Itinuring ng isang tao ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka kumplikadong termino mula sa mga seksyon mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng taxi counter (kung saan nananatili pa rin ang mga ito). At makuha ang diwa (at wala nang mas mahalaga sa matematika kaysa sa "pagkuha ng diwa") pagkakasunud-sunod ng aritmetika Ito ay hindi na mahirap kapag naiintindihan mo ang ilang mga pangunahing konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika

Nakaugalian na tawagan ang isang numerical sequence ng isang serye ng mga numero, na ang bawat isa ay may sariling numero.

at 1 ang unang miyembro ng sequence;

at ang 2 ay ang pangalawang miyembro ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at ang n ay ang ika-n miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-na miyembro ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang dependence na malinaw na mabubuo sa matematika. Sa ibang salita: numerical value Ang nth number ay ilang function ng n.

a - halaga ng isang miyembro ng numerical sequence;

n - kanya serial number;

Ang f(n) ay isang function kung saan ang ordinal sa numeric sequence n ay ang argument.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na pagkakasunod-sunod ng numero kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n miyembro ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro pag-unlad ng aritmetika;

a n+1 - ang formula ng susunod na numero;

d - pagkakaiba (isang tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna, at ang gayong pag-unlad ng arithmetic ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit numerical sequence tinatawag na "pagtaas".

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Ang halaga ng tinukoy na miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng ilang di-makatwirang termino a n ng isang pag-unlad ng arithmetic. Magagawa mo ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, mula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang paraang ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng ika-limang libo o walong milyong termino. Ang tradisyonal na pagkalkula ay tatagal ng mahabang panahon. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring siyasatin gamit ang ilang partikular na mga formula. Mayroon ding formula para sa nth term: ang halaga ng sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang miyembro ng progression na may pagkakaiba ng progression, na i-multiply sa bilang ng gustong miyembro, minus one .

Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na miyembro

Ating lutasin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.

Kundisyon: mayroong pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang miyembro ng sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Gawain: kailangang hanapin ang halaga ng 214 termino

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na miyembro, ginagamit namin ang formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na miyembro ng sequence ay katumbas ng 258.6.

Ang mga pakinabang ng paraan ng pagkalkula na ito ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga termino

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Hindi rin nito kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay buuin ang mga ito. Ang pamamaraang ito ay naaangkop kung ang bilang ng mga termino na ang kabuuan ay dapat matagpuan ay maliit. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n miyembro, na i-multiply sa member number n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng n-th na miyembro ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makukuha natin:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino ng sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Sa problema, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.

Solusyon. Gamitin natin ang pormula para sa pagtukoy ng kabuuan ng pag-unlad:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kaya ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunud-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang gayong halimbawa.

Ang pagpasok sa isang taxi (na may kasamang 3 km) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles / km. Layo ng paglalakbay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng serye ng numero ng arithmetic.

Ang numero ng miyembro ay ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (bawas sa unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.

Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 p.

ang bilang ng interes sa amin - ang halaga ng (27 + 1)th miyembro ng arithmetic progression - ang pagbabasa ng metro sa dulo ng ika-27 kilometro - 27.999 ... = 28 km.

isang 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang di-makatwirang mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang mga numerical sequence. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa luminary. Bilang karagdagan, ang iba't ibang mga numerical na serye ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na sangay ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunud-sunod ng numero ay geometric

Ang isang geometric na pag-unlad ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang malaki, kumpara sa isang arithmetic, rate ng pagbabago. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, medisina, madalas, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo ng exponentially.

Ang N-th na miyembro ng serye ng geometric na numero ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang miyembro ay 1, ang denominator ay 2, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng geometric progression;

b n+1 - ang formula ng susunod na miyembro ng geometric progression;

q ay ang denominator ng isang geometric progression (constant number).

Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang geometriko ay gumuhit ng bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang isang geometric na pag-unlad ay may formula para sa halaga ng isang di-makatwirang miyembro. Anumang n-th term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin ang ika-5 termino ng progression

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga miyembro ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n miyembro ng isang geometric na progression ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n miyembro ng progression at ang denominator nito at ang unang miyembro ng progression, na hinati sa denominator na binawasan ng isa:

Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n miyembro ng itinuturing na serye ng numero ay kukuha ng anyo:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakdang katumbas ng 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Oo, oo: ang pag-unlad ng aritmetika ay hindi isang laruan para sa iyo :)

Buweno, mga kaibigan, kung binabasa mo ang tekstong ito, kung gayon ang ebidensya ng panloob na takip ay nagsasabi sa akin na hindi mo pa rin alam kung ano ang pag-unlad ng aritmetika, ngunit talagang (hindi, tulad nito: SOOOOO!) gusto mong malaman. Samakatuwid, hindi kita pahihirapan ng mahabang pagpapakilala at agad na bumaba sa negosyo.

Upang magsimula, isang pares ng mga halimbawa. Isaalang-alang ang ilang hanay ng mga numero:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ano ang pagkakatulad ng lahat ng set na ito? Sa unang tingin, wala. Pero sa totoo lang may something. Namely: bawat susunod na elemento ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero.

Maghusga para sa iyong sarili. Ang unang set ay magkakasunod na numero lamang, bawat isa ay higit pa kaysa sa nauna. Sa pangalawang kaso, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing numero ay katumbas na ng lima, ngunit ang pagkakaibang ito ay pare-pareho pa rin. Sa ikatlong kaso, may mga ugat sa pangkalahatan. Gayunpaman, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, habang $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ibig sabihin. kung saan ang bawat susunod na elemento ay tumataas lamang ng $\sqrt(2)$ (at huwag matakot na ang numerong ito ay hindi makatwiran).

Kaya: ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag lamang na mga pag-unlad ng aritmetika. Bigyan natin ng mahigpit na kahulugan:

Kahulugan. Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan ang bawat susunod ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng eksaktong parehong halaga ay tinatawag na aritmetika na pag-unlad. Ang mismong halaga kung saan naiiba ang mga numero ay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad at kadalasang tinutukoy ng titik $d$.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ang mismong progression, $d$ ang difference nito.

