1.3 Metódy riešenia rovníc
Pri riešení rovníc v celých a prirodzených číslach možno zhruba rozlíšiť tieto metódy:
1. Metóda enumerácie možností.
2. Euklidovský algoritmus.
3. Pokračovacie zlomky.
4. Faktorizačná metóda.
5. Riešenie rovníc v celých číslach ako druhé mocniny vzhľadom na nejakú premennú.
6. Reziduálna metóda.
7. Metóda nekonečného zostupu.
Kapitola 2. Aplikácia metód riešenia rovníc
1. Príklady riešenia rovníc.
2.1 Euklidovský algoritmus.
Problém 1 . Riešte rovnicu v celých číslach 407 X – 2816r = 33.
Použime skompilovaný algoritmus.
1. Pomocou euklidovského algoritmu nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa čísel 407 a 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Preto (407,2816) = 11, pričom 33 je deliteľné 11
2. Obidve strany pôvodnej rovnice vydelíme 11, dostaneme rovnicu 37 X – 256r= 3 a (37, 256) = 1
3. Pomocou euklidovského algoritmu nájdeme lineárnu reprezentáciu čísla 1 cez čísla 37 a 256.
256 = 37 6 + 34;
Vyjadrime 1 od poslednej rovnosti, potom postupne stúpajúc po rovnosti vyjadríme 3; 34 a výsledné výrazy dosaďte do výrazu za 1.
1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =
– 83,37 – 256·(–12)
Teda 37·(–83) – 256·(–12) = 1, teda dvojica čísel x 0= – 83 a y 0= – 12 je riešením rovnice 37 X – 256r = 3.
4. Zapíšme si všeobecný vzorec na riešenie pôvodnej rovnice
Kde t- ľubovoľné celé číslo.
2.2 Spôsob výpočtu možností.
Úloha 2. Králiky a bažanty sedia v klietke, celkovo majú 18 nôh. Zistite, koľko z nich je v bunke?
Riešenie: Zostaví sa rovnica s dvoma neznámymi premennými, kde x je počet králikov, y je počet bažantov:
4x + 2y = 18 alebo 2x + y = 9.
Vyjadrime sa pri cez X : y = 9 – 2x.
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| pri | 7 | 5 | 3 | 1 |
Úloha má teda štyri riešenia.
odpoveď: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
2.3 Faktorizačná metóda.
Vyčíslenie možností pri hľadaní prirodzených riešení rovnice s dvoma premennými sa ukazuje ako veľmi prácne. Navyše, ak má rovnica celý riešenia, potom ich nie je možné vymenovať, keďže takýchto riešení je nekonečné množstvo. Preto ukážeme ešte jednu techniku - faktorizačná metóda.
Úloha 3. Riešte rovnicu celými číslamir 3 - X 3 = 91.
Riešenie. 1) Pomocou skrátených vzorcov na násobenie rozkladáme pravú stranu rovnice:
(r - X)(r 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)
2) Zapíšme si všetkých deliteľov čísla 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Vykonajte výskum. Všimnite si, že pre akékoľvek celé čísla X A rčíslo
r 2 + yx + X 2 ≥ r 2 - 2|r||X| + X 2 = (|r| - |X|) 2 ≥ 0,
preto oba faktory na ľavej strane rovnice musia byť kladné. Potom rovnica (1) je ekvivalentná množine sústav rovníc:
; ; ;4) Po vyriešení sústav dostaneme: prvá sústava má riešenia (5; 6), (-6; -5); tretí (-3; 4), (-4; 3); druhý a štvrtý nemajú riešenia v celých číslach.
odpoveď: rovnica (1) má štyri riešenia (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Úloha 4. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel, ktoré spĺňajú rovnicu
Riešenie. Rozložme ľavú stranu rovnice na faktorizáciu a napíšme rovnicu do tvaru
.Pretože Deliteľmi čísla 69 sú čísla 1, 3, 23 a 69, potom 69 môžeme získať dvoma spôsobmi: 69=1·69 a 69=3·23. Zvažujem to
, dostaneme dve sústavy rovníc, ktorých riešením môžeme nájsť požadované čísla: alebo .Prvý systém má riešenie
a druhý systém má riešenie.odpoveď:
.Úloha 5. Riešte rovnicu celými číslami:
.Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru
.Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Dostaneme
.Súčin dvoch celých čísel sa môže rovnať iba 1 v dvoch prípadoch: ak sú obe rovné 1 alebo -1. Dostávame dva systémy:
alebo .Prvá sústava má riešenie x=2, y=2 a druhá sústava má riešenie x=0, y=0.
odpoveď:
.Úloha 6. Riešte rovnicu v celých číslach
Riešenie. Zapíšme túto rovnicu do tvaru
.Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor pomocou metódy zoskupenia, dostaneme
.Súčin dvoch celých čísel sa môže rovnať 7 v nasledujúcich prípadoch:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Získame teda štyri systémy:
alebo , alebo , alebo .Riešením prvej sústavy je dvojica čísel x = - 5, y = - 6. Vyriešením druhej sústavy dostaneme x = 13, y = 6. Pre tretiu sústavu sú riešením čísla x = 5, y = 6. Štvrtá sústava má riešenie x = - 13, y = - 6.
.Úloha 7. Dokážte, že rovnica ( X - r) 3 + (r - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nie
Mestská vzdelávacia inštitúcia
Stredná škola Savrushskaya
Okres Pokhvistnevsky, región Samara
Abstrakt z matematiky na tému:
„Rovnice s dvoma
neznámy
v celých číslach"
Doplnila: Kolešová Tatyana
Staroverová Nina
prižiaci 10. ročníka
Mestská vzdelávacia inštitúcia Savrushskaya stredná škola
Okres Pokhvistnevsky
región Samara.
vedúci: Yatmankina Galina Mikhailovna
učiteľ matematiky.
Savrukha 2011
Úvod._________________________________________________3
1. Historické pozadie ________________________________________________5
1.1 Vety o počte riešení lineárnych diofantických rovníc___6
1.2 Algoritmus riešenia rovníc v celých číslach__________________ 6
1.3 Metódy riešenia rovníc________________________________ 7
Kapitola 2. Aplikácia metód riešenia rovníc.
