ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

உண்மை 1. ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டின் தலைகீழ் செயல், அதாவது, இந்தச் செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தல். செயல்பாடு இவ்வாறு மீட்டெடுக்கப்பட்டது எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகைசெயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்).

வரையறை 1. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் என்றால் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியில் இருந்து சமத்துவம் உள்ளது எஃப் "(எக்ஸ்)=f(எக்ஸ்), அதாவது, இந்த செயல்பாடு f(எக்ஸ்) என்பது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும் எஃப்(எக்ஸ்). .

உதாரணமாக, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒரு எதிர்ப்பொருள் ஆகும் f(எக்ஸ்) = cos எக்ஸ் முழு எண் வரியிலும், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் (பாவம் எக்ஸ்)" = (காஸ் எக்ஸ்) .

வரையறை 2. ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) என்பது அதன் அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும். இந்த வழக்கில், குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது

∫

f(எக்ஸ்)dx

,

அடையாளம் எங்கே ∫ ஒருங்கிணைந்த அடையாளம், செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) - ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு, மற்றும் f(எக்ஸ்)dx - ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு.

இவ்வாறு, என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) – இதற்கு சில எதிர்ப்பு f(எக்ஸ்) , அந்த

∫

f(எக்ஸ்)dx = எஃப்(எக்ஸ்) +சி

எங்கே சி - தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான).

ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பாகப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் ஒப்புமை பொருத்தமானது. ஒரு கதவு இருக்கட்டும் (பாரம்பரிய மர கதவு). அதன் செயல்பாடு "ஒரு கதவு" ஆகும். கதவு எதனால் ஆனது? மரத்தால் ஆனது. இதன் பொருள் என்னவென்றால், "ஒரு கதவு" என்ற செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு, அதாவது அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, "ஒரு மரம் + சி" ஆகும், அங்கு C என்பது ஒரு நிலையானது, இது இந்த சூழலில் முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, மரத்தின் வகையைக் குறிக்கவும். சில கருவிகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு கதவு மரத்தில் இருந்து உருவாக்கப்படுவது போல, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டிலிருந்து "உருவாக்கப்படுகிறது" வழித்தோன்றலைப் படிக்கும்போது நாம் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரங்கள் .

பின்னர் பொதுவான பொருட்களின் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் ("கதவாக இருக்க" - "ஒரு மரமாக", "ஒரு கரண்டியாக இருக்க" - "உலோகமாக" போன்றவை) அடிப்படை அட்டவணைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், அவை கீழே கொடுக்கப்படும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை பொதுவான செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்களின் ஒரு பகுதியாக, அதிக முயற்சி இல்லாமல் நேரடியாக ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய ஒருங்கிணைப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துகிறது. மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில், ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும், இதனால் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம்.

உண்மை 2. ஆண்டிடெரிவேடிவ் என ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டெடுக்கும் போது, ​​ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியை (நிலையான) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். சி, மற்றும் 1 முதல் முடிவிலி வரையிலான பல்வேறு மாறிலிகள் கொண்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் பட்டியலை எழுதாமல் இருக்க, நீங்கள் தன்னிச்சையான மாறிலியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை எழுத வேண்டும். சி, எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்றது: 5 எக்ஸ்³+C. எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையானது) ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் ஆன்டிடெரிவேடிவ் ஒரு செயல்பாடாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 5 எக்ஸ்³+4 அல்லது 5 எக்ஸ்³+3 மற்றும் வேறுபடுத்தப்பட்டால், 4 அல்லது 3 அல்லது வேறு ஏதேனும் மாறிலி பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்லும்.

ஒருங்கிணைப்பு சிக்கலை முன்வைப்போம்: இந்த செயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்) அத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்), யாருடைய வழித்தோன்றல்சமமாக f(எக்ஸ்).

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது செயல்பாடாகும்

செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்), வழித்தோன்றல் என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்), அல்லது, இது ஒரே விஷயம், வேறுபாடு எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்) dx, அதாவது

(2)

எனவே, சார்பு என்பது செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலாகும். இருப்பினும், இது மட்டும் ஆண்டிடெரிவேடிவ் அல்ல. அவை செயல்பாடுகளாகவும் செயல்படுகின்றன

எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி. இதை வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் இருந்தால், அதற்கு ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபடும் எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் மேலே உள்ள வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பின்வரும் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு.

தேற்றம் (உண்மை 2 இன் முறையான அறிக்கை).என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) - செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், பிறகு வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் f(எக்ஸ்) அதே இடைவெளியில் படிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே உடன்- தன்னிச்சையான மாறிலி.

அடுத்த எடுத்துக்காட்டில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்குப் பிறகு, பத்தி 3 இல் கொடுக்கப்படும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைக்குத் திரும்புவோம். மேலே உள்ளவற்றின் சாராம்சம் தெளிவாக இருக்கும் வகையில் முழு அட்டவணையையும் படிப்பதற்கு முன் இதைச் செய்கிறோம். அட்டவணை மற்றும் பண்புகளுக்குப் பிறகு, ஒருங்கிணைப்பின் போது அவற்றை முழுமையாகப் பயன்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2.ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடும்போது, ​​​​தற்போதைக்கு அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை இன்னும் கொஞ்சம் படிப்போம்.

1) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தை (7) பயன்படுத்துதல் n= 3, நாம் பெறுகிறோம்

2) ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்துதல் n= 1/3, எங்களிடம் உள்ளது

3) முதல்

பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (7) உடன் n= -1/4 நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

இது ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் எழுதப்பட்ட செயல்பாடு அல்ல. f, மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் அதன் தயாரிப்பு dx. இது முதன்மையாக எந்த மாறி மூலம் ஆன்டிடெரிவேடிவ் தேடப்படுகிறது என்பதைக் குறிப்பிடுவதற்காக செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு,

, ;

இங்கே இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும், ஆனால் கருதப்படும் நிகழ்வுகளில் அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் வேறுபட்டதாக மாறிவிடும். முதல் வழக்கில், இந்த செயல்பாடு மாறியின் செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது - ஒரு செயல்பாடாக z .

ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் செயல்முறை அந்த செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்

நாம் ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம் y=F(x)மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம் f(x)இந்த புள்ளியின் abscissa.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் அர்த்தத்தின்படி, வளைவின் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு y=F(x)வழித்தோன்றலின் மதிப்புக்கு சமம் F"(x). எனவே அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் F(x), எதற்காக F"(x)=f(x). பணியில் தேவையான செயல்பாடு F(x)என்பதன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(x). பிரச்சனையின் நிலைமைகள் ஒரு வளைவால் அல்ல, ஆனால் வளைவுகளின் குடும்பத்தால் திருப்திப்படுத்தப்படுகின்றன. y=F(x)- அத்தகைய வளைவுகளில் ஒன்று, மற்றும் வேறு எந்த வளைவையும் அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மூலம் பெறலாம் ஓ.

இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை அழைப்போம் f(x)ஒருங்கிணைந்த வளைவு. என்றால் F"(x)=f(x), பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=F(x)ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு உள்ளது.

உண்மை 3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்தால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது , கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல. ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வளைவின் தூரமும் தன்னிச்சையான ஒருங்கிணைப்பு மாறிலியால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது சி.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்

உண்மை 4. தேற்றம் 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம், அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம்.

உண்மை 5. தேற்றம் 2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு சமம் f(எக்ஸ்) ஒரு நிலையான காலம் வரை , அதாவது

(3)

1 மற்றும் 2 கோட்பாடுகள் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகின்றன.

உண்மை 6. தேற்றம் 3. ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் , அதாவது

பாடம் 2. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை ஒருங்கிணைப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதன் வடிவியல் பொருள்.

நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம். திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாட்டை அறிந்தால், நீங்கள் செயல்பாட்டைக் கண்டறியலாம் (செயல்பாட்டை மீட்டமைக்கவும்). இந்த செயல், வேறுபாட்டின் தலைகீழ், ஒருங்கிணைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு தொடர்பாக பின்வரும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது
, இதன் வழித்தோன்றல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு சமம், அதாவது.

இந்த செயல்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஏனெனில் செயல்பாடுகளில் ஏதேனும்
.

கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பு அதன் எனப்படும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது:

, எங்கே

ஒருங்கிணைப்பு, செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
- ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.வடிவியல் ரீதியாக, காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை இணையாக மாற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு விமானத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பமாகும்.
ஆர்டினேட் அச்சில் (படம் 3).

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

பண்பு 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

சொத்து 2. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

பண்பு 3. ஒரு செயல்பாட்டின் வேற்றுமையின் ஒருங்கிணைப்பானது, இந்தச் சார்பு மற்றும் கான்ஸ்ட்க்கு சமம்:

சொத்து 4. ஒருங்கிணைப்பின் நேர்கோட்டுத்தன்மை.

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

	ஒருங்கிணைந்த
சக்தி
குறிக்கும்
முக்கோணவியல்
தலைகீழ் முக்கோணவியல்

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறைசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கிய ஒரு முறையாகும்:

.

ஒருங்கிணைந்ததாக இருந்தால் இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது
விட தீர்க்க எளிதானது
. ஒரு விதியாக, இந்த முறை படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்புகளை தீர்க்கிறது
, எங்கே
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை, மற்றும் பின்வரும் செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும்:
,
,
, , ,
,
.

சில செயல்பாடுகளை கருத்தில் கொள்வோம்
, இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது
, அரிசி. 4. 5 செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்.

1. புள்ளிகளுடன் இடைவெளியை தன்னிச்சையான முறையில் பிரிப்போம் பாகங்கள். குறிப்போம்
, மற்றும் இந்த பகுதி பிரிவுகளின் நீளங்களில் மிகப்பெரியது குறிக்கப்படும் , நசுக்கும் ரேங்க் என்று சொல்வோம்.

2. ஒவ்வொரு பகுதி சதியிலும்
ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம் மற்றும் அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்
.

3. ஒரு படைப்பை உருவாக்குவோம்

4. ஒரு தொகையை உருவாக்குவோம்
. இந்தத் தொகை ஒருங்கிணைந்த கூட்டுத்தொகை அல்லது ரீமான் தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

5. நசுக்குவதைக் குறைப்பதன் மூலம் (நசுக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம்) மற்றும் அதே நேரத்தில் நசுக்கும் தரத்தை பூஜ்ஜியத்திற்கு வழிநடத்துகிறது (
) அதாவது (நசுக்கும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம், அனைத்து பகுதி பிரிவுகளின் நீளமும் குறைந்து பூஜ்ஜியமாக இருப்பதை உறுதிசெய்கிறோம்.
), ஒருங்கிணைந்த தொகைகளின் வரிசையின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்

இந்த வரம்பு இருந்தால் மற்றும் பிரிவு மற்றும் புள்ளிகளின் தேர்வு முறை சார்ந்து இல்லை என்றால், அது அழைக்கப்படுகிறது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்தஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டிலிருந்து பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், இடைவெளியில் நேர்மறையாகவும் இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். வளைந்த ட்ரெப்சாய்டைக் கருதுங்கள் ஏ பி சி டி(படம் 4). ஒட்டுமொத்த தொகை
தளங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையை நமக்குத் தருகிறது
மற்றும் உயரங்கள்
. இது ஒரு வளைந்த ட்ரெப்சாய்டின் பரப்பளவின் தோராயமான மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம் ஏ பி சி டி , அதாவது

,

மேலும், இந்த சமத்துவம் மிகவும் துல்லியமாகவும், நுணுக்கமாக நசுக்கும் மற்றும் வரம்பில் இருக்கும் n→+∞ மற்றும் λ → 0 நாம் பெறுவோம்:

.

