Paglutas ng mga linear na equation sa mga integer. Magsimula sa agham

1.3 Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation

Kapag nilulutas ang mga equation sa mga integer at natural na numero, ang mga sumusunod na pamamaraan ay maaaring halos makilala:

1. Paraan ng pag-enumerate ng mga opsyon.

2. Euclidean algorithm.

3. Continued fractions.

4. Pamamaraan ng Factorization.

5. Paglutas ng mga equation sa mga integer bilang mga parisukat na may paggalang sa ilang variable.

6. Paraan ng nalalabi.

7. Walang katapusang paraan ng pagbaba.

Kabanata 2. Paglalapat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation

1. Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation.

2.1 Euclidean algorithm.

Problema 1 . Lutasin ang equation sa integers 407 X – 2816y = 33.

Gamitin natin ang pinagsama-samang algorithm.

1. Gamit ang Euclidean algorithm, nakita namin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 407 at 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Samakatuwid (407.2816) = 11, na may 33 na mahahati ng 11

2. Hatiin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng 11, makuha natin ang equation 37 X – 256y= 3, na may (37, 256) = 1

3. Gamit ang Euclidean algorithm, nakahanap tayo ng linear na representasyon ng numero 1 hanggang sa mga numero 37 at 256.

256 = 37 6 + 34;

Ipahayag natin ang 1 mula sa huling pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay sunud-sunod na pataas ang mga pagkakapantay-pantay na ipapahayag natin ng 3; 34 at palitan ang mga resultang expression sa expression para sa 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Kaya, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, samakatuwid ay isang pares ng mga numero x 0= – 83 at y 0= – 12 ang solusyon sa equation 37 X – 256y = 3.

4. Isulat natin ang pangkalahatang formula para sa mga solusyon sa orihinal na equation

saan t- anumang integer.

2.2 Paraan ng pag-enumerate ng mga opsyon.

Gawain 2. Ang mga kuneho at pheasants ay nakaupo sa isang hawla; mayroon silang 18 mga binti sa kabuuan. Alamin kung ilan sa dalawa ang nasa selda?

Solusyon: Ang isang equation ay iginuhit gamit ang dalawang hindi kilalang variable, kung saan ang x ay ang bilang ng mga kuneho, y ang bilang ng mga pheasant:

4x + 2y = 18, o 2x + y = 9.

Ipahayag natin sa sa pamamagitan ng X : y = 9 – 2x.

X	1	2	3	4
sa	7	5	3	1

Kaya, ang problema ay may apat na solusyon.

Sagot: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Pamamaraan ng Factorization.

Ang pag-enumerate ng mga opsyon kapag naghahanap ng mga natural na solusyon sa isang equation na may dalawang variable ay lumalabas na napaka-labor-intensive. Bukod dito, kung ang equation ay may buo mga solusyon, kung gayon imposibleng ibilang ang mga ito, dahil mayroong isang walang katapusang bilang ng mga naturang solusyon. Samakatuwid, magpapakita kami ng isa pang pamamaraan - paraan ng factorization.

Gawain 3. Lutasin ang equation sa buong numeroy 3 - x 3 = 91.

Solusyon. 1) Gamit ang mga pinaikling pormula ng multiplikasyon, isinasali namin ang kanang bahagi ng equation:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Isulat natin ang lahat ng mga divisors ng bilang 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Magsagawa ng pananaliksik. Tandaan na para sa anumang integer x At y numero

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

samakatuwid, ang parehong mga kadahilanan sa kaliwang bahagi ng equation ay dapat na positibo. Kung gayon ang equation (1) ay katumbas ng isang set ng mga sistema ng mga equation:

; ; ;

4) Nang malutas ang mga sistema, nakuha natin: ang unang sistema ay may mga solusyon (5; 6), (-6; -5); pangatlo (-3; 4),(-4; 3); ang pangalawa at ikaapat ay walang mga solusyon sa mga integer.

Sagot: ang equation (1) ay may apat na solusyon (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Gawain 4. Hanapin ang lahat ng pares ng mga natural na numero na nagbibigay-kasiyahan sa equation

Solusyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation at isulat ang equation sa form

kasi Ang mga divisors ng numero 69 ay ang mga numero 1, 3, 23 at 69, pagkatapos ay 69 ay maaaring makuha sa dalawang paraan: 69=1·69 at 69=3·23. Isinasaalang-alang na

, nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation, paglutas kung saan mahahanap natin ang mga kinakailangang numero: o .

Ang unang sistema ay may solusyon

, at ang pangalawang sistema ay may solusyon.

Sagot:

Gawain 5. Lutasin ang equation sa buong numero:

Solusyon. Isulat natin ang equation sa form

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation. Nakukuha namin

Ang produkto ng dalawang integer ay maaari lamang katumbas ng 1 sa dalawang kaso: kung pareho silang katumbas ng 1 o -1. Kumuha kami ng dalawang sistema:

o kaya .

Ang unang sistema ay may solusyon x=2, y=2, at ang pangalawang sistema ay may solusyon x=0, y=0.

Sagot:

Gawain 6. Lutasin ang equation sa buong numero

Solusyon. Isulat natin ang equation na ito sa anyo

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation gamit ang grouping method, nakukuha natin

Ang produkto ng dalawang integer ay maaaring katumbas ng 7 sa mga sumusunod na kaso:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Kaya, nakakakuha tayo ng apat na system:

o , o , o .

Ang solusyon sa unang sistema ay isang pares ng mga numero x = - 5, y = - 6. Ang paglutas ng pangalawang sistema, makakakuha tayo ng x = 13, y = 6. Para sa ikatlong sistema, ang solusyon ay ang mga numero x = 5, y = 6. Ang ikaapat na sistema ay may solusyon x = - 13, y = - 6.

Gawain 7. Patunayan na ang equation ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 hindi

Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo

Sekondaryang paaralan ng Savrushskaya

Distrito ng Pokhvistnevsky, rehiyon ng Samara

Abstract sa matematika sa paksa:

"Mga equation na may dalawa

hindi kilala

sa buong numero"

Nakumpleto ni: Kolesova Tatyana

Staroverova Nina

sa mga mag-aaral sa ika-10 baitang

Munisipal na institusyong pang-edukasyon sa Savrushskaya pangalawang paaralan

distrito ng Pokhvistnevsky

Rehiyon ng Samara.

Superbisor: Yatmankina Galina Mikhailovna

guro sa matematika.

Savrukha 2011

Panimula.________________________________________________3

1. Kaligirang pangkasaysayan ________________________________________________5

1.1 Theorems sa bilang ng mga solusyon ng linear Diophantine equation___6

1.2 Algorithm para sa paglutas ng mga equation sa mga integer_______________ 6

1.3 Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation______________________________ 7

Kabanata 2. Paglalapat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation.

