Ang kahulugan ng isang numerical sequence ay ibinigay. Ang mga halimbawa ng walang katapusang pagtaas, convergent, at divergent na mga sequence ay isinasaalang-alang. Ang isang sequence na naglalaman ng lahat ng mga rational na numero ay isinasaalang-alang.

Nilalaman

Tingnan din:

Kahulugan

Numeric na pagkakasunud-sunod ( x n )- ito ang batas (panuntunan), ayon sa kung saan, para sa bawat natural na numero n = 1, 2, 3, . . . ilang numero x n ang itinalaga.
Ang elementong x n ay tinatawag na ika-na miyembro o elemento ng sequence.

Ang sequence ay tinutukoy bilang ang ika-na miyembro na nakapaloob sa mga kulot na bracket: . Posible rin ang mga sumusunod na pagtatalaga: . Malinaw nilang sinasabi na ang index n ay kabilang sa set ng mga natural na numero at ang pagkakasunod-sunod mismo ay may walang katapusang bilang ng mga miyembro. Narito ang ilang halimbawa ng mga sequence:
, , .

Sa madaling salita, ang numerical sequence ay isang function na ang domain ay ang set ng mga natural na numero. Ang bilang ng mga elemento sa sequence ay walang hanggan. Sa mga elemento, maaaring may mga miyembro din na may parehong halaga. Gayundin, ang pagkakasunud-sunod ay maaaring ituring bilang isang may bilang na hanay ng mga numero, na binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga miyembro.

Kami ay higit na magiging interesado sa tanong - kung paano kumikilos ang mga pagkakasunud-sunod kapag ang n ay may posibilidad na infinity: . Ang materyal na ito ay ipinakita sa Sequence limit - basic theorems and properties section. At dito titingnan natin ang ilang mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod.

Mga halimbawa ng pagkakasunud-sunod

Mga halimbawa ng walang katapusang pagtaas ng mga sequence

Isaalang-alang natin ang isang pagkakasunud-sunod. Ang pangkalahatang termino ng sequence na ito ay . Isulat natin ang unang ilang termino:
.
Makikita na habang lumalaki ang bilang n, ang mga elemento ay tumataas nang walang katiyakan patungo sa mga positibong halaga. Masasabi nating ang sequence na ito ay may posibilidad na : sa .

Ngayon isaalang - alang ang isang sequence na may karaniwang termino . Narito ang ilan sa mga unang miyembro nito:
.
Habang lumalaki ang bilang n, ang mga elemento ng sequence na ito ay tumataas sa ganap na halaga nang walang katiyakan, ngunit walang pare-parehong tanda. Ibig sabihin, ang sequence na ito ay may posibilidad na : sa .

Mga halimbawa ng mga sequence na nagtatagpo sa isang may hangganang numero

Isaalang-alang natin ang isang pagkakasunud-sunod. Karaniwang miyembro nito Ang mga unang termino ay ang mga sumusunod:
.
Makikita na habang lumalaki ang bilang n, ang mga elemento ng sequence na ito ay lumalapit sa kanilang limitasyon na halaga a = 0 : sa . Kaya ang bawat kasunod na termino ay mas malapit sa zero kaysa sa nauna. Sa isang kahulugan, maaari nating ipagpalagay na mayroong tinatayang halaga para sa numerong a = 0 na may pagkakamali. Malinaw na habang lumalaki ang n, ang error na ito ay nagiging zero, iyon ay, sa pamamagitan ng pagpili sa n, ang error ay maaaring gawin nang arbitraryong maliit. Bukod dito, para sa anumang naibigay na error ε > 0 posibleng tukuyin ang naturang numero N , na para sa lahat ng elemento na may mga numerong mas malaki kaysa sa N : , ang paglihis ng numero mula sa limitasyong halaga a ay hindi lalampas sa error ε : .

Susunod, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod. Karaniwang miyembro nito Narito ang ilan sa mga unang miyembro nito:
.
Sa sequence na ito, ang mga even-numbered na termino ay zero. Ang mga miyembrong may kakaibang n ay . Samakatuwid, habang lumalaki ang n, ang kanilang mga halaga ay lumalapit sa limitasyon ng halaga a = 0 . Ito rin ay sumusunod mula sa katotohanan na
.
Tulad ng sa nakaraang halimbawa, maaari naming tukuyin ang isang arbitraryong maliit na error ε > 0 , kung saan posible na makahanap ng ganoong numero N na ang mga elemento na may mga numerong mas malaki kaysa sa N ay lilihis mula sa limitasyong halaga a = 0 sa pamamagitan ng isang halaga na hindi lalampas sa tinukoy na error. Samakatuwid, ang sequence na ito ay nagtatagpo sa halaga a = 0 : sa .

Mga halimbawa ng magkakaibang pagkakasunud-sunod

Isaalang-alang ang isang sequence na may sumusunod na karaniwang termino:

Narito ang mga unang miyembro nito:


.
Makikita na ang mga termino na may mga numerong pare-pareho:
,
magtagpo sa halaga a 1 = 0 . Mga miyembrong may kakaibang numero:
,
magtagpo sa halaga a 2 = 2 . Ang pagkakasunud-sunod mismo, habang lumalaki ang n, ay hindi nagtatagpo sa anumang halaga.

