அடிப்படை செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வரைபடங்கள்.

முக்கிய அடிப்படை செயல்பாடுகள்: சக்தி செயல்பாடு, அதிவேக செயல்பாடு, மடக்கை செயல்பாடு, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் மற்றும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், அத்துடன் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாடு, இது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விகிதமாகும்.

அடிப்படை செயல்பாடுகளில் அடிப்படை நான்கு எண்கணித செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும் சிக்கலான செயல்பாட்டை உருவாக்குவதன் மூலமும் அடிப்படை செயல்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் செயல்பாடுகளும் அடங்கும்.

அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள்

	நேர் கோடு- ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = கோடாரி + b. y சார்பு a > 0க்கு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது மற்றும் a க்கு குறைகிறது< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	பரவளைய- இருபடி முக்கோண செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = கோடாரி 2 + bx + c. இது சமச்சீர் செங்குத்து அச்சைக் கொண்டுள்ளது. a > 0 எனில், குறைந்தபட்சம் இருந்தால் a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения கோடாரி 2 + bx +c =0
	ஹைபர்போலா- செயல்பாட்டின் வரைபடம். a > O அது I மற்றும் III காலாண்டுகளில் அமைந்திருக்கும் போது, ​​a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) அல்லது y - - x(a< 0).
	அதிவேக செயல்பாடு. கண்காட்சியாளர்(அடிப்படை செயல்பாடு e அடிப்படை) y = e x. (மற்றொரு எழுத்துப்பிழை y = exp(x)) அசிம்டோட் என்பது abscissa அச்சு.
	மடக்கைச் செயல்பாடு y = பதிவு a x(a > 0)
	y = sinx. சைன் அலை- காலம் T = 2π உடன் காலச் செயல்பாடு

செயல்பாட்டு வரம்பு.

y=f(x) சார்பு, x ஒரு வரம்பாக A எண்ணைக் கொண்டுள்ளது, ε › 0 என்ற எண்ணுக்கு δ › 0 போன்ற எண் இருந்தால் | y – A | ‹ ε என்றால் |x - a| ‹ δ,

அல்லது லிம் ஒய் = ஏ

செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி.

y=f(x) சார்பு x = a என்ற புள்ளியில் லிம் f(x) = f(a), i.e.

x = a புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரம்பு, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமம்.

செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கண்டறிதல்.

செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் பற்றிய அடிப்படை கோட்பாடுகள்.

1. நிலையான மதிப்பின் வரம்பு இந்த நிலையான மதிப்புக்கு சமம்:

2. இயற்கணிதத் தொகையின் வரம்பு, இந்தச் சார்புகளின் வரம்புகளின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்:

லிம் (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. பல செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வரம்பு இந்த செயல்பாடுகளின் வரம்புகளின் விளைபொருளுக்கு சமம்:

லிம் (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. வகுப்பின் வரம்பு 0க்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், இரண்டு சார்புகளின் வரம்புகளின் வரம்பு, இந்தச் சார்புகளின் வரம்புகளின் பங்கிற்குச் சமம்:

லிம் ------- = ----------

முதல் குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு: லிம் ------- = 1

இரண்டாவது குறிப்பிடத்தக்க வரம்பு: லிம் (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கண்டறிவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

5.1 உதாரணமாக:

எந்த வரம்பும் மூன்று பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) நன்கு அறியப்பட்ட வரம்பு ஐகான்.

2) வரம்பு ஐகானின் கீழ் உள்ளீடுகள். "எக்ஸ் ஒருவரை நோக்கி செல்கிறது" என்று உள்ளீடு கூறுகிறது. பெரும்பாலும் இது x ஆகும், இருப்பினும் "x" க்கு பதிலாக வேறு ஏதேனும் மாறி இருக்கலாம். ஒன்றின் இடத்தில் முற்றிலும் எந்த எண்ணும் இருக்கலாம், அத்துடன் முடிவிலி 0 அல்லது .

3) வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் செயல்பாடுகள், இந்த வழக்கில் .

பதிவு தானே இவ்வாறு கூறுகிறது: "x என ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒற்றுமைக்கு முனைகிறது."

மிக முக்கியமான கேள்வி - "x" என்ற வெளிப்பாடு என்ன அர்த்தம்? பாடுபடுகிறதுஒருவருக்கு"? வெளிப்பாடு "x" பாடுபடுகிறதுஒன்றுக்கு” ​​என்பது பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும்: “x” தொடர்ந்து மதிப்புகளைப் பெறுகிறது இது ஒற்றுமையை எல்லையில்லாமல் நெருங்கி நடைமுறையில் அதனுடன் ஒத்துப்போகிறது.

மேலே உள்ள உதாரணத்தை எவ்வாறு தீர்ப்பது? மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில், வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் செயல்பாட்டில் ஒன்றை மாற்ற வேண்டும்:

எனவே முதல் விதி : வரம்பு கொடுக்கப்பட்டால், முதலில் அந்த எண்ணை செயல்பாட்டில் செருகவும்.

5.2 முடிவிலியுடன் உதாரணம்:

அது என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும் போது இதுதான் நிலை.

அப்படியென்றால் , பின்னர் செயல்பாடு முடிவிலியை கழிக்க முனைகிறது:

எங்கள் முதல் விதியின்படி, "X" க்கு பதிலாக செயல்பாட்டில் மாற்றுகிறோம் முடிவிலி மற்றும் நாம் பதில் கிடைக்கும்.

5.3 முடிவிலியுடன் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு:

மீண்டும் நாம் முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கத் தொடங்குகிறோம், மேலும் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் பார்க்கிறோம்.
முடிவு: செயல்பாடு வரம்பற்ற அளவில் அதிகரிக்கிறது

5.4 எடுத்துக்காட்டுகளின் தொடர்:

பின்வரும் உதாரணங்களை நீங்களே மனரீதியாக பகுப்பாய்வு செய்து எளிமையான வகை வரம்புகளைத் தீர்க்க முயற்சிக்கவும்:

, , , , , , , , ,

மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து நீங்கள் என்ன நினைவில் வைத்து புரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

ஏதேனும் வரம்பு கொடுக்கப்பட்டால், முதலில் அந்த எண்ணை செயல்பாட்டில் செருகவும். அதே நேரத்தில், எளிமையான வரம்புகளை நீங்கள் புரிந்துகொண்டு உடனடியாக தீர்க்க வேண்டும் , , முதலியன

6. வகையின் நிச்சயமற்ற வரம்புகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறை.

இப்போது நாம் எப்போது வரம்புகளின் குழுவைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் செயல்பாடு என்பது ஒரு பின்னமாகும், அதன் எண் மற்றும் வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன.

6.1 உதாரணமாக:

வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்

எங்கள் விதியின்படி, செயல்பாட்டில் முடிவிலியை மாற்ற முயற்சிக்கிறோம். மேலே நாம் எதைப் பெறுகிறோம்? முடிவிலி. கீழே என்ன நடக்கிறது? மேலும் முடிவிலி. எனவே, இனங்கள் நிச்சயமற்ற தன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறோம். = 1 என்று ஒருவர் நினைக்கலாம், மற்றும் பதில் தயாராக உள்ளது, ஆனால் பொது வழக்கில் இது இல்லை, மேலும் நீங்கள் சில தீர்வு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதை நாங்கள் இப்போது கருத்தில் கொள்வோம்.

இந்த வகை வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

முதலில் நாம் எண்ணைப் பார்த்து மிக உயர்ந்த சக்தியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எண்ணில் முன்னணி சக்தி இரண்டு.

இப்போது நாம் வகுப்பைப் பார்க்கிறோம், மேலும் அதை மிக உயர்ந்த சக்தியாகக் காண்கிறோம்:

வகுப்பின் மிக உயர்ந்த அளவு இரண்டு.

பின்னர் நாம் எண் மற்றும் வகுப்பின் மிக உயர்ந்த சக்தியைத் தேர்வு செய்கிறோம்: இந்த எடுத்துக்காட்டில், அவை ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் இரண்டிற்கு சமமானவை.

எனவே, தீர்வு முறை பின்வருமாறு: நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த நீங்கள் எண்ணையும் வகுப்பையும் பிரிக்க வேண்டும் மூத்த பட்டத்தில்.

எனவே, பதில் 1 அல்ல.

உதாரணமாக

வரம்பைக் கண்டறியவும்

மீண்டும் எண் மற்றும் வகுப்பில் நாம் மிக உயர்ந்த நிலையில் காண்கிறோம்:

எண்ணிக்கையில் அதிகபட்ச பட்டம்: 3

வகுப்பில் அதிகபட்ச பட்டம்: 4

தேர்வு செய்யவும் மிகப்பெரியமதிப்பு, இந்த வழக்கில் நான்கு.
எங்கள் அல்காரிதம் படி, நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, நாம் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.

உதாரணமாக

வரம்பைக் கண்டறியவும்

எண்ணில் "X" இன் அதிகபட்ச பட்டம்: 2

வகுப்பில் "X" இன் அதிகபட்ச பட்டம்: 1 (இவ்வாறு எழுதலாம்)
நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, எண் மற்றும் வகுப்பினை ஆல் வகுக்க வேண்டும். இறுதி தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்:

எண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும்

சில விளக்க உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

x ஒரு எண் மாறியாக இருக்கட்டும், X அதன் மாற்றத்தின் பகுதி. X ஐச் சேர்ந்த ஒவ்வொரு எண்ணும் x ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் y தொடர்புடையதாக இருந்தால், X தொகுப்பில் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்றும், y = f(x) என்றும் எழுதுகிறார்கள்.
இந்த வழக்கில் எக்ஸ் செட் என்பது இரண்டு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளைக் கொண்ட ஒரு விமானம் - 0X மற்றும் 0Y. எடுத்துக்காட்டாக, y = x 2 செயல்பாட்டை சித்தரிப்போம். 0X மற்றும் 0Y அச்சுகள் X ஐ உருவாக்குகின்றன - அதன் மாற்றத்தின் பகுதி. செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை படம் தெளிவாகக் காட்டுகிறது. இந்த வழக்கில், X தொகுப்பில் y = x 2 செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

ஒரு செயல்பாட்டின் அனைத்து பகுதி மதிப்புகளின் Y தொகுப்பு f (x) மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்பது செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்ட 0Y அச்சில் உள்ள இடைவெளியாகும். சித்தரிக்கப்பட்ட பரவளையமானது f(x) > 0 என்று தெளிவாகக் காட்டுகிறது x2 > 0. எனவே, மதிப்புகளின் வரம்பு . பல மதிப்புகளை 0Y ஆல் பார்க்கிறோம்.

