1 . ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் இரண்டு எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையை விட அதிகமாகும்.

2 . எதிர் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவுகள் என்றால் நாற்கர

a) சமமாக இருக்கும், பின்னர் நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும்;

b) செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருக்கும்.

3 . ட்ரேப்சாய்டின் பக்கவாட்டில் உள்ள கோணங்களின் இருமுனைகள் அதன் நடுக்கோட்டில் வெட்டுகின்றன.

4 . இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்கள் சமமானவை மற்றும் . பின்னர் இணையான வரைபடத்தின் கோணங்களின் இருபக்கங்களின் குறுக்குவெட்டுகளால் உருவாக்கப்பட்ட நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகமாகும், அதன் மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருக்கும்.

5 . ட்ரேப்சாய்டின் தளங்களில் ஒன்றில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 90° ஆக இருந்தால், ட்ரேப்சாய்டின் அடிப்பகுதிகளின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு அவற்றின் அரை-வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும்.

6 . பக்கங்களிலும் ஏபிமற்றும் கி.பிஇணைகரம் ஏ பி சி டிஎடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் எம்மற்றும் என்மிகவும் நேராக செல்விமற்றும் NCஇணையான வரைபடத்தை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கவும். கண்டுபிடி எம்.என்.என்றால் BD=d.

7 . ட்ரேப்சாய்டின் தளங்களுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோடு பிரிவு, ட்ரேப்சாய்டின் உள்ளே மூடப்பட்டிருக்கும், அதன் மூலைவிட்டங்களால் மூன்று பகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. பின்னர் பக்கங்களுக்கு அருகில் உள்ள பகுதிகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.

8 . தளங்களுடன் ட்ரேப்சாய்டின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் மூலம், தளங்களுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோடு வரையப்படுகிறது. ட்ரேப்சாய்டின் பக்கவாட்டு பக்கங்களுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்ட இந்த கோட்டின் பகுதி சமமாக உள்ளது.

9 . ஒரு ட்ரேப்சாய்டு அதன் தளங்களுக்கு இணையான ஒரு நேர் கோட்டால் வகுக்கப்படுகிறது , இரண்டு சமமான ட்ரேப்சாய்டுகளாக. பின்னர் பக்கங்களுக்கு இடையில் இணைக்கப்பட்ட இந்த கோட்டின் பகுதி சமமாக இருக்கும்.

10 . பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், நான்கு புள்ளிகள் ஏ, பி, சிமற்றும் டிஒரே வட்டத்தில் படுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

A) CAD=CBD= 90°.

b) புள்ளிகள் ஏமற்றும் INஒரு நேர் கோட்டின் ஒரு பக்கத்தில் படுத்துக் கொள்ளுங்கள் குறுவட்டுமற்றும் கோணம் CADகோணத்திற்கு சமம் CBD.

c) நேராக ஏசிமற்றும் BDஒரு புள்ளியில் வெட்டும் பற்றிமற்றும் O A OS=OV OD.

11 . ஒரு புள்ளியை இணைக்கும் நேர்கோடு ஆர்ஒரு நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு உடன் ஏபிசிடிபுள்ளி கேவரி குறுக்குவெட்டுகள் ஏபிமற்றும் குறுவட்டு,பக்கத்தை பிரிக்கிறது கி.பிபாதியில். பின்னர் அவள் பாதி மற்றும் பக்கமாக பிரிக்கிறாள் சூரியன்.

12 . ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. எதிர் பக்கங்களில் தொடர்புடைய பிரிவு புள்ளிகள் பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பின்னர் இந்த பகுதிகள் ஒருவருக்கொருவர் மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

13 . இரண்டு நேர்கோடுகள் குவிந்த நாற்கரத்தின் இரண்டு எதிர் பக்கங்களையும் மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்கின்றன. இந்த கோடுகளுக்கு இடையில் நாற்கரத்தின் பரப்பளவில் மூன்றில் ஒரு பங்கு உள்ளது.

14 . ஒரு வட்டத்தை ஒரு நாற்கரத்தில் பொறிக்க முடியுமானால், பொறிக்கப்பட்ட வட்டம் நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கங்களைத் தொடும் புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டுப் புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

15 . ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருந்தால், அத்தகைய நாற்கரத்தில் ஒரு வட்டத்தை பொறிக்க முடியும்.

16. பரஸ்பர செங்குத்து மூலைவிட்டங்களுடன் பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் பண்புகள்.நாற்கோணம் ஏ பி சி டிஆரம் வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது ஆர்.அதன் மூலைவிட்டங்கள் ஏசிமற்றும் BDபரஸ்பர செங்குத்தாக மற்றும் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் ஆர்.பிறகு

a) ஒரு முக்கோணத்தின் இடைநிலை ARVபக்கத்திற்கு செங்குத்தாக குறுவட்டு;

b) உடைந்த கோடு ஏஓசிஒரு நாற்கரத்தை பிரிக்கிறது ஏ பி சி டிஇரண்டு சம அளவிலான உருவங்களாக;

V) ஏபி 2 + சிடி 2=4ஆர் 2 ;

ஜி) AR 2 +BP 2 +CP 2 +DP 2 = 4ஆர் 2 மற்றும் AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2;

e) வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து நாற்கரத்தின் பக்கத்திற்கான தூரம் பாதி எதிர் பக்கமாகும்.

f) செங்குத்தாக பக்கவாட்டில் விழுந்தால் கி.பிஉச்சியில் இருந்து INமற்றும் உடன்,மூலைவிட்டங்களைக் கடக்கவும் ஏசிமற்றும் BDபுள்ளிகளில் ஈமற்றும் F,அந்த BCFE- ரோம்பஸ்;

g) ஒரு நாற்கரத்தின் முனைகள் ஒரு புள்ளியின் கணிப்புகளாகும் ஆர்நாற்கரத்தின் பக்கங்களிலும் ஏ பி சி டி,- பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் விவரிக்கப்பட்ட இரண்டும்;

h) நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்டத்திற்கு தொடுகோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு நாற்கரம் ஏ பி சி டி,அதன் முனைகளில் வரையப்பட்ட, ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியும்.

17 . என்றால் ஒரு, b, c, d- ஒரு நாற்கரத்தின் அடுத்தடுத்த பக்கங்கள், எஸ்அதன் பரப்பளவு, பின்னர் , மற்றும் சமத்துவம் என்பது ஒரு பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்திற்கு மட்டுமே உள்ளது, அதன் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்கும்.

18 . பிரம்மகுப்தாவின் சூத்திரம்.ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் சமமாக இருந்தால் a, b, cமற்றும் d,பின்னர் அதன் பகுதி எஸ்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும்,

எங்கே - ஒரு நாற்கரத்தின் அரை சுற்றளவு.

19 . பக்கங்களுடன் ஒரு நாற்கரமாக இருந்தால் ஏ, b, c, dபொறிக்கப்படலாம் மற்றும் அதைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கலாம், அதன் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும் .

20 . புள்ளி பி சதுரத்தின் உள்ளே அமைந்துள்ளது ஏ பி சி டி,மற்றும் கோணம் PABகோணத்திற்கு சமம் RVAமற்றும் சமமானது 15°. பின்னர் முக்கோணம் DPC- சமபக்க.

21 . ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்திற்கு என்றால் ஏ பி சி டிசமத்துவம் திருப்தி அடைகிறது CD=AD+BC,பின்னர் அதன் கோணங்களின் இருபக்கங்கள் ஏமற்றும் INபக்கத்தில் வெட்டுகின்றன குறுவட்டு.

22 . எதிர் பக்கங்களின் தொடர்ச்சி ஏபிமற்றும் குறுவட்டுசுழற்சி நாற்கர ஏ பி சி டிஒரு புள்ளியில் வெட்டும் எம்,மற்றும் கட்சிகள் கி.பிமற்றும் சூரியன்- புள்ளியில் என்.பிறகு

a) கோண இருபக்கங்கள் ஏஎம்டிமற்றும் டி.என்.சி.பரஸ்பர செங்குத்தாக;

b) நேராக MQமற்றும் NQநாற்கரத்தின் பக்கங்களை ரோம்பஸின் முனைகளில் வெட்டுங்கள்;

c) வெட்டும் புள்ளி கேஇந்த இருபிரிவுகளில் நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவில் உள்ளது. ஏ பி சி டி.

23 . டோலமியின் தேற்றம்.ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் இரண்டு ஜோடி எதிர் பக்கங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அதன் மூலைவிட்டங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

24 . நியூட்டனின் தேற்றம்.எந்த ஒரு நாற்கரத்திலும், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளும், பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.

25 . மோங்கேயின் தேற்றம்.எதிர் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக வரையப்பட்ட கோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன.

27 . நான்கு வட்டங்கள், ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் பக்கங்களில் விட்டம் போல் கட்டப்பட்டு, முழு நாற்கரத்தையும் உள்ளடக்கியது.

29 . ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் இரண்டு எதிர் கோணங்கள் மழுங்கியவை. இந்த கோணங்களின் முனைகளை இணைக்கும் மூலைவிட்டமானது மற்ற மூலைவிட்டத்தை விட குறைவாக உள்ளது.

30. அதற்கு வெளியே ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பக்கங்களில் கட்டப்பட்ட சதுரங்களின் மையங்கள் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகின்றன.

ஒரு நாற்கரமானது அதன் அனைத்து முனைகளும் வட்டத்தின் மீது அமைந்திருந்தால் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.அத்தகைய வட்டம் ஒரு நாற்கரத்தைப் பற்றி சுற்றப்பட்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு நாற்கரத்தையும் ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றி விவரிக்க முடியாதது போல, ஒவ்வொரு நாற்கரத்தையும் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியாது.

ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது அதன் எதிர் கோணங்கள் 180° வரை சேர்க்கும் பண்பு கொண்டது. எனவே, ஒரு நாற்கர ABCD கொடுக்கப்பட்டால், இதில் A கோணம் C க்கு எதிரே இருக்கும், மற்றும் கோணம் D க்கு எதிர் கோணம், பின்னர் ∠A + ∠C = 180° மற்றும் ∠B + ∠D = 180°.

பொதுவாக, ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர் கோணங்களில் ஒரு ஜோடி 180° வரை சேர்ந்தால், மற்ற ஜோடி அதே அளவு வரை சேர்க்கும். ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 360°க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதிலிருந்து இது பின்பற்றப்படுகிறது. இதையொட்டி, குவிந்த பலகோணங்களுக்கான கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° * (n - 2) சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதிலிருந்து இந்த உண்மை பின்பற்றப்படுகிறது, இங்கு n என்பது கோணங்களின் எண்ணிக்கை (அல்லது பக்கங்கள்).

சுழற்சி நாற்கர சொத்தை நீங்கள் பின்வருமாறு நிரூபிக்கலாம். O வட்டத்தில் ஒரு நாற்கர ABCD பொறிக்கப்பட வேண்டும். ∠B + ∠D = 180° என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும்.

கோணம் B ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது. உங்களுக்குத் தெரியும், அத்தகைய கோணம் அது தங்கியிருக்கும் அரை வளைவுக்கு சமம். இந்த வழக்கில், கோணம் B ஆர்க் ADC ஆல் ஆதரிக்கப்படுகிறது, அதாவது ∠B = ½◡ADC. (வளைவு அதை உருவாக்கும் ஆரங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், ∠B = ½∠AOC என்று எழுதலாம், இதன் உள் பகுதியில் புள்ளி D உள்ளது.)

மறுபுறம், நாற்கரத்தின் கோணம் D வில் ABC இல் உள்ளது, அதாவது ∠D = ½◡ABC.

B மற்றும் D கோணங்களின் பக்கங்கள் ஒரே புள்ளிகளில் (A மற்றும் C) வட்டத்தை வெட்டுவதால், அவை வட்டத்தை இரண்டு வளைவுகளாக மட்டுமே பிரிக்கின்றன - ◡ADC மற்றும் ◡ABC. ஒரு முழு வட்டம் 360° வரை கூட்டுவதால், ◡ADC + ◡ABC = 360°.

