Unang antas

Degree at mga katangian nito. Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o sa Unified State Examination at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Mabibilang mo lang sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool ay magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, masyadong, mga tile. Pag-multiply sa, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero nang mag-isa upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung parisukat ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming mga cube na may sukat na isang metro sa isang metro ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami ng sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga digri. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay na-multiply sa sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay mayamot na, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang maging pangkalahatan at matandaan nang mas mahusay ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay upang i-multiply ang numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilang multiplier ang nasa kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang pinarami natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinalitan, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa kanyang sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling makayanan ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang bilog ng mga numero na "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang positibong base exponent lamang na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga panuntunan at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

AT kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat ay nasa parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat index degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang pinarami natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong buuin ang mga simpleng panuntunang ito:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa isa't isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may negatibong integer - parang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

May panuntunan na ang anumang numero maliban sa zero, na itinaas sa kapangyarihan ng zero, ay magiging katumbas ng isa:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Gayunpaman, bakit ganito?

Kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ito ay i-multiply sa sarili nito nang kasing dami ng exponent:
43 = 4...

0 0

Sa algebra, ang pagtaas sa kapangyarihan ng zero ay karaniwan. Ano ang degree 0? Aling mga numero ang maaaring itaas sa zero na kapangyarihan at alin ang hindi?

Kahulugan.

Anumang numero sa kapangyarihan ng zero, maliban sa zero, ay katumbas ng isa:

Kaya, kahit anong numero ang itataas sa kapangyarihan ng 0, ang resulta ay palaging magiging pareho - isa.

At 1 sa kapangyarihan ng 0, at 2 sa kapangyarihan ng 0, at anumang iba pang numero - integer, fractional, positibo, negatibo, makatuwiran, hindi makatwiran - kapag itinaas sa zero na kapangyarihan, ay nagbibigay ng isa.

Ang tanging exception ay null.

Ang zero hanggang zero na kapangyarihan ay hindi tinukoy, ang gayong expression ay hindi makatwiran.

Iyon ay, anumang numero maliban sa zero ay maaaring itaas sa zero na kapangyarihan.

Kung, kapag pinasimple ang isang expression na may mga kapangyarihan, ang isang numero ay nakuha sa kapangyarihan ng zero, maaari itong mapalitan ng isang yunit:

Kung sa...

0 0

Sa loob ng balangkas ng kurikulum ng paaralan, ang halaga ng expression na $%0^0$% ay itinuturing na hindi natukoy.

Mula sa pananaw ng modernong matematika, maginhawang ipagpalagay na $%0^0=1$%. Ang ideya dito ay ang mga sumusunod. Hayaang magkaroon ng produkto ng $%n$% na mga numero ng anyong $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Para sa lahat ng $%n\ge2$% ang pagkakapantay-pantay na $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% ay nasisiyahan. Maginhawang isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito na maging makabuluhan kahit para sa $%n=1$%, na nagtatakda ng $%p_0=1$%. Ang lohika dito ay ang mga sumusunod: kapag kinakalkula ang mga produkto, kukuha muna kami ng 1, at pagkatapos ay sunud-sunod na i-multiply sa $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Ito ang algorithm na ito na ginagamit kapag naghahanap ng mga gawa kapag nakasulat ang mga programa. Kung, sa ilang kadahilanan, hindi nangyari ang pagpaparami, kung gayon ang produkto ay nananatiling katumbas ng isa.

Sa madaling salita, ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang naturang konsepto bilang "ang produkto ng 0 na mga kadahilanan" bilang may kahulugan, isinasaalang-alang ito ay katumbas ng 1 sa pamamagitan ng kahulugan. Sa kasong ito, maaari ding magsalita ng isang "walang laman na produkto". Kung i-multiply natin ang isang numero dito...