அனைத்து x இன் தொகுப்பு f(x) டொமைன் எனப்படும். 0X மூலம் பல வரையறைகளைப் பார்க்கிறோம், எங்கள் விஷயத்தில் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு [-; +].

ஒரு புள்ளி a (a க்கு சொந்தமானது அல்லது X) X தொகுப்பின் வரம்புப் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, புள்ளியின் எந்தப் பகுதியிலும் a புள்ளியிலிருந்து வேறுபட்ட X தொகுப்பின் புள்ளிகள் இருந்தால்.

செயல்பாட்டின் வரம்பு என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்ளும் நேரம் வந்துவிட்டது?

x ஆனது a எண்ணை நோக்கிச் செல்வதால், செயல்பாட்டின் தூய்மையான b அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் வரம்பு. இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = x 2. x 2 இல் செயல்பாடு எதைச் செய்கிறது (சமமாக இல்லை) என்பதை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில், வரம்பை எழுதுகிறோம்:

வரைபடத்தைப் பார்ப்போம்.

0X அச்சில் புள்ளி 2 வழியாக 0Y அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரைவோம். இது நமது வரைபடத்தை புள்ளியில் (2;4) வெட்டும். இந்த புள்ளியில் இருந்து 0Y அச்சில் ஒரு செங்குத்தாக விட்டுவிட்டு புள்ளி 4 க்கு வருவோம். இதைத்தான் x 2 இல் நமது செயல்பாடு பாடுபடுகிறது. இப்போது மதிப்பு 2 ஐ f(x) இல் மாற்றினால், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.

இப்போது நாம் செல்ல முன் வரம்புகளின் கணக்கீடு, அடிப்படை வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

19 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கௌச்சியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

x = A என்ற புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் f(x) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் f(A) இன் மதிப்பை வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

பின்னர், கௌச்சியின் வரையறையின்படி, செயல்பாட்டின் வரம்புஒவ்வொரு C > 0 க்கும் D > 0 என்ற எண் இருந்தால், f(x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாக B ஆக இருக்கும்

அந்த. x A இல் உள்ள f(x) செயல்பாடு B வரம்பினால் வரையறுக்கப்பட்டால், இது வடிவத்தில் எழுதப்படும்

வரிசை வரம்புஎந்த ஒரு தன்னிச்சையாக சிறிய நேர்மறை எண்ணான B > 0 க்கு N > N வழக்கில் உள்ள அனைத்து மதிப்புகளும் சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு எண் இருந்தால் ஒரு குறிப்பிட்ட எண் A அழைக்கப்படுகிறது.

இந்த வரம்பு போல் தெரிகிறது.

வரம்பைக் கொண்ட ஒரு வரிசையை ஒன்றிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது

நீங்கள் ஏற்கனவே கவனித்தபடி, வரம்புகள் லிம் ஐகானால் குறிக்கப்படுகின்றன, அதன் கீழ் மாறிக்கான சில நிபந்தனைகள் எழுதப்பட்டு, பின்னர் செயல்பாடு எழுதப்படுகிறது. அத்தகைய தொகுப்பு "ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்புக்கு உட்பட்டது ..." என வாசிக்கப்படும். உதாரணத்திற்கு:

- செயல்பாட்டின் வரம்பு x 1 ஆக உள்ளது.

"1ஐ நெருங்குகிறது" என்ற வெளிப்பாடு 1ஐ எல்லையில்லாமல் நெருங்கும் மதிப்புகளை x தொடர்ச்சியாகப் பெறுகிறது.

இந்த வரம்பை கணக்கிட, x க்கு மதிப்பு 1 ஐ மாற்றினால் போதும் என்பது இப்போது தெளிவாகிறது:

ஒரு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புக்கு கூடுதலாக, x ஆனது முடிவிலிக்கு முனையலாம். உதாரணத்திற்கு:

எக்ஸ்ப்ரெஷன் x என்பது x தொடர்ந்து அதிகரித்து வருவதையும், முடிவில்லாமல் நெருங்கி வருவதையும் குறிக்கிறது. எனவே, x க்கு இன்ஃபினிட்டியை மாற்றினால், 1-x செயல்பாடு , ஆனால் எதிர் குறியுடன் இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது:

இதனால், வரம்புகளின் கணக்கீடுஅதன் குறிப்பிட்ட மதிப்பு அல்லது வரம்பினால் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு குறையும் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியைக் கண்டறிவதில் இறங்குகிறது.

மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில், வரம்புகளைக் கணக்கிடும்போது பல விதிகளைப் பயன்படுத்துவது முக்கியம்:

புரிதல் வரம்பு சாரம்மற்றும் அடிப்படை விதிகள் வரம்பு கணக்கீடுகள், அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றிய முக்கிய நுண்ணறிவைப் பெறுவீர்கள். ஏதேனும் வரம்பு உங்களுக்கு சிரமத்தை ஏற்படுத்தினால், கருத்துகளில் எழுதுங்கள், நாங்கள் நிச்சயமாக உங்களுக்கு உதவுவோம்.

குறிப்பு: நீதித்துறை என்பது சட்டங்களின் அறிவியல் ஆகும், இது மோதல்கள் மற்றும் பிற வாழ்க்கை சிரமங்களுக்கு உதவுகிறது.

முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு:
|f(x) - a|< ε при |x| >என்

Cauchy வரம்பை தீர்மானித்தல்
செயல்பாடு f (எக்ஸ்)முடிவிலி புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் |x| உடன் வரையறுக்கப்படுகிறது > எண் a செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது f (எக்ஸ்) x முடிவிலி (), ஏதேனும் சிறியதாக இருந்தால், நேர்மறை எண் ε > 0 , N ε எண் உள்ளது > கே, ε ஐப் பொறுத்து, இது அனைத்திற்கும் x, |x| > N ε, செயல்பாட்டு மதிப்புகள் புள்ளி a இன் ε-அருகிலுள்ளவை:
|எஃப் (x) - a|< ε .
முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
அல்லது மணிக்கு.

பின்வரும் குறியீடும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது:
.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தர்க்க சின்னங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த வரையறையை எழுதுவோம்:
.
மதிப்புகள் செயல்பாட்டின் டொமைனுக்கு சொந்தமானது என்று இது கருதுகிறது.

ஒரு பக்க வரம்புகள்

முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் இடது வரம்பு:
|f(x) - a|< ε при x < -N

x மாறியின் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே செயல்பாடு வரையறுக்கப்படும் போது பெரும்பாலும் வழக்குகள் உள்ளன (இன்னும் துல்லியமாக, புள்ளியின் அருகில் அல்லது ). மேலும், x இன் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கான முடிவிலியில் உள்ள வரம்புகள் வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம். பின்னர் ஒரு பக்க வரம்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

முடிவிலியில் இடது வரம்புஅல்லது x மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி () க்கு செல்லும் வரம்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
.
முடிவிலியில் வலது வரம்புஅல்லது x ஆனது முடிவிலியைக் கூட்டல் ():
.
முடிவிலியில் ஒரு பக்க வரம்புகள் பெரும்பாலும் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகின்றன:
; .

முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் எல்லையற்ற வரம்பு

முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் எல்லையற்ற வரம்பு:
|f(x)| > M க்கு |x| >என்

Cauchy படி எல்லையற்ற எல்லை வரையறை
செயல்பாடு f (எக்ஸ்)முடிவிலி புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் |x| உடன் வரையறுக்கப்படுகிறது > K, K என்பது நேர்மறை எண். செயல்பாட்டின் வரம்பு f (எக்ஸ்) x முடிவிலி (), முடிவிலிக்கு சமம், ஏதேனும் தன்னிச்சையாக அதிக எண்ணிக்கையில் இருந்தால் எம் > 0 , NM போன்ற ஒரு எண் உள்ளது > கே, M ஐப் பொறுத்து, இது அனைத்திற்கும் x, |x| > N M , செயல்பாட்டு மதிப்புகள் முடிவிலியில் உள்ள புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தவை:
|எஃப் (x) | > எம்.
x முடிவிலியை நோக்கிய எல்லையற்ற வரம்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
.
அல்லது மணிக்கு.

இருப்பு மற்றும் உலகளாவிய தன்மையின் தர்க்கரீதியான குறியீடுகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு செயல்பாட்டின் எல்லையற்ற வரம்பின் வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
.

இதேபோல், சில அறிகுறிகளின் எல்லையற்ற வரம்புகளுக்கு சமமான மற்றும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வரையறைகள்:
.
.

முடிவிலியில் ஒரு பக்க வரம்புகளின் வரையறைகள்.
இடது வரம்புகள்.
.
.
.
சரியான வரம்புகள்.
.
.
.