Pagkakasunod-sunod na may mga terminong ibinahagi sa pagitan (0;1)

Ngayon isaalang-alang ang isang mas kawili-wiling pagkakasunud-sunod. Kumuha ng isang segment sa linya ng numero. Hatiin natin ito sa kalahati. Kumuha kami ng dalawang segment. Hayaan
.
Ang bawat isa sa mga segment ay muling hinati sa kalahati. Nakakuha kami ng apat na segment. Hayaan
.
Hatiin muli ang bawat segment sa kalahati. Kunin natin


.
atbp.

Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay ipinamamahagi sa isang bukas na agwat (0; 1) . Anuman ang puntong kunin natin mula sa saradong agwat , palagi tayong makakahanap ng mga miyembro ng sequence na arbitraryong malapit sa puntong ito, o kasabay nito.

Pagkatapos, mula sa orihinal na pagkakasunud-sunod ay maaaring isa-isa ng isa ang isang kasunod na magsasama-sama sa isang arbitrary na punto mula sa pagitan . Ibig sabihin, habang lumalaki ang bilang n, ang mga miyembro ng kasunod ay lalapit at lalapit sa preselected point.

Halimbawa, para sa punto a = 0 maaari mong piliin ang sumusunod na kasunod:
.
= 0 .

Para sa punto a = 1 piliin ang sumusunod na kasunod:
.
Ang mga miyembro ng kasunod na ito ay nagtatagpo sa halaga a = 1 .

Dahil may mga subsequence na nagtatagpo sa iba't ibang mga halaga, ang orihinal na sequence mismo ay hindi nagtatagpo sa anumang numero.

Sequence na naglalaman ng lahat ng rational na numero

Ngayon ay bumuo tayo ng isang sequence na naglalaman ng lahat ng mga rational na numero. Bukod dito, ang bawat rational na numero ay isasama sa naturang sequence ng walang katapusang bilang ng beses.

Ang rational number r ay maaaring katawanin tulad ng sumusunod:
,
kung saan ay isang integer; - natural.
Kailangan nating magtalaga sa bawat natural na numero n isang pares ng mga numerong p at q upang ang anumang pares ng p at q ay maisama sa ating pagkakasunud-sunod.

Upang gawin ito, gumuhit ng mga axes p at q sa eroplano. Gumuhit kami ng mga linya ng grid sa pamamagitan ng mga halaga ng integer p at q. Pagkatapos ang bawat node ng grid na ito ay tumutugma sa isang makatwirang numero. Ang buong hanay ng mga rational na numero ay kakatawanin ng isang hanay ng mga node. Kailangan nating maghanap ng paraan upang mabilang ang lahat ng mga node upang hindi tayo makaligtaan ng isang solong node. Madaling gawin ito kung binibilang natin ang mga node ayon sa mga parisukat na ang mga sentro ay matatagpuan sa punto (0; 0) (tingnan ang larawan). Sa kasong ito, ang mga mas mababang bahagi ng mga parisukat na may q < 1 hindi natin kailangan. Samakatuwid, hindi sila ipinapakita sa figure.

Kaya, para sa itaas na bahagi ng unang parisukat mayroon kami:
.
Susunod, binibilang namin ang itaas na bahagi ng susunod na parisukat:

.
Binibilang namin ang itaas na bahagi ng susunod na parisukat:

.
atbp.

Sa ganitong paraan nakakakuha tayo ng sequence na naglalaman ng lahat ng mga rational na numero. Makikita na ang anumang rational na numero ay lilitaw sa sequence na ito ng walang katapusang bilang ng beses. Sa katunayan, kasama ang node , ang sequence na ito ay magsasama rin ng mga node , kung saan ay isang natural na numero. Ngunit ang lahat ng mga node na ito ay tumutugma sa parehong rational na numero.

Pagkatapos mula sa pagkakasunud-sunod na aming binuo, maaari kaming pumili ng isang kasunod (na may isang walang katapusang bilang ng mga elemento), ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng isang paunang natukoy na rational na numero. Dahil ang pagkakasunud-sunod na aming binuo ay may mga pagkakasunod-sunod na nagtatagpo sa iba't ibang mga numero, ang pagkakasunud-sunod ay hindi nagtatagpo sa anumang numero.

Konklusyon

Dito ay nagbigay kami ng isang tumpak na kahulugan ng numerical sequence. Tinalakay din namin ang isyu ng convergence nito, batay sa mga intuitive na ideya. Ang eksaktong kahulugan ng convergence ay tinalakay sa pahinang Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence. Ang mga kaugnay na katangian at theorems ay nakabalangkas sa Sequence Limit - Basic Theorems and Properties page.

