Виды парадоксов

Существуют парадоксы, которые возникают в определенной области научного знания в процессе исторического развития науки, когда обнаруживается противоречие между определенной устоявшейся системой знания и новыми фактами, между закрепленной в определенных парадигмах направлениях исследований и новыми открытиями, что не укладываются в эти парадигмы. Так, научные открытия в космологии, квантовой физике, биологии, сделанные в XX в., противоречат классическим теориям в этих отраслях наук и трактуются как парадоксальные с точки зрения классических теорий.

В каждой отрасли научного познания появляются специфические парадоксы - физические, химические, биологические, математические и др.

Парадоксы, которые возникают в рамках определенной научной теории, обнаруживают противоречивость самого движения материальных объектов, которые изучает наука, "двойственность" природы самого объекта исследования, предопределяя переосмысление фундаментальных принципов и парадигм конкретной науки. Например, в теории квантовой химии обнаружено, что электрон вокруг ядра в любой момент находится в каждой элементарной точке пространства, хотя электрон - элементарная частица.

Типы парадоксов

Парадоксы по типам логики классифицировали на семантические и логические.

Семантические парадоксы возникают в рассуждениях:

В процессе связи выражений языка с их предметным значением, то есть денотатом;

Когда смешиваются два уровня символической репрезентации объектов соображений, а именно - уровень объектного языка и метамови;

Когда используют абстрактные, неопределенные сроки, под которые можно подвести любой объект;

Когда возникает проблема определения истинности или ложности высказываний в определенном контексте.

В семантических парадоксов относятся: парадокс "Лжец", гетерологічний парадокс, парадокс теории имен, парадокс (антиномия) отношение наименования.

Парадокс "Лжец" логики классифицируют как антиномию. Его впервые сформулировал древнегреческий философ Эвбулид из Милета, и он имеет два варианта выражения: 1. Кое-кто говорит "Я вру"; 2. Критянин Эпименид сказал: "Все критяне - - лжецы".

Смысл парадокса "Лжец" заключается в том, что нельзя однозначно определить истинность или ложность высказывания "Я вру". Так, если Эпименид не врет, то его высказывание истинно и, следовательно, Эпименид-лжец; если Эпименид лжет, то его высказывания - ложное, следовательно, Эпименид не лжец. Получаем антиномию - "Эпименид лжет и не лжет", или "Высказывания "Я вру" истинное, поскольку оно ложно, и ложное, поскольку оно верно".

Другую модификацию парадокса "Лжец" сформулировал английский логик П. Журден: "Высказывание, написанное на первом стороне этой карточки, - истинное; а на другой стороне той же карте написано: Высказывание, написанное на другой стороне этой карточки, - ложное". Если первое высказывание истинно, то второе высказывание также истинно, поскольку в первом высказывании утверждается, что второе высказывание - истинно. Но если второе высказывание истинно, то "первое высказывание - ложное" - ошибочное. Итак, из двух возможных предположений истинности этих двух высказываний возникает противоречие.

Ученые предлагали много способов решения парадокса "Лжец". Например, польский логик А. Тарский предложил четко различать уровни языка - объектной и метамови. Именно высказывания "Я вру" сформулировано объектным языком, а то, что оно является парадоксальным, определяется на уровне его металогічного анализа средствами метамови. Для этого стоит создать формализованную язык, который содержит высказывания А, предикат истины Г. Формула Р1 (А) г А (высказывание А-истинно, если и только если А). Это значит: высказывание А истинно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, то есть фиксирует (отражает) существование предмета, о котором идет речь в высказывании.

Высказывание критянина Епіменіда "Все критяне - - лжецы" также выражено объектным языком. Согласно металогічним анализом, Эпименид также является лжецом, поскольку он, как критянин, входит к классу жителей острова Крит. Если бы Эпименид не был критянином, то высказывания " Все критяне - лжецы" не было бы парадоксальным.

Гетерологічний парадокс сформулировал К. Греллінг (1886 - 1941 гг.). Это парадокс, который возникает в результате выделения таких выражений речи, как прилагательные, значением которых являются свойства, например, "красное", "новое", "старое", "украинский". Слово, которое имеет свойство Р, именем которого оно является, называется автологічним. Слово, которое не является автологічним, называют гетерологічним. Если слово (прилагательное) обозначает свойство, присущее ему самому, то его называют автологічним. Это, например, слово "украинский", а слова "белое", "черное" не являются словами автологічними, следовательно, они - гетерологічні. К какому виду слов - автологічних или гетерологичных принадлежит именно слово "гетерологічне"? Получаем антиномию: "Если слово "гетерологічне" - гетерологічне, то оно не гетерологічне, а если оно не гетерологічне, то оно гетерологічне".

Парадокс теории имен - семантический парадокс, который возник в рамках теории логической семантики, что разработали Г. Фреге, Б. Рассел, Г. Карнап и другие логики, заменяя собственное имя дескрипцией и наоборот, дескрипцію собственным именем (см. 2.2.4). Собственное имя - простой знак, которым обозначается единичный (индивидуальный) предмет. Дескрипція - сложный знак, в котором определяют свойства предмета или отношения между классами. Если в определенном контексте подменить собственное имя дескрипцией, то возникает семантический парадокс. Например, за Бы. Расселом, имя собственное "Вальтер Скотт" и дескрипція "автор "Веверлея" указывают на один предмет, соответственно, утверждение. "Король Генрих IV желает знать, является ли Вальтер Скотт автором "Веверлея" не содержит парадокса, но, если заменить имя собственное "Вальтер Скотт" дескрипцией "автор "Веверлея", то получаем утверждение: "Король Генрих IV желает знать, является ли Вальтер Скотт Вальтером Скоттом", которое парадоксальное.

Логические парадоксы - парадоксы, возникшие в пределах определенной логической теории в процессе развития науки логики. В логических парадоксов относятся парадоксы материальной импликации, парадоксы строгой импликации, парадоксы епістемічної логики, парадоксы логики существования и др. (содержание этих парадоксов будет определен в контексте анализа конкретной логической теории, где возникли эти парадоксы).

Парадокс теории классов (множеств). В логико-математической теории классов (множеств) английский логик и математик Б. Рассел обнаружил логическую противоречивость, которая получила название парадокса (антиномии) классов (множеств). Все множества можно разделить на следующие виды: 1. Множества, которые не являются элементами самих себя. Такие множества называют собственными. Например, множество всех государств, всех натуральных чисел, всех книг в научной библиотеке университета города Н. и др. 2. Множества, которые являются элементами самих себя. Такие множества называют несобственными. Первый вид множеств обозначается символом М., а второй - символом М2. Далее предполагаем, что можно образовать множество М тех и только тех множеств, которые являются собственными, то есть всех тех множеств, которые не содержат самих себя как элементы. Это множественное число - - противоречива, поскольку, по определению, она принадлежит к числу своих элементов тогда и только тогда, когда она не принадлежит к их числу.

Для решения парадокса теории множеств Бы. Рассел разработал теорию типов, сущность которой заключается вот в чем. Все множества можно разделить на типы, каждый из которых отделяет элементы, принадлежащие только к одному типу и не относятся к другому. Так создается иерархия типов множеств: нулевой тип содержит только элементы, имеющие свойство Р, первый тип содержит элементы, имеющие свойства Г.; второй тип - имеет свойства Р2 и под. Каждый тип означает определенный уровень абстрагирования и обобщения множеств: а) обычное множество; б) необычная множество (множество всех множеств), т.е. множество, которое содержит само себя в качестве элемента. К которой множества отнести множество всех обычных множеств? По мнению Б. Рассела и теория типов позволяет выделить иерархию множеств и тем самым преодолеть парадокс теории множеств.

Популярными вариантами парадокса теории множеств есть парадоксы "Мэр муниципалитета" и "Парикмахер".

Парадокс "Мэр муниципалитета" сформулировал американский логик С. Клини (1909-1994 гг.) как популярный вариант парадокса теории множеств. "Каждый муниципалитет в Голландии должен иметь мэра, и два разные муниципалитеты не могут иметь одного и того же мэра. Иногда оказывается, что мэр не живет в своем муниципалитете. Предполагаем, что издан закон, согласно которому определенную территорию выделяют только для таких мэров, которые не живут в своих муниципалитетах, и он обязывает всех мэров поселиться на этой территории. Еще допустим, что этих мэров оказалось столько, что эта территория Н. образует муниципалитет. Где должен жить мэр муниципалитета Я.?"

Парадокс "Парикмахер" - второй популярный вариант парадокса теории множеств. "Парикмахер бреет тех и только тех мужчин одного поселка, которые не бреются сами. Или парикмахер бреет самого себя?"

Аристотель. Сочинения: В 4 т. - М., 1978. Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. - М., 1981. Войшвилло Е. Понятие как форма мышления. - М., 1989. Г. фон Вригт. Гетерологический парадокс // Логико-философские исследования. - М., 1986.

Жоль К. Вступление к современной логики. - К., 1992.

Ивин А. Искусство правильно мыслить. - М., 1986.

Ивин А. Логика. - К., 1996.

Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. - М., 1978. Кант И. Сочинения: В 6 т. - М., 1964. Конверский А. Логика (традиционная и современная). - К., 2004. Кондаков Н. Логический словарь-справочник. - М., 1975. Лейбниц Г. Сочинения: В 4 т. - М., 1984. Логический словарь "Дефорт". - М., 1994. Минто В. Дедуктивная и индуктивная логика. - С.-Пб., 1995.

Фреге Г. Логика и логическая семантика. - М., 2000. Хоменко И. Логика для юристов. - К., 2001. Шуман А. Современная логика: Теория и практика. - М., 2004.

Kotarbinski Т. Kurs logiki. - Warszawa, 1955.

Известно, что сформулировать проблему часто важнее и труднее, чем решить ее. «В науке, – писал английский химик Ф. Содди, – задача, надлежащим образом поставленная, более чем наполовину решена. Процесс умственной подготовки, необходимый для выяснения того, что существует определенная задача, часто отнимает больше времени, чем само решение задачи».

Формы, в которых проявляется и осознается проблемная ситуация, очень разнообразны. Далеко не всегда она обнаруживает себя в виде прямого вопроса, вставшего в самом начале исследования. Мир проблем так же сложен, как и порождающий их процесс познания. Выявление проблем связано с самой сутью творческого, мышления. Парадоксы представляют собой наиболее интересный случай неявных, безвопросных способов постановки проблем. Парадоксы обычны на ранних стадиях развития научных теорий, когда делаются первые шаги в еще неизученной области и нащупываются самые общие принципы подхода к ней.

Парадоксы и логика

В широком смысле парадокс – это положение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися, ортодоксальными мнениями. «Общепризнанные мнения и то, что считают делом давно решенным, чаще всего заслуживают исследования» (Г.Лихтенберг). Парадокс – начало такого исследования.

Парадокс в более узком и специальном значении – это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.

Наиболее резкая форма парадокса – антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках – математике и логике. И это не случайно.

Логика – абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический, нерасчленённый характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.

Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.

Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?

Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим как раз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.

Варианты парадокса «Лжеца»

Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс «Лжец». Он-то главным образом и прославил имя открывшего его Евбулида из Милета.

Имеются варианты этого парадокса, или антиномии, многие из которых являются только по видимости парадоксальными.

В простейшем варианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Или: «Это высказывание ложно».

Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

В средние века распространенной была такая формулировка:

– Сказанное Платоном – ложно, – говорит Сократ.

– То, что сказал Сократ, – истина, – говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь?

А вот современная перефразировка этого парадокса. Допустим, что на лицевой стороне карточки написаны только слова: «На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание». Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы должны либо обнаружить обещанное высказывание, либо его нет. Если оно написано на обороте, то оно является либо истинным, либо нет. Однако на обороте стоят слова: «На другой стороне этой карточки написано ложное высказывание» – и ничего более. Допустим, что утверждение на лицевой стороне истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение на лицевой стороне ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге – парадокс.

Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять почему. Вопрос, который в нем ставится, с первого взгляда кажется совсем простым: лжет ли тот, кто говорит только то, что он лжет? Но ответ «да» приводит к ответу «нет», и наоборот. И размышление ничуть не проясняет ситуацию. За простотой и даже обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.

Ходит даже легенда, что некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой. Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение «Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.

В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.

В новое время «Лжец» долго не привлекал никакого внимания. В нем не видели никаких, даже малозначительных затруднений, касающихся употребления языка. И только в наше, так называемое новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, когда проблемы, стоящие, как представляется, за этим парадоксом, стало возможным формулировать уже в строгих терминах.

Теперь «Лжец» – этот типичный бывший софизм – нередко именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за ним и как следует избавляться от него.

Язык и метаязык

Сейчас «Лжец» обычно считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смешение двух языков: языка, на котором говорится о лежащей вне его действительности, и языка, на котором говорят о самом первом языке.

В повседневном языке нет различия между этими уровнями: и о действительности, и о языке мы говорим на одном и том же языке. Например, человек, родным языком которого является русский язык, не видит никакой особой разницы между утверждениями: «Стекло прозрачно» и «Верно, что стекло прозрачно», хотя одно из них говорит о стекле, а другое – о высказывании относительно стекла.

Если бы у кого-то возникла мысль о необходимости говорить о мире на одном языке, а о свойствах этого языка – на другом, он мог бы воспользоваться двумя разными существующими языками, допустим русским и английским. Вместо того, чтобы просто сказать: «Корова – это существительное», сказал бы «Корова is a noun», а вместо: «Утверждение „Стекло не прозрачно“ ложно» произнес бы «The assertion „Стекло не прозрачно“ is false». При таком использовании двух разных языков сказанное о мире ясно отличалось бы от сказанного о языке, с помощью которого говорят о мире. В самом деле, первые высказывания относились бы к русскому языку, в то время как вторые – к английскому.

Если бы далее нашему знатоку языков захотелось высказаться по поводу каких-то обстоятельств, касающихся уже английского языка, он мог бы воспользоваться еще одним языком. Допустим немецким. Для разговора об этом последнем можно было бы прибегнуть, положим, к испанскому языку и т.д.

Получается, таким образом, своеобразная лесенка, или иерархия, языков, каждый из которых используется для вполне определенной цели: на первом говорят о предметном мире, на втором – об этом первом языке, на третьем – о втором языке и т.д. Такое разграничение языков по области их применения – редкое явление в обычной жизни. Но в науках, специально занимающихся, подобно логике, языками, оно иногда оказывается весьма полезным. Язык, на котором рассуждают о мире, обычно называют предметным языком. Язык, используемый для описания предметного языка, именуют метаязыком.

Ясно, что, если язык и метаязык разграничиваются указанным образом, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано. Оно говорит о ложности того, что сказано на русском языке, и, значит, относится к метаязыку и должно быть высказано на английском языке. Конкретно оно должно звучать так: «Everything I speak in Russian is false» («Все сказанное мной по-русски ложно»); в этом английском утверждении ничего не говорится о нем самом, и никакого парадокса не возникает.

Различение языка и метаязыка позволяет устранить парадокс «Лжеца». Тем самым появляется возможность корректно, без противоречия определить классическое понятие истины: истинным является высказывание, соответствующее описываемой им действительности.

Понятие истины, как и все иные семантические понятия, имеет относительный характер: оно всегда может быть отнесено к определенному языку.

Как показал польский логик А.Тарский, классическое определение истины должно формулироваться в языке более широком, чем тот язык, для которого оно предназначено. Иными словами, если мы хотим указать, что означает оборот «высказывание, истинное в данном языке», нужно, помимо выражений этого языка, пользоваться также выражениями, которых в нем нет.

Тарский ввел понятие семантически замкнутого языка. Такой язык включает, помимо своих выражений, их имена, а также, что важно подчеркнуть, высказывания об истинности формулируемых в нем предложений.

Границы между языком и метаязыком в семантически замкнутом языке не существует. Средства его настолько богаты, что позволяют не только что-то утверждать о внеязыковой реальности, но и оценивать истинность таких утверждений. Этих средств достаточно, в частности, для того, чтобы воспроизвести в языке антиномию «Лжец». Семантически замкнутый язык оказывается, таким образом, внутренне противоречивым. Каждый естественный язык является, очевидно, семантически замкнутым.

Единственно приемлемый путь для устранения антиномии, а значит, и внутренней противоречивости, согласно Тарскому, – отказ от употребления семантически замкнутого языка. Этот путь приемлем, конечно, только в случае искусственных, формализованных языков, допускающих ясное подразделение на язык и метаязык. В естественных же языках с их неясной структурой и возможностью говорить обо всем на одном и том же языке такой подход не очень реален. Ставить вопрос о внутренней непротиворечивости этих языков не имеет смысла. Их богатые выразительные возможности имеют и свою обратную сторону – парадоксы.

Другие решения парадокса

Итак, существуют высказывания, говорящие о своей собственной истинности или ложности. Идея, что такого рода высказывания не являются осмысленными, очень стара. Ее отстаивал еще древнегреческий логик Хрисипп.

В средние века английский философ и логик У.Оккам заявлял, что утверждение «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, поскольку оно говорит в числе прочего и о своей собственной ложности. Из этого утверждения прямо следует противоречие. Если всякое высказывание ложно, то это относится и к самому данному утверждению; но то, что оно ложно, означает, что не всякое высказывание является ложным. Аналогично обстоит дело и с утверждением «Всякое высказывание истинно». Оно также должно быть отнесено к бессмысленным и также ведет к противоречию: если каждое высказывание истинно, то истинным является и отрицание самого этого высказывания, то есть высказывание, что не всякое высказывание истинно.

Почему, однако, высказывание не может осмысленно говорить о своей собственной истинности или ложности?

Уже современник Оккама, французский философ XIV в. Ж. Буридан, не был согласен с его решением. С точки зрения обычных представлений о бессмысленности, выражения типа «Я лгу», «Всякое высказывание истинно (ложно)» и т.п. вполне осмысленны. О чем можно подумать, о том можно высказаться, – таков общий принцип Буридана. Человек может думать об истинности утверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться об этом. Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к бессмысленным. Например, утверждение «Это предложение написано по-русски» является истинным, а утверждение «В этом предложении десять слов» ложно. И оба они совершенно осмысленны. Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, то почему оно не способно со смыслом говорить и о таком своем свойстве, как истинность?

Сам Буридан считал высказывание «Я лгу» не бессмысленным, а ложным. Он обосновывал это так. Когда человек утверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оно истинно. Если же предложение говорит о себе, что оно само является ложным, то оно представляет собой только сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего одновременно и свою истинность, и свою ложность. Это выражение противоречиво и, следовательно, ложно. Но оно никак не бессмысленно.

Аргументация Буридана и сейчас иногда считается убедительной.

Имеются и другие направления критики того решения парадокса «Лжец», которое было в деталях развито Тарским. Действительно ли в семантически замкнутых языках – а таковы ведь все естественные языки – нет никакого противоядия против парадоксов этого типа?

Если бы это было так, то понятие истины можно было бы определить строгим образом только в формализованных языках. Только в них удается разграничить предметный язык, на котором рассуждают об окружающем мире, и метаязык, на котором говорят об этом языке. Эта иерархия языков строится по образцу усвоения иностранного языка с помощью родного. Изучение такой иерархии привело ко многим интересным выводам, и в определенных случаях она существенна. Но ее нет в естественном языке. Дискредитирует ли это его? И если да, то в какой именно мере? Ведь в нем понятие истины все-таки употребляется, и обычно без всяких осложнений. Является ли введение иерархии единственным способом исключения парадоксов, подобных «Лжецу?»

В 30-е годы ответы на эти вопросы представлялись несомненно утвердительными. Однако сейчас былого единодушия уже нет, хотя традиция устранять парадоксы данного типа путем «расслаивания» языка остается господствующей.

В последнее время все больше внимания привлекают эгоцентрические выражения. В них встречаются слова, подобные «я», «это», «здесь», «теперь», и их истинность зависит от того, когда, кем, где они употребляются.

В утверждении «Это высказывание является ложным» встречается слово «это». К какому именно объекту оно относится? «Лжец» может говорить о том, что слово «это» не относится к смыслу данного утверждения. Но тогда к чему оно относится, что обозначает? И почему данный смысл не может быть все-таки обозначен словом «это»?

Не вдаваясь здесь в детали, стоит отметить только, что в контексте анализа эгоцентрических выражений «Лжец» наполняется совершенно иным содержанием, чем ранее. Оказывается, он уже не предостерегает от смешения языка и метаязыка, а указывает на опасности, связанные с неправильным употреблением слова «это» и подобных ему эгоцентрических слов.

Проблемы, связывавшие на протяжении веков с «Лжецом», радикально менялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне представляющееся как образец смешения языка и метаязыка, или же, наконец, как типичный пример неверного употребления эгоцентрических выражений. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие проблемы.

Известный современный финский логик и философ Г. фон Вригт писал в своей работе, посвященной «Лжецу», что данный парадокс ни в коем случае не должен пониматься как локальное, изолированное препятствие, устранимое одним изобретательным движением мысли. «Лжец» затрагивает многие наиболее важные темы логики и семантики. Это и определение истины, и истолкование противоречия и доказательства, и целая серия важных различий: между предложением и выражаемой им мыслью, между употреблением выражения и его упоминанием, между смыслом имени и обозначаемым им объектом.

Аналогично обстоит дело и с другими логическими парадоксами. «Антиномии логики, – пишет фон Вригт, – озадачили с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их не столько как проблемы, ожидающие решения, сколько как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления».

В заключение этого разговора о «Лжеце» можно вспомнить курьезный эпизод из того времени, когда формальная логика еще преподавалась в школе. В учебнике логики, изданном в конце 40-х годов, школьникам восьмого класса предлагалось в качестве домашнего задания – в порядке, так сказать, разминки – найти ошибку, допущенную в этом простеньком на вид утверждении: «Я лгу». И, пусть это не покажется странным, считалось, что школьники в большинстве своем успешно справлялись с таким заданием.

2. Парадокс Рассела

Самым знаменитым из открытых уже в нашем веке парадоксов является антиномия, обнаруженная Б. Расселом и сообщенная им в письме к Г. Ферге. Эту же антиномию обсуждали одновременно в Геттингене немецкие математики 3. Цермело и Д. Гильберт.

Идея носилась в воздухе, и ее опубликование произвело впечатление разорвавшейся бомбы. Этот парадокс вызвал в математике, по мнению Гильберта, эффект полной катастрофы. Нависла угроза над самыми простыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезными понятиями.

Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю их существования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым отход от привычных способов мышления. Но из какого места и в каком направлении? Насколько радикальным должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования?

С дальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее открытия специалисты по основаниям логики и математики Л. Френкель и И.Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных (то есть имевших хождение до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этой цели».

Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этом парадоксе: «В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не поддавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтись люди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка».

Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса.

Можно говорить о множествах различных объектов, например, о множестве всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет всякий отдельный человек, элементом второго – каждое натуральное число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий.

Множество обычных множеств

Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов – это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.

Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов.

Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий «множество» и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.

Другие варианты парадокса

Парадокс Рассела не имеет специфически математического характера. В нем используется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно с математикой его свойства.

Это становится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.

О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимо оно к самому себе или нет.

Свойство быть горячим, например, неприложимо к самому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тоже не относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимым к самому себе? Оказывается, неприложимость является неприложимой только в том случае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально.

Логическая, касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.

Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса.

Представим, что совет одной деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом, к заключению, что этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.

Рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Полученное противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами.

Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что его не может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-таки парадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей, на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своего рождения.

Рассуждение о парикмахере может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строго аналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не является подлинным парадоксом.

Другой пример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он просто не может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себя и не включать.

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов – самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что не упоминает самого себя. И далее без конца.