1. Paglutas ng problema________________________________________________ 8

2.1 Paglutas ng mga problema gamit ang Euclidean algorithm________________ 8

2.2 Paraan ng pagbilang ng mga opsyon________________________________ 9

2.3 Pamamaraan ng Factorization__________________________ 9

2.4 Natirang pamamaraan________________________________________________ 12

2. Mga gawain sa antas ng pagsusulit__________________________ 13

Konklusyon________________________________________________ 16

Listahan ng mga sanggunian ________________________________________ 17

"Sino ang kumokontrol sa mga numero,

Siya ang namamahala sa mundo"

Pythagoras.

Panimula.

Pagsusuri ng sitwasyon: Ang mga equation ng diophantine ay isang napapanahong paksa sa ating panahon, dahil ang solusyon ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, at mga problema na bumababa sa paglutas ng mga equation sa mga integer gamit ang mga pagtatantya para sa mga variable ay matatagpuan sa iba't ibang mga mathematical na koleksyon at mga koleksyon ng Unified State Examination.

Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng iba't ibang paraan upang malutas ang isang quadratic equation na may isang variable sa klase, kami ay interesado sa pag-unawa kung paano nalutas ang mga equation na may dalawang variable. Ang ganitong mga gawain ay matatagpuan sa mga Olympiad at sa mga materyales ng Pinag-isang Estado ng Pagsusuri.

Ngayong akademikong taon, ang mga ika-labing-isang baitang ay kailangang kumuha ng Pinag-isang State Exam sa matematika, kung saan ang mga KIM ay pinagsama-sama ayon sa isang bagong istraktura. Walang bahaging "A", ngunit idinagdag ang mga gawain sa bahaging "B" at bahaging "C". Ipinaliwanag ng mga compiler ang pagdaragdag ng C6 sa pamamagitan ng katotohanan na upang makapasok sa isang teknikal na unibersidad kailangan mong malutas ang mga gawain ng napakataas na antas ng pagiging kumplikado.

Problema: Habang nilulutas ang mga sample na bersyon ng mga gawain ng Unified State Exam, napansin namin na kadalasan sa C6 ay may mga gawain para sa paglutas ng mga equation ng una at pangalawang degree sa mga integer. Ngunit hindi namin alam kung paano lutasin ang mga naturang equation. Sa pagsasaalang-alang na ito, naging kinakailangan na pag-aralan ang teorya ng naturang mga equation at ang algorithm para sa paglutas ng mga ito.

Target: Kabisaduhin ang paraan ng paglutas ng mga equation na may dalawang hindi alam ng una at pangalawang degree sa integer.

Mga gawain: 1) Pag-aralan ang pang-edukasyon at sangguniang literatura;

2) Mangolekta ng teoretikal na materyal sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation;

3) Suriin ang algorithm para sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri;

4) Ilarawan ang solusyon.

5) Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa gamit ang pamamaraang ito.

6) Lutasin ang mga equation na may dalawang variable sa mga integer mula sa

materyales ng Pinag-isang Estado ng Pagsusulit-2010 C6.

Layunin ng pag-aaral : Paglutas ng mga equation

Paksa ng pag-aaral : Mga equation na may dalawang variable sa mga integer.

Hypothesis: Ang paksang ito ay may malaking praktikal na kahalagahan. Sa kursong matematika ng paaralan, ang mga equation na may isang variable at iba't ibang paraan ng paglutas ng mga ito ay pinag-aralan nang detalyado. Ang mga pangangailangan ng prosesong pang-edukasyon ay nangangailangan na malaman ng mga mag-aaral at kayang lutasin ang mga simpleng equation na may dalawang variable. Samakatuwid, ang pagtaas ng pansin sa paksang ito ay hindi lamang makatwiran, ngunit may kaugnayan din sa kurso sa matematika ng paaralan.

Maaaring gamitin ang gawaing ito upang pag-aralan ang paksang ito sa mga elektibong klase para sa mga mag-aaral, bilang paghahanda para sa pangwakas at pasukan sa mga pagsusulit. Umaasa kami na ang aming materyal ay makakatulong sa mga mag-aaral sa high school na matutong lutasin ang mga equation ng ganitong uri.

Kabanata 1. Teorya ng mga equation na may dalawang variable sa integers.

1. Makasaysayang background.

Diophantus at ang kasaysayan ng Diophantine equation .

Ang paglutas ng mga equation sa mga integer ay isa sa mga pinakalumang problema sa matematika. Ang larangang ito ng matematika ay umabot sa pinakamalaking pag-unlad nito sa Sinaunang Greece. Ang pangunahing mapagkukunan na bumaba sa ating panahon ay ang gawain ni Diophantus - "Arithmetic". Binuod at pinalawak ni Diophantus ang karanasang naipon bago niya sa paglutas ng mga hindi tiyak na equation sa mga integer.

Ang kasaysayan ay napanatili para sa amin ng ilang mga tampok ng talambuhay ng kahanga-hangang Alexandrian algebraist na si Diophantus. Ayon sa ilang mga mapagkukunan, nabuhay si Diophantus hanggang 364 AD. Tanging ang natatanging talambuhay ni Diophantus ay kilala para sa tiyak, na, ayon sa alamat, ay inukit sa kanyang lapida at ipinakita ang isang gawaing palaisipan:

“Ipinadala siya ng Diyos upang maging isang batang lalaki sa ikaanim na bahagi ng kanyang buhay; idinagdag dito ang ikalabindalawang bahagi, Tinakpan niya ang kanyang mga pisngi ng pababa; pagkatapos ng ikapitong bahagi, sinindihan Niya ang ilaw ng kasal para sa kanya at limang taon pagkatapos ng kasal ay binigyan siya ng isang anak na lalaki. Naku! Isang kapus-palad na yumaong anak, na naabot ang sukat ng kalahati ng buong buhay ng kanyang ama, siya ay dinala ng isang walang awa na kapalaran. Pagkaraan ng apat na taon, pinalubag ang kalungkutan na sinapit niya sa pamamagitan ng agham ng mga numero, tinapos niya [Diophantus] ang kanyang buhay” (humigit-kumulang 84 taong gulang).

Ang palaisipan na ito ay nagsisilbing halimbawa ng mga problemang nalutas ni Diophantus. Dalubhasa siya sa paglutas ng mga problema sa mga integer. Ang ganitong mga problema ay kasalukuyang kilala bilang mga problema sa Diophantine.