இவ்வாறு, பின்வரும் சமத்துவங்கள் பெறப்பட்டன:

∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°

கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையை வெளிப்படுத்துவோம்:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

அடைப்புக்குறிக்குள் ½ ஐ வைப்போம்:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

வளைவுகளின் கூட்டுத்தொகையை அவற்றின் எண் மதிப்புடன் மாற்றுவோம்:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° என்று கண்டறிந்தோம். இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதாக இருந்தது.

ஒரு பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தில் இந்தப் பண்பு உள்ளது (எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°) என்பது எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருக்கும் எந்த நாற்கரமும் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்படலாம் என்று அர்த்தமல்ல. உண்மையில் இது உண்மைதான் என்றாலும். இந்த உண்மை அழைக்கப்படுகிறது பொறிக்கப்பட்ட நாற்கர சோதனைமற்றும் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருந்தால், அதைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கலாம் (அல்லது வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது).

பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்திற்கான சோதனையை முரண்பாட்டின் மூலம் நீங்கள் நிரூபிக்கலாம். ஒரு நாற்கர ABCD கொடுக்கப்பட வேண்டும், அதன் எதிர் கோணங்கள் B மற்றும் D 180° வரை சேர்க்கப்படும். இந்த வழக்கில், கோணம் D வட்டத்தில் இல்லை. பின்னர் வட்டத்தில் இருக்கும் வகையில் குறுவட்டு பிரிவு உள்ள வரியில் E புள்ளியை எடுக்கவும். இதன் விளைவாக ஒரு சுழற்சி நாற்கர ABCE ஆகும். இந்த நாற்கரத்தில் எதிர் கோணங்கள் B மற்றும் E உள்ளன, அதாவது அவை 180° வரை சேர்க்கின்றன. இது ஒரு பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் சொத்திலிருந்து பின்வருமாறு.

இது ∠B + ∠D = 180° மற்றும் ∠B + ∠E = 180° என்று மாறிவிடும். எவ்வாறாயினும், AED முக்கோணத்தைப் பொறுத்தமட்டில் நாற்கர ABCDயின் D கோணம் வெளிப்புறமானது, எனவே இந்த முக்கோணத்தின் E கோணத்தை விட பெரியது. இதனால், நாங்கள் ஒரு முரண்பாட்டிற்கு வந்துள்ளோம். அதாவது ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° வரை சேர்ந்தால், அதை எப்போதும் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க முடியும்.

இந்த கட்டுரையில் கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற தேவையான வட்டம் பற்றிய குறைந்தபட்ச தகவல் உள்ளது.

சுற்றளவு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து அதே தூரத்தில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இது வட்டத்தின் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வட்டத்தில் இருக்கும் எந்தப் புள்ளிக்கும், சமத்துவம் திருப்தி அடையும் (பிரிவின் நீளம் வட்டத்தின் ஆரத்திற்குச் சமம்.

ஒரு வட்டத்தில் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது நாண்.

ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் நாண் அழைக்கப்படுகிறது விட்டம் வட்டம்() .

சுற்றளவு:

ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு:

ஒரு வட்டத்தின் வளைவு:

இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் ஒரு வட்டத்தின் பகுதி அழைக்கப்படுகிறது பரிதி வட்டங்கள். ஒரு வட்டத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் இரண்டு வளைவுகளை வரையறுக்கின்றன. நாண் இரண்டு வளைவுகளைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும் . சம நாண்கள் சம வளைவுகளைக் குறைக்கின்றன.

இரண்டு ஆரங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது மைய கோணம் :

வில் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் ஒரு விகிதத்தை உருவாக்குகிறோம்:

a) கோணம் டிகிரிகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

b) கோணம் ரேடியன்களில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

நாண்க்கு செங்குத்தாக விட்டம் , இந்த நாண் மற்றும் வளைவுகளை பாதியாகப் பிரிக்கிறது:

என்றால் நாண்கள் மற்றும் வட்டங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன , பின்னர் அவை ஒரு புள்ளியால் வகுக்கப்படும் நாண் பிரிவுகளின் தயாரிப்புகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்:

ஒரு வட்டத்திற்கு தொடுகோடு.

ஒரு வட்டத்துடன் ஒரு பொதுவான புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு அழைக்கப்படுகிறது தொடுகோடுவட்டத்திற்கு. ஒரு வட்டத்துடன் பொதுவான இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு அழைக்கப்படுகிறது செகண்ட்

ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு தொடு புள்ளி வரையப்பட்ட ஆரம் செங்குத்தாக உள்ளது.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் வரையப்பட்டால் தொடுகோடு பகுதிகள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும்மற்றும் வட்டத்தின் மையம் இந்த புள்ளியில் உச்சியுடன் கோணத்தின் இருசமயத்தில் உள்ளது:

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து ஒரு வட்டத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு மற்றும் ஒரு செக்கன்ட் வரையப்பட்டால் ஒரு தொடுகோடு பிரிவின் நீளத்தின் சதுரம் முழு செகண்ட் பிரிவு மற்றும் அதன் வெளிப்புற பகுதியின் பெருக்கத்திற்கு சமம் :

விளைவு: ஒரு செக்கன்ட்டின் முழுப் பிரிவின் பலன் மற்றும் அதன் வெளிப்புறப் பகுதி மற்றொரு செக்கன்ட்டின் முழுப் பிரிவின் பெருக்கத்திற்கும் அதன் வெளிப்புறப் பகுதிக்கும் சமம்:

ஒரு வட்டத்தில் கோணங்கள்.

மையக் கோணத்தின் டிகிரி அளவானது அது தங்கியிருக்கும் வளைவின் டிகிரி அளவிற்கு சமம்:

ஒரு வட்டத்தின் உச்சியில் இருக்கும் கோணம் மற்றும் அதன் பக்கங்களில் நாண்கள் உள்ளன பொறிக்கப்பட்ட கோணம் . ஒரு பொறிக்கப்பட்ட கோணம் அது தங்கியிருக்கும் வளைவின் பாதியால் அளவிடப்படுகிறது:

∠∠

விட்டம் மூலம் எழுதப்பட்ட கோணம் சரியானது:

∠∠∠

ஒரு வளைவால் இணைக்கப்பட்ட பொறிக்கப்பட்ட கோணங்கள் சமம் :

ஒரு நாண் கொண்ட பொறிக்கப்பட்ட கோணங்கள் சமம் அல்லது அவற்றின் கூட்டுத்தொகை சமம்

∠∠

கொடுக்கப்பட்ட அடித்தளம் மற்றும் சம முனை கோணங்களைக் கொண்ட முக்கோணங்களின் செங்குத்துகள் ஒரே வட்டத்தில் உள்ளன:

இரண்டு நாண்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் (வட்டத்தின் உள்ளே உச்சியுடன் கூடிய கோணம்) கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திலும் செங்குத்து கோணத்திலும் உள்ள வட்டத்தின் வளைவுகளின் கோண மதிப்புகளின் பாதி தொகைக்கு சமம்.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

இரண்டு விநாடிகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் (வட்டத்திற்கு வெளியே ஒரு உச்சியுடன் கூடிய கோணம்) கோணத்தின் உள்ளே உள்ள வட்டத்தின் வளைவுகளின் கோண மதிப்புகளின் அரை-வேறுபாட்டிற்கு சமம்.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

பொறிக்கப்பட்ட வட்டம்.

வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது பலகோணத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது , அதன் பக்கங்களைத் தொட்டால். பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையம் பலகோணத்தின் கோணங்களின் இருபிரிவுகளின் வெட்டுப்புள்ளியில் உள்ளது.

ஒவ்வொரு பலகோணமும் ஒரு வட்டத்திற்கு பொருந்தாது.

ஒரு வட்டம் பொறிக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் பகுதி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கலாம்

இங்கே பலகோணத்தின் அரை சுற்றளவு உள்ளது, மேலும் இது பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

இங்கிருந்து பொறிக்கப்பட்ட வட்டம் ஆரம் சமம்

ஒரு வட்டம் ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில் பொறிக்கப்பட்டிருந்தால், எதிர் பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும் . மாறாக: ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தில் எதிர் பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருந்தால், ஒரு வட்டத்தை நாற்கரத்தில் பொறிக்க முடியும்:

நீங்கள் எந்த முக்கோணத்திலும் ஒரு வட்டத்தை பொறிக்க முடியும், ஒரே ஒரு முக்கோணத்தில். முக்கோணத்தின் உள் கோணங்களின் இருபக்கங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் வட்டத்தின் மையம் அமைந்துள்ளது.

பொறிக்கப்பட்ட வட்ட ஆரம் சமமாக . இங்கே

சுற்றப்பட்ட வட்டம்.

வட்டம் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு பலகோணம் பற்றி விவரிக்கப்பட்டது , அது பலகோணத்தின் அனைத்து முனைகளிலும் சென்றால். பலகோணத்தின் பக்கங்களின் செங்குத்தாக இருபிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் வட்ட வட்டத்தின் மையம் அமைந்துள்ளது. கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் ஏதேனும் மூன்று செங்குத்துகளால் வரையறுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தால் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் என ஆரம் கணக்கிடப்படுகிறது:

ஒரு வட்டத்தை அதன் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருந்தால் மட்டுமே நாற்கரத்தைச் சுற்றி விவரிக்க முடியும் .

எந்த முக்கோணத்தையும் சுற்றி நீங்கள் ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும், மேலும் ஒன்றை மட்டுமே. அதன் மையம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் செங்குத்து இருபக்கங்களின் வெட்டும் இடத்தில் உள்ளது:

சுற்றளவுசூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது:

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் அதன் பரப்பளவு எங்கே.

டோலமியின் தேற்றம்

ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தில், மூலைவிட்டங்களின் தயாரிப்பு அதன் எதிர் பக்கங்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

விக்கிபீடியாவில் இருந்து பொருள் - இலவச கலைக்களஞ்சியம்

• யூக்ளிடியன் வடிவவியலில், பொறிக்கப்பட்ட நாற்புறம்ஒரு நாற்கரமாகும், அதன் செங்குத்துகள் அனைத்தும் ஒரே வட்டத்தில் உள்ளன. இந்த வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது சுற்றப்பட்ட வட்டம்நாற்கரமும், செங்குத்துகளும் ஒரே வட்டத்தில் இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது. இந்த வட்டத்தின் மையம் மற்றும் அதன் ஆரம் முறையே அழைக்கப்படுகின்றன மையம்மற்றும் ஆரம்சுற்றப்பட்ட வட்டம். இந்த நாற்கரத்திற்கான பிற விதிமுறைகள்: ஒரு நாற்புறம் ஒரு வட்டத்தில் உள்ளது, கடைசி நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் வட்டத்தின் வளையங்களாகும். ஒரு குவிந்த நாற்கரமானது பொதுவாக ஒரு குவிந்த நாற்கரமாக கருதப்படுகிறது. கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரங்கள் மற்றும் பண்புகள் குவிந்த வழக்கில் செல்லுபடியாகும்.
• என்றால் என்று சொல்கிறார்கள் ஒரு நாற்கரத்தை சுற்றி ஒரு வட்டம் வரையலாம், அந்த இந்த வட்டத்தில் நாற்கரம் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும் நேர்மாறாகவும்.