3. Парадоксы Греллинга и Берри

Интересный логический парадокс был открыт немецкими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном (парадокс Греллинга). Этот парадокс можно сформулировать очень просто.

Аутологические и гетерологические слова

Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Например, прилагательное «русское» само является русским, «многосложное» – само многосложное, а «пятислоговое» само имеет пять слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называются самозначными, или аутологическими.

Подобных слов не так много, в подавляющем большинстве прилагательные не обладают свойствами, которые они называют. «Новое» не является, конечно, новым, «горячее» – горячим, «однослоговое» – состоящим из одного слога, а «английское» – английским. Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются инозначными, или гетерологическими. Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.

Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений. Оно может быть распространено и на существительные: «слово» является словом, «существительное» – существительным, но «часы» – это не часы и «глагол» – не глагол.

Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное «гетерологическое»? Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим. Налицо парадокс.

По аналогии с этим парадоксом легко сформулировать другие парадоксы такой же структуры. Например, является или не является самоубийцей тот, кто убивает каждого несамоубийцу и не убивает ни одного самоубийцу?

Оказалось, что парадокс Греллига был известен еще в средние века как антиномия выражения, не называющего самого себя. Можно представить себе отношение к софизмам и парадоксам в новое время, если проблема, требовавшая ответа и вызывавшая оживленные споры, оказалась вдруг забытой и была переоткрыта только пятьсот лет спустя!

Еще одна, внешне простая антиномия была указана в самом начале нашего века Д. Берри.

Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен, состоящих менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение: «Наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся менее чем из ста слов» является как раз именем этого числа! Это имя только что сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!

4. Неразрешимый спор

В основе одного знаменитого парадокса лежит как будто небольшое происшествие, случившееся две с лишним тысячи лет назад и не забытое до сих пор.

У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до нашей эры, был ученик по имени Еватл, обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не обязан платить. Однако, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Свое требование Протагор обосновал так:

– Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно этому решению.

Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:

– Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.

Решения парадокса «Протагор и Еватл»

Озадаченный таким оборотом дела, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате». К сожалению, оно, как и большая часть написанного Протагором, не дошло до нас. Тем не менее нужно отдать должное Протагору, сразу почувствовавшему за простым судебным казусом проблему, заслуживающую специального исследования.

Г. Лейбниц, сам юрист по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей докторской диссертации «Исследование о запутанных казусах в праве» он пытался доказать, что все случаи, даже самые запутанные, подобно тяжбе Протагора и Еватла, должны находить правильное разрешение на основе здравого смысла. По мысли Лейбница, суд должен отказать Протагору за несвоевременностью предъявления иска, но оставить, однако, за ним право потребовать уплаты денег Еватлом позже, а именно после первого выигранного им процесса.

Было предложено много других решений данного парадокса.

Ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. На это можно ответить, что не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение именно по ее поводу и на ее основе.

Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен. Но ведь известно, что этот принцип всегда имел исключения, тем более в рабовладельческом обществе. К тому же он просто неприложим к конкретной ситуации спора: ведь Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать плату в случае неудачи своего ученика в первом процессе.

Иногда рассуждают так. И Протагор и Еватл – оба правы частично, и ни один из них в целом. Каждый из них учитывает только половину возможностей, выгодную для себя. Полное или всестороннее рассмотрение открывает четыре возможности, из которых только половина выгодна для одного из спорящих. Какая из этих возможностей реализуется, это решит не логика, а жизнь. Если приговор судей будет иметь большую силу, чем договор, Еватл должен будет платить, только если проиграет процесс, т.е. в силу решения суда. Если же частная договоренность будет ставится выше, чем решение судей, то Протагор получит плату только в случае проигрыша процесса Еватлу, т.е. в силу договора с Протагором.

Эта апелляция к жизни окончательно все запутывает. Чем, если не логикой, могут руководствоваться судьи в условиях, когда все относящиеся к делу обстоятельства совершенно ясны? И что это будет за руководство, если Протагор, претендующий на оплату через суд, добьется ее, лишь проиграв процесс?

Впрочем, и решение Лейбница, кажущееся вначале убедительным, немного лучше, чем неясное противопоставление логики и жизни. В сущности, Лейбниц предлагает задним числом заменить формулировку договора и оговорить, что первым с участием Еватла судебным процессом, исход которого решит вопрос об оплате, не должен быть суд по иску Протагора. Мысль эта глубокая, но не имеющая отношения к конкретному суду. Если бы в исходной договоренности была такая оговорка, нужды в судебном разбирательстве вообще не возникло бы.

Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или нет, то все эти, как и все другие мыслимые решения, являются, конечно, несостоятельными. Они представляют собой не более чем уход от существа спора, являются, так сказать, софистическими уловками и хитростями в безвыходной и неразрешимой ситуации. Ибо ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений, не способны разрешить спор.

Невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. Для доказательства этого достаточно простых средств логики. С помощью этих же средств можно также показать, что договор, несмотря на его вполне невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.

Правила, заводящие в тупик

Человеческому уму, привыкшему не только к своей силе, но и к своей гибкости и даже изворотливости, трудно, конечно, смириться с этой абсолютной безвыходностью и признать себя загнанным в тупик. Это особенно трудно тогда, когда тупиковая ситуация создается самим умом: он, так сказать, оступается на ровном месте и угождает в свои собственные сети. И тем не менее приходится признать, что иногда, и впрочем, не так уж редко, соглашения и системы правил, сложившиеся стихийно или введенные сознательно, приводят к неразрешимым, безвыходным положениям.

Пример из недавней шахматной жизни еще раз подтвердит эту мысль.

Международные правила проведения шахматных соревнований обязывают шахматистов записывать партию ход за ходом ясно и разборчиво. До недавнего времени в правилах было указано также, что шахматист, пропустивший из-за недостатка времени запись нескольких ходов, должен, «как только его цейтнот закончится, немедленно заполнить свой бланк, записав пропущенные ходы». На основе этого указания один судья на шахматной олимпиаде 1980 г. (Мальта) прервал проходившую в жестком цейтноте партию и остановил часы, заявив, что контрольные ходы сделаны и, следовательно, пора привести в порядок записи партий.

– Но позвольте, – вскричал участник, находившийся на грани проигрыша и рассчитывавший только на накал страстей в конце партии, – ведь ни один флажок еще не упал и никто никогда (так тоже записано в правилах) не может подсказывать, сколько сделано ходов.

Судью поддержал, однако, главный арбитр, заявивший, что, действительно, поскольку цейтнот закончился, надо, следуя букве правил, приступить к записи пропущенных ходов.

Спорить в этой ситуации было бессмысленно: сами правила завели в тупик. Оставалось только изменить их формулировку таким образом, чтобы подобные случаи не могли возникнуть в будущем.

Это и было сделано на проходившем в то же время конгрессе Международной шахматной федерации: вместо слов «как только цейтнот закончится» в правилах теперь записано: «как только флажок укажет на окончание времени».

Этот пример наглядно показывает, как следует поступать в тупиковых ситуациях. Спорить о том, какая сторона права, бесполезно: спор неразрешим, и победителя в нем не будет. Остается только смириться с настоящим и позаботиться о будущем. Для этого нужно так переформулировать исходные соглашения или правила, чтобы они не заводили более никого в такую же безвыходную ситуацию.

Разумеется, подобный способ действий – никакое не решение неразрешимого спора и не выход из безвыходного положения. Это скорее остановка перед непреодолимым препятствием и дорога в обход его.

Парадокс «Крокодил и мать»

В Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери, совпадающий по своему логическому содержанию с парадоксом «Протагор и Еватл».

Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:

– Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам.

Подумав, мать ответила:

– Ты не отдашь мне ребенка.

– Ты его не получишь, – заключил крокодил. – Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, – правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное – неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору.

Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.

– Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.

Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка или, напротив, чтобы не отдать его? И к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво, и, таким образом, оно не выполнимо в силу законов логики.

Миссионер очутился у людоедов и попал как раз к обеду. Они разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого он должен произнести какое-нибудь высказывание с условием, что, если это высказывание окажется истинным, они его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят.

Что следует сказать миссионеру?

Разумеется, он должен сказать: «Вы зажарите меня».

Если его действительно зажарят, окажется, что он высказал истину, и значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным, и его следует как раз зажарить. Выхода у людоедов не будет: из «зажарить» вытекает «сварить», и наоборот.

Этот эпизод с хитрым миссионером является, конечно, еще одной из перефразировок спора Протагора и Еватла.

Парадокс Санчо Пансы

Один старый, известный еще в Древней Греции парадокс обыгрывается в «Дон Кихоте» М.Сервантеса. Санчо Панса сделался губернатором острова Баратария и вершит суд.

Первым к нему является какой-то приезжий и говорит: – Сеньор, некое поместье делится на две половины многоводной рекой… Так вот, через эту реку переброшен мост, и тут же с краю стоит виселица и находится нечто вроде суда, в коем обыкновенно заседает четверо судей, и судят они на основании закона, изданного владельцем реки, моста и всего поместья, каковой закон составлен таким образом: «Всякий проходящий по мосту через сию реку долженствует объявить под присягою: куда и зачем он идет, и кто скажет правду, тех пропускать, а кто солжет, тех без всякого снисхождения отправлять на находящуюся тут же виселицу и казнить». С того времени, когда этот закон во всей своей строгости был обнародован, многие успели пройти через мост, и как скоро судьи удовлетворялись, что прохожие говорят правду, то пропускали их. Но вот однажды некий человек, приведенный к присяге, поклялся и сказал: он-де клянется, что пришел за тем, чтобы его вздернули вот на эту самую виселицу, и ни за чем другим. Клятва сия привела судей в недоумение, и они сказали: «Если позволить этому человеку беспрепятственно следовать дальше, то это будет означать, что он нарушил клятву и согласно закону повинен смерти; если же мы его повесим, то ведь он клялся, что пришел только за тем, чтобы его вздернули на эту виселицу, следовательно, клятва его, выходит, не ложна, и на основании того же самого закона надлежит пропустить его». И вот я вас спрашиваю, сеньор губернатор, что делать судьям с этим человеком, ибо они до сих пор недоумевают и колеблются…

Санчо предложил, пожалуй, не без хитрости: ту половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, которая соврала, пусть повесят, и таким образом правила перехода через мост будут соблюдены по всей форме. Этот отрывок интересен в нескольких отношениях.

Прежде всего он является наглядной иллюстрацией того, что с описанным в парадоксе безвыходным положением вполне может столкнуться – и не в чистой теории, а на практике – если не реальный человек, то хотя бы литературный герой.

Выход, предложенный Санчо Панса, не был, конечно, решением парадокса. Но это было как раз то решение, к которому только и оставалось прибегнуть в его положении.

Когда-то Александр Македонский вместо того, чтобы развязывать хитрый гордиев узел, чего еще никому не удалось сделать, просто разрубил его. Подобным же образом поступил и Санчо. Пытаться решить головоломку на ее собственных условиях было бесполезно – она попросту неразрешима. Оставалось отбросить эти условия и ввести свое.

И еще один момент. Сервантес этим эпизодом явно осуждает непомерно формальный, пронизанный духом схоластической логики масштаб средневековой справедливости. Но какими распространенными в его время – а это было около четырехсот лет назад – были сведения из области логики! Не только самому Сервантесу известен данный парадокс. Писатель находит возможным приписать своему герою, безграмотному крестьянину, способность понять, что перед ним неразрешимая задача!

5. Другие парадоксы

Приведенные парадоксы – это рассуждения, итог которых – противоречие. Но в логике есть и другие типы парадоксов. Они также указывают на какие-то затруднения и проблемы, но делают это в менее резкой и бескомпромиссной форме. Таковы, в частности, парадоксы, рассматриваемые далее.

Парадоксы неточных понятий

Большинство понятий не только естественного языка, но и языка науки являются неточными, или, как их еще называют, размытыми. Нередко это оказывается причиной непонимания, споров, а то и просто ведет к тупиковым ситуациям.