Tingnan din:

Hayaan X (\displaystyle X) ay alinman sa hanay ng mga tunay na numero R (\displaystyle \mathbb (R) ), o ang hanay ng mga kumplikadong numero C (\displaystyle \mathbb (C) ). Tapos yung sequence ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) itakda ang mga elemento X (\displaystyle X) tinawag numerical sequence.

Mga halimbawa

Mga operasyon sa mga pagkakasunud-sunod

Mga Kasunod

Kasunod mga pagkakasunod-sunod (x n) (\displaystyle (x_(n))) ay ang pagkakasunod-sunod (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k))))), saan (n k) (\displaystyle (n_(k))) ay isang pagtaas ng pagkakasunod-sunod ng mga elemento ng set ng mga natural na numero.

Sa madaling salita, ang isang kasunod ay nakuha mula sa isang sequence sa pamamagitan ng pag-alis ng isang may hangganan o mabibilang na bilang ng mga elemento.

Mga halimbawa

• Ang pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero ay isang pagkakasunod-sunod ng pagkakasunud-sunod ng mga natural na numero.
• Ang pagkakasunod-sunod ng mga natural na numero na multiple ng ay isang kasunod ng pagkakasunod-sunod ng kahit na natural na mga numero.

Ari-arian

Sequence limit point ay isang punto sa anumang kapitbahayan kung saan mayroong walang katapusang maraming elemento ng pagkakasunod-sunod na ito. Para sa convergent numerical sequence, ang limit point ay tumutugma sa limitasyon.

Limitasyon ng pagkakasunud-sunod

Limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay ang bagay na nilalapitan ng mga miyembro ng sequence habang dumarami ang bilang. Kaya, sa isang arbitrary na topological space, ang limitasyon ng isang sequence ay isang elemento sa anumang kapitbahayan kung saan ang lahat ng miyembro ng sequence ay namamalagi, simula sa isa. Sa partikular, para sa mga numerical sequence, ang limitasyon ay isang numero sa anumang lugar kung saan ang lahat ng miyembro ng sequence ay nagsisinungaling, simula sa isa.

Mga pangunahing pagkakasunud-sunod

Pangunahing pagkakasunud-sunod (self-convergent sequence , Cauchy sequence ) ay isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng isang sukatan na espasyo , kung saan, para sa anumang paunang natukoy na distansya, mayroong ganoong elemento, ang distansya mula sa kung saan sa alinman sa mga elementong sumusunod dito ay hindi lalampas sa ibinigay na isa. Para sa mga numerical sequence, ang mga konsepto ng fundamental at convergent sequence ay katumbas, ngunit sa pangkalahatang kaso hindi ito ang kaso.

Ang matematika ay ang agham na bumubuo sa mundo. Parehong siyentipiko at karaniwang tao - walang magagawa kung wala ito. Una, ang mga maliliit na bata ay tinuturuan na magbilang, pagkatapos ay idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin, sa gitnang paaralan, ang mga pagtatalaga ng titik ay naglaro, at sa mas matanda ay hindi na sila maaalis.

Ngunit ngayon ay pag-uusapan natin kung ano ang batayan ng lahat ng kilalang matematika. Tungkol sa komunidad ng mga numero na tinatawag na "mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod".

Ano ang mga sequence at saan ang kanilang limitasyon?

Ang kahulugan ng salitang "sequence" ay hindi mahirap bigyang kahulugan. Ito ay tulad ng isang pagtatayo ng mga bagay, kung saan ang isang tao o isang bagay ay matatagpuan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod o pila. Halimbawa, ang pila para sa mga tiket sa zoo ay isang pagkakasunod-sunod. At maaari lamang magkaroon ng isa! Kung, halimbawa, titingnan mo ang pila sa tindahan, ito ay isang sequence. At kung ang isang tao ay biglang umalis sa pila na ito, kung gayon ito ay ibang pila, ibang pagkakasunud-sunod.

Ang salitang "limitasyon" ay madaling bigyang kahulugan - ito ang katapusan ng isang bagay. Gayunpaman, sa matematika, ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang mga halaga sa linya ng numero kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Bakit nagsusumikap at hindi nagtatapos? Ito ay simple, ang linya ng numero ay walang katapusan, at karamihan sa mga sequence, tulad ng mga ray, ay may simula lamang at ganito ang hitsura:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Samakatuwid ang kahulugan ng isang sequence ay isang function ng natural na argumento. Sa mas simpleng salita, ito ay isang serye ng mga miyembro ng ilang set.

Paano nabuo ang isang pagkakasunud-sunod ng numero?

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero ay maaaring ganito: 1, 2, 3, 4, …n...

Sa karamihan ng mga kaso, para sa mga praktikal na layunin, ang mga pagkakasunud-sunod ay binuo mula sa mga numero, at bawat susunod na miyembro ng serye, sabihin natin ito sa pamamagitan ng X, ay may sariling pangalan. Halimbawa:

x 1 - ang unang miyembro ng sequence;

x 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence;

x 3 - ang ikatlong miyembro;

x n ay ang ika-na miyembro.

