Druhá odmocnina čísla X zavolal na číslo A, ktorá sa v procese množenia sama od seba ( A*A) môže dať číslo X.
Tie. A * A = A2 = X a √X = A.

Cez odmocniny ( √x), rovnako ako pri iných číslach, môžete vykonávať aritmetické operácie, ako je odčítanie a sčítanie. Ak chcete odčítať a pridať korene, musia byť spojené pomocou znakov zodpovedajúcich týmto akciám (napr √x- √y ).
A potom priveďte korene do ich najjednoduchšej formy - ak sú medzi nimi podobné, musíte urobiť odliatok. Spočíva v tom, že sa zoberú koeficienty podobných pojmov so znamienkami zodpovedajúcich pojmov, potom sa uzatvoria do zátvoriek a spoločný koreň sa zobrazí mimo zátvoriek násobiteľa. Koeficient, ktorý sme získali, je zjednodušený podľa zaužívaných pravidiel.

Krok 1. Extrahovanie odmocnin

Po prvé, ak chcete pridať odmocniny, musíte tieto korene najskôr extrahovať. Dá sa to urobiť, ak čísla pod koreňovým znakom sú dokonalé štvorce. Napríklad, vezmite si daný výraz √4 + √9 . Prvé číslo 4 je druhá mocnina čísla 2 . Druhé číslo 9 je druhá mocnina čísla 3 . Takto možno získať nasledujúcu rovnosť: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Všetko, príklad je vyriešený. Ale nie vždy sa to tak deje.

Krok 2. Vytiahnutie násobiteľa čísla spod koreňa

Ak pod odmocninou nie sú žiadne plné štvorce, môžete skúsiť vybrať násobiteľ čísla spod odmocnina. Vezmite si napríklad výraz √24 + √54 .

Rozložme čísla na faktor:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

V zozname 24 máme násobilku 4 , možno ho vybrať spod odmocniny. V zozname 54 máme násobilku 9 .

Dostaneme rovnosť:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ak vezmeme do úvahy tento príklad, dostaneme odstránenie faktora spod koreňového znamienka, čím sa daný výraz zjednoduší.

Krok 3. Zníženie menovateľa

Zvážte nasledujúcu situáciu: súčet dvoch druhých odmocnín je menovateľom zlomku, napr. A / (√a + √b).
Teraz stojíme pred úlohou „zbaviť sa iracionality v menovateli“.
Použijeme nasledujúcu metódu: vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku výrazom √a - √b.

Teraz dostaneme skrátený vzorec násobenia v menovateli:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobne, ak menovateľ obsahuje rozdiel koreňov: √a - √b, čitateľ a menovateľ zlomku sa vynásobia výrazom √a + √b.

Vezmime si zlomok ako príklad:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Príklad redukcie komplexného menovateľa

Teraz zvážime pomerne komplikovaný príklad zbavenia sa iracionality v menovateli.

Vezmime si zlomok ako príklad: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musíte vziať jeho čitateľa a menovateľa a vynásobiť výrazom √2 + √3 - √5 .

Dostaneme:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Krok 4. Vypočítajte približnú hodnotu na kalkulačke

Ak potrebujete iba približnú hodnotu, môžete to urobiť na kalkulačke vypočítaním hodnoty druhých odmocnín. Samostatne sa pre každé číslo vypočíta a zaznamená hodnota s požadovanou presnosťou, ktorá je určená počtom desatinných miest. Ďalej sa vykonajú všetky požadované operácie ako pri bežných číslach.

Príklad odhadovaného výpočtu

Je potrebné vypočítať približnú hodnotu tohto výrazu √7 + √5 .

V dôsledku toho dostaneme:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Upozornenie: za žiadnych okolností by sa nemali pridávať odmocniny ako prvočísla, je to úplne neprijateľné. To znamená, že ak spočítate druhú odmocninu z piatich a troch, nedostaneme druhú odmocninu z ôsmich.

Užitočná rada: ak sa rozhodnete faktorizovať číslo, aby ste odvodili druhú mocninu spod znamienka odmocniny, musíte vykonať spätnú kontrolu, to znamená vynásobiť všetky faktory, ktoré vyplynuli z výpočtov, a konečný výsledok tohto matematický výpočet by mal byť číslo, ktoré sme pôvodne dostali.