ஹெய்ன் படி ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை தீர்மானித்தல்

செயல்பாடு f (எக்ஸ்)முடிவிலியில் x புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் வரையறுக்கப்படுகிறது 0 , எங்கே அல்லது அல்லது .
எண் a (finite அல்லது infinity) f செயல்பாட்டின் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (எக்ஸ்)புள்ளி x இல் 0 :
,
ஏதேனும் வரிசையாக இருந்தால் (xn), x ஆக மாறுகிறது 0 : ,
அதன் கூறுகள் அக்கம், வரிசையைச் சேர்ந்தவை (f(xn))ஒன்றாக இணைகிறது:
.

முடிவிலியில் கையொப்பமிடப்படாத ஒரு புள்ளியின் அக்கம் பக்கமாக நாம் எடுத்துக் கொண்டால்: , ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறையை x முடிவிலி, . 0 முடிவிலியில் x புள்ளியின் இடது பக்க அல்லது வலது பக்க சுற்றுப்புறத்தை எடுத்துக் கொண்டால்

: அல்லது , x ஆனது முறையே மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி மற்றும் பிளஸ் இன்ஃபினிட்டி என வரம்பின் வரையறையைப் பெறுகிறோம்.

வரம்பின் Heine மற்றும் Cauchy வரையறைகள் சமமானவை.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1
.

அதைக் காட்ட Cauchy இன் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல்
.
பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:
.
செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்போம்.
; .
பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுத்தல் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருப்பதால், வகுத்தல் மறைந்து போகும் புள்ளிகளைத் தவிர அனைத்து x க்கும் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது. ;
சமன்பாட்டின் வேர்கள்:

முதல் , பின்னர் மற்றும் .
.
எனவே செயல்பாடு இல் வரையறுக்கப்படுகிறது.
.
இதை நாங்கள் பின்னர் பயன்படுத்துவோம். -1 :
.

Cauchy இன் படி முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பின் வரையறையை எழுதுவோம்:
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
;
;
;
.

எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுத்து பெருக்கவும்
.
.
விடுங்கள் .
பிறகு

எனவே, எப்போது என்பதை நாங்கள் கண்டறிந்தோம்,
அதைத் தொடர்ந்து வருகிறது
மணிக்கு, மற்றும்.

நீங்கள் எப்போதும் அதை அதிகரிக்க முடியும் என்பதால், எடுத்துக்கொள்வோம்.

Cauchy இன் படி முடிவிலியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பின் வரையறையை எழுதுவோம்:
பிறகு யாருக்கும்,
1) ;
2) .

மணிக்கு.

என்று அர்த்தம் .
எடுத்துக்காட்டு 2
.

வரம்பின் Cauchy வரையறையைப் பயன்படுத்தி, இதைக் காட்டவும்:
;
.

எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுத்து பெருக்கவும்
.
1) தீர்வு x ஆனது முடிவிலியை கழிக்க முனைகிறது
.
என்பதால், செயல்பாடு அனைத்து x க்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது.
.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறையை கழித்தல் முடிவிலிக்கு சமமாக எழுதுவோம்:

விடுங்கள் . பிறகு

நேர்மறை எண்களை உள்ளிடவும் மற்றும்:
.
எந்த நேர்மறை எண்ணான M க்கும் ஒரு எண் உள்ளது, அதனால் ,

.
என்று அர்த்தம் .
.

2) x ஆனது முடிவிலியைக் கூட்டுகிறது
எனவே செயல்பாடு இல் வரையறுக்கப்படுகிறது.
.
அசல் செயல்பாட்டை மாற்றுவோம். பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்கி, சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தவும்:
.

எங்களிடம் உள்ளது:
.
வித்தியாசத்தை மாற்றுவோம்:
;
.

எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுத்து பெருக்கவும்
.
1) தீர்வு x ஆனது முடிவிலியை கழிக்க முனைகிறது
.
விடுங்கள் .
செயல்பாட்டின் சரியான வரம்பின் வரையறையை இங்கு எழுதுவோம்:

குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: .
.