Sa mga praktikal na pamamaraan, ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay ng isang pangkalahatang formula kung saan mayroong ilang variable. Halimbawa:

X n \u003d 3n, kung gayon ang mga serye ng mga numero mismo ay magiging ganito:

Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa pangkalahatang notasyon ng mga pagkakasunud-sunod, maaari mong gamitin ang anumang mga Latin na titik, at hindi lamang X. Halimbawa: y, z, k, atbp.

Arithmetic progression bilang bahagi ng mga sequence

Bago hanapin ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ipinapayong suriin nang mas malalim ang mismong konsepto ng naturang serye ng numero, na naranasan ng lahat noong sila ay nasa gitnang mga klase. Ang arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing termino ay pare-pareho.

Gawain: "Hayaan ang isang 1 \u003d 15, at ang hakbang ng pag-unlad ng serye ng numero d \u003d 4. Buuin ang unang 4 na miyembro ng row na ito"

Solusyon: a 1 = 15 (ayon sa kundisyon) ang unang miyembro ng progression (serye ng numero).

at 2 = 15+4=19 ang pangalawang miyembro ng progression.

at 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 ang pangatlong termino.

at 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 ang pang-apat na termino.

Gayunpaman, sa pamamaraang ito ay mahirap maabot ang malalaking halaga, halimbawa, hanggang sa isang 125. . Lalo na para sa mga ganitong kaso, ang isang formula na maginhawa para sa pagsasanay ay nakuha: a n \u003d a 1 + d (n-1). Sa kasong ito, isang 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Mga uri ng pagkakasunud-sunod

Karamihan sa mga pagkakasunud-sunod ay walang katapusang, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa buong buhay. Mayroong dalawang kawili-wiling uri ng serye ng numero. Ang una ay ibinigay ng formula a n =(-1) n . Madalas na tinutukoy ng mga mathematician ang mga sequence ng flasher na ito. Bakit? Suriin natin ang mga numero nito.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, atbp. Sa halimbawang ito, nagiging malinaw na ang mga numero sa pagkakasunud-sunod ay madaling maulit.

factorial sequence. Madaling hulaan na mayroong factorial sa formula na tumutukoy sa sequence. Halimbawa: at n = (n+1)!

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay magiging ganito:

at 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

at 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, atbp.

Ang isang sequence na ibinigay ng isang arithmetic progression ay tinatawag na walang katapusan na pagbaba kung ang hindi pagkakapantay-pantay -1 ay naobserbahan para sa lahat ng mga miyembro nito

at 3 \u003d - 1/8, atbp.

Mayroong kahit isang sequence na binubuo ng parehong numero. Kaya, at n \u003d 6 ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga anim.

Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence

Matagal nang umiral ang mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod sa matematika. Siyempre, karapat-dapat sila sa kanilang sariling karampatang disenyo. Kaya, oras na upang matutunan ang kahulugan ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Una, isaalang-alang ang limitasyon para sa isang linear function nang detalyado:

1. Ang lahat ng limitasyon ay dinaglat bilang lim.
2. Ang pagpasok ng limitasyon ay binubuo ng abbreviation lim, ang ilang variable na tumutukoy sa isang tiyak na numero, zero o infinity, pati na rin ang mismong function.

Madaling maunawaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ito ay isang tiyak na numero, kung saan ang lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod ay walang katapusan na lumalapit. Simpleng halimbawa: at x = 4x+1. Pagkatapos ang sequence mismo ay magiging ganito.

5, 9, 13, 17, 21…x...

Kaya, ang sequence na ito ay tataas nang walang katiyakan, na nangangahulugan na ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity bilang x→∞, at dapat itong isulat bilang sumusunod:

Kung kukuha tayo ng katulad na pagkakasunud-sunod, ngunit ang x ay may posibilidad na 1, makakakuha tayo ng:

At ang serye ng mga numero ay magiging ganito: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, atbp. Sa bawat oras na kailangan mong palitan ang numero nang higit pa at mas malapit sa isa (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Makikita mula sa seryeng ito na ang limitasyon ng function ay lima.

Mula sa bahaging ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung ano ang limitasyon ng isang numerical sequence, ang kahulugan at pamamaraan para sa paglutas ng mga simpleng gawain.

Pangkalahatang notasyon para sa limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa limitasyon ng numerical sequence, ang kahulugan nito at mga halimbawa, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong paksa. Ganap na lahat ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay maaaring buuin ng isang formula, na karaniwang sinusuri sa unang semestre.

Kaya, ano ang ibig sabihin ng set ng mga titik, module at hindi pagkakapantay-pantay na ito?

Ang ∀ ay isang unibersal na quantifier, na pinapalitan ang mga pariralang "para sa lahat", "para sa lahat", atbp.

Ang ∃ ay isang existant quantifier, sa kasong ito, nangangahulugan ito na mayroong ilang value N na kabilang sa set ng mga natural na numero.

Ang isang mahabang vertical stick na sumusunod sa N ay nangangahulugan na ang ibinigay na set N ay "ganyan". Sa pagsasagawa, ito ay maaaring mangahulugan ng "ganyan", "ganyan", atbp.