நாற்கரத்தின் கல்வெட்டுக்கான பொதுவான அளவுகோல்கள்

• ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தைச் சுற்றி $\backslash pi$ரேடியன்கள்), அதாவது:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

அல்லது உருவக் குறிப்பில்:

$\backslash alpha\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• எந்தவொரு நாற்கரத்தையும் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும், அதில் அதன் பக்கங்களின் நான்கு செங்குத்தாக இருபக்கங்கள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன (அல்லது அதன் பக்கங்களின் நடுநிலைகள், அதாவது, அவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக).
• ஒரு வெளிப்புறக் கோணத்தை ஒட்டியிருக்கும் எந்த நாற்கரத்தையும் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை நீங்கள் விவரிக்கலாம் கொடுக்கப்பட்ட உள் கோணம், எதிரே உள்ள மற்ற உள் கோணத்திற்கு சரியாக சமமாக உள்ளது கொடுக்கப்பட்ட உள் மூலையில். சாராம்சத்தில், இந்த நிலை நாற்கரத்தின் இரண்டு எதிர் பக்கங்களின் எதிர்பொருத்தத்தின் நிலை. படத்தில். பச்சை பென்டகனின் வெளிப்புற மற்றும் அருகிலுள்ள உள் மூலைகள் கீழே உள்ளன.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• குறுக்குவெட்டு எக்ஸ்வட்டத்தின் உள் அல்லது வெளிப்புறமாக இருக்கலாம். முதல் வழக்கில், நாம் சுழற்சி நாற்கரத்தைப் பெறுகிறோம் ஏ பி சி டி, மற்றும் பிந்தைய வழக்கில் நாம் ஒரு பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தைப் பெறுகிறோம் ABDC. ஒரு வட்டத்தின் உள்ளே வெட்டும் போது, ​​புள்ளி இருக்கும் பகுதிகளின் நீளங்களின் பெருக்கல் என்று சமத்துவம் கூறுகிறது. எக்ஸ்ஒரு மூலைவிட்டத்தை பிரிக்கிறது, இது புள்ளியில் உள்ள பிரிவுகளின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம் எக்ஸ்மற்றொரு மூலைவிட்டத்தை பிரிக்கிறது. இந்த நிலை "இடையிடும் நாண் தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. எங்கள் விஷயத்தில், பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வட்டத்தின் வளையங்களாகும்.
• சேர்ப்பதற்கான மற்றொரு அளவுகோல். குவிந்த நாற்புறம் ஏ பி சி டிஒரு வட்டம் என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே பொறிக்கப்பட்டுள்ளது

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

ஒரு நாற்கரத்தின் கல்வெட்டுக்கான குறிப்பிட்ட அளவுகோல்கள்

ஒரு எளிய பொறிக்கப்பட்ட (சுய-குறுக்கீடு இல்லாமல்) நாற்கரமானது குவிந்துள்ளது. அதன் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°க்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே குவிந்த நாற்கரத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும் ( $\backslash pi$ரேடியன்). நீங்கள் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கலாம்:

• எந்த எதிர் இணை வரைபடம்
• எந்த செவ்வகமும் (ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஒரு சதுரம்)
• ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டு
• இரண்டு எதிர் செங்கோணங்களைக் கொண்ட எந்த நாற்கரமும்.

பண்புகள்

மூலைவிட்டங்களுடன் கூடிய சூத்திரங்கள்

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

எண்ணின் அடுத்த பக்கங்களின் ஜோடியின் கடைசி சூத்திரத்தில் அமற்றும் ஈ, பிமற்றும் cஅவற்றின் முனைகளை ஒரு மூலைவிட்ட நீளத்தில் வைக்கவும் இ. வகுக்கும் இதே போன்ற அறிக்கை உள்ளது.

• மூலைவிட்ட நீளங்களுக்கான சூத்திரங்கள்(விளைவுகள் ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$மற்றும் $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

கோணங்களைக் கொண்ட சூத்திரங்கள்

பக்கங்களின் வரிசையைக் கொண்ட ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்திற்கு அ , பி , c , ஈ, அரை சுற்றளவு கொண்டது பமற்றும் கோணம் ஏகட்சிகளுக்கு இடையே அமற்றும் ஈ, முக்கோணவியல் கோண செயல்பாடுகள் ஏசூத்திரங்கள் மூலம் வழங்கப்படுகின்றன

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

மூலை θ மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையில் உள்ளது:p.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• எதிர் பக்கமாக இருந்தால் அமற்றும் cஒரு கோணத்தில் வெட்டுகின்றன φ , பின்னர் அது சமம்

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

எங்கே பஒரு அரை சுற்றளவு உள்ளது. :ப.31

ஒரு நாற்கரத்தை சுற்றிய வட்டத்தின் ஆரம்

பரமேசுவர சூத்திரம்

தொடர்ச்சியான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு நாற்கரமாக இருந்தால் அ , பி , c , ஈமற்றும் அரை சுற்றளவு பஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் ஆரம் சமமாக இருக்கும் பரமேஷ்வர் சூத்திரம்:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

இது 15 ஆம் நூற்றாண்டில் (c. 1380-1460) இந்திய கணிதவியலாளர் பரமேஷ்வரால் பெறப்பட்டது.

• குவிந்த நாற்கரம் (வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்) நான்கு தரவுகளால் உருவாக்கப்பட்டது மைக்கேலின் நேர் கோடுகள், மைக்கேல் புள்ளி இருந்தால் மட்டுமே வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது எம்ஒரு நாற்கரமானது கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு ஆறு புள்ளிகளில் இரண்டை இணைக்கும் ஒரு கோட்டில் உள்ளது (நாற்கரத்தின் செங்குத்துகள் அல்லாதவை). அதாவது, எப்போது எம்அமைந்துள்ளது இ.எஃப்..

இரண்டு முக்கோணங்களால் ஆன ஒரு நாற்கரமானது ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதற்கான அளவுகோல்

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• கடைசி நிபந்தனை மூலைவிட்டத்திற்கான வெளிப்பாட்டைக் கொடுக்கிறது fஒரு நாற்கரம் அதன் நான்கு பக்கங்களின் நீளம் வழியாக ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது ( அ, பி, c, ஈ) சாரத்தை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளை பெருக்கும்போதும் சமன்படுத்தும்போதும் இந்த சூத்திரம் உடனடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது. டோலமியின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது கோட்பாடுகள்(மேலே பார்க்க).

ஒரு முக்கோணத்திலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டால் வெட்டப்பட்ட நாற்கரமானது ஒரு குறிப்பிட்ட வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

• ஒரு நேர் கோடு, முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கு இணையாக மற்றும் அதை வெட்டுகிறது, அதிலிருந்து ஒரு நாற்கரத்தை துண்டிக்கிறது, அதைச் சுற்றி எப்போதும் ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும்.
• விளைவு. எதிரெதிர்ப் பக்கங்களைச் சுற்றிலும், இரண்டு எதிர் பக்கங்களும் எதிரெதிர்ப் பக்கமாக இருக்கும், ஒரு வட்டத்தை விவரிப்பது எப்போதும் சாத்தியமாகும்.

ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு நாற்கரத்தின் பகுதி

பிரம்மகுப்தாவின் சூத்திரத்தின் மாறுபாடுகள்

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$இங்கு p என்பது நாற்கரத்தின் அரை சுற்றளவு. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

மற்ற பகுதி சூத்திரங்கள்

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

எங்கே θ மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களில் ஏதேனும். கோணம் என்று வழங்கப்படுகிறது ஏஒரு நேர்கோடு அல்ல, பரப்பளவை :p.26 எனவும் வெளிப்படுத்தலாம்

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

எங்கே ஆர்சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம் ஆகும். இதன் நேரடி விளைவாக நமக்கு சமத்துவமின்மை உள்ளது

$S\backslash le\; 2R^2,$

இந்த நாற்கர சதுரமாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம் சாத்தியமாகும்.

பிரம்மகுப்தா நாற்கரங்கள்

பிரம்மகுப்தா நாற்கோணம்முழு எண் பக்க நீளம், முழு எண் மூலைவிட்டங்கள் மற்றும் முழு எண் பகுதியுடன் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு நாற்கரமாகும். சாத்தியமான அனைத்து பிரம்மகுப்தா நாற்கரங்களும் பக்கங்களிலும் அ , பி , c , ஈ, மூலைவிட்டங்களுடன் இ , f, பரப்பளவுடன் எஸ், மற்றும் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆர்பகுத்தறிவு அளவுருக்களை உள்ளடக்கிய பின்வரும் வெளிப்பாடுகளின் பிரிவை அகற்றுவதன் மூலம் பெறலாம் டி , u, மற்றும் v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ள குறிப்பிட்ட நாற்கரங்கள்: செவ்வகம், சதுரம், ஐசோசெல்ஸ் அல்லது ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டு, எதிர்பரல்லோகிராம்.

செங்குத்து மூலைவிட்டங்களுடன் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரங்கள் (பொறிக்கப்பட்ட ஆர்த்தோடைகோனல் நாற்கரங்கள்)

செங்குத்து மூலைவிட்டங்களுடன் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரங்களின் பண்புகள்

சுற்றளவு மற்றும் பகுதி

செங்குத்து மூலைவிட்டங்களுடன் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு நாற்கரத்திற்கு, மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு ஒரு மூலைவிட்டத்தை நீளத்தின் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். ப 1 மற்றும் ப 2, மற்றும் மற்ற மூலைவிட்டத்தை நீளப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறது கே 1 மற்றும் கே 2. பின்னர் (முதல் சமத்துவம் ஆர்க்கிமிடீஸின் முன்மொழிவு 11 ஆகும்" லெம்மாஸ் புத்தகம்)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

எங்கே டி- வட்டத்தின் விட்டம். மூலைவிட்டங்கள் வட்டத்தின் நாண்க்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் இது உண்மை. இந்தச் சமன்பாடுகளில் இருந்து சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆர்என எழுதலாம்

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

அல்லது வடிவத்தில் ஒரு நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் அடிப்படையில்

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

அதையும் பின்பற்றுகிறது

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• பொறிக்கப்பட்ட மூலைகோண நாற்கரங்களுக்கு, பிரம்மகுப்தாவின் தேற்றம் உள்ளது:

ஒரு சுழற்சி நாற்கரமானது ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் செங்குத்து மூலைவிட்டங்களைக் கொண்டிருந்தால் $எம்$, பின்னர் அதில் இரண்டு ஜோடிகள்ஆன்டிமெடியாட்ரிஸ் ஒரு புள்ளியை கடந்து செல்லுங்கள் $எம்$.

கருத்து. கீழ் இந்த தேற்றத்தில் எதிர்ப்பு மீடியாட்ரிக்ஸ்பகுதியை புரிந்து கொள்ளுங்கள் $எஃப்.இ.$வலதுபுறத்தில் உள்ள படத்தில் நாற்புறம் (முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக இருசமயத்துடன் (மத்தியவியல்) ஒப்புமை மூலம்). இது ஒரு பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது மற்றும் அதே நேரத்தில் நாற்கரத்தின் எதிர் பக்கத்தின் நடுப்பகுதி வழியாக செல்கிறது.

"ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரங்கள்" என்ற கட்டுரையைப் பற்றி ஒரு மதிப்பாய்வை எழுதுங்கள்.

குறிப்புகள்

1. பிராட்லி, கிறிஸ்டோபர் ஜே. (2007), வடிவவியலின் இயற்கணிதம்: கார்ட்டீசியன், ஏரியல் மற்றும் ப்ராஜெக்டிவ் கோ-ஆர்டினேட்ஸ்,உயர்ந்த கருத்து, ப. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . பொறிக்கப்பட்ட நாற்கரங்கள்.
3. சிடன்ஸ், ஏ. டபிள்யூ. & ஹியூஸ், ஆர்.டி. (1929) முக்கோணவியல், கேம்பிரிட்ஜ் யுனிவர்சிட்டி பிரஸ், ப. 202, ஓ.சி.எல்.சி.
4. டியூரல், சி.வி. & ராப்சன், ஏ. (2003), , கூரியர் டோவர், ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. அல்சினா, கிளாடி & நெல்சன், ரோஜர் பி. (2007), "", மன்றம் ஜியோமெட்ரிகோரம் T. 7: 147-9 ,
6. ஜான்சன், ரோஜர் ஏ., மேம்பட்ட யூக்ளிடியன் வடிவியல், டோவர் பப்ளி., 2007 (orig. 1929).
7. ஹோஹன், லாரி (மார்ச் 2000), "ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் சுற்றளவு", கணித வர்த்தமானிடி. 84 (499): 69–70
8. .
9. ஆல்ட்ஷில்லர்-கோர்ட், நாதன் (2007), கல்லூரி வடிவியல்: முக்கோணம் மற்றும் வட்டத்தின் நவீன வடிவவியலுக்கு ஒரு அறிமுகம்(2வது பதிப்பு.), கூரியர் டோவர், பக். 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), , பத்தொன்பதாம் மற்றும் இருபதாம் நூற்றாண்டு யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் அத்தியாயங்கள், தொகுதி. 37, புதிய கணித நூலகம், கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம், பக். 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. வெய்ஸ்டீன், எரிக் டபிள்யூ.(ஆங்கிலம்) Wolfram MathWorld இணையதளத்தில்.
12. பிராட்லி, கிறிஸ்டோபர் (2011), ,
13. .
14. காக்ஸெட்டர், ஹரோல்ட் ஸ்காட் மெக்டொனால்ட் & கிரீட்சர், சாமுவேல் எல். (1967), வடிவியல் மறுபரிசீலனை செய்யப்பட்டது, அமெரிக்காவின் கணித சங்கம், பக். 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), கணித ஒலிம்பியாட் பொக்கிஷங்கள், ஸ்பிரிங்கர், பக். 44-46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougal, J. A. (1999), "", ஆஸ்திரேலிய கணித சங்கத்தின் புல்லட்டின்டி. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. ஜான்சன், ரோஜர் ஏ., மேம்பட்ட யூக்ளிடியன் வடிவியல், டோவர் பப்ளிக். கோ., 2007
21. , உடன். 74.
22. .
23. .
24. .
25. பீட்டர், தாமஸ் (செப்டம்பர் 2003), "ஒரு நாற்கரத்தின் பரப்பளவை அதிகப்படுத்துதல்", கல்லூரி கணித இதழ்டி. 34 (4): 315–6
26. பிரசோலோவ், விக்டர், ,
27. அல்சினா, கிளாடி & நெல்சன், ரோஜர் (2009), , அமெரிக்காவின் கணித சங்கம், ப. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. சாஸ்திரி, கே.ஆர்.எஸ். (2002). "" (PDF). மன்றம் ஜியோமெட்ரிகோரம் 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), , வடிவவியலில் சவாலான சிக்கல்கள்(2வது பதிப்பு.), கூரியர் டோவர், பக். 104-5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

மேலும் பார்க்கவும்

பக்கங்களின் எண்ணிக்கையால் சரி முக்கோணங்கள் நாற்கரங்கள் மேலும் பார்க்கவும்

கட்டுரையில் பட்டியலிடப்படாத அல்லது நூலியல் பிரிவில் தவறாக விவரிக்கப்படாத வெளியீடுகள் பற்றிய குறுகிய ("ஹார்வர்ட்") குறிப்புகள் உள்ளன. உடைந்த இணைப்புகளின் பட்டியல்: , , , , , , , , – சரி, என்ன, என் கோசாக்? (மரியா டிமிட்ரிவ்னா நடாஷாவை ஒரு கோசாக் என்று அழைத்தார்) - அவள் நடாஷாவை தன் கையால் கவ்வினாள், அவள் பயமின்றி மகிழ்ச்சியுடன் அவள் கையை நெருங்கினாள். - எனக்கு அந்த மருந்து ஒரு பெண் என்று தெரியும், ஆனால் நான் அவளை நேசிக்கிறேன். அவள் தனது பெரிய ரெட்டிகுலிலிருந்து பேரிக்காய் வடிவ யாக்கோன் காதணிகளை எடுத்து, அவற்றை ஒரு ஒளிரும் மற்றும் சிவந்த நடாஷாவிடம் கொடுத்து, உடனடியாக அவளிடமிருந்து விலகி பியர் பக்கம் திரும்பினாள். - ஏ, ஏ! கருணை! "இங்கே வா," அவள் போலியான அமைதியான மற்றும் மெல்லிய குரலில் சொன்னாள். - வா, என் அன்பே ... அவள் அச்சுறுத்தும் வகையில் தன் கைகளை இன்னும் மேலே சுருட்டினாள். பியர் அருகில் வந்து, அப்பாவியாக தன் கண்ணாடி வழியாக அவளைப் பார்த்தான். - வா, வா, என் அன்பே! உங்கள் தந்தைக்கு வாய்ப்புக் கிடைத்தபோது நான்தான் உண்மையைச் சொன்னேன், ஆனால் கடவுள் அதை உங்களுக்குக் கட்டளையிடுகிறார். அவள் நிறுத்தினாள். என்ன நடக்குமோ என்று காத்திருந்து, முன்னுரை மட்டுமே இருப்பதாக உணர்ந்த அனைவரும் அமைதியாக இருந்தனர். - நல்லது, சொல்ல ஒன்றுமில்லை! நல்ல பையன்!... தந்தை படுக்கையில் படுத்துள்ளார், அவர் போலீஸ்காரரை கரடியின் மீது ஏற்றி வேடிக்கை பார்க்கிறார். இது அவமானம், அப்பா, இது ஒரு அவமானம்! போருக்குச் செல்வது நல்லது. அவள் திரும்பி, சிரிக்காமல் தன்னைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ள முடியாத எண்ணுக்குத் தன் கையைக் கொடுத்தாள். - சரி, மேசைக்கு வா, நான் தேநீர் அருந்துகிறேன், நேரமா? - மரியா டிமிட்ரிவ்னா கூறினார். மரியா டிமிட்ரிவ்னாவுடன் எண்ணிக்கை முன்னேறியது; பின்னர் கவுண்டஸ், ஒரு ஹுஸார் கர்னல் தலைமையில் இருந்தார், நிகோலாய் ரெஜிமென்ட்டைப் பிடிக்க வேண்டிய சரியான நபர். அன்னா மிகைலோவ்னா - ஷின்ஷினுடன். பெர்க் வேராவுடன் கைகுலுக்கினார். புன்னகைத்த ஜூலி கராகினா நிகோலாய் உடன் மேசைக்குச் சென்றார். அவர்களுக்குப் பின்னால் மற்ற தம்பதிகள் வந்து, மண்டபம் முழுவதும் நீட்டினர், அவர்களுக்குப் பின்னால் ஒவ்வொருவராக குழந்தைகள், ஆசிரியர்கள் மற்றும் ஆட்சியாளர்கள் இருந்தனர். பணியாளர்கள் அசையத் தொடங்கினர், நாற்காலிகள் சத்தமிட்டன, பாடகர் குழுவில் இசை ஒலிக்கத் தொடங்கியது, விருந்தினர்கள் தங்கள் இருக்கைகளில் அமர்ந்தனர். கவுண்டின் வீட்டு இசையின் ஒலிகள் கத்திகள் மற்றும் முட்கரண்டிகளின் ஒலிகள், விருந்தினர்களின் அரட்டைகள் மற்றும் பணியாளர்களின் அமைதியான படிகளால் மாற்றப்பட்டன. மேஜையின் ஒரு முனையில் கவுண்டஸ் தலையில் அமர்ந்தார். வலதுபுறத்தில் மரியா டிமிட்ரிவ்னா, இடதுபுறத்தில் அன்னா மிகைலோவ்னா மற்றும் பிற விருந்தினர்கள். மறுமுனையில் எண்ணிக்கை அமர்ந்திருந்தது, இடதுபுறத்தில் ஹுசார் கர்னல், வலதுபுறத்தில் ஷின்ஷின் மற்றும் பிற ஆண் விருந்தினர்கள். நீண்ட மேசையின் ஒரு பக்கத்தில் வயதான இளைஞர்கள் உள்ளனர்: பெர்க்கிற்கு அடுத்ததாக வேரா, போரிஸுக்கு அடுத்தபடியாக பியர்; மறுபுறம் - குழந்தைகள், ஆசிரியர்கள் மற்றும் ஆட்சியாளர்கள். படிகங்கள், பாட்டில்கள் மற்றும் பழங்களின் குவளைகளுக்குப் பின்னால் இருந்து, கவுண்ட் தனது மனைவியையும் நீல நிற ரிப்பன்களுடன் அவளது உயரமான தொப்பியையும் பார்த்து, தன்னை மறக்காமல் தனது அண்டை வீட்டாருக்கு விடாமுயற்சியுடன் மதுவை ஊற்றினார். கவுண்டஸும், அன்னாசிப்பழங்களுக்குப் பின்னால் இருந்து, ஒரு இல்லத்தரசியாக தனது கடமைகளை மறக்காமல், தனது கணவரை நோக்கி குறிப்பிடத்தக்க பார்வைகளை வீசினார், அதன் வழுக்கைத் தலையும் முகமும், சிவந்த நிறத்தில் அவனுடைய நரை முடியிலிருந்து மிகவும் கூர்மையாக வேறுபட்டதாக அவளுக்குத் தோன்றியது. பெண்களின் முனையில் ஒரு நிலையான பேச்சு இருந்தது; ஆண்கள் அறையில், குரல்கள் சத்தமாகவும் சத்தமாகவும் கேட்டன, குறிப்பாக ஹுசார் கர்னல், அவர் அதிகமாக சாப்பிட்டு குடித்து, மேலும் மேலும் வெட்கப்பட்டார், அந்த எண்ணிக்கை ஏற்கனவே மற்ற விருந்தினர்களுக்கு அவரை ஒரு முன்மாதிரியாக அமைத்தது. பெர்க், ஒரு மென்மையான புன்னகையுடன், வேராவிடம் காதல் ஒரு பூமிக்குரியது அல்ல, ஆனால் பரலோக உணர்வு என்று பேசினார். போரிஸ் தனது புதிய நண்பரான பியரை மேசையில் விருந்தினர்கள் என்று பெயரிட்டார் மற்றும் அவருக்கு எதிரே அமர்ந்திருந்த நடாஷாவுடன் பார்வையைப் பரிமாறினார். பியர் கொஞ்சம் பேசினார், புதிய முகங்களைப் பார்த்தார், நிறைய சாப்பிட்டார். இரண்டு சூப்களில் இருந்து தொடங்கி, அதில் இருந்து அவர் லா டார்ட்யூ, [ஆமை,] மற்றும் குலேபியாகி மற்றும் ஹேசல் க்ரூஸ் ஆகியவற்றைத் தேர்ந்தெடுத்தார், அவர் ஒரு டிஷ் மற்றும் ஒரு மதுவைத் தவறவிடவில்லை, பட்லர் ஒரு துடைக்கும் பாட்டிலில் மர்மமான முறையில் மாட்டிக்கொண்டார். அண்டை வீட்டாரின் தோளுக்குப் பின்னால் இருந்து, அல்லது "ட்ரை மடீரா", அல்லது "ஹங்கேரியன்", அல்லது "ரைன் ஒயின்" என்று கூறுகிறார். அவர் நான்கு படிகக் கண்ணாடிகளில் முதல் கண்ணாடியை ஒவ்வொரு சாதனத்தின் முன் நிற்கும் கவுண்டின் மோனோகிராமுடன் வைத்தார், மேலும் பெருகிய முறையில் இனிமையான முகபாவத்துடன் விருந்தினர்களைப் பார்த்து மகிழ்ச்சியுடன் குடித்தார். அவருக்கு எதிரே அமர்ந்திருந்த நடாஷா, பதின்மூன்று வயதுப் பெண்கள் தாங்கள் முதன்முறையாக முத்தமிட்ட ஒரு பையனைப் பார்த்து, யாரை காதலிக்கிறார்களோ, அந்த மாதிரி போரிஸைப் பார்த்தாள். அவளுடைய அதே தோற்றம் சில சமயங்களில் பியர் பக்கம் திரும்பியது, மேலும் இந்த வேடிக்கையான, கலகலப்பான பெண்ணின் பார்வையில், ஏன் என்று தெரியாமல் அவர் தன்னை சிரிக்க விரும்பினார். நிகோலாய் சோனியாவிலிருந்து வெகு தொலைவில் அமர்ந்தார், ஜூலி கராகினாவுக்கு அடுத்ததாக, மீண்டும் அதே தன்னிச்சையான புன்னகையுடன் அவர் அவளிடம் பேசினார். சோனியா அழகாக சிரித்தாள், ஆனால் வெளிப்படையாக பொறாமையால் துன்புறுத்தப்பட்டாள்: அவள் வெளிர் நிறமாக மாறினாள், பின்னர் வெட்கப்பட்டு, நிகோலாய் மற்றும் ஜூலி ஒருவருக்கொருவர் என்ன சொல்கிறார்கள் என்பதை அவள் முழு வலிமையுடன் கேட்டாள். யாரேனும் குழந்தைகளை புண்படுத்த முடிவு செய்தால், எதிர்த்துப் போராடத் தயாராவது போல, ஆட்சியாளர் அமைதியின்றி சுற்றிப் பார்த்தார். ஜெர்மனியில் உள்ள தனது குடும்பத்தினருக்கு எழுதிய கடிதத்தில் எல்லாவற்றையும் விரிவாக விவரிக்க ஜெர்மன் ஆசிரியர் அனைத்து வகையான உணவுகள், இனிப்புகள் மற்றும் ஒயின்களை மனப்பாடம் செய்ய முயன்றார், மேலும் பட்லர், ஒரு துடைக்கும் பாட்டிலுடன், எடுத்துச் சென்றதால் மிகவும் கோபமடைந்தார். அவரை சுற்றி. ஜேர்மனியர் முகம் சுளித்தார், அவர் இந்த மதுவைப் பெற விரும்பவில்லை என்பதைக் காட்ட முயன்றார், ஆனால் அவர் தாகத்தைத் தணிக்க மது தேவை என்பதை யாரும் புரிந்து கொள்ள விரும்பாததால், பேராசையால் அல்ல, மனசாட்சியின் ஆர்வத்தால் கோபமடைந்தார். மேசையின் ஆண் முடிவில் உரையாடல் மேலும் மேலும் அனிமேஷன் ஆனது. போரை அறிவிக்கும் விஞ்ஞாபனம் ஏற்கனவே செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்கில் வெளியிடப்பட்டதாகவும், தாமே பார்த்த நகல் தற்போது தளபதிக்கு கூரியர் மூலம் வழங்கப்பட்டதாகவும் கர்னல் கூறினார். - போனபார்ட்டுடன் சண்டையிடுவது எங்களுக்கு ஏன் கடினம்? - ஷின்ஷின் கூறினார். – II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crins, que cette fois ce ne soit notre tour. [அவர் ஏற்கனவே ஆஸ்திரியாவின் ஆணவத்தைத் தட்டிச் சென்றுவிட்டார். எங்கள் முறை இப்போது வராது என்று நான் பயப்படுகிறேன்.] கர்னல் ஒரு துணிச்சலான, உயரமான மற்றும் உறுதியான ஜெர்மன், வெளிப்படையாக ஒரு வேலைக்காரன் மற்றும் தேசபக்தர். ஷின்ஷின் வார்த்தைகளால் அவர் புண்பட்டார். "பின்னர், நாங்கள் ஒரு நல்ல இறையாண்மை" என்று அவர் கூறினார், e க்கு பதிலாக e மற்றும் ь க்கு பதிலாக ъ என்று உச்சரித்தார். "அப்போது பேரரசருக்கு இது தெரியும் என்று அவர் தனது அறிக்கையில் ரஷ்யாவை அச்சுறுத்தும் ஆபத்துக்களை அலட்சியமாகப் பார்க்க முடியும் என்றும், பேரரசின் பாதுகாப்பு, அதன் கண்ணியம் மற்றும் கூட்டணிகளின் புனிதத்தன்மை ஆகியவற்றைக் குறிப்பிட்டார்" என்று அவர் கூறினார். "தொழிற்சங்கங்கள்" என்ற வார்த்தை, இந்த விஷயத்தின் முழு சாராம்சம் போல. மேலும் அவரது குணாதிசயமான தவறான, உத்தியோகபூர்வ நினைவாற்றலுடன், அவர் அறிக்கையின் தொடக்க வார்த்தைகளை மீண்டும் மீண்டும் கூறினார் ... "மற்றும் இறையாண்மையின் ஆசை, ஒரே மற்றும் தவிர்க்க முடியாத குறிக்கோள்: உறுதியான அடித்தளத்தில் ஐரோப்பாவில் அமைதியை நிலைநாட்ட - அவர்கள் இப்போது ஒரு பகுதியை அனுப்ப முடிவு செய்தனர். வெளிநாட்டில் உள்ள இராணுவம் மற்றும் இந்த நோக்கத்தை அடைய புதிய முயற்சிகளை மேற்கொள்கின்றன. "அதனால்தான், நாங்கள் ஒரு நல்ல இறையாண்மையாளர்," என்று அவர் முடித்தார், உற்சாகமாக ஒரு கிளாஸ் ஒயின் குடித்துவிட்டு, ஊக்கத்திற்காக எண்ணிக்கையைத் திரும்பிப் பார்த்தார். – Connaissez vous le proverbe: [பழமொழி உங்களுக்குத் தெரியும்:] "எரேமா, எரேமா, நீங்கள் வீட்டில் உட்கார்ந்து, உங்கள் சுழல்களைக் கூர்மைப்படுத்த வேண்டும்," ஷின்ஷின், சிரித்து சிரித்தார். – Cela nous convient a merveille. [இது எங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.] சுவோரோவ் - அவர்கள் ஏன் அவரை வெட்டினார்கள், ஒரு தட்டு ஆடை, [அவரது தலையில்,] இப்போது எங்கள் சுவோரோவ்ஸ் எங்கே? Je vous demande un peu, [நான் உங்களிடம் கேட்கிறேன்,] - அவர் தொடர்ந்து ரஷ்ய மொழியிலிருந்து பிரஞ்சுக்கு தாவினார். "நாங்கள் கடைசி சொட்டு இரத்தம் வரை போராட வேண்டும்," என்று கர்னல் கூறினார், மேசையைத் தாக்கி, "எங்கள் பேரரசருக்காக இறக்கவும், பின்னர் எல்லாம் சரியாகிவிடும்." முடிந்தவரை வாதிட (அவர் குறிப்பாக "சாத்தியம்" என்ற வார்த்தையில் தனது குரலை வெளிப்படுத்தினார்), முடிந்தவரை குறைவாக, "அவர் முடித்தார், மீண்டும் எண்ணிக்கைக்கு திரும்பினார். "பழைய ஹுஸார்களை நாங்கள் அப்படித்தான் தீர்மானிக்கிறோம், அவ்வளவுதான்." இளைஞன் மற்றும் இளைஞன் ஹுஸார் என்பதை நீங்கள் எவ்வாறு தீர்மானிக்கிறீர்கள்? - அவர் மேலும், நிகோலாய் பக்கம் திரும்பினார், இது போரைப் பற்றியது என்று கேள்விப்பட்டவுடன், தனது உரையாசிரியரை விட்டுவிட்டு, தனது எல்லா கண்களாலும் பார்த்து, கர்னலின் அனைத்து காதுகளாலும் கேட்டார். "நான் உங்களுடன் முற்றிலும் உடன்படுகிறேன்," என்று நிகோலாய் பதிலளித்தார், அனைவரும் சிவந்து, தட்டைச் சுழற்றி, கண்ணாடிகளை அத்தகைய தீர்க்கமான மற்றும் அவநம்பிக்கையான தோற்றத்துடன் மறுசீரமைத்தார், அந்த நேரத்தில் அவர் பெரும் ஆபத்தில் இருப்பதைப் போல, "ரஷ்யர்கள் இறக்க வேண்டும் என்று நான் உறுதியாக நம்புகிறேன். அல்லது வெற்றி பெறுங்கள், ”என்று அவர் ஏற்கனவே சொன்ன வார்த்தைக்குப் பிறகு, அது மிகவும் உற்சாகமாகவும் ஆடம்பரமாகவும் இருந்தது, எனவே இது மோசமானது. “C"est bien beau