Ang pinakatanyag na problema, na nalutas ni Diophantus, ay ang problemang "pagkabulok sa dalawang parisukat". Ang katumbas nito ay ang kilalang Pythagorean theorem. Ang teorama na ito ay kilala sa Babylonia, marahil ito ay kilala rin sa Sinaunang Ehipto, ngunit ito ay unang napatunayan sa paaralang Pythagorean. Ito ang pangalan ng isang pangkat ng mga pilosopo na interesado sa matematika na ipinangalan sa tagapagtatag ng paaralan ng Pythagoras (c. 580-500 BC)

Ang buhay at gawain ni Diophantus ay naganap sa Alexandria, nakolekta niya at nalutas ang mga kilalang problema at nakabuo ng mga bago. Kalaunan ay pinagsama niya ang mga ito sa isang mahusay na gawain na tinatawag na Arithmetic. Sa labintatlong aklat na bumubuo sa Arithmetic, anim lamang ang nakaligtas hanggang sa Middle Ages at naging mapagkukunan ng inspirasyon para sa mga Renaissance mathematician.

1.1 Theorems sa bilang ng mga solusyon sa isang linear Diophantine equation.

Ipinakita namin dito ang mga pormulasyon ng mga theorems na batayan kung saan ang isang algorithm para sa paglutas ng hindi tiyak na mga first-degree na equation ng dalawang variable sa mga integer ay maaaring maipon.

Teorama 1. Kung sa isang equation , , kung gayon ang equation ay may hindi bababa sa isang solusyon.

Teorama 2. Kung sa equation , at Sa ay hindi mahahati ng , kung gayon ang equation ay walang mga integer na solusyon.

Teorama 3. Kung sa equation , at , kung gayon ito ay katumbas ng equation kung saan .

Teorama 4. Kung sa equation , , kung gayon ang lahat ng integer na solusyon sa equation na ito ay nakapaloob sa mga formula:

saan x 0, y 0

1.2. Algorithm para sa paglutas ng mga equation sa mga integer.

Ang mga theorems na nabuo ay nagpapahintulot sa amin na buuin ang mga sumusunod algorithm mga solusyon sa mga integer sa mga equation ng form .

1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a At b ,

kung Sa ay hindi mahahati ng , kung gayon ang equation ay walang mga integer na solusyon;

kung at , pagkatapos

2. Hatiin ang equation term sa pamamagitan ng term, pagkuha ng equation kung saan .

3. Hanapin ang buong solusyon ( x 0, y 0) mga equation sa pamamagitan ng pagrepresenta ng 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero at ;

4. Gumawa ng pangkalahatang formula para sa mga integer na solusyon sa equation na ito

saan x 0, y 0– isang integer na solusyon sa equation, - anumang integer.

1.3 Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation

Kapag nilulutas ang mga equation sa mga integer at natural na numero, ang mga sumusunod na pamamaraan ay maaaring halos makilala:

1. Paraan ng pag-enumerate ng mga opsyon.

2. Euclidean algorithm.

3. Continued fractions.

4. Pamamaraan ng Factorization.

5. Paglutas ng mga equation sa mga integer bilang mga parisukat na may paggalang sa ilang variable.

6. Paraan ng nalalabi.

7. Walang katapusang paraan ng pagbaba.

Kabanata 2. Paglalapat ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation

1. Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation.

2.1 Euclidean algorithm.

Problema 1 . Lutasin ang equation sa integers 407 X – 2816y = 33.

Gamitin natin ang pinagsama-samang algorithm.

1. Gamit ang Euclidean algorithm, nakita namin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 407 at 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Samakatuwid (407.2816) = 11, na may 33 na mahahati ng 11

2. Hatiin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng 11, makuha natin ang equation 37 X – 256y= 3, na may (37, 256) = 1

3. Gamit ang Euclidean algorithm, nakahanap tayo ng linear na representasyon ng numero 1 hanggang sa mga numero 37 at 256.

256 = 37 6 + 34;

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Kaya, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, samakatuwid ay isang pares ng mga numero x 0= – 83 at y 0= – 12 ang solusyon sa equation 37 X – 256y = 3.

4. Isulat natin ang pangkalahatang formula para sa mga solusyon sa orihinal na equation

saan t- anumang integer.

2.2 Paraan ng pag-enumerate ng mga opsyon.

Gawain 2. Ang mga kuneho at pheasants ay nakaupo sa isang hawla; mayroon silang 18 mga binti sa kabuuan. Alamin kung ilan sa dalawa ang nasa selda?

Solusyon: Ang isang equation ay iginuhit gamit ang dalawang hindi kilalang variable, kung saan ang x ay ang bilang ng mga kuneho, y ang bilang ng mga pheasant:

4x + 2y = 18, o 2x + y = 9.

Ipahayag natin sa sa pamamagitan ng X : y = 9 – 2x.

Kaya, ang problema ay may apat na solusyon.

Sagot: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Pamamaraan ng Factorization.

Gawain 3. Lutasin ang equation sa buong numero y 3 - x 3 = 91.

Solusyon. 1) Gamit ang mga pinaikling pormula ng multiplikasyon, isinasali namin ang kanang bahagi ng equation:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Isulat natin ang lahat ng mga divisors ng bilang 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Magsagawa ng pananaliksik. Tandaan na para sa anumang integer x At y numero

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,

samakatuwid, ang parehong mga kadahilanan sa kaliwang bahagi ng equation ay dapat na positibo. Kung gayon ang equation (1) ay katumbas ng isang set ng mga sistema ng mga equation:

; ; ;

4) Nang malutas ang mga sistema, nakuha natin: ang unang sistema ay may mga solusyon (5; 6), (-6; -5); pangatlo (-3; 4),(-4; 3); ang pangalawa at ikaapat ay walang mga solusyon sa mga integer.

Sagot: ang equation (1) ay may apat na solusyon (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Gawain 4. Hanapin ang lahat ng pares ng mga natural na numero na nagbibigay-kasiyahan sa equation

Solusyon. I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation at isulat ang equation sa form

kasi Ang mga divisors ng numero 69 ay ang mga numero 1, 3, 23 at 69, pagkatapos ay 69 ay maaaring makuha sa dalawang paraan: 69=1·69 at 69=3·23. Isinasaalang-alang na , nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation, sa pamamagitan ng paglutas kung saan mahahanap natin ang mga kinakailangang numero:

Ang unang sistema ay may solusyon, at ang pangalawang sistema ay may solusyon.

Sagot: .

Gawain 5.

Solusyon. Isulat natin ang equation sa form

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation. Nakukuha namin

Ang produkto ng dalawang integer ay maaari lamang katumbas ng 1 sa dalawang kaso: kung pareho silang katumbas ng 1 o -1. Kumuha kami ng dalawang sistema:

Ang unang sistema ay may solusyon x=2, y=2, at ang pangalawang sistema ay may solusyon x=0, y=0.

Sagot: .

Gawain 6. Lutasin ang equation sa buong numero

Solusyon. Isulat natin ang equation na ito sa anyo

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation gamit ang grouping method, nakukuha natin

Ang produkto ng dalawang integer ay maaaring katumbas ng 7 sa mga sumusunod na kaso:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1). Kaya, nakakakuha tayo ng apat na system:

O, o, o.