இது திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்.

திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள்

சொத்து 1. சம வரம்புகள் கொண்ட ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

சொத்து 2. ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் மாற்றப்படும் போது, ​​திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைந்த மாற்றங்கள் எதிரெதிர் ஒன்றுக்கு அடையாளம்.

சொத்து 3. ஒருங்கிணைப்பின் நேர்கோட்டுத்தன்மை.

சொத்து 4. எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும், செயல்பாடு என்றால்
ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது
,
,
(படம் 5), பின்னர்:

தேற்றம்.ஒரு சார்பு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக இருந்தால், இடைவெளியில் இந்தச் செயல்பாட்டின் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பானது, ஒருங்கிணைப்பின் மேல் மற்றும் கீழ் வரம்புகளில் உள்ள இந்தச் செயல்பாட்டின் எந்தவொரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாட்டிற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது.

(நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரம்) .

இந்த சூத்திரம் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிவதைக் குறைக்கிறது. வேறுபாடு
ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது
.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான முக்கிய வழிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: மாறிகளின் மாற்றம் (மாற்று) மற்றும் பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு.

ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் மாற்று (மாறி மாற்றம்) -நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும்:

மற்றும்
;

கருத்து.மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை மதிப்பிடும்போது, ​​அசல் வாதத்திற்குத் திரும்ப வேண்டிய அவசியமில்லை.

2. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்புசூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு கீழே வருகிறது:

.

சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

உடற்பயிற்சி 1.நேரடி ஒருங்கிணைப்பு மூலம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

1.
. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருங்கிணைந்த குறியீட்டிலிருந்து நிலையான காரணியை எடுக்கிறோம். பின்னர், அடிப்படை கணித மாற்றங்களைச் செய்து, ஒருங்கிணைந்த செயல்பாட்டை சக்தி வடிவத்திற்கு குறைக்கிறோம்:

.

பணி 2.மாறி முறையின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

1.
. மாறி மாறி மாற்றுவோம்
, பிறகு . அசல் ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் எடுக்கும்:

எனவே, ஒரு அட்டவணை வடிவத்தின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைப் பெற்றுள்ளோம்: ஒரு சக்தி செயல்பாடு. சக்தி செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி, நாம் காண்கிறோம்:

தலைகீழ் மாற்றீடு செய்த பிறகு, இறுதி பதிலைப் பெறுகிறோம்:

பணி 3.பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைக்கும் முறையைப் பயன்படுத்தி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்.

1.
. பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: பொருள் ... அடிப்படைகருத்து ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்- கருத்து நிச்சயமற்ற ஒருங்கிணைந்த ... நிச்சயமற்ற ஒருங்கிணைந்த அடிப்படை பண்புகள் நிச்சயமற்ற ஒருங்கிணைந்தஅட்டவணையைப் பயன்படுத்தவும் முக்கிய நிச்சயமற்ற ...

கல்வித் துறை "உயர் கணிதம்" சுழற்சியின் வேலைத் திட்டம்

வேலை நிரல்

... அடிப்படைசட்டங்கள்... ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்ஒரு மாறி ஆன்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகள். நிச்சயமற்றது ஒருங்கிணைந்தமற்றும் அவரது பண்புகள் ... ஒருங்கிணைந்தமற்றும் அவரது வடிவியல் பொருள். ஒருங்கிணைந்த... ஒருங்கிணைப்புகள். நிச்சயமற்றது ஒருங்கிணைந்தமற்றும் ... மற்றும் நடைமுறை வகுப்புகள்". பெட்ருஷ்கோ ஐ.எம்., ...

அதன் வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாட்டிலிருந்து மீட்டெடுக்கக்கூடிய ஒரு செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகை.

வரையறை.செயல்பாடு F(x)அழைக்கப்பட்டது எதிர் வழிவகைசெயல்பாட்டிற்கு

f(x)சில இடைவெளியில், இந்த இடைவெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இருந்தால்

F"(x) = f(x)

அல்லது, அதுவும்,

dF(x) = f(x)dx

உதாரணத்திற்கு, F(x) = sin xஎன்பதற்கான ஒரு எதிர்ப்பொருள் ஆகும் f(x) = cos xமுழு எண் வரிசையில் ஓஎக்ஸ், ஏனெனில்

(sin x)" = cos x

செயல்பாடு என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் உள்ளது f(எக்ஸ்) அன்று [ அ; பி], பின்னர் செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே சிஎந்த ஒரு உண்மையான எண்ணும் எதிர் வழித்தோன்றலாகும் f(எக்ஸ்) எந்த மதிப்பிலும் சி. உண்மையில் ( எஃப்(எக்ஸ்) + சி)" = எஃப்"(எக்ஸ்) + சி" = f(எக்ஸ்).

உதாரணமாக.