Fakt 1.
\(\bullet\) Vezmite nejaké nezáporné číslo \(a\) (tj \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) sa volá také nezáporné číslo \(b\), pri jeho umocnení dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(rovnaké ako )\quad a=b^2\] Z definície vyplýva, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tieto obmedzenia sú dôležitou podmienkou existencie druhej odmocniny a treba si ich pamätať!
Pripomeňme, že každé číslo pri druhej mocnine dáva nezáporný výsledok. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čo je \(\sqrt(25)\) ? Vieme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Keďže podľa definície musíme nájsť nezáporné číslo, \(-5\) nie je vhodné, preto \(\sqrt(25)=5\) (keďže \(25=5^2\) ).
Nájdenie hodnoty \(\sqrt a\) sa nazýva prevzatie druhej odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) sa nazýva koreňový výraz.
\(\bullet\) Na základe definície sú výrazy \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) atď. nedávajú zmysel.

Fakt 2.
Pre rýchle výpočty bude užitočné naučiť sa tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Čo sa dá robiť s odmocninami?
\(\bullet\) Súčet alebo rozdiel druhých odmocnín sa NEROVNÁ odmocnine súčtu alebo rozdielu, t.j. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ak teda potrebujete vypočítať napríklad \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , najprv musíte nájsť hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\sqrt (49)\ ) a potom ich spočítajte. v dôsledku toho \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ak pri pridávaní \(\sqrt a+\sqrt b\) nemožno nájsť hodnoty \(\sqrt a\) alebo \(\sqrt b\), potom sa takýto výraz ďalej nekonvertuje a zostane tak, ako je. Napríklad v súčte \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) nájdeme \(\sqrt(49)\) - toto je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nemôže byť akýmkoľvek spôsobom prevedené, preto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ďalej tento výraz, žiaľ, nemožno nijako zjednodušiť.\(\bullet\) Súčin/podiel odmocnín sa rovná druhej odmocnine súčinu/podielu, t.j. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za predpokladu, že obe časti rovnosti dávajú zmysel)
Príklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Pomocou týchto vlastností je vhodné nájsť druhé odmocniny veľkých čísel ich rozkladom.
Zvážte príklad. Nájdite \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , potom \(44100=100\cdot 441\) . Podľa kritéria deliteľnosti je číslo \(441\) deliteľné \(9\) (keďže súčet jeho číslic je 9 a je deliteľné 9), preto \(441:9=49\) , tj \(441=9\ cdot 49\) .
Takto sme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pozrime sa na ďalší príklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Na príklade výrazu \(5\sqrt2\) (skratka pre výraz \(5\cdot \sqrt2\) si ukážeme, ako zadávať čísla pod odmocninu). Pretože \(5=\sqrt(25)\) , potom \ Všimnite si tiež, že napr.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