Gawain 7. Patunayan na ang equation ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 hindi

ay may mga solusyon sa integer.

Solusyon. 1) I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation at hatiin ang magkabilang panig ng equation sa 3, na nagreresulta sa sumusunod na equation:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) Ang mga divisors ng 10 ay ang mga numerong ±1, ±2, ±5, ±10. Tandaan din na ang kabuuan ng mga salik sa kaliwang bahagi ng equation (2) ay katumbas ng 0. Madaling suriin na ang kabuuan ng anumang tatlong numero mula sa hanay ng mga divisors ng numero 10, na nagbibigay ng produkto 10, ay hindi katumbas ng 0. Dahil dito, ang orihinal na equation ay walang mga solusyon sa mga integer.

Gawain 8. Lutasin ang equation: x 2 - y 2 = 3 sa buong numero.

Solusyon:

1. ilapat ang pinaikling multiplication formula x 2 - y 2 = (x-y)(x+y)=3

2. hanapin ang mga divisors ng numero 3 = -1;-3;1;3

3. Ang equation na ito ay katumbas ng isang set ng 4 na sistema:

X-y=1 2x=4 x=2, y=1

X-y=3 x=2, y=-1

X-y=-3 x=-2, y=1

X-y=-1 x=-2, y=-1

Sagot: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2.4 Natirang pamamaraan.

Suliranin 9 .Lutasin ang equation: x 2 + xy = 10

Solusyon:

1. Ipahayag ang variable na y hanggang x: y= 10's 2

Y = - X

2. Fraction ay magiging integer kung x Є ±1;±2; ±5;±10

3. Maghanap ng 8 halaga u.

Kung x=-1, kung gayon y=-9 x=-5, kung gayon y=3

X=1, pagkatapos ay y=9 x=5, pagkatapos ay y=-3

X=-2, pagkatapos ay y=-3 x=-10, pagkatapos ay y=9

X=2, pagkatapos ay y=3 x=10, pagkatapos ay y=-9

Suliranin 10. Lutasin ang equation sa buong numero:

2x 2 -2xy +9x+y=2

Solusyon:

Ipahayag natin mula sa equation ang hindi alam na kasama dito hanggang sa unang antas - sa kasong ito y:

2x 2 +9x-2=2xy-y

Y =

Piliin natin ang buong bahagi ng isang fraction gamit ang panuntunan ng paghahati ng isang polynomial sa isang polynomial sa pamamagitan ng isang "anggulo". Nakukuha namin:

Samakatuwid, ang pagkakaiba 2x-1 ay maaari lamang kunin ang mga halaga -3,-1,1,3.

Ito ay nananatiling dumaan sa apat na kaso na ito.

Sagot : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

2. Mga gawain sa antas ng pagsusulit

Sa pagsasaalang-alang ng ilang mga paraan upang malutas ang mga first-degree na equation na may dalawang variable sa mga integer, napansin namin na ang paraan ng factorization at ang paraan ng mga natitira ay kadalasang ginagamit.

Ang mga equation na ibinigay sa USE -2011 na mga bersyon ay pangunahing nalutas sa pamamagitan ng natitirang paraan.

1. Lutasin ang equation sa natural na mga numero: , kung saan m>n

Solusyon:

Ipahayag natin ang variable P sa pamamagitan ng variable T

(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8

Sagot: (12; -8)

Konklusyon.

Ang paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation ay isa sa mga bahagi ng nilalaman ng kurso sa matematika ng paaralan, ngunit ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may ilang hindi alam ay halos hindi isinasaalang-alang. Kasabay nito, ang paglutas ng mga equation ng ilang hindi alam sa mga integer ay isa sa mga pinakalumang problema sa matematika. Karamihan sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation ay batay sa teorya ng divisibility ng mga integer, ang interes na kasalukuyang tinutukoy ng mabilis na pag-unlad ng teknolohiya ng impormasyon. Kaugnay nito, magiging kawili-wili para sa mga mag-aaral sa high school na pamilyar sa mga pamamaraan para sa paglutas ng ilang mga equation sa mga integer, lalo na dahil ang mga Olympiad sa iba't ibang antas ay madalas na nag-aalok ng mga gawain na may kinalaman sa paglutas ng isang equation sa mga integer, at sa taong ito ay kasama rin ang mga equation. at sa mga materyales ng Pinag-isang Estado ng Pagsusuri.

Sa aming trabaho, isinasaalang-alang lamang namin ang mga hindi tiyak na equation ng una at pangalawang degree. Ang mga equation ng unang antas, tulad ng nakita natin, ay nalutas nang simple. Natukoy namin ang mga uri ng naturang mga equation at algorithm para sa paglutas ng mga ito. Ang isang pangkalahatang solusyon sa naturang mga equation ay natagpuan din.

Sa mga equation ng pangalawang degree ay mas mahirap, kaya't isinasaalang-alang lamang namin ang mga espesyal na kaso: ang Pythagorean theorem at mga kaso kapag ang isang bahagi ng equation ay may anyo ng isang produkto, at ang pangalawa ay factorized.

Ang mga mahuhusay na mathematician ay nag-aaral ng mga equation ng ikatlo at mas mataas na antas dahil ang kanilang mga solusyon ay masyadong kumplikado at masalimuot

Sa hinaharap, plano naming palalimin ang aming pananaliksik sa pag-aaral ng mga equation na may ilang mga variable na ginagamit sa paglutas ng mga problema

Panitikan.

1. Berezin V.N. Koleksyon ng mga problema para sa elective at extracurricular na aktibidad sa matematika. Moscow "Enlightenment" 1985

2. Galkin E.G. Mga hindi karaniwang problema sa matematika. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004

3. Galkin E.G. Mga problema sa integer. Chelyabinsk "Vzglyad" 2004

4. Glazer E.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. Moscow "Enlightenment" 1983

5. Mordkovich A.G. Algebra at simula ng analysis grade 10-11. Moscow 2003

6. Matematika. Pinag-isang State Exam 2010. Federal Institute

mga sukat ng pedagogical.

7. Sharygin I.F. Opsyonal na kurso sa matematika. Solusyon

mga gawain. Moscow 1986

Paglutas ng mga equation sa mga integer.

Ang mga hindi tiyak na equation ay mga equation na naglalaman ng higit sa isang hindi alam. Sa pamamagitan ng isang solusyon sa isang hindi tiyak na equation, ang ibig sabihin namin ay isang hanay ng mga halaga ng mga hindi alam na nagpapalit ng ibinigay na equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Upang malutas sa mga integer ang isang equation ng form ah + sa pamamagitan ng = c , saan A, b , c - mga integer maliban sa zero, nagpapakita kami ng ilang teoretikal na probisyon na magpapahintulot sa amin na magtatag ng panuntunan sa pagpapasya. Ang mga probisyong ito ay nakabatay din sa mga nalalaman nang katotohanan ng teorya ng divisibility.