Upang pagsama-samahin ang materyal, basahin nang malakas ang formula.

Kawalang-katiyakan at katiyakan ng limitasyon

Ang paraan ng paghahanap ng limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, na tinalakay sa itaas, bagama't simpleng gamitin, ay hindi masyadong makatwiran sa pagsasanay. Subukang hanapin ang limitasyon para sa function na ito:

Kung papalitan natin ang iba't ibang mga halaga ng x (tumataas sa bawat oras: 10, 100, 1000, atbp.), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ∞ sa numerator, ngunit ∞ din sa denominator. Ito ay lumalabas na isang medyo kakaibang bahagi:

Pero ganun ba talaga? Ang pagkalkula ng limitasyon ng numerical sequence sa kasong ito ay tila madaling sapat. Posibleng iwanan ang lahat ng ito, dahil handa na ang sagot, at natanggap ito sa mga makatwirang termino, ngunit may isa pang paraan partikular para sa mga ganitong kaso.

Una, hanapin natin ang pinakamataas na antas sa numerator ng fraction - ito ay 1, dahil ang x ay maaaring katawanin bilang x 1.

Ngayon hanapin natin ang pinakamataas na antas sa denominator. Gayundin 1.

Hatiin ang numerator at denominator ng variable hanggang sa pinakamataas na antas. Sa kasong ito, hinahati namin ang fraction sa x 1.

Susunod, hanapin natin kung ano ang halaga ng bawat terminong naglalaman ng variable. Sa kasong ito, ang mga fraction ay isinasaalang-alang. Bilang x→∞, ang halaga ng bawat isa sa mga fraction ay may posibilidad na zero. Kapag gumagawa ng isang papel sa pagsulat, ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng mga sumusunod na footnote:

Ang sumusunod na expression ay nakuha:

Siyempre, ang mga fraction na naglalaman ng x ay hindi naging mga zero! Ngunit ang kanilang halaga ay napakaliit na medyo pinahihintulutan na huwag isaalang-alang ito sa mga kalkulasyon. Sa katunayan, ang x ay hindi kailanman magiging katumbas ng 0 sa kasong ito, dahil hindi mo mahahati sa zero.

Ano ang kapitbahayan?

Ipagpalagay natin na ang propesor ay may sa kanyang pagtatapon ng isang kumplikadong pagkakasunod-sunod, na ibinigay, malinaw naman, sa pamamagitan ng isang hindi gaanong kumplikadong formula. Nahanap ng propesor ang sagot, ngunit kasya ba ito? Pagkatapos ng lahat, lahat ng tao ay nagkakamali.

Gumawa si Auguste Cauchy ng isang mahusay na paraan upang patunayan ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod. Ang kanyang pamamaraan ay tinatawag na operasyon ng kapitbahayan.

Ipagpalagay na mayroong ilang punto a, ang kapitbahayan nito sa magkabilang direksyon sa totoong linya ay katumbas ng ε ("epsilon"). Dahil ang huling variable ay distansya, ang halaga nito ay palaging positibo.

Ngayon ay magtakda tayo ng ilang sequence x n at ipagpalagay na ang ikasampung termino ng sequence (x 10) ay kasama sa kapitbahayan ng a. Paano isulat ang katotohanang ito sa wikang matematika?

Ipagpalagay na ang x 10 ay nasa kanan ng point a, pagkatapos ay ang distansya x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Ngayon ay oras na upang ipaliwanag sa pagsasanay ang formula na binanggit sa itaas. Makatarungang tawagan ang ilang numero bilang dulong punto ng isang pagkakasunud-sunod kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ε>0 ay nananatili para sa alinman sa mga limitasyon nito, at ang buong kapitbahayan ay may sariling natural na numerong N, upang ang lahat ng miyembro ng sequence na may mas matataas na numero ay magiging sa loob ng pagkakasunod-sunod |x n - a|< ε.

Sa gayong kaalaman, madaling malutas ang mga limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, upang patunayan o pabulaanan ang isang handa na sagot.

Theorems

Ang mga teorema sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang mahalagang bahagi ng teorya, kung wala ang pagsasanay ay imposible. Mayroon lamang apat na pangunahing theorems, na naaalala kung alin, maaari mong makabuluhang mapadali ang proseso ng paglutas o pagpapatunay:

1. Kakaiba ng limitasyon ng isang sequence. Ang anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring magkaroon lamang ng isang limitasyon o wala. Ang parehong halimbawa sa isang queue na maaari lamang magkaroon ng isang dulo.
2. Kung may limitasyon ang isang serye ng mga numero, limitado ang pagkakasunod-sunod ng mga numerong ito.
3. Ang limitasyon ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng mga sequence ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng kanilang mga limitasyon.
4. Ang quotient na limitasyon ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon kung at kung hindi mawala ang denominator.

Patunay ng Pagkakasunod-sunod

Minsan kinakailangan upang malutas ang isang kabaligtaran na problema, upang patunayan ang isang ibinigay na limitasyon ng isang numerical sequence. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Patunayan na ang limitasyon ng sequence na ibinigay ng formula ay katumbas ng zero.