0 0

Zero - ito ay zero. Sa halos pagsasalita, ang anumang kapangyarihan ng isang numero ay produkto ng isa at ang exponent ay nag-time sa numerong iyon. Dalawa sa pangatlo, sabihin nating ito ay 1*2*2*2, dalawa sa minus ang una ay 1/2. At pagkatapos ay kinakailangan na walang butas sa paglipat mula sa positibo hanggang sa negatibong mga kapangyarihan at kabaliktaran.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

iyon ang buong punto.

simple at malinaw, salamat

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

ito ay kinakailangan, halimbawa, na ang ilang mga formula na wasto para sa mga positibong tagapagpahiwatig - halimbawa x ^ n * x ^ m = x ^ (m + n) - ay may bisa pa rin.
Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong naaangkop sa kahulugan ng isang negatibong antas pati na rin ang isang nakapangangatwiran (iyon ay, halimbawa, 5 sa kapangyarihan ng 3/4)

> at bakit ito kailangan?
Halimbawa, sa mga istatistika at teorya, ang isa ay madalas na naglalaro ng walang kapangyarihan.

Nakakaabala ba sa iyo ang mga negatibong degree?
...

0 0

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga katangian ng mga degree, halimbawa, 16:8=2. Dahil 16=24 at 8=23, samakatuwid, ang dibisyon ay maaaring isulat nang exponentially bilang 24:23=2, ngunit kung ibawas natin ang mga exponent, 24:23=21. Kaya, kailangan nating aminin na ang 2 at 21 ay pareho, samakatuwid 21=2.

Ang parehong panuntunan ay nalalapat sa anumang iba pang exponential number, kaya ang panuntunan ay maaaring sabihin sa isang pangkalahatang paraan:

anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay nananatiling hindi nagbabago

Maaaring nagulat ka sa konklusyong ito. Maiintindihan mo pa rin kahit papaano ang kahulugan ng expression na 21=2, kahit na ang expression na "one number two multiplied by itself" ay parang kakaiba. Ngunit ang ekspresyong 20 ay nangangahulugang "hindi isang solong numero dalawa, ...

0 0

Mga kahulugan ng degree:

1. zero degree

Anumang di-zero na numero na itinaas sa kapangyarihan ng zero ay katumbas ng isa. Ang zero sa kapangyarihan ng zero ay hindi tinukoy

2. natural na antas maliban sa zero

Anumang numerong x na itinaas sa natural na kapangyarihan n, maliban sa zero, ay katumbas ng pagpaparami ng n mga numerong x sa kanilang mga sarili

3.1 ugat ng isang natural na antas maliban sa zero

Ang ugat ng pantay na natural na kapangyarihan n, naiiba sa zero, mula sa anumang positibong numerong x ay isang positibong numerong y, na, kapag itinaas sa kapangyarihan ng n, ay nagbibigay ng orihinal na numerong x

3.2 kakaibang likas na ugat

Ang kakaibang likas na ugat n ng anumang bilang na x ay isang numerong y na, kapag itinaas sa kapangyarihan ng n, ay nagbibigay ng orihinal na numerong x

3.3 ang ugat ng anumang natural na kapangyarihan bilang isang fractional na kapangyarihan

Ang pag-extract ng ugat ng anumang natural na kapangyarihan n maliban sa zero mula sa anumang numerong x ay kapareho ng pagtataas ng numerong ito na x sa fractional power na 1/n

0 0

Kumusta, mahal na RUSSEL!

Kapag ipinakilala ang konsepto ng degree, mayroong ganoong notasyon: » Ang halaga ng expression na a^0 =1 » ! Napupunta ito sa pamamagitan ng lohikal na konsepto ng degree at wala nang iba pa!
Ito ay kapuri-puri kapag ang isang binata ay nagsisikap na makarating sa ilalim nito! Pero may mga bagay na dapat i-take for granted na lang!
Makakagawa ka lang ng bagong matematika kapag pinag-aralan mo ang natuklasan ilang siglo na ang nakalipas!
Siyempre, kung ibubukod namin na kayo ay "hindi taga-sanlibutang ito" at kayo ay nabigyan ng higit pa kaysa sa iba naming mga makasalanan!