Если понятие неточное, граница области объектов, к которым оно приложимо, лишена резкости, размыта. Возьмем, к примеру, понятие «куча». Одно зерно (песчинка, камень и т.п.) – это еще не куча. Тысяча зерен – это уже, очевидно, куча. А три зерна? А десять? С прибавлением какого по счету зерна образуется куча? Не очень ясно. Точно так же, как не ясно, с изъятием какого зерна куча исчезает.

Неточными являются эмпирические характеристики «большой», «тяжелый», «узкий» и т.д. Неточны такие обычные понятия, как «мудрец», «лошадь», «дом» и т.п.

Нет песчинки, убрав которую мы могли бы сказать, что с ее устранением оставшееся уже нельзя назвать домом. Но ведь это означает как будто, что ни в какой момент постепенной разборки дом – вплоть до полного его исчезновения – нет оснований заявлять, что дома нет! Вывод явно парадоксальный и обескураживающий.

Нетрудно заметить, что рассуждение о невозможности образования кучи проводится с помощью хорошо известного метода математической индукции. Одно зерно не образует кучи. Если n зерен не образуют кучи, то n+1 зерно не образуют кучи. Следовательно, никакое число зерен не может образовать кучи.

Возможность этого и подобных ему доказательств, приводящих к нелепым заключениям, означает, что принцип математической индукции имеет ограниченную область приложения. Он не должен применяться в рассуждениях с неточными, расплывчатыми понятиями.

Хорошим примером того, что эти понятия способны приводить к неразрешимым спорам, может служить любопытный судебный процесс, состоявшийся в 1927 г. в США. Скульптор К. Бранкузи обратился в суд с требованием признать свои работы произведениями искусства. В числе работ, отправляемых в Нью-Йорк на выставку, была и скульптура «Птица», которая сейчас считается классикой абстрактного стиля. Она представляет собой модулированную колонну из полированной бронзы около полутора метров высоты, не имеющую никакого внешнего сходства с птицей. Таможенники категорически отказались признать абстрактные творения Бранкузи художественными произведениями. Они провели их по графе «Металлическая больничная утварь и предметы домашнего обихода» и наложили на них большую таможенную пошлину. Возмущенный Бранкузи подал в суд.

Таможню поддержали художники – члены Национальной академии, отстаивавшие традиционные приемы в искусстве. Они выступали на процессе свидетелями защиты и категорически настаивали на том, что попытка выдать «Птицу» за произведение искусства – просто жульничество.

Этот конфликт рельефно подчеркивает трудность оперирования понятием «произведение искусства». Скульптура по традиции считается видом изобразительного искусства. Но степень подобия скульптурного изображения оригиналу может варьироваться в очень широких пределах. И в какой момент скульптурное изображение, все более удаляющееся от оригинала, перестает быть произведением искусства и становится «металлической утварью»? На этот вопрос так же трудно ответить, как на вопрос о том, где проходит граница между домом и его развалинами, между лошадью с хвостом и лошадью без хвоста и т.п. К слову сказать, модернисты вообще убеждены, что скульптура – это объект выразительной формы и она вовсе не обязана быть изображением.

Обращение с неточными понятиями требует, таким образом, известной осторожности. Не лучше ли тогда вообще отказаться от них?

Немецкий философ Э.Гуссерль был склонен требовать от знания такой крайней строгости и точности, какая не встречается даже в математике. Биографы Гуссерля с иронией вспоминают в связи с этим случай, произошедший с ним в детстве. Ему был подарен перочинный ножик, и, решив сделать лезвие предельно острым, он точил его до тех пор, пока от лезвия ничего не осталось.

Более точные понятия во многих ситуациях предпочтительнее неточных. Вполне оправдано обычное стремление к уточнению используемых понятий. Но оно должно, конечно, иметь свои пределы. Даже в языке науки значительная часть понятий неточна. И это связано не с субъективными и случайными ошибками отдельных ученых, а с самой природой научного познания. В естественном языке неточных понятий подавляющее большинство; это говорит, помимо всего прочего, о его гибкости и скрытой силе. Тот, кто требует от всех понятий предельной точности, рискует вообще остаться без языка. «Лишите слова всякой двусмысленности, всякой неопределенности, – писал французский эстетик Ж. Жубер, – превратите их… в однозначные цифры – из речи уйдет игра, а вместе с нею – красноречие и поэзия: все, что есть подвижного и изменчивого в привязанностях души, не сможет найти своего выражения. Но что я говорю: лишите… Скажу больше. Лишите слова всякой неточности – и вы лишитесь даже аксиом».

Долгое время и логики, и математики не обращали внимания на трудности, связанные с размытыми понятиями и соответствующими им множествами. Вопрос ставился так: понятия должны быть точными, а все расплывчатое недостойно серьезного интереса. В последние десятилетия эта чрезмерно строгая установка потеряла, однако, привлекательность. Построены логические теории, специально учитывающие своеобразие рассуждений с неточными понятиями.

Активно развивается математическая теория так называемых размытых множеств, нечетко очерченных совокупностей объектов.

Анализ проблем неточности – это шаг на пути сближения логики с практикой обычного мышления. И можно предполагать, что он принесет еще многие интересные результаты.

Парадоксы индуктивной логики

Нет, пожалуй, такого раздела логики, в котором не было бы своих собственных парадоксов.

В индуктивной логике есть свои парадоксы, с которыми активно, но пока без особого успеха борются уже почти полвека. Особенно интересен парадокс подтверждения, открытый американским философом К.Гемпелем. Естественно считать, что общие положения, в частности научные законы, подтверждаются своими положительными примерами. Если рассматривается, скажем, высказывание «Все А есть В», то положительными его примерами будут объекты, обладающие свойствами А и В. В частности, подтверждающие примеры для высказывания «Все вороны черные» – это объекты, являющиеся и воронами, и черными. Данное высказывание равносильно, однако, высказыванию «Все предметы, не являющиеся черными, не вороны», и подтверждение последнего должно быть также подтверждением первого. Но «Все не черное не ворона» подтверждается каждым случаем не черного предмета, не являющегося вороной. Выходит, таким образом, что наблюдения «Корова белая», «Ботинки коричневые» и т.п. подтверждают высказывание «Все вороны черные».

Из невинных, казалось бы, посылок вытекает неожиданный парадоксальный результат.

В логике норм беспокойство вызывает целый ряд ее законов. Когда они формулируются в содержательных терминах, несоответствие их обычным представлениям о должном и запрещенном становится очевидным. Например, один из законов говорит, что из распоряжения «Отправьте письмо!» вытекает распоряжение «Отправьте письмо или сожгите его!».

Другой закон утверждает, что, если человек нарушил одну из своих обязанностей, он получает право делать все, что угодно. С такого рода «законами долженствования» наша логическая интуиция никак не хочет мириться.

В логике знания усиленно обсуждается парадокс логического всеведения. Он утверждает, что человек знает все логические следствия, вытекающие из принимаемых им положений. Например, если человеку известны пять постулатов геометрии Евклида, то, значит, он знает и всю эту геометрию, поскольку она вытекает из них. Но это не так. Человек может соглашаться с постулатами и вместе с тем не уметь доказать теорему Пифагора и потому сомневаться, что она вообще верна.

6. Что такое логический парадокс

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Рассмотренные парадоксы – это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», – пишет австрийский математик и логик К.Гедель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов», – утверждает математик Д.Бочвар. Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под логическим парадоксом.

Своеобразие логических парадоксов

Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь.

Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и нелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и нелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Б.Расселом принцип порочного круга. Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.

Все парадоксы имеют одно общее свойство – самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость понятий, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Простая ссылка на использование самоприменяемых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим еще какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных ее случаев.

Было много предложений на этот счет, но удачного уточнения циркулярности так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.

Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определенному не привела.

Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.

Английский логик Ф.Рамсей, умерший в 1930 г., когда ему еще не исполнилось и двадцати семи лет, предложил разделить все парадоксы на синтаксические и семантические. К первым относится, например, парадокс Рассела, ко вторым – парадоксы «Лжеца», Греллинга и др.

По мнению Рамсея, парадоксы первой группы содержат только понятия, принадлежащие логике или математике. Вторые включают такие понятия, как «истина», «определимость», «именование», «язык», не являющиеся строго математическими, а относящиеся скорее к лингвистике или даже теории познания. Семантические парадоксы обязаны, как кажется, своим возникновением не какой-то ошибке в логике, а смутности или двусмысленности некоторых нелогических понятий, поэтому поставленные ими проблемы касаются языка и должны решаться лингвистикой.

Рамсею казалось, что математикам и логикам незачем интересоваться семантическими парадоксами. В дальнейшем оказалось, однако, что некоторые из наиболее значительных результатов современной логики были получены как раз в связи с более глубоким изучением именно этих нелогических парадоксов.

Предложенное Рамсеем деление парадоксов широко использовалось на первых порах и сохраняет некоторое значение и теперь. Вместе с тем становится все яснее, что это деление довольно-таки расплывчато и опирается по преимуществу на примеры, а не на углубленный сопоставительный анализ двух групп парадоксов. Семантические понятия сейчас получили точные определения, и трудно не признать, что эти понятия действительно относятся к логике. С развитием семантики, определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведенное Рамсеем, все более стирается.

Парадоксы и современная логика

Какие выводы для логики следуют из существования парадоксов?

Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться.

Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.

Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.

Средневековым логикам не были известны понятия «множество» и «элемент множества», введенные в науку только во второй половине XIX в. Но чутье на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определенные опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие «быть собственным элементом», фигурирующее во многих нынешних парадоксах.

Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определенными. Они не вели к каким-либо четким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.

Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.

Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.

Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.

Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.

Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.

Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и ее в конце концов удается раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.

Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.

«За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями», – пишет А.Френкель. «Похоже на то, – заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, – что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы».

Устранение и объяснение парадоксов

Следует обратить внимание на одно важное различие.

Устранение парадоксов и их разрешение – это вовсе не одно и то же. Устранить парадокс из некоторой теории – значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. Каждый парадокс опирается на большое число определений, допущений и аргументов. Его вывод в теории представляет собой некоторую цепочку рассуждений. Формально говоря, можно подвергнуть сомнению любое ее звено, отбросить его и тем самым разорвать цепочку и устранить парадокс. Во многих работах так и поступают и этим ограничиваются.

Но это еще не разрешение парадокса. Мало найти способ, как его исключить, надо убедительно обосновать предлагаемое решение. Само сомнение в каком-то шаге, ведущем к парадоксу, должно быть хорошо обосновано.

Прежде всего решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с нашими общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуиция-ми. Если этого нет, устранение парадокса оказывается лишенным твердых и устойчивых оснований и вырождается в техническую по преимуществу задачу.

Кроме того, отказ от какого-то допущения, даже если он и обеспечивает устранение некоторого конкретного парадокса, вовсе не гарантирует автоматически устранения всех парадоксов. Это говорит о том, что за парадоксами не следует «охотиться» поодиночке. Исключение одного из них всегда должно быть настолько обосновано, чтобы появилась определенная гарантия, что этим же шагом будут устранены и другие парадоксы.

Каждый раз, как обнаруживается парадокс, пишет А.Тарский, «мы должны подвергнуть наши способы мышления основательной ревизии, отвергнуть какие-то посылки, в которые верили, и усовершенствовать способы аргументации, которыми пользовались. Мы делаем это, стремясь не только избавиться от антиномий, но и с целью не допустить возникновения новых».

И наконец, непродуманный и неосторожный отказ от слишком многих или слишком сильных допущений может привести просто к тому, что получится хотя и не содержащая парадоксов, но существенно более слабая теория, имеющая только частный интерес.

Каким может быть минимальный, наименее радикальный комплекс мер, позволяющих избежать известных парадоксов?

Логическая грамматика

Один путь – это выделение наряду с истинными и ложными предложениями также бессмысленных предложений. Этот путь был принят Б.Расселом. Парадоксальные рассуждения были объявлены им бессмысленными на том основании, что в них нарушаются требования логической грамматики. Не всякое предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным – оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.

Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.

Основная идея теории типов – выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму – множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определенные ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств – свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.

Возьмем серию предложений:

Этот дом – красный.

Красное – это цвет.

Цвет – это оптическое явление.

В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определенный предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» – на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» – указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.

Все три предложения из приведенной серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.

Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е.Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов.

Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по-прежнему важна.

Будущее парадоксов

У Г.Фреге, величайшего логика прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток к своей критике современников.

Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда известность начала приходить к нему, молодой английский логик Б.Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Фреге смог лишь добавить к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.

Однако последствия этого признания были для Фреге трагическими. Он испытал сильнейшее потрясение. И хотя ему тогда было всего 55 лет, он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил еще более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживленную дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.

Впечатление, произведенное на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил Д.Гильберт: «…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?»

Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика – в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, – нуждается в глубоком пересмотре.

Прошло около века с тех пор, как началось оживленное обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.

И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они все еще остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели свое определенное, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, – это в принципе недостижимый идеал.

Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчетливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.

7. Несколько парадоксов, или то, что похоже на них

И в заключение этого короткого рассмотрения логических парадоксов – несколько задач, размышление над которыми будет полезно для читателя. Нужно решить, действительно ли приводимые утверждения и рассуждения являются логическими парадоксами или только кажутся ими. Для этого следует, очевидно, как-то перестроить исходный материал и попытаться вывести из него противоречие: и утверждение и отрицание одного и того же об одном и том же. Если обнаруживается парадокс, можно подумать над тем, с чем связано его возникновение и как его устранить. Можно даже попытаться придумать свой собственный парадокс такого же типа, т.е. строящийся по той же схеме, но на основе других понятий.

1. Тот, кто говорит: «Я ничего не знаю», высказывает как будто парадоксальное, внутренне противоречивое утверждение. Он заявляет, в сущности: «Я знаю, что я ничего не знаю». Но знание того, что никакого знания нет, есть все-таки знание. Значит, говорящий, с одной стороны, уверяет, что никакого знания у него нет, а с другой – самим утверждением этого сообщает, что некоторое знание у него все-таки есть. В чем здесь дело?

Размышляя над этим затруднением, можно вспомнить, что Сократ выражал сходную мысль более осторожно. Он говорил: «Я знаю только то, что ничего не знаю». Зато другой древний грек, Метродор, с полной убежденностью утверждал: «Ничего не знаю и не знаю даже того, что я ничего не знаю». Нет ли в этом утверждении парадокса?

2. Исторические события уникальны. История, если она и повторяется, то, по известному выражению, первый раз как трагедия, а второй – как фарс. Из неповторимости исторических событий иногда выводится идея, что история ничему не учит. «Быть может, величайший урок истории, – пишет О.Хаксли, – действительно состоит в том, что никто никогда и ничему не научился из истории».

Вряд ли эта идея верна. Прошлое как раз и исследуется главным образом для того, чтобы лучше понимать настоящее и будущее. Другое дело, что «уроки» прошлого, как правило, неоднозначны.

Не является ли убеждение, будто история ничему не учит, внутренне противоречивым? Ведь само оно вытекает из истории в качестве одного из ее уроков. Не лучше ли сторонникам этой идеи сформулировать ее так, чтобы она не распространялась на себя: «История учит единственному – из нее ничему нельзя научиться», или «История ничему не учит, кроме этого ее урока»?

3. «Доказано, что доказательств не существует». Это, как кажется, внутренне противоречивое высказывание: оно является доказательством или предполагает уже проведенное доказательство («доказано, что…») и одновременно утверждает, что ни одного доказательства нет.

Известный древний скептик Секст Эмпирик предлагал такой выход: вместо приведенного высказывания принять высказывание «Доказано, что никакого доказательства, кроме этого, не существует» (или: «Доказано, что ничего доказанного, кроме этого, нет»). Но не является ли этот выход иллюзорным? Ведь утверждается, по сути дела, что есть только одно-единственное доказательство – доказательство несуществования каких-либо доказательств («Существует одно-единственное доказательство: доказательство того, что никаких иных доказательств нет»). Чем тогда является сама операция доказательства, если ее удалось провести, судя по данному утверждению, только один раз? Во всяком случае, мнение самого Секста о ценности доказательств было не очень высоким. Он писал, в частности: «Так же, как правы те, кто обходится без доказательства, правы и те, кто, будучи склонным сомневаться, голословно выдвигает противоположное мнение».

4. «Ни одно высказывание не является отрицательным», или проще: «Нет отрицательных высказываний». Однако само это выражение представляет собой высказывание и является как раз отрицательным. Явный, как будто, парадокс. С помощью какой переформулировки данного утверждения можно было бы избежать парадокса?

Средневековый философ и логик Ж.Буридан известен широкому читателю рассуждением об осле, который, стоя между двумя одинаковыми охапками сена, обязательно умрет с голоду. Осел, как и всякое животное, стремится выбрать из двух вещей лучшую. Две охапки совершенно не отличаются друг от друга, и потому он не может предпочесть ни одну из них. Однако этого «буриданова осла» в сочинениях самого Буридана нет. В логике Буридан хорошо известен, и в частности своей книгой о софизмах. В ней приводится такое умозаключение, относящееся к нашей теме: ни одно высказывание не является отрицательным; следовательно, существует отрицательное высказывание. Является ли этот вывод обоснованным?

5. Хорошо известно описание Н.В.Гоголем игры Чичикова с Ноздревым в шашки. Их партия так и не закончилась, Чичиков заметил, что Ноздрев мошенничает, и отказался играть, опасаясь проигрыша. Недавно один специалист по шашкам восстановил по репликам игравших ход этой партии и показал, что позиция Чичикова не была еще безнадежной.

Допустим, что Чичиков все-таки продолжил игру и в конце концов выиграл партию, несмотря на плутовство партнера. По уговору проигравший Ноздрев должен был отдать Чичикову пятьдесят рублей и «какого-нибудь щенка средней руки или золотую печатку к часам». Но Ноздрев скорее всего отказывался бы платить, упирая на то, что он сам всю игру мошенничал, а игра не по правилам – это как бы и не игра. Чичиков мог бы возразить, что разговор о мошенничестве здесь не к месту: мошенничал сам проигравший, значит, он тем более должен платить.

В самом деле, должен был бы платить Ноздрев в подобной ситуации или нет? С одной стороны – да, поскольку он проиграл. Но с другой – нет, так как игра не по правилам – это вовсе и не игра; ни выигравшего, ни проигравшего в такой «игре» не может быть. Если бы мошенничал сам Чичиков, Ноздрев, конечно, не обязан был бы платить. Но, однако, мошенничал как раз проигравший Ноздрев…

Здесь ощущается что-то парадоксальное: «с одной стороны…», «с другой стороны…», и притом с обеих сторон в равной мере убедительно, хотя эти стороны несовместимы.

Должен все-таки Ноздрев платить или нет?

6. «Всякое правило имеет исключения». Но ведь это утверждение само является правилом. Как и все иные правила, оно должно иметь исключения. Таким исключением будет, очевидно, правило «Есть правила, не имеющие исключений». Нет ли во всем этот парадокса? Какой из предыдущих примеров напоминают эти два правила? Допустимо ли рассуждать так: всякое правило имеет исключения; значит, существуют правила без исключений?

7. «Всякое обобщение ошибочно». Ясно, что это утверждение суммирует опыт мыслительной операции обобщения и само является обобщением. Как и все иные обобщения, оно должно быть ошибочным. А значит, должны иметься верные обобщения. Однако правильно ли рассуждать так: всякое обобщение неверно, следовательно, есть верные обобщения?

8. Некий писатель сочинил «Эпитафию всем жанрам», призванную доказать, что литературные жанры, разграничение которых вызывало столько споров, умерли и можно о них не вспоминать.

Но эпитафия, между тем, тоже жанр в некотором роде, жанр надгробных надписей, сложившийся еще в античные времена и вошедший в литературу как разновидность эпиграммы:

Здесь я покоюсь: Джимми Хогг.
Авось грехи простит мне Бог,
Как я бы сделал, будь я Бог,
А он – покойный Джимми Хогг.

Так что эпитафия всем без изъятия жанрам грешит как будто непоследовательностью. Как лучше ее переформулировать?

9. «Никогда не говори „никогда“». Запрещая употребление слова «никогда», приходится дважды употреблять это слово!

Аналогично обстоит, как кажется, дело с советом: «Пора бы тем, кто говорит „пора“, сказать что-нибудь, кроме „пора“».

Нет ли в подобных советах своеобразной непоследовательности и можно ли ее избежать?

10. В стихотворении «Не верьте», напечатанном, естественно, в разделе «Ироническая поэзия», его автор рекомендует не верить ни во что:

…Не верьте в колдовскую власть огня:
Горит, пока кладут в него дровишки.
Не верьте в златогривого коня
Ни за какие сладкие коврижки!
Не верьте в то, что звездные стада
Несутся в бесконечной круговерти.
Но что же вам останется тогда?
Не верьте в то, что я сказал.
Не верьте.

(В.Прудовский)

Но реально ли такое всеобщее неверие? Судя по всему, оно противоречиво и, значит, логически невозможно.

11. Допустим, что, вопреки общему убеждению, неинтересные люди все-таки есть. Соберем их мысленно вместе и выберем из них самого маленького по росту, или самого большего по весу, или какого-то другого «самого…». На этого человека интересно было бы посмотреть, так что мы напрасно включили его в число неинтересных. Исключив его, мы опять найдем среди оставшихся «самого…» в том же самом смысле и т.д. И все это до тех пор, пока не останется только один человек, которого не с кем будет уже сравнивать. Но, оказывается, этим он как раз и интересен! В итоге мы приходим к выводу, что неинтересных людей нет. А началось рассуждение с того, что такие люди существуют.

Можно, в частности, попробовать найти среди неинтересных людей самого неинтересного из всех неинтересных. Этим он будет, без сомнения, интересен, и его придется исключить из неинтересных людей. Среди оставшихся опять-таки найдется наименее интересный и т.д.

В этих рассуждениях определенно есть привкус парадоксальности. Допущена ли здесь какая-нибудь ошибка и если да, то какая?

12. Допустим, что вам дали чистый лист бумаги и поручили описать этот лист на нем же. Вы пишите: это лист прямоугольной формы, белый, таких-то размеров, изготовленный из прессованных волокон древесины и т.д.

Описание как будто закончено. Но оно явно неполное! В процессе описания объект изменился: на нем появился текст. Поэтому к описанию нужно еще добавить: а кроме того, на этом листе бумаги написано: это лист прямоугольной формы, белый…и т.д. до бесконечности.

Кажется, что здесь парадокс, не так ли?

Хорошо известен детский стишок:

У попа была собака,
Он ее любил,
Она съела кусок мяса,
Он ее убил.
Убил и закопал,
А на плите написал:
«У попа была собака…»

Смог ли этот любивший свою собаку поп когда-нибудь закончить надгробную надпись? Не напоминает ли составление этой надписи полное описание листа бумаги на нем самом?

13. Один автор дает такой «тонкий» совет: «Если маленькие хитрости не позволяют достичь желаемого, прибегните к большим хитростям». Этот совет предлагается под заголовком «Маленькие хитрости». Но относится ли он на самом деле к таким хитростям? Ведь «маленькие хитрости» не помогают, и как раз по этой причине приходится прибегнуть к данному совету.

14. Назовем игру нормальной, если она завершается в конечное число ходов. Примерами нормальных игр могут служить шахматы, шашки, домино: эти игры всегда завершаются или победой одной из сторон, или ничьей. Игра, не являющаяся нормальной, продолжается бесконечно, не приводя ни к какому результату. Введем также понятие сверхигры: первым ходом такой игры является установление того, какая именно игра должна играться. Если, к примеру, вы и я намереваемся играть в сверхигру и мне принадлежит первый ход, я могу сказать: «Давайте играть в шахматы». Тогда вы в ответ делаете первый ход шахматной игры, допустим, е2 – е4, и мы продолжаем партию до ее завершения (в частности, в связи с истечением времени, отведенного турнирным регламентом). В качестве своего первого хода я могу предложить сыграть в крестики-нолики и т.п. Но игра, которая мною выбирается, должна быть нормальной; нельзя выбирать игру, не являющуюся нормальной.

