Rovnice s parametrami: metóda grafického riešenia

8-9 ročníkov

Článok pojednáva o grafickej metóde riešenia niektorých rovníc s parametrami, ktorá je veľmi efektívna, keď potrebujete určiť, koľko koreňov má rovnica v závislosti od parametra. a.

Úloha 1. Koľko koreňov má rovnica | | x | – 2 | = a v závislosti od parametra a?

Riešenie. V súradnicovom systéme (x; y) nakreslíme grafy funkcií y = | | x | – 2 | a y= a. Graf funkcie y = | | x | – 2 | znázornené na obrázku.

Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou Ox alebo s ňou zhodná (napr. a = 0).

Z výkresu je zrejmé, že:

Ak a= 0, potom riadok y = a sa zhoduje s osou Ox a má s grafom funkcie y = | | x | – 2 | dva spoločné body; to znamená, že pôvodná rovnica má dva korene (v tomto prípade možno nájsť korene: x 1,2 \u003d q 2).
Ak 0< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ak a= 2, potom má priamka y = 2 spoločné tri body s grafom funkcie. Potom má pôvodná rovnica tri korene.
Ak a> 2, potom riadok y = a bude mať dva body s grafom pôvodnej funkcie, to znamená, že táto rovnica bude mať dva korene.

ak a < 0, то корней нет;
ak a = 0, a> 2, potom dva korene;
ak a= 2, potom tri korene;
ak 0< a < 2, то четыре корня.

Úloha 2. Koľko koreňov má rovnica | x 2 – 2| x | – 3 | = a v závislosti od parametra a?

Riešenie. V súradnicovom systéme (x; y) nakreslíme grafy funkcií y = | x 2 – 2| x | – 3 | a y= a.

Graf funkcie y = | x 2 – 2| x | – 3 | znázornené na obrázku. Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s Ox alebo s ňou zhodná (keď a = 0).

Z výkresu môžete vidieť:

Ak a= 0, potom riadok y = a sa zhoduje s osou Ox a má s grafom funkcie y = | x2-2| x | – 3 | dva spoločné body, ako aj priamka y = a bude mať s funkciou graf y = | x 2 – 2| x | – 3 | dva spoločné body a> 4. Preto pre a= 0 a a> 4 pôvodná rovnica má dva korene.
Ak 0< a < 3, то прямая y = a má s funkciou graf y = | x 2 – 2| x | – 3 | štyri spoločné body, ako aj priamka y= a bude mať štyri spoločné body s grafom zostrojenej funkcie at a= 4. Preto pri 0< a < 3, a= 4 pôvodná rovnica má štyri korene.
Ak a= 3, potom riadok y = a pretína graf funkcie v piatich bodoch; preto má rovnica päť koreňov.
Ak 3< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Ak a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

ak a < 0, то корней нет;
ak a = 0, a> 4, potom dva korene;
ak 0< a < 3, a= 4, potom štyri korene;
ak a= 3, potom päť koreňov;
ak 3< a < 4, то шесть корней.

Úloha 3. Koľko koreňov má rovnica

v závislosti od parametra a?

Riešenie. Zostrojíme v súradnicovej sústave (x; y) graf funkcie ale najprv to daj do tvaru:

Čiary x = 1, y = 1 sú asymptoty grafu funkcie. Graf funkcie y = | x | + a získané z grafu funkcie y = | x | posunuté o jednotky pozdĺž osi Oy.

Grafy funkcií pretínajú v jednom bode na a> – 1; teda rovnica (1) pre tieto hodnoty parametra má jedno riešenie.

o a = – 1, a= – 2 grafy sa pretínajú v dvoch bodoch; preto pre tieto hodnoty parametra má rovnica (1) dva korene.
O - 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

ak a> – 1, potom jedno riešenie;
ak a = – 1, a= – 2, potom dve riešenia;
ak - 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Komentujte. Pri riešení rovnice (1) úlohy 3 treba venovať osobitnú pozornosť prípadu, kedy a= - 2, keďže bod (- 1; - 1) nepatrí do grafu funkcie ale patrí do grafu funkcie y = | x | + a.