At ilan lamang sa mahahalagang komento. Una, ang pag-unlad ay isinasaalang-alang lamang maayos pagkakasunud-sunod ng mga numero: pinapayagan silang basahin nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod kung saan nakasulat ang mga ito - at wala nang iba pa. Hindi ka maaaring muling ayusin o magpalit ng mga numero.

Pangalawa, ang pagkakasunud-sunod mismo ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang set (1; 2; 3) ay malinaw na isang may hangganang pag-unlad ng arithmetic. Ngunit kung sumulat ka ng isang bagay sa espiritu (1; 2; 3; 4; ...) - ito na walang katapusang pag-unlad. Ang ellipsis pagkatapos ng apat, kumbaga, ay nagpapahiwatig na marami pang mga numero ang nagpapatuloy. Walang hanggan marami, halimbawa. :)

Gusto ko ring tandaan na ang mga pag-unlad ay dumarami at bumababa. Nakita na natin ang mga dumarami - ang parehong set (1; 2; 3; 4; ...). Narito ang mga halimbawa ng bumababang pag-unlad:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: ang huling halimbawa ay maaaring mukhang masyadong kumplikado. Ngunit ang natitira, sa palagay ko, naiintindihan mo. Samakatuwid, ipinakilala namin ang mga bagong kahulugan:

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na:

1. pagtaas kung ang bawat susunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna;
2. bumababa, kung, sa kabaligtaran, ang bawat kasunod na elemento ay mas mababa kaysa sa nauna.

Bilang karagdagan, mayroong mga tinatawag na "nakatigil" na mga pagkakasunud-sunod - binubuo sila ng parehong umuulit na numero. Halimbawa, (3; 3; 3; ...).

Isang tanong na lang ang natitira: paano makilala ang isang pagtaas ng pag-unlad mula sa isang bumababa? Sa kabutihang palad, ang lahat dito ay nakasalalay lamang sa tanda ng numerong $d$, i.e. mga pagkakaiba sa pag-unlad:

1. Kung $d \gt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay tumataas;
2. Kung $d \lt 0$, kung gayon ang pag-unlad ay malinaw na bumababa;
3. Sa wakas, mayroong kaso $d=0$ — sa kasong ito ang buong pag-unlad ay nabawasan sa isang nakatigil na pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero: (1; 1; 1; 1; ...), atbp.

Subukan nating kalkulahin ang pagkakaiba $d$ para sa tatlong bumababa na pag-unlad sa itaas. Upang gawin ito, sapat na kumuha ng anumang dalawang katabing elemento (halimbawa, ang una at pangalawa) at ibawas ang numero sa kaliwa mula sa numero sa kanan. Magiging ganito ang hitsura:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Tulad ng nakikita mo, sa lahat ng tatlong mga kaso ang pagkakaiba ay talagang naging negatibo. At ngayon na higit pa o mas mababa na natin ang mga kahulugan, oras na para malaman kung paano inilarawan ang mga pag-unlad at kung anong mga katangian ang mayroon sila.

Mga miyembro ng progression at ang paulit-ulit na formula

Dahil ang mga elemento ng aming mga sequence ay hindi maaaring palitan, maaari silang bilangin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \right\)\]

Ang mga indibidwal na elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng progression. Ang mga ito ay ipinahiwatig sa ganitong paraan sa tulong ng isang numero: ang unang miyembro, ang pangalawang miyembro, at iba pa.

Bilang karagdagan, tulad ng alam na natin, ang mga kalapit na miyembro ng pag-unlad ay nauugnay sa pamamagitan ng pormula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Sa madaling salita, upang mahanap ang $n$th term ng progression, kailangan mong malaman ang $n-1$th term at ang pagkakaiba $d$. Ang ganitong pormula ay tinatawag na paulit-ulit, dahil sa tulong nito maaari kang makahanap ng anumang numero, alam lamang ang nauna (at sa katunayan, ang lahat ng mga nauna). Ito ay napaka-inconvenient, kaya mayroong isang mas nakakalito na formula na binabawasan ang anumang pagkalkula sa unang termino at ang pagkakaiba:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kaliwa(n-1 \kanan)d\]

Marahil ay nakita mo na ang formula na ito dati. Gusto nilang ibigay ito sa lahat ng uri ng mga reference na libro at reshebnik. At sa anumang matinong aklat-aralin sa matematika, isa ito sa una.

Gayunpaman, iminumungkahi kong magsanay ka ng kaunti.

Gawain bilang 1. Isulat ang unang tatlong termino ng arithmetic progression $\left(((a)_(n)) \right)$ kung $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solusyon. Kaya, alam natin ang unang termino na $((a)_(1))=8$ at ang pagkakaiba sa pag-unlad $d=-5$. Gamitin natin ang formula na ibinigay at palitan ang $n=1$, $n=2$ at $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kaliwa(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kaliwa(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kaliwa(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Sagot: (8; 3; -2)

Iyon lang! Tandaan na ang aming pag-unlad ay bumababa.

Siyempre, hindi maaaring palitan ang $n=1$ - alam na natin ang unang termino. Gayunpaman, sa pamamagitan ng pagpapalit sa yunit, tiniyak namin na kahit sa unang termino ay gumagana ang aming formula. Sa ibang mga kaso, ang lahat ay bumaba sa banal na aritmetika.

Gawain bilang 2. Isulat ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika kung ang ikapitong termino nito ay −40 at ang ikalabimpitong termino nito ay −50.