Ayon sa tuntunin sa itaas, para sa anumang pagkakasunod-sunod ang hindi pagkakapantay-pantay |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Ipahayag natin ang n sa mga tuntunin ng "epsilon" upang ipakita ang pagkakaroon ng isang tiyak na numero at patunayan ang pagkakaroon ng isang limitasyon ng pagkakasunud-sunod.

Sa yugtong ito, mahalagang alalahanin na ang "epsilon" at "en" ay mga positibong numero at hindi katumbas ng zero. Ngayon ay maaari mong ipagpatuloy ang karagdagang pagbabago gamit ang kaalaman tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa mataas na paaralan.

Saan lumalabas na n > -3 + 1/ε. Dahil ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero, ang resulta ay maaaring bilugan sa pamamagitan ng paglalagay nito sa mga square bracket. Kaya, napatunayan na para sa anumang halaga ng "epsilon" na kapitbahayan ng punto a = 0, isang halaga ang natagpuan na ang paunang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. Mula dito maaari nating ligtas na igiit na ang numero a ay ang limitasyon ng ibinigay na pagkakasunud-sunod. Q.E.D.

Sa ganitong maginhawang paraan, maaari mong patunayan ang limitasyon ng isang numerical sequence, gaano man ito kakomplikado sa unang tingin. Ang pangunahing bagay ay hindi mag-panic sa paningin ng gawain.

O baka naman wala siya?

Ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangan sa pagsasanay. Madaling makahanap ng mga ganitong serye ng mga numero na talagang walang katapusan. Halimbawa, ang parehong flasher x n = (-1) n . malinaw na hindi maaaring magkaroon ng limitasyon ang isang sequence na binubuo lamang ng dalawang digit na paulit-ulit na paikot.

Ang parehong kuwento ay paulit-ulit na may mga pagkakasunud-sunod na binubuo ng isang solong numero, fractional, pagkakaroon sa kurso ng mga kalkulasyon ng isang kawalan ng katiyakan ng anumang pagkakasunud-sunod (0/0, ∞/∞, ∞/0, atbp.). Gayunpaman, dapat tandaan na ang maling pagkalkula ay nagaganap din. Minsan ang muling pagsuri sa sarili mong solusyon ay makakatulong sa iyong mahanap ang limitasyon ng mga paghalili.

monotonikong pagkakasunud-sunod

Sa itaas, isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at ngayon subukan nating kumuha ng mas tiyak na kaso at tawagan itong isang "monotone sequence".

Depinisyon: makatarungang tawagan ang anumang pagkakasunud-sunod na monotonically na tumataas kung natutugunan nito ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Kasama ng dalawang kundisyong ito, mayroon ding mga katulad na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, x n ≤ x n +1 (hindi bumababa na pagkakasunud-sunod) at x n ≥ x n +1 (hindi tumataas na pagkakasunud-sunod).

Ngunit mas madaling maunawaan ito sa mga halimbawa.

Ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula x n \u003d 2 + n ay bumubuo ng mga sumusunod na serye ng mga numero: 4, 5, 6, atbp. Ito ay isang monotonically pagtaas ng pagkakasunod-sunod.

At kung kukuha tayo ng x n \u003d 1 / n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye: 1/3, ¼, 1/5, atbp. Ito ay isang monotonically decreasing sequence.

Limitasyon ng convergent at bounded sequence

Ang bounded sequence ay isang sequence na may limitasyon. Ang convergent sequence ay isang serye ng mga numero na may infinitesimal na limitasyon.

Kaya, ang limitasyon ng isang bounded sequence ay anumang tunay o kumplikadong numero. Tandaan na maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon.

Ang limitasyon ng isang convergent sequence ay isang infinitesimal na dami (real o complex). Kung gumuhit ka ng isang diagram ng pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay sa isang tiyak na punto, ito ay, bilang ito ay, magtatagpo, ay may posibilidad na maging isang tiyak na halaga. Kaya ang pangalan - convergent sequence.

Monotonic sequence limit

Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay maaaring may limitasyon o wala. Una, ito ay kapaki-pakinabang upang maunawaan kung kailan ito, mula dito maaari kang magsimula kapag nagpapatunay ng kawalan ng limitasyon.

Sa mga monotonic sequence, ang convergent at divergent ay nakikilala. Convergent - ito ay isang sequence na nabuo ng set x at may tunay o kumplikadong limitasyon sa set na ito. Divergent - isang sequence na walang limitasyon sa set nito (ni real or complex).

Bukod dito, ang pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo kung ang mga upper at lower limit nito ay nagtatagpo sa isang geometric na representasyon.

Ang limitasyon ng convergent sequence sa maraming pagkakataon ay maaaring katumbas ng zero, dahil ang anumang infinitesimal na sequence ay may alam na limitasyon (zero).

Alinmang convergent sequence ang kukunin mo, lahat sila ay may hangganan, ngunit malayo sa lahat ng bounded sequence ay nagtatagpo.

Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto ng dalawang convergent sequence ay isa ring convergent sequence. Gayunpaman, ang quotient ay maaari ding magtagpo kung ito ay tinukoy!

Iba't ibang aksyon na may limitasyon

Ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang parehong makabuluhang (sa karamihan ng mga kaso) na halaga ng mga numero at numero: 1, 2, 15, 24, 362, atbp. Lumalabas na ang ilang mga operasyon ay maaaring isagawa nang may mga limitasyon.

Una, tulad ng mga digit at numero, ang mga limitasyon ng anumang sequence ay maaaring idagdag at ibawas. Batay sa ikatlong teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng kabuuan ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga limitasyon.

Pangalawa, batay sa ikaapat na teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng produkto ng ika-n na bilang ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga limitasyon. Ang parehong ay totoo para sa paghahati: ang limitasyon ng quotient ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng kanilang mga limitasyon, sa kondisyon na ang limitasyon ay hindi katumbas ng zero. Pagkatapos ng lahat, kung ang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, kung gayon ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay lalabas, na imposible.

Mga Property ng Sequence Value

Mukhang nasuri na sa ilang detalye ang limitasyon ng numerical sequence, ngunit ang mga pariralang tulad ng "walang hanggan maliit" at "walang hanggan malaki" na mga numero ay binanggit nang higit sa isang beses. Malinaw, kung mayroong isang sequence 1/x, kung saan ang x→∞, kung gayon ang naturang fraction ay walang hanggan maliit, at kung ang parehong sequence, ngunit ang limitasyon ay may posibilidad na zero (x→0), kung gayon ang fraction ay magiging isang walang katapusang malaking halaga. . At ang mga naturang halaga ay may sariling mga katangian. Ang mga katangian ng limitasyon ng isang sequence na may di-makatwirang maliit o malalaking halaga ay ang mga sumusunod:

1. Ang kabuuan ng anumang bilang ng mga di-makatwirang maliit na dami ay magiging maliit din.
2. Ang kabuuan ng anumang bilang ng malalaking halaga ay magiging isang walang katapusang malaking halaga.
3. Ang produkto ng di-makatwirang maliit na dami ay walang katapusang maliit.
4. Ang produkto ng arbitraryong malalaking numero ay isang walang katapusang malaking dami.
5. Kung ang orihinal na pagkakasunud-sunod ay may posibilidad sa isang walang katapusang numero, kung gayon ang kapalit nito ay magiging infinitesimal at malamang na zero.

Sa katunayan, ang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay hindi isang mahirap na gawain kung alam mo ang isang simpleng algorithm. Ngunit ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang paksa na nangangailangan ng pinakamataas na atensyon at tiyaga. Siyempre, sapat na upang maunawaan lamang ang kakanyahan ng solusyon ng gayong mga ekspresyon. Simula sa maliit, sa paglipas ng panahon, maaabot mo ang malalaking taas.

Numerical sequence ay tinatawag na numerical function na tinukoy sa set ng mga natural na numero .

Kung ang function ay ibinigay sa set ng mga natural na numero
, kung gayon ang hanay ng mga halaga ng function ay mabibilang at bawat numero
tumutugma ang numero
. Sa kasong ito, sinasabi namin na ibinigay numerical sequence. Tinatawag ang mga numero mga elemento o mga miyembro ng isang sequence, at ang numero - pangkalahatan o -ika-miyembro ng sequence. Bawat elemento may tagasunod
. Ipinapaliwanag nito ang paggamit ng terminong "sequence".

Karaniwang tinutukoy ang isang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng paglilista ng mga elemento nito, o sa pamamagitan ng pagpahiwatig ng batas kung saan kinakalkula ang elementong may numero. , ibig sabihin. na nagpapahiwatig ng formula ika miyembro .

Halimbawa.Kasunod
maaaring ibigay ng formula:
.

Karaniwan ang mga pagkakasunud-sunod ay tinutukoy bilang mga sumusunod: atbp, kung saan ang formula nito ika miyembro.

Halimbawa.Kasunod
‑ito ang pagkakasunod-sunod

Ang set ng lahat ng elemento ng isang sequence
ipinapahiwatig
.

Hayaan
at
- dalawang sequence.

Sa ummah mga pagkakasunod-sunod
at
tawag sa sequence
, saan
, ibig sabihin..

R aznosti ng mga sequence na ito ay tinatawag na sequence
, saan
, ibig sabihin..

Kung ang at ‑ constants, pagkatapos ay ang pagkakasunod-sunod
,
tinawag linear na kumbinasyon mga pagkakasunod-sunod
at
, ibig sabihin.

trabaho mga pagkakasunod-sunod
at
tawag sa sequence -ika-miyembro
, ibig sabihin.
.

Kung ang
, pagkatapos ay posibleng matukoy pribado
.

Kabuuan, pagkakaiba, produkto at quotient ng mga sequence
at
tinawag sila algebraicmga komposisyon.

Halimbawa.Isaalang-alang ang mga pagkakasunud-sunod
at
, saan. Pagkatapos
, ibig sabihin. kasunod
ay ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng zero.

