யூலர்-வென் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி சில சிக்கல்களை வசதியாகவும் தெளிவாகவும் தீர்க்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, தொகுப்புகள் சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்கள். யூலர்-வென் வரைபடங்கள் என்ன, அவற்றை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பது உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், முதலில் படிக்கவும்.
இப்போது செட் பற்றிய பொதுவான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம்.
பணி 1.
வெளிநாட்டு மொழிகளை ஆழமாகப் படிக்கும் ஒரு பள்ளியில் 100 மாணவர்களிடையே ஒரு கணக்கெடுப்பு நடத்தப்பட்டது. மாணவர்களிடம் கேள்வி கேட்கப்பட்டது: "நீங்கள் என்ன வெளிநாட்டு மொழிகளைப் படிக்கிறீர்கள்?" 48 மாணவர்கள் ஆங்கிலம், 26 - பிரஞ்சு, 28 - ஜெர்மன் படிக்கிறார்கள் என்று மாறியது. 8 பள்ளி குழந்தைகள் ஆங்கிலம் மற்றும் ஜெர்மன், 8 - ஆங்கிலம் மற்றும் பிரஞ்சு, 13 - பிரஞ்சு மற்றும் ஜெர்மன் படிக்கின்றனர். 24 பள்ளி மாணவர்கள் ஆங்கிலம், பிரஞ்சு அல்லது ஜெர்மன் படிக்க மாட்டார்கள். கணக்கெடுப்பை முடித்த எத்தனை பள்ளி மாணவர்கள் ஒரே நேரத்தில் மூன்று மொழிகளைப் படிக்கிறார்கள்: ஆங்கிலம், பிரஞ்சு மற்றும் ஜெர்மன்?
பதில்: 3.
தீர்வு:
- பல பள்ளி மாணவர்கள் ஆங்கிலம் ("A") கற்கிறார்கள்;
- பிரஞ்சு ("F") படிக்கும் பல பள்ளி மாணவர்கள்;
- பல பள்ளி மாணவர்கள் ஜெர்மன் ("N") படிக்கின்றனர்.
நிபந்தனையின்படி நமக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை யூலர்-வென் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிப்போம்.
விரும்பிய பகுதி A=1, Ф=1, Н=1 ஐ “x” (கீழே உள்ள அட்டவணையில், பகுதி எண். 7) எனக் குறிப்போம். x இன் அடிப்படையில் மீதமுள்ள பகுதிகளை வெளிப்படுத்துவோம்.
0) பிராந்தியம் A=0, Ф=0, Н=0: 24 பள்ளி குழந்தைகள் - பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளுக்கு ஏற்ப வழங்கப்படுகிறது.
1) பகுதி A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x பள்ளிக்குழந்தைகள்.
2) பகுதி A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x பள்ளிக்குழந்தைகள்.
3) பகுதி A=0, F=1, N=1: 13 பள்ளி மாணவர்கள்.
4) பகுதி A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x பள்ளிக்குழந்தைகள்.
5) பகுதி A=1, F=0, H=1: 8 பள்ளி குழந்தைகள்.
6) பகுதி A=1, F=1, H=0: 8 பள்ளி குழந்தைகள்.
| № பிராந்தியம் | ஏ |
எஃப் |
என் |
அளவு பள்ளி குழந்தைகள் |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+x |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+x |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
13வது |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+x |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
எக்ஸ் |
x ஐ வரையறுப்போம்:
24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.
x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
3 பள்ளி மாணவர்கள் ஒரே நேரத்தில் ஆங்கிலம், பிரஞ்சு மற்றும் ஜெர்மன் ஆகிய மூன்று மொழிகளைப் படிப்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம்.
அறியப்பட்ட x க்கு Euler-Venn வரைபடம் இப்படித்தான் இருக்கும்:
பணி 2.
கணித ஒலிம்பியாடில், பள்ளிக்குழந்தைகள் மூன்று சிக்கல்களைத் தீர்க்குமாறு கேட்டுக்கொள்ளப்பட்டனர்: ஒன்று இயற்கணிதத்தில் ஒன்று, வடிவவியலில் ஒன்று, முக்கோணவியலில் ஒன்று. ஒலிம்பியாட் போட்டியில் 1000 பள்ளி மாணவர்கள் பங்கேற்றனர். ஒலிம்பியாட் முடிவுகள் பின்வருமாறு: இயற்கணிதத்தில் 800 பேர், வடிவவியலில் 700 பேர், முக்கோணவியலில் 600 பேர், இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவவியலில் 600 பேர், இயற்கணிதம் மற்றும் முக்கோணத்தில் 500 பேர், முக்கோணவியல், 40 இல் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்த்தனர். 300 பேர் இயற்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் ஆகியவற்றில் சிக்கல்களைத் தீர்த்தனர். எத்தனை பள்ளிக்குழந்தைகள் ஒரு பிரச்சனைக்கு தீர்வு காணவில்லை?
பதில்: 100.
தீர்வு:
முதலில், நாம் தொகுப்புகளை வரையறுத்து, குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். அவற்றில் மூன்று உள்ளன:
- இயற்கணிதத்தில் பல சிக்கல்கள் ("A");
- வடிவவியலில் பல சிக்கல்கள் ("ஜி");
- முக்கோணவியலில் பல சிக்கல்கள் ("டி").
நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதை சித்தரிப்போம்:
சாத்தியமான அனைத்து பகுதிகளுக்கும் பள்ளி மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை தீர்மானிப்போம்.
விரும்பிய பகுதி A=0, G=0, T=0 ஆகியவற்றை “x” (கீழே உள்ள அட்டவணையில், பகுதி எண். 0) எனக் குறிப்போம்.
மீதமுள்ள பகுதிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:
1) பகுதி A=0, G=0, T=1: பள்ளிக் குழந்தைகள் இல்லை.
2) பகுதி A=0, G=1, T=0: பள்ளிக் குழந்தைகள் இல்லை.
3) பகுதி A=0, G=1, T=1: 100 பள்ளி மாணவர்கள்.
4) பகுதி A=1, G=0, T=0: பள்ளிக் குழந்தைகள் இல்லை.
5) பகுதி A=1, G=0, T=1: 200 பள்ளி மாணவர்கள்.
6) பகுதி A=1, D=1, T=0: 300 பள்ளி மாணவர்கள்.
7) பகுதி A=1, G=1, T=1: 300 பள்ளி மாணவர்கள்.
பகுதிகளின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் எழுதுவோம்:
| № பிராந்தியம் | ஏ |
ஜி |
டி |
அளவு பள்ளி குழந்தைகள் |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
எக்ஸ் |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அனைத்து பகுதிகளுக்கும் மதிப்புகளைக் காண்பிப்போம்:
x ஐ வரையறுப்போம்:
x=U-(A V Г V Т), இங்கு U என்பது பிரபஞ்சம்.
A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.
100 பள்ளிக்குழந்தைகள் ஒரு பிரச்சனையையும் தீர்க்கவில்லை என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம்.
பணி 3.