Teorama 1.Kung ang gcd (A, b ) = d , pagkatapos ay may mga ganoong integers X At sa, na pinanghahawakan ng pagkakapantay-pantay ah + b y = d . (Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na linear na kumbinasyon o isang linear na representasyon ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero sa mga tuntunin ng mga numero mismo.)

Ang patunay ng theorem ay batay sa paggamit ng pagkakapantay-pantay ng Euclidean algorithm upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero (ang pinakadakilang karaniwang divisor ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga partial quotient at mga natitira, simula sa huling pagkakapantay-pantay sa Euclidean algorithm).

Halimbawa.

Hanapin ang linear na representasyon ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 1232 at 1672.

Solusyon.

1. Gawin natin ang mga pagkakapantay-pantay ng Euclidean algorithm:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, ibig sabihin. (1672.352) = 88.

2) Ipahayag natin ang 88 nang sunud-sunod sa pamamagitan ng mga hindi kumpletong quotient at nalalabi, gamit ang mga pagkakapantay-pantay na nakuha sa itaas, simula sa dulo:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, i.e. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorama 2. Kung ang equation ah + b y = 1 , kung ang gcd (A, b ) = 1 , ito ay sapat na upang isipin ang bilang 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero a at b.

Ang bisa ng theorem na ito ay sumusunod mula sa Theorem 1. Kaya, upang makahanap ng isang solong integer na solusyon sa equation ah + b y = 1, kung ang gcd (a, b) = 1, sapat na upang kumatawan sa numero 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero A At V .

Halimbawa.

Maghanap ng isang integer na solusyon sa equation na 15x + 37y = 1.

Solusyon.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorama 3. Kung sa Eq. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 At Sa hindi mahahati ng d , pagkatapos ang equation ay walang integer na solusyon.

Upang patunayan ang teorama, ito ay sapat na upang ipalagay ang kabaligtaran.

Halimbawa.

Maghanap ng integer na solusyon sa equation na 16x - 34y = 7.

Solusyon.

(16.34)=2; Ang 7 ay hindi nahahati sa 2, ang equation ay walang mga integer na solusyon

Teorama 4. Kung sa Eq. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 at c d , pagkatapos ito ay

Kapag pinatutunayan ang teorama, dapat itong ipakita na ang isang arbitrary na integer na solusyon sa unang equation ay isa ring solusyon sa pangalawang equation at vice versa.

Teorama 5. Kung sa Eq. ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, pagkatapos ang lahat ng integer na solusyon sa equation na ito ay nakapaloob sa mga formula:

t – anumang integer.

Kapag pinatutunayan ang teorama, dapat itong ipakita, una, na ang mga formula sa itaas ay talagang nagbibigay ng mga solusyon sa equation na ito at, pangalawa, na ang isang arbitrary na integer na solusyon sa equation na ito ay nakapaloob sa mga formula sa itaas.

Ang mga theorems sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na itatag ang sumusunod na panuntunan para sa paglutas ng equation sa mga integer ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Ang isang integer na solusyon sa equation ay natagpuan ah + b y = 1 sa pamamagitan ng pagrepresenta ng 1 bilang isang linear na kumbinasyon ng mga numero A Atb (may iba pang mga paraan upang mahanap ang buong solusyon sa equation na ito, halimbawa gamit ang patuloy na mga fraction);

Isang pangkalahatang formula para sa mga integer na solusyon ng ibinigay

Pagbibigay t ilang mga halaga ng integer, maaari kang makakuha ng mga bahagyang solusyon sa equation na ito: ang pinakamaliit sa ganap na halaga, ang pinakamaliit na positibo (kung maaari), atbp.

Halimbawa.

Maghanap ng mga integer na solusyon sa equation 407x - 2816y = 33.

Solusyon.

1. Pinasimple namin ang equation na ito, dinadala ito sa anyo na 37x - 256y = 3.

2. Lutasin ang equation na 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Pangkalahatang view ng lahat ng integer na solusyon ng equation na ito:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Ang paraan ng kumpletong enumeration ng lahat ng posibleng halaga ng mga variable,

kasama sa equation.

Hanapin ang hanay ng lahat ng mga pares ng mga natural na numero na mga solusyon sa equation na 49x + 51y = 602.

Solusyon:

Ipahayag natin ang variable x mula sa equation sa pamamagitan ng y x =, dahil ang x at y ay mga natural na numero, kung gayon x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Ang kumpletong paghahanap ng mga opsyon ay nagpapakita na ang mga natural na solusyon sa equation ay x=5, y=7.

Sagot: (5;7).

Paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng factorization.

Ang Diophantus, kasama ang mga linear na equation, ay itinuturing na quadratic at cubic indefinite equation. Ang paglutas ng mga ito ay kadalasang mahirap.

Isaalang-alang natin ang isang kaso kung saan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat o isa pang paraan ng factorization ay maaaring ilapat sa mga equation.

Lutasin ang equation sa buong numero: x 2 + 23 = y 2

Solusyon:

Isulat muli natin ang equation sa anyong: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Dahil ang x at y ay mga integer at ang 23 ay isang prime number, posible ang mga sumusunod na kaso:

Ang paglutas ng mga nagresultang sistema, nakita namin:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa pa at paghihiwalay ng buong bahagi ng fraction.

Lutasin ang equation sa buong numero: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Solusyon:

Ipahayag natin ang y sa pamamagitan ng x mula sa equation na ito:

y(x - 1) =2 - x 2,

Heinrich G.N. FMS No. 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Pagtaas ng k sa kapangyarihan, makakakuha tayo ng 56k ≡ 1(mod 7) para sa anumang natural na k. Samakatuwid 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometrically, ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na tayo ay umiikot sa bilog, simula sa 5, siyamnapu't dalawang cycle at tatlo pang numero). Kaya, ang bilang na 222555 ay nag-iiwan ng natitirang 6 kapag hinati sa 7.

Paglutas ng mga equation sa mga integer.

Walang alinlangan, ang isa sa mga kawili-wiling paksa sa matematika ay ang solusyon ng mga equation ng Diophantine. Ang paksang ito ay pinag-aralan sa ika-8, at pagkatapos ay sa ika-10 at ika-11 na baitang.

Anumang equation na kailangang lutasin sa buong mga numero ay tinatawag na Diophantine equation. Ang pinakasimple sa kanila ay isang equation ng form na ax+bу=c, kung saan a, b at cÎ Z. Ang sumusunod na theorem ay ginamit upang malutas ang equation na ito.

Teorama. Ang linear Diophantine equation ax+bу=c, kung saan ang a, b at сО Z ay may solusyon kung at kung c ay nahahati sa gcd ng mga numerong a at b. Kung ang d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d at (x0, y0) ay isang solusyon sa equation na akh+bу=с, kung gayon ang lahat ng solusyon ay ibinibigay ng mga formula x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, kung saan ang t ay isang arbitrary integer.