வரையறை.என்றால் F(x)செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்று f(x)அன்று [ அ; பி], பின்னர் வெளிப்பாடு F(x) + C, எங்கே சிஎனப்படும் தன்னிச்சையான மாறிலி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாட்டில் இருந்து f(x)மற்றும் ʃ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்)dx(படிக்க: indefinite integral of f(x)அன்று dx) அதனால்,

ʃ f (எக்ஸ் ) dx = F (எக்ஸ் ) +சி ,

எங்கே f(x)ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, f(x)dx- ஒருங்கிணைந்த வெளிப்பாடு, எக்ஸ்ஒருங்கிணைப்பின் மாறி, மற்றும் ʃ என்பது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளம்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள் மற்றும் அதன் வடிவியல் பண்புகள்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு:

1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

உண்மையில், F"(எக்ஸ்) = f(எக்ஸ்) மற்றும் ʃ f(எக்ஸ்)dx = F(எக்ஸ்)+சி. பிறகு

2. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்

உண்மையில்,

3. வழித்தோன்றலின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது செயல்பாட்டிற்குச் சமம் மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலி:

உண்மையில், F"(எக்ஸ்) = f(எக்ஸ்) பிறகு,

4. வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு மற்றும் தன்னிச்சையான மாறிலிக்கு சமம்:

உண்மையில், . பிறகு,

5. நிலையான பெருக்கி கே(கே≠ 0) காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்:

6. ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, இந்தச் சார்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

வரைபடத்தை ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்று அழைப்போம் ஒருங்கிணைந்த வளைவின் F(x).. வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவின் வரைபடம் F(x) + Cஒருங்கிணைந்த வளைவின் இணையான பரிமாற்றத்தால் பெறப்பட்டது F(x)அச்சில் OY.

உதாரணமாக.

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு நுட்பங்கள்

1. நேரடி (அட்டவணை) ஒருங்கிணைப்பு.

நேரடி (அட்டவணை) ஒருங்கிணைப்பு என்பது தொடக்கக் கணிதத்தின் அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அட்டவணை வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பைக் குறைப்பதாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

உதாரணமாக3 .

தீர்வு:

2. வேறுபாட்டின் கீழ் கொண்டு வரும் முறை.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

உதாரணமாக3 .

தீர்வு:

உதாரணமாக4 .

தீர்வு:

உதாரணமாக5 .

தீர்வு:

உதாரணமாக6 .

தீர்வு:

உதாரணமாக7 .

தீர்வு:

உதாரணமாக8 .

தீர்வு:

உதாரணமாக9 .

தீர்வு:

உதாரணமாக10 .

தீர்வு:

3. வேறுபாட்டுடன் இணைக்கும் இரண்டாவது முறை.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

4. மாறி மாற்று (மாற்று) முறை.

உதாரணமாக.

தீர்வு:

5. பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறை.

இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் வகையான ஒருங்கிணைப்புகள் எடுக்கப்படுகின்றன:

1 வகை

, சூத்திரம் பொருந்தும் n- ஒருமுறை, மீதமுள்ளவை dv.

2 வகை.

, சூத்திரம் ஒரு முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

உதாரணமாக1 .

தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2.

தீர்வு:

உதாரணமாக3 .

தீர்வு:

உதாரணமாக4 .

தீர்வு:

பகுத்தறிவு பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு.

பகுத்தறிவு பின்னம் என்பது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதமாகும் - டிகிரி மீ மற்றும் - டிகிரி n,

பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1. என்றால், முழு பகுதியையும் அகற்ற, கோணப் பிரிவு முறையைப் பயன்படுத்தவும்.

2. வகுப்பில் ஒரு சதுர முக்கோணமும் இருந்தால், சரியான சதுரத்துடன் சேர்க்கும் முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.

தீர்வு:

உதாரணமாக2 .

தீர்வு:

3. ஒரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னத்தை எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கும் போது காலவரையற்ற குணகங்களின் முறை.

எந்தவொரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னமும், அங்கு, எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்:

எங்கே A, B, C, D, E, F, M, N,...‒ நிச்சயமற்ற குணகங்கள்.

தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கண்டறிய, வலது புறம் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும். வகுத்தல் வலது புறத்தில் உள்ள பின்னத்தின் வகுப்பினருடன் ஒத்துப்போவதால், அவற்றை நிராகரிக்கலாம் மற்றும் எண்களை சமப்படுத்தலாம். பின்னர், அதே டிகிரிகளில் குணகங்களை சமன் செய்தல் எக்ஸ் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில், நாம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம் n- தெரியவில்லை. இந்த அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, தேவையான குணகங்களைக் காண்கிறோம் ஏ, பி, சி, டிமற்றும் பல. எனவே, சரியான பகுத்தறிவுப் பகுதியை எளிய பின்னங்களாக சிதைப்போம்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி சாத்தியமான விருப்பங்களைப் பார்ப்போம்:

1. வகுத்தல் காரணிகள் நேரியல் மற்றும் வேறுபட்டதாக இருந்தால்:

2. வகுத்தல் காரணிகளில் குறுகிய காரணிகள் இருந்தால்:

3. வகுப்பின் காரணிகளில் ஒரு சதுர முக்கோணம் இருந்தால் அதை காரணியாக்க முடியாது:

எடுத்துக்காட்டுகள்:ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தை எளிமையானவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக சிதைக்கவும். ஒருங்கிணைக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

பின்னங்களின் பிரிவுகள் சமமாக இருப்பதால், எண்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 2.

உதாரணமாக3 .

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் கருத்து.வேறுபாடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு அதன் வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாடு கண்டறியப்படும் செயலாகும். எடுத்துக்காட்டாக, F(x) = x 10 என்றால், F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

ஒருங்கிணைப்பு -இது வேறுபாட்டிற்கு எதிரானது. ஒரு செயல்பாட்டின் கொடுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல் அல்லது வேறுபாட்டின் மீது ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாடு தானே காணப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, F" (x) = 7x 6 என்றால், F (x) == x 7, (x 7)" = 7x 6.

வேறுபட்ட செயல்பாடு F(x), xЄ]a; b[ என அழைக்கப்படுகிறது எதிர் வழிவகைஇடைவேளையில் f (x) செயல்பாட்டிற்கு ]a; b[, என்றால் F" (x) = f (x) ஒவ்வொரு xЄ]a; b[.

எனவே, f(x) = 1/cos 3 x செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது F(x)= tan x சார்பு ஆகும், ஏனெனில் (tg x)"= 1/cos 2 x.

அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு f(x) இடைவெளியில் ]а; b[ என அழைக்கப்படுகிறது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புஇந்த இடைவெளியில் f(x) செயல்பாட்டிலிருந்து f (x)dx = F(x) + C என்று எழுதவும். இங்கே f(x)dx என்பது ஒருங்கிணைப்பு;

F(x)-ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு; ஒருங்கிணைப்பின் x-மாறி: C என்பது தன்னிச்சையான மாறிலி.

எடுத்துக்காட்டாக, 5x 4 dx = x 5 + C, (x 3 + C)" = 5x 4.

கொடுப்போம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை பண்புகள். 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்கு சமம்:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது, தன்னிச்சையான மாறிலியில் சேர்க்கப்பட்ட இந்தச் சார்புக்கு சமம், அதாவது.

3. நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

af(x)dx = a f(x)dx

4. சார்புகளின் இயற்கணிதத் தொகையின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது ஒவ்வொரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்கள்

(அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்).

6.

எடுத்துக்காட்டு 1.கண்டுபிடி

தீர்வு. மாற்றீடு 2 - 3x 2 = t பிறகு -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. அடுத்து, நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.கண்டுபிடி

தீர்வு. 10x = t போடுவோம்; பின்னர் 10dx = dt, எங்கிருந்து dx=(1/10)dt.

3.

எனவே, sinl0xdxஐக் கண்டறியும் போது, ​​நீங்கள் sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, k=10 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

பின்னர் sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

சுய பரிசோதனை கேள்விகள் மற்றும் பயிற்சிகள்

1. ஒருங்கிணைப்பு எனப்படும் செயல் என்ன?

2. f(x) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் எனப்படும் செயல்பாடு என்ன?

3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை வரையறுக்கவும்.

4. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுங்கள்.

5. ஒருங்கிணைப்பை எவ்வாறு சரிபார்க்கலாம்?

6. அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்களை (அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள்) எழுதவும்.

7. ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்: a) b) c)

இதில் a என்பது கீழ் வரம்பு, b என்பது மேல் வரம்பு, F (x) என்பது f (x) செயல்பாட்டின் சில எதிர்விளைவு ஆகும்.

இந்த சூத்திரத்திலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்முறையை ஒருவர் பார்க்கலாம்: 1) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் எஃப் (x) ஆண்டிடெரிவேடிவ்களில் ஒன்றைக் கண்டறியவும்; 2) x = a மற்றும் x = b க்கான F (x) இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்; 3) F (b) - F (a) வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு

தீர்வு. பின்னம் மற்றும் எதிர்மறை அடுக்குடன் ஒரு சக்தியின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

2. ஒருங்கிணைப்புப் பகுதியைப் பகுதிகளாகப் பிரிக்கலாம்:

3. நிலையான காரணியை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

4. செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை அனைத்து சொற்களின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

2) t மாறிக்கான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைத் தீர்மானிப்போம். x=1க்கு tn =1 3 +2=3, x=2க்கு tb =2 3 +2=10 கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.ஒருங்கிணைந்த கணக்கீடு

தீர்வு. 1) cos x=t போடவும்; பின்னர் – sinxdx =dt மற்றும்

sinxdx = -dt. 2) t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0 என்ற மாறிக்கான ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகளைத் தீர்மானிப்போம்.

3) t மற்றும் dt ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைப்பை வெளிப்படுத்தி புதிய வரம்புகளுக்கு நகர்த்தும்போது, ​​நாங்கள் பெறுகிறோம்

ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பையும் தனித்தனியாக கணக்கிடுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 5.பரவளைய y = x 2, நேர் கோடுகள் x = - 1, x = 2 மற்றும் அப்சிஸ்ஸா அச்சு (படம் 47) ஆகியவற்றால் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட உருவத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் (1), நாங்கள் பெறுகிறோம்

அந்த. S=3 சதுர. அலகுகள்

ABCD உருவத்தின் பரப்பளவு (படம் 48), தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது y = f 1 (x) மற்றும் y f 2 = (x), இதில் x Є[a, b], வரி பிரிவுகள் x = a மற்றும் x = b, சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது

		ஒரு வளைவு ட்ரெப்சாய்டு aAB இன் Oy அச்சைச் சுற்றி சுழற்சியால் உருவான உடலின் அளவு, தொடர்ச்சியான வளைவு x=f(y), இங்கு Oy அச்சின் y Є [a, b], பிரிவு [a, b], வரி பிரிவுகள் y = a மற்றும் y = b (படம் 53), சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது ஒரு புள்ளியால் எடுக்கப்பட்ட பாதை. ஒரு புள்ளி நேர்கோட்டில் நகரும் மற்றும் அதன் வேகம் v=f(t) நேரம் t இன் அறியப்பட்ட செயல்பாடாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் புள்ளியால் பயணிக்கும் பாதை சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது. சுய பரிசோதனை கேள்விகள் 1. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வரையறையை கொடுங்கள். 2. திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் முக்கிய பண்புகளை பட்டியலிடுங்கள். 3. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள் என்ன? 4. ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமான உருவத்தின் பகுதியை தீர்மானிக்க சூத்திரங்களை எழுதுங்கள். 5. ஒரு புரட்சியின் அளவைக் கண்டறிய என்ன சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன? 6. உடல் பயணிக்கும் தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள். 7. மாறி விசையால் செய்யப்படும் வேலையைக் கணக்கிட ஒரு சூத்திரத்தை எழுதவும். 8. ஒரு தட்டில் திரவ அழுத்தத்தின் சக்தியைக் கணக்கிட என்ன சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ்.

ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு.

வரையறை: F(x) செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுஇந்த பிரிவின் எந்தப் புள்ளியிலும் சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால், பிரிவில் f(x) செயல்பாடு:

ஒரே செயல்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற பல ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் இருக்கலாம் என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அவை சில நிலையான எண்களால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடும்.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு.

வரையறை: காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புசெயல்பாடு f(x) என்பது தொடர்பினால் வரையறுக்கப்படும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பாகும்:

எழுது:

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு இருப்பதற்கான நிபந்தனை இந்த பிரிவில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியாகும்.

பண்புகள்:

1.

2.

3.

4.

உதாரணமாக:

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பைக் கண்டறிவது முக்கியமாக செயல்பாட்டின் எதிர்வழியைக் கண்டறிவதோடு தொடர்புடையது. சில செயல்பாடுகளுக்கு இது மிகவும் கடினமான பணியாகும். பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற, முக்கோணவியல், அதிவேக, முதலியன முக்கிய வகை செயல்பாடுகளுக்கான காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளை கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகளை கீழே கருத்தில் கொள்வோம்.

வசதிக்காக, பெரும்பாலான அடிப்படை செயல்பாடுகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் மதிப்புகள் சிறப்பு ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணைகளில் சேகரிக்கப்படுகின்றன, அவை சில நேரங்களில் மிகவும் பெரியவை. அவற்றில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பல்வேறு செயல்பாடுகளின் சேர்க்கைகள் அடங்கும். ஆனால் இந்த அட்டவணையில் வழங்கப்பட்ட பெரும்பாலான சூத்திரங்கள் ஒருவருக்கொருவர் விளைவுகளாகும், எனவே கீழே நாங்கள் அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை வழங்குகிறோம், இதன் உதவியுடன் நீங்கள் பல்வேறு செயல்பாடுகளின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் மதிப்புகளைப் பெறலாம்.

ஒருங்கிணைந்த		பொருள்	ஒருங்கிணைந்த		பொருள்
		lnsinx+ சி
		ln

ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்.

மூன்று முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நேரடி ஒருங்கிணைப்பு.

நேரடி ஒருங்கிணைப்பு முறையானது, இந்த மதிப்பை வேறுபாட்டின் மூலம் மேலும் சரிபார்ப்பதன் மூலம், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் செயல்பாட்டின் சாத்தியமான மதிப்பின் அனுமானத்தின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது. பொதுவாக, ஒருங்கிணைப்பின் முடிவுகளைச் சரிபார்க்க, வேறுபாடு ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவியாகும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையின் பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் . நன்கு அறியப்பட்ட வேறுபாடு சூத்திரத்தின் அடிப்படையில்
தேடப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு சமம் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்
, C என்பது சில நிலையான எண். இருப்பினும், மறுபுறம்
. இவ்வாறு, நாம் இறுதியாக முடிவுக்கு வரலாம்:

வேறுபாட்டிற்கு மாறாக, வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய தெளிவான நுட்பங்கள் மற்றும் முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன, வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான விதிகள் மற்றும் இறுதியாக வழித்தோன்றலின் வரையறை, அத்தகைய முறைகள் ஒருங்கிணைப்புக்கு கிடைக்கவில்லை. வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்கும்போது, ​​​​சில விதிகளின் அடிப்படையில், முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்த ஆக்கபூர்வமான முறைகளைப் பயன்படுத்தினோம் என்றால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியும் போது, ​​நாம் முக்கியமாக வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணைகளின் அறிவை நம்பியிருக்க வேண்டும்.

நேரடி ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பொறுத்தவரை, இது சில மிகக் குறைந்த வகை செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். மிகக் குறைவான செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதற்காக நீங்கள் உடனடியாக ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிக்க முடியும். எனவே, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மாற்று முறை (மாறிகளை மாற்றுதல்).

தேற்றம்: நீங்கள் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால்
, ஆனால் ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிக்க கடினமாக உள்ளது, பின்னர் மாற்று x = (t) மற்றும் dx = (t)dt ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தினால் நாம் பெறுவோம்:

ஆதாரம் : முன்மொழியப்பட்ட சமத்துவத்தை வேறுபடுத்துவோம்:

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் சொத்து எண். 2 இன் படி:

f(எக்ஸ்) dx = f[  (டி)]  (டி) dt

அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது ஆரம்ப அனுமானமாகும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணமாக.காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்
.

ஒரு மாற்று செய்வோம் டி = sinx, dt = cosxdt.

உதாரணமாக.

மாற்று
நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பல்வேறு வகையான செயல்பாடுகளுக்கு மாற்று முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான பிற எடுத்துக்காட்டுகளை கீழே கருத்தில் கொள்வோம்.

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு.

இந்த முறை ஒரு தயாரிப்பின் வழித்தோன்றலுக்கான நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது:

(uv) = uv + vu

u மற்றும் v ஆகியவை x இன் சில செயல்பாடுகள்.

வேறுபட்ட வடிவத்தில்: d(uv) = udv + vdu

ஒருங்கிணைத்தல், நாங்கள் பெறுகிறோம்:
, மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் மேலே உள்ள பண்புகளுக்கு ஏற்ப:

அல்லது
;

பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம், இது பல அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

உதாரணமாக.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பாகங்கள் சூத்திரம் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு சீரான பயன்பாடு நீங்கள் படிப்படியாக செயல்பாட்டை எளிதாக்க மற்றும் ஒரு அட்டவணை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு கொண்டு அனுமதிக்கிறது.

உதாரணமாக.

பாகங்கள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன் விளைவாக, செயல்பாட்டை அட்டவணை வடிவத்திற்கு எளிமைப்படுத்த முடியவில்லை என்பதைக் காணலாம். இருப்பினும், கடைசியாக பெறப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அசல் ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டதல்ல. எனவே, நாம் அதை சமத்துவத்தின் இடது பக்கமாக நகர்த்துகிறோம்.

இதனால், ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணைகளையே பயன்படுத்தாமல் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது.

பல்வேறு வகை செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும் முறைகளை விரிவாகக் கருத்தில் கொள்வதற்கு முன், அட்டவணைக்குக் குறைப்பதன் மூலம் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிவதற்கான பல எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் தருகிறோம்.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

அடிப்படை பின்னங்களின் ஒருங்கிணைப்பு.

வரையறை: தொடக்கநிலைபின்வரும் நான்கு வகையான பின்னங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன:

நான்.
III.

II.
IV.

m, n – இயற்கை எண்கள் (m  2, n  2) மற்றும் b 2 – 4ac<0.

அடிப்படை பின்னங்களின் முதல் இரண்டு வகையான ஒருங்கிணைப்புகளை t = ax + b என்ற மாற்று மூலம் அட்டவணைக்கு கொண்டு வரலாம்.

வகை III இன் அடிப்படை பின்னங்களை ஒருங்கிணைக்கும் முறையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வகை III இன் பின்னம் ஒருங்கிணைப்பு பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படலாம்:

இங்கே, பொதுவான வடிவத்தில், வகை III இன் பின்னம் ஒருங்கிணைவை இரண்டு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளாகக் குறைப்பது காட்டப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி மேலே உள்ள சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

பொதுவாக, டிரினோமியல் கோடாரி 2 + bx + c ஆனது b 2 – 4ac >0 என்ற வெளிப்பாட்டைக் கொண்டிருந்தால், பின்னம், வரையறையின்படி, அடிப்படையானது அல்ல, இருப்பினும், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள முறையில் அதை ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

வகை IV இன் எளிய பின்னங்களை ஒருங்கிணைப்பதற்கான முறைகளை இப்போது பார்க்கலாம்.

முதலில், M = 0, N = 1 உடன் ஒரு சிறப்பு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பின்னர் படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு
வகுப்பில் முழுமையான சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்
. பின்வரும் மாற்றத்தை செய்வோம்:

இந்த சமத்துவத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை பகுதிகளாக எடுத்துக்கொள்வோம்.

குறிப்போம்:

அசல் ஒருங்கிணைப்புக்கு நாம் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் அழைக்கப்படுகிறது மீண்டும் மீண்டும்.நீங்கள் அதை n-1 ​​முறை பயன்படுத்தினால், நீங்கள் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைந்ததைப் பெறுவீர்கள்
.

பொது வழக்கில் வகை IV இன் அடிப்படைப் பகுதியின் ஒருங்கிணைப்புக்கு இப்போது திரும்புவோம்.

இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவத்தில், மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தும் முதல் ஒருங்கிணைப்பு டி = u 2 + கள்அட்டவணைக்கு குறைக்கப்பட்டது , மற்றும் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட மறுநிகழ்வு சூத்திரம் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்புக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வகை IV இன் அடிப்படைப் பகுதியை ஒருங்கிணைப்பதில் வெளிப்படையான சிக்கலானது இருந்தபோதிலும், நடைமுறையில் சிறிய அளவு கொண்ட பின்னங்களுக்குப் பயன்படுத்துவது மிகவும் எளிதானது. n, மற்றும் அணுகுமுறையின் உலகளாவிய தன்மை மற்றும் பொதுத்தன்மை ஒரு கணினியில் இந்த முறையை மிகவும் எளிமையான செயலாக்கத்தை சாத்தியமாக்குகிறது.

உதாரணமாக:

பகுத்தறிவு செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு.

பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒருங்கிணைத்தல்.

ஒரு பகுத்தறிவு பின்னத்தை ஒருங்கிணைக்க, அதை அடிப்படை பின்னங்களாக சிதைப்பது அவசியம்.

தேற்றம்: என்றால்
- ஒரு சரியான பகுத்தறிவு பின்னம், இதன் வகுத்தல் P(x) நேரியல் மற்றும் இருபடி காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது (உண்மையான குணகங்களைக் கொண்ட எந்த பல்லுறுப்புக்கோவையும் இந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க: பி(எக்ஸ்) = (எக்ஸ் - அ)  …(எக்ஸ் - பி)  (எக்ஸ் 2 + px + கே)  …(எக்ஸ் 2 + rx + கள்)  ), பின்னர் இந்த பகுதியை பின்வரும் திட்டத்தின் படி அடிப்படையாக சிதைக்கலாம்:

A i, B i, M i, N i, R i, S i ஆகியவை சில நிலையான அளவுகள்.

பகுத்தறிவு பின்னங்களை ஒருங்கிணைக்கும்போது, ​​​​அவை அசல் பின்னத்தை அடிப்படைப் பகுதிகளாக சிதைப்பதை நாடுகின்றன. A i, B i, M i, N i, R i, Si என அழைக்கப்படும் அளவுகளைக் கண்டறிய நிச்சயமற்ற குணகங்களின் முறை, இதன் சாராம்சம் என்னவென்றால், இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒரே மாதிரியாக சமமாக இருக்க, x இன் அதே சக்திகளில் உள்ள குணகங்கள் சமமாக இருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, தொடர்புடைய எண்களை சமன் செய்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

உதாரணமாக.