இயற்பியல் ஒலிம்பியாடில், பள்ளிக்குழந்தைகள் மூன்று சிக்கல்களைத் தீர்க்குமாறு கேட்டுக்கொள்ளப்பட்டனர்: ஒன்று இயக்கவியலில் ஒன்று, வெப்ப இயக்கவியலில் ஒன்று மற்றும் ஒளியியலில் ஒன்று. ஒலிம்பியாட் முடிவுகள் பின்வருமாறு: இயக்கவியலில் 400 பேர், வெப்ப இயக்கவியலில் 350 பேர், ஒளியியலில் 300 பேர் இயக்கவியல் மற்றும் தெர்மோடைனமிக்ஸ், 200 பேர் இயக்கவியல் மற்றும் ஒளியியல் கருப்பொருள்கள், 150. 100 பேர் இயக்கவியல், தெர்மோடைனமிக்ஸ் மற்றும் ஒளியியல் ஆகியவற்றில் சிக்கல்களைத் தீர்த்தனர். எத்தனை பள்ளி மாணவர்கள் இரண்டு பிரச்சினைகளை தீர்த்தனர்?
பதில்: 350.
தீர்வு:
முதலில், நாம் தொகுப்புகளை வரையறுத்து குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். அவற்றில் மூன்று உள்ளன:
- இயக்கவியலில் பல சிக்கல்கள் ("கே");
- வெப்ப இயக்கவியலில் பல சிக்கல்கள் ("டி");
- ஒளியியலில் பல சிக்கல்கள் ("O").
நிபந்தனையின்படி நமக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை யூலர்-வென் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிப்போம்:
நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதை சித்தரிப்போம்:
சாத்தியமான அனைத்து பகுதிகளுக்கும் பள்ளி மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிப்போம்:
0) பகுதி K=0, T=0, O=0: வரையறுக்கப்படவில்லை.
1) பிராந்தியம் K=0, T=0, O=1: 50 பள்ளி மாணவர்கள்.
2) பகுதி K=0, T=1, O=0: பள்ளிக் குழந்தைகள் இல்லை.
3) பிராந்தியம் K=0, T=1, O=1: 50 பள்ளி மாணவர்கள்.
4) பகுதி K=1, T=0, O=0: பள்ளிக் குழந்தைகள் இல்லை.
5) பிராந்தியம் K=1, T=0, O=1: 100 பள்ளி மாணவர்கள்.
6) பகுதி K=1, T=1, O=0: 200 பள்ளிக்குழந்தைகள்.
7) பிராந்தியம் K=1, T=1, O=1: 100 பள்ளி மாணவர்கள்.
பகுதிகளின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் எழுதுவோம்:
| № பிராந்தியம் | TO |
டி |
பற்றி |
அளவு பள்ளி குழந்தைகள் |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அனைத்து பகுதிகளுக்கும் மதிப்புகளைக் காண்பிப்போம்:
x ஐ வரையறுப்போம்.
x=200+100+50=350.
எங்களுக்கு கிடைத்தது, 350 பள்ளி மாணவர்கள் இரண்டு பிரச்சினைகளை தீர்த்தனர்.
பணி 4.
வழிப்போக்கர்களிடம் ஒரு கணக்கெடுப்பு நடத்தப்பட்டது. கேள்வி கேட்கப்பட்டது: "உங்களிடம் என்ன செல்லப்பிராணி?" கணக்கெடுப்பு முடிவுகளின்படி, 150 பேருக்கு ஒரு பூனை உள்ளது, 130 பேருக்கு ஒரு நாய் உள்ளது, 50 பேருக்கு ஒரு பறவை உள்ளது. 60 பேர் ஒரு பூனை மற்றும் ஒரு நாய், 20 ஒரு பூனை மற்றும் ஒரு பறவை, 30 ஒரு நாய் மற்றும் ஒரு பறவை உள்ளது. 70 பேருக்கு செல்லப் பிராணியே கிடையாது. 10 பேர் ஒரு பூனை, ஒரு நாய் மற்றும் ஒரு பறவை. கணக்கெடுப்பில் எத்தனை வழிப்போக்கர்கள் பங்கேற்றனர்?
பதில்: 300.
தீர்வு:
முதலில், நாம் தொகுப்புகளை வரையறுத்து குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். அவற்றில் மூன்று உள்ளன:
- பூனை வைத்திருக்கும் பலர் ("கே");
- நாய் வைத்திருக்கும் பலர் ("சி");
- ஒரு பறவை ("P") வைத்திருக்கும் நிறைய பேர்.
நிபந்தனையின்படி நமக்கு என்ன கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை யூலர்-வென் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிப்போம்:
நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதை சித்தரிப்போம்:
சாத்தியமான அனைத்து பகுதிகளுக்கும் மக்கள் எண்ணிக்கையை தீர்மானிப்போம்:
0) பகுதி K=0, S=0, P=0: 70 பேர்.
1) பகுதி K=0, S=0, P=1: 10 பேர்.
2) மண்டலம் K=0, S=1, P=0: 50 பேர்.
3) பகுதி K=0, S=1, P=1: 20 பேர்.
4) பகுதி K=1, S=0, P=0: 80 பேர்.
5) பகுதி K=1, T=0, O=1: 10 பேர்.
6) பகுதி K=1, T=1, O=0: 50 பேர்.
7) பகுதி K=1, T=1, O=1: 10 பேர்.
பகுதிகளின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் எழுதுவோம்:
| № பிராந்தியம் | TO |
சி |
பி |
அளவு மனிதன் |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அனைத்து பகுதிகளுக்கும் மதிப்புகளைக் காண்பிப்போம்:
x ஐ வரையறுப்போம்:
x=U (பிரபஞ்சம்)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
கணக்கெடுப்பில் 300 பேர் கலந்து கொண்டதைக் கண்டறிந்தோம்.
பணி 5.
ஒரு பல்கலைக்கழகத்தில் 120 பேர் ஒரு சிறப்புப் பிரிவில் நுழைந்தனர். விண்ணப்பதாரர்கள் மூன்று தேர்வுகளை எடுத்தனர்: கணிதம், கணினி அறிவியல் மற்றும் ரஷ்ய மொழி. 60 பேர் கணிதம், 40 பேர் - கணினி அறிவியல், 30 விண்ணப்பதாரர்கள் கணிதம் மற்றும் கணினி அறிவியல், 30 - கணிதம் மற்றும் ரஷ்ய மொழி, 25 - கணினி அறிவியல் மற்றும் ரஷ்ய மொழியில் தேர்ச்சி பெற்றனர். மூன்று தேர்வுகளிலும் 20 பேர் தேர்ச்சி பெற்றனர், 50 பேர் தோல்வியடைந்தனர். ரஷ்ய மொழி தேர்வில் எத்தனை விண்ணப்பதாரர்கள் தேர்ச்சி பெற்றனர்?
ஆய்லர்-வென் வரைபடங்கள் தொகுப்புகளின் வடிவியல் பிரதிநிதித்துவங்கள். வரைபடத்தின் கட்டுமானமானது உலகளாவிய செட் U ஐக் குறிக்கும் ஒரு பெரிய செவ்வகத்தை வரைவதைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் அதன் உள்ளே - செட்களைக் குறிக்கும் வட்டங்கள் (அல்லது வேறு சில மூடிய புள்ளிவிவரங்கள்).
வடிவங்கள் சிக்கலுக்குத் தேவைப்படும் பொதுவான வழியில் குறுக்கிட வேண்டும் மற்றும் அதற்கேற்ப லேபிளிடப்பட வேண்டும். வரைபடத்தின் வெவ்வேறு பகுதிகளுக்குள் இருக்கும் புள்ளிகளை தொடர்புடைய தொகுப்புகளின் கூறுகளாகக் கருதலாம். கட்டப்பட்ட வரைபடத்தின் மூலம், புதிதாக உருவாக்கப்பட்ட செட்களைக் குறிக்க சில பகுதிகளை நிழலிடலாம்.