Prejdime k riešeniu ďalšieho problému.

Úloha 4. Koľko koreňov má rovnica

x + 2 = a| x – 1 | (2)

v závislosti od parametra a?

Riešenie. Všimnite si, že x = 1 nie je koreňom tejto rovnice, pretože rovnosť 3 = a 0 nemôže platiť pre žiadnu hodnotu parametra a. Obidve strany rovnice delíme | x – 1 |(| x – 1 | č. 0), potom bude mať rovnica (2) tvar V súradnicovom systéme xOy vykreslíme funkciu

Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku. Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou Ox alebo s ňou zhodná (napr a = 0).

ak a J - 1, potom nie sú žiadne korene;
ak - 1< aЈ 1, potom jeden koreň;
ak a> 1, potom existujú dva korene.

Zvážte najkomplexnejšiu rovnicu.

Úloha 5. Pre aké hodnoty parametra a rovnica

a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

má tri riešenia?

Riešenie. 1. Kontrolná hodnota parametra pre túto rovnicu bude číslo a= 0, pri ktorej rovnica (3) nadobúda tvar 0 + | x – 1 | = 0, odkiaľ x = 1. Preto pre a= 0 rovnica (3) má jeden koreň, ktorý nespĺňa podmienku úlohy.

2. Zvážte prípad, kedy a № 0.

Prepíšme rovnicu (3) do nasledujúceho tvaru: a x 2 = - | x – 1 |. Všimnite si, že rovnica bude mať len riešenia pre a < 0.

V súradnicovom systéme xOy nakreslíme grafy funkcií y = | x – 1 | a y= a x 2. Graf funkcie y = | x – 1 | znázornené na obrázku. Graf funkcie y = a x 2 je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol, keďže a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Rovnica (3) bude mať tri riešenia len vtedy, keď sa priamka y = – x + 1 dotýka grafu funkcie y= a x 2.

Nech x 0 je úsečka bodu dotyku s priamkou y = - x + 1 s parabolou y = a x 2. Dotyková rovnica má tvar

y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

Zapíšme si dotykové podmienky:

Táto rovnica môže byť vyriešená bez použitia konceptu derivácie.

Zvážme iný spôsob. Využijeme fakt, že ak má priamka y = kx + b jeden spoločný bod s parabolou y = a x 2 + px + q, potom rovnica a x 2 + px + q = kx + b musí mať jedinečné riešenie, to znamená, že jeho diskriminant je nula. V našom prípade máme rovnicu a x 2 \u003d - x + 1 ( ač. 0). Diskriminačná rovnica

Úlohy na samostatné riešenie

6. Koľko koreňov má rovnica v závislosti od parametra a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) ak a<0, то корней нет; если a=0, a>3, potom dva korene; ak a=3, potom tri korene; ak 0<a<3, то четыре корня;
2) ak a<1, то корней нет; если a=1, potom nekonečná množina riešení zo segmentu [– 2; - jeden]; ak a> 1, potom dve riešenia;
3) ak a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, potom šesť koreňov; ak a=3, potom tri riešenia; ak a>3, potom dve riešenia;
4) ak a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, potom šesť koreňov; ak a=5, potom tri korene; ak a>5, potom dva korene.

7. Koľko koreňov má rovnica | x + 1 | = a(x – 1) v závislosti od parametra a?

Poučenie. Pretože x = 1 nie je koreňom rovnice, možno túto rovnicu zredukovať do tvaru .

Odpoveď: ak a J -1, a > 1, a=0, potom jeden koreň; ak - 1<a<0, то два корня; если 0<aЈ 1, potom neexistujú žiadne korene.

8. Koľko koreňov má rovnica x + 1 = a| x – 1 | v závislosti od parametra a?

Vytvorte graf (pozri obrázok).

Odpoveď: ak aЈ –1, potom neexistujú žiadne korene; ak - 1<aЈ 1, potom jeden koreň; ak a>1, potom existujú dva korene.