ce que vous venez de dire, [அற்புதம்! நீங்கள் சொன்னது அருமை],” என்று பெருமூச்சு விட்டபடி அவனருகில் அமர்ந்திருந்த ஜூலி சொன்னாள், சோனியா முழுவதும் நடுங்கி, காதுகளுக்குப் பின்னால், காதுகள் வரை சிவந்தாள். கழுத்து மற்றும் தோள்களுக்கு, நிகோலாய் பேசும்போது, ​​​​பியர் கர்னலின் பேச்சுகளைக் கேட்டு, ஆமோதிக்கும் வகையில் தலையை அசைத்தார். "அது நன்றாக இருக்கிறது," என்று அவர் கூறினார். "ஒரு உண்மையான ஹுசார், இளைஞன்," கர்னல் மீண்டும் மேசையைத் தாக்கினார். - நீங்கள் அங்கு என்ன சத்தம் போடுகிறீர்கள்? - மரியா டிமிட்ரிவ்னாவின் பாஸ் குரல் திடீரென்று மேஜை முழுவதும் கேட்டது. - நீங்கள் ஏன் மேஜையில் தட்டுகிறீர்கள்? - அவள் ஹஸ்ஸர் பக்கம் திரும்பினாள், - நீங்கள் யாரைப் பற்றி உற்சாகமாக இருக்கிறீர்கள்? சரி, பிரெஞ்சுக்காரர்கள் உங்களுக்கு முன்னால் இருக்கிறார்கள் என்று நினைக்கிறீர்களா? "நான் உண்மையைச் சொல்கிறேன்," என்று ஹஸ்ஸர் சிரித்தார். "போர் பற்றி எல்லாம்," எண்ணிக்கை மேஜை முழுவதும் கத்தினார். - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, என் மகன் வருகிறான், மரியா டிமிட்ரிவ்னா, என் மகன் வருகிறான். - எனக்கு இராணுவத்தில் நான்கு மகன்கள் உள்ளனர், ஆனால் நான் கவலைப்படவில்லை. எல்லாம் கடவுளின் விருப்பம்: நீங்கள் அடுப்பில் படுத்திருப்பீர்கள், போரில் கடவுள் கருணை காட்டுவார், ”மரியா டிமிட்ரிவ்னாவின் தடிமனான குரல் மேசையின் மறுமுனையிலிருந்து எந்த முயற்சியும் இல்லாமல் ஒலித்தது. - இது உண்மை. உரையாடல் மீண்டும் கவனம் செலுத்தியது - மேசையின் முடிவில் பெண்கள், ஆண்கள் அவனது. "ஆனால் நீங்கள் கேட்க மாட்டீர்கள்," என்று சிறிய சகோதரர் நடாஷாவிடம் கூறினார், "ஆனால் நீங்கள் கேட்க மாட்டீர்கள்!" "நான் கேட்கிறேன்," நடாஷா பதிலளித்தார். அவள் முகம் திடீரென்று சிவந்து, அவநம்பிக்கையான மற்றும் மகிழ்ச்சியான உறுதியை வெளிப்படுத்தியது. அவள் எழுந்து நின்று, தனக்கு எதிரே அமர்ந்திருந்த பியரைக் கேட்கும்படி அழைத்தாள், தன் தாயிடம் திரும்பினாள்: - அம்மா! - அவளது குழந்தைத்தனமான, மார்பு குரல் மேஜை முழுவதும் ஒலித்தது. - உங்களுக்கு என்ன வேண்டும்? - கவுண்டஸ் பயத்தில் கேட்டார், ஆனால், அது ஒரு குறும்பு என்று தனது மகளின் முகத்தில் இருந்து பார்த்து, அவள் கடுமையாக கையை அசைத்து, அச்சுறுத்தும் மற்றும் எதிர்மறையான சைகையை தலையில் காட்டினாள். உரையாடல் நிறுத்தப்பட்டது. - அம்மா! அது என்ன வகையான கேக்காக இருக்கும்? - நடாஷாவின் குரல் உடைக்காமல் இன்னும் தீர்க்கமாக ஒலித்தது. கவுண்டஸ் முகம் சுளிக்க விரும்பினார், ஆனால் முடியவில்லை. மரியா டிமிட்ரிவ்னா தன் தடித்த விரலை அசைத்தாள். "கோசாக்," அவள் அச்சுறுத்தலாக சொன்னாள். விருந்தினர்களில் பெரும்பாலோர் இந்த தந்திரத்தை எப்படி எடுத்துக்கொள்வது என்று தெரியாமல் பெரியவர்களைப் பார்த்தார்கள். - இதோ நான்! - கவுண்டஸ் கூறினார். - அம்மா! என்ன வகையான கேக் இருக்கும்? - நடாஷா தைரியமாகவும் கேப்ரிசியோஸாகவும் கத்தினாள், அவளுடைய குறும்பு நல்ல வரவேற்பைப் பெறும் என்று முன்கூட்டியே நம்பிக்கையுடன். சோனியாவும் கொழுத்த பெட்டியாவும் சிரிப்பிலிருந்து மறைந்தனர். "அதனால்தான் நான் கேட்டேன்," நடாஷா தனது சிறிய சகோதரனிடமும் பியரிடமும் கிசுகிசுத்தாள், அவள் மீண்டும் பார்த்தாள். "ஐஸ்கிரீம், ஆனால் அவர்கள் அதை உங்களுக்கு கொடுக்க மாட்டார்கள்" என்று மரியா டிமிட்ரிவ்னா கூறினார். பயப்பட ஒன்றுமில்லை என்று நடாஷா கண்டாள், எனவே அவள் மரியா டிமிட்ரிவ்னாவுக்கு பயப்படவில்லை. - மரியா டிமிட்ரிவ்னா? என்ன ஐஸ்கிரீம்! எனக்கு கிரீம் பிடிக்காது. - கேரட். - இல்லை, எது? மரியா டிமிட்ரிவ்னா, எது? - அவள் கிட்டத்தட்ட கத்தினாள். - நான் தெரிந்து கொள்ள விரும்புகிறேன்! மரியா டிமிட்ரிவ்னா மற்றும் கவுண்டஸ் சிரித்தனர், விருந்தினர்கள் அனைவரும் அவர்களைப் பின்தொடர்ந்தனர். எல்லோரும் சிரித்தது மரியா டிமிட்ரிவ்னாவின் பதிலைப் பார்த்து அல்ல, ஆனால் இந்த பெண்ணின் புரிந்துகொள்ள முடியாத தைரியம் மற்றும் திறமையால், மரியா டிமிட்ரிவ்னாவை எப்படி நடத்துவது என்பதை அறிந்தவர் மற்றும் தைரியமாக இருந்தார். அன்னாசிப்பழம் இருக்கும் என்று சொன்னபோதுதான் நடாஷா பின்வாங்கிவிட்டார். ஐஸ்கிரீமுக்கு முன் ஷாம்பெயின் பரிமாறப்பட்டது. இசை மீண்டும் ஒலிக்கத் தொடங்கியது, கவுண்டஸ் கவுண்டஸை முத்தமிட்டார், விருந்தினர்கள் எழுந்து நின்று கவுண்டஸை வாழ்த்தினர், எண்ணிக்கை, குழந்தைகள் மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் மேஜை முழுவதும் கண்ணாடிகளை அழுத்தினர். பணியாளர்கள் மீண்டும் உள்ளே ஓடினர், நாற்காலிகள் சத்தமிட்டன, அதே வரிசையில், ஆனால் சிவப்பு முகங்களுடன், விருந்தினர்கள் அறை மற்றும் எண்ணிக்கை அலுவலகத்திற்குத் திரும்பினர். பாஸ்டன் அட்டவணைகள் தனித்தனியாக நகர்த்தப்பட்டன, விருந்துகள் வரையப்பட்டன, மேலும் கவுண்டின் விருந்தினர்கள் இரண்டு வாழ்க்கை அறைகள், ஒரு சோபா அறை மற்றும் ஒரு நூலகத்தில் குடியேறினர். கவுண்ட், தனது அட்டைகளை விசிறி, மதியம் தூங்கும் பழக்கத்தை எதிர்க்க முடியாமல் எல்லாவற்றையும் பார்த்து சிரித்தார். கவுண்டஸால் தூண்டப்பட்ட இளைஞர்கள் கிளாவிச்சார்ட் மற்றும் வீணையைச் சுற்றி கூடினர். ஜூலி முதலில், அனைவரின் வேண்டுகோளின்படி, வீணையில் மாறுபாடுகளுடன் ஒரு பகுதியை வாசித்தார், மற்ற சிறுமிகளுடன் சேர்ந்து, நடாஷா மற்றும் நிகோலாய், அவர்களின் இசையமைப்பிற்கு பெயர் பெற்றவர், ஏதாவது பாடும்படி கேட்கத் தொடங்கினார். பெரிய பெண் என்று அழைக்கப்பட்ட நடாஷா, இதைப் பற்றி மிகவும் பெருமிதம் கொண்டார், ஆனால் அதே நேரத்தில் அவர் பயந்தவர். - நாம் என்ன பாடப் போகிறோம்? - அவள் கேட்டாள். "திறவுகோல்," நிகோலாய் பதிலளித்தார். - சரி, சீக்கிரம் போகலாம். போரிஸ், இங்கே வா" என்று நடாஷா கூறினார். - சோனியா எங்கே? அவள் சுற்றிப் பார்த்தாள், அவளுடைய தோழி அறையில் இல்லாததைக் கண்டு அவள் பின்னால் ஓடினாள். சோனியாவின் அறைக்குள் ஓடி, அங்கே அவளுடைய தோழியைக் காணவில்லை, நடாஷா நர்சரிக்குள் ஓடினாள் - சோனியா அங்கு இல்லை. சோனியா மார்பில் உள்ள தாழ்வாரத்தில் இருப்பதை நடாஷா உணர்ந்தார். ரோஸ்டோவ் வீட்டின் இளைய பெண் தலைமுறையினருக்கு தாழ்வாரத்தில் உள்ள மார்பு துக்கத்தின் இடமாக இருந்தது. உண்மையில், சோனியா தனது காற்றோட்டமான இளஞ்சிவப்பு உடையில், அதை நசுக்கி, தனது ஆயாவின் அழுக்கு கோடிட்ட இறகு படுக்கையில், மார்பில் முகம் படுத்து, விரல்களால் முகத்தை மூடிக்கொண்டு, வெறுமையான தோள்களை அசைத்து கசப்புடன் அழுதாள். நடாஷாவின் முகம், அனிமேஷன் செய்யப்பட்ட, நாள் முழுவதும் பிறந்தநாளுடன், திடீரென்று மாறியது: அவள் கண்கள் நின்றுவிட்டன, பின்னர் அவளுடைய பரந்த கழுத்து நடுங்கியது, அவளுடைய உதடுகளின் மூலைகள் தொங்கின. - சோனியா! நீ என்ன?...என்ன, உனக்கு என்ன ஆச்சு? அருமை அருமை!… நடாஷா, தனது பெரிய வாயைத் திறந்து, முற்றிலும் முட்டாளாகி, ஒரு குழந்தையைப் போல கர்ஜிக்கத் தொடங்கினாள், காரணம் தெரியாமல், சோனியா அழுததால் மட்டுமே. சோனியா தலையை உயர்த்த விரும்பினாள், பதிலளிக்க விரும்பினாள், ஆனால் அவளால் முடியவில்லை, இன்னும் அதிகமாக மறைத்தாள். நடாஷா நீல இறகு படுக்கையில் அமர்ந்து தன் தோழியைக் கட்டிக் கொண்டு அழுதாள். தன் பலத்தை திரட்டிக்கொண்டு சோனியா எழுந்து கண்ணீரை துடைத்து கதை சொல்ல ஆரம்பித்தாள். - நிகோலென்கா ஒரு வாரத்தில் புறப்படுகிறார், அவருடைய... காகிதம்... வெளியே வந்தது... அவர் என்னிடம் சொன்னார்... ஆமாம், நான் இன்னும் அழ மாட்டேன்... (அவள் கையில் வைத்திருந்த காகிதத் துண்டைக் காட்டினாள். அவள் கை: அது நிகோலாய் எழுதிய கவிதை) நான் இன்னும் அழமாட்டேன், ஆனால் உன்னால் முடியவில்லை... யாராலும் புரிந்து கொள்ள முடியாது... அவனுக்கு எப்படிப்பட்ட ஆன்மா இருக்கிறது. அவனுடைய ஆன்மா மிகவும் நன்றாக இருந்ததால் அவள் மீண்டும் அழ ஆரம்பித்தாள். “நீ நன்றாக உணர்கிறாய்... நான் உன்னை பொறாமைப்படுவதில்லை... நான் உன்னை காதலிக்கிறேன், மற்றும் போரிஸும் கூட,” என்று அவள் கொஞ்சம் வலிமையை சேகரித்து, “அவன் அழகாக இருக்கிறான்... உனக்கு எந்த தடையும் இல்லை.” மேலும் நிகோலாய் என் உறவினர்... எனக்கு வேண்டும்... பெருநகரம் தானே... அது சாத்தியமற்றது. பின்னர், அம்மா என்றால் ... (சோனியா கவுண்டஸைக் கருதி, அவளுடைய தாயை அழைத்தாள்), நான் நிகோலாயின் வாழ்க்கையை அழிக்கிறேன், எனக்கு இதயம் இல்லை, நான் நன்றியற்றவன், ஆனால் உண்மையில் ... கடவுளின் பொருட்டு ... (அவள் தன்னைத்தானே கடந்து) நானும் அவளை மிகவும் நேசிக்கிறேன் , நீங்கள் அனைவரும், வேரா மட்டும்... எதற்காக? நான் அவளை என்ன செய்தேன்? நான் உங்களுக்கு மிகவும் நன்றியுள்ளவனாக இருக்கிறேன், எல்லாவற்றையும் தியாகம் செய்வதில் நான் மகிழ்ச்சியடைவேன், ஆனால் என்னிடம் எதுவும் இல்லை ... சோனியா இனி பேச முடியாது, மீண்டும் தலையை கைகளிலும் இறகு படுக்கையிலும் மறைத்தாள். நடாஷா அமைதியடையத் தொடங்கினாள், ஆனால் அவள் தோழியின் துயரத்தின் முக்கியத்துவத்தை அவள் புரிந்துகொண்டாள் என்பதை அவள் முகம் காட்டியது. - சோனியா! - தன் உறவினரின் வருத்தத்திற்கான உண்மையான காரணத்தை யூகித்தவள் போல் அவள் திடீரென்று சொன்னாள். - அது சரி, இரவு உணவுக்குப் பிறகு வேரா உங்களுடன் பேசினாரா? ஆம்? - ஆம், நிகோலாய் இந்த கவிதைகளை எழுதினார், நான் மற்றவர்களை நகலெடுத்தேன்; அவள் என் மேஜையில் அவர்களைக் கண்டுபிடித்தாள், அவள் அவற்றை அம்மாவிடம் காண்பிப்பதாகவும், நான் நன்றி கெட்டவள் என்றும், அம்மா அவனை ஒருபோதும் திருமணம் செய்து கொள்ள அனுமதிக்க மாட்டார் என்றும், அவன் ஜூலியை மணந்து கொள்வான் என்றும் சொன்னாள். நாள் முழுவதும் அவளுடன் எப்படி இருக்கிறான் என்று பார்த்தாய்... நடாஷா! எதற்காக?