ஏற்கனவே உள்ளவற்றிலிருந்து புதிய செட்களைப் பெறுவதற்கு செட் செயல்பாடுகள் கருதப்படுகின்றன.
வரையறை. A மற்றும் B செட்களின் ஒன்றியம் என்பது A, B (படம் 1) செட்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்றிற்குச் சொந்தமான அனைத்து கூறுகளையும் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும்.
வரையறை. A மற்றும் B செட்களின் குறுக்குவெட்டு என்பது A மற்றும் செட் B இரண்டிற்கும் ஒரே நேரத்தில் சொந்தமான அனைத்து கூறுகளையும் கொண்ட ஒரு தொகுப்பாகும் (படம் 2):
வரையறை. A மற்றும் B ஆகிய தொகுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசமானது, B இல் இல்லாத A இன் தனிமங்கள் அனைத்தின் தொகுப்பாகும் (படம் 3):
வரையறை. A மற்றும் B செட்களின் சமச்சீர் வேறுபாடு என்பது இந்த தொகுப்புகளின் தனிமங்களின் தொகுப்பாகும், அவை A அமைப்பிற்கு மட்டுமே அல்லது B அமைப்பிற்கு மட்டுமே (படம் 4):
வரையறை. செட் A இன் முழுமையான நிரப்பு என்பது A அமைப்பிற்குச் சொந்தமில்லாத அனைத்து உறுப்புகளின் தொகுப்பாகும் (படம் 5):
|
VENN DIAGRAMS என்பது தருக்க-கணிதக் கோட்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடுவதற்கும் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும் ஒரு வரைகலை வழி. அவை விமானத்தின் ஒரு பகுதியை செல்களாக (துணைக்குழுக்கள்) மூடிய வரையறைகளுடன் (ஜோர்டான் வளைவுகள்) பிரிப்பதன் மூலம் கட்டமைக்கப்படுகின்றன. செல்கள் பரிசீலனையில் உள்ள கோட்பாடு அல்லது சூத்திரத்தை வகைப்படுத்தும் தகவலை வழங்குகின்றன. வரைபடங்களை உருவாக்குவதன் நோக்கம் விளக்கமளிப்பது மட்டுமல்ல, செயல்பாட்டு - வழிமுறை தகவலின் செயலாக்கமும் ஆகும். வென் வரைபட கருவி பொதுவாக பகுப்பாய்வுடன் இணைந்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.
பகிர்வு முறை, கலங்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் அவற்றில் உள்ள தகவல்களைப் பதிவு செய்வதில் உள்ள சிக்கல்கள் பரிசீலனையில் உள்ள கோட்பாட்டைப் பொறுத்தது, இது வரைபடமாக அறிமுகப்படுத்தப்படலாம் (விவரிக்கப்பட்டது) - சில வென் வரைபடங்கள், ஆரம்பத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட, குறிப்பாக, ஒன்றாக சில வரைபடங்கள் ஆபரேட்டர்களாக செயல்படும் போது, மற்ற வரைபடங்களில் செயல்படும் போது, அவற்றின் மாற்றங்களுக்கான வழிமுறைகள். உதாரணமாக, கிளாசிக்கல் விஷயத்தில் முன்மொழிவு தர்க்கம் n வெவ்வேறு முன்மொழிவு மாறிகள் கொண்ட சூத்திரங்களுக்கு, விமானத்தின் ஒரு பகுதி (பிரபஞ்சம்) 2" செல்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது, இது கூறுகளுடன் தொடர்புடையது (இணைப்பு அல்லது துண்டிப்பு வடிவத்தில்). இதில் ஒரு நட்சத்திரம் வைக்கப்பட்டுள்ளது (அல்லது இல்லை) எனவே, சூத்திரம்
(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬a&b&¬c)
மூன்று முன்மொழிவு மாறிகள் a, b மற்றும் c என்பது படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இதில் கலங்களில் உள்ள நட்சத்திரக் குறியீடுகள் இந்த சரியான இயல்பான டிஸ்ஜன்க்டிவ் ஃபார்முலாவின் இணைந்த கூறுகளுடன் ஒத்திருக்கும். நட்சத்திரக் குறியீடுகளால் குறிக்கப்பட்ட செல்கள் இல்லை என்றால், வென் வரைபடம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரே மாதிரியான தவறான சூத்திரத்துடன் தொடர்புடையது, (a&¬a).
ஒரு விமானத்தை 2" செல்களாகப் பிரிக்கும் தூண்டல் முறையானது ஆங்கில தர்க்க வல்லுநர் ஜே. வென்னின் படைப்புகளுக்குச் செல்கிறது, இது வென் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது:
1. n = 1, 2, 3 க்கு, வட்டங்கள் வெளிப்படையான முறையில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. (காட்டப்பட்ட படத்தில், n = 3.)
2. n = k (k ≥ 3) க்கு, விமானம் 2k கலங்களாகப் பிரிக்கப்படும் வகையில் k உருவங்களின் அமைப்பு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்.
பின்னர், இந்த விமானத்தில் k+1 உருவங்களைக் கண்டறிய, முதலில், ஒரு திறந்த வளைவைத் தேர்ந்தெடுப்பது போதுமானது (cf சுய வெட்டுப்புள்ளிகள் இல்லாமல், அதாவது, அனைத்து 2k கலங்களின் எல்லைகளுக்குச் சொந்தமான திறந்த ஜோர்டான் வளைவு மற்றும் ஒரே ஒரு பொதுவானது. இந்த எல்லைகள் ஒவ்வொன்றையும் கொண்ட துண்டு இரண்டாவதாக, வட்டம் φ மூடப்பட்ட ஜோர்டான் வளைவு Ψ k+1 அதனால் வளைவு Ψ k+1 அனைத்து 2k கலங்களையும் கடந்து, ஒவ்வொரு கலத்தின் எல்லையையும் இரண்டு முறை மட்டுமே கடந்தது. இது விமானம் 2k+1 கலங்களாகப் பிரிக்கப்படும் வகையில் n= k+1 உருவங்களின் ஏற்பாட்டை ஏற்படுத்தும்.
