytickú metódu „krájania“: sínus je nezáporný, keď jeho argument je v rozsahu od nuly do "pi" vrátane, v tomto prípade: . Všetky časti nerovnosti vydelíme 3 a dostaneme prvý interval:
Ďalej začneme „krájať koláč na kúsky“ podľa rady. (60 stupňov):
– segment vstúpi do oblasti definície;
– interval – nezadá sa;
- segment - vstúpi;
– interval – nezadá sa;
- segment - vstúpi;
- interval - nevstúpi.
Proces bol úspešne dokončený pri 360 stupňoch.
Rozsah je teda: 
.
Úkony vykonané úplne alebo čiastočne sa dajú ľahko vykonať duševne.
Stavebníctvo. Ak v predchádzajúcom odseku išlo všetko dobre s pravými uhlami a 45-stupňovými uhlami, potom tu musíte trochu pohrať. Poďme nájsť vrcholy okvetných lístkov. Ich dĺžka bola viditeľná od samého začiatku úlohy, zostáva vypočítať uhlové súradnice, ktoré sa rovnajú stredom segmentov domény definície: 
Upozorňujeme, že medzi vrcholmi okvetných lístkov musíte nevyhnutne získať rovnaké medzery, v tomto prípade 120 stupňov.
Je žiaduce označiť kresbu do 60-stupňových sektorov (vymedzených zelenými čiarami) a nakresliť smery vrcholov okvetných lístkov (sivé čiary). Samotné vrcholy je vhodné označiť pomocou kompasu - raz zmerajte vzdialenosť 2 jednotiek a aplikujte tri zárezy v nakreslených smeroch pod uhlom 30, 150 a 270 stupňov: 
Pripravený. Chápem, že úloha je problematická, ale ak chcete všetko zariadiť inteligentne, budete musieť stráviť čas.
Formulujeme všeobecný vzorec: rovnica tvaru , je prirodzené číslo), definuje polárnu ružu, ktorej dĺžka okvetného lístka je .
Napríklad rovnica špecifikuje štvorlístok s dĺžkou okvetného lístka 5 jednotiek, rovnica - 5-listová ruža s dĺžkou okvetného lístka 3 jednotky. atď.
Pravouhlý súradnicový systém v rovine tvoria dve vzájomne kolmé súradnicové osi X'X a Y'Y. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok súradníc, na každej osi sa volí kladný smer Kladný smer osí (v pravotočivom súradnicovom systéme) sa volí tak, že keď os X'X je otočený proti smeru hodinových ručičiek o 90°, jeho kladný smer sa zhoduje s kladným smerom osi Y'Y. Štyri uhly (I, II, III, IV) tvorené súradnicovými osami X'X a Y'Y sa nazývajú súradnicové uhly (pozri obr. 1).
Poloha bodu A v rovine je určená dvomi súradnicami x a y. Súradnica x sa rovná dĺžke segmentu OB, súradnica y je dĺžka segmentu OC vo vybraných jednotkách. Segmenty OB a OC sú definované čiarami nakreslenými z bodu A rovnobežnými s osami Y'Y a X'X. Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A. Zapíšu to takto: A (x, y).
Ak bod A leží v súradnicovom uhle I, potom má bod A kladnú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle II, potom má bod A zápornú úsečku a kladnú os. Ak bod A leží v súradnicovom uhle III, potom bod A má zápornú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle IV, potom bod A má kladnú os a zápornú osi.
Pravouhlý súradnicový systém v priestore je tvorený tromi navzájom kolmými súradnicovými osami OX, OY a OZ. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok súradníc, na každej osi je zvolený kladný smer označený šípkami a jednotka merania segmentov na osiach. Merné jednotky sú rovnaké pre všetky osi. OX - abscisa os, OY - ordinate axis, OZ - appplication os. Kladný smer osí je zvolený tak, že pri otáčaní osi OX proti smeru hodinových ručičiek o 90° sa jej kladný smer zhoduje s kladným smerom osi OY, ak je toto otáčanie pozorované z kladného smeru osi OZ. Takýto súradnicový systém sa nazýva pravý. Ak sa palec pravej ruky berie ako smer X, ukazovák ako smer Y a prostredník ako smer Z, potom sa vytvorí pravý súradnicový systém. Podobné prsty ľavej ruky tvoria ľavý súradnicový systém. Pravý a ľavý súradnicový systém nemožno kombinovať tak, aby sa zodpovedajúce osi zhodovali (pozri obr. 2).
Poloha bodu A v priestore je určená tromi súradnicami x, y a z. Súradnica x sa rovná dĺžke úseku OB, súradnica y sa rovná dĺžke úseku OC, súradnica z je dĺžka úseku OD vo vybraných jednotkách. Segmenty OB, OC a OD sú definované rovinami vedenými z bodu A rovnobežnými s rovinami YOZ, XOZ a XOY. Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A, súradnica z sa nazýva aplikácia bodu A. Zapíšu to takto: A (a, b, c).
Horts
Obdĺžnikový súradnicový systém (akéhokoľvek rozmeru) je tiež opísaný množinou ortov , ktoré sú orientované spolu so súradnicovými osami. Počet ortov sa rovná rozmeru súradnicového systému a všetky sú na seba kolmé.
V trojrozmernom prípade sa takéto vektory zvyčajne označujú i j k alebo e X e r e z . V tomto prípade v prípade pravého súradnicového systému platia nasledujúce vzorce s vektorovým súčinom vektorov:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Príbeh
René Descartes ako prvý zaviedol pravouhlý súradnicový systém vo svojej Rozprave o metóde v roku 1637. Preto sa pravouhlý súradnicový systém nazýva aj - Kartézsky súradnicový systém. Súradnicová metóda na opis geometrických objektov položila základ analytickej geometrii. Pierre Fermat tiež prispel k rozvoju súradnicovej metódy, ale jeho práca bola prvýkrát publikovaná až po jeho smrti. Descartes a Fermat použili súradnicovú metódu iba v rovine.
Súradnicovú metódu pre trojrozmerný priestor prvýkrát použil Leonhard Euler už v 18. storočí.
pozri tiež
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
- Kartézsky súradnicový systém
- karteziánsky stupeň
Pozrite sa, čo sú „karteziánske súradnice“ v iných slovníkoch:
KARTSTIANSKÉ SÚRADNICE- (karteziánsky súradnicový systém) súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakou mierkou pozdĺž osí, pravouhlé karteziánske súradnice. Pomenovaný po R. Descartesovi... Veľký encyklopedický slovník
Kartézske súradnice- Súradnicový systém pozostávajúci z dvoch kolmých osí. Poloha bodu v takomto systéme je vytvorená pomocou dvoch čísel, ktoré určujú vzdialenosť od stredu súradníc pozdĺž každej z osí. Informačné témy ...... Technická príručka prekladateľa
Kartézske súradnice- (karteziánsky súradnicový systém), súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakou mierkou pozdĺž osí, pravouhlé karteziánske súradnice. Pomenovaný po R. Descartesovi... encyklopedický slovník
Kartézske súradnice- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: angl. Kartézske súradnice vok. kartesische Koordinaten, f… Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas
Kartézske súradnice- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karteziánske súradnice; súradnice mriežky vok. kartesische Koordinaten, fr rus. Kartézske súradnice, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas
KARTSTIANSKÉ SÚRADNICE- spôsob určenia polohy bodov v rovine podľa ich vzdialeností od dvoch pevných kolmých priamych osí. Tento koncept je už viditeľný v Archimedes a Appologia z Pergy pred viac ako dvetisíc rokmi a dokonca aj u starých Egypťanov. Prvýkrát toto…… Matematická encyklopédia
KARTSTIANSKÉ SÚRADNICE- karteziánsky súradnicový systém [pomenovaný podľa franc. filozof a matematik R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakou mierkou pozdĺž osí, pravouhlý D ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník
KARTSTIANSKÉ SÚRADNICE- (karteziánsky súradnicový systém), súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakou mierkou pozdĺž osí, pravouhlý D. až. Pomenovaný podľa R. Descartesa ... Prírodná veda. encyklopedický slovník
KARTSTIANSKÉ SÚRADNICE- Systém umiestnenia ľubovoľného bodu nájdených kostí vzhľadom na dve osi, ktoré sa pretínajú v pravom uhle. Tento systém, ktorý vyvinul René Descartes, sa stal základom pre štandardné metódy grafického znázornenia údajov. Horizontálna čiara… … Výkladový slovník psychológie
Súradnice- Súradnice. V rovine (vľavo) a vo vesmíre (vpravo). SÚRADNICE (z lat. co spolu a ordinatus usporiadané), čísla určujúce polohu bodu na priamke, rovine, ploche, v priestore. Súradnice sú vzdialenosti... Ilustrovaný encyklopedický slovník