எண் மற்றும் வகுப்பினை இதன் மூலம் பெருக்கவும்:
விடுங்கள்

எந்த நேர்மறை எண்ணுக்கும் இது இருப்பதால், பிறகு

மாணவர்கள் மற்றும் பள்ளி மாணவர்கள் தாங்கள் உள்ளடக்கிய உள்ளடக்கத்தை முழுமையாக ஒருங்கிணைக்க தளத்தில் ஆன்லைன் வரம்புகள். எங்கள் வளத்தைப் பயன்படுத்தி ஆன்லைனில் வரம்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இதைச் செய்வது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் அசல் செயல்பாட்டை x மாறியுடன் சரியாக எழுத வேண்டும், தேர்வாளரிடமிருந்து விரும்பிய முடிவிலியைத் தேர்ந்தெடுத்து "தீர்வு" பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும். ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு சில புள்ளியில் x கணக்கிடப்பட வேண்டும் என்றால், இந்த புள்ளியின் எண் மதிப்பை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும். வரம்பின் தீர்வுக்கான பதிலை நீங்கள் சில நொடிகளில் பெறுவீர்கள், வேறுவிதமாகக் கூறினால் - உடனடியாக. இருப்பினும், நீங்கள் தவறான தரவை வழங்கினால், சேவை தானாகவே பிழையை உங்களுக்குத் தெரிவிக்கும். முன்னர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட செயல்பாட்டைச் சரிசெய்து, வரம்பிற்கு சரியான தீர்வைப் பெறவும். வரம்புகளைத் தீர்க்க, சாத்தியமான அனைத்து நுட்பங்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, L'Hopital's முறை குறிப்பாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் இது உலகளாவியது மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கணக்கிடும் மற்ற முறைகளை விட வேகமாக பதில் அளிக்கிறது. தொகுதி இருக்கும் உதாரணங்களைப் பார்ப்பது சுவாரஸ்யமானது. மூலம், எங்கள் வளத்தின் விதிகளின்படி, ஒரு தொகுதி கணிதத்தில் "|" கிளாசிக் செங்குத்து பட்டியால் குறிக்கப்படுகிறது. அல்லது Abs(f(x)) லத்தீன் முழுமையிலிருந்து. எண் வரிசையின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுவதற்கு பெரும்பாலும் வரம்பைத் தீர்ப்பது அவசியம். அனைவருக்கும் தெரியும், நீங்கள் படிப்பின் கீழ் உள்ள வரிசையின் பகுதித் தொகையை சரியாக வெளிப்படுத்த வேண்டும், பின்னர் எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது, எங்கள் இலவச வலைத்தள சேவைக்கு நன்றி, பகுதித் தொகையின் வரம்பை கணக்கிடுவது எண் வரிசையின் இறுதித் தொகையாகும். பொதுவாக, அனைத்து கணித பகுப்பாய்வின் அடிப்படை கருத்தாக்கம் வரம்புக்கு செல்லும் கோட்பாடு ஆகும். எல்லாம் துல்லியமாக வரம்புகளுக்கான பத்திகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது, அதாவது வரம்புகளைத் தீர்ப்பது கணித பகுப்பாய்வு அறிவியலின் அடிப்படையாகும். ஒருங்கிணைப்பில், கோட்பாட்டின் படி ஒருங்கிணைந்த, வரம்பற்ற பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படும்போது, ​​வரம்புக்கான பத்தியும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஏதாவது வரம்பற்ற எண்ணிக்கையில், அதாவது, முடிவிலிக்கு பொருள்களின் எண்ணிக்கையின் போக்கு, வரம்பு மாற்றங்களின் கோட்பாடு எப்போதும் நடைமுறைக்கு வரும், மேலும் பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட வடிவத்தில் இது அனைவருக்கும் தெரிந்த வரம்புகளுக்கு ஒரு தீர்வாகும். தளத்தில் ஆன்லைன் வரம்புகளைத் தீர்ப்பது உண்மையான நேரத்தில் துல்லியமான மற்றும் உடனடி பதிலைப் பெறுவதற்கான ஒரு தனித்துவமான சேவையாகும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு (ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு மதிப்பு), செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனுக்கான வரம்பு புள்ளி, அதன் வாதம் கொடுக்கப்பட்ட வாதத்திற்குச் செல்லும் போது கேள்விக்குரிய செயல்பாட்டின் மதிப்பு எந்த மதிப்பை நோக்கி செல்கிறது புள்ளி. கணித பகுப்பாய்வைப் படிக்கும்போது ஆன்லைனில் வரம்புகளைத் தீர்க்கும் கேள்வி மாணவர்களுக்கு இருப்பதாக நாங்கள் அடிக்கடி கூறுவோம். சிறப்பு சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே விரிவான தீர்வுடன் ஆன்லைனில் வரம்பைத் தீர்ப்பது பற்றி யோசிக்கும்போது, ​​வரம்பு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தாமல் சிக்கலான சிக்கலைச் சமாளிக்க முடியாது என்பது தெளிவாகிறது. எங்கள் சேவையின் மூலம் வரம்புகளைத் தீர்ப்பது துல்லியம் மற்றும் எளிமைக்கான உத்தரவாதமாகும். ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் களத்தின் கூறுகள், ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் கூறுகளின் வரிசையின் புள்ளிகளின் படங்களால் ஆனது, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு மாற்றுகிறது (கருத்தில் கொள்ளப்படும் வரம்பு); அத்தகைய வரம்பு இருந்தால், செயல்பாடு குறிப்பிட்ட மதிப்புடன் ஒன்றிணைவதாகக் கூறப்படுகிறது; அத்தகைய வரம்பு இல்லை என்றால், செயல்பாடு வேறுபட்டதாகக் கூறப்படுகிறது. இணையதளத்தைப் பயன்படுத்தி வரம்புகளை ஆன்லைனில் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பயனர்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால், வரம்புகளை ஆன்லைனில் தீர்ப்பது எளிதான தீர்வாகும். கவனத்துடன் இருப்போம், தவறுகள் திருப்தியற்ற மதிப்பெண்கள் வடிவில் சிக்கலை ஏற்படுத்தாது. ஆன்லைனில் வரம்புகளுக்கான எந்தவொரு தீர்வையும் போலவே, உங்கள் பிரச்சனையும் ஒரு வசதியான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வடிவத்தில், விரிவான தீர்வுடன், தீர்வைப் பெறுவதற்கான அனைத்து விதிகள் மற்றும் ஒழுங்குமுறைகளுக்கு இணங்க வழங்கப்படும். பெரும்பாலும், ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பின் வரையறை சுற்றுப்புறங்களின் மொழியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இங்கே, ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்புகள் செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்திற்கு வரம்புக்குட்பட்ட புள்ளிகளில் மட்டுமே கருதப்படுகின்றன, அதாவது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஒவ்வொரு சுற்றுப்புறத்திலும் இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனில் இருந்து புள்ளிகள் உள்ளன. இது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் சார்பு வாதத்தின் போக்கைப் பற்றி பேச அனுமதிக்கிறது. ஆனால் வரையறையின் டொமைனின் வரம்புப் புள்ளியானது வரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, மேலும் இது வரம்பை தீர்ப்பதன் மூலம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது: எடுத்துக்காட்டாக, திறந்த இடைவெளியின் முனைகளில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை ஒருவர் கருத்தில் கொள்ளலாம். செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், இடைவெளியின் எல்லைகள் வரையறை டொமைனில் சேர்க்கப்படவில்லை. இந்த அர்த்தத்தில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் துளையிடப்பட்ட சுற்றுப்புறங்களின் அமைப்பு அத்தகைய அடிப்படை தொகுப்புகளின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும். விரிவான தீர்வுடன் ஆன்லைனில் வரம்புகளைத் தீர்ப்பது நிகழ்நேரத்தில் செய்யப்படுகிறது மற்றும் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடப்பட்ட வடிவத்தில் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நீங்கள் நேரத்தையும் மிக முக்கியமாக பணத்தையும் மிச்சப்படுத்தலாம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் சில புள்ளியில் ஒரு வரம்பு இருந்தால், இந்த வரம்புக்கான தீர்வு இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய புள்ளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக மாறிவிடும். எங்கள் இணையதளத்தில், வரம்புகளுக்கான தீர்வு ஒரு நாளைக்கு இருபத்தி நான்கு மணி நேரமும், ஒவ்வொரு நாளும் மற்றும் ஒவ்வொரு நிமிடமும் ஆன்லைனில் கிடைக்கிறது, வரம்பு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் முக்கியமானது மற்றும் உங்கள் அறிவை சோதிக்க வேண்டிய ஒவ்வொரு முறையும் அதைப் பயன்படுத்துவதே முக்கிய விஷயம். இந்த அனைத்து செயல்பாட்டிலிருந்தும் மாணவர்கள் தெளிவாக பயனடைகிறார்கள். நாட்டில் உள்ள பல்கலைக்கழகங்களின் கணிதத் துறைகளின் அனுபவம் வாய்ந்த மாணவர்கள் சொல்வது போல், கோட்பாட்டை மட்டுமே பயன்படுத்தி வரம்பைக் கணக்கிடுவது எப்போதும் அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. இலக்கு இருந்தால் உண்மை உண்மையாகவே இருக்கும். பொதுவாக, வரம்புகளுக்குக் காணப்படும் தீர்வு சிக்கலை உருவாக்குவதற்கு உள்நாட்டில் பொருந்தாது. ஒரு மாணவர் இணையத்தில் வரம்பு கால்குலேட்டரை ஆன்லைனில் கண்டுபிடித்து, தனக்காக