1. Riešenie problémov______________________________________________ 8
2.1 Riešenie problémov pomocou euklidovského algoritmu_________________ 8
2.2 Spôsob výpočtu možností_________________________________ 9
2.3 Metóda faktorizácie____________________________ 9
2.4 Reziduálna metóda_________________________________________________ 12
2. Úlohy na úrovni skúšky____________________________ 13
Záver_________________________________________________ 16
Zoznam referencií _________________________________________ 17
„Kto kontroluje čísla,
On vládne svetu"
Pytagoras.
Úvod.
Analýza situácie: Diofantické rovnice sú v súčasnosti aktuálnou témou, pretože riešenie rovníc, nerovníc a problémov, ktoré sa redukujú na riešenie rovníc v celých číslach pomocou odhadov pre premenné, sa nachádza v rôznych matematických zbierkach a zbierkach Jednotnej štátnej skúšky.
Po štúdiu rôznych spôsobov riešenia kvadratickej rovnice s jednou premennou v triede nás zaujímalo, ako sa riešia rovnice s dvoma premennými. Takéto úlohy sa nachádzajú na olympiádach a v materiáloch jednotných štátnych skúšok.
V tomto akademickom roku budú musieť jedenástky zložiť Jednotnú štátnu skúšku z matematiky, kde sú KIM zostavené podľa novej štruktúry. Neexistuje žiadna časť „A“, ale do časti „B“ a časti „C“ boli pridané úlohy. Kompilátori vysvetľujú pridanie C6 tým, že na vstup na technickú univerzitu musíte byť schopní riešiť úlohy takej vysokej zložitosti.
Problém: Pri riešení vzorových verzií úloh Jednotnej štátnej skúšky sme si všimli, že v C6 sú najčastejšie úlohy na riešenie rovníc prvého a druhého stupňa v celých číslach. Ale nevieme, ako takéto rovnice riešiť. V tejto súvislosti bolo potrebné študovať teóriu takýchto rovníc a algoritmus na ich riešenie.
Cieľ: Osvojiť si metódu riešenia rovníc s dvoma neznámymi prvého a druhého stupňa v celých číslach.
Úlohy: 1) Štúdium vzdelávacej a referenčnej literatúry;
2) Zhromaždiť teoretický materiál o metódach riešenia rovníc;
3) Analyzujte algoritmus na riešenie rovníc tohto typu;
4) Popíšte riešenie.
5) Zvážte niekoľko príkladov s použitím tejto techniky.
6) Riešte rovnice s dvoma premennými v celých číslach od
materiály Jednotnej štátnej skúšky-2010 C6.
Predmet štúdia : Riešenie rovníc
Predmet štúdia : Rovnice s dvoma premennými v celých číslach.
hypotéza: Táto téma má veľký praktický význam. V kurze školskej matematiky sa podrobne študujú rovnice s jednou premennou a rôzne spôsoby ich riešenia. Potreby vzdelávacieho procesu vyžadujú, aby žiaci poznali a vedeli riešiť jednoduché rovnice s dvoma premennými. Preto je zvýšená pozornosť tejto téme nielen opodstatnená, ale je relevantná aj v školskom kurze matematiky.
Táto práca môže slúžiť na štúdium tejto témy vo výberových hodinách pre študentov, v rámci prípravy na záverečné a prijímacie skúšky. Dúfame, že náš materiál pomôže stredoškolákom naučiť sa riešiť rovnice tohto typu.
Kapitola 1. Teória rovníc s dvoma premennými v celých číslach.
1. Historické pozadie.
Diophantus a história diofantických rovníc .
Riešenie rovníc v celých číslach je jedným z najstarších matematických problémov. Najväčší rozkvet dosiahla táto oblasť matematiky v starovekom Grécku. Hlavným zdrojom, ktorý sa dostal do našej doby, je dielo Diophantus - „Aritmetika“. Diophantus zhrnul a rozšíril skúsenosti nahromadené pred ním pri riešení neurčitých rovníc v celých číslach.
História nám zachovala málo čŕt životopisu pozoruhodného alexandrijského algebraistu Diofanta. Podľa niektorých zdrojov žil Diophantus až do roku 364 nášho letopočtu. S istotou je známa iba jedinečná biografia Diofanta, ktorá bola podľa legendy vytesaná na jeho náhrobok a predstavovala hádanku:
„Boh ho poslal, aby bol chlapcom na šestinu jeho života; Keď k tomu pridal dvanástu časť, zakryl si líca páperím; po siedmej časti mu zapálil svetlo manželstva a päť rokov po sobáši mu dal syna. Žiaľ! Nešťastné neskoré dieťa, ktoré dosiahlo polovicu otcovho plného života, ho uniesol nemilosrdný osud. O štyri roky neskôr, keď utešoval smútok, ktorý ho postihol veda o číslach, [Diophantus] ukončil svoj život“ (približne 84-ročný).
Táto hádanka slúži ako príklad problémov, ktoré Diophantus vyriešil. Špecializoval sa na riešenie úloh v celých číslach. Takéto problémy sú v súčasnosti známe ako diofantínové problémy.
Najznámejším problémom, ktorý vyriešil Diophantus, je problém „rozkladu na dva štvorce“. Jeho ekvivalentom je známa Pytagorova veta. Táto veta bola známa v Babylonii, možno ju poznali aj v starovekom Egypte, ale prvýkrát bola dokázaná v pytagorejskej škole. Tak sa volala skupina filozofov zaujímajúcich sa o matematiku pomenovaná po zakladateľovi školy Pytagoras (asi 580-500 pred Kr.)
Život a dielo Diofanta sa odohrávali v Alexandrii, zbieral a riešil známe problémy a vymýšľal nové. Neskôr ich spojil vo veľkom diele s názvom Aritmetika. Z trinástich kníh, ktoré tvorili Aritmetiku, len šesť prežilo do stredoveku a stalo sa zdrojom inšpirácie pre renesančných matematikov.
1.1 Vety o počte riešení lineárnej diofantínskej rovnice.
Uvádzame tu formulácie viet, na základe ktorých možno zostaviť algoritmus na riešenie neurčitých rovníc prvého stupňa dvoch premenných v celých číslach.