வென் வரைபட முறை மற்ற தருக்க-கணிதக் கோட்பாடுகளைக் குறிக்க நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. கிராஃபிக் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு ஏற்ற வடிவத்தில் அதன் மொழியின் கூறுகளை முன்னிலைப்படுத்தும் வகையில் கோட்பாடு எழுதப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, கிளாசிக்கல் முன்னறிவிப்பு தர்க்கத்தின் அணு சூத்திரங்கள் P(Y1..Yr) வடிவத்தின் சொற்களாக எழுதப்படுகின்றன, இங்கு P என்பது ஒரு முன்கணிப்பு, மற்றும் Y1,..., Yr என்பது பொருள் மாறிகள், அவசியமில்லை; Y1,..., Yr என்பது ஒரு பொருள் உள்ளீடு. வென் வரைபடங்களின் தெளிவான தொகுப்பு-கோட்பாட்டுத் தன்மையானது, அவற்றின் உதவியுடன், குறிப்பாக, செட்-தியரிடிக் கால்குலியைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தவும் படிக்கவும் அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக, Zermelo-Fraenkel செட் கோட்பாட்டின் ZF கால்குலஸ். தர்க்கம் மற்றும் கணிதத்தில் வரைகலை முறைகள் நீண்ட காலமாக உருவாகி வருகின்றன. இவை, குறிப்பாக, தருக்க சதுரம், ஆய்லர் வட்டங்கள் மற்றும் எல். கரோலின் அசல் வரைபடங்கள். இருப்பினும், வென் வரைபட முறையானது பாரம்பரிய சிலாஜிஸ்டிக்ஸில் பயன்படுத்தப்படும் நன்கு அறியப்பட்ட யூலர் வட்ட முறையிலிருந்து கணிசமாக வேறுபடுகிறது. வென் வரைபடங்கள் ஒரு பூலியன் செயல்பாட்டைக் கூறுகளாக சிதைக்கும் யோசனையை அடிப்படையாகக் கொண்டவை - தர்க்கத்தின் இயற்கணிதத்தின் மையமானது, இது அவற்றின் செயல்பாட்டுத் தன்மையை தீர்மானிக்கிறது. வென் தனது வரைபடங்களை முதன்மையாக வகுப்பு தர்க்க சிக்கல்களைத் தீர்க்க பயன்படுத்தினார். முன்மொழிவு மற்றும் முன்கணிப்பு தர்க்கத்தின் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கும், வளாகத்திலிருந்து விளைவுகளை மறுபரிசீலனை செய்வதற்கும், தர்க்கரீதியான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும், அத்துடன் பிற கேள்விகளுக்கும், தீர்க்கக்கூடிய சிக்கல் வரை அதன் வரைபடங்கள் திறம்பட பயன்படுத்தப்படலாம். வென் வரைபட கருவியானது கணித தர்க்கம் மற்றும் ஆட்டோமேட்டா கோட்பாட்டின் பயன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிப்பாக நரம்பியல் சுற்றுகள் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் மற்றும் ஒப்பீட்டளவில் பலவீனமான நம்பகமான கூறுகளிலிருந்து நம்பகமான சுற்றுகளை ஒருங்கிணைப்பதில் சிக்கல்.
A. S. குசிச்சேவ்
புதிய தத்துவ கலைக்களஞ்சியம். நான்கு தொகுதிகளில். / இன்ஸ்டிடியூட் ஆஃப் பிலாசபி RAS. அறிவியல் பதிப்பு. ஆலோசனை: வி.எஸ். ஸ்டெபின், ஏ.ஏ. குசினோவ், ஜி.யு. செமிஜின். M., Mysl, 2010, தொகுதி I, A - D, p. 645.
இலக்கியம்:
வென் ஜே. குறியீட்டு தர்க்கம். எல்., 1881. எட். 2, ரெவ். எல்., 1894;
குசிச்சேவ் ஏ.எஸ். வென் வரைபடங்கள். வரலாறு மற்றும் பயன்பாடுகள். எம்., 1968;
அது அவன் தான். வென் வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி சில கணித தர்க்க சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது. - புத்தகத்தில்: தருக்க அமைப்புகளின் ஆய்வு. எம்., 1970.
யூலர் வட்டங்களைப் பற்றி உங்களுக்கு எதுவும் தெரியாது என்று நீங்கள் நினைத்தால், நீங்கள் தவறாக நினைக்கிறீர்கள். உண்மையில், நீங்கள் அவர்களை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை சந்தித்திருக்கலாம், அது என்னவென்று உங்களுக்குத் தெரியாது. சரியாக எங்கே? ஆய்லர் வட்ட வடிவில் உள்ள வரைபடங்கள் பல பிரபலமான இணைய மீம்களின் அடிப்படையை உருவாக்கியது (ஒரு குறிப்பிட்ட தலைப்பில் ஆன்லைனில் விநியோகிக்கப்படும் படங்கள்).
இவை என்ன வகையான வட்டங்கள், அவை ஏன் அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க அவை ஏன் மிகவும் வசதியானவை என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.
காலத்தின் தோற்றம்
நிகழ்வுகள் மற்றும் கருத்துக்களுக்கு இடையே உள்ள தர்க்கரீதியான இணைப்புகளைக் கண்டறிய மற்றும்/அல்லது உருவாக்க உதவும் வடிவியல் வரைபடம். இது ஒரு தொகுப்பிற்கும் அதன் பகுதிக்கும் இடையிலான உறவை சித்தரிக்க உதவுகிறது.
இது இன்னும் தெளிவாக இல்லை, இல்லையா? இந்தப் படத்தைப் பாருங்கள்:
படம் பல்வேறு காட்டுகிறது - அனைத்து சாத்தியமான பொம்மைகள். சில பொம்மைகள் கட்டுமானத் தொகுப்புகள் - அவை தனி ஓவலில் சிறப்பிக்கப்படுகின்றன. இது ஒரு பெரிய "பொம்மைகள்" மற்றும் அதே நேரத்தில் ஒரு தனி தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாகும் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு கட்டுமானத் தொகுப்பு "லெகோ" அல்லது குழந்தைகளுக்கான தொகுதிகளால் செய்யப்பட்ட பழமையான கட்டுமானத் தொகுப்புகளாக இருக்கலாம்). பெரிய வகை "பொம்மைகளின்" சில பகுதி காற்று-அப் பொம்மைகளாக இருக்கலாம். அவர்கள் கட்டமைப்பாளர்கள் அல்ல, எனவே அவர்களுக்காக ஒரு தனி ஓவல் வரைகிறோம். மஞ்சள் ஓவல் "விண்ட்-அப் கார்" செட் "பொம்மை" இரண்டையும் குறிக்கிறது மற்றும் சிறிய செட் "விண்ட்-அப் டாய்" இன் ஒரு பகுதியாகும். எனவே, இது இரண்டு ஓவல்களுக்குள்ளும் ஒரே நேரத்தில் சித்தரிக்கப்படுகிறது.
சரி, தெளிவாகிவிட்டதா? அதனால்தான் யூலர் வட்டங்கள் தெளிவாக நிரூபிக்கும் ஒரு முறையாகும்: நூறு முறை கேட்பதை விட ஒரு முறை பார்ப்பது நல்லது. அதன் தகுதி என்னவென்றால், தெளிவு பகுத்தறிவை எளிதாக்குகிறது மற்றும் விரைவாகவும் எளிதாகவும் பதிலைப் பெற உதவுகிறது.
இந்த முறையின் ஆசிரியர் விஞ்ஞானி லியோனார்ட் யூலர் (1707-1783). அவர் பெயரிடப்பட்ட வரைபடங்களைப் பற்றி அவர் இவ்வாறு கூறினார்: "நமது சிந்தனையை எளிதாக்குவதற்கு வட்டங்கள் பொருத்தமானவை." ஆய்லர் ஒரு ஜெர்மன், சுவிஸ் மற்றும் ரஷ்ய கணிதவியலாளர், இயந்திரவியல் மற்றும் இயற்பியலாளர் என்று கருதப்படுகிறார். உண்மை என்னவென்றால், அவர் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க் அகாடமி ஆஃப் சயின்ஸில் பல ஆண்டுகள் பணியாற்றினார் மற்றும் ரஷ்ய அறிவியலின் வளர்ச்சிக்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்களிப்பை வழங்கினார்.
அவருக்கு முன், ஜேர்மன் கணிதவியலாளரும் தத்துவஞானியுமான காட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் தனது முடிவுகளை உருவாக்கும் போது இதேபோன்ற கொள்கையால் வழிநடத்தப்பட்டார்.