மட்டுமல்ல, அனைவருக்கும் இலவசமாகக் கிடைக்கும்போதே மகிழ்ச்சி அடைவார். அதன் பொதுவான புரிதலில், நோக்கம் கணிதமாக கருதப்பட வேண்டும். ஆன்லைனில் வரம்பை எவ்வாறு விரிவாகக் கண்டுபிடிப்பது என்று நீங்கள் இணையத்தில் கேட்டால், கோரிக்கையின் விளைவாக தோன்றும் தளங்களின் வெகுஜனமானது நாங்கள் விரும்பும் வழியில் உதவாது. கட்சிகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு சம்பவத்தின் சமநிலையால் பெருக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் அசல் முறையான வரம்பு கணித சிக்கலை உருவாக்குவதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். ஹாமில்டன் சொல்வது சரிதான், ஆனால் அவரது சமகாலத்தவர்களின் அறிக்கைகளைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு. இணையத்தில் வரம்புகளைக் கணக்கிடுவது என்பது முதல் பார்வையில் ஒருவருக்குத் தோன்றுவது போல் கடினமான செயல் அல்ல... அதனால் அசைக்க முடியாத கோட்பாடுகளின் உண்மையை உடைக்க முடியாது. ஆரம்ப நிலைக்குத் திரும்புகையில், வரம்பை விரைவாகவும், திறமையாகவும், நேர்த்தியாகவும் வடிவமைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் கணக்கிடுவது அவசியம். இல்லையெனில் செய்ய முடியுமா? இந்த அணுகுமுறை வெளிப்படையானது மற்றும் நியாயமானது. வரம்பு கால்குலேட்டர் அறிவை அதிகரிக்கவும், வீட்டுப்பாடம் எழுதும் தரத்தை மேம்படுத்தவும், மாணவர்களிடையே பொதுவான மனநிலையை உயர்த்தவும் உருவாக்கப்பட்டது, எனவே அது அவர்களுக்கு சரியாக இருக்கும். எவ்வளவு சீக்கிரம் முடியுமோ அவ்வளவு சீக்கிரம் யோசித்தால் மனம் வெற்றி பெறும். ஆன்லைன் இடைக்கணிப்பு விதிமுறைகளின் வரம்புகளைப் பற்றி வெளிப்படையாகப் பேசுவது அவர்களின் கைவினைத் துறையில் நிபுணர்களுக்கு மிகவும் நுட்பமான செயலாகும். விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகளில் திட்டமிடப்படாத வேறுபாடுகளின் அமைப்பின் விகிதத்தை நாங்கள் கணிக்கிறோம். மீண்டும், இந்தச் செயல்பாட்டின் வரம்பு முடிவிலியிலும், ஒரு உள்ளூர் புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்திலும், கொடுக்கப்பட்ட x-அச்சில், ஆரம்ப வெளிப்பாட்டின் இணைப்பு மாற்றத்திற்குப் பிறகு, நிச்சயமற்றதாகக் குறைக்கப்படுகிறது. விமானம் மற்றும் விண்வெளியின் உச்சியில் உள்ள புள்ளிகளின் ஏற்றத்தை பகுப்பாய்வு செய்வது எளிதாக இருக்கும். பொது விவகாரங்களில், ஒரு கணித சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் பற்றி கூறப்படவில்லை, உண்மையில் மற்றும் கோட்பாட்டளவில், இந்த அர்த்தத்தில் ஆன்லைன் வரம்பு கால்குலேட்டர் அதன் நோக்கத்திற்காக பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஆன்லைனில் வரம்பை வரையறுக்காமல், வளைவு இடத்தைப் படிக்கும் துறையில் மேலும் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வது கடினம். உண்மையான சரியான பதிலைக் கண்டறிவது எளிதாக இருக்காது. விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி முன்கூட்டியே நிச்சயமற்றதாக இருந்தால் வரம்பை கணக்கிட முடியாதா? ஆய்வுப் பகுதிக்கு அப்பால் பதில்கள் இருப்பதை மறுப்போம். வரம்புகளைத் தீர்ப்பது கணித பகுப்பாய்வின் பார்வையில் இருந்து அச்சில் உள்ள புள்ளிகளின் வரிசையின் ஆய்வின் தொடக்கமாக விவாதிக்கப்படலாம். கணக்கீடு என்ற உண்மை பொருத்தமற்றதாக இருக்கலாம். எண்கள் எல்லையற்ற வரிசையாகக் குறிப்பிடப்படுகின்றன மற்றும் கோட்பாட்டின் படி ஆன்லைனில் வரம்பை விரிவாகத் தீர்த்த பிறகு ஆரம்பக் குறிப்பால் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. சிறந்த மதிப்புக்கு ஆதரவாக நியாயப்படுத்தப்பட்டது. செயல்பாட்டு வரம்பின் விளைவாக, தவறாக வடிவமைக்கப்பட்ட சிக்கலில் வெளிப்படையான பிழையாக, ஒரு நிலையற்ற அமைப்பின் உண்மையான இயந்திர செயல்முறையின் கருத்தை சிதைக்க முடியும். பார்க்கும் பகுதிக்கு நேரடியாக அர்த்தத்தை வெளிப்படுத்தும் திறன். ஒரு பக்க வரம்பு மதிப்பின் ஒத்த குறியீட்டுடன் ஆன்லைன் வரம்பை இணைப்பதன் மூலம், குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அதை வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்துவதைத் தவிர்ப்பது நல்லது. பணியின் விகிதாசார செயல்பாட்டைத் தொடங்குவதற்கு கூடுதலாக. ஒருபக்க வரம்பைக் கணக்கிட்டு முடிவிலியில் எழுத முடிந்த பிறகு பல்லுறுப்புக்கோவையை விரிவுபடுத்துவோம். எளிய எண்ணங்கள் கணிதப் பகுப்பாய்வில் உண்மையான முடிவுக்கு வழிவகுக்கும். வரம்புகளின் ஒரு எளிய தீர்வு பெரும்பாலும் வெவ்வேறு கணித விளக்கப்படங்களின் செயல்படுத்தப்பட்ட சமத்துவத்திற்கு வரும். கோடுகள் மற்றும் ஃபைபோனச்சி எண்கள் வரம்பு கால்குலேட்டரை ஆன்லைனில் புரிந்துகொள்கின்றன, இதைப் பொறுத்து, நீங்கள் வரம்பற்ற கணக்கீட்டை ஆர்டர் செய்யலாம் மற்றும் சிக்கலானது பின்னணியில் பின்வாங்கலாம். முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு விமானத்தில் வரைபடத்தை விரிக்கும் செயல்முறை நடந்து வருகிறது. இது ஒரு சிக்கலான கணிதச் சிக்கலில் வெவ்வேறு பார்வைகளின் அவசியத்தைத் தூண்டியது. இருப்பினும், முடிவு வருவதற்கு நீண்ட காலம் இருக்காது. எவ்வாறாயினும், ஏறுவரிசை தயாரிப்பை உணரும் செயல்முறையானது கோடுகளின் இடத்தை சிதைக்கிறது மற்றும் சிக்கலை உருவாக்குவதைப் பற்றி உங்களைப் பழக்கப்படுத்த ஆன்லைனில் வரம்பை எழுதுகிறது. சிக்கல்களைக் குவிக்கும் செயல்முறையின் இயல்பான தன்மை கணிதத் துறைகளின் அனைத்து பகுதிகளின் அறிவின் அவசியத்தை தீர்மானிக்கிறது. ஒரு சிறந்த வரம்பு கால்குலேட்டர் திறமையான மாணவர்களின் கைகளில் ஒரு தவிர்க்க முடியாத கருவியாக மாறும், மேலும் டிஜிட்டல் முன்னேற்றத்தின் ஒப்புமைகளை விட அதன் அனைத்து நன்மைகளையும் அவர்கள் பாராட்டுவார்கள். பள்ளிகளில், சில காரணங்களால், ஆன்லைன் வரம்புகள் நிறுவனங்களை விட வித்தியாசமாக அழைக்கப்படுகின்றன. வாதம் மாறும்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகரிக்கும். L'Hopital மேலும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறிவது, சிக்கலை அதன் தர்க்கரீதியான முடிவுக்குக் கொண்டு வந்து, விரிவான வடிவத்தில் பதில் அளிக்க வேண்டும் என்று கூறினார். வழக்கில் உண்மைகள் இருப்பதற்கு யதார்த்தம் போதுமானது. ஆன்லைன் வரம்பு கணிதத் துறைகளின் வரலாற்று முக்கியத்துவம் வாய்ந்த அம்சங்களுடன் தொடர்புடையது மற்றும் எண் கோட்பாட்டின் ஆய்வுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது. கணித சூத்திரங்களில் பக்க குறியாக்கம் உலாவியில் கிளையன்ட் மொழியில் கிடைக்கிறது. x-அச்சின் திசையில் செயல்பாட்டை மாற்றுவதற்கு கட்டாயப்படுத்தாமல், ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய சட்ட முறையைப் பயன்படுத்தி வரம்பை எவ்வாறு கணக்கிடுவது. பொதுவாக, விண்வெளியின் யதார்த்தமானது ஒரு செயல்பாட்டின் குவிவு அல்லது அதன் குழிவுத்தன்மையை மட்டும் சார்ந்தது அல்ல. சிக்கலில் இருந்து அனைத்து அறியப்படாதவர்களையும் நீக்கி, வரம்புகளைத் தீர்ப்பது உங்களுக்குக் கிடைக்கும் கணித வளங்களின் குறைந்த செலவை ஏற்படுத்தும். கூறப்பட்ட சிக்கலைத் தீர்ப்பது செயல்பாட்டை நூறு சதவீதம் சரிசெய்யும். இதன் விளைவாக வரும் கணித எதிர்பார்ப்பு, மிகச்சிறிய குறிப்பிடத்தக்க சிறப்பு விகிதத்திலிருந்து விலகல் தொடர்பான வரம்பை ஆன்லைனில் விரிவாக வெளிப்படுத்தும். அறிவியலுக்கு ஆதரவாக கணித முடிவு எடுக்கப்பட்டு மூன்று நாட்கள் கடந்தன. இது உண்மையிலேயே பயனுள்ள செயலாகும். எந்த காரணமும் இல்லாமல், ஆன்லைன் வரம்பு இல்லாதது சூழ்நிலை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒட்டுமொத்த அணுகுமுறையில் வேறுபாட்டைக் குறிக்கும். 