Solusyon. Isinulat namin ang kondisyon ng problema sa karaniwang mga termino:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \tama.\]

Inilagay ko ang sign ng system dahil ang mga kinakailangan na ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. At ngayon tandaan natin na kung ibawas natin ang unang equation mula sa pangalawang equation (may karapatan tayong gawin ito, dahil mayroon tayong sistema), makukuha natin ito:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Kaya lang, nakita namin ang pagkakaiba ng pag-unlad! Ito ay nananatiling palitan ang nahanap na numero sa alinman sa mga equation ng system. Halimbawa, sa una:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Ngayon, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, nananatili itong hanapin ang pangalawa at pangatlong termino:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

handa na! Nalutas ang problema.

Sagot: (-34; -35; -36)

Bigyang-pansin ang isang kakaibang pag-aari ng progression na aming natuklasan: kung kukunin namin ang $n$th at $m$th na mga termino at ibawas ang mga ito sa isa't isa, pagkatapos ay makukuha namin ang pagkakaiba ng progression na na-multiply sa bilang na $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kaliwa(n-m \kanan)\]

Isang simple ngunit napaka-kapaki-pakinabang na ari-arian na dapat mong tiyak na malaman - sa tulong nito, maaari mong makabuluhang mapabilis ang solusyon ng maraming mga problema sa pag-unlad. Narito ang isang pangunahing halimbawa nito:

Gawain bilang 3. Ang ikalimang termino ng pag-unlad ng arithmetic ay 8.4, at ang ikasampung termino nito ay 14.4. Hanapin ang ikalabinlimang termino ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Dahil $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, at kailangan naming hanapin ang $((a)_(15))$, tandaan namin ang sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ at ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ngunit sa pamamagitan ng kundisyon $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, kaya $5d=6$, kung saan mayroon tayong:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Sagot: 20.4

Iyon lang! Hindi namin kailangan na bumuo ng anumang mga sistema ng mga equation at kalkulahin ang unang termino at ang pagkakaiba - ang lahat ay napagpasyahan sa loob lamang ng ilang linya.

Ngayon isaalang-alang natin ang isa pang uri ng problema - ang paghahanap ng mga negatibo at positibong miyembro ng pag-unlad. Ito ay hindi lihim na kung ang pag-unlad ay tumaas, habang ang unang termino nito ay negatibo, sa kalaunan ay lilitaw ang mga positibong termino dito. At kabaligtaran: ang mga tuntunin ng isang bumababa na pag-unlad ay malaon o huli ay magiging negatibo.

Kasabay nito, malayo sa laging posible na mahanap ang sandaling ito "sa noo", sunud-sunod na pag-uuri sa mga elemento. Kadalasan, ang mga problema ay idinisenyo sa paraang nang hindi nalalaman ang mga formula, ang mga kalkulasyon ay kukuha ng ilang mga sheet - matutulog lang kami hanggang sa matagpuan namin ang sagot. Samakatuwid, susubukan naming lutasin ang mga problemang ito sa mas mabilis na paraan.

Gawain bilang 4. Ilang mga negatibong termino sa isang pag-unlad ng arithmetic -38.5; -35.8; …?

Solusyon. Kaya, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, kung saan agad naming makikita ang pagkakaiba:

Tandaan na ang pagkakaiba ay positibo, kaya ang pag-unlad ay tumataas. Ang unang termino ay negatibo, kaya nga sa isang punto ay madadapa tayo sa mga positibong numero. Ang tanging tanong ay kung kailan ito mangyayari.

Subukan nating alamin: gaano katagal (i.e., hanggang sa kung anong natural na bilang na $n$) ang negatibiti ng mga termino ay napanatili:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Ang huling linya ay nangangailangan ng paglilinaw. Kaya alam natin na $n \lt 15\frac(7)(27)$. Sa kabilang banda, ang mga integer value lang ng numero ang babagay sa amin (bukod dito: $n\in \mathbb(N)$), kaya ang pinakamalaking pinapayagang numero ay tiyak na $n=15$, at sa anumang kaso 16.

Gawain bilang 5. Sa arithmetic progression $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Hanapin ang bilang ng unang positibong termino ng pag-unlad na ito.

Ito ay magiging eksaktong parehong problema tulad ng nauna, ngunit hindi namin alam ang $((a)_(1))$. Ngunit ang mga kalapit na termino ay kilala: $((a)_(5))$ at $((a)_(6))$, kaya madali nating mahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

Bilang karagdagan, subukan nating ipahayag ang ikalimang termino sa mga tuntunin ng una at ang pagkakaiba gamit ang karaniwang formula:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ at ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ngayon ay nagpapatuloy kami sa pamamagitan ng pagkakatulad sa nakaraang problema. Nalaman namin kung saang punto sa aming sequence ang mga positibong numero ay lilitaw:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Ang pinakamababang integer na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang bilang na 56.

Pakitandaan na sa huling gawain ang lahat ay nabawasan sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay, kaya ang opsyon na $n=55$ ay hindi angkop sa amin.

Ngayon na natutunan natin kung paano lutasin ang mga simpleng problema, lumipat tayo sa mas kumplikado. Ngunit una, alamin natin ang isa pang napaka-kapaki-pakinabang na katangian ng mga pag-unlad ng aritmetika, na magliligtas sa atin ng maraming oras at hindi pantay na mga cell sa hinaharap. :)

Arithmetic mean at equal indents

Isaalang-alang ang ilang sunud-sunod na termino ng tumataas na pag-unlad ng arithmetic $\left(((a)_(n)) \right)$. Subukan nating markahan ang mga ito sa isang linya ng numero:

Mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika sa linya ng numero

Partikular kong binanggit ang mga arbitraryong miyembro $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, at hindi anumang $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atbp. Dahil ang panuntunan, na sasabihin ko ngayon sa iyo, ay gumagana nang pareho para sa anumang "mga segment".