1. Lutasin ang mga equation sa mga integer:

3xy–6x2 =y–2x+4;
(x–2)(xy+4)=1;		y-x-xy=2;
2x2 +xy=x+7;		3xy+2x+3y=0;
x2 – xy – x + y = 1;
x2 –3xy=x–3y+2;	10. x2 – xy – y = 4.

2. Isinaalang-alang ko ang mga sumusunod na problema sa mga nagtapos bilang paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika sa paksang ito.

1). Lutasin ang equation sa buong numero: xy+3y+2x+6=13. Solusyon:

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation. Nakukuha namin:

y(x+3)+2(x+3)=13;

(x+3)(y+2)=13.

Dahil x,уО Z, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga sistema ng mga equation:

Heinrich G.N.

	М x +


	М x +


	М x +




ê Ð x +

FMS No. 146, Perm

		М x =


		М x =


		М x =
		М x =



	ê Ð x =

Sagot: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Lutasin ang equation sa natural na mga numero: 3x +4y =5z.

9). Hanapin ang lahat ng pares ng mga natural na numerong m at n kung saan ang pagkakapantay-pantay na 3m +7=2n ay hawak.

10). Hanapin ang lahat ng triplets ng natural na mga numerong k, m at n kung saan ang pagkakapantay-pantay ay: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

labing-isa). Ang lahat ng termino ng finite sequence ay natural na mga numero. Ang bawat miyembro ng sequence na ito, simula sa pangalawa, ay alinman sa 14 na beses na mas malaki o 14 na beses na mas maliit kaysa sa nauna. Ang kabuuan ng lahat ng termino ng sequence ay 4321.

c) Ano ang pinakamalaking bilang ng mga termino na maaaring magkaroon ng pagkakasunod-sunod? Solusyon:

a) Hayaan ang a1 =x, pagkatapos a2 = 14x o a1 =14x, pagkatapos ay a2 =x. Pagkatapos, ayon sa kundisyon, a1 + a2 = 4321. Nakukuha natin ang: x + 14x = 4321, 15x = 4321, ngunit ang 4321 ay hindi isang multiple ng 15, na nangangahulugang hindi maaaring magkaroon ng dalawang termino sa sequence.

b) Hayaan ang a1 =x, pagkatapos ay a2 = 14x, a3 =x, o 14x+x+14x=4321, o x+14x+x=4321. 29x=4321, pagkatapos x=149, 14x=2086. Nangangahulugan ito na ang sequence ay maaaring magkaroon ng tatlong termino. Sa pangalawang kaso, ang 16x=4321, ngunit ang x ay hindi isang natural na numero.

Walang sagot; b) oo; c) 577.

Heinrich G.N.

FMS No. 146, Perm

12). Ang lahat ng termino ng finite sequence ay natural na mga numero. Ang bawat miyembro ng sequence na ito, simula sa pangalawa, o sa 10; beses na higit pa, o 10 beses na mas mababa kaysa sa nauna. Ang kabuuan ng lahat ng termino ng sequence ay 1860.

a) Maaari bang magkaroon ng dalawang termino ang isang sequence? b) Maaari bang magkaroon ng tatlong termino ang isang sequence?

c) Ano ang pinakamalaking bilang ng mga termino na maaaring magkaroon ng pagkakasunod-sunod?

Malinaw, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa divisibility ng mga integer at isaalang-alang ang mga problema sa paksang ito nang walang hanggan. Sinubukan kong isaalang-alang ang paksang ito sa paraang mas makakainteres sa mga mag-aaral, upang maipakita sa kanila ang kagandahan ng matematika mula sa puntong ito ng pananaw.

Heinrich G.N.

FMS No. 146, Perm

Bibliograpiya:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Paano malutas ang hindi karaniwang mga problema sa Moscow ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Supplement sa journal Kvant No. 4/2000 Mathematical holiday, Moscow 2000

3. A.V. Spivak. Mathematical circle, "Paghahasik" 2003

4. St. Petersburg palasyo ng lungsod ng pagkamalikhain ng kabataan. Mathematic na bilog. Problem book para sa una at ikalawang taon ng pag-aaral. Saint Petersburg. 1993

5. Algebra para sa ika-8 baitang. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral sa mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika. In-edit ni N.Ya. Vilenkin. Moscow, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Koleksyon ng mga problema sa algebra para sa 8-9 baitang. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral sa mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika. Moscow, Enlightenment. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebra ika-8 baitang. Isang aklat-aralin para sa mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika. Moscow, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATHEMATICS Algebra. Mga simula ng pagsusuri sa matematika. Antas ng profile. Teksbuk para sa ika-11 baitang. Moscow Binom. Laboratory ng Kaalaman 2009

9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofiev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. UMK MATHEMATICS Algebra. Mga simula ng pagsusuri sa matematika. Antas ng profile Problema ng libro para sa ika-11 baitang. Moscow Binom. Laboratory ng Kaalaman 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Mathematics. Koleksyon ng mga pagsusulit ayon sa plano ng Unified State Exam 2010

11. Pinag-isang State Exam-2010. "Legion-M". Rostov-on-Don 2009

12. Pinag-isang State Exam UMK “Mathematics. Paghahanda para sa Unified State Exam." In-edit ni F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Naghahanda para sa Pinag-isang State Exam 2011. "Legion-M". Rostov-on-Don 2010

13. UMK "Matematika. Pinag-isang State Exam 2010". In-edit ni F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Paghahanda sa MATHEMATICS para sa Unified State Exam-2010. Mga pagsusulit sa edukasyon at pagsasanay. "Legion-M". Rostov-on-Don 2009

14. FIPI Unified State Exam. Pangkalahatang materyales para sa paghahanda ng mga mag-aaral sa MATH 2010"Intellect-Center" 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Mathematics. Unified State Exam-2010 Express na konsultasyon. Siberian University Publishing House, 2010

Mga equation sa mga integer ay mga algebraic equation na may dalawa o higit pang hindi kilalang variable at integer coefficient. Ang mga solusyon sa naturang equation ay lahat ng integer (minsan natural o rational) na mga hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable na nakakatugon sa equation. Ang ganitong mga equation ay tinatawag din diophantine, bilang parangal sa sinaunang Greek mathematician na nag-aral ng ilang uri ng naturang mga equation bago ang ating panahon.

Utang namin ang modernong pagbabalangkas ng mga problema sa Diophantine sa Pranses na matematiko. Ito ay siya na itinaas ang tanong ng paglutas ng hindi tiyak na mga equation lamang sa mga integer bago ang European mathematicians. Ang pinakatanyag na equation sa mga integer ay ang huling theorem ni Fermat: equation

ay walang non-zero rational na solusyon para sa lahat ng natural n > 2.