0/0 நிச்சயமற்ற ஒருபக்க வரம்புக்கு சிறந்த பெயர் எதிர்காலத்தில் தேவைப்படும். ஒரு வளமானது அழகாகவும் நல்லதாகவும் மட்டுமல்லாமல், உங்களுக்கான வரம்பைக் கணக்கிடும் போது பயனுள்ளதாகவும் இருக்கும். சிறந்த விஞ்ஞானி, ஒரு மாணவராக, அறிவியல் கட்டுரை எழுதுவதற்கான செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்தார். பத்து வருடங்கள் ஓடிவிட்டன. பல்வேறு நுணுக்கங்களுக்கு முன், செயல்பாட்டின் வரம்பு முதன்மைகளின் வேறுபாட்டைக் கடன் வாங்குகிறது என்பதற்கு ஆதரவாக கணித எதிர்பார்ப்பு குறித்து சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி கருத்துத் தெரிவிப்பது மதிப்பு. உத்தரவிடப்பட்ட சோதனைப் பணிக்கு அவர்கள் பதிலளித்தனர். கணிதத்தில், பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமான மூன்றாம் தரப்பு உறவுகளுடன் ஆன்லைன் வரம்புகளைப் படிப்பதன் மூலம் கற்பித்தலில் ஒரு விதிவிலக்கான நிலை ஆக்கிரமிக்கப்பட்டுள்ளது. சாதாரண நிகழ்வுகளில் நடப்பது போல. நீங்கள் எதையும் இனப்பெருக்கம் செய்ய வேண்டியதில்லை. கணிதக் கோட்பாடுகளுக்கான மாணவர்களின் அணுகுமுறைகளை பகுப்பாய்வு செய்த பின்னர், வரம்புகளின் தீர்வை இறுதி கட்டத்திற்கு முழுமையாக விட்டுவிடுவோம். பின்வருவனவற்றின் பொருள் இதுதான், உரையை ஆராயுங்கள். பெறப்பட்ட தகவலின் சாராம்சமாக கணித வெளிப்பாட்டை ஒளிவிலகல் தனித்துவமாக வரையறுக்கிறது. ஆன்லைன் வரம்பு என்பது பலதரப்பு திசையன்களின் சார்பியல் கணித அமைப்பின் உண்மையான நிலையை தீர்மானிக்கும் சாராம்சமாகும். இந்த அர்த்தத்தில், நான் எனது சொந்த கருத்தை வெளிப்படுத்த விரும்புகிறேன். முந்தைய பணியைப் போலவே. தனித்துவமான ஆன்லைன் வரம்பு, ஆய்வுத் துறையில் நிரல் பகுப்பாய்வின் தொடர் ஆய்வின் கணிதப் பார்வைக்கு அதன் செல்வாக்கை விரிவாக விரிவுபடுத்துகிறது. கோட்பாட்டின் சூழலில், கணிதம் என்பது அறிவியலை விட உயர்ந்த ஒன்று. விசுவாசம் செயல்களால் நிரூபிக்கப்படுகிறது. வரம்பு தவறாகக் கணக்கிடப்பட்டால், அவற்றின் மேல்நோக்கி இயக்கத்தைத் தொடங்கும் தொடர்ச்சியான எண்களின் சங்கிலியை வேண்டுமென்றே குறுக்கிட இயலாது. இரட்டை பக்க மேற்பரப்பு அதன் இயற்கை வடிவத்தில் முழு அளவில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. கணிதப் பகுப்பாய்வை ஆராயும் திறன், ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டத்தில் எப்சிலன் சுற்றுப்புறமாக செயல்படும் தொடர்களின் வரிசைக்கு ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கட்டுப்படுத்துகிறது. செயல்பாடுகளின் கோட்பாட்டிற்கு மாறாக, கணக்கீடுகளில் பிழைகள் விலக்கப்படவில்லை, ஆனால் இது சூழ்நிலையால் வழங்கப்படுகிறது. முப்பரிமாண இடைவெளியில் உள்ள நேரியல் அல்லாத அமைப்பின் வேகமான தயாரிப்புக்காக, வரம்பு ஆன்லைன் சிக்கலின் மூலம் வகுத்தல் ஒரு மாறி வேறுபாடு செயல்பாட்டைக் கொண்டு எழுதப்படலாம். ஒரு சிறிய வழக்கு செயல்பாட்டின் அடிப்படை. இந்த வழக்கை ஆய்வு செய்ய நீங்கள் ஒரு மாணவராக இருக்க வேண்டியதில்லை. நடந்துகொண்டிருக்கும் கணக்கீட்டின் தருணங்களின் மொத்தம், ஆரம்பத்தில் வரம்புகளின் தீர்வு என்பது எண்களின் பல மதிப்புகளில் ஆர்டினேட் அச்சில் முன்னேற்றத்தின் முழு ஒருங்கிணைந்த அமைப்பின் செயல்பாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது. சாத்தியமான சிறிய கணித மதிப்பை அடிப்படை மதிப்பாக எடுத்துக்கொள்கிறோம். முடிவு வெளிப்படையானது. விமானங்களுக்கு இடையிலான தூரம், ஆன்லைன் வரம்புகளின் கோட்பாட்டை விரிவுபடுத்த உதவும், ஏனெனில் முக்கியத்துவத்தின் துணை துருவ அம்சத்தின் மாறுபட்ட கணக்கீட்டு முறையைப் பயன்படுத்துவது எந்த உள்ளார்ந்த அர்த்தத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒரு சிறந்த தேர்வு, வரம்பு கால்குலேட்டர் சர்வரில் அமைந்திருந்தால், பகுதிகளில் மேற்பரப்பு மாற்றத்தின் முக்கியத்துவத்தை சிதைக்காமல் இதை அப்படியே எடுத்துக் கொள்ளலாம், இல்லையெனில் நேரியல் சிக்கல் அதிகமாகிவிடும். ஒரு முழுமையான கணித பகுப்பாய்வு, புள்ளியின் மிகச்சிறிய சுற்றுப்புறத்தின் பகுதியில் அதன் விளக்கத்துடன் அமைப்பின் உறுதியற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்தியது. ஆர்டினேட்டுகள் மற்றும் அப்சிசாஸின் குறுக்குவெட்டு அச்சில் உள்ள செயல்பாட்டின் எந்தவொரு வரம்பையும் போலவே, ஆராய்ச்சி செயல்முறையின் செயல்பாட்டின் விநியோகத்திற்கு ஏற்ப சில குறைந்தபட்ச சுற்றுப்புறங்களில் பொருட்களின் எண் மதிப்புகளை இணைக்க முடியும். டாஸ்க் பாயிண்ட் பாயிண்ட் பாயிண்டாக எழுதலாம். எழுத்தின் நிலைகளில் ஒரு பிரிவு உள்ளது. வரம்பை கணக்கிடுவது மிகவும் கடினம் அல்லது எளிதானது அல்ல என்ற கல்வி அறிக்கைகள் விதிவிலக்கு இல்லாமல் அனைத்து இளங்கலை மற்றும் பட்டதாரி மாணவர்களின் கணித பார்வைகளின் பகுப்பாய்வு மூலம் ஆதரிக்கப்படுகின்றன. சாத்தியமான இடைநிலை முடிவுகள் வர நீண்ட காலம் இருக்காது. மேலே உள்ள வரம்பு, கணிதத்தின் இடத்தின் நேர்கோட்டுத்தன்மை சிதைக்கப்பட்ட பொருள்களின் அமைப்பு வேறுபாட்டின் முழுமையான குறைந்தபட்சம் ஆன்லைனில் விரிவாக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. கழிப்பிற்கான ஆன்லைன் வரம்பு கால்குலேட்டரை எழுதிய பிறகு, பல கருத்து வேறுபாடுகளைக் கணக்கிட, பெரிய பகுதிப் பிரிவு மாணவர்களால் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை. தொடக்கத்திற்குப் பிறகு, மாணவர்கள் கணிதத்தில் இடஞ்சார்ந்த சூழலைப் படிப்பதில் சிக்கல்களைத் திருத்துவதைத் தடைசெய்வோம். செயல்பாட்டின் வரம்பை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டுபிடித்துவிட்டதால், விமானத்தில் அதன் ஆய்வின் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம். ஆர்டினேட் அச்சுகளை ஒரு சிறப்பு வண்ணத்துடன் முன்னிலைப்படுத்தி, கோடுகளின் திசையைக் காட்டுவோம். ஸ்திரத்தன்மை உள்ளது. பதில் எழுதும் போது நிச்சயமற்ற தன்மை நீண்ட காலமாக உள்ளது. ஆரம்ப நிலைகளின் கீழ் முடிவிலியில் உள்ள வரம்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை பகுப்பாய்வு செய்வதன் மூலம் ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை கணக்கிடுங்கள். இந்த முறை ஒவ்வொரு பயனருக்கும் தெரியாது. எங்களுக்கு கணித பகுப்பாய்வு தேவை. வரம்புகளைத் தீர்ப்பது பல ஆண்டுகளாக தலைமுறைகளின் மனதில் அனுபவத்தைக் குவிக்கிறது. செயல்முறையை சிக்கலாக்காமல் இருப்பது சாத்தியமில்லை. அனைத்து தலைமுறை மாணவர்களும் அதன் முடிவுக்கு பொறுப்பு. கணக்கீட்டு சக்தியின் வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் வரம்பு கால்குலேட்டர்களுக்குப் பின்தங்கிய ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள செயல்பாடுகளின் நிலைப்பாட்டிற்கான நிர்ணய வாதம் இல்லாத நிலையில் மேலே உள்ள அனைத்தும் மாறத் தொடங்கலாம். விளைந்த பதிலைப் பெறுவதற்கான செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். முடிவு தெளிவாக இல்லை. கணித வெளிப்பாடுகளை மாற்றிய பின் மொத்த எண்ணிக்கையில் இருந்து மறைமுகமான செயல்பாடுகளை விலக்கி வைத்துள்ள நிலையில், ஆன்லைனில் சரியாகவும் அதிக துல்லியமாகவும் வரம்புகளை கண்டுபிடிப்பதே கடைசி படியாக உள்ளது. வழங்கப்பட்ட முடிவின் ஏற்றுக்கொள்ளல் சரிபார்ப்புக்கு உட்பட்டது. செயல்முறை தொடர்கிறது. செயல்பாடுகளிலிருந்து தனிமைப்படுத்தப்பட்ட வரிசையைக் கண்டறிதல் மற்றும் அவர்களின் மகத்தான அனுபவத்தைப் பயன்படுத்தி, கணிதவியலாளர்கள் ஆராய்ச்சியில் சரியான திசையை நியாயப்படுத்த வரம்பை கணக்கிட வேண்டும். அத்தகைய முடிவுக்கு ஒரு தத்துவார்த்த ஊக்கம் தேவையில்லை. கணிதத்தில் எழுதப்பட்ட சிக்கலின் கீழ் வரம்பு கால்குலேட்டர் ஆன்லைன் மாறி இடஞ்சார்ந்த சாய்வின் கோணத்தை நோக்கி x-அச்சில் பூஜ்ஜியமற்ற புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் எண்களின் விகிதத்தை மாற்றவும். விண்வெளியில் இரண்டு பகுதிகளை இணைப்போம். ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு விண்வெளியில் ஒருதலைப்பட்ச மதிப்புகளின் பண்புகளை எவ்வாறு பெறுகிறது என்பது பற்றி தீர்வு காண்பவர்களிடையே உள்ள கருத்து வேறுபாடு மாணவர்களின் தீவிரமான மேற்பார்வை செயல்திறன்களால் கவனிக்கப்படாமல் இருக்க முடியாது. இந்த வரம்புகளின் கணக்கீடுகளில் உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மை தொடர்பாக கணிதம் ஆன்லைன் வரம்பில் உள்ள திசையானது மிகக் குறைவான போட்டி நிலைகளில் ஒன்றை எடுத்துள்ளது. ஒரு வட்டத்தின் மூன்று ஆரங்களின் ஒரு பக்கத்துடன் கூடிய சமபக்க முக்கோணங்கள் மற்றும் கனசதுரங்களின் உயரத்திற்கான ஆன்லைன் வரம்பு கால்குலேட்டர், அறிவியலின் ஆரம்ப கட்டத்தில் ஒரு மாணவருக்கு மனப்பாடம் செய்ய உதவும். ஆராய்ச்சி விமானத்தின் பக்கத்திலிருந்து செயல்படும் கணித பலவீனமான அமைப்பின் ஆய்வில் வரம்புகளை முடிவு செய்வதை மாணவர்களிடம் விட்டுவிடுவோம். எண் கோட்பாடு குறித்த மாணவர்களின் பார்வை தெளிவற்றதாக உள்ளது. ஒவ்வொருவருக்கும் அவரவர் கருத்து உள்ளது. மேம்பட்ட நாடுகளில் உள்ள பல்கலைக்கழகங்களில் உள்ளதைப் போல, கணிதப் படிப்பில் சரியான திசையானது உண்மையான அர்த்தத்தில் வரம்பை கணக்கிட உதவும். கணிதத்தில் கோட்டான்ஜென்ட் என்பது வரம்பு கால்குலேட்டராகக் கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் இது மற்ற இரண்டு அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் விகிதமாகும், அதாவது வாதத்தின் கோசைன் மற்றும் சைன். பிரிவுகளை பாதியாக குறைப்பதற்கான தீர்வு இதுவாகும். வேறுபட்ட அணுகுமுறை கடந்த தருணத்திற்கு ஆதரவாக நிலைமையை தீர்க்க வாய்ப்பில்லை. ஆன்லைன் வரம்பை புரிந்து கொள்ளாமல் விரிவாகத் தீர்ப்பது எப்படி மிகவும் கடினம் மற்றும் பயனற்றது என்பதைப் பற்றி நாம் நீண்ட நேரம் பேசலாம், ஆனால் இந்த அணுகுமுறை மாணவர்களின் உள் ஒழுக்கத்தை சிறப்பாக அதிகரிக்க முனைகிறது.