prečo je to tak? Vysvetlíme na príklade 1). Ako ste už pochopili, nemôžeme nejako previesť číslo \(\sqrt2\) . Predstavte si, že \(\sqrt2\) je nejaké číslo \(a\) . Preto výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) nie je nič iné ako \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tri ďalšie rovnaké čísla \(a\) ). A vieme, že toto sa rovná štyrom takýmto číslam \(a\) , teda \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často sa hovorí „nedá extrahovať koreň“, keď nie je možné zbaviť sa znamienka \(\sqrt () \ \) koreňa (radikálu) pri hľadaní hodnoty nejakého čísla. Môžete napríklad odmocniť číslo \(16\), pretože \(16=4^2\) , takže \(\sqrt(16)=4\) . Ale extrahovať koreň z čísla \(3\) , teda nájsť \(\sqrt3\) , je nemožné, pretože neexistuje také číslo, ktoré by odmocnilo dalo \(3\) .
Takéto čísla (alebo výrazy s takýmito číslami) sú iracionálne. Napríklad čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atď. sú iracionálne.
Iracionálne sú aj čísla \(\pi\) (číslo „pi“, približne rovné \(3,14\) ), \(e\) (toto číslo sa nazýva Eulerovo číslo, približne rovné \(2) ,7\) ) atď.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že každé číslo bude racionálne alebo iracionálne. A spolu všetky racionálne a všetky iracionálne čísla tvoria množinu tzv množina reálnych (reálnych) čísel. Táto množina je označená písmenom \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všetky čísla, ktoré v súčasnosti poznáme, sa nazývajú reálne čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálneho čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdialenosti od bodu \(a\) po \(0\) na reálnom riadok. Napríklad \(|3|\) a \(|-3|\) sa rovnajú 3, pretože vzdialenosti od bodov \(3\) a \(-3\) po \(0\) sú rovnaké a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Ak \(a\) je nezáporné číslo, potom \(|a|=a\) .
Príklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ak \(a\) je záporné číslo, potom \(|a|=-a\) .
Príklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Hovorí sa, že pre záporné čísla modul „zje“ mínus a kladné čísla, ako aj číslo \(0\) , modul zostane nezmenený.
ALE toto pravidlo platí len pre čísla. Ak máte pod znakom modulu neznámu \(x\) (alebo nejakú inú neznámu), napríklad \(|x|\) , o ktorej nevieme, či je kladná, rovná sa nule alebo záporná, potom zbaviť sa modulu nemôžeme. V tomto prípade tento výraz zostane takto: \(|x|\) . \(\bullet\) Platia nasledujúce vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytnutý) a\geqslant 0\]Často sa robí nasledujúca chyba: hovoria, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) sú to isté. To platí len vtedy, keď \(a\) je kladné číslo alebo nula. Ale ak \(a\) je záporné číslo, potom to nie je pravda. Stačí zvážiť takýto príklad. Zoberme si číslo \(-1\) namiesto \(a\). Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vôbec neexistuje (pretože je pod znamienkom odmocniny nie je možné zadať záporné čísla!).
Preto upozorňujeme na skutočnosť, že \(\sqrt(a^2)\) sa nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Príklad: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), pretože \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Keďže \(\sqrt(a^2)=|a|\) , potom \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (výraz \(2n\) označuje párne číslo)
To znamená, že pri extrakcii koreňa z čísla, ktoré je v určitom stupni, sa tento stupeň zníži na polovicu.
Príklad:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimnite si, že ak modul nie je nastavený, potom sa ukáže, že koreň čísla sa rovná \(-25) \) ; ale pamätáme si , čo podľa definície koreňa nemôže byť: pri extrakcii koreňa by sme mali vždy dostať kladné číslo alebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (keďže akékoľvek číslo na párnu mocninu nie je záporné)