Veta 1. Ak v rovnici , , potom rovnica má aspoň jedno riešenie.
Veta 2. Ak v rovnici , a s nie je deliteľné , potom rovnica nemá celočíselné riešenia.
Veta 3. Ak je v rovnici , a , potom je ekvivalentná rovnici, v ktorej .
Veta 4. Ak v rovnici , , potom všetky celočíselné riešenia tejto rovnice sú obsiahnuté vo vzorcoch:
Kde x 0, y 0
1.2. Algoritmus riešenia rovníc v celých číslach.
Sformulované vety nám umožňujú zostaviť nasledujúce algoritmu riešenia v celých číslach rovníc tvaru .
1. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel a A b ,
ak s nie je deliteľné , potom rovnica nemá celočíselné riešenia;
ak a , tak
2. Rozdeľte rovnicu členmi a získajte rovnicu, v ktorej .
3. Nájdite celé riešenie ( x 0, y 0) rovnice reprezentovaním 1 ako lineárnej kombinácie čísel a ;
4. Vytvorte všeobecný vzorec pre celočíselné riešenia tejto rovnice
Kde x 0, y 0– celočíselné riešenie rovnice, – akékoľvek celé číslo.
1.3 Metódy riešenia rovníc
Pri riešení rovníc v celých a prirodzených číslach možno zhruba rozlíšiť tieto metódy:
1. Metóda enumerácie možností.
2. Euklidovský algoritmus.
3. Pokračovacie zlomky.
4. Faktorizačná metóda.
5. Riešenie rovníc v celých číslach ako druhé mocniny vzhľadom na nejakú premennú.
6. Reziduálna metóda.
7. Metóda nekonečného zostupu.
Kapitola 2. Aplikácia metód riešenia rovníc
1. Príklady riešenia rovníc.
2.1 Euklidovský algoritmus.
Problém 1 . Riešte rovnicu v celých číslach 407 X – 2816r = 33.
Použime skompilovaný algoritmus.
1. Pomocou euklidovského algoritmu nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa čísel 407 a 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Preto (407,2816) = 11, pričom 33 je deliteľné 11
2. Obidve strany pôvodnej rovnice vydelíme 11, dostaneme rovnicu 37 X – 256r= 3 a (37, 256) = 1
3. Pomocou euklidovského algoritmu nájdeme lineárnu reprezentáciu čísla 1 cez čísla 37 a 256.
256 = 37 6 + 34;
Vyjadrime 1 od poslednej rovnosti, potom postupne stúpajúc po rovnosti vyjadríme 3; 34 a výsledné výrazy dosaďte do výrazu za 1.
1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =
– 83,37 – 256·(–12)
Teda 37·(–83) – 256·(–12) = 1, teda dvojica čísel x 0= – 83 a y 0= – 12 je riešením rovnice 37 X – 256r = 3.
4. Zapíšme si všeobecný vzorec na riešenie pôvodnej rovnice
Kde t- ľubovoľné celé číslo.
2.2 Spôsob výpočtu možností.
Úloha 2. Králiky a bažanty sedia v klietke, celkovo majú 18 nôh. Zistite, koľko z nich je v bunke?
Riešenie: Zostaví sa rovnica s dvoma neznámymi premennými, kde x je počet králikov, y je počet bažantov:
4x + 2y = 18 alebo 2x + y = 9.
Vyjadrime sa pri cez X : y = 9 – 2x.
Úloha má teda štyri riešenia.
odpoveď: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
2.3 Faktorizačná metóda.
Vyčíslenie možností pri hľadaní prirodzených riešení rovnice s dvoma premennými sa ukazuje ako veľmi prácne. Navyše, ak má rovnica celý riešenia, potom ich nie je možné vymenovať, keďže takýchto riešení je nekonečné množstvo. Preto ukážeme ešte jednu techniku - faktorizačná metóda.
Úloha 3. Riešte rovnicu celými číslami r 3 - X 3 = 91.
Riešenie. 1) Pomocou skrátených vzorcov na násobenie rozkladáme pravú stranu rovnice:
(r - X)(r 2 + xy + X 2) = 91……………………….(1)
2) Zapíšme si všetkých deliteľov čísla 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
3) Vykonajte výskum. Všimnite si, že pre akékoľvek celé čísla X A rčíslo
r 2 + yx + X 2 ≥ r 2 - 2|r ||X | + X 2 = (|r | - |X |) 2 ≥ 0,
preto oba faktory na ľavej strane rovnice musia byť kladné. Potom rovnica (1) je ekvivalentná množine sústav rovníc:
; 
; 
; 
4) Po vyriešení sústav dostaneme: prvá sústava má riešenia (5; 6), (-6; -5); tretí (-3; 4), (-4; 3); druhý a štvrtý nemajú riešenia v celých číslach.
odpoveď: rovnica (1) má štyri riešenia (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Úloha 4. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel, ktoré spĺňajú rovnicu
Riešenie. Rozložme ľavú stranu rovnice na faktorizáciu a napíšme rovnicu do tvaru
.
Pretože Deliteľmi čísla 69 sú čísla 1, 3, 23 a 69, potom 69 môžeme získať dvoma spôsobmi: 69=1·69 a 69=3·23. Vzhľadom na to dostaneme dve sústavy rovníc, ktorých riešením môžeme nájsť požadované čísla:
Prvý systém má riešenie a druhý systém má riešenie.
odpoveď: .
Úloha 5.
Riešenie. Napíšeme rovnicu do tvaru
.
Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Dostaneme
.
Súčin dvoch celých čísel sa môže rovnať iba 1 v dvoch prípadoch: ak sú obe rovné 1 alebo -1. Dostávame dva systémy:
Prvá sústava má riešenie x=2, y=2 a druhá sústava má riešenie x=0, y=0.
odpoveď: .
Úloha 6. Riešte rovnicu v celých číslach
.
Riešenie. Zapíšme túto rovnicu do tvaru
Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor pomocou metódy zoskupenia, dostaneme
.
Súčin dvoch celých čísel sa môže rovnať 7 v nasledujúcich prípadoch:
7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Získame teda štyri systémy:
Alebo, alebo, alebo.