ஆய்லரின் முறை நன்கு தகுதியான அங்கீகாரத்தையும் பிரபலத்தையும் பெற்றுள்ளது. அவருக்குப் பிறகு, பல விஞ்ஞானிகள் அதை தங்கள் வேலையில் பயன்படுத்தினர், மேலும் அதை தங்கள் சொந்த வழியில் மாற்றியமைத்தனர். எடுத்துக்காட்டாக, செக் கணிதவியலாளர் பெர்னார்ட் போல்சானோ அதே முறையைப் பயன்படுத்தினார், ஆனால் செவ்வக சுற்றுகளுடன்.
ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் எர்னஸ்ட் ஷ்ரோடரும் தனது பங்களிப்பைச் செய்தார். ஆனால் முக்கிய தகுதிகள் ஆங்கிலேயரான ஜான் வெனுக்கு சொந்தமானது. அவர் தர்க்கத்தில் நிபுணராக இருந்தார் மற்றும் "சிம்பாலிக் லாஜிக்" புத்தகத்தை வெளியிட்டார், அதில் அவர் முறையின் பதிப்பை விரிவாகக் கோடிட்டுக் காட்டினார் (அவர் முக்கியமாக செட் குறுக்குவெட்டுகளின் படங்களைப் பயன்படுத்தினார்).
வெனின் பங்களிப்புக்கு நன்றி, இந்த முறை வென் வரைபடங்கள் அல்லது யூலர்-வென் வரைபடங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
ஆய்லர் வட்டங்கள் ஏன் தேவை?
ஆய்லர் வட்டங்கள் ஒரு பயன்பாட்டு நோக்கத்தைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது, அவற்றின் உதவியுடன், கணிதம், தர்க்கம், மேலாண்மை மற்றும் பலவற்றில் தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் அல்லது குறுக்குவெட்டு சம்பந்தப்பட்ட சிக்கல்கள் நடைமுறையில் தீர்க்கப்படுகின்றன.
ஆய்லர் வட்டங்களின் வகைகளைப் பற்றி நாம் பேசினால், சில கருத்துகளின் ஒருங்கிணைப்பை (உதாரணமாக, இனத்திற்கும் இனங்களுக்கும் இடையிலான உறவு) விவரிக்கும் வகையில் அவற்றைப் பிரிக்கலாம் - கட்டுரையின் தொடக்கத்தில் ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைப் பார்த்தோம்.
மேலும் சில குணாதிசயங்களின்படி தொகுப்புகளின் குறுக்குவெட்டை விவரிக்கும். ஜான் வென் தனது திட்டங்களில் இந்தக் கொள்கையால் வழிநடத்தப்பட்டார். இதுவே இணையத்தில் பல பிரபலமான மீம்களுக்கு அடிகோலுகிறது. அத்தகைய ஆய்லர் வட்டங்களின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே:
வேடிக்கையாக இருக்கிறது, இல்லையா? மற்றும் மிக முக்கியமாக, எல்லாம் உடனடியாக தெளிவாகிறது. உங்கள் பார்வையை விளக்குவதற்கு நீங்கள் நிறைய வார்த்தைகளை செலவிடலாம் அல்லது எல்லாவற்றையும் உடனடியாக அதன் இடத்தில் வைக்கும் ஒரு எளிய வரைபடத்தை வரையலாம்.
மூலம், எந்தத் தொழிலைத் தேர்வு செய்வது என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாவிட்டால், யூலர் வட்டங்களின் வடிவத்தில் ஒரு வரைபடத்தை வரைய முயற்சிக்கவும். ஒருவேளை இது போன்ற ஒரு வரைபடம் உங்கள் தேர்வு செய்ய உதவும்:
மூன்று வட்டங்களின் சந்திப்பில் இருக்கும் அந்த விருப்பங்கள் உங்களுக்கு உணவளிப்பது மட்டுமல்லாமல், உங்களை மகிழ்விக்கும் தொழிலாகும்.
ஆய்லர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்தி சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
யூலர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கக்கூடிய சில சிக்கல்களின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.
இங்கே இந்த தளத்தில் - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina சுவாரஸ்யமான மற்றும் எளிமையான சிக்கல்களை வழங்குகிறது, அதன் தீர்வுக்கு யூலர் முறை தேவைப்படும். தர்க்கம் மற்றும் கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி, அவற்றில் ஒன்றை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
பிடித்த கார்ட்டூன்கள் பற்றிய சிக்கல்
ஆறாம் வகுப்பு மாணவர்கள் தங்களுக்குப் பிடித்த கார்ட்டூன்களைப் பற்றி கேள்வித் தாளை நிரப்பினர். அவர்களில் பெரும்பாலோர் ஸ்னோ ஒயிட் மற்றும் செவன் ட்வார்ஃப்ஸ், SpongeBob SquarePants மற்றும் The Wolf and the Calf ஆகியவற்றை விரும்பினர். வகுப்பில் 38 மாணவர்கள் உள்ளனர். ஸ்னோ ஒயிட் மற்றும் செவன் ட்வார்ஃப்ஸ் போன்ற 21 மாணவர்கள். மேலும், அவர்களில் மூன்று பேர் "தி வுல்ஃப் அண்ட் தி கன்று", ஆறு பேர் "ஸ்பான்ஜ்பாப் ஸ்கொயர்பேன்ட்ஸ்" போன்றவற்றை விரும்புகிறார்கள், மேலும் ஒரு குழந்தை மூன்று கார்ட்டூன்களையும் சமமாக விரும்புகிறது. "ஓநாய் மற்றும் கன்று" 13 ரசிகர்களைக் கொண்டுள்ளது, அவர்களில் ஐந்து பேர் கேள்வித்தாளில் இரண்டு கார்ட்டூன்களை பெயரிட்டனர். SpongeBob SquarePants போன்ற ஆறாம் வகுப்பு மாணவர்கள் எத்தனை பேர் என்பதை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.
தீர்வு:
சிக்கலின் நிபந்தனைகளின்படி எங்களுக்கு மூன்று செட் வழங்கப்படுவதால், நாங்கள் மூன்று வட்டங்களை வரைகிறோம். தோழர்களின் பதில்கள் செட் ஒன்றுடன் ஒன்று வெட்டுகின்றன என்பதைக் காட்டுவதால், வரைதல் இப்படி இருக்கும்:
பணியின் விதிமுறைகளின்படி, “தி ஓநாய் மற்றும் கன்று” என்ற கார்ட்டூனின் ரசிகர்களிடையே, ஐந்து பேர் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு கார்ட்டூன்களைத் தேர்ந்தெடுத்ததை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம்:
அது மாறிவிடும் என்று:
21 - 3 - 6 - 1 = 11 - தோழர்களே "ஸ்னோ ஒயிட் மற்றும் ஏழு குள்ளர்கள்" மட்டுமே தேர்வு செய்தனர்.
13 - 3 - 1 - 2 = 7 - தோழர்கள் "ஓநாய் மற்றும் கன்று" மட்டுமே பார்க்கிறார்கள்.
மற்ற இரண்டு விருப்பங்களை விட எத்தனை ஆறாம் வகுப்பு மாணவர்கள் "SpongeBob SquarePants" என்ற கார்ட்டூனை விரும்புகிறார்கள் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது மட்டுமே உள்ளது. மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மற்ற இரண்டு கார்ட்டூன்களை விரும்பும் அல்லது பல விருப்பங்களைத் தேர்ந்தெடுத்த அனைவரையும் கழிப்போம்:
38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 - மக்கள் "SpongeBob SquarePants" மட்டுமே பார்க்கிறார்கள்.
இப்போது நாம் அனைத்து விளைந்த எண்களையும் பாதுகாப்பாகச் சேர்த்து அதைக் கண்டறியலாம்:
கார்ட்டூன் "SpongeBob SquarePants" 8 + 2 + 1 + 6 = 17 நபர்களால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. பிரச்சனையில் எழுப்பப்பட்ட கேள்விக்கான பதில் இதுதான்.