At ang panuntunan ay napaka-simple. Tandaan natin ang recursive formula at isulat ito para sa lahat ng minarkahang miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Gayunpaman, ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat sa ibang paraan:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Well, ano? Ngunit ang katotohanan na ang mga terminong $((a)_(n-1))$ at $((a)_(n+1))$ ay nasa parehong distansya mula sa $((a)_(n)) $ . At ang distansyang ito ay katumbas ng $d$. Ang parehong ay masasabi tungkol sa mga terminong $((a)_(n-2))$ at $((a)_(n+2))$ - inalis din ang mga ito sa $((a)_(n) )$ sa parehong distansya na katumbas ng $2d$. Maaari kang magpatuloy nang walang katiyakan, ngunit ang larawan ay naglalarawan ng kahulugan

Ang mga miyembro ng progreso ay nakahiga sa parehong distansya mula sa gitna

Ano ang ibig sabihin nito para sa atin? Nangangahulugan ito na mahahanap mo ang $((a)_(n))$ kung kilala ang mga kalapit na numero:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nahinuha namin ang isang kahanga-hangang pahayag: ang bawat miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro! Bukod dito, maaari tayong lumihis mula sa ating $((a)_(n))$ sa kaliwa at pakanan hindi sa pamamagitan ng isang hakbang, ngunit sa pamamagitan ng $k$ na mga hakbang — at magiging tama pa rin ang formula:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Yung. madali tayong makakahanap ng ilang $((a)_(150))$ kung alam natin ang $((a)_(100))$ at $((a)_(200))$, dahil $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ang katotohanang ito ay hindi nagbibigay sa amin ng anumang kapaki-pakinabang. Gayunpaman, sa pagsasagawa, maraming mga gawain ang espesyal na "pinatalas" para sa paggamit ng arithmetic mean. Tingnan mo:

Gawain bilang 6. Hanapin ang lahat ng value ng $x$ na ang mga numerong $-6((x)^(2))$, $x+1$ at $14+4((x)^(2))$ ay magkakasunod na miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika (sa tinukoy na pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Dahil ang mga numerong ito ay miyembro ng isang progression, ang arithmetic mean na kondisyon ay nasiyahan para sa kanila: ang gitnang elemento na $x+1$ ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga kalapit na elemento:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ at ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ito ay naging klasiko quadratic equation. Ang mga ugat nito: $x=2$ at $x=-3$ ang mga sagot.

Sagot: -3; 2.

Gawain bilang 7. Hanapin ang mga halaga ng $$ upang ang mga numerong $-1;4-3;(()^(2))+1$ ay bumubuo ng isang arithmetic progression (sa ganoong pagkakasunud-sunod).

Solusyon. Muli, ipinapahayag namin ang gitnang termino sa mga tuntunin ng arithmetic mean ng mga kalapit na termino:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ at ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Isa pang quadratic equation. At muli dalawang ugat: $x=6$ at $x=1$.

Sagot: 1; 6.

Kung sa proseso ng paglutas ng isang problema nakakakuha ka ng ilang mga brutal na numero, o hindi ka lubos na sigurado sa tama ng mga sagot na natagpuan, kung gayon mayroong isang kahanga-hangang trick na nagbibigay-daan sa iyo upang suriin: nalutas ba namin nang tama ang problema?

Sabihin nating sa suliranin 6 ay nakakuha tayo ng mga sagot -3 at 2. Paano natin masusuri kung tama ang mga sagot na ito? Isaksak lang natin ang mga ito sa orihinal na kundisyon at tingnan kung ano ang mangyayari. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na mayroon kaming tatlong numero ($-6(()^(2))$, $+1$ at $14+4(()^(2))$), na dapat bumuo ng arithmetic progression. Palitan ang $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Nakuha namin ang mga numero -54; −2; Ang 50 na naiiba ng 52 ay walang alinlangan na isang pag-unlad ng aritmetika. Ang parehong bagay ay nangyayari para sa $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Muli isang pag-unlad, ngunit may pagkakaiba na 27. Kaya, ang problema ay nalutas nang tama. Ang mga nais ay maaaring suriin ang pangalawang gawain sa kanilang sarili, ngunit sasabihin ko kaagad: lahat ay tama din doon.

Sa pangkalahatan, habang nilulutas ang mga huling problema, natitisod kami sa isa pang kawili-wiling katotohanan na kailangan ding tandaan:

Kung ang tatlong numero ay tulad na ang pangalawa ay ang average ng una at huli, ang mga numerong ito ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Sa hinaharap, ang pag-unawa sa pahayag na ito ay magbibigay-daan sa amin na literal na "buuin" ang mga kinakailangang pag-unlad batay sa kondisyon ng problema. Ngunit bago tayo makisali sa ganitong "konstruksyon", dapat nating bigyang pansin ang isa pang katotohanan, na direktang sumusunod sa kung ano ang napag-isipan na.

Pagpapangkat at kabuuan ng mga elemento

Balik tayo ulit sa number line. Napansin namin doon ang ilang mga miyembro ng pag-unlad, kung saan, marahil. nagkakahalaga ng maraming iba pang mga miyembro:

6 na elemento na minarkahan sa linya ng numero

Subukan nating ipahayag ang "kaliwang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(n))$ at $d$, at ang "kanang buntot" sa mga tuntunin ng $((a)_(k))$ at $ d$. Ito ay napaka-simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ngayon tandaan na ang mga sumusunod na kabuuan ay pantay-pantay:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Sa madaling salita, kung isasaalang-alang natin bilang simula ang dalawang elemento ng pag-unlad, na sa kabuuan ay katumbas ng ilang bilang na $S$, at pagkatapos ay magsisimula tayong humakbang mula sa mga elementong ito sa magkasalungat na direksyon (patungo sa isa't isa o kabaligtaran upang lumayo), pagkatapos magkakapantay din ang kabuuan ng mga elementong ating madadapa$S$. Ito ay maaaring pinakamahusay na kinakatawan sa graphic na paraan:

Ang parehong mga indent ay nagbibigay ng pantay na mga kabuuan

Ang pag-unawa sa katotohanang ito ay magbibigay-daan sa amin na lutasin ang mga problema sa panimula na mas mataas na antas ng pagiging kumplikado kaysa sa mga isinasaalang-alang namin sa itaas. Halimbawa, ang mga ito:

Gawain bilang 8. Tukuyin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika kung saan ang unang termino ay 66, at ang produkto ng ikalawa at ikalabindalawang termino ay ang pinakamaliit na posible.