,
, ibig sabihin. lahat ng elemento ng produkto at ang quotient ay pantay
.

Kung buburahin natin ang ilang elemento ng sequence
upang mayroong isang walang katapusang bilang ng mga elemento na natitira, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isa pang sequence, na tinatawag kasunod mga pagkakasunod-sunod
. Kung buburahin natin ang mga unang elemento ng sequence
, pagkatapos ay tinawag ang bagong pagkakasunud-sunod natitira.

Kasunod
limitadosa itaas(galing sa ibaba) kung ang set
limitado mula sa itaas (mula sa ibaba). Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag limitado kung ito ay may hangganan sa itaas at ibaba. Ang isang sequence ay bounded kung at kung ang alinman sa mga natitira nito ay bounded.

Mga Pagsasama-sama ng Pagkakasunud-sunod

Sabi nila kasunod
nagtatagpo kung mayroong isang numero tulad na para sa anumang
may ganyan
, na para sa alinman
, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
.

Numero tinawag limitasyon ng pagkakasunud-sunod
. Kasabay nito, nagre-record sila
o
.

Halimbawa.
.

Ipakita natin iyan
. Itakda ang anumang numero
. Hindi pagkakapantay-pantay
ginanap para sa
, ganyan
na ang kahulugan ng convergence ay hawak para sa numero
. Ibig sabihin,
.

Sa ibang salita
nangangahulugan na ang lahat ng miyembro ng sequence
na may sapat na malalaking numero ay kaunti lamang ang pagkakaiba sa bilang , ibig sabihin. simula sa ilang numero
(kapag) ang mga elemento ng sequence ay nasa pagitan
, na tinatawag na -kapitbahayan ng punto .

Kasunod
, na ang limitasyon ay katumbas ng zero (
, o
sa
) ay tinatawag na infinitesimal.

Kung inilapat sa mga infinitesimal, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

Ang kabuuan ng dalawang infinitesimal ay infinitesimal;

Ang produkto ng isang infinitesimal sa pamamagitan ng isang bounded value ay isang infinitesimal.

Teorama .Para sa pagkakasunod-sunod
nagkaroon ng limitasyon, kailangan at sapat na iyon
, saan - pare-pareho; - walang katapusang maliit .

Mga pangunahing katangian ng convergent sequence:

Properties 3. at 4. generalize sa kaso ng anumang bilang ng convergent sequence.

Tandaan na kapag kinakalkula ang limitasyon ng isang fraction na ang numerator at denominator ay mga linear na kumbinasyon ng mga kapangyarihan , ang limitasyon ng fraction ay katumbas ng limitasyon ng ratio ng pinakamataas na termino (ibig sabihin, ang mga terminong naglalaman ng pinakamalaking kapangyarihan numerator at denominator).

Kasunod
tinatawag na:

Ang lahat ng mga naturang pagkakasunud-sunod ay tinatawag monotonous.

Teorama . Kung ang pagkakasunod-sunod
tumataas monotonically at bounded mula sa itaas, pagkatapos ito converges at ang limitasyon nito ay katumbas ng kanyang pinakamalaking itaas na hangganan; kung ang pagkakasunod-sunod ay bumababa at bounded sa ibaba, pagkatapos ito ay nagtatagpo sa kanyang pinakamalaking mas mababang bound.

Kung ang isang function ay tinukoy sa set ng mga natural na numero N, kung gayon ang naturang function ay tinatawag na isang walang katapusan na pagkakasunud-sunod ng numero. Karaniwan, ang isang numerical sequence ay tinutukoy bilang (Xn), kung saan ang n ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero N.

Ang numerical sequence ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang formula. Halimbawa, Xn=1/(2*n). Kaya, itinalaga namin sa bawat natural na numero n ilang tiyak na elemento ng sequence (Xn).

Kung sunod-sunod nating kukunin ang n katumbas ng 1,2,3, …., makukuha natin ang sequence (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Mga uri ng pagkakasunud-sunod

Ang pagkakasunud-sunod ay maaaring limitado o walang limitasyon, tumataas o bumababa.

Ang sequence (Xn) na mga tawag limitado kung mayroong dalawang numerong m at M na para sa alinmang n na kabilang sa set ng mga natural na numero, ang pagkakapantay-pantay na m<=Xn

Pagkakasunud-sunod (Xn), hindi limitado, ay tinatawag na unbounded sequence.

dumarami kung para sa lahat ng positibong integer n ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay mayroong: X(n+1) > Xn. Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng sequence, simula sa pangalawa, ay dapat na mas malaki kaysa sa nakaraang miyembro.

Ang sequence (Xn) ay tinatawag humihina, kung para sa lahat ng positibong integer n ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay mayroong X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Halimbawa ng pagkakasunud-sunod

Suriin natin kung ang mga sequence na 1/n at (n-1)/n ay bumababa.

Kung ang pagkakasunod-sunod ay bumababa, pagkatapos ay X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Kaya ang sequence (n-1)/n ay dumarami.