என்பதையும் பார்ப்போம் பணி, இது 2011 இல் கணினி அறிவியல் மற்றும் ஐசிடி (ஆதாரம் - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6) ஆகியவற்றில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு ஆர்ப்பாட்டம் சோதனைக்கு சமர்ப்பிக்கப்பட்டது.
பிரச்சனையின் நிலைமைகள்:
தேடுபொறி வினவல் மொழியில், தர்க்கரீதியான "OR" செயல்பாட்டைக் குறிக்க "|" குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் தர்க்கரீதியான "AND" செயல்பாட்டிற்கு "&" குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.
இணையத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதிக்கான வினவல்களையும் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையையும் அட்டவணை காட்டுகிறது.
| கோரிக்கை | பக்கங்கள் காணப்பட்டன (ஆயிரங்களில்) |
| குரூசர் | போர்க்கப்பல் | 7000 |
| குரூசர் | 4800 |
| போர்க்கப்பல் | 4500 |
வினவலுக்கு எத்தனை பக்கங்கள் (ஆயிரங்களில்) காணப்படும்? குரூசர் & போர்க்கப்பல்?
அனைத்து கேள்விகளும் கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் செயல்படுத்தப்படும் என்று கருதப்படுகிறது, இதனால் தேடப்பட்ட அனைத்து சொற்களையும் கொண்ட பக்கங்களின் தொகுப்பு வினவல்களை செயல்படுத்தும் போது மாறாது.
தீர்வு:
ஆய்லர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்தி பிரச்சனையின் நிலைமைகளை சித்தரிக்கிறோம். இந்த வழக்கில், விளைந்த பகுதிகளைக் குறிக்க 1, 2 மற்றும் 3 எண்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
சிக்கலின் நிலைமைகளின் அடிப்படையில், நாங்கள் சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம்:
- குரூசர் | போர்க்கப்பல்: 1 + 2 + 3 = 7000
- கப்பல்: 1 + 2 = 4800
- போர்க்கப்பல்: 2 + 3 = 4500
கண்டுபிடிக்க குரூசர் & போர்க்கப்பல்(வரைபடத்தில் பகுதி 2 எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது), சமன்பாட்டை (2) சமன்பாட்டில் (1) மாற்றவும் மற்றும் அதைக் கண்டறியவும்:
4800 + 3 = 7000, இதிலிருந்து நாம் 3 = 2200 பெறுகிறோம்.
இப்போது இந்த முடிவை சமன்பாடு (3) ஆக மாற்றலாம் மற்றும் அதைக் கண்டறியலாம்:
2 + 2200 = 4500, இதிலிருந்து 2 = 2300.
பதில்: 2300 - கோரிக்கை மூலம் கண்டறியப்பட்ட பக்கங்களின் எண்ணிக்கை குரூசர் & போர்க்கப்பல்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஆய்லர் வட்டங்கள் முதல் பார்வையில் மிகவும் சிக்கலான அல்லது வெறுமனே குழப்பமான பிரச்சினைகளை விரைவாகவும் எளிதாகவும் தீர்க்க உதவுகின்றன.
முடிவுரை
யூலர் வட்டங்கள் ஒரு வேடிக்கையான மற்றும் சுவாரஸ்யமான விஷயம் மட்டுமல்ல, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் பயனுள்ள முறையும் என்பதை நாங்கள் உங்களுக்குச் சொல்ல முடிந்தது என்று நினைக்கிறேன். பள்ளி பாடங்களில் சுருக்க சிக்கல்கள் மட்டுமல்ல, அன்றாட பிரச்சினைகளும் கூட. உதாரணமாக, எதிர்காலத் தொழிலைத் தேர்ந்தெடுப்பது.
நவீன பிரபலமான கலாச்சாரத்தில் யூலரின் வட்டங்கள் மீம்ஸ் வடிவத்தில் மட்டுமல்ல, பிரபலமான தொலைக்காட்சி தொடர்களிலும் பிரதிபலிக்கின்றன என்பதை அறிய நீங்கள் ஆர்வமாக இருப்பீர்கள். "The Big Bang Theory" மற்றும் "4Isla" போன்றவை.
சிக்கல்களைத் தீர்க்க இந்த பயனுள்ள மற்றும் காட்சி முறையைப் பயன்படுத்தவும். மேலும் இதைப் பற்றி உங்கள் நண்பர்கள் மற்றும் வகுப்பு தோழர்களிடம் சொல்ல மறக்காதீர்கள். கட்டுரையின் கீழ் இதற்கான சிறப்பு பொத்தான்கள் உள்ளன.
இணையதளம், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
பிரிவுகள்: கணினி அறிவியல்
1. அறிமுகம்
அடிப்படை மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளியின் தகவல் மற்றும் ICT பாடத்தில், "தர்க்கத்தின் அடிப்படைகள்" மற்றும் "இணையத்தில் தகவல்களைத் தேடுதல்" போன்ற முக்கியமான தலைப்புகள் விவாதிக்கப்படுகின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சிக்கலைத் தீர்க்கும்போது, யூலர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது (Euler-Venn diagrams).
கணித குறிப்பு. யூலர்-வென் வரைபடங்கள் முதன்மையாக செட் கோட்பாட்டில் பல தொகுப்புகளின் சாத்தியமான அனைத்து குறுக்குவெட்டுகளின் திட்டவட்டமான பிரதிநிதித்துவமாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பொதுவாக, அவை n பண்புகளின் அனைத்து 2 n சேர்க்கைகளையும் குறிக்கின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, n=3 உடன், Euler-Venn வரைபடம் பொதுவாக மூன்று வட்டங்களாக ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சியில் மையங்கள் மற்றும் அதே ஆரம், முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளத்திற்கு தோராயமாக சமமாக சித்தரிக்கப்படுகிறது.
2. தேடல் வினவல்களில் தருக்க இணைப்புகளின் பிரதிநிதித்துவம்
"இணையத்தில் தகவலைத் தேடுதல்" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் போது, ரஷ்ய மொழியின் "மற்றும்", "அல்லது" என்ற இணைப்புகளைப் போலவே தருக்க இணைப்புகளைப் பயன்படுத்தி தேடல் வினவல்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் கருதப்படுகின்றன. ஒரு வரைகலை வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றை விளக்கினால் தருக்க இணைப்புகளின் பொருள் தெளிவாகிறது - யூலர் வட்டங்கள் (Euler-Venn diagrams).
3. செட் கோட்பாட்டுடன் தருக்க செயல்பாடுகளின் இணைப்பு
Euler-Venn வரைபடங்கள் தருக்க செயல்பாடுகள் மற்றும் தொகுப்பு கோட்பாட்டிற்கு இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்சிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படலாம். ஆர்ப்பாட்டத்திற்கு, நீங்கள் ஸ்லைடுகளைப் பயன்படுத்தலாம் இணைப்பு 1.
தருக்க செயல்பாடுகள் அவற்றின் உண்மை அட்டவணைகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. IN இணைப்பு 2தருக்க செயல்பாடுகளின் கிராஃபிக் விளக்கப்படங்கள் மற்றும் அவற்றின் உண்மை அட்டவணைகள் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகின்றன. பொது வழக்கில் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவதற்கான கொள்கையை விளக்குவோம். வரைபடத்தில், A என்ற பெயருடன் வட்டத்தின் பரப்பளவு அறிக்கை A இன் உண்மையைக் காட்டுகிறது (தொகுப்புக் கோட்பாட்டில், வட்டம் A என்பது கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் பதவியாகும்). அதன்படி, வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள பகுதி தொடர்புடைய அறிக்கையின் "தவறான" மதிப்பைக் காட்டுகிறது. வரைபடத்தின் எந்தப் பகுதி தர்க்கரீதியான செயல்பாட்டைக் காண்பிக்கும் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, A மற்றும் B செட்களில் தருக்க செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் "உண்மை" க்கு சமமாக இருக்கும் பகுதிகளை மட்டுமே நீங்கள் நிழலிட வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டாக, உட்குறிப்பு மதிப்பு மூன்று நிகழ்வுகளில் (00, 01 மற்றும் 11) உண்மையாக இருக்கும். வரிசையாக நிழலிடுவோம்: 1) இரண்டு வெட்டும் வட்டங்களுக்கு வெளியே உள்ள பகுதி, இது A=0, B=0 மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது; 2) A=0, B=1 மதிப்புகளுடன் தொடர்புடைய வட்டம் B (பிறை) உடன் தொடர்புடைய பகுதி; 3) வட்டம் A மற்றும் வட்டம் B (குறுக்கு வெட்டு) ஆகிய இரண்டிற்கும் தொடர்புடைய பகுதி - A=1, B=1 மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த மூன்று பகுதிகளின் கலவையானது உட்பொருளின் தர்க்கரீதியான செயல்பாட்டின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவமாக இருக்கும்.
4. தர்க்கரீதியான சமத்துவங்களை (சட்டங்கள்) நிரூபிப்பதில் ஆய்லர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்துதல்
தருக்க சமத்துவங்களை நிரூபிக்க, நீங்கள் Euler-Venn வரைபட முறையைப் பயன்படுத்தலாம். பின்வரும் சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம் ¬(АvВ) = ¬А&¬В (டி மோர்கனின் சட்டம்).
சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்தைப் பார்வைக்குக் காட்ட, அதை வரிசையாகச் செய்வோம்: இரு வட்டங்களையும் சாம்பல் நிறத்துடன் நிழலிடுங்கள் (இடைநீக்கத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்), பின்னர் தலைகீழாகக் காட்ட, வட்டங்களுக்கு வெளியே உள்ள பகுதியை கருப்பு நிறத்துடன் நிழலிடுங்கள்:
படம்.3 
படம்.4 
சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை பார்வைக்கு பிரதிநிதித்துவப்படுத்த, அதை வரிசையாக செய்வோம்: தலைகீழ் (¬A) ஐ சாம்பல் நிறத்திலும், அதே போல், ¬B பகுதியையும் சாம்பல் நிறத்திலும் காண்பிக்கும் பகுதியை நிழலிடுங்கள்; பின்னர் இணைப்பைக் காட்ட, இந்த சாம்பல் பகுதிகளின் குறுக்குவெட்டை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும் (மேலடுப்பின் முடிவு கருப்பு நிறத்தில் குறிப்பிடப்படுகிறது):
படம்.5 
படம்.6 
படம்.7 
இடது மற்றும் வலது பாகங்களைக் காண்பிப்பதற்கான பகுதிகள் சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். கே.இ.டி.
5. தலைப்பில் மாநிலத் தேர்வு மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு வடிவத்தில் உள்ள சிக்கல்கள்: "இணையத்தில் தகவலைத் தேடுதல்"
GIA 2013 இன் டெமோ பதிப்பில் இருந்து சிக்கல் எண் 18.
தேடல் சேவையகத்திற்கான வினவல்களை அட்டவணை காட்டுகிறது. ஒவ்வொரு கோரிக்கைக்கும், அதன் குறியீடு குறிக்கப்படுகிறது - A இலிருந்து G க்கு தொடர்புடைய கடிதம். கோரிக்கை குறியீடுகளை இடமிருந்து வலமாக வரிசைப்படுத்தவும் இறங்குதல்ஒவ்வொரு கோரிக்கைக்கும் தேடுபொறி கண்டுபிடிக்கும் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை.
| குறியீடு | கோரிக்கை |
| ஏ | (Fly & Money) | சமோவர் |
| பி | ஃப்ளை & மணி & பஜார் & சமோவர் |
| IN | பறக்க | பணம் | சமோவர் |
| ஜி | பறக்க & பணம் & சமோவர் |
ஒவ்வொரு வினவலுக்கும், நாங்கள் ஒரு Euler-Venn வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:
| கோரிக்கை ஏ | கோரிக்கை பி
|
கோரிக்கை பி
|
கோரிக்கை ஜி
|
பதில்: VAGB.
ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு 2013 இன் டெமோ பதிப்பில் இருந்து சிக்கல் B12.
இணையத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதிக்கான வினவல்களையும் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையையும் அட்டவணை காட்டுகிறது.
| கோரிக்கை | பக்கங்கள் காணப்பட்டன (ஆயிரங்களில்) |
| போர்க்கப்பல் | அழிப்பவர் | 3400 |
| போர்க்கப்பல் & அழிப்பான் | 900 |
| போர்க்கப்பல் | 2100 |
வினவலுக்கு எத்தனை பக்கங்கள் (ஆயிரங்களில்) காணப்படும்? அழிப்பவர்?
அனைத்து வினவல்களும் கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் செயல்படுத்தப்பட்டதாக நம்பப்படுகிறது, இதனால் தேடப்பட்ட அனைத்து சொற்களையும் கொண்ட பக்கங்களின் தொகுப்பு வினவல்களை செயல்படுத்தும் போது மாறாது.
Ф - கோரிக்கையின் பேரில் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை (ஆயிரங்களில்). போர்க்கப்பல்;
மின் - கோரிக்கையின் பேரில் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை (ஆயிரங்களில்). அழிப்பவர்;
X – குறிப்பிடும் வினவலுக்கான பக்கங்களின் எண்ணிக்கை (ஆயிரங்களில்). போர்க்கப்பல்மற்றும் இல்லைகுறிப்பிடப்பட்டுள்ளது அழிப்பவர்;
Y - குறிப்பிடும் வினவலுக்கு (ஆயிரங்களில்) பக்கங்களின் எண்ணிக்கை அழிப்பவர்மற்றும் இல்லைகுறிப்பிடப்பட்டுள்ளது போர்க்கப்பல்.
ஒவ்வொரு வினவலுக்கும் Euler-Venn வரைபடங்களை உருவாக்குவோம்:
| கோரிக்கை | ஆய்லர்-வென் வரைபடம் | பக்கங்களின் எண்ணிக்கை |
| போர்க்கப்பல் | அழிப்பவர் | படம்.12
|
3400 |
| போர்க்கப்பல் & அழிப்பான் | படம்.13
|
900 |
| போர்க்கப்பல் | படம்.14 | 2100 |
| அழிப்பவர் | படம்.15 | ? |
வரைபடங்களின்படி எங்களிடம் உள்ளது:
- X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. இங்கிருந்து நாம் Y = 3400-2100 = 1300 ஐக் காணலாம்.
- E = 900+U = 900+1300= 2200.
பதில்: 2200.