Solusyon. Isulat natin ang lahat ng ating nalalaman:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Kaya, hindi natin alam ang pagkakaiba ng progression $d$. Sa totoo lang, ang buong solusyon ay bubuuin sa paligid ng pagkakaiba, dahil ang produkto na $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Para sa mga nasa tangke: Inalis ko ang karaniwang kadahilanan 11 sa pangalawang bracket. Kaya, ang gustong produkto ay isang quadratic function na may paggalang sa variable na $d$. Samakatuwid, isaalang-alang ang function na $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ang graph nito ay magiging isang parabola na may mga sanga sa itaas, dahil kung bubuksan natin ang mga bracket, makakakuha tayo ng:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang koepisyent na may pinakamataas na termino ay 11 - ito ay isang positibong numero, kaya talagang nakikipag-usap tayo sa isang parabola na may mga sanga sa itaas:

graph ng isang quadratic function - parabola

Pakitandaan: kinukuha ng parabola na ito ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito na may abscissa $((d)_(0))$. Siyempre, maaari nating kalkulahin ang abscissa na ito ayon sa karaniwang pamamaraan (mayroong formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ngunit mas makatwiran ang tandaan na ang gustong vertex ay nasa axis symmetry ng parabola, kaya ang puntong $((d)_(0))$ ay katumbas ng layo mula sa mga ugat ng equation $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ako nagmamadaling buksan ang mga bracket: sa orihinal na anyo, ang mga ugat ay napakadaling mahanap. Samakatuwid, ang abscissa ay katumbas ng arithmetic mean ng mga numero −66 at −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Ano ang nagbibigay sa amin ng natuklasang numero? Sa pamamagitan nito, ang kinakailangang produkto ay tumatagal ng pinakamaliit na halaga (nga pala, hindi namin nakalkula ang $((y)_(\min ))$ - hindi ito kinakailangan sa amin). Kasabay nito, ang bilang na ito ay ang pagkakaiba ng paunang pag-unlad, i.e. nakita namin ang sagot. :)

Sagot: -36

Gawain bilang 9. Magpasok ng tatlong numero sa pagitan ng mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac(1)(6)$ upang kasama ang mga ibinigay na numero ay bumuo sila ng arithmetic progression.

Solusyon. Sa katunayan, kailangan nating gumawa ng pagkakasunod-sunod ng limang numero, na alam na ang una at huling numero. Tukuyin ang mga nawawalang numero ng mga variable na $x$, $y$ at $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Tandaan na ang numerong $y$ ay ang "gitna" ng aming sequence - ito ay katumbas ng distansya mula sa mga numerong $x$ at $z$, at mula sa mga numerong $-\frac(1)(2)$ at $-\frac (1)( 6)$. At kung sa ngayon ay hindi natin makukuha ang $y$ mula sa mga numerong $x$ at $z$, iba ang sitwasyon sa mga dulo ng progression. Tandaan ang ibig sabihin ng aritmetika:

Ngayon, alam ang $y$, makikita natin ang natitirang mga numero. Tandaan na ang $x$ ay nasa pagitan ng $-\frac(1)(2)$ at $y=-\frac(1)(3)$ na kakahanap lang. kaya lang

Sa parehong pagtatalo, nakita namin ang natitirang numero:

handa na! Natagpuan namin ang lahat ng tatlong numero. Isulat natin ang mga ito sa sagot sa pagkakasunud-sunod kung saan dapat silang ipasok sa pagitan ng mga orihinal na numero.

Sagot: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Gawain bilang 10. Sa pagitan ng mga numero 2 at 42, magpasok ng ilang mga numero na, kasama ang mga ibinigay na numero, ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung alam na ang kabuuan ng una, pangalawa, at huli ng mga ipinasok na numero ay 56.

Solusyon. Ang isang mas mahirap na gawain, na, gayunpaman, ay nalutas sa parehong paraan tulad ng mga nauna - sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang problema ay hindi namin alam kung gaano karaming mga numero ang ilalagay. Samakatuwid, para sa katiyakan, ipinapalagay namin na pagkatapos ng pagpasok ay magkakaroon ng eksaktong $n$ na mga numero, at ang una sa mga ito ay 2, at ang huli ay 42. Sa kasong ito, ang nais na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring katawanin bilang:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tandaan, gayunpaman, na ang mga numerong $((a)_(2))$ at $((a)_(n-1))$ ay nakuha mula sa mga numero 2 at 42 na nakatayo sa mga gilid sa pamamagitan ng isang hakbang patungo sa isa't isa , ibig sabihin. sa gitna ng pagkakasunod-sunod. At ito ay nangangahulugan na

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ngunit ang expression sa itaas ay maaaring muling isulat tulad nito:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ at ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Alam ang $((a)_(3))$ at $((a)_(1))$, madali nating mahahanap ang pagkakaiba sa pag-unlad:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kaliwa(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(align)\]

Ito ay nananatiling lamang upang mahanap ang natitirang mga miyembro:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Kaya, nasa ika-9 na hakbang na tayo ay darating sa kaliwang dulo ng pagkakasunud-sunod - ang numero 42. Sa kabuuan, 7 numero lamang ang kailangang ipasok: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Sagot: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

I-text ang mga gawain na may mga progression

Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang ilang medyo simpleng problema. Well, bilang simple: para sa karamihan ng mga mag-aaral na nag-aaral ng matematika sa paaralan at hindi pa nababasa kung ano ang nakasulat sa itaas, ang mga gawaing ito ay maaaring mukhang isang kilos. Gayunpaman, ito ay tiyak na mga gawain na makikita sa OGE at ang PAGGAMIT sa matematika, kaya inirerekumenda ko na pamilyar ka sa kanila.