Tandaan: Sinubukan ni Anna Misheva na patunayan ang hindi mapapatunayan! Kapuri-puri din!
Ngunit mayroong isang malaking "PERO" - ang pinakamahalagang elemento ay nawawala sa patunay nito: Ang kaso ng paghahati sa pamamagitan ng ZERO!

Tingnan para sa iyong sarili kung ano ang maaaring mangyari: 0^1 / 0^1 = 0 / 0 !!!

Ngunit hindi mo maaaring hatiin sa zero!

Mangyaring maging mas maingat!

Na may maraming pinakamahusay na hiling at kaligayahan sa iyong personal na buhay...

0 0

Mga sagot:

Walang pangalan

kung isasaalang-alang natin na a^x=e^x*ln(a), lumalabas na 0^0=1 (limit, para sa x->0)
bagama't ang sagot na "kawalan ng katiyakan" ay katanggap-tanggap din

Ang zero sa matematika ay hindi kahungkagan, ang numerong ito ay napakalapit sa "wala", tulad ng infinity lamang sa kabaligtaran

Isulat:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Ito ay lumiliko sa kasong ito na hinati namin ng zero, at ang operasyong ito sa larangan ng mga tunay na numero ay hindi tinukoy.

6 na taon na ang nakaraan

Ang RPI.su ay ang pinakamalaking database ng mga tanong at sagot sa wikang Russian. Ipinatupad ang aming proyekto bilang pagpapatuloy ng sikat na serbisyong otvety.google.ru, na isinara at inalis noong Abril 30, 2015. Napagpasyahan naming buhayin muli ang kapaki-pakinabang na serbisyo ng Google Answers para malaman ng sinumang tao ang sagot sa kanilang tanong mula sa komunidad ng Internet.

Ang lahat ng mga tanong na idinagdag sa site ng Google Answers ay nakopya at na-save dito. Ang mga pangalan ng mga lumang user ay ipinapakita din sa form kung saan sila dati ay umiral. Kailangan mo lang muling magparehistro para makapagtanong, o makasagot sa iba.

Upang makipag-ugnayan sa amin para sa anumang katanungan TUNGKOL SA SITE (advertising, pakikipagtulungan, feedback tungkol sa serbisyo), sumulat sa koreo [email protected] I-post lamang ang lahat ng pangkalahatang katanungan sa site, hindi sila sasagutin sa pamamagitan ng koreo.

Ano ang katumbas ng zero kapag ito ay itinaas sa kapangyarihan ng zero?

Bakit ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay katumbas ng 1? May panuntunan na ang anumang numero maliban sa zero, na itinaas sa kapangyarihan ng zero, ay magiging katumbas ng isa: 20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1 Gayunpaman, bakit ganito? Kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ito ay i-multiply sa sarili nito nang kasing dami ng exponent: 43 = 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Kapag ang exponent ay 1, pagkatapos ay mayroon lamang isang kadahilanan sa panahon ng konstruksiyon (kung maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga kadahilanan dito sa lahat), at samakatuwid ang resulta ng konstruksiyon ay pantay. sa base ng antas: 181 \u003d 18; (–3.4)1 = –3.4 Ngunit paano ang zero exponent sa kasong ito? Ano ang pinarami ng ano? Subukan nating pumunta sa ibang paraan. Alam na kung ang dalawang degree ay may parehong mga base, ngunit magkaibang mga tagapagpahiwatig, kung gayon ang base ay maaaring iwanang pareho, at ang mga tagapagpahiwatig ay maaaring idagdag sa bawat isa (kung ang mga degree ay pinarami), o ibawas ang tagapagpahiwatig ng divisor mula sa tagapagpahiwatig ng dibidendo (kung mahahati ang mga degree): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 Ngayon isaalang-alang ang halimbawang ito: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Paano kung hindi namin gagamitin ang property ng degrees na may parehong base at magsagawa ng mga kalkulasyon sa kanilang pagkakasunud-sunod: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Kaya nakuha namin ang coveted unit. Kaya, ang zero exponent, bilang ito ay, ay nagpapahiwatig na ang bilang ay hindi pinarami ng kanyang sarili, ngunit hinati sa kanyang sarili. At mula dito ay nagiging malinaw kung bakit ang expression na 00 ay hindi makatwiran. Pagkatapos ng lahat, hindi mo maaaring hatiin sa 0. Maaari kang makipagtalo nang iba. Kung mayroong, halimbawa, isang multiplikasyon ng mga kapangyarihan 52 × 50 = 52 + 0 = 52, pagkatapos ay sumusunod na ang 52 ay pinarami ng 1. Samakatuwid, 50 = 1.