வரம்புகளின் கோட்பாடு கணித பகுப்பாய்வின் கிளைகளில் ஒன்றாகும். வரம்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான கேள்வி மிகவும் விரிவானது, ஏனெனில் பல்வேறு வகையான வரம்புகளைத் தீர்க்க டஜன் கணக்கான முறைகள் உள்ளன. இந்த அல்லது அந்த வரம்பை நீங்கள் தீர்க்க அனுமதிக்கும் டஜன் கணக்கான நுணுக்கங்கள் மற்றும் தந்திரங்கள் உள்ளன. ஆயினும்கூட, நடைமுறையில் அடிக்கடி சந்திக்கும் வரம்புகளின் முக்கிய வகைகளைப் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம்.

வரம்பு என்ற கருத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம். ஆனால் முதலில், ஒரு சுருக்கமான வரலாற்று பின்னணி. 19 ஆம் நூற்றாண்டில் அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி என்ற பிரெஞ்சுக்காரர் வாழ்ந்தார், அவர் மாத்தனின் பல கருத்துக்களுக்கு கடுமையான வரையறைகளை அளித்து அதன் அடித்தளத்தை அமைத்தார். இந்த மதிப்பிற்குரிய கணிதவியலாளர் இயற்பியல் மற்றும் கணிதத் துறைகளின் அனைத்து மாணவர்களின் கனவுகளிலும் இருக்கிறார், இருக்கிறார், இருப்பார் என்று சொல்ல வேண்டும், ஏனெனில் அவர் கணித பகுப்பாய்வின் ஏராளமான கோட்பாடுகளை நிரூபித்தார், மேலும் ஒரு தேற்றம் மற்றதை விட ஆபத்தானது. இது சம்பந்தமாக, நாங்கள் இன்னும் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம் Cauchy வரம்பை தீர்மானித்தல், ஆனால் இரண்டு விஷயங்களைச் செய்ய முயற்சிப்போம்:

1. வரம்பு என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்.
2. முக்கிய வகை வரம்புகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

சில அறிவியலற்ற விளக்கங்களுக்காக நான் மன்னிப்பு கேட்டுக்கொள்கிறேன், ஒரு தேநீர் தொட்டிக்கு கூட பொருள் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாக இருப்பது முக்கியம், இது உண்மையில் திட்டத்தின் பணியாகும்.

எனவே வரம்பு என்ன?

பாட்டியை ஏன் கசக்க வேண்டும் என்பதற்கு ஒரு உதாரணம்....

எந்த வரம்பும் மூன்று பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1) நன்கு அறியப்பட்ட வரம்பு ஐகான்.
2) வரம்பு ஐகானின் கீழ் உள்ளீடுகள், இந்த விஷயத்தில் . "எக்ஸ் ஒருவரை நோக்கி செல்கிறது" என்று உள்ளீடு கூறுகிறது. பெரும்பாலும் - சரியாக, நடைமுறையில் "X" க்கு பதிலாக மற்ற மாறிகள் உள்ளன. நடைமுறை பணிகளில், ஒன்றின் இடம் முற்றிலும் எந்த எண்ணாகவும் இருக்கலாம், அதே போல் முடிவிலி () ஆகவும் இருக்கலாம்.
3) வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் செயல்பாடுகள், இந்த வழக்கில் .

பதிவு தானே இவ்வாறு கூறுகிறது: "x என ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு ஒற்றுமைக்கு முனைகிறது."

அடுத்த முக்கியமான கேள்வியைப் பார்ப்போம் - “x” என்ற வெளிப்பாடு எதைக் குறிக்கிறது? பாடுபடுகிறதுஒருவருக்கு"? "முயற்சி" என்றால் என்ன?
ஒரு வரம்பு என்ற கருத்து ஒரு கருத்து, எனவே பேச, மாறும். ஒரு வரிசையை உருவாக்குவோம்: முதலில் , பிறகு , , ..., , ….
அதாவது, “x பாடுபடுகிறதுஒன்றுக்கு” ​​என்பது பின்வருமாறு புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும்: “x” தொடர்ந்து மதிப்புகளைப் பெறுகிறது இது ஒற்றுமையை எல்லையில்லாமல் நெருங்கி நடைமுறையில் அதனுடன் ஒத்துப்போகிறது.

மேலே உள்ள உதாரணத்தை எவ்வாறு தீர்ப்பது? மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில், வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் செயல்பாட்டில் ஒன்றை மாற்ற வேண்டும்:

எனவே, முதல் விதி: ஏதேனும் வரம்பு கொடுக்கப்பட்டால், முதலில் அந்த எண்ணை செயல்பாட்டில் செருக முயற்சிக்கிறோம்.

எளிமையான வரம்பை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம், ஆனால் இவை நடைமுறையில் நிகழ்கின்றன, மிகவும் அரிதாக இல்லை!

முடிவிலியுடன் உதாரணம்:

அது என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? இது வரம்பு இல்லாமல் அதிகரிக்கும் போது, ​​அதாவது: முதலில், பின்னர், பின்னர், பின்னர் மற்றும் விளம்பர முடிவில்லாதது.

இந்த நேரத்தில் செயல்பாட்டிற்கு என்ன நடக்கும்?
, , , …

எனவே: என்றால் , செயல்பாடு கழித்தல் முடிவிலிக்கு முனைகிறது:

தோராயமாகச் சொன்னால், நமது முதல் விதியின்படி, “X” க்குப் பதிலாக, செயல்பாட்டில் முடிவிலியை மாற்றி பதிலைப் பெறுகிறோம்.

முடிவிலியுடன் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு:

மீண்டும் நாம் முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கத் தொடங்குகிறோம் மற்றும் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் பார்க்கிறோம்:

முடிவு: செயல்பாடு வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கும் போது:

மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளின் மற்றொரு தொடர்:

பின்வருவனவற்றை உங்களுக்காக மனரீதியாக பகுப்பாய்வு செய்ய முயற்சிக்கவும் மற்றும் எளிமையான வகை வரம்புகளை நினைவில் கொள்ளவும்:

, , , , , , , , ,
உங்களுக்கு ஏதேனும் சந்தேகம் இருந்தால், நீங்கள் கால்குலேட்டரை எடுத்து சிறிது பயிற்சி செய்யலாம்.
அந்த நிகழ்வில், வரிசையை உருவாக்க முயற்சிக்கவும், . என்றால் , பிறகு , , .

! குறிப்பு: கண்டிப்பாகச் சொன்னால், பல எண்களின் வரிசைகளை உருவாக்குவதற்கான இந்த அணுகுமுறை தவறானது, ஆனால் எளிமையான உதாரணங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கு இது மிகவும் பொருத்தமானது.

பின்வரும் விஷயத்திலும் கவனம் செலுத்துங்கள். மேலே ஒரு பெரிய எண்ணைக் கொடுத்தாலும், அல்லது ஒரு மில்லியனுடன்: , எல்லாமே ஒன்றுதான் , விரைவில் அல்லது பின்னர் "எக்ஸ்" அத்தகைய பிரம்மாண்டமான மதிப்புகளைப் பெறத் தொடங்கும் என்பதால், ஒப்பிடுகையில் ஒரு மில்லியன் உண்மையான நுண்ணுயிரியாக இருக்கும்.

மேலே உள்ளவற்றிலிருந்து நீங்கள் என்ன நினைவில் வைத்து புரிந்து கொள்ள வேண்டும்?

1) ஏதேனும் வரம்பு கொடுக்கப்பட்டால், முதலில் அந்த எண்ணை செயல்பாட்டில் மாற்ற முயற்சிப்போம்.

2) எளிமையான வரம்புகளை நீங்கள் புரிந்துகொண்டு உடனடியாக தீர்க்க வேண்டும் , , முதலியன

மேலும், வரம்பு ஒரு நல்ல வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. தலைப்பைப் பற்றி நன்கு புரிந்துகொள்ள, நீங்கள் கற்பித்தல் பொருளைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். இந்த கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, வரம்பு என்றால் என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்வது மட்டுமல்லாமல், பொதுவாக ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு இருக்கும்போது சுவாரஸ்யமான நிகழ்வுகளையும் அறிந்து கொள்வீர்கள். இல்லை!

நடைமுறையில், துரதிருஷ்டவசமாக, சில பரிசுகள் உள்ளன. எனவே நாம் மிகவும் சிக்கலான வரம்புகளைக் கருத்தில் கொள்ளச் செல்கிறோம். மூலம், இந்த தலைப்பில் உள்ளது தீவிர படிப்பு pdf வடிவத்தில், நீங்கள் தயாரிப்பதற்கு மிகக் குறைந்த நேரம் இருந்தால் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஆனால் தள பொருட்கள், நிச்சயமாக, மோசமாக இல்லை:

இப்போது நாம் வரம்புகளின் குழுவைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் செயல்பாடு என்பது ஒரு பகுதியாகும், அதன் எண் மற்றும் வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன.

உதாரணமாக:

வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்

எங்கள் விதியின்படி, செயல்பாட்டில் முடிவிலியை மாற்ற முயற்சிப்போம். மேலே நாம் என்ன பெறுகிறோம்? முடிவிலி. கீழே என்ன நடக்கிறது? மேலும் முடிவிலி. எனவே, இனங்களின் நிச்சயமற்ற தன்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது. என்று ஒருவர் நினைக்கலாம் , மற்றும் பதில் தயாராக உள்ளது, ஆனால் பொது வழக்கில் இது எல்லாம் இல்லை, மேலும் சில தீர்வு நுட்பங்களைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், அதை நாம் இப்போது கருத்தில் கொள்வோம்.

இந்த வகை வரம்புகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

முதலில் நாம் எண்ணைப் பார்த்து மிக உயர்ந்த சக்தியைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எண்ணில் முன்னணி சக்தி இரண்டு.

இப்போது நாம் வகுப்பைப் பார்க்கிறோம், மேலும் அதை மிக உயர்ந்த சக்தியாகக் காண்கிறோம்:

வகுப்பின் மிக உயர்ந்த அளவு இரண்டு.

பின்னர் நாம் எண் மற்றும் வகுப்பின் மிக உயர்ந்த சக்தியைத் தேர்வு செய்கிறோம்: இந்த எடுத்துக்காட்டில், அவை ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் இரண்டிற்கு சமமானவை.

எனவே, தீர்வு முறை பின்வருமாறு: நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, அதிக சக்தியால் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிப்பது அவசியம்.

இங்கே அது, பதில், மற்றும் முடிவிலி அல்ல.

ஒரு முடிவை வடிவமைப்பதில் அடிப்படையில் முக்கியமானது என்ன?

முதலில், நிச்சயமற்ற தன்மை ஏதேனும் இருந்தால் குறிப்பிடுகிறோம்.