Gawain bilang 11. Ang koponan ay gumawa ng 62 bahagi noong Enero, at sa bawat kasunod na buwan ay gumawa sila ng 14 na mas maraming bahagi kaysa sa nauna. Ilang bahagi ang ginawa ng brigada noong Nobyembre?

Solusyon. Malinaw, ang bilang ng mga bahagi, na pininturahan ng buwan, ay magiging isang pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika. At:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ang Nobyembre ay ang ika-11 buwan ng taon, kaya kailangan nating hanapin ang $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Samakatuwid, 202 bahagi ang gagawin sa Nobyembre.

Gawain bilang 12. Ang bookbinding workshop ay nagbubuklod ng 216 na aklat noong Enero, at bawat buwan ay nagbubuklod ito ng 4 pang aklat kaysa sa nakaraang buwan. Ilang mga libro ang bind ng workshop noong Disyembre?

Solusyon. Lahat pare-pareho:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Ang Disyembre ay ang huling, ika-12 buwan ng taon, kaya hinahanap namin ang $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ito ang sagot - 260 na libro ang ibubulid sa Disyembre.

Buweno, kung nabasa mo na ito, nagmamadali akong batiin ka: matagumpay mong nakumpleto ang "young fighter course" sa mga pag-unlad ng aritmetika. Maaari tayong ligtas na magpatuloy sa susunod na aralin, kung saan pag-aaralan natin ang formula ng progression sum, pati na rin ang mahalaga at lubhang kapaki-pakinabang na mga kahihinatnan mula rito.

Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(walo\); \(labing-isa\); Ang \(14\)… ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat susunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):

Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.

Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(sampu\); \(apat\); \(-2\); \(-8\)… ang pagkakaiba sa pag-unlad \(d\) ay katumbas ng minus anim.

At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.

Arithmetic progression notation

Ang pag-unlad ay tinutukoy ng isang maliit na letrang Latin.

Ang mga numero na bumubuo ng isang pag-unlad ay tinatawag na ito mga miyembro(o mga elemento).

Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang ang pag-unlad ng arithmetic, ngunit may isang numerical index na katumbas ng numero ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.

Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Paglutas ng mga problema sa isang pag-unlad ng aritmetika

Sa prinsipyo, ang impormasyon sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa isang pag-unlad ng arithmetic (kabilang ang mga inaalok sa OGE).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:

Sagot: \(b_5=23\)

Halimbawa (OGE). Ang unang tatlong termino ng isang pag-usad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:

	Ibinigay sa amin ang mga unang elemento ng pagkakasunud-sunod at alam na ito ay isang pag-unlad ng aritmetika. Iyon ay, ang bawat elemento ay naiiba mula sa kalapit na isa sa pamamagitan ng parehong numero. Alamin kung alin sa pamamagitan ng pagbabawas ng nauna sa susunod na elemento: \(d=49-62=-13\).
	Ngayon ay maaari nating ibalik ang ating pag-unlad sa nais na (unang negatibo) na elemento.
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(-3\)

Halimbawa (OGE). Ilang sunud-sunod na elemento ng isang arithmetic progression ang ibinibigay: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elemento na tinutukoy ng titik \(x\).
Solusyon:

	Upang mahanap ang \(x\), kailangan nating malaman kung gaano kalaki ang pagkakaiba ng susunod na elemento sa nauna, sa madaling salita, ang pagkakaiba sa pag-unlad. Hanapin natin ito mula sa dalawang kilalang kalapit na elemento: \(d=12.5-10=2.5\).
	At ngayon nakita namin ang aming hinahanap nang walang anumang mga problema: \(x=5+2.5=7.5\).
	handa na. Maaari kang sumulat ng sagot.

Sagot: \(7,5\).

Halimbawa (OGE). Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:

Kailangan nating hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng pag-unlad. Ngunit hindi natin alam ang kanilang mga kahulugan, binibigyan lamang tayo ng unang elemento. Samakatuwid, una naming kinakalkula ang mga halaga, gamit ang ibinigay sa amin: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) At nang makalkula ang anim na elemento na kailangan namin, nakita namin ang kanilang kabuuan.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Nahanap na ang hiniling na halaga.

Sagot: \(S_6=9\).

Halimbawa (OGE). Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(d=7\).

Mahahalagang Arithmetic Progression Formula

Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat susunod na elemento sa kadena na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).

Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan napakahirap na malutas ang "sa noo". Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa, kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Ano ito, namin \ (385 \) beses na magdagdag ng apat? O isipin na sa penultimate na halimbawa, kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Nakakalito ang pagbibilang...

Samakatuwid, sa ganitong mga kaso, hindi nila nalulutas ang "sa noo", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino.

Formula para sa \(n\)th miyembro: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang miyembro ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
Ang \(a_n\) ay isang miyembro ng progression na may numerong \(n\).

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap ang hindi bababa sa tatlong daan, kahit na ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.

Halimbawa. Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:

Sagot: \(b_(246)=1850\).

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan

Ang \(a_n\) ay ang huling summed term;

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Upang kalkulahin ang kabuuan ng unang dalawampu't limang elemento, kailangan nating malaman ang halaga ng una at dalawampu't limang termino. Ang aming pag-unlad ay ibinibigay ng pormula ng ika-n na termino depende sa bilang nito (tingnan ang mga detalye). I-compute natin ang unang elemento sa pamamagitan ng pagpapalit ng \(n\) ng isa.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Ngayon, hanapin natin ang ikadalawampu't limang termino sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawampu't lima sa halip na \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		Kaya, ngayon ay kinakalkula namin ang kinakailangang halaga nang walang anumang mga problema.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(25)=1090\).

Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin ang:

Ang formula para sa kabuuan ng unang n termino ay: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan

\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan \(n\) ng mga unang elemento;
Ang \(a_1\) ay ang unang termino na susumahin;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) - ang bilang ng mga elemento sa kabuuan.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15,5\); \(labing-apat\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(33)=-231\).

Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Ngayon ay mayroon ka na ng lahat ng impormasyong kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng arithmetic. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan kailangan mong hindi lamang maglapat ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika, maaari itong maging kapaki-pakinabang ☺)

Halimbawa (OGE). Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Ang gawain ay halos kapareho sa nauna. Nagsisimula kami sa paglutas sa parehong paraan: una naming mahanap ang \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Ngayon ay papalitan namin ang \(d\) sa pormula para sa kabuuan ... at narito ang isang maliit na nuance ay nagpa-pop up - hindi namin alam \(n\). Sa madaling salita, hindi natin alam kung ilang termino ang kailangang idagdag. Paano malalaman? Tayo'y mag isip. Hihinto kami sa pagdaragdag ng mga elemento kapag nakarating na kami sa unang positibong elemento. Iyon ay, kailangan mong malaman ang bilang ng elementong ito. paano? Isulat natin ang formula para sa pagkalkula ng anumang elemento ng isang pag-unlad ng arithmetic: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para sa aming kaso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Kailangan natin ang \(a_n\) na mas malaki sa zero. Alamin natin kung ano \(n\) ang mangyayari.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Hinahati namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Inilipat namin ang minus one, hindi nakakalimutang baguhin ang mga palatandaan
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Nagko-compute...
\(n>65,333…\)		…at lumalabas na ang unang positibong elemento ay magkakaroon ng numerong \(66\). Alinsunod dito, ang huling negatibo ay mayroong \(n=65\). Kung sakali, tingnan natin ito.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Kaya, kailangan nating idagdag ang unang \(65\) na mga elemento.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Handa na ang sagot.

Sagot: \(S_(65)=-630.5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\) kasama ang elemento.
Solusyon:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Sa problemang ito, kailangan mo ring hanapin ang kabuuan ng mga elemento, ngunit hindi nagsisimula sa una, ngunit mula sa \(26\)th. Wala kaming formula para dito. Paano magdesisyon? Madali - upang makuha ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang \(42\)th, kailangan mo munang hanapin ang kabuuan mula sa \(1\)th hanggang \(42\)th, at pagkatapos ay ibawas mula dito ang kabuuan mula sa ang una sa \ (25 \) ika (tingnan ang larawan).
	Para sa aming pag-unlad \(a_1=-33\), at ang pagkakaiba \(d=4\) (pagkatapos ng lahat, nagdaragdag kami ng apat sa nakaraang elemento upang mahanap ang susunod). Sa pag-alam nito, makikita natin ang kabuuan ng unang \(42\)-uh elemento.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ngayon ang kabuuan ng unang \(25\)-th na mga elemento.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	At sa wakas, kinakalkula namin ang sagot.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Sagot: \(S=1683\).

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.

Pagtuturo

Ang arithmetic progression ay isang sequence ng form na a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Bilang d hakbang mga pag-unlad.Malinaw, ang kabuuan ng isang arbitrary nth term ng arithmetic mga pag-unlad ay may anyong: An = A1+(n-1)d. Pagkatapos ay kilala ang isa sa mga miyembro mga pag-unlad, miyembro mga pag-unlad at hakbang mga pag-unlad, ay maaaring , iyon ay, ang bilang ng termino ng pag-unlad. Malinaw, ito ay matutukoy sa pamamagitan ng formula n = (An-A1+d)/d.

Hayaan ang mth term na malaman ngayon mga pag-unlad at ilang iba pang miyembro mga pag-unlad- n-th, ngunit n , tulad ng sa nakaraang kaso, ngunit ito ay kilala na ang n at m ay hindi magkatugma.Hakbang mga pag-unlad maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng formula: d = (An-Am)/(n-m). Pagkatapos n = (An-Am+md)/d.

Kung ang kabuuan ng ilang elemento ng isang arithmetic mga pag-unlad, pati na rin ang una at huli nito , pagkatapos ay maaari ding matukoy ang bilang ng mga elementong ito. Ang kabuuan ng arithmetic mga pag-unlad ay magiging katumbas ng: S = ((A1+An)/2)n. Pagkatapos n = 2S/(A1+An) ay chdenov mga pag-unlad. Gamit ang katotohanan na An = A1+(n-1)d, ang formula na ito ay maaaring muling isulat bilang: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Mula dito ay maaaring ipahayag ng isang n sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation.

Ang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay isang nakaayos na hanay ng mga numero, na ang bawat miyembro nito, maliban sa una, ay naiiba sa nauna sa parehong halaga. Ito pare-pareho ay tinatawag na pagkakaiba ng progression o hakbang nito at maaaring kalkulahin mula sa mga kilalang miyembro ng arithmetic progression.

Pagtuturo

Kung ang mga halaga ng una at pangalawa o anumang iba pang pares ng mga kalapit na termino ay kilala mula sa mga kondisyon ng problema, upang kalkulahin ang pagkakaiba (d), ibawas lamang ang nakaraang termino mula sa susunod na termino. Ang resultang halaga ay maaaring maging positibo o negatibo - depende ito kung tataas ang pag-unlad. AT pangkalahatang anyo isulat ang solusyon para sa isang di-makatwirang pares (aᵢ at aᵢ₊₁) ng mga kalapit na miyembro ng progression gaya ng sumusunod: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para sa isang pares ng mga miyembro ng naturang pag-unlad, ang isa sa mga ito ay ang una (a₁), at ang isa pa ay anumang iba pang arbitraryong pinili, maaari ding gumawa ng isang pormula para sa paghahanap ng pagkakaiba (d). Gayunpaman, sa kasong ito, dapat na malaman ang serial number (i) ng isang arbitraryong napiling miyembro ng sequence. Upang kalkulahin ang pagkakaiba, idagdag ang parehong mga numero, at hatiin ang resulta sa ordinal na numero ng isang arbitrary na termino na binawasan ng isa. AT pangkalahatang pananaw isulat ang formula na ito tulad nito: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Kung, bilang karagdagan sa isang di-makatwirang miyembro ng pag-unlad ng arithmetic na may ordinal na numero i, ang isa pang miyembro na may ordinal na numerong u ay kilala, baguhin ang formula mula sa nakaraang hakbang nang naaayon. Sa kasong ito, ang pagkakaiba (d) ng pag-unlad ay ang kabuuan ng dalawang terminong ito na hinati sa pagkakaiba sa kanilang mga ordinal na numero: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Ang formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba (d) ay nagiging mas kumplikado kung, sa mga kondisyon ng problema, ang halaga ng unang miyembro nito (a₁) at ang kabuuan (Sᵢ) ng isang naibigay na numero (i) ng mga unang miyembro ng ibinibigay ang pagkakasunod-sunod ng aritmetika. Upang makuha ang nais na halaga, hatiin ang kabuuan sa bilang ng mga terminong bumubuo nito, ibawas ang halaga ng unang numero sa pagkakasunud-sunod, at i-double ang resulta. Hatiin ang nagresultang halaga sa bilang ng mga termino na bumubuo sa kabuuan na binawasan ng isa. Sa pangkalahatan, isulat ang formula para sa pagkalkula ng discriminant gaya ng sumusunod: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ang mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay umiral na sa sinaunang panahon. Nagpakita sila at humingi ng solusyon, dahil mayroon silang praktikal na pangangailangan.