Mula sa mga katangian ng mga degree: a^n / a^m = a^(n-m) kung n=m, ang resulta ay magiging isa, maliban siyempre a=0, sa kasong ito (dahil ang zero hanggang anumang degree ay magiging zero) dibisyon sa pamamagitan ng zero ay magaganap, kaya 0^0 ay hindi umiiral

Account sa iba't ibang wika

Mga pangalan ng mga numero mula 0 hanggang 9 sa mga sikat na wika sa mundo.

Wika	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Ingles	sero	isa	dalawa	tatlo	apat	lima	anim	pito	walo	siyam
Bulgarian	sero	isa	dalawa	tatlo	apat	alagang hayop	poste	sedem	osem	devet
Hungarian	nulla	egy	ketto	harom	negy	ot	sumbrero	het	nyolc	kilenc
Dutch	wala	een	twee	patuyuin	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
Danish	wala	en	sa	tre	apoy	fem	kasarian	syv	otte	ni
Espanyol	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	bago
Italyano	sero	uno	dahil	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	bago
Lithuanian	nullis	vienas	du	sinusubukan	keturi	penki	reyi	septini	aðtuoni	devyni
Deutsch	wala	ein	zwei	drei	vier	funf	sechs	sieben	acht	neun
Ruso	sero	isa	dalawa	tatlo	apat	lima	anim	pito	walo	siyam
Polish	sero	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
Portuges	um	dois	mga track	quadro	cinco	seis	sete	oito	bago
Pranses	sero	un	deux	trois	parisukat	cinq	anim	sept	huit	neuf
Czech	nula	jedna	dva	toi	itooi	hukay	¹est	sedm	osm	lumihis
Swedish	noll	atbp	tva	tre	fyra	fem	kasarian	sju	atta	nio
Estonian	wala	uks	kaks	Kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	uheksa

Negatibo at zero na kapangyarihan ng isang numero

Zero, negatibo at fractional na kapangyarihan

Zero indicator

Upang itaas ang isang naibigay na numero sa isang tiyak na kapangyarihan ay nangangahulugan na ulitin ito na may isang kadahilanan nang maraming beses na may mga yunit sa exponent.

Ayon sa kahulugang ito, ang expression: a 0 ay walang kahulugan. Ngunit upang magkaroon ng kahulugan ang tuntunin ng paghahati ng mga kapangyarihan ng parehong bilang kahit na sa kaso kapag ang index ng divisor ay katumbas ng index ng dibidendo, ipinakilala ang kahulugan:

Ang zero power ng anumang numero ay magiging katumbas ng isa.