இரண்டாவதாக, இடைநிலை விளக்கங்களுக்கான தீர்வை குறுக்கிடுவது நல்லது. நான் வழக்கமாக அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறேன், அதற்கு எந்த கணித அர்த்தமும் இல்லை, ஆனால் இடைநிலை விளக்கத்திற்கு தீர்வு குறுக்கிடப்படுகிறது என்று அர்த்தம்.

மூன்றாவதாக, வரம்பில் என்ன நடக்கிறது என்பதைக் குறிக்க அறிவுறுத்தப்படுகிறது. வேலை கையால் வரையப்பட்டால், அதை இந்த வழியில் செய்வது மிகவும் வசதியானது:

குறிப்புகளுக்கு எளிய பென்சிலைப் பயன்படுத்துவது நல்லது.

நிச்சயமாக, நீங்கள் இதில் எதையும் செய்ய வேண்டியதில்லை, ஆனால், ஒருவேளை, ஆசிரியர் தீர்வில் உள்ள குறைபாடுகளை சுட்டிக்காட்டுவார் அல்லது வேலையைப் பற்றி கூடுதல் கேள்விகளைக் கேட்கத் தொடங்குவார். உங்களுக்கு இது தேவையா?

எடுத்துக்காட்டு 2

வரம்பைக் கண்டறியவும்
மீண்டும் எண் மற்றும் வகுப்பில் நாம் மிக உயர்ந்த நிலையில் காண்கிறோம்:

எண்ணிக்கையில் அதிகபட்ச பட்டம்: 3
வகுப்பில் அதிகபட்ச பட்டம்: 4
தேர்வு செய்யவும் மிகப்பெரியமதிப்பு, இந்த வழக்கில் நான்கு.
எங்கள் அல்காரிதம் படி, நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, நாம் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.
முழுமையான பணி இது போல் இருக்கலாம்:

எண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும்

எடுத்துக்காட்டு 3

வரம்பைக் கண்டறியவும்
எண்ணில் "X" இன் அதிகபட்ச பட்டம்: 2
வகுப்பில் "X" இன் அதிகபட்ச பட்டம்: 1 (இவ்வாறு எழுதலாம்)
நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிப்படுத்த, எண் மற்றும் வகுப்பினை ஆல் வகுக்க வேண்டும். இறுதி தீர்வு இப்படி இருக்கலாம்:

எண் மற்றும் வகுப்பை வகுக்கவும்

குறிப்பீடு என்பது பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் அல்ல (நீங்கள் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது), ஆனால் ஒரு எண்ணற்ற எண்ணால் வகுத்தல்.

எனவே, இனங்கள் நிச்சயமற்ற தன்மையை வெளிக்கொணர்வதன் மூலம், நம்மால் முடியும் இறுதி எண், பூஜ்யம் அல்லது முடிவிலி.

வகை மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறையின் நிச்சயமற்ற வரம்புகள்

வரம்புகளின் அடுத்த குழு இப்போது கருதப்பட்ட வரம்புகளுக்கு ஓரளவு ஒத்திருக்கிறது: எண் மற்றும் வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் உள்ளன, ஆனால் "x" இனி முடிவிலிக்கு முனைவதில்லை, ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட எண்.

எடுத்துக்காட்டு 4

வரம்பை தீர்க்கவும்
முதலில், பின்னத்தில் -1 ஐ மாற்ற முயற்சிப்போம்:

இந்த வழக்கில், நிச்சயமற்ற தன்மை என்று அழைக்கப்படுவது பெறப்படுகிறது.

பொது விதி: எண் மற்றும் வகுப்பில் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இருந்தால், மற்றும் படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை இருந்தால், அதை வெளிப்படுத்தவும் நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பினைக் கணக்கிட வேண்டும்.

இதைச் செய்ய, பெரும்பாலும் நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும் மற்றும்/அல்லது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இந்த விஷயங்கள் மறந்துவிட்டால், பக்கத்தைப் பார்வையிடவும் கணித சூத்திரங்கள் மற்றும் அட்டவணைகள்மற்றும் கற்பித்தல் பொருட்களை படிக்கவும் பள்ளி கணித பாடத்திற்கான சூடான சூத்திரங்கள். மூலம், அதை அச்சிடுவது சிறந்தது, இது அடிக்கடி தேவைப்படுகிறது, மேலும் தகவல் காகிதத்திலிருந்து சிறப்பாக உறிஞ்சப்படுகிறது.

எனவே, நமது வரம்பை தீர்த்துக் கொள்வோம்

எண் மற்றும் வகுப்பின் காரணி

எண்களைக் கணக்கிட, நீங்கள் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும்:

முதலில் நாம் பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

மற்றும் அதன் வர்க்கமூலம்: .

பாகுபாடு பெரியதாக இருந்தால், எடுத்துக்காட்டாக 361, நாம் ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்துகிறோம், வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் செயல்பாடு எளிமையான கால்குலேட்டரில் உள்ளது.

! ரூட் முழுவதுமாக பிரித்தெடுக்கப்படாவிட்டால் (கமாவுடன் ஒரு பகுதி எண் பெறப்பட்டது), பாகுபாடு தவறாகக் கணக்கிடப்பட்டிருக்கலாம் அல்லது பணியில் எழுத்துப்பிழை இருந்திருக்கலாம்.

அடுத்து நாம் வேர்களைக் காண்கிறோம்:

இதனால்:

அனைத்து. எண் காரணியாக உள்ளது.

வகுக்கும். வகுத்தல் ஏற்கனவே எளிமையான காரணியாகும், மேலும் அதை எளிமைப்படுத்த எந்த வழியும் இல்லை.

வெளிப்படையாக, இது சுருக்கப்படலாம்:

இப்போது வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் இருக்கும் வெளிப்பாட்டிற்கு -1 ஐ மாற்றுவோம்:

இயற்கையாகவே, ஒரு சோதனை, சோதனை அல்லது தேர்வில், தீர்வு ஒருபோதும் இவ்வளவு விரிவாக எழுதப்படவில்லை. இறுதி பதிப்பில், வடிவமைப்பு இப்படி இருக்க வேண்டும்:

எண்ணிக்கையை காரணியாக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்

முதலில், தீர்வின் "முடிவு" பதிப்பு

எண் மற்றும் வகுப்பினை காரணியாகக் கொள்வோம்.

எண்:
வகுக்கும்:



,

இந்த எடுத்துக்காட்டில் முக்கியமானது என்ன?
முதலாவதாக, எண் எவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது என்பதை நீங்கள் நன்கு புரிந்து கொள்ள வேண்டும், முதலில் அடைப்புக்குறிக்குள் 2 ஐ எடுத்தோம், பின்னர் சதுரங்களின் வேறுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம். நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய ஃபார்முலா இது.

பரிந்துரை: ஒரு வரம்பில் (கிட்டத்தட்ட எந்த வகையிலும்) அடைப்புக்குறிக்குள் ஒரு எண்ணை எடுக்க முடியும் என்றால், நாங்கள் அதை எப்போதும் செய்கிறோம்.
மேலும், அத்தகைய எண்களை வரம்பு ஐகானுக்கு அப்பால் நகர்த்துவது நல்லது. எதற்காக? ஆம், அவர்கள் வழியில் வரக்கூடாது என்பதற்காகத்தான். முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், தீர்வின் போது இந்த எண்களை இழக்கக்கூடாது.

தீர்வின் இறுதி கட்டத்தில், நான் வரம்பு ஐகானில் இருந்து இரண்டையும் எடுத்தேன், பின்னர் கழித்தல்.

! முக்கியமான
தீர்வு போது, ​​வகை துண்டு மிகவும் அடிக்கடி ஏற்படுகிறது. இந்த பகுதியைக் குறைக்கவும்அது தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது . முதலில் நீங்கள் எண் அல்லது வகுப்பின் அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டும் (அடைப்புக்குறிக்குள் -1 ஐ வைக்கவும்).
, அதாவது, ஒரு கழித்தல் அடையாளம் தோன்றும், இது வரம்பை கணக்கிடும் போது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது மற்றும் அதை இழக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.

பொதுவாக, இந்த வகையின் வரம்புகளைக் கண்டறிவதில் நீங்கள் இரண்டு இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டும் என்பதை நான் கவனித்தேன், அதாவது எண் மற்றும் வகுப்பில் இருபடி முக்கோணங்கள் உள்ளன.

எண் மற்றும் வகுப்பினை இணை வெளிப்பாடு மூலம் பெருக்கும் முறை

படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மையை நாங்கள் தொடர்ந்து கருதுகிறோம்

அடுத்த வகை வரம்புகள் முந்தைய வகையைப் போலவே இருக்கும். ஒரே விஷயம், பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு கூடுதலாக, நாம் வேர்களைச் சேர்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

வரம்பைக் கண்டறியவும்

முடிவு செய்ய ஆரம்பிக்கலாம்.

முதலில் வரம்பு அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாட்டிற்கு 3 ஐ மாற்ற முயற்சிக்கிறோம்
நான் மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறேன் - எந்த வரம்புக்கும் நீங்கள் செய்ய வேண்டிய முதல் விஷயம் இதுதான். இந்த நடவடிக்கை பொதுவாக மனரீதியாக அல்லது வரைவு வடிவத்தில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது.

படிவத்தின் நிச்சயமற்ற தன்மை பெறப்பட்டது, அது அகற்றப்பட வேண்டும்.

நீங்கள் கவனித்தபடி, எங்கள் எண்ணிக்கையில் வேர்களின் வித்தியாசம் உள்ளது. மேலும் கணிதத்தில், முடிந்தால், வேர்களை அகற்றுவது வழக்கம். எதற்காக? மேலும் அவர்கள் இல்லாமல் வாழ்க்கை எளிதானது.