Kaya, sa isa sa mga papiro sinaunang egypt, na mayroong mathematical content - ang Rhind papyrus (XIX century BC) - ay naglalaman ng sumusunod na gawain: hatiin ang sampung sukat ng tinapay sa sampung tao, sa kondisyon na ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat isa sa kanila ay isang ikawalo ng isang sukat.

At sa mga gawaing matematika ng mga sinaunang Griyego ay may mga matikas na theorems na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika. Kaya, ang Gipsicles ng Alexandria (II siglo, na umabot ng marami mga kawili-wiling gawain at idinagdag ang ikalabing-apat na aklat sa "Mga Prinsipyo" ng Euclid, ay bumalangkas ng ideya: "Sa isang pag-unlad ng aritmetika na may kahit na numero mga miyembro, ang kabuuan ng mga miyembro ng 2nd half ay mas malaki kaysa sa kabuuan ng mga miyembro ng 1st sa pamamagitan ng square 1/2 ng bilang ng mga miyembro.

Ang pagkakasunud-sunod an ay tinutukoy. Ang mga numero ng pagkakasunud-sunod ay tinatawag na mga miyembro nito at kadalasang tinutukoy ng mga titik na may mga indeks na nagpapahiwatig ng serial number ng miyembrong ito (a1, a2, a3 ... ito ay nagbabasa ng: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd ” at iba pa).

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang katapusan o may hangganan.

Ano ang isang arithmetic progression? Ito ay nauunawaan bilang nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng nakaraang termino (n) na may parehong bilang d, na siyang pagkakaiba ng pag-unlad.

Kung d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, kung gayon ang gayong pag-unlad ay itinuturing na tumataas.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay sinasabing may hangganan kung iilan lamang sa mga unang termino nito ang isasaalang-alang. Sa napaka sa malaking bilang ang mga miyembro ay isa nang walang katapusang pag-unlad.

Ang anumang pag-unlad ng arithmetic ay ibinibigay ng sumusunod na formula:

an =kn+b, habang ang b at k ay ilang numero.

Ang pahayag, na kabaligtaran, ay ganap na totoo: kung ang pagkakasunud-sunod ay ibinigay ng isang katulad na formula, kung gayon ito ay eksaktong pag-unlad ng aritmetika, na may mga katangian:

1. Ang bawat miyembro ng progression ay ang arithmetic mean ng nakaraang miyembro at ng susunod.
2. Ang kabaligtaran: kung, simula sa ika-2, ang bawat termino ay ang arithmetic mean ng nakaraang termino at ang susunod, i.e. kung ang kundisyon ay natutugunan, ang ibinigay na sequence ay isang arithmetic progression. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay kasabay ng isang tanda ng pag-unlad, kaya karaniwang tinatawag itong katangian ng pag-unlad.
   Sa parehong paraan, ang theorem na sumasalamin sa property na ito ay totoo: ang isang sequence ay isang arithmetic progression lamang kung ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa alinman sa mga miyembro ng sequence, simula sa ika-2.

Ang katangiang katangian para sa anumang apat na numero ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng formula na an + am = ak + al kung n + m = k + l (m, n, k ang mga numero ng pag-unlad).

Sa isang arithmetic progression, ang anumang kinakailangang (Nth) na termino ay makikita sa pamamagitan ng paglalapat ng sumusunod na formula:

Halimbawa: ang unang termino (a1) sa isang pag-unlad ng arithmetic ay ibinigay at katumbas ng tatlo, at ang pagkakaiba (d) ay katumbas ng apat. Kailangan mong hanapin ang ikaapatnapu't limang termino ng pag-unlad na ito. a45 = 1+4(45-1)=177

Ang pormula an = ak + d(n - k) ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ika-na miyembro arithmetic progression sa pamamagitan ng alinman sa k-th term nito, sa kondisyon na ito ay kilala.

Ang kabuuan ng mga miyembro ng isang arithmetic progression (ipagpalagay na ang 1st n miyembro ng huling progression) ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Sn = (a1+an) n/2.

Kung kilala rin ang 1st term, kung gayon ang isa pang formula ay maginhawa para sa pagkalkula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Ang kabuuan ng isang arithmetic progression na naglalaman ng n termino ay kinakalkula bilang mga sumusunod:

Ang pagpili ng mga formula para sa mga kalkulasyon ay depende sa mga kondisyon ng mga gawain at ang paunang data.

Natural na serye ng anumang numero tulad ng 1,2,3,...,n,...- ang pinakasimpleng halimbawa pag-unlad ng aritmetika.

Bilang karagdagan sa pag-unlad ng aritmetika, mayroon ding isang geometriko, na may sariling mga katangian at katangian.