Riešením prvej sústavy je dvojica čísel x = - 5, y = - 6. Vyriešením druhej sústavy dostaneme x = 13, y = 6. Pre tretiu sústavu sú riešením čísla x = 5, y = 6. Štvrtá sústava má riešenie x = - 13, y = - 6.
Úloha 7. Dokážte, že rovnica ( X - r) 3 + (r - z) 3 + (z - X) 3 = 30 nie
má riešenia v celých číslach.
Riešenie. 1) Rozložme ľavú stranu rovnice na faktorizáciu a obe strany rovnice vydeľme 3, výsledkom čoho bude nasledujúca rovnica:
(X - r)(r - z)(z - X) = 10…………………………(2)
2) Deliče 10 sú čísla ±1, ±2, ±5, ±10. Všimnite si tiež, že súčet faktorov na ľavej strane rovnice (2) sa rovná 0. Je ľahké skontrolovať, že súčet ľubovoľných troch čísel z množiny deliteľov čísla 10, ktorý dáva súčin 10, bude nerovná sa 0. V dôsledku toho pôvodná rovnica nemá riešenia v celých číslach.
Úloha 8. Riešte rovnicu: x 2 - y 2 = 3 celými číslami.
Riešenie:
1. použite skrátený vzorec na násobenie x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3
2. nájdite deliteľa čísla 3 = -1;-3;1;3
3. Táto rovnica je ekvivalentná množine 4 systémov:
X-y=1 2x=4 x=2, y=1
X-y = 3 x = 2, y = -1
X-y=-3 x=-2, y=1
X-y=-1 x=-2, y=-1
Odpoveď: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)
2.4 Reziduálna metóda.
Problém 9 .Vyriešte rovnicu: x 2 + xy = 10
Riešenie:
1. Vyjadrite premennú y až x: y= 10 rokov 2
Y = - X
2. Zlomok bude celé číslo, ak x Є ±1;±2; ±5;±10
3. Nájdite 8 hodnôt u.
Ak x=-1, potom y=-9 x=-5, potom y=3
X=1, potom y=9 x=5, potom y=-3
X=-2, potom y=-3 x=-10, potom y=9
X=2, potom y=3 x=10, potom y=-9
Problém 10. Riešte rovnicu celými číslami:
2x 2 -2xy +9x+y=2
Riešenie:
Vyjadrime z rovnice neznámu, ktorá je v nej zahrnutá len do prvého stupňa – v tomto prípade y:
2x 2 +9x-2=2xy-y
Y = 
Vyberme celú časť zlomku pomocou pravidla delenia polynómu polynómom „uhlom“. Dostaneme:
Preto rozdiel 2x-1 môže nadobudnúť iba hodnoty -3,-1,1,3.
Zostáva prejsť tieto štyri prípady.
Odpoveď : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
2. Úlohy na úrovni skúšky
Po zvážení niekoľkých spôsobov riešenia rovníc prvého stupňa s dvoma premennými v celých číslach sme si všimli, že najčastejšie sa používa metóda faktorizácie a metóda zvyškov.
Rovnice uvedené vo verziách USE -2011 sú riešené hlavne reziduálnou metódou.
1. Riešte rovnicu v prirodzených číslach: , kde m>n
Riešenie:
Vyjadrime premennú P cez premennú T
(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8
(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8
Odpoveď: (12; -8)
Záver.
Riešenie rôznych typov rovníc je jednou z obsahových oblastí školského kurzu matematiky, ale s metódami riešenia rovníc s viacerými neznámymi sa prakticky neuvažuje. Riešenie rovníc o viacerých neznámych celými číslami je zároveň jedným z najstarších matematických problémov. Väčšina metód riešenia takýchto rovníc je založená na teórii deliteľnosti celých čísel, o ktorej záujem je v súčasnosti determinovaný prudkým rozvojom informačných technológií. V tomto smere bude pre stredoškolákov zaujímavé zoznámiť sa s metódami riešenia niektorých rovníc v celých číslach, najmä preto, že olympiády na rôznych úrovniach veľmi často ponúkajú úlohy, ktoré zahŕňajú riešenie rovnice v celých číslach a tento rok sú zaradené aj takéto rovnice a v materiáloch jednotnej štátnej skúšky.
V našej práci sme uvažovali len s neurčitými rovnicami prvého a druhého stupňa. Rovnice prvého stupňa, ako sme videli, sa riešia celkom jednoducho. Identifikovali sme typy takýchto rovníc a algoritmy na ich riešenie. Našlo sa aj všeobecné riešenie takýchto rovníc.
S rovnicami druhého stupňa je to zložitejšie, preto sme zvažovali iba špeciálne prípady: Pytagorovu vetu a prípady, keď jedna časť rovnice má tvar súčinu a druhá je faktorizovaná.
Veľkí matematici študujú rovnice tretieho a vyššieho stupňa, pretože ich riešenia sú príliš zložité a ťažkopádne
V budúcnosti plánujeme prehĺbiť náš výskum o štúdium rovníc s viacerými premennými, ktoré sa využívajú pri riešení úloh
Literatúra.
1. Berezin V.N. Zbierka úloh na výberové a mimoškolské aktivity z matematiky. Moskva "Osvietenie" 1985
2. Galkin E.G. Neštandardné úlohy z matematiky. Čeľabinsk „Vzglyad“ 2004
3. Galkin E.G. Problémy s celými číslami. Čeľabinsk „Vzglyad“ 2004
4. Glazer E.I. História matematiky v škole. Moskva „Osvietenie“ 1983
5. Mordkovich A.G. Algebra a začiatok analýzy ročníky 10-11. Moskva 2003
6. Matematika. Jednotná štátna skúška 2010. Federálny inštitút
pedagogické merania.
7. Sharygin I.F. Voliteľný kurz matematiky. Riešenie
úlohy. Moskva 1986
Riešenie rovníc v celých číslach.
Neisté rovnice sú rovnice obsahujúce viac ako jednu neznámu. Jedným riešením neurčitej rovnice rozumieme množinu hodnôt neznámych, ktoré menia danú rovnicu na skutočnú rovnosť.
Riešiť rovnicu tvaru v celých číslach ach + podľa = c , Kde A, b , c - celé čísla iné ako nula, uvádzame množstvo teoretických ustanovení, ktoré nám umožnia zaviesť rozhodovacie pravidlo. Tieto ustanovenia vychádzajú aj z už známych faktov teórie deliteľnosti.
Veta 1.Ak gcd (A, b ) = d , potom sú také celé čísla X A pri, že platí rovnosť ach + b y = d . (Táto rovnosť sa nazýva lineárna kombinácia alebo lineárna reprezentácia najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel z hľadiska samotných čísel.)
Dôkaz vety je založený na použití rovnosti Euklidovho algoritmu na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel (najväčší spoločný deliteľ je vyjadrený v parciálnych kvocientoch a zvyškoch, počínajúc od poslednej rovnosti v Euklidovskom algoritme).
Príklad.
Nájdite lineárne znázornenie najväčšieho spoločného deliteľa čísel 1232 a 1672.
Riešenie.
1. Vytvorme rovnosti euklidovského algoritmu:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, t.j. (1672,352) = 88.
2) Vyjadrime 88 postupne prostredníctvom neúplných kvocientov a zvyškov pomocou rovnosti získaných vyššie, počnúc od konca:
88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, t.j. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Veta 2. Ak rovnica ach + b y = 1 , ak je gcd (A, b ) = 1 , stačí si predstaviť číslo 1 ako lineárna kombinácia čísel a a b.
Platnosť tejto vety vyplýva z vety 1. Aby sme teda našli jediné celočíselné riešenie rovnice ach + b y = 1, ak gcd (a, b) = 1, stačí znázorniť číslo 1 ako lineárnu kombináciu čísel A A V .
Príklad.
Nájdite celočíselné riešenie rovnice 15x + 37y = 1.
Riešenie.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Veta 3. Ak v rov. ach + b y = c gcd(a, b ) = d >1 A s nedeliteľné d , potom rovnica nemá celočíselné riešenia.
Na dokázanie vety stačí predpokladať opak.
Príklad.
Nájdite celočíselné riešenie rovnice 16x - 34y = 7.
Riešenie.
(16,34) = 2; 7 nie je deliteľné 2, rovnica nemá celočíselné riešenia
Veta 4. Ak v rov. ach + b y = c gcd(a, b ) = d >1 a c d , potom to je
Pri dokazovaní vety treba ukázať, že ľubovoľné celočíselné riešenie prvej rovnice je aj riešením druhej rovnice a naopak.
Veta 5. Ak v rov. ach + b y = c gcd(a, b ) = 1, potom sú všetky celočíselné riešenia tejto rovnice obsiahnuté vo vzorcoch:
t – ľubovoľné celé číslo.
Pri dokazovaní vety by sa malo ukázať po prvé, že vyššie uvedené vzorce skutočne poskytujú riešenia tejto rovnice a po druhé, že vo vzorcoch vyššie je obsiahnuté ľubovoľné celočíselné riešenie tejto rovnice.
Vyššie uvedené vety nám umožňujú stanoviť nasledujúce pravidlo na riešenie rovnice v celých číslach ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:
1) Nájde sa celočíselné riešenie rovnice ach + b y = 1 reprezentovaním 1 ako lineárnej kombinácie čísel A Ab (existujú aj iné spôsoby, ako nájsť celé riešenia tejto rovnice, napríklad pomocou reťazových zlomkov);
Všeobecný vzorec pre celočíselné riešenia danéhodávať t určité celočíselné hodnoty, môžete získať čiastkové riešenia tejto rovnice: najmenšia v absolútnej hodnote, najmenšia kladná (ak je to možné) atď.
Príklad.
Nájdite celočíselné riešenia rovnice 407x – 2816y = 33.
Riešenie.
1. Zjednodušíme túto rovnicu a dostaneme ju do tvaru 37x - 256y = 3.
2. Vyriešte rovnicu 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Celkový pohľad na všetky celočíselné riešenia tejto rovnice:
x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,
y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.
Metóda vyčerpávajúceho vymenovania všetkých možných hodnôt premenných,
zahrnuté v rovnici.
Nájdite množinu všetkých dvojíc prirodzených čísel, ktoré sú riešením rovnice 49x + 51y = 602.
Riešenie:
Vyjadrime premennú x z rovnice cez y x =, keďže x a y sú prirodzené čísla, potom x =602 – 51 у ≥ 49, 51 у≤ 553, 1 ≤ у≤ 10.
Úplné vyhľadávanie možností ukazuje, že prirodzené riešenia rovnice sú x=5, y=7.
Odpoveď: (5;7).
Riešenie rovníc metódou faktorizácie.
Diophantus spolu s lineárnymi rovnicami považovali kvadratické a kubické neurčité rovnice. Ich riešenie je zvyčajne ťažké.
Uvažujme o prípade, keď na rovnice možno použiť vzorec rozdielu štvorcov alebo inú metódu faktorizácie.
Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + 23 = y 2
Riešenie:
Prepíšme rovnicu v tvare: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23
Keďže x a y sú celé čísla a 23 je prvočíslo, sú možné tieto prípady:
Pri riešení výsledných systémov zistíme:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Vyjadrenie jednej premennej z hľadiska inej a izolácia celej časti zlomku.
Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + xy – y – 2 = 0.
Riešenie:
Vyjadrime y až x z tejto rovnice:
y(x - 1) = 2 - x 2,
Heinrich G.N. FMS č. 146, Perm
54 ≡ 6× 5 ≡ 2 (mod 7),
55 ≡ 2× 5 ≡ 3 (mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1 (mod 7).
Zvýšením k na mocninu dostaneme 56k ≡ 1(mod 7) pre ľubovoľné prirodzené k. Preto 5555 = 56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).
(Geometricky táto rovnosť znamená, že ideme okolo kruhu, počnúc od 5, deväťdesiatich dvoch cyklov a troch ďalších čísel). Číslo 222555 teda po delení 7 ponecháva zvyšok 6.
Riešenie rovníc v celých číslach.