Fakt 6.
Ako porovnať dve druhé odmocniny?
\(\bullet\) Platí pre odmocniny: ak \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPríklad:
1) porovnajte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Najprv transformujeme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Medzi ktorými celými číslami je \(\sqrt(50)\) ?
Pretože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnajte \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Predpokladajme \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\začiatok(zarovnané) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridajte jeden na obe strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((obe časti štvorec)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnané)\] Vidíme, že sme dostali nesprávnu nerovnosť. Preto bol náš predpoklad nesprávny a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimnite si, že pridanie určitého čísla na obe strany nerovnosti neovplyvní jej znamienko. Násobenie/delenie oboch strán nerovnosti kladným číslom tiež nezmení jej znamienko, ale násobenie/delenie záporným číslom obráti znamienko nerovnosti!
Obe strany rovnice/nerovnice možno odmocniť LEN AK obe strany nie sú záporné. Napríklad v nerovnosti z predchádzajúceho príkladu môžete odmocniť obe strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Všimnite si to \[\začiatok (zarovnané) &\sqrt 2\približne 1,4\\ &\sqrt 3\približne 1,7 \koniec (zarovnané)\] Poznanie približného významu týchto čísel vám pomôže pri porovnávaní čísel! \(\bullet\) Aby ste mohli extrahovať odmocninu (ak je extrahovaná) z nejakého veľkého čísla, ktoré nie je v tabuľke štvorcov, musíte najprv určiť, medzi ktorými „stovkami“ to je, potom medzi ktorými „desiatkami“, a potom určiť poslednú číslicu tohto čísla. Ukážme si ako to funguje na príklade.
Vezmite \(\sqrt(28224)\) . Vieme, že \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) atď. Všimnite si, že \(28224\) je medzi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Preto je \(\sqrt(28224)\) medzi \(100\) a \(200\) .
Teraz určme, medzi ktorými „desiatkami“ je naše číslo (teda napríklad medzi \(120\) a \(130\) ). Z tabuľky štvorcov tiež vieme, že \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atď., potom \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ), \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Vidíme teda, že \(28224\) je medzi \(160^2\) a \(170^2\) . Preto je číslo \(\sqrt(28224)\) medzi \(160\) a \(170\) .
Skúsme určiť poslednú číslicu. Spomeňme si, aké jednociferné čísla pri umocňovaní dávajú na konci \ (4 \) ? Sú to \(2^2\) a \(8^2\) . Preto \(\sqrt(28224)\) skončí buď na 2 alebo 8. Poďme to skontrolovať. Nájdite \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Preto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Na správne vyriešenie skúšky z matematiky je v prvom rade potrebné naštudovať si teoretický materiál, ktorý prináša množstvo teorémov, vzorcov, algoritmov atď. Na prvý pohľad sa môže zdať, že je to celkom jednoduché. Nájsť zdroj, v ktorom by bola teória pre Jednotnú štátnu skúšku z matematiky prezentovaná jednoducho a zrozumiteľne pre študentov s akoukoľvek úrovňou prípravy, je však v skutočnosti pomerne náročná úloha. Školské učebnice nie je možné mať vždy po ruke. A nájsť základné vzorce na skúšku z matematiky môže byť náročné aj na internete.

Prečo je také dôležité študovať teóriu z matematiky, a to nielen pre tých, ktorí robia skúšku?

1. Pretože vám to rozširuje obzory. Štúdium teoretického materiálu z matematiky je užitočné pre každého, kto chce získať odpovede na širokú škálu otázok súvisiacich s poznaním sveta. Všetko v prírode je usporiadané a má jasnú logiku. To je presne to, čo sa odráža vo vede, prostredníctvom ktorej je možné pochopiť svet.
2. Pretože rozvíja intelekt. Štúdiom referenčných materiálov na skúšku z matematiky, ako aj riešením rôznych problémov sa človek naučí myslieť a logicky uvažovať, správne a jasne formulovať myšlienky. Rozvíja schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať, vyvodzovať závery.

Pozývame vás osobne zhodnotiť všetky výhody nášho prístupu k systematizácii a prezentácii vzdelávacích materiálov.

Téma odmocniny je povinná v školských osnovách kurzu matematiky. Pri riešení kvadratických rovníc sa bez nich nezaobídete. A neskôr je potrebné nielen extrahovať korene, ale aj s nimi vykonávať ďalšie akcie. Medzi nimi sú pomerne zložité: umocňovanie, násobenie a delenie. Existujú však aj celkom jednoduché: odčítanie a sčítanie koreňov. Mimochodom, len na prvý pohľad sa tak zdajú. Vykonať ich bez chýb nie je vždy jednoduché pre niekoho, kto sa s nimi len začína zoznamovať.

Čo je to matematický koreň?

Táto akcia vznikla ako protiklad k umocňovaniu. Matematika predpokladá prítomnosť dvoch opačných operácií. Existuje odčítanie na sčítanie. Násobenie je protikladom delenia. Opačným pôsobením stupňa je extrakcia zodpovedajúceho koreňa.

Ak je exponent 2, odmocnina bude štvorcová. Je najbežnejšia v školskej matematike. Nemá ani označenie, že je štvorcový, teda nie je mu priradené číslo 2. Matematický zápis tohto operátora (radikálu) je znázornený na obrázku.

Z opísanej akcie plynule vyplýva jej definícia. Ak chcete extrahovať druhú odmocninu určitého čísla, musíte zistiť, čo poskytne radikálny výraz, keď sa vynásobí sám. Toto číslo bude druhá odmocnina. Ak to napíšeme matematicky, dostaneme nasledovné: x * x \u003d x 2 \u003d y, čo znamená √y \u003d x.