9. Koľko koreňov má rovnica

2| x | – 1 = a(x – 1)

v závislosti od parametra a?

Poučenie. Uveďte rovnicu do formulára

Odpoveď: ak a J -2, a>2, a=1, potom jeden koreň; ak -2<a<1, то два корня; если 1<aЈ 2, potom neexistujú žiadne korene.

10. Koľko koreňov má rovnica

v závislosti od parametra a?

Odpoveď: ak aЈ 0, a i 2, potom jeden koreň; ak 0<a<2, то два корня.

11. Pri akých hodnotách parametra a rovnica

x 2 + a| x – 2 | = 0

má tri riešenia?

Poučenie. Preneste rovnicu do tvaru x 2 = - a| x - 2 |.

odpoveď: kedy aЈ -8.

12. Pri akých hodnotách parametra a rovnica

a x 2 + | x + 1 | = 0

má tri riešenia?

Poučenie. Použite úlohu 5. Táto rovnica má tri riešenia, iba ak rovnica a x 2 + x + 1 = 0 má jedno riešenie a prípad a= 0 nespĺňa podmienku problému, to znamená, že prípad zostáva kedy

13. Koľko koreňov má rovnica

x | x – 2 | = 1 - a

v závislosti od parametra a?

Poučenie. Preveďte rovnicu do tvaru –x |x – 2| + 1 = a

v závislosti od parametra a?

Poučenie. Zostrojte grafy ľavej a pravej časti tejto rovnice.

Odpoveď: ak a<0, a>2, potom dva korene; ak 0Ј aЈ 2, potom jeden koreň.

16. Koľko koreňov má rovnica

v závislosti od parametra a?

Poučenie. Zostrojte grafy ľavej a pravej časti tejto rovnice. Na vykreslenie funkcie nájdite intervaly stálosti výrazov x + 2 a x:

Odpoveď: ak a>– 1, potom jedno riešenie; ak a= – 1, potom dve riešenia; ak - 3<a<–1, то четыре решения; если aЈ –3, potom tri riešenia.

Komu úlohy s parametrom patrí napríklad hľadanie riešenia lineárnych a kvadratických rovníc vo všeobecnej forme, štúdium rovnice pre počet dostupných koreňov v závislosti od hodnoty parametra.

Bez podrobných definícií zvážte nasledujúce rovnice ako príklady:

y = kx, kde x, y sú premenné, k je parameter;

y = kx + b, kde x, y sú premenné, kab sú parametre;

ax 2 + bx + c = 0, kde x sú premenné, a, b a c sú parametre.

Riešiť rovnicu (nerovnosť, sústavu) s parametrom znamená spravidla riešiť nekonečnú množinu rovníc (nerovnice, sústavy).

Úlohy s parametrom možno podmienečne rozdeliť do dvoch typov:

a) podmienka hovorí: vyriešte rovnicu (nerovnosť, systém) - to znamená, že pre všetky hodnoty parametra nájdite všetky riešenia. Ak zostane aspoň jeden prípad nepreskúmaný, takéto riešenie nemožno považovať za uspokojivé.

b) je potrebné uviesť možné hodnoty parametra, pre ktorý má rovnica (nerovnosť, systém) určité vlastnosti. Napríklad má jedno riešenie, nemá riešenia, má riešenia, ktoré patria do intervalu atď. Pri takýchto úlohách je potrebné jasne uviesť, pri akej hodnote parametra je požadovaná podmienka splnená.

Parameter, ktorý je neznámym pevným číslom, má akoby zvláštnu dualitu. V prvom rade treba brať do úvahy, že údajná sláva naznačuje, že parameter treba vnímať ako číslo. Po druhé, sloboda manipulácie s parametrom je obmedzená jeho neznámosťou. Takže napríklad operácie delenia výrazom, v ktorom je parameter alebo extrahovanie koreňa párneho stupňa z podobného výrazu, vyžadujú predbežný výskum. Preto je potrebné pri manipulácii s parametrom postupovať opatrne.