Jednou zo zaujímavých tém v matematike je nepochybne riešenie diofantínskych rovníc. Táto téma sa študuje v 8. a potom v 10. a 11. ročníku.
Akákoľvek rovnica, ktorú je potrebné vyriešiť v celých číslach, sa nazýva diofantická rovnica. Najjednoduchšia z nich je rovnica v tvare ax+bу=c, kde a, b a cÎ Z. Na vyriešenie tejto rovnice sa používa nasledujúca veta.
Veta. Lineárna diofantická rovnica ax+bу=c, kde a, b a сО Z má riešenie práve vtedy, ak c je deliteľné gcd čísel a a b. Ak d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d a (x0, y0) je riešením rovnice akh+bу=с, potom sú všetky riešenia dané vzorcami x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, kde t je ľubovoľné celé číslo.
1. Riešte rovnice v celých číslach:
3xy–6x2 =y–2x+4; |
|||
(x–2)(xy+4)=1; |
y-x-xy=2; |
||
2x2 +xy=x+7; |
3xy+2x+3y=0; |
||
x2 – xy – x + y = 1; |
|||
x2 –3xy=x–3y+2; |
10. x2 – xy – y = 4. |
||
2. Na túto tému som pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky zvažoval nasledujúce problémy s maturantmi.
1). Riešte rovnicu v celých číslach: xy+3y+2x+6=13. Riešenie:
Rozložme ľavú stranu rovnice na faktor. Dostaneme:
y(x+3)+2(x+3)=13; |
(x+3)(y+2)=13. |
Pretože x,уО Z, dostaneme sústavu sústav rovníc:
Heinrich G.N.
М x + |
||||
М x + |
||||
М x + |
||||
ê Ð x + |
||||
FMS č. 146, Perm
М x = |
|||||
М x = |
|||||
М x = |
|||||
ê Ð x = |
|||||
Odpoveď: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)
2). Riešte rovnicu v prirodzených číslach: 3x +4y =5z.
9). Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel m a n, pre ktoré platí rovnosť 3m +7=2n.
10). Nájdite všetky trojice prirodzených čísel k, m a n, pre ktoré platí rovnosť: 2∙k!=m! -2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)
jedenásť). Všetky členy konečnej postupnosti sú prirodzené čísla. Každý člen tejto postupnosti, počnúc druhým, je buď 14-krát väčší alebo 14-krát menší ako predchádzajúci. Súčet všetkých členov postupnosti je 4321.
c) Aký najväčší počet členov môže mať postupnosť? Riešenie:
a) Nech a1 =x, potom a2 = 14x alebo a1 =14x, potom a2 =x. Potom pomocou podmienky a1 + a2 = 4321. Dostaneme: x + 14x = 4321, 15x = 4321, ale 4321 nie je násobkom 15, čo znamená, že v postupnosti nemôžu byť dva členy.
b) Nech a1 =x, potom a2 = 14x, a3 =x, alebo 14x+x+14x=4321, alebo x+14x+x=4321. 29x=4321, potom x=149, 14x=2086. To znamená, že postupnosť môže mať tri členy. V druhom prípade 16x=4321, ale potom x nie je prirodzené číslo.
Žiadna odpoveď; b) áno; c) 577.
Heinrich G.N. |
FMS č. 146, Perm |
12). Všetky členy konečnej postupnosti sú prirodzené čísla. Každý člen tejto sekvencie, počnúc druhým, alebo na 10; krát viac alebo 10 krát menej ako predchádzajúci. Súčet všetkých členov postupnosti je 1860.
a) Môže mať postupnosť dva členy? b) Môže mať postupnosť tri členy?
c) Aký najväčší počet členov môže mať postupnosť?
Je zrejmé, že môžeme hovoriť o deliteľnosti celých čísel a zvažovať problémy na túto tému donekonečna. Snažil som sa túto tému poňať tak, aby študentov vo väčšej miere zaujala, ukázala im krásu matematiky z tohto pohľadu.
Heinrich G.N. |
FMS č. 146, Perm |
Bibliografia:
1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Ako riešiť neštandardné problémy Moskva ICSME 2001
2. A.V. Spivák. Príloha k časopisu Kvant č. 4/2000 Matematický sviatok, Moskva 2000
3. A.V. Spivák. Matematický kruh, „Siatie“ 2003
4. St. Petersburg mestský palác kreativity mládeže. Matematický kruh. Problémová kniha pre prvý a druhý ročník štúdia. Saint Petersburg. 1993
5. Algebra pre 8. ročník. Učebnica pre žiakov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky. Editoval N.Ya. Vilenkin. Moskva, 1995
6. M. L. Galitsky, A. M. Goldman, L. I. Zvavich. Zbierka úloh z algebry pre 8-9 ročníkov. Učebnica pre žiakov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky. Moskva, osvietenstvo. 1994
7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebra 8. ročník. Učebnica pre školy a triedy s hĺbkovým štúdiom matematiky. Moskva, 2001
8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATIKA Algebra. Začiatky matematickej analýzy. Úroveň profilu. Učebnica pre 11. ročník. Moskovský Binom. Vedomostné laboratórium 2009
9. M. I. Shabunin, A. A. Prokofiev, T. A. Oleinik, T. V. Sokolová. UMK MATEMATIKA Algebra. Začiatky matematickej analýzy. Úroveň profilu Kniha úloh pre 11. ročník. Moskovský Binom. Vedomostné laboratórium 2009
10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematika. Zbierka testov podľa plánu jednotnej štátnej skúšky 2010
11. Jednotná štátna skúška-2010. "Légia-M". Rostov na Done 2009
12. Jednotná štátna skúška UMK „Matematika. Príprava na jednotnú štátnu skúšku." Editovali F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Príprava na Jednotná štátna skúška 2011. "Légia-M". Rostov na Done 2010
13. UMK „Matematika. Jednotná štátna skúška 2010“. Editovali F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATIKA Príprava na Jednotnú štátnu skúšku-2010. Výchovné a výcvikové testy. "Légia-M". Rostov na Done 2009
14. Jednotná štátna skúška FIPI. Univerzálne materiály pre prípravu študentov MATH 2010"Intellect-Center" 2010
15. A.Zh.Zhafyarov. Matematika. Jednotná štátna skúška-2010 Expresná konzultácia. Vydavateľstvo Sibírskej univerzity, 2010
Rovnice v celých číslach sú algebraické rovnice s dvoma alebo viacerými neznámymi premennými a celočíselnými koeficientmi. Riešeniami takejto rovnice sú všetky celočíselné (niekedy prirodzené alebo racionálne) množiny hodnôt neznámych premenných, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takéto rovnice sa tiež nazývajú diofantína, na počesť starovekého gréckeho matematika, ktorý študoval niektoré typy takýchto rovníc pred naším letopočtom.