Negatibong tagapagpahiwatig

Pagpapahayag a-m, sa kanyang sarili ay walang kabuluhan. Ngunit upang magkaroon ng kahulugan ang panuntunan ng paghahati ng mga kapangyarihan ng parehong bilang kahit na sa kaso kung ang index ng divisor ay mas malaki kaysa sa indeks ng dibidendo, ipinakilala ang kahulugan:

Halimbawa 1. Kung ang isang naibigay na numero ay binubuo ng 5 daan, 7 sampu, 2 yunit at 9 na daan, kung gayon maaari itong katawanin tulad ng sumusunod:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

Halimbawa 2. Kung ang isang ibinigay na numero ay binubuo ng isang sampu, b unit, c tenths at d thousandths, kung gayon maaari itong katawanin bilang mga sumusunod:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Mga aksyon sa mga kapangyarihan na may negatibong exponent

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan ng parehong numero, ang mga exponent ay idinaragdag nang magkasama.

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan ng parehong numero, ang tagapagpahiwatig ng divisor ay ibabawas mula sa tagapagpahiwatig ng dibidendo.

Upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang bawat kadahilanan nang hiwalay sa kapangyarihang ito:

Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang parehong mga termino ng fraction nang hiwalay sa kapangyarihang ito:

Kapag ang isang kapangyarihan ay itinaas sa ibang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami.

Fractional exponent

Kung ang k ay hindi maramihan n, pagkatapos ay ang expression na: ay hindi makatwiran. Ngunit upang maganap ang panuntunan ng pagkuha ng ugat mula sa antas para sa anumang halaga ng exponent, ipinakilala ang kahulugan:

Salamat sa pagpapakilala ng isang bagong simbolo, ang pag-extract ng ugat ay maaaring palaging mapalitan ng exponentiation.

Mga aksyon sa mga kapangyarihan na may mga fractional exponents

Ang mga pagkilos sa mga degree na may mga fractional exponent ay ginagawa ayon sa parehong mga panuntunan na itinatag para sa mga integer exponent.

Kapag pinatutunayan ang posisyong ito, ipagpalagay muna natin na ang mga tuntunin ng mga fraction: at , na nagsisilbing mga exponent, ay positibo.

Sa isang partikular na kaso n o q maaaring katumbas ng isa.

Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan ng parehong numero, ang mga fractional indicator ay nagdaragdag:

Kapag hinahati ang mga kapangyarihan ng parehong numero sa mga fractional exponent, ang divisor exponent ay ibabawas mula sa dividend exponent:

Upang itaas ang isang kapangyarihan sa isa pang kapangyarihan sa kaso ng mga fractional exponents, sapat na upang i-multiply ang mga exponent:

Upang kunin ang ugat ng isang fractional exponent, sapat na upang hatiin ang exponent sa exponent ng root:

Ang mga tuntunin ng pagkilos ay nalalapat hindi lamang sa positibo fractional figure, ngunit din sa negatibo.

May panuntunan na ang anumang numero maliban sa zero, na itinaas sa kapangyarihan ng zero, ay magiging katumbas ng isa:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Gayunpaman, bakit ganito?
Kapag ang isang numero ay itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ito ay i-multiply sa sarili nito nang kasing dami ng exponent:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Kapag ang exponent ay 1, pagkatapos ay mayroon lamang isang kadahilanan sa panahon ng konstruksiyon (kung maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga kadahilanan), at samakatuwid ang resulta ng konstruksiyon ay katumbas ng base ng antas:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Ngunit ano ang tungkol sa zero sa kasong ito? Ano ang pinarami ng ano?
Subukan nating pumunta sa ibang paraan.

Bakit ang isang numero sa kapangyarihan ng 0 ay katumbas ng 1?