Napríklad na porovnanie dvoch čísel -6a a 3a je potrebné zvážiť tri prípady:

1) -6a bude väčšie ako 3a, ak a je záporné číslo;

2) -6a = 3a v prípade, keď a = 0;

3) -6a bude menšie ako 3a, ak a je kladné číslo 0.

Rozhodnutie bude odpoveďou.

Nech je daná rovnica kx = b. Táto rovnica je skratka pre nekonečný súbor rovníc v jednej premennej.

Pri riešení takýchto rovníc môžu nastať prípady:

1. Nech k je ľubovoľné nenulové reálne číslo a b ľubovoľné číslo z R, potom x = b/k.

2. Nech k = 0 a b ≠ 0, pôvodná rovnica bude mať tvar 0 · x = b. Je zrejmé, že táto rovnica nemá riešenia.

3. Nech k a b sú čísla rovné nule, potom máme rovnosť 0 · x = 0. Jeho riešením je ľubovoľné reálne číslo.

Algoritmus na riešenie tohto typu rovníc:

1. Určite „kontrolné“ hodnoty parametra.

2. Vyriešte pôvodnú rovnicu pre x s hodnotami parametra, ktoré boli určené v prvom odseku.

3. Vyriešte pôvodnú rovnicu pre x s hodnotami parametrov, ktoré sa líšia od hodnôt vybratých v prvom odseku.

4. Odpoveď si môžete zapísať v nasledujúcom formulári:

1) keď ... (hodnota parametra), rovnica má korene ...;

2) keď ... (hodnota parametra), v rovnici nie sú žiadne korene.

Príklad 1

Riešte rovnicu s parametrom |6 – x| = a.

Riešenie.

Je ľahké vidieť, že tu a ≥ 0.

Pravidlom modulo 6 – x = ±a vyjadrujeme x:

Odpoveď: x = 6 ± a, kde a ≥ 0.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 vzhľadom na premennú x.

Riešenie.

Otvorme zátvorky: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Napíšme rovnicu v štandardnom tvare: x(a + 2) = a + 2.

Ak výraz a + 2 nie je nula, t.j. ak a ≠ -2, máme riešenie x = (a + 2) / (a ​​+ 2), t.j. x = 1.

Ak sa a + 2 rovná nule, t.j. a \u003d -2, potom máme správnu rovnosť 0 x \u003d 0, teda x je akékoľvek reálne číslo.

Odpoveď: x \u003d 1 pre ≠ -2 a x € R pre \u003d -2.

Príklad 3

Riešte rovnicu x/a + 1 = a + x vzhľadom na premennú x.

Riešenie.

Ak a \u003d 0, potom rovnicu transformujeme do tvaru a + x \u003d a 2 + ax alebo (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Posledná rovnica pre a = 1 má tvar 0 · x = 0, teda x je ľubovoľné číslo.

Ak a ≠ 1, potom posledná rovnica bude mať tvar x = -a.

Toto riešenie možno znázorniť na súradnicovej čiare (obr. 1)

Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia pre a = 0; x - ľubovoľné číslo v a = 1; x \u003d -a s a ≠ 0 a a ≠ 1.

Grafická metóda

Zvážte iný spôsob riešenia rovníc s parametrom - grafický. Táto metóda sa používa pomerne často.

Príklad 4

Koľko koreňov v závislosti od parametra a tvorí rovnica ||x| – 2| = a?

Riešenie.

Na riešenie grafickou metódou zostrojíme grafy funkcií y = ||x| – 2| a y = a (obr. 2).

Nákres jasne ukazuje možné prípady umiestnenia úsečky y = a a počtu koreňov v každom z nich.

Odpoveď: rovnica nebude mať korene, ak a< 0; два корня будет в случае, если a >2 a a = 0; rovnica bude mať tri korene v prípade a = 2; štyri korene - na 0< a < 2.

Príklad 5

Pre ktoré a platí rovnica 2|x| + |x – 1| = a má jeden koreň?