ஏனெனில் பின்னம் முறையற்றதாக இருந்தால், முதலில் அதன் முழுப் பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 - 12x 2 - 51x +18

20x 2 – 25x – 25

இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் வகுப்பினை காரணியாக்குவோம். x = 3 இல் பின்னத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறுவதைக் காணலாம். பிறகு:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

எனவே 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). பிறகு:

அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதைத் தவிர்ப்பதற்காக, நிச்சயமற்ற குணகங்களைக் கண்டறியும் போது, ​​சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (சில சமயங்களில் மிகப் பெரியதாக மாற்றலாம்) குழுவாக்கித் தீர்ப்பது, என்று அழைக்கப்படும் தன்னிச்சையான மதிப்பு முறை. முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், பல (தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களின் எண்ணிக்கையின்படி) x இன் தன்னிச்சையான மதிப்புகள் மேலே உள்ள வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக உள்ளன. கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த, தன்னிச்சையான மதிப்புகள் புள்ளிகளாக எடுத்துக் கொள்வது வழக்கம், இதில் பின்னத்தின் வகுப்பானது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. எங்கள் விஷயத்தில் - 3, -2, 1/3. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம்:

=

உதாரணமாக.

தீர்மானிக்கப்படாத குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பின் மதிப்பு:

சில முக்கோணவியல்களின் ஒருங்கிணைப்பு

செயல்பாடுகள்.

முக்கோணவியல் சார்புகளிலிருந்து எண்ணற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் இருக்கலாம். இந்த ஒருங்கிணைப்புகளில் பெரும்பாலானவற்றை பகுப்பாய்வு ரீதியாக கணக்கிட முடியாது, எனவே எப்போதும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சில முக்கியமான செயல்பாடுகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்.

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு
.

இங்கே R என்பது sinx மற்றும் cosx மாறிகளின் சில பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் பதவியாகும்.

இந்த வகையின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன
. இந்த மாற்றீடு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை பகுத்தறிவுக்கு மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கிறது.

,

பிறகு

இதனால்:

மேலே விவரிக்கப்பட்ட மாற்றம் அழைக்கப்படுகிறது உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்று.

உதாரணமாக.

இந்த மாற்றீட்டின் சந்தேகத்திற்கு இடமில்லாத நன்மை என்னவென்றால், அதன் உதவியுடன் நீங்கள் எப்போதும் ஒரு முக்கோணவியல் செயல்பாட்டை ஒரு பகுத்தறிவாக மாற்றலாம் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடலாம். குறைபாடுகள் மாற்றமானது மிகவும் சிக்கலான பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை ஏற்படுத்தக்கூடும் என்ற உண்மையை உள்ளடக்கியது, இதன் ஒருங்கிணைப்பு நிறைய நேரத்தையும் முயற்சியையும் எடுக்கும்.

இருப்பினும், மாறியின் பகுத்தறிவு மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை என்றால், இந்த முறை மட்டுமே பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

உதாரணமாக.

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு
என்றால்

செயல்பாடுஆர்cosx.

உலகளாவிய முக்கோணவியல் மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான சாத்தியம் இருந்தபோதிலும், மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பகுத்தறிவு ஆகும். டி = sinx.

செயல்பாடு
சம சக்திகளில் மட்டுமே cosx ஐக் கொண்டிருக்க முடியும், எனவே sinx ஐப் பொறுத்தவரை ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடாக மாற்ற முடியும்.

உதாரணமாக.

பொதுவாக, இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, கோசைனுடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் ஒற்றைப்படைத்தன்மை மட்டுமே அவசியம், மேலும் செயல்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள சைனின் அளவு முழு எண் மற்றும் பின்னமாக இருக்கலாம்.

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு
என்றால்

செயல்பாடுஆர்ஒப்பிடும்போது வித்தியாசமானதுsinx.

மேலே கருதப்பட்ட வழக்குடன் ஒப்புமை மூலம், மாற்றீடு செய்யப்படுகிறது டி = cosx.

உதாரணமாக.

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு

செயல்பாடுஆர்ஒப்பீட்டளவில் கூடsinxமற்றும்cosx.

R செயல்பாட்டை பகுத்தறிவு ஒன்றாக மாற்ற, மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தவும்

t = tgx.

உதாரணமாக.

சைன்கள் மற்றும் கொசைன்களின் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்பு

பல்வேறு வாதங்கள்.

வேலையின் வகையைப் பொறுத்து, மூன்று சூத்திரங்களில் ஒன்று பயன்படுத்தப்படும்:

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

சில நேரங்களில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும் போது, ​​செயல்பாடுகளின் வரிசையைக் குறைக்க நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

உதாரணமாக.

உதாரணமாக.

சில நேரங்களில் சில தரமற்ற நுட்பங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

உதாரணமாக.

சில பகுத்தறிவற்ற செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு.

ஒவ்வொரு பகுத்தறிவற்ற செயல்பாடும் அடிப்படை செயல்பாடுகளால் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டிருக்க முடியாது. பகுத்தறிவற்ற செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் ஒரு மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும், இது செயல்பாட்டை ஒரு பகுத்தறிவு ஒன்றாக மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கும், அதன் ஒருங்கிணைப்பு எப்போதும் அறியப்படுகிறது.

பல்வேறு வகையான பகுத்தறிவற்ற செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பதற்கான சில நுட்பங்களைப் பார்ப்போம்.

படிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு
எங்கேn- இயற்கை எண்.

மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்துதல்
செயல்பாடு பகுத்தறிவு செய்யப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

பகுத்தறிவற்ற செயல்பாடு பல்வேறு டிகிரிகளின் வேர்களை உள்ளடக்கியிருந்தால், ஒரு புதிய மாறியாக, வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வேர்களின் டிகிரிகளின் குறைந்தபட்ச பொதுவான மடங்குக்கு சமமான பட்டத்தின் மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வது பகுத்தறிவு ஆகும்.

இதை ஒரு உதாரணத்தின் மூலம் விளக்குவோம்.

உதாரணமாக.

இருவகை வேறுபாடுகளின் ஒருங்கிணைப்பு.