Za modernú formuláciu diofantínskych úloh vďačíme francúzskemu matematikovi. Bol to on, kto pred európskymi matematikmi nastolil otázku riešenia neurčitých rovníc len v celých číslach. Najznámejšou rovnicou v celých číslach je posledná Fermatova veta: rovnica
nemá nenulové racionálne riešenia pre všetky prirodzené n > 2.
Teoretický záujem o rovnice v celých číslach je dosť veľký, pretože tieto rovnice úzko súvisia s mnohými problémami v teórii čísel.
Leningradský matematik Jurij Vladimirovič Matiyaševič v roku 1970 dokázal, že všeobecná metóda, ktorá umožňuje riešiť ľubovoľné diofantínske rovnice v celých číslach v konečnom počte krokov, neexistuje a nemôže existovať. Preto by ste si mali zvoliť vlastné metódy riešenia pre rôzne typy rovníc.
Pri riešení rovníc v celých a prirodzených číslach možno zhruba rozlíšiť tieto metódy:
spôsob triedenia možností;
aplikácia euklidovského algoritmu;
reprezentácia čísel vo forme pokračujúcich (pokračujúcich) zlomkov;
faktorizácia;
riešenie rovníc v celých číslach ako štvorec (alebo iné) vzhľadom na akúkoľvek premennú;
reziduálna metóda;
metóda nekonečného zostupu.
Problémy s riešeniami
1. Riešte rovnicu x 2 – xy – 2y 2 = 7 v celých číslach.
Napíšme rovnicu v tvare (x – 2y)(x + y) = 7.
Pretože x, y sú celé čísla, nájdeme riešenia pôvodnej rovnice ako riešenia nasledujúcich štyroch systémov:
1) x – 2y = 7, x + y = 1;
2) x – 2y = 1, x + y = 7;
3) x – 2y = –7, x + y = –1;
4) x – 2y = –1, x + y = –7.
Po vyriešení týchto sústav získame riešenia rovnice: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) a (–5; –2).
Odpoveď: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
a) 20x + 12r = 2013;
b) 5x + 7y = 19;
c) 201x – 1999y = 12.
a) Keďže pre akékoľvek celočíselné hodnoty x a y je ľavá strana rovnice deliteľná dvomi a pravá strana je nepárne číslo, rovnica nemá riešenia v celých číslach.
Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.
b) Najprv vyberme nejaké konkrétne riešenie. V tomto prípade je to jednoduché, napr.
x 0 = 1, yo = 2.
5x 0 + 7r 0 = 19,
5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,
5(x – x 0) = –7 (y – y 0).
Keďže čísla 5 a 7 sú relatívne prvočísla
x – x 0 = 7k, y – y0 = –5k.
Takže všeobecné riešenie je:
x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,
kde k je ľubovoľné celé číslo.
Odpoveď: (1+7k; 2–5k), kde k je celé číslo.
c) Hľadanie konkrétneho riešenia výberom je v tomto prípade dosť náročné. Použime euklidovský algoritmus pre čísla 1999 a 201:
GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.
Napíšme tento proces v opačnom poradí:
1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7 (190 – 11 17) =
121 11 – 7 190 = 121 (201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =
121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.
To znamená, že dvojica (1273, 128) je riešením rovnice 201x – 1999y = 1. Potom dvojica čísel
x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536
je riešením rovnice 201x – 1999y = 12.
Všeobecné riešenie tejto rovnice bude napísané vo forme
x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, kde k je celé číslo,
alebo po zmene označenia (používame, že 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),
x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, kde n je celé číslo.
Odpoveď: (1283+1999n, 129+201n), kde n je celé číslo.
3. Riešte rovnicu v celých číslach:
a) x3 + y3 = 3333333;
b) x 3 + y3 = 4 (x 2 y + xy 2 + 1).
a) Keďže x 3 a y 3 pri delení 9 môže dať len zvyšky 0, 1 a 8 (pozri tabuľku v časti), potom x 3 + y 3 môže dať len zvyšky 0, 1, 2, 7 a 8. Ale číslo 3333333 pri delení 9 dáva zvyšok 3. Pôvodná rovnica teda nemá riešenia v celých číslach.
b) Pôvodnú rovnicu prepíšme v tvare (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Keďže kocky celých čísel pri delení 7 dávajú zvyšky 0, 1 a 6, ale nie 4, potom rovnica nemá riešenia v celých číslach.
Odpoveď: Neexistujú celočíselné riešenia.
a) v prvočíslach rovnica x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;
b) v celých číslach platí rovnica x + y = x 2 – xy + y 2.
a) Riešime túto rovnicu ako kvadratickú rovnicu vzhľadom na premennú y. Dostaneme
y = x + 9 alebo y = 16 – x.
Keďže pre nepárne x je číslo x + 9 párne, potom jediná dvojica prvočísel, ktorá spĺňa prvú rovnosť, je (2; 11).
Keďže x, y sú jednoduché, potom z rovnosti y = 16 – x máme
2 x 16,2 pri 16.
Prehľadávaním možností nájdeme zvyšné riešenia: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Odpoveď: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
b) Uvažujme túto rovnicu ako kvadratickú rovnicu pre x:
x 2 – (y + 1) x + y 2 – y = 0.
Diskriminant tejto rovnice je –3y 2 + 6y + 1. Je kladný len pre nasledujúce hodnoty y: 0, 1, 2. Pre každú z týchto hodnôt získame z pôvodnej rovnice kvadratickú rovnicu pre x , čo sa dá ľahko vyriešiť.