Riešenie.

Nakreslíme grafy funkcií y = 2|x| + |x – 1| a y = a. Pre y = 2|x| + |x - 1|, rozbalením modulov metódou medzery dostaneme:

(-3x + 1, pri x< 0,

y = (x + 1, pre 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pre x > 1.

Na obrázok 3 je jasne vidieť, že rovnica bude mať jedinečný koreň iba vtedy, keď a = 1.

Odpoveď: a = 1.

Príklad 6

Určte počet riešení rovnice |x + 1| + |x + 2| = a v závislosti od parametra a?

Riešenie.

Graf funkcie y = |x + 1| + |x + 2| bude prerušovaná čiara. Jeho vrcholy budú umiestnené v bodoch (-2; 1) a (-1; 1) (obrázok 4).

Odpoveď: ak je parameter a menší ako jedna, potom rovnica nebude mať žiadne korene; ak a = 1, potom riešením rovnice je nekonečná množina čísel zo segmentu [-2; -jeden]; ak sú hodnoty parametra a väčšie ako jedna, potom bude mať rovnica dva korene.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť rovnice s parametrom?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Rovnice s parametrami sa právom považujú za jednu z najťažších úloh školskej matematiky. Práve tieto úlohy z roka na rok spadajú do zoznamu úloh typu B a C na jednotnej štátnej skúške Jednotná štátna skúška. Medzi veľkým množstvom rovníc s parametrami sa však nájdu také, ktoré sa dajú jednoducho graficky vyriešiť. Zoberme si túto metódu na príklade riešenia niekoľkých problémov.

Nájdite súčet celočíselných hodnôt a, pre ktoré platí rovnica |x 2 – 2x – 3| = a má štyri korene.

Riešenie.

Aby sme odpovedali na otázku problému, zostrojíme grafy funkcií na jednej súradnicovej rovine

y = |x 2 – 2x – 3| a y = a.

Graf prvej funkcie y = |x 2 – 2x – 3| získame z grafu paraboly y = x 2 - 2x - 3 symetrickým zobrazením okolo osi x časti grafu, ktorá je pod osou Ox. Časť grafu nad osou x zostane nezmenená.

Poďme na to krok za krokom. Graf funkcie y \u003d x 2 - 2x - 3 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor. Na zostavenie jeho grafu nájdeme súradnice vrcholu. To možno vykonať pomocou vzorca x 0 = -b / 2a. Teda x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Aby sme našli súradnicu vrcholu paraboly pozdĺž osi y, dosadíme získanú hodnotu za x 0 do rovnice uvažovanej funkcie. Dostaneme, že y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Vrchol paraboly má teda súradnice (1; -4).

Ďalej musíte nájsť priesečníky vetiev paraboly so súradnicovými osami. V priesečníkoch vetiev paraboly s osou x je hodnota funkcie nulová. Preto riešime kvadratickú rovnicu x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Jej korene budú požadované body. Podľa Vietovej vety máme x 1 = -1, x 2 = 3.

V priesečníkoch vetiev paraboly s osou y je hodnota argumentu nulová. Bod y = -3 je teda priesečníkom vetiev paraboly s osou y. Výsledný graf je znázornený na obrázku 1.

Aby sme dostali graf funkcie y = |x 2 - 2x - 3|, zobrazíme časť grafu, ktorá je pod osou x, symetricky podľa osi x. Výsledný graf je znázornený na obrázku 2.

Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou x. Je to znázornené na obrázku 3. Pomocou obrázku zistíme, že grafy majú štyri spoločné body (a rovnica má štyri korene), ak a patrí do intervalu (0; 4).

Celočíselné hodnoty čísla a z prijatého intervalu: 1; 2; 3. Aby sme odpovedali na otázku problému, nájdime súčet týchto čísel: 1 + 2 + 3 = 6.

odpoveď: 6.

Nájdite aritmetický priemer celočíselných hodnôt čísla a, pre ktoré platí rovnica |x 2 – 4|x| – 1| = a má šesť koreňov.