Alam na kung ang dalawang degree ay may parehong mga base, ngunit magkaibang mga tagapagpahiwatig, kung gayon ang base ay maaaring iwanang pareho, at ang mga tagapagpahiwatig ay maaaring idagdag sa bawat isa (kung ang mga degree ay pinarami), o ibawas ang tagapagpahiwatig ng divisor mula sa tagapagpahiwatig ng dibidendo (kung ang mga degree ay mahahati):
3 2×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Ngayon isaalang-alang ang halimbawang ito:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Paano kung hindi namin gamitin ang pag-aari ng mga kapangyarihan na may parehong base at magsagawa ng mga kalkulasyon sa pagkakasunud-sunod ng kanilang pagkakasunud-sunod:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Kaya nakuha namin ang coveted unit. Kaya, ang zero exponent, bilang ito ay, ay nagpapahiwatig na ang bilang ay hindi pinarami ng kanyang sarili, ngunit hinati sa kanyang sarili.
At mula dito ay nagiging malinaw kung bakit ang expression na 0 0 ay hindi makatwiran. Pagkatapos ng lahat, hindi mo maaaring hatiin sa 0.

DEGREE NA MAY RASYONAL NA INDICATOR,

KAPANGYARIHAN IV

§ 71. Degree na may zero at negatibong exponent

Sa § 69 napatunayan namin (tingnan ang Theorem 2) na para sa t > n

(a =/= 0)

Ito ay medyo natural na nais na palawigin ang formula na ito sa kaso kung kailan t < P . Ngunit pagkatapos ay ang numero t - p magiging negatibo o zero. A. Sa ngayon, pinag-uusapan lang natin ang mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig. Kaya, tayo ay nahaharap sa pangangailangang ipakilala sa pagsasaalang-alang ang mga kapangyarihan ng mga tunay na numero na may zero at negatibong mga exponent.

Kahulugan 1. Kahit anong numero a , hindi katumbas ng zero, sa kapangyarihan ng zero ay katumbas ng isa, ibig sabihin, kapag a =/= 0

a 0 = 1. (1)

Halimbawa, (-13.7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2) 0 = 1. Ang bilang 0 ay walang zero degree, ibig sabihin, ang expression na 0 0 ay hindi tinukoy.

Kahulugan 2. Kung ang a=/= 0 at P ay isang natural na numero, kung gayon

a - n = 1 /a n (2)

yan ay ang antas ng anumang numero na hindi katumbas ng zero, na may negatibong integer exponent, ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay isa, at ang denominator ay ang kapangyarihan ng parehong numero a, ngunit may exponent na kabaligtaran ng exponent nito. exponent.

Halimbawa,

Sa pag-iisip ng mga kahulugang ito, maipapakita iyon a =/= 0, formula

totoo para sa anumang natural na mga numero t at n , at hindi lamang para sa t > n . Upang patunayan ito, sapat na upang isaalang-alang lamang ang dalawang kaso: t = n at t< .п , mula noong kaso m > n tinalakay na sa § 69.

Hayaan t = n ; pagkatapos . Kaya, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (3) ay katumbas ng 1. Ang kanang bahagi sa t = n nagiging

a m-n = a n - n = a 0 .

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan a 0 = 1. Kaya, ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (3) ay katumbas din ng 1. Samakatuwid, para sa t = n tama ang formula (3).

Ngayon ipagpalagay na t< п . Paghahati sa numerator at denominator ng isang fraction sa pamamagitan ng a m , nakukuha natin:

kasi n > t , pagkatapos . kaya lang . Gamit ang kahulugan ng isang degree na may negatibong exponent, maaaring magsulat .

Kaya, sa , na dapat patunayan. Ang Formula (3) ay napatunayan na ngayon para sa anumang natural na mga numero t at P .

Magkomento. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga negatibong exponent na magsulat ng mga fraction nang walang denominator. Halimbawa,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - isa ; pangkalahatan, a / b = a b - 1

Gayunpaman, hindi dapat isipin ng isa na sa gayong notasyon, ang mga praksyon ay nagiging mga buong numero. Halimbawa, 3 - Ang 1 ay kaparehong bahagi ng 1/3, 2 5 - Ang 1 ay kaparehong bahagi ng 2/5, atbp.

Mga ehersisyo

529. Kalkulahin:

530. Isulat nang walang denominador ng isang fraction:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Isulat ang mga decimal fraction na ito bilang mga integer na expression gamit ang mga negatibong indicator:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5