6. Euler-Venn வரைபட முறையைப் பயன்படுத்தி தருக்க அர்த்தமுள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது
வகுப்பில் 36 பேர் உள்ளனர். இந்த வகுப்பின் மாணவர்கள் கணிதம், இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் வட்டங்களில் கலந்துகொள்கிறார்கள், 18 பேர் கணித வட்டத்தில் கலந்துகொள்கிறார்கள், 14 பேர் இயற்பியல் வட்டத்தில் கலந்துகொள்கிறார்கள், மேலும் 10 பேர் இரசாயன வட்டத்தில் கலந்துகொள்கிறார்கள், மேலும் மூன்று வட்டங்களிலும் 2 பேர் கலந்துகொள்கிறார்கள் கணிதம் மற்றும் இயற்பியல், 5 மற்றும் கணிதம் மற்றும் வேதியியல், 3 - இயற்பியல் மற்றும் வேதியியல் இரண்டிலும் கலந்து கொள்ளுங்கள்.
வகுப்பில் எத்தனை மாணவர்கள் எந்த கிளப்பிலும் கலந்து கொள்ளவில்லை?
இந்த சிக்கலை தீர்க்க, யூலர் வட்டங்களைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது மற்றும் உள்ளுணர்வு.
வகுப்பில் உள்ள அனைத்து மாணவர்களின் தொகுப்பே மிகப்பெரிய வட்டம். வட்டத்தின் உள்ளே மூன்று வெட்டும் தொகுப்புகள் உள்ளன: கணித உறுப்பினர்கள் ( எம்), உடல் ( எஃப்), இரசாயன ( எக்ஸ்) வட்டங்கள்.
விடுங்கள் MFC- நிறைய தோழர்கள், ஒவ்வொருவரும் மூன்று கிளப்புகளிலும் கலந்து கொள்கிறார்கள். MF¬X- நிறைய குழந்தைகள், அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் கணிதம் மற்றும் இயற்பியல் கிளப்புகளில் கலந்துகொள்கிறார்கள் இல்லைஇரசாயனத்தை பார்வையிடுகிறது. ¬M¬FH- நிறைய தோழர்கள், அவர்கள் ஒவ்வொருவரும் வேதியியல் கிளப்பில் கலந்துகொள்கிறார்கள் மற்றும் இயற்பியல் மற்றும் கணிதக் கழகங்களில் கலந்து கொள்ளவில்லை.
நாங்கள் இதேபோல் தொகுப்புகளை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
மூன்று வட்டங்களிலும் 2 பேர் கலந்து கொள்கிறார்கள் என்பது அறியப்படுகிறது, எனவே, பிராந்தியத்தில் MFCஎண் 2 ஐ உள்ளிடுவோம். ஏனெனில் 8 பேர் கணித மற்றும் இயற்பியல் வட்டங்களில் கலந்துகொள்கிறார்கள், அவர்களில் ஏற்கனவே 2 பேர் மூன்று வட்டங்களிலும் கலந்து கொள்கிறார்கள், பின்னர் பிராந்தியத்தில் MF¬X 6 பேரை உள்ளிடுவோம் (8-2). மீதமுள்ள தொகுப்புகளில் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கையையும் இதேபோல் நிர்ணயிப்போம்:
எல்லா பிராந்தியங்களிலும் உள்ளவர்களின் எண்ணிக்கையை சுருக்கமாகக் கூறுவோம்: 7+6+3+2+4+1+5=28. இதன் விளைவாக, வகுப்பைச் சேர்ந்த 28 பேர் கிளப்பில் கலந்து கொள்கிறார்கள்.
இதன் பொருள் 36-28 = 8 மாணவர்கள் கிளப்புகளில் கலந்துகொள்வதில்லை.
குளிர்கால விடுமுறைக்குப் பிறகு, வகுப்பு ஆசிரியர் குழந்தைகளில் யார் தியேட்டர், சினிமா அல்லது சர்க்கஸுக்குச் சென்றார்கள் என்று கேட்டார். வகுப்பில் இருந்த 36 மாணவர்களில் இருவர் சினிமாவுக்கு வந்ததில்லை என்பது தெரியவந்தது. தியேட்டரிலோ சர்க்கஸிலோ இல்லை. 25 பேர் சினிமா, 11 பேர் தியேட்டர், 17 பேர் சர்க்கஸ்; சினிமா மற்றும் நாடகம் இரண்டிலும் - 6; சினிமா மற்றும் சர்க்கஸ் இரண்டிலும் - 10; மற்றும் தியேட்டர் மற்றும் சர்க்கஸில் - 4.
சினிமா, தியேட்டர், சர்க்கஸ் என்று எத்தனை பேர் வந்திருக்கிறார்கள்?
x என்பது சினிமா, தியேட்டர் மற்றும் சர்க்கஸ் ஆகியவற்றிற்குச் சென்ற குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை.
நீங்கள் பின்வரும் வரைபடத்தை உருவாக்கலாம் மற்றும் ஒவ்வொரு பகுதியிலும் உள்ள தோழர்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணலாம்:
|
|
சினிமா மற்றும் தியேட்டருக்கு 6 பேர் பார்வையிட்டனர், அதாவது 6 பேர் மட்டுமே சினிமா மற்றும் தியேட்டருக்குச் சென்றனர். அதேபோல சினிமாவிலும் சர்க்கஸிலும் மட்டும் (10வது) பேர். தியேட்டர் மற்றும் சர்க்கஸில் மட்டுமே (4) பேர். 25 பேர் சினிமாவுக்குச் சென்றனர், அதாவது அவர்களில் 25 பேர் மட்டுமே சினிமாவுக்குச் சென்றனர் - (10's) - (6's) - x = (9+x). அதேபோல் தியேட்டரில் மட்டும் (1+x) பேர் இருந்தனர். சர்க்கஸில் (3+x) பேர் மட்டுமே இருந்தனர். தியேட்டர், சினிமா அல்லது சர்க்கஸ் - 2 பேர் சென்றதில்லை. எனவே, 36-2=34 பேர். நிகழ்வுகளில் கலந்து கொண்டனர். மறுபுறம், தியேட்டர், சினிமா மற்றும் சர்க்கஸில் இருந்தவர்களின் எண்ணிக்கையை நாம் சுருக்கமாகக் கூறலாம்: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10'கள்)+(6'கள்)+(4'கள்)+x = 34 மூன்று நிகழ்வுகளிலும் ஒருவர் மட்டுமே கலந்துகொண்டார். |
எனவே, யூலர் வட்டங்கள் (Euler-Venn diagrams) ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு மற்றும் மாநிலத் தேர்வு வடிவத்தில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதிலும் அர்த்தமுள்ள தருக்கச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதிலும் நடைமுறைப் பயன்பாட்டைக் காண்கின்றன.
இலக்கியம்
- வி.யு. லிஸ்கோவா, ஈ.ஏ. ராகிடினா. கணினி அறிவியலில் தர்க்கம். எம்.: தகவல் மற்றும் கல்வி, 2006. 155 பக்.
- எல்.எல். போசோவா. கணினிகளின் எண்கணித மற்றும் தருக்க அடிப்படைகள். எம்.: தகவல் மற்றும் கல்வி, 2000. 207 பக்.
- எல்.எல். போசோவா, ஏ.யு. போசோவா. பாடநூல். தரம் 8க்கான கணினி அறிவியல் மற்றும் ICT: BINOM. அறிவு ஆய்வகம், 2012. 220 பக்.
- எல்.எல். போசோவா, ஏ.யு. போசோவா. பாடநூல். தரம் 9 க்கான கணினி அறிவியல் மற்றும் ICT: BINOM. அறிவு ஆய்வகம், 2012. 244 பக்.
- FIPI இணையதளம்: http://www.fipi.ru/