Aké akcie s nimi možno podniknúť?

Vo svojom jadre je koreň zlomková mocnina, ktorá má jednotku v čitateli. A menovateľom môže byť čokoľvek. Napríklad druhá odmocnina má hodnotu dva. Preto všetky akcie, ktoré možno vykonať so stupňami, budú platné aj pre korene.

A na tieto úkony majú rovnaké požiadavky. Ak sa násobenie, delenie a umocňovanie nestretáva s ťažkosťami pre študentov, potom sčítanie koreňov, ako aj ich odčítanie niekedy vedie k zmätku. A to všetko preto, že chcete vykonať tieto operácie bez toho, aby ste sa pozreli na znamenie koreňa. A tu začínajú chyby.

Aké sú pravidlá pre sčítanie a odčítanie?

Najprv si musíte zapamätať dve kategorické „nie“:

• nie je možné vykonávať sčítanie a odčítanie koreňov, ako je to pri prvočíslach, to znamená, že nie je možné zapísať koreňové výrazy súčtu pod jedno znamienko a vykonávať s nimi matematické operácie;
• nemôžete sčítať a odčítať odmocniny s rôznymi exponentmi, ako je štvorec a kubický.

Názorný príklad prvého zákazu: √6 + √10 ≠ √16 ale √(6 + 10) = √16.

V druhom prípade je lepšie obmedziť sa na zjednodušenie samotných koreňov. A v odpovedi nechajte ich sumu.

Teraz k pravidlám

1. Nájdite a zoskupte podobné korene. Teda tí, ktorí majú pod radikálom nielen rovnaké čísla, ale sami majú jeden ukazovateľ.
2. Vykonajte pridanie koreňov spojených do jednej skupiny prvým úkonom. Je ľahké ho implementovať, pretože stačí pridať hodnoty, ktoré sú pred radikálmi.
3. Extrahujte korene v tých výrazoch, v ktorých radikálny výraz tvorí celý štvorec. Inými slovami, nenechávajte nič pod znakom radikála.
4. Zjednodušte koreňové výrazy. Aby ste to dosiahli, musíte ich rozpočítať do hlavných faktorov a zistiť, či dávajú druhú mocninu ľubovoľného čísla. Je jasné, že pokiaľ ide o druhú odmocninu, platí to. Keď je exponent tri alebo štyri, potom prvočísla musia dať kocku alebo štvrtú mocninu čísla.
5. Vyberte zo znamienka radikála faktor, ktorý dáva mocninu celého čísla.
6. Pozrite sa, či sa podobné výrazy znova objavia. Ak áno, vykonajte druhý krok znova.

V situácii, keď problém nevyžaduje presnú hodnotu koreňa, možno ho vypočítať na kalkulačke. Zaokrúhlite nekonečný desatinný zlomok, ktorý sa zobrazí v jeho okne. Najčastejšie sa to robí až na stotiny. A potom vykonajte všetky operácie pre desatinné zlomky.

Toto sú všetky informácie o tom, ako sa pridávanie koreňov vykonáva. Nižšie uvedené príklady ilustrujú vyššie uvedené.

Prvá úloha

Vypočítajte hodnotu výrazov:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ak budete postupovať podľa vyššie uvedeného algoritmu, môžete vidieť, že pre prvé dve akcie v tomto príklade nie je nič. Niektoré radikálne výrazy však môžete zjednodušiť.

Napríklad faktor 32 na dva faktory 2 a 16; 18 sa bude rovnať súčinu 9 a 2; 128 je 2 x 64. Vzhľadom na to bude výraz napísaný takto:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Teraz musíte z radikálneho znamenia odstrániť faktory, ktoré dávajú druhú mocninu čísla. Toto je 16=42, 9=32, 64=82. Výraz bude mať tvar:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Musíme si trochu zjednodušiť písanie. Na tento účel sa koeficienty vynásobia pred znamienkami koreňa:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

V tomto výraze sa všetky pojmy ukázali byť podobné. Preto ich treba len zložiť. Odpoveď bude: 5√2.