Odpoveď: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
5. Existuje nekonečný počet trojíc celých čísel x, y, z takých, že x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?
Skúsme vybrať trojičky, kde y = –z. Potom sa y 3 a z 3 vždy navzájom zrušia a naša rovnica bude vyzerať takto
x 2 + 2 roky 2 = x 3
alebo inak,
x 2 (x–1) = 2y 2 .
Aby dvojica celých čísel (x; y) splnila túto podmienku, stačí, aby číslo x–1 bolo dvojnásobkom druhej mocniny celého čísla. Takýchto čísel je nekonečne veľa, a to všetko sú to čísla v tvare 2n 2 +1. Dosadením tohto čísla do x 2 (x–1) = 2y 2 po jednoduchých transformáciách dostaneme:
y = xn = n(2n2+1) = 2n3+n.
Všetky takto získané triplety majú tvar (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).
Odpoveď: existuje.
6. Nájdite celé čísla x, y, z, u také, že x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.
Číslo x 2 + y 2 + z 2 + u 2 je párne, preto medzi číslami x, y, z, u je párny počet nepárnych čísel.
Ak sú všetky štyri čísla x, y, z, u nepárne, potom x 2 + y 2 + z 2 + u 2 je deliteľné 4, ale 2xyzu nie je deliteľné 4 - nezrovnalosť.
Ak sú práve dve z čísel x, y, z, u nepárne, potom x 2 + y 2 + z 2 + u 2 nie je deliteľné 4, ale 2xyzu je deliteľné 4 - opäť nesúlad.
Preto sú všetky čísla x, y, z, u párne. Potom to môžeme napísať
x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,
a pôvodná rovnica bude mať tvar
x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .
Teraz si všimnite, že (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 pri delení 8 dáva zvyšok 1. Ak sú teda všetky čísla x 1 , y 1 , z 1 , u 1 nepárne, potom x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nie je deliteľné 8. A ak sú práve dve z týchto čísel nepárne, potom x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 nie je deliteľné ani 4. To znamená
x 1 = 2x 2, y1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,
a dostaneme rovnicu
x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .
Opätovným zopakovaním tej istej úvahy zistíme, že x, y, z, u sú deliteľné 2 n pre všetky prirodzené n, čo je možné len pre x = y = z = u = 0.
Odpoveď: (0; 0; 0; 0).
7. Dokážte, že rovnica
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30
nemá riešenia v celých číslach.
Použime nasledujúcu identitu:
(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3 (x – y) (y – z) (z – x).
Potom možno pôvodnú rovnicu zapísať ako
(x – y)(y – z)(z – x) = 10.
Označme a = x – y, b = y – z, c = z – x a výslednú rovnosť zapíšme v tvare
Okrem toho je zrejmé, že a + b + c = 0. Je ľahké overiť, že až do permutácie z rovnosti abc = 10 vyplýva, že čísla |a|, |b|, |c| sa rovnajú buď 1, 2, 5 alebo 1, 1, 10. Ale vo všetkých týchto prípadoch je pre ľubovoľný výber znamienok a, b, c súčet a + b + c nenulový. Pôvodná rovnica teda nemá celočíselné riešenia.
8. Riešte rovnicu 1 celými číslami! + 2! + . . . +x! = y2.
To je zrejmé
ak x = 1, potom y2 = 1,
ak x = 3, potom y2 = 9.
Tieto prípady zodpovedajú nasledujúcim dvojiciam čísel:
xi = 1, yi = 1;
x2 = 1, y2 = –1;
x3 = 3, y3 = 3;
x 4 = 3, y 4 = –3.
Všimnite si, že pre x = 2 máme 1! + 2! = 3, pre x = 4 máme 1! + 2! + 3! + 4! = 33 a ani 3, ani 33 nie sú druhé mocniny celých čísel. Ak x > 5, potom, od
5! + 6! + . . . +x! = 10n,
môžeme to napísať
1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.
Keďže 33 + 10n je číslo končiace na 3, nejde o druhú mocninu celého čísla.
Odpoveď: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).
9. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc v prirodzených číslach:
a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).
3abc > 0, potom a3 > b3 + c3;
teda máme
Keď spočítame tieto nerovnosti, dostaneme to
Ak vezmeme do úvahy poslednú nerovnosť, získame to z druhej rovnice systému
Ale druhá rovnica systému tiež ukazuje, že a je párne číslo. Teda a = 2, b = c = 1.
Odpoveď: (2; 1; 1)
10. Nájdite všetky dvojice celých čísel x a y, ktoré spĺňajú rovnicu x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.
Zohľadnením oboch strán tejto rovnice dostaneme:
x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),
x(x + 1) = (y 2 + y) (y 2 + 1)
Takáto rovnosť je možná, ak sa ľavá a pravá strana rovnajú nule alebo sú výsledkom dvoch po sebe nasledujúcich celých čísel. Preto prirovnaním určitých faktorov k nule získame 4 páry požadovaných hodnôt premenných:
xi = 0, yi = 0;
x2 = 0, y2 = –1;
x3 = –1, y3 = 0;
x 4 = –1, y4 = –1.
Súčin (y 2 + y)(y 2 + 1) možno považovať za súčin dvoch po sebe idúcich nenulových celých čísel, len ak y = 2. Preto x(x + 1) = 30, odkiaľ x 5 = 5, x 6 = -6. To znamená, že existujú ďalšie dva páry celých čísel, ktoré spĺňajú pôvodnú rovnicu:
x5 = 5, y5 = 2;
x 6 = –6, y 6 = 2.
Odpoveď: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)
Problémy bez riešení
1. Riešte rovnicu v celých číslach:
a) xy = x + y + 3;
b) x2 + y2 = x + y + 2.
2. Riešte rovnicu v celých číslach:
a) x 3 + 21y2 + 5 = 0;
b) 15x 2 – 7r 2 = 9.
3. Riešte rovnicu v prirodzených číslach:
a) 2 x + 1 = y2;
b) 3 2 x + 1 = y 2.
4. Dokážte, že rovnica x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz v racionálnych číslach má jednoznačné riešenie
5. Dokážte, že rovnica x 2 + 5 = y 3 v celých číslach nemá riešenia.