Začnime vynesením funkcie y = |x 2 – 4|x| – 1|. Aby sme to dosiahli, používame rovnosť a 2 = |a| 2 a vyberte celý štvorec vo výraze submodulu napísanom na pravej strane funkcie:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Potom bude pôvodná funkcia vyzerať takto y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Aby sme vytvorili graf tejto funkcie, zostavíme postupne grafy funkcií:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabola s vrcholom v bode so súradnicami (2; -5); (obr. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - časť paraboly zostrojená v odseku 1, ktorá sa nachádza napravo od osi y, je symetricky zobrazená naľavo od osi Oy; (obr. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - časť grafu zostrojená v odseku 2, ktorá je pod osou x, je zobrazená symetricky vzhľadom na os x smerom nahor. (obr. 3).

Zvážte výsledné výkresy:

Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou x.

Pomocou obrázku sme dospeli k záveru, že grafy funkcií majú šesť spoločných bodov (rovnica má šesť koreňov), ak a patrí do intervalu (1; 5).

To je možné vidieť na nasledujúcom obrázku:

Nájdite aritmetický priemer celočíselných hodnôt parametra a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

odpoveď: 3.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

§ 8. APLIKÁCIA TEÓRIE PRAVDEPODOBNOSTI NA ŠTATISTIKU.

2. Stanovenie neznámych distribučných parametrov.

Pomocou histogramu môžeme približne zostaviť graf hustoty distribúcie náhodnej premennej. Vzhľad tohto grafu často umožňuje urobiť predpoklad o hustote rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Výraz pre túto distribučnú hustotu zvyčajne zahŕňa niektoré parametre, ktoré je potrebné určiť z experimentálnych údajov.
Zastavme sa na konkrétnom prípade, keď hustota distribúcie závisí od dvoch parametrov.
Tak nech x 1, x 2, ..., x n sú pozorované hodnoty spojitej náhodnej premennej a jej hustota rozdelenia pravdepodobnosti závisí od dvoch neznámych parametrov A a B, t.j. vyzerá ako . Jedna z metód hľadania neznámych parametrov A a B spočíva v tom, že sa vyberajú tak, aby sa matematické očakávanie a rozptyl teoretického rozdelenia zhodovali s priemerom a rozptylom vzorky:

(66)

kde

(67)

Z dvoch získaných rovníc () nájdite neznáme parametre A a B. Napríklad, ak náhodná premenná spĺňa zákon normálneho rozdelenia pravdepodobnosti, potom jej hustota rozdelenia pravdepodobnosti

závisí od dvoch parametrov a a . Tieto parametre, ako vieme, sú matematické očakávanie a smerodajná odchýlka náhodnej premennej; takže sa rovná () bude napísané takto:

(68)

Preto má hustota rozdelenia pravdepodobnosti tvar

Poznámka 1. Tento problém sme už riešili v . Výsledkom merania je náhodná premenná podľa zákona normálneho rozdelenia s parametrami a a . Pre priblíženie a vybrali sme hodnotu a pre približnú hodnotu - hodnotu .

Poznámka 2. S veľkým počtom experimentov je hľadanie hodnôt a používanie vzorcov () spojené s ťažkopádnymi výpočtami. Preto sa správajú nasledovne: každá z pozorovaných hodnôt množstva, do ktorej spadla i-tý interval ] X i-1 , X i [štatistický rad, sa považuje za približne rovný stredu c i tento interval, t.j. c i \u003d (X i-1 + X i) / 2. Zvážte prvý interval ] X 0 , X 1 [. Dostal zásah m 1 pozorované hodnoty náhodnej premennej, z ktorých každú nahradíme číslom od 1. Preto sa súčet týchto hodnôt približne rovná m 1 s 1. Podobne súčet hodnôt, ktoré spadli do druhého intervalu, sa približne rovná m 2 s 2 atď. Preto

Podobným spôsobom získame približnú rovnosť

Tak si to ukážme

(71)

naozaj,