… மீண்டும் அவள் முன்பை விட அதிகமாக அழுதாள். நடாஷா அவளைத் தூக்கி, அணைத்து, கண்ணீர் வழிய சிரித்து, அவளை அமைதிப்படுத்த ஆரம்பித்தாள். - சோனியா, அவளை நம்பாதே, அன்பே, அவளை நம்பாதே. சோபா அறையில் நாங்கள் மூவரும் நிகோலென்காவுடன் எப்படிப் பேசினோம் என்பது உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா; இரவு உணவுக்குப் பிறகு நினைவிருக்கிறதா? எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அது எப்படி இருக்கும் என்பதை நாங்கள் முடிவு செய்தோம். எப்படி என்று எனக்கு நினைவில் இல்லை, ஆனால் எப்படி எல்லாம் நன்றாக இருந்தது மற்றும் எல்லாம் சாத்தியமானது என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்கிறீர்கள். மாமா ஷின்ஷினின் சகோதரர் ஒரு உறவினரை மணந்தார், நாங்கள் இரண்டாவது உறவினர்கள். இது மிகவும் சாத்தியம் என்று போரிஸ் கூறினார். உங்களுக்கு தெரியும், நான் அவரிடம் எல்லாவற்றையும் சொன்னேன். அவர் மிகவும் புத்திசாலி மற்றும் மிகவும் நல்லவர், ”நடாஷா கூறினார் ... “நீ, சோனியா, அழாதே, என் அன்பே, சோனியா.” - அவள் சிரித்துக்கொண்டே அவளை முத்தமிட்டாள். - நம்பிக்கை தீயது, கடவுள் அவளை ஆசீர்வதிப்பாராக! ஆனால் எல்லாம் சரியாகிவிடும், அவள் அம்மாவிடம் சொல்ல மாட்டாள்; நிகோலெங்கா அதை தானே சொல்வார், அவர் ஜூலியைப் பற்றி நினைக்கவில்லை. மேலும் அவள் தலையில் முத்தமிட்டாள். சோனியா எழுந்து நின்றாள், பூனைக்குட்டி எழுந்து, கண்கள் பிரகாசித்தன, மேலும் அவர் தனது வாலை அசைக்கவும், மென்மையான பாதங்களில் குதிக்கவும், மீண்டும் பந்தைக் கொண்டு விளையாடவும் தயாராக இருப்பதாகத் தோன்றியது. - நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? சரியா? கடவுளால்? - அவள் உடை மற்றும் முடியை விரைவாக நேராக்கினாள். - உண்மையில், கடவுளால்! - நடாஷா பதிலளித்தார், தனது தோழியின் பின்னலின் கீழ் கரடுமுரடான முடியின் ஒரு தவறான இழையை நேராக்கினார். மேலும் இருவரும் சிரித்தனர். - சரி, "தி கீ" பாடுவோம். - நாம் செல்வோம். "உங்களுக்குத் தெரியும், எனக்கு எதிரே அமர்ந்திருந்த இந்த கொழுத்த பியர் மிகவும் வேடிக்கையானவர்!" - நடாஷா திடீரென்று, நிறுத்தினாள். - நான் மிகவும் வேடிக்கையாக இருக்கிறேன்! நடாஷா தாழ்வாரத்தில் ஓடினாள். சோனியா, புழுதியை அசைத்து, கவிதைகளை தன் மார்பில் மறைத்து, மார்பு எலும்புகளால் கழுத்தில், ஒளி, மகிழ்ச்சியான படிகள், சிவந்த முகத்துடன், நடாஷாவின் பின்னால் நடைபாதையில் சோபாவுக்கு ஓடினாள். விருந்தினர்களின் வேண்டுகோளின் பேரில், இளைஞர்கள் "கீ" குவார்டெட் பாடினர், இது அனைவருக்கும் மிகவும் பிடித்திருந்தது; பின்னர் நிகோலாய் தான் கற்றுக்கொண்ட பாடலை மீண்டும் பாடினார். ஒரு இனிமையான இரவில், நிலவொளியில், உங்களை மகிழ்ச்சியுடன் கற்பனை செய்து பாருங்கள் உலகில் இன்னும் ஒருவர் இருக்கிறார் என்று, உன்னைப் பற்றியும் யார் நினைக்கிறார்கள்! அவள், தன் அழகிய கையால், தங்க வீணையுடன் நடந்து, அதன் உணர்ச்சிமிக்க இணக்கத்துடன் தன்னை அழைக்கிறேன், உன்னை அழைக்கிறேன்! இன்னும் ஓரிரு நாளில் சொர்க்கம் வரும்... ஆனால் ஆ! உன் நண்பன் வாழமாட்டான்! மண்டபத்தில் இளைஞர்கள் நடனமாடத் தயாராகிக்கொண்டிருந்தபோது அவர் இன்னும் கடைசி வார்த்தைகளைப் பாடி முடிக்கவில்லை, பாடகர் குழுவில் இருந்த இசைக்கலைஞர்கள் அவர்களின் கால்களைத் தட்டத் தொடங்கினர். பியர் வாழ்க்கை அறையில் அமர்ந்திருந்தார், அங்கு ஷின்ஷின், வெளிநாட்டிலிருந்து வந்த ஒரு பார்வையாளரைப் போலவே, அவருடன் ஒரு அரசியல் உரையாடலைத் தொடங்கினார், அது பியருக்கு சலிப்பாக இருந்தது, அதில் மற்றவர்கள் சேர்ந்தனர். இசை ஒலிக்கத் தொடங்கியதும், நடாஷா வாழ்க்கை அறைக்குள் நுழைந்து, நேராக பியரிடம் சென்று, சிரித்து, வெட்கப்பட்டு, கூறினார்: - அம்மா உன்னை நடனமாடச் சொன்னாள். "புள்ளிவிவரங்களை குழப்புவதற்கு நான் பயப்படுகிறேன், ஆனால் நீங்கள் என் ஆசிரியராக விரும்பினால் ..." என்று பியர் கூறினார். மேலும் அவர் தனது தடிமனான கையை கீழே இறக்கி, மெல்லிய பெண்ணுக்கு வழங்கினார். தம்பதிகள் குடியேறி, இசைக்கலைஞர்கள் அமைக்கும் போது, ​​​​பியர் தனது சிறிய பெண்ணுடன் அமர்ந்தார். நடாஷா முற்றிலும் மகிழ்ச்சியாக இருந்தார்; வெளிநாட்டில் இருந்து வந்த ஒருவருடன் ஒரு பெரியவருடன் நடனமாடினாள். எல்லோர் முன்னிலையிலும் அமர்ந்து அவனிடம் பெரிய பெண்ணாகப் பேசினாள். அவள் கையில் ஒரு மின்விசிறி இருந்தது, அதை ஒரு இளம் பெண் எடுத்து வைத்திருந்தாள். மேலும், மிகவும் மதச்சார்பற்ற போஸைக் கருதி (இதை அவள் எங்கே, எப்போது கற்றுக்கொண்டாள் என்பது கடவுளுக்குத் தெரியும்), அவள், தன்னைத்தானே விசிறிக்கொண்டு, ரசிகரின் மூலம் சிரித்துக்கொண்டே, தன் மனிதரிடம் பேசினாள். - அது என்ன, அது என்ன? பார், பார், ”என்று பழைய கவுண்டஸ் கூறினார், மண்டபத்தின் வழியாகச் சென்று நடாஷாவை சுட்டிக்காட்டினார். நடாஷா முகம் சிவந்து சிரித்தாள். - சரி, உன்னைப் பற்றி என்ன, அம்மா? சரி, நீங்கள் என்ன வகையான வேட்டையைத் தேடுகிறீர்கள்? இங்கே என்ன ஆச்சரியம்? மூன்றாவது சுற்றுச்சூழல் அமர்வின் நடுவில், கவுண்ட் மற்றும் மரியா டிமிட்ரிவ்னா விளையாடிக் கொண்டிருந்த வாழ்க்கை அறையில் நாற்காலிகள் நகரத் தொடங்கின, மேலும் மரியாதைக்குரிய விருந்தினர்கள் மற்றும் வயதானவர்களில் பெரும்பாலோர் நீண்ட நேரம் உட்கார்ந்து பணப்பைகள் மற்றும் பணப்பைகளை வைத்தனர். தங்கள் பைகளில், மண்டபத்தின் கதவுகளுக்கு வெளியே நடந்தார்கள். மரியா டிமிட்ரிவ்னா எண்ணத்துடன் முன்னோக்கி நடந்தார் - இருவரும் மகிழ்ச்சியான முகங்களுடன். கவுண்ட், விளையாட்டுத்தனமான பணிவுடன், ஒரு பாலே போல, மரியா டிமிட்ரிவ்னாவுக்கு தனது வட்டமான கையை வழங்கினார். அவர் நிமிர்ந்தார், மற்றும் அவரது முகம் குறிப்பாக தைரியமான, தந்திரமான புன்னகையுடன் பிரகாசித்தது, மேலும் ஈகோசைஸின் கடைசி உருவம் நடனமாடியவுடன், அவர் இசைக்கலைஞர்களிடம் கைதட்டி, முதல் வயலினை உரையாற்றி பாடகர்களிடம் கத்தினார்: - செமியோன்! டானிலா குபோரை உங்களுக்குத் தெரியுமா? இது கவுண்டனுக்கு மிகவும் பிடித்த நடனம், அவர் இளமையில் நடனமாடினார். (டானிலோ குபோர் உண்மையில் கோணங்களின் ஒரு உருவம்.) "அப்பாவைப் பார்" என்று நடாஷா முழு மண்டபத்திற்கும் கத்தினாள் (அவள் ஒரு பெரியவனுடன் நடனமாடுகிறாள் என்பதை முற்றிலும் மறந்துவிட்டாள்), சுருள் தலையை முழங்கால்களுக்கு வளைத்து, மண்டபம் முழுவதும் அவளது மோதிரச் சிரிப்பில் வெடித்தாள். உண்மையில், மண்டபத்தில் இருந்த அனைவரும் மகிழ்ச்சியான முதியவரைப் பார்த்து மகிழ்ச்சியுடன் சிரித்தனர், அவர் தனது கண்ணியமான பெண்மணிக்கு அருகில், அவரை விட உயரமான மரியா டிமிட்ரிவ்னா, அவரது கைகளைச் சுற்றி, சரியான நேரத்தில் குலுக்கி, தோள்களை நேராக்கினார். கால்கள், அவரது கால்களை லேசாக முத்திரை குத்தி, மேலும் மேலும் அவரது வட்டமான முகத்தில் மலர்ந்த புன்னகையுடன், அவர் பார்வையாளர்களை வரவிருப்பதற்கு தயார் செய்தார். டானிலா குபோரின் மகிழ்ச்சியான, முரட்டுத்தனமான சத்தம் கேட்டவுடன், ஒரு மகிழ்ச்சியான அரட்டைப் பெட்டியைப் போன்றது, மண்டபத்தின் கதவுகள் அனைத்தும் திடீரென்று ஒருபுறம் ஆண்களின் முகங்களாலும், மறுபுறம் வேலைக்காரர்களின் பெண்களின் சிரித்த முகங்களாலும் நிரம்பின. மகிழ்ச்சியான மாஸ்டரைப் பாருங்கள். - தந்தை எங்களுடையவர்! கழுகு! - ஆயா ஒரு கதவிலிருந்து சத்தமாக கூறினார். கவுண்ட் நன்றாக நடனமாடினார் மற்றும் அது தெரியும், ஆனால் அவரது பெண்மணிக்கு எப்படி தெரியாது மற்றும் நன்றாக நடனமாட விரும்பவில்லை. அவளுடைய பெரிய உடல் நிமிர்ந்து நின்றது, அவளுடைய சக்திவாய்ந்த கைகள் கீழே தொங்கும் (அவள் கவுண்டஸிடம் ரெட்டிகுலைக் கொடுத்தாள்); அவளுடைய கடுமையான ஆனால் அழகான முகம் மட்டுமே நடனமாடியது. மரியா டிமிட்ரிவ்னாவில் எண்ணிக்கையின் முழு வட்ட உருவத்திலும் வெளிப்படுத்தப்பட்டது, பெருகிய முறையில் சிரித்த முகத்திலும், இழுக்கும் மூக்கிலும் மட்டுமே வெளிப்படுத்தப்பட்டது. ஆனால் எண்ணிக்கை மேலும் மேலும் அதிருப்தி அடைந்து, அவரது மென்மையான கால்களின் திறமையான திருப்பங்கள் மற்றும் லேசான தாவல்களால் பார்வையாளர்களை ஆச்சரியப்படுத்தினால், மரியா டிமிட்ரிவ்னா, தோள்களை நகர்த்துவதில் அல்லது கைகளை வளைத்து முத்திரையிடுவதில் சிறிதளவு ஆர்வத்துடன், இல்லை. அவரது உடல் பருமன் மற்றும் எப்போதும் இருக்கும் தீவிரத்தன்மையை அனைவரும் பாராட்டிய தகுதியின் மீதான அபிப்ராயம் குறைவு. நடனம் மேலும் மேலும் அனிமேஷன் ஆனது. அவர்களின் சகாக்கள் ஒரு நிமிடம் கூட தங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க முடியவில்லை, அதைச் செய்ய முயற்சிக்கவில்லை. எல்லாம் கவுண்ட் மற்றும் மரியா டிமிட்ரிவ்னாவால் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டது. நடாஷா நடனக் கலைஞர்கள் மீது ஏற்கனவே கண்களை வைத்திருந்த அனைவரின் கைகளையும் ஆடைகளையும் இழுத்து, அவர்கள் அப்பாவைப் பார்க்கும்படி கோரினார். நடனத்தின் இடைவெளியில், கவுண்ட் ஆழ்ந்த மூச்சை எடுத்து, கைகளை அசைத்து, விரைவாக இசைக்குமாறு இசைக்கலைஞர்களிடம் கத்தினார். வேகமாகவும், வேகமாகவும், வேகமாகவும், வேகமாகவும், வேகமாகவும், எண்ணிக்கை விரிவடைந்தது, இப்போது கால்விரல்களில், இப்போது குதிகால் மீது, மரியா டிமிட்ரிவ்னாவைச் சுற்றி விரைந்தார், இறுதியாக, தனது பெண்ணை அவளது இடத்திற்குத் திருப்பி, தனது மென்மையான காலை மேலே உயர்த்தினார். பின்னால், சிரிக்கும் முகத்துடன் வியர்வை வழிந்த தலையை வளைத்து, கைதட்டல் மற்றும் சிரிப்பின் கர்ஜனைக்கு மத்தியில், குறிப்பாக நடாஷாவிடமிருந்து வலது கையை வட்டமாக அசைத்தார். இரண்டு நடனக் கலைஞர்களும் நிறுத்தி, ஆழ்ந்த மூச்சை எடுத்து, கேம்ப்ரிக் கைக்குட்டைகளால் தங்களைத் துடைத்துக் கொண்டனர். "நம் காலத்தில் இப்படித்தான் ஆடினார்கள், மா சேர்" என்று கவுண்ட் கூறினார். - ஓ, டானிலா குபோர்! - மரியா டிமிட்ரிவ்னா, ஆவியை பெரிதும் மற்றும் நீண்ட நேரம் வெளியேற்றி, தனது கைகளை உருட்டினாள். ரோஸ்டோவ்ஸ் களைப்பாக இசைக்கலைஞர்களின் ஒலிகளுக்கு மண்டபத்தில் ஆறாவது கோணத்தை நடனமாடிக்கொண்டிருந்தார், சோர்வடைந்த பணியாளர்கள் மற்றும் சமையல்காரர்கள் இரவு உணவைத் தயாரித்துக் கொண்டிருந்தனர், ஆறாவது அடி கவுண்ட் பெசுகியைத் தாக்கியது. குணமடையும் நம்பிக்கை இல்லை என்று மருத்துவர்கள் அறிவித்தனர்; நோயாளிக்கு அமைதியான ஒப்புதல் வாக்குமூலம் மற்றும் ஒற்றுமை வழங்கப்பட்டது; அவர்கள் விழாவிற்கான ஏற்பாடுகளைச் செய்து கொண்டிருந்தனர், அத்தகைய தருணங்களில் பொதுவான எதிர்பார்ப்புகளின் சலசலப்பும் கவலையும் வீட்டில் இருந்தது. வீட்டிற்கு வெளியே, வாயில்களுக்குப் பின்னால், பணியமர்த்துபவர்கள் கூட்டமாக, நெருங்கி வரும் வண்டிகளில் இருந்து ஒளிந்துகொண்டு, கவுண்டனின் இறுதிச் சடங்கிற்கான பணக்கார ஆர்டருக்காகக் காத்திருந்தனர். கவுண்டின் நிலை குறித்து விசாரிக்க தொடர்ந்து உதவியாளர்களை அனுப்பிய மாஸ்கோவின் கமாண்டர்-இன்-சீஃப், அன்று மாலை தானே பிரபல கேத்தரின் பிரபு கவுண்ட் பெசுகிமிடம் விடைபெற வந்தார். அற்புதமான வரவேற்பு அறை நிரம்பியிருந்தது. சுமார் அரை மணி நேரம் நோயாளியுடன் தனிமையில் இருந்த தளபதி அங்கிருந்து வெளியே வந்தபோது அனைவரும் மரியாதையுடன் எழுந்து நின்றனர். அவர் மீது சரி செய்யப்பட்டது. இந்த நாட்களில் உடல் எடையை குறைத்து வெளிர் நிறமாக மாறிய இளவரசர் வாசிலி, தளபதியைப் பார்த்தார், அமைதியாக அவரிடம் பல முறை கூறினார். தளபதியைப் பார்த்த பிறகு, இளவரசர் வாசிலி மண்டபத்தில் ஒரு நாற்காலியில் தனியாக உட்கார்ந்து, கால்களை உயரமாகக் கடந்து, முழங்காலில் முழங்கையை வைத்து, கையால் கண்களை மூடிக்கொண்டார். சிறிது நேரம் இப்படியே அமர்ந்திருந்த அவர் எழுந்து நின்று வழக்கத்திற்கு மாறாக வேகமான படிகளுடன், பயந்த கண்களுடன் சுற்றிப் பார்த்துவிட்டு, நீண்ட நடைபாதை வழியாக வீட்டின் பின் பாதியில், மூத்த இளவரசியிடம் நடந்தார். மங்கலான அறையில் இருந்தவர்கள் ஒருவரோடொருவர் சீரற்ற கிசுகிசுக்களில் பேசிக்கொண்டு ஒவ்வொரு முறையும் மௌனமாகி, கேள்வியும் எதிர்பார்ப்பும் நிறைந்த கண்களுடன், இறக்கும் மனிதனின் அறைக்குச் செல்லும் கதவைத் திரும்பிப் பார்த்தார்கள், யாரோ வெளியே வந்ததும் மெல்லிய சத்தம் எழுப்பினர். அதன் அல்லது அதில் நுழைந்தது. "மனித வரம்பு," ஒரு மதகுரு, தனக்கு அருகில் அமர்ந்து அப்பாவியாகக் கேட்ட பெண்ணிடம், "வரம்பு நிர்ணயிக்கப்பட்டுள்ளது, அதை நீங்கள் கடக்க முடியாது" என்று கூறினார். "செயல்படுத்துவதற்கு மிகவும் தாமதமாகிவிட்டதா என்று நான் யோசிக்கிறேன்?" - ஆன்மீகத் தலைப்பைச் சேர்த்து, அந்தப் பெண்மணி, இந்த விஷயத்தில் தனக்குச் சொந்தக் கருத்து இல்லை என்பது போல் கேட்டார்.

பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் வட்ட பலகோணங்கள்,

§ 106. பொறிக்கப்பட்ட மற்றும் விவரிக்கப்பட்ட குவாட்ரியாகோன்களின் பண்புகள்.

தேற்றம் 1. ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தின் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°.

ஒரு நாற்கர ABCD ஐ மைய O உடன் ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்க வேண்டும் (படம் 412). என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம் / A+ / C = 180° மற்றும் / பி + / D = 180°.

/ A, O வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளபடி, 1/2 BCD ஐ அளவிடும்.
/ C, அதே வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளபடி, 1/2 BAD ஐ அளவிடுகிறது.

இதன் விளைவாக, A மற்றும் C கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை BCD மற்றும் BAD ஆகியவற்றின் அரைத் தொகையால் அளவிடப்படுகிறது, இந்த வளைவுகள் ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குகின்றன, அதாவது அவை 360°.
இங்கிருந்து / A+ / C = 360°: 2 = 180°.

அதுபோலவே அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது / பி + / D = 180°. இருப்பினும், இதை வேறு வழியில் கழிக்க முடியும். ஒரு குவிந்த நாற்கரத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 360° என்பதை நாம் அறிவோம். A மற்றும் C கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°க்கு சமம், அதாவது நாற்கரத்தின் மற்ற இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆக இருக்கும்.

தேற்றம் 2(தலைகீழ்). ஒரு நாற்கரத்தில் இருந்தால் இரண்டு எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும் 180° , அப்படியான ஒரு நாற்கரத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கலாம்.

நாற்கர ABCDயின் எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°க்கு சமமாக இருக்கட்டும், அதாவது
/ A+ / C = 180° மற்றும் / பி + / D = 180° (வரைதல் 412).

அத்தகைய நாற்கரத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும் என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஆதாரம். இந்த நாற்கரத்தின் ஏதேனும் 3 செங்குத்துகள் மூலம் நீங்கள் ஒரு வட்டத்தை வரையலாம், உதாரணமாக A, B மற்றும் C புள்ளிகள் மூலம் D புள்ளி எங்கே இருக்கும்?

புள்ளி D ஆனது பின்வரும் மூன்று நிலைகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்க முடியும்: வட்டத்தின் உள்ளே இருக்கவும், வட்டத்திற்கு வெளியே இருக்கவும், வட்டத்தின் சுற்றளவில் இருக்கவும்.

உச்சி வட்டத்தின் உள்ளே உள்ளது மற்றும் D நிலையை எடுக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம்" (படம். 413) பின்னர் நாற்கர ABCD" இல் நாம் இருப்போம்:

/ பி + / டி" = 2 ஈ.

E புள்ளியில் உள்ள வட்டத்துடன் குறுக்குவெட்டு வரை AD"ஐத் தொடர்வது மற்றும் E மற்றும் C புள்ளிகளை இணைக்கும்போது, ​​நாம் சுழற்சி நாற்கரமான ABCE ஐப் பெறுகிறோம், இதில் நேரடி தேற்றம் மூலம்

/ பி+ / E = 2 ஈ.

இந்த இரண்டு சமத்துவங்களிலிருந்து இது பின்வருமாறு:

/ டி" = 2 ஈ - / பி;
/ E=2 ஈ - / பி;

/ டி" = / இ,

ஆனால் இது இருக்க முடியாது, ஏனெனில் / D", CD"E முக்கோணத்திற்கு வெளிப்புறமாக இருப்பது, E கோணத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, D புள்ளி வட்டத்திற்குள் இருக்க முடியாது.

வட்டத்திற்கு வெளியே உச்சி D" நிலையை எடுக்க முடியாது என்பதும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது (படம் 414).

உச்சி D என்பது வட்டத்தின் சுற்றளவில் இருக்க வேண்டும், அதாவது E புள்ளியுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும், அதாவது நாற்கர ABCDயைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடியும்.

விளைவுகள். 1. எந்த செவ்வகத்தையும் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கலாம்.

2. ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கலாம்.

இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், எதிர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

தேற்றம் 3.சுற்றப்பட்ட நாற்கரத்தில், எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும். நாற்கர ABCD ஒரு வட்டத்தைப் பற்றி விவரிக்கப்படட்டும் (படம். 415), அதாவது, அதன் பக்கங்கள் AB, BC, CD மற்றும் DA ஆகியவை இந்த வட்டத்திற்கு தொடுவானவை.

AB + CD = AD + BC என்பதை நிரூபிக்க வேண்டும். M, N, K, P என்ற எழுத்துக்களால் தொடுநிலை புள்ளிகளைக் குறிப்போம். ஒரு புள்ளியிலிருந்து (§ 75) ஒரு வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோடுகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில், நம்மிடம் உள்ளது:

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

இந்த சமத்துவங்களை காலத்தின் அடிப்படையில் சேர்ப்போம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,

அதாவது AB + CD = AD + BC, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டியது.

பயிற்சிகள்.

1. ஒரு சுழற்சி நாற்கரத்தில், இரண்டு எதிர் கோணங்கள் 3:5 என்ற விகிதத்தில் இருக்கும்.
மற்ற இரண்டும் 4:5 என்ற விகிதத்தில் இந்த கோணங்களின் அளவைத் தீர்மானிக்கவும்.

2. விவரிக்கப்பட்ட நாற்கரத்தில், இரண்டு எதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 45 செ.மீ. மீதமுள்ள இரண்டு பக்கங்களும் 0.2: 0.3 என்ற விகிதத்தில் உள்ளன. இந்த பக்கங்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.