b) Rovnako ako predchádzajúci príklad, aj pridávanie koreňov začína ich zjednodušením. Koreňové výrazy 75, 147, 48 a 300 budú reprezentované nasledujúcimi pármi: 5 a 25, 3 a 49, 3 a 16, 3 a 100. Každý z nich má číslo, ktoré je možné vyňať spod koreňa :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Po zjednodušení je odpoveď: 5√5 - 5√3. Môže byť ponechaný v tejto forme, ale je lepšie vyňať spoločný faktor 5 zo zátvorky: 5 (√5 - √3).

c) A opäť rozklad na rozklad: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Po vylúčení koreňového znamienka máme:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Po zmenšení podobných výrazov dostaneme výsledok: 7√11.

Zlomkový príklad

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Nasledujúce čísla bude potrebné vynásobiť: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Podobne ako tie, ktoré už boli uvažované, musíte faktory vyňať spod koreňa podpíšte a zjednodušte výraz:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Tento výraz vyžaduje zbaviť sa iracionality v menovateli. Ak to chcete urobiť, vynásobte druhý člen √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Ak chcete dokončiť akciu, musíte vybrať celú časť faktorov pred koreňmi. Prvý je 1, druhý je 2.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité upozornenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Druhá odmocnina čísla x je číslo a, ktoré po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Rovnako ako pri iných číslach je povolené vykonávať aritmetické operácie sčítania a odčítania od druhej odmocniny.

Poučenie

1. Po prvé, keď pridávate odmocniny, skúste tieto korene extrahovať. To bude platné, ak čísla pod odmocninou sú dokonalé štvorce. Povedzme, že je daný výraz?4 +?9. Prvé číslo 4 je druhá mocnina čísla 2. Druhé číslo 9 je druhá mocnina čísla 3. Ukazuje sa teda, že: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ak pod koreňovým znakom nie sú žiadne plné štvorce, skúste preniesť násobiteľ čísla spod koreňového znaku. Povedzme, nech je daný výraz?24 +?54. Faktorizujte čísla: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. V čísle 24 je faktor 4, ten, ktorý je možné preniesť z odmocniny. Číslo 54 má faktor 9. Ukazuje sa teda, že: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . V tomto príklade sa v dôsledku odstránenia faktora z koreňového znamienka ukázalo, že sa daný výraz zjednodušil.

3. Nech súčet 2 druhých odmocnín je menovateľom zlomku, povedzme A / (?a + ?b). A to aj v prípade, že stojíte pred úlohou „zbaviť sa iracionality v menovateli“. Potom môžete použiť nasledujúcu metódu. Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku výrazom ?a - ?b. V menovateli teda dostaneme vzorec pre skrátené násobenie: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Analogicky, ak je rozdiel koreňov uvedený v menovateli: ?a - ?b, potom čitateľa a menovateľa zlomku treba vynásobiť výrazom?a + ?b. Povedzme napríklad 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2* (a5 - ?3).

4. Uvažujme o zložitejšom príklade zbavenia sa iracionality v menovateli. Nech je daný zlomok 12 / (?2 +?3 +?5). Musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku výrazom? 2 + ?3 - ?5:12 / (? + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + A3 - A5) / (2 * A6) = A6 * (A2 + A3 - A5) = 2 * A3 + 3 * A2 - A30.

5. A nakoniec, ak potrebujete iba približnú hodnotu, môžete na kalkulačke vypočítať odmocniny. Vypočítajte hodnoty oddelene pre celé číslo a zapíšte ich s požadovanou presnosťou (povedzme na dve desatinné miesta za desatinnou čiarkou). A potom vykonajte požadované aritmetické operácie ako s obyčajnými číslami. Povedzme, že potrebujete zistiť približnú hodnotu výrazu?7 +?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Podobné videá

Poznámka!
V žiadnom prípade nemožno sčítať odmocniny ako primitívne čísla, t.j. ?3 + ?2? ?5!!!

Užitočné rady
Ak vyrátate číslo, aby ste posunuli štvorec spod znamienka odmocniny, vykonajte opačnú kontrolu - vynásobte všetky výsledné faktory a získajte pôvodné číslo.