Возникает проблема: является сама сверхигра нормальной или нет? Предположим, что это – нормальная игра. Так как первым ее ходом можно выбрать любую из нормальных игр, я могу сказать: «Давайте играть в сверхигру». После этого сверхигра началась, и следующий ход в ней ваш. Вы вправе сказать: «Давайте играть в сверхигру». Я могу повторить: «Давайте играть в сверхигру» и таким образом процесс может продолжаться бесконечно. Следовательно, сверхигра не относится к нормальным играм. Но в силу того, что сверхигра не является нормальной, своим первым ходом в сверхигре я не могу предложить сверхигру; я должен выбрать нормальную игру. Но выбор нормальной игры, имеющей конец, противоречит тому доказанному факту, что сверхигра не принадлежит к нормальным.

Итак, является сверхигра нормальной игрой или нет?

Пытаясь ответить на этот вопрос, не следует, конечно, идти по легкому пути чисто словесных разграничений. Проще всего сказать, что нормальная игра – это игра, а сверхигра – всего лишь розыгрыш.

Какие другие парадоксы напоминает этот парадокс сверхигры, являющейся одновременно и нормальной и ненормальной?

Литература

Байиф Ж.К. Логические задачи. – М., 1983.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М., 1963.

Гарднер М. А ну-ка догадайся! – М.: 1984.

Ивин А.А. По законам логики. – М., 1983.

Клини С.К. Математическая логика. – М., 1973.

Смаллиан P.M. Как же называется эта книга? – М.: 1982.

Смаллиан P.M. Принцесса или тигр? – М.: 1985.

Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. – М., 1966.

Контрольные вопросы

Какое значение имеют парадоксы для логики?

Какие решения предлагались для парадокса «Лжец»?

В чем особенности семантически замкнутого языка?

В чем существо парадокса множества обычных множеств?

Имеется ли решение спора Протагора и Еватла? Какие решения предлагались для этого спора?

В чем сущность парадокса неточных имен?

В чем могло бы заключаться своеобразие логических парадоксов?

Какие выводы для логики следуют из существования логических парадоксов?

В чем различие между устранением и объяснением парадокса? Какое будущее ожидает логические парадоксы?

Темы рефератов и докладов

Понятие логического парадокса

Парадокс «Лжец»

Парадокс Рассела

Парадокс «Протагор и Еватл»

Роль парадоксов в развитии логики

Перспективы разрешения парадоксов

Разграничение языка и метаязыка

Устранение и разрешение парадоксов

October 1st, 2014

Учёные и мыслители с давних времён любят развлекать себя и коллег постановкой неразрешимых задач и формулированием разного рода парадоксов. Некоторые из подобных мысленных экспериментов сохраняют актуальность на протяжении тысяч лет, что свидетельствует о несовершенстве многих популярных научных моделей и «дырах» в общепринятых теориях, давно считающихся фундаментальными.

Предлагаем вам поразмыслить над наиболее интересными и удивительными парадоксами, которые, как сейчас выражаются, «взорвали мозг» не одному поколению логиков, философов и математиков.

1. Апория «Ахиллес и черепаха»

Парадокс Ахиллеса и черепахи - одна из апорий (логически верных, но противоречивых высказываний), сформулированных древнегреческим философом Зеноном Элейским в V-м веке до нашей эры. Суть её в следующем: легендарный герой Ахиллес решил посоревноваться в беге с черепахой. Как известно, черепахи не отличаются прыткостью, поэтому Ахиллес дал сопернику фору в 500 м. Когда черепаха преодолевает эту дистанцию, герой пускается в погоню со скоростью в 10 раз большей, то есть пока черепаха ползёт 50 м, Ахиллес успевает пробежать данные ей 500 м форы. Затем бегун преодолевает следующие 50 м, но черепаха в это время отползает ещё на 5 м, кажется, что Ахиллес вот-вот её догонит, однако соперница всё ещё впереди и пока он бежит 5 м, ей удаётся продвинуться ещё на полметра и так далее. Дистанция между ними бесконечно сокращается, но по идее, герою так и не удаётся догнать медлительную черепаху, она ненамного, но всегда опережает его.

© www.student31.ru

Конечно, с точки зрения физики парадокс не имеет смысла - если Ахиллес движется намного быстрее, он в любом случае вырвется вперёд, однако Зенон, в первую очередь, хотел продемонстрировать своими рассуждениями, что идеализированные математические понятия «точка пространства» и «момент времени» не слишком подходят для корректного применения к реальному движению. Апория выявляет расхождение между математически обоснованной идеей, что ненулевые интервалы пространства и времени можно делить бесконечно (поэтому черепаха должна всегда оставаться впереди) и реальностью, в которой герой, конечно, выигрывает гонку.

2. Парадокс временной петли

«Новые путешественники во времени» Дэвида Туми

Парадоксы, описывающие путешествия во времени, давно служат источником вдохновения для писателей-фантастов и создателей научно-фантастических фильмов и сериалов. Существует несколько вариантов парадоксов временной петли, один из самых простых и наглядных примеров подобной проблемы привёл в своей книге «The New Time Travelers» («Новые путешественники во времени») Дэвид Туми, профессор из Университета Массачусетса.

Представьте себе, что путешественник во времени купил в книжном магазине экземпляр шекспировского «Гамлета». Затем он отправился в Англию времён Королевы-девы Елизаветы I и отыскав Уильяма Шекспира, вручил ему книгу. Тот переписал её и издал, как собственное сочинение. Проходят сотни лет, «Гамлета» переводят на десятки языков, бесконечно переиздают, и одна из копий оказывается в том самом книжном магазине, где путешественник во времени покупает её и отдаёт Шекспиру, а тот снимает копию и так далее… Кого в таком случае нужно считать автором бессмертной трагедии?

3. Парадокс девочки и мальчика

Мартин Гарднер / © www.post-gazette.com

В теории вероятностей этот парадокс также называют «Дети мистера Смита» или «Проблемы миссис Смит». Впервые он был сформулирован американским математиком Мартином Гарднером в одном из номеров журнала «Scientific American». Учёные спорят над парадоксом уже несколько десятилетий и существует несколько способов его разрешения. Поразмыслив над проблемой, вы можете предложить и свой собственный вариант.

В семье есть двое детей и точно известно, что один из них - мальчик. Какова вероятность того, что второй ребёнок тоже имеет мужской пол? На первый взгляд, ответ вполне очевиден - 50 на 50, либо он действительно мальчик, либо девочка, шансы должны быть равными. Проблема в том, что для двухдетных семей существует четыре возможных комбинации полов детей - две девочки, два мальчика, старший мальчик и младшая девочка и наоборот - девочка старшего возраста и мальчик младшего. Первую можно исключить, так как один из детей совершенно точно мальчик, но в таком случае остаются три возможных варианта, а не два и вероятность того, что второе чадо тоже мальчик - один шанс из трёх.

4. Парадокс Журдена с карточкой

Проблему, предложенную британским логиком и математиком Филиппом Журденом в начале XX-го века, можно считать одной из разновидностей знаменитого парадокса лжеца.

Филипп Журден

Представьте себе - вы держите в руках открытку, на которой написано: «Утверждение на обратной стороне открытки истинно». Перевернув открытку, вы обнаруживаете фразу «Утверждение на другой стороне ложно». Как вы понимаете, противоречие налицо: если первое утверждение правдиво, то второе тоже соответствует действительности, но в таком случае первое должно оказаться ложным. Если же первая сторона открытки лжива, то фразу на второй также нельзя считать истинной, а это значит, первое утверждение опять-таки становится правдой… Ещё более интересный вариант парадокса лжеца - в следующем пункте.

5. Софизм «Крокодил»

На берегу реки стоят мать с ребёнком, вдруг к ним подплывает крокодил и затаскивает ребёнка в воду. Безутешная мать просит вернуть её чадо, на что крокодил отвечает, что согласен отдать его целым и невредимым, если женщина правильно ответит на его вопрос: «Вернёт ли он её ребёнка?». Понятно, что у женщины два варианта ответа - да или нет. Если она утверждает, что крокодил отдаст ей ребёнка, то всё зависит от животного - посчитав ответ правдой, похититель отпустит ребёнка, если же он скажет, что мать ошиблась, то ребёнка ей не видать, согласно всем правилам договора.

© Коракс Сиракузский

Отрицательный ответ женщины всё значительно усложняет - если он оказывается верным, похититель должен выполнить условия сделки и отпустить дитя, но таким образом ответ матери не будет соответствовать действительности. Чтобы обеспечить лживость такого ответа, крокодилу нужно вернуть ребёнка матери, но это противоречит договору, ведь её ошибка должна оставить чадо у крокодила.

Стоит отметить, что сделка, предложенная крокодилом, содержит логическое противоречие, поэтому его обещание невыполнимо. Автором этого классического софизма считается оратор, мыслитель и политический деятель Коракс Сиракузский, живший в V-м веке до нашей эры.

6. Апория «Дихотомия»

© www.student31.ru

Ещё один парадокс от Зенона Элейского, демонстрирующий некорректность идеализированной математической модели движения. Проблему можно поставить так - скажем, вы задались целью пройти какую-нибудь улицу вашего города от начала и до конца. Для этого вам необходимо преодолеть первую её половину, затем половину оставшейся половины, далее половину следующего отрезка и так далее. Иначе говоря - вы проходите половину всего расстояния, затем четверть, одну восьмую, одну шестнадцатую - количество уменьшающихся отрезков пути стремится к бесконечности, так как любую оставшуюся часть можно разделить надвое, значит пройти весь путь целиком невозможно. Формулируя несколько надуманный на первый взгляд парадокс, Зенон хотел показать, что математические законы противоречат реальности, ведь на самом деле вы можете без труда пройти всё расстояние без остатка.

7. Апория «Летящая стрела»

Знаменитый парадокс Зенона Элейского затрагивает глубочайшие противоречия в представлениях учёных о природе движения и времени. Апория сформулирована так: стрела, выпущенная из лука, остаётся неподвижной, так как в любой момент времени она покоится, не совершая перемещения. Если в каждый момент времени стрела покоится, значит она всегда находится в состоянии покоя и не движется вообще, так как нет момента времени, в который стрела перемещается в пространстве.

© www.academic.ru

Выдающиеся умы человечества веками пытаются разрешить парадокс летящей стрелы, однако с логической точки зрения он составлен абсолютно верно. Для его опровержения требуется объяснить, каким образом конечный временной отрезок может состоять из бесконечного числа моментов времени - доказать это не удалось даже Аристотелю, убедительно критиковавшему апорию Зенона. Аристотель справедливо указывал, что отрезок времени нельзя считать суммой неких неделимых изолированных моментов, однако многие учёные считают, что его подход не отличается глубиной и не опровергает наличие парадокса. Стоит отметить, что постановкой проблемы летящей стрелы Зенон стремился не опровергнуть возможность движения, как таковую, а выявить противоречия в идеалистических математических концепциях.

8. Парадокс Галилея

Галилео Галилей / © Wikimedia

В своём труде «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» Галилео Галилей предложил парадокс, демонстрирующий любопытные свойства бесконечных множеств. Учёный сформулировал два противоречащих друг другу суждения. Первое: есть числа, представляющие собой квадраты других целых чисел, например 1, 9, 16, 25, 36 и так далее. Существуют и другие числа, у которых нет этого свойства - 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и тому подобные. Таким образом, общее количество точных квадратов и обычных чисел должно быть больше, чем количество только точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, а для каждого квадрата существует целый квадратный корень, то есть, количество квадратов равно количеству натуральных чисел.