Ang teoretikal na interes sa mga equation sa mga integer ay lubos na malaki, dahil ang mga equation na ito ay malapit na nauugnay sa maraming mga problema sa teorya ng numero.

Noong 1970, pinatunayan ng Leningrad mathematician na si Yuri Vladimirovich Matiyasevich na ang isang pangkalahatang pamamaraan na nagpapahintulot sa paglutas ng mga di-makatwirang equation ng Diophantine sa mga integer sa isang may hangganang bilang ng mga hakbang ay hindi umiiral at hindi maaaring umiral. Samakatuwid, dapat kang pumili ng iyong sariling mga pamamaraan ng solusyon para sa iba't ibang uri ng mga equation.

Kapag nilulutas ang mga equation sa mga integer at natural na numero, ang mga sumusunod na pamamaraan ay maaaring halos makilala:

paraan upang pagbukud-bukurin ang mga pagpipilian;

aplikasyon ng Euclidean algorithm;

representasyon ng mga numero sa anyo ng patuloy (patuloy) na mga praksyon;

factorization;

paglutas ng mga equation sa mga integer bilang parisukat (o iba pa) na may paggalang sa anumang variable;

natitirang paraan;

walang katapusang paraan ng pagbaba.

Mga problema sa mga solusyon

1. Lutasin ang equation x 2 – xy – 2y 2 = 7 sa integers.

Isulat natin ang equation sa anyong (x – 2y)(x + y) = 7.

Dahil ang x, y ay mga integer, nakakahanap kami ng mga solusyon sa orihinal na equation bilang mga solusyon sa sumusunod na apat na sistema:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Nang malutas ang mga sistemang ito, nakakakuha tayo ng mga solusyon sa equation: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) at (–5; –2).

Sagot: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

a) 20x + 12y = 2013;

b) 5x + 7y = 19;

c) 201x – 1999y = 12.

a) Dahil para sa anumang mga halaga ng integer ng x at y ang kaliwang bahagi ng equation ay nahahati sa dalawa, at ang kanang bahagi ay isang kakaibang numero, ang equation ay walang mga solusyon sa mga integer.

Sagot: walang solusyon.

b) Pumili muna tayo ng ilang partikular na solusyon. Sa kasong ito, ito ay simple, halimbawa,

x 0 = 1, y 0 = 2.

5x 0 + 7y 0 = 19,

5(x – x 0) + 7(y – y 0) = 0,

5(x – x 0) = –7(y – y 0).

Dahil ang mga numero 5 at 7 ay medyo prime, kung gayon

x – x 0 = 7k, y – y 0 = –5k.

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

x = 1 + 7k, y = 2 – 5k,

kung saan ang k ay isang arbitrary integer.

Sagot: (1+7k; 2–5k), kung saan ang k ay isang integer.

c) Ang paghahanap ng isang tiyak na solusyon sa pamamagitan ng pagpili sa kasong ito ay medyo mahirap. Gamitin natin ang Euclidean algorithm para sa mga numerong 1999 at 201:

GCD(1999, 201) = GCD(201, 190) = GCD(190, 11) = GCD(11, 3) = GCD(3, 2) = GCD(2, 1) = 1.

Isulat natin ang prosesong ito sa reverse order:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2 2 – 3 = 2 (11 – 3 3) – 3 = 2 11 – 7 3 = 2 11 – 7(190 – 11 17) =

121 11 – 7 190 = 121(201 – 190) – 7 190 = 121 201 – 128 190 =

121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Nangangahulugan ito na ang pares (1273, 128) ay isang solusyon sa equation na 201x – 1999y = 1. Pagkatapos ay ang pares ng mga numero

x 0 = 1273 12 = 15276, y 0 = 128 12 = 1536

ay isang solusyon sa equation na 201x – 1999y = 12.

Ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito ay isusulat sa form

x = 15276 + 1999k, y = 1536 + 201k, kung saan ang k ay isang integer,

o, pagkatapos ng muling pagtatalaga (ginagamit namin iyon 15276 = 1283 + 7 1999, 1536 = 129 + 7 201),

x = 1283 + 1999n, y = 129 + 201n, kung saan ang n ay isang integer.

Sagot: (1283+1999n, 129+201n), kung saan ang n ay isang integer.

3. Lutasin ang equation sa mga integer:

a) x 3 + y 3 = 3333333;

b) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

a) Dahil ang x 3 at y 3 kapag hinati sa 9 ay maaari lamang magbigay ng mga natitirang 0, 1 at 8 (tingnan ang talahanayan sa seksyon), kung gayon ang x 3 + y 3 ay maaari lamang magbigay ng mga natitirang 0, 1, 2, 7 at 8. Ngunit ang bilang na 3333333 kapag hinati sa 9 ay nagbibigay ng natitirang 3. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga solusyon sa mga integer.

b) Isulat muli natin ang orihinal na equation sa anyong (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2) + 4. Dahil ang mga cube ng integer kapag hinati sa 7 ay nagbibigay ng mga natitirang 0, 1 at 6, ngunit hindi 4, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon sa mga integer.

Sagot: Walang mga integer na solusyon.

a) sa prime numbers ang equation x 2 – 7x – 144 = y 2 – 25y;

b) sa mga integer ang equation x + y = x 2 – xy + y 2.

a) Lutasin natin ang equation na ito bilang isang quadratic equation na may kinalaman sa variable na y. Nakukuha namin

y = x + 9 o y = 16 – x.

Dahil para sa odd x ang numerong x + 9 ay even, ang tanging pares ng prime number na nakakatugon sa unang pagkakapantay-pantay ay (2; 11).

Dahil simple ang x, y, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay na y = 16 – x mayroon tayo

2 x 16.2 sa 16.

Sa pamamagitan ng paghahanap sa mga opsyon, makikita natin ang natitirang mga solusyon: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Sagot: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

b) Isaalang-alang ang equation na ito bilang isang quadratic equation para sa x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Ang discriminant ng equation na ito ay –3y 2 + 6y + 1. Ito ay positibo lamang para sa mga sumusunod na value ng y: 0, 1, 2. Para sa bawat isa sa mga value na ito, mula sa orihinal na equation ay nakakakuha tayo ng quadratic equation para sa x , na madaling malutas.

Sagot: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga triplet ng mga integer x, y, z na ang x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3?

Subukan nating pumili ng triple kung saan y = –z. Pagkatapos y 3 at z 3 ay palaging magkakansela sa isa't isa, at ang aming equation ay magmumukhang

x 2 + 2y 2 = x 3

o, kung hindi,

x 2 (x–1) = 2y 2 .