На основании этого противоречия Галилей сделал вывод, что рассуждения о количестве элементов применены только к конечным множествам, хотя позже математики ввели понятие, мощности множества - с его помощью была доказана верность второго суждения Галилея и для бесконечных множеств.

9. Парадокс мешка картофеля

© nieidealne-danie.blogspot.com

Допустим, у некоего фермера имеется мешок картофеля весом ровно 100 кг. Изучив его содержимое, фермер обнаруживает, что мешок хранился в сырости - 99% его массы составляет вода и 1% остальные вещества, содержащиеся в картофеле. Он решает немного высушить картофель, чтобы содержание воды в нём снизилось до 98% и переносит мешок в сухое место. На следующий день оказывается, что, один литр (1 кг) воды действительно испарился, но вес мешка уменьшился со 100 до 50 кг, как такое может быть? Давайте посчитаем - 99% от 100 кг это 99 кг, значит соотношение массы сухого остатка и массы воды изначально было равно 1/99. После сушки вода насчитывает 98% от общей массы мешка, значит соотношение массы сухого остатка к массе воды теперь составляет 1/49. Так как масса остатка не изменилась, оставшаяся вода весит 49 кг.

Конечно, внимательный читатель сразу обнаружит грубейшую математическую ошибку в расчётах - мнимый шуточный «парадокс мешка картофеля» можно считать отличным примером того, как с помощью на первый взгляд «логичных» и «научно подкреплённых» рассуждений можно буквально на пустом месте выстроить теорию, противоречащую здравому смыслу.

10. Парадокс воронов

Карл Густав Гемпель / © Wikimedia

Проблема также известна, как парадокс Гемпеля - второе название она получила в честь немецкого математика Карла Густава Гемпеля, автора её классического варианта. Проблема формулируется довольно просто: каждый ворон имеет чёрный цвет. Из этого следует, что всё, что не чёрного цвета, не может быть вороном. Этот закон называется логическая контрапозиция, то есть если некая посылка «А» имеет следствие «Б», то отрицание «Б» равнозначно отрицанию «А». Если человек видит чёрного ворона, это укрепляет его уверенность, что все вороны имеют чёрный окрас, что вполне логично, однако в соответствии с контрапозицией и принципом индукции, закономерно утверждать, что наблюдение предметов не чёрного цвета (скажем, красных яблок) также доказывает, что все вороны окрашены в чёрный цвет. Иными словами - то, что человек живёт в Санкт-Петербурге доказывает, что он живёт не в Москве.

С точки зрения логики парадокс выглядит безукоризненно, однако он противоречит реальной жизни - красные яблоки никоим образом не могут подтверждать тот факт, что все вороны чёрного цвета.

Вот у нас уже с вами была подборка парадоксов - , а так же в частности , и Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия -

Философ Стивен Рид о парадоксе лжеца, семантических парадоксах и их прямой связи с основами математики.

Разговор о логических парадоксах стоит начать с небольшой истории, которую Сервантес рассказывает в своей книге «Дон Кихот». В одном месте в «Дон Кихоте» он оставляет Санчо Пансу губернатором на острове Баратария, и, пока он на посту губернатора, «подданные» его дурачат. Однажды утром его разбудили и сказали: «До завтрака вам нужно рассудить одно дело». А в Испании в то время было много бродяг, так что с людьми нужно было быть очень осторожным. И вот у одного помещика по землям протекает река, через которую переброшен мост, и, чтобы убедиться, что все прохожие заслуживают доверия, этот помещик поставил около моста виселицы и стражника, который требует у каждого прохожего объяснить, куда и зачем он идет. Если прохожий говорит правду, ему разрешается перейти через мост, а если он лжет, то его ждет виселица. И все было хорошо, это помогало различить, кто бродяга, а кто торговец, пока однажды не пришел человек, который сказал: «Моя цель - быть повешенным на этой виселице, и ничего более». И стражника это поразило, потому что он подумал: «Хорошо, если мы его повесим, получится, что он сказал правду, тогда нам надо было его пропустить, но если мы его пропустим, то получится, что он солгал, тогда нам надо было его повесить». «Итак, Санчо Панса, как нам рассудить это дело?» И у Санчо Пансы какое-то время уходит на то, чтобы оценить парадокс, но в итоге он выносит свое решение: повесить ту половину человека, которая солгала, и пропустить ту половину, которая сказала правду.

Это все звучит как развлечение для ума, но для людей, которые хотят разобраться в вопросах истины, аргументации, языка и так далее, это указывает на что-то очень тревожное в природе языка. Кажется, очень просто попасть в парадокс: мы просто не знаем, было ли высказывание того человека правдой или нет, солгал ли он или нет. И это отсылает нас к первоначальному парадоксу лжеца, сформулированному Евбулидом в IV веке до нашей эры. Он возвел его до произведения искусства, он сказал: «Подумайте о высказывании “Я лгу”». Если я говорю: «Я лгу», я, конечно, могу иметь в виду какое-то другое свое высказывание, но если использовать предельно аккуратные формулировки, то можно сказать: «Нет, я лгу в той самой фразе, которую я говорю сейчас, это мое высказывание ложно». И снова, если вы подумаете, вы скажете: «Если бы это была истина, значит, раз он говорит, что его высказывание ложно, следует, что оно должно быть ложным, а не истинным, то есть оно не может быть истинным - оно должно быть ложным. Но если оно ложно, так как в нем говорится, что оно ложно, что он лгал - оно должно быть истинным». Так что мы получаем парадокс, изящно заключенный в одном предложении.

Таких парадоксов очень много, и легко понять, почему они называются логическими парадоксами: противоречие, содержащееся в них, вскрывается при помощи логики. Некоторые слышали об Эпимениде: он был уроженцем Крита, и он был настолько разочарован в способности своих соотечественников говорить правду, что однажды сказал: «Все критяне - лжецы». Если он был прав, если действительно все критяне были лжецами или другие критяне всегда лгали, тогда его собственное высказывание должно быть парадоксальным. Ведь если он говорит: «Все критяне - лжецы», то он говорит, что и его собственное высказывание ложно, но в таком случае действительно все до единого критяне были бы лжецами, а значит, он говорил правду, когда сказал, что все критяне - лжецы. Выход из парадокса, разумеется, в том, что если бы некоторые критяне говорили правду, то его высказывание было бы просто-напросто ложным, а не парадоксальным.

Итак, у нас есть огромное количество таких парадоксов. Вот один парадокс, который мне особенно нравится: возьмем карточку, на одной стороне которой написано: «Высказывание на обратной стороне этой карточки истинно». Вы ее переворачиваете, а там написано: «Высказывание на обратной стороне этой карточки ложно». И если подумать, это просто парадоксально, потому что если высказывание на первой стороне истинно, то, значит, высказывание на обратной стороне тоже истинно, потому что об этом говорит первое высказывание; но на второй стороне написано, что первое высказывание ложно, то есть, если первое высказывание истинно, оно в то же время ложно. Но это невозможно, значит, второе высказывание должно быть ложным; но в нем написано, что первое высказывание ложно, тогда первое высказывание не может быть ложным - оно должно быть истинным. Но мы уже видели, что если первое высказывание истинно, то оно ложно, так что мы получаем чистый парадокс.

Некоторые средневековые мыслители предпочитали описывать этот парадокс через Сократа и Платона или иногда Платона и Аристотеля. Итак, Платон был учителем Аристотеля и считал его своим лучшим учеником, так что однажды он сказал: «Все, что говорит Аристотель, - истина». Но Аристотель был не самым примерным учеником в том смысле, что он хотел оспорить учение Платона, так что он сказал: «Все, что говорит Платон, ложно», и это очень похоже на парадокс с карточкой.

Все это были парадоксы в области правды, лжи и языка. Но в XX веке мы столкнулись с парадоксами в математике. Краткая история вопроса такова: после появления математического анализа, а затем после работы с бесконечными рядами в XVIII веке основы математики оказались неустойчивы, люди задавались вопросом «Как бесконечные ряды работают, не приводя нас к противоречиям в математике?». И в XIX веке развернулось большое движение, целью которого был поиск устойчивых основ математики. Тогда такой основой стала теория множеств. Множество - это совокупность объектов, определяемых через какое-то свойство: например, может быть множество всех натуральных чисел, множество четных чисел или даже множество рисовых пудингов - можно брать разные множества. В математике, конечно же, используются только числовые множества.

И все это выглядело прекрасно до конца XIX века. Фреге, Дедекинд и многие другие мыслители установили математику или то, что казалось твердым основанием теории множеств. Но потом Бертран Рассел, знаменитый британский философ, читая работы Фреге, подумал: «Можно задать множество чисел, можно задать множество множеств; можно задать множество множеств, включающих самих себя, а можно задать множество множеств, не включающих самих себя». А потом он подумал: «Подождите-ка, а если у нас есть множество множеств, не включающих самих себя, это множество будет включать себя или нет?» Если бы такое множество включало само себя, тогда оно не должно включать само себя, ведь по условию мы берем только те множества, которые не включают сами себя. Так что лучше бы это множество не включало само себя, но если оно не включает само себя, тогда оно является множеством, не включающим самого себя, и оно должно быть частью этого множества. И, как я уже говорил, все эти парадоксы поначалу выглядят как развлечение для ума, но теперь, в начале XX века, мы нашли парадокс, противоречие в самом сердце того, что должно быть основами математики. Как широко известно, это был большой удар для Фреге: он вот-вот должен был выпустить второй том своей работы «Основные законы арифметики», и ему пришлось добавить приложение, в котором он писал: «Бертран Рассел указал на слабое место в самом сердце моей теории, но, думаю, я могу решить эту проблему», и он предложил решение, но, как оказалось, оно не было корректным.

Я обращусь еще ненадолго к парадоксам в теории множеств, потому что есть еще один довольно занимательный парадокс, который возвращает нас к разговору о парадоксах, связанных с истиной, или так называемых семантических парадоксах. Итак, спустя примерно 40 лет, около 1940 года, американский математик и логик Хаскелл Б. Карри обдумывал парадокс Рассела и сказал: «В основе парадокса Рассела лежит отрицание - он говорит о множестве множеств, не включающих себя». Можно ли получить такой же парадокс, не используя отрицание? Есть ли способ? И он сказал, что способ есть. Возьмем множество всех множеств; если они включают себя, то ноль равен единице. По теории множеств это вполне допустимое множество. Но если мы начнем рассматривать такое множество, если оно будет включать себя, то оно будет удовлетворять условию, что если оно включает само себя, то ноль равен единице.

А мы предположили, что оно включает само себя, следовательно, ноль действительно равен единице. Но вполне очевидно, что ноль не может быть равен единице, так что мы отыгрываем все назад и предполагаем, что множество не может включать само себя. Если оно не включает само себя, незамедлительно следует, что либо оно не включает само себя, либо ноль равен единице. Но это то же самое, что сказать, что если оно включает себя, ноль действительно равен единице - это то же самое, что сказать: либо оно не включает себя, либо ноль равен единице. А это все равно что сказать, что если множество включает себя, то оно не является не включающим самого себя, тогда ноль равен единице. Но тогда оно включает себя, то есть мы доказали, что оно включает само себя, но, раз мы это доказали, следовательно, ноль равен единице. Спасите! Мы только что доказали, что ноль равен единице! Так что у нас прямо в сердце математики снова появился настоящий кошмарный парадокс.

И спустя несколько лет этот парадокс был превращен в один из семантических парадоксов, о которых я говорил ранее, и он получил форму высказывания: «Если это высказывание истинно, следовательно, ноль равен единице». Или даже: «Если это высказывание истинно, то Бог существует». И тогда мы всего в несколько строк можем доказать, что Бог существует или что угодно еще: ноль равен единице, Бог существует, сегодня в Москве идет дождь - мы можем доказать что угодно с таким высказыванием. Люди очень много размышляют о правде, так что это очень опасно: неужели правда действительно такова? Неужели правда - противоречивое понятие?

И я закончу тем, что коротко расскажу об еще одном парадоксе, чтобы показать, что парадоксы всем этим не ограничиваются. Вот высказывание: «Вы не знаете этого утверждения» - вы не знаете того самого утверждения, которое я сейчас произношу. Теперь предположим, что вы его знаете. Понятия знания и истины говорят нам, что вы можете знать только то, что истинно, так что, если вы его знаете, оно истинно, в случае чего вы не знаете его, потому что в нем так говорится. Так что если предположить, что вы его знаете, то выходит, что вы его не знаете. Получается, что мы доказали, что вы его не знаете, но в нем сказано, что вы его не знаете, так что мы его доказали. И конечно же, если мы что-то доказали, значит, это истинно, значит, мы это знаем, ведь у нас есть доказательство. И получается, что мы доказали и то, что вы знаете это утверждение, и то, что вы его не знаете, так что у нас снова получается эпистемический парадокс.

Подведем итоги. Я описал несколько семантических парадоксов, в основном связанных с концепцией истины, а также показал, что они очень похожи на парадоксы, связанные с теорией множеств, лежащие в самом сердце математики. Кроме того, мы познакомились с эпистемическими парадоксами, которые связаны не только с понятием истины, но и с понятием знания. Итак, мы разобрали несколько семантических парадоксов, таких как парадокс лжеца, парадокс Эпименида и парадокс с карточкой, которые основываются на понятии правды (в них мы говорим о лжи, неправде, истине и так далее), а затем мы разобрали несколько парадоксов, которые возникают в математике, - они связаны с теорией множеств. И в конце мы поговорили также о еще одном типе парадоксов - эпистемических парадоксах.

Сразу можно понять, насколько важно для нас найти решение этих парадоксов, раз в них замешана математика, ведь мы искали прочные основы математики, чтобы убедиться, что мы не делаем ошибок - а теперь мы обнаружили в них противоречие. Так что нам действительно нужно решение, когда речь заходит о математических парадоксах, связанных с теорией множеств, но и для семантических парадоксов оно нам тоже нужно. Над понятием правды размышляет очень много философов, и они хотят понять природу истины, что такое истинное высказывание. Естественно предположить, что высказывание истинно, если все обстоит так, как оно говорит; а теперь посмотрите на парадокс лжеца: это истинно, если я лгу - это же парадоксально и ведет к противоречию. Так что нам нужно переосмыслить понятие истины, некоторые хотят переосмыслить логику, лежащую в его основе, и методы доказательств, которые привели нас к противоречию. И очень важно, чтобы мы это сделали, если мы хотим получить полное понимание понятий истины и знания.

gif: postnauka.ru/ Стивен Рид

По законам логики Ивин Александр Архипович

ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС?

Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.

Рассмотренные парадоксы - это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем будут открыты и многие другие и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.

«Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания», - пишет австрийский математик и логик К. Гёдель. «Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов, - утверждает советский математик Д. Бочвар. - Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под «логическим парадоксом».

Необходимым признаком логических парадоксов считается логический словарь. Парадоксы, относимые к логическим, должны быть сформулированы в логических терминах. Однако в логике нет четких критериев деления терминов на логические и внелогические. Логика, занимающаяся правильностью рассуждений, стремится свести понятия, от которых зависит правильность практически применяемых выводов, к минимуму. Но этот минимум не предопределен однозначно. Кроме того, в логических терминах можно сформулировать и внелогические утверждения. Использует ли конкретный парадокс только чисто логические посылки, далеко не всегда удается определить однозначно.

Логические парадоксы не отделяются жестко от всех иных парадоксов, подобно тому как последние не отграничиваются ясно от всего непарадоксального и согласующегося с господствующими представлениями.

На первых порах изучения логических парадоксов казалось, что их можно выделить по нарушению некоторого, еще не исследованного положения или правила логики. Особенно активно претендовал на роль такого правила введенный Б. Расселом «принцип порочного круга». Этот принцип утверждает, что совокупность объектов не может содержать членов, определимых только посредством этой же совокупности.

Все парадоксы имеют одно общее свойство - самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, человека как самого хитрого в классе, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек (при помощи «его класса»). И если мы говорим: «Это высказывание ложно», мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.

Во всех парадоксах имеет место самоприменимость, а значит, есть как бы движение по кругу, приводящее в конце концов к исходному пункту. Стремясь охарактеризовать интересующий нас объект, мы обращаемся к той совокупности объектов, которая включает его. Однако оказывается, что сама она для своей определенности нуждается в рассматриваемом объекте и не может быть ясным образом понята без него. В этом круге, возможно, и кроется источник парадоксов.

Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется также во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как «самый большой из всех городов», «наименьшее из всех натуральных чисел», «один из электронов атома железа» и т. п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.

Простая ссылка на использование самоприменимых понятий недостаточна, таким образом, для дискредитации парадоксов. Необходим еще какой-то дополнительный критерий, отделяющий самоприменимость, ведущую к парадоксу, от всех иных ее случаев.

Было много предложений на этот счет, но удачного уточнения циркулярности так и не было найдено. Невозможным оказалось охарактеризовать циркулярность таким образом, чтобы каждое циркулярное рассуждение вело к парадоксу, а каждый парадокс был итогом некоторого циркулярного рассуждения.

Попытка найти какой-то специфический принцип логики, нарушение которого было бы отличительной особенностью всех логических парадоксов, ни к чему определенному не привела.

Несомненно полезной была бы какая-то классификация парадоксов, подразделяющая их на типы и виды, группирующая одни парадоксы и противопоставляющая их другим. Однако и в этом деле ничего устойчивого не было достигнуто.

Английский логик Ф. Рамсей, умерший в 1930 году, когда ему еще не исполнилось и двадцати семи лет, предложил разделить все парадоксы на синтаксические и семантические. К первым относится, например, парадокс Рассела, ко вторым - парадоксы «лжеца», Греллинга и др.

По мнению Ф. Рамсея, парадоксы первой группы содержат только понятия, принадлежащие логике или математике. Вторые включают такие понятия, как «истина», «определимость», «именование», «язык», не являющиеся строго математическими, а относящиеся скорее к лингвистике или даже теории познания. Семантические парадоксы обязаны, как кажется, своим возникновением не какой-то ошибке в логике, а смутности или двусмысленности некоторых нелогических понятий, поэтому поставленные ими проблемы касаются языка и должны решаться лингвистикой.

Ф. Рамсею казалось, что математикам и логикам незачем интересоваться семантическими парадоксами.

В дальнейшем оказалось, однако, что некоторые из наиболее значительных результатов современной логики были получены как раз в связи с более глубоким изучением именно этих «нелогических» парадоксов.

Предложенное Ф. Рамсеем деление парадоксов широко использовалось на первых порах и сохраняет некоторое значение и теперь. Вместе с тем становится все яснее, что это деление довольно-таки расплывчато и опирается по преимуществу на примеры, а не на углубленный сопоставительный анализ двух групп парадоксов. Семантические понятия сейчас получили точные определения, и трудно не признать, что эти понятия действительно относятся к логике. С развитием семантики, определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведенное Ф. Рамсеем, все более стирается.

Из книги Диалектика мифа автора Лосев Алексей Федорович

a) вне-логический характер опоры на ощущение; a) Именно, выше мы констатировали, что знание логически предполагает вне-логическое противостояние знающего и знаемого. Легко заметить, что это есть не что иное, как постулат ощущения (или восприятия). Другими словами, мы

Из книги Материализм и эмпириокритицизм автора Ленин Владимир Ильич

1. ЧТО ТАКОЕ МАТЕРИЯ? ЧТО ТАКОЕ ОПЫТ? С первым из этих вопросов постоянно пристают идеалисты, агностики, и в том числе махисты, к материалистам; со вторым - материалисты к махистам. Попытаемся разобраться, в чем тут дело.Авенариус говорит по вопросу о материи:«Внутри

Из книги История философии автора Скирбекк Гуннар

Логический позитивизм В период между первой и второй мировыми войнами были выдвинуты новые философские идеи. Многие из них были стимулированы развитием неклассической физики и стали предметом серьезного эпистемологического анализа со стороны логического позитивизма.

Из книги Введение в философию автора Фролов Иван

3. Логический анализ (Б. Рассел) Бертран Рассел (1872–1970) - всемирно известный английский ученый, философ, общественный деятель. В шестнадцать лет он прочитал «Автобиографию» своего крестного отца Дж. С. Милля, произведшую на него большое впечатление. Перу Милля

Из книги Социальная философия автора Крапивенский Соломон Элиазарович

2. Логический позитивизм В 1922 году на кафедре натуральной философии Венского университета, которую после смерти Э. Маха возглавил профессор М. Шлик, собралась группа молодых ученых, поставивших перед собой смелую цель - реформировать науку и философию. Эта группа вошла

Из книги Западная философия XX века автора Зотов Анатолий Федорович

Исторический и логический методы По большому счету эмпирический уровень научного познания сам по себе не достаточен для проникновения в сущность вещей, в том числе в закономерности функционирования и развития общества. На определенном этапе, когда накоплено уже более

Из книги Иисус Христос автора Каспер Вальтер

§ 1. Логический атомизм Б. Рассела «Дедушки» логического позитивизма - это Мур и Рассел. Роль Мура (1873–1958) обычно подчеркивают английские исследователи. Состояла она в том, что он привлек внимание к анализу значения слов и высказываний, которыми пользовались философы.

Из книги Теории сознания автора Прист Стивен

3. Тео–логический характер Царства Божьего В традиции Ветхого Завета и иудаизма пришествие Царства Божьего означает Божье пришествие. Центром эсхатологической надежды был определенный и осуществленный Богом «День Яхве», день, когда Бог будет «все во всем», когда

Из книги Венский кружок. Возникновение неопозитивизма автора Крафт Виктор

Глава 2 ЛОГИЧЕСКИЙ БИХЕВИОРИЗМ Логический бихевиоризм есть теория о том, что быть в ментальном состоянии означает быть в бихевиоральном состоянии. Мышление, надежда, восприятие, воспоминание и т.д. – все это должно пониматься либо как поведение, либо как обладание

Из книги Хаос и структура автора Лосев Алексей Федорович

II. ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЯЗЫКА Для теоретического построения математики была разработана новая логика. В Венском кружке она вообще стала средством создания теории науки. В отличие от чистой логики прикладная логика была использована для уточнения философских

Из книги Искусство правильно мыслить автора Ивин Александр Архипович

15. ИНФИНИТЕЗИМАЛbНО–ЛОГИЧЕСКИЙ СЛОВАРb На этом мы закончим наше краткое сообщение о применении метода бесконечно–малых к логике. Вернее, это не сообщение, а только предложение, только скромный намек на ту область, которая не может не быть огромной. Логика и математика не

Из книги Философия. Книга третья. Метафизика автора Ясперс Карл Теодор

ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКИЙ ПАРАДОКС? Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует. Рассмотренные логические парадоксы – это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем будут открыты и многие другие

Из книги Марксистская философия в XIX веке. Книга первая (От возникновения марксистской философии до ее развития в 50-х – 60 годах XIX века) автора

2. Логический обвал - То, что может быть продемонстрировано или что требуется доказать, есть конечное познание чего-то особенного. Экзистенция и трансценденция, в смысле этого бытия, не существуют. Если мы мыслим о них, то мысль принимает логические формы, которые

Из книги 12 ведущих философов современности автора Кэмп Гэри

«Логический» и «исторический» методы исследования В «Капитале», в особенности в четвертом его томе, нашла свое отражение важная гносеологическая проблема отношения между логическим построением теории объекта и историческими приемами его исследования – вторая из

Из книги Логика. Учебное пособие автора Гусев Дмитрий Алексеевич

Логический позитивизм Карнапа Логический позитивизм - это видоизмененная форма эмпиризма. Эмпиризм в чистом виде - это учение о том, что все знание мы получаем из чувственного опыта. Логический позитивизм выглядит слабее его в одном важном пункте, но зато сильнее в

Из книги автора

2.9. Логический квадрат Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками. Как видим, вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и