Para sa isang pares ng mga integer (x; y) upang matugunan ang kundisyong ito, sapat na ang bilang na x–1 ay dalawang beses ang parisukat ng integer. Mayroong walang katapusang maraming mga numero, ibig sabihin, ito ang lahat ng mga numero ng form 2n 2 +1. Ang pagpapalit ng numerong ito sa x 2 (x–1) = 2y 2, pagkatapos ng mga simpleng pagbabagong nakuha natin:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Ang lahat ng triplets na nakuha sa ganitong paraan ay may anyo (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

Sagot: umiiral.

6. Maghanap ng mga integer x, y, z, u na ang x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Ang numerong x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ay pantay, samakatuwid sa mga numerong x, y, z, u ay mayroong kahit na bilang ng mga kakaibang numero.

Kung ang lahat ng apat na numero x, y, z, u ay kakaiba, kung gayon ang x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ay mahahati ng 4, ngunit ang 2xyzu ay hindi mahahati ng 4 - isang pagkakaiba.

Kung eksaktong dalawa sa mga numerong x, y, z, u ay kakaiba, kung gayon ang x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ay hindi mahahati ng 4, ngunit ang 2xyzu ay nahahati sa 4 - muli ang isang pagkakaiba.

Samakatuwid, ang lahat ng mga numero x, y, z, u ay pantay. Pagkatapos ay maaari nating isulat iyon

x = 2x 1 , y = 2y 1 , z = 2z 1 , u = 2u 1 ,

at ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 = 8x 1 y 1 z 1 u 1 .

Ngayon tandaan na ang (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 kapag hinati sa 8 ay nagbibigay ng natitirang 1. Samakatuwid, kung ang lahat ng mga numero x 1 , y 1 , z 1 , u 1 ay kakaiba, kung gayon ang x 1 Ang 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ay hindi nahahati sa 8. At kung ang eksaktong dalawa sa mga numerong ito ay kakaiba, kung gayon ang x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 + u 1 2 ay hindi rin mahahati ng 4. Ibig sabihin

x 1 = 2x 2, y 1 = 2y 2, z 1 = 2z 2, u 1 = 2u 2,

at makuha namin ang equation

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + u 2 2 = 32x 2 y 2 z 2 u 2 .

Inuulit muli ang parehong pangangatwiran, nakita namin na ang x, y, z, u ay nahahati sa 2 n para sa lahat ng natural n, na posible lamang para sa x = y = z = u = 0.

Sagot: (0; 0; 0; 0).

7. Patunayan na ang equation

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

ay walang mga solusyon sa mga integer.

Gamitin natin ang sumusunod na pagkakakilanlan:

(x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x).

Pagkatapos ang orihinal na equation ay maaaring isulat bilang

(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Tukuyin natin ang a = x – y, b = y – z, c = z – x at isulat ang resultang pagkakapantay-pantay sa anyo

Bilang karagdagan, malinaw na ang a + b + c = 0. Madaling i-verify na, hanggang sa permutasyon, ang pagkakapantay-pantay na abc = 10 ay nagpapahiwatig na ang mga numero |a|, |b|, |c| ay katumbas ng alinman sa 1, 2, 5, o 1, 1, 10. Ngunit sa lahat ng mga kasong ito, para sa anumang pagpipilian ng mga palatandaan a, b, c, ang kabuuan a + b + c ay hindi zero. Kaya, ang orihinal na equation ay walang mga integer na solusyon.

8. Lutasin ang equation 1 sa buong numero! + 2! + . . . +x! = y 2 .

Obvious naman yun

kung x = 1, kung gayon y 2 = 1,

kung x = 3, kung gayon y 2 = 9.

Ang mga kasong ito ay tumutugma sa mga sumusunod na pares ng mga numero:

x 1 = 1, y 1 = 1;

x 2 = 1, y 2 = –1;

x 3 = 3, y 3 = 3;

x 4 = 3, y 4 = –3.

Tandaan na para sa x = 2 mayroon kaming 1! + 2! = 3, para sa x = 4 mayroon kaming 1! + 2! + 3! + 4! = 33 at ni 3 o 33 ay mga parisukat ng mga integer. Kung x > 5, kung gayon, dahil

5! + 6! + . . . +x! = 10n,

kaya nating isulat yan

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . +x! = 33 + 10n.

Dahil ang 33 + 10n ay isang numero na nagtatapos sa 3, hindi ito ang parisukat ng isang integer.

Sagot: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Lutasin ang sumusunod na sistema ng mga equation sa natural na mga numero:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, pagkatapos ay a 3 > b 3 + c 3 ;

kaya mayroon kami

Pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin iyon

Isinasaalang-alang ang huling hindi pagkakapantay-pantay, mula sa pangalawang equation ng sistema ay nakuha natin iyon

Ngunit ang pangalawang equation ng system ay nagpapakita rin na ang a ay isang even na numero. Kaya, a = 2, b = c = 1.

Sagot: (2; 1; 1)

10. Hanapin ang lahat ng pares ng integers x at y na nagbibigay-kasiyahan sa equation x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y.

Ang pag-factor sa magkabilang panig ng equation na ito, nakukuha natin:

x(x + 1) = y(y + 1)(y 2 + 1),

x(x + 1) = (y 2 + y)(y 2 + 1)

Ang ganitong pagkakapantay-pantay ay posible kung ang kaliwa at kanang bahagi ay katumbas ng zero, o ang produkto ng dalawang magkasunod na integer. Samakatuwid, itinutumbas ang ilang salik sa zero, nakakakuha tayo ng 4 na pares ng gustong variable na halaga:

x 1 = 0, y 1 = 0;

x 2 = 0, y 2 = –1;

x 3 = –1, y 3 = 0;

x 4 = –1, y 4 = –1.

Ang produkto (y 2 + y)(y 2 + 1) ay maaaring ituring na produkto ng dalawang magkasunod na non-zero integer kapag y = 2. Samakatuwid x(x + 1) = 30, kung saan ang x 5 = 5, x 6 = –6. Nangangahulugan ito na may dalawa pang pares ng integer na nakakatugon sa orihinal na equation:

x 5 = 5, y 5 = 2;

x 6 = –6, y 6 = 2.

Sagot: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Mga problemang walang solusyon

1. Lutasin ang equation sa mga integer:

a) xy = x + y + 3;

b) x 2 + y 2 = x + y + 2.

2. Lutasin ang equation sa mga integer:

a) x 3 + 21y 2 + 5 = 0;

b) 15x 2 – 7y 2 = 9.

3. Lutasin ang equation sa natural na mga numero:

a) 2 x + 1 = y 2;

b) 3 2 x + 1 = y 2.

4. Patunayan na ang equation na x 3 + 3y 3 + 9z 3 = 9xyz sa mga rational na numero ay may natatanging solusyon

5. Patunayan na ang equation na x 2 + 5 = y 3 sa mga integer ay walang mga solusyon.

Portal para sa mga mag-aaral. Paghahanda sa sarili

Paglutas ng mga equation sa mga integer.

Bibliograpiya:

Mga problema sa mga solusyon

Mga problemang walang solusyon

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO