Ang paksa ng video tutorial na ito ay mga katangian ng paggalaw, pati na rin ang parallel na pagsasalin. Sa simula ng aralin, muli nating ulitin ang konsepto ng paggalaw, ang mga pangunahing uri nito - axial at central symmetry. Pagkatapos nito, isinasaalang-alang namin ang lahat ng mga katangian ng paggalaw. Suriin natin ang konsepto ng "parallel transfer", kung para saan ito ginagamit, pangalanan natin ang mga katangian nito.

Tema: Paggalaw

Aralin: Paggalaw. Mga Katangian ng Paggalaw

Patunayan natin ang teorama: kapag gumagalaw, pumasa ang segment sa segment.

Ipaliwanag natin ang pagbabalangkas ng theorem sa tulong ng Fig. 1. Kung ang mga dulo ng isang partikular na segment MN sa panahon ng paggalaw ay ipinapakita sa ilang mga punto M 1 at N 1, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang anumang punto P ng segment na MN ay kinakailangang mapupunta sa ilang punto P 1 ng segment M 1 N 1, at vice versa, sa bawat punto Q 1 ng segment M 1 N 1 ilang point Q ng segment MN ang ipapakita.

Patunay.

Tulad ng makikita mula sa figure, MN = MP + PN.

Hayaang pumunta ang point P sa ilang punto P 1 "ng eroplano. Ang kahulugan ng paggalaw ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga haba ng mga segment MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na ang M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, iyon ay, ang puntong Р 1 "ay kabilang sa segment M 1 N 1 at tumutugma sa punto P 1, kung hindi man sa halip na pagkakapantay-pantay sa itaas, ang hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok na M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 ay magiging totoo. Ibig sabihin, napatunayan namin na kapag gumagalaw, anumang punto, anumang punto P ng segment MN ay kinakailangang mapupunta sa ilang punto P 1 ng segment M 1 N 1. Ang ikalawang bahagi ng theorem (tungkol sa punto Q 1) ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan .

Ang napatunayang teorama ay wasto para sa anumang mga galaw!

Teorama: kapag gumagalaw, ang anggulo ay napupunta sa isang pantay na anggulo.

Hayaang ibigay ang RAOB (Larawan 2). At hayaan ang ilang paggalaw, kung saan ang vertex РО ay napupunta sa punto О 1 , at ang mga puntos na A at B - ayon sa pagkakabanggit sa mga puntos na А 1 at В 1 .

Isaalang-alang ang mga tatsulok na AOB at A 1 O 1 B 1 . Ayon sa kondisyon ng teorama, ang mga punto A, O at B ay gumagalaw kapag lumilipat sa mga puntong A 1, O 1 at B 1, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, mayroong isang pagkakapantay-pantay ng mga haba AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 at AB \u003d A 1 B 1. Kaya, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 sa tatlong panig. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga katumbas na anggulo O at O ​​1.

Kaya, ang anumang paggalaw ay nagpapanatili ng mga anggulo.

Maraming mga kahihinatnan ang sumusunod mula sa mga pangunahing katangian ng paggalaw, sa partikular, na ang anumang figure sa panahon ng paggalaw ay nakamapa sa isang figure na katumbas nito.

Isaalang-alang ang isa pang uri ng paggalaw - parallel transfer.

Parallel na paglipat papunta sa ilang ibinigay na vector ay tinatawag na tulad ng pagmamapa ng eroplano papunta sa sarili nito, kung saan ang bawat punto M ng eroplano ay papunta sa naturang punto M 1 ng parehong eroplano na (Fig. 3).

Patunayan natin yan Ang parallel translation ay isang kilusan.

Patunay.

Isipin mo arbitrary na segment MN (Larawan 4). Hayaang lumipat ang punto M sa puntong M 1 sa panahon ng parallel na paglipat, at ang puntong N - sa puntong N 1. Sa kasong ito, ang mga kondisyon ng parallel transfer ay natutupad: at . Isaalang-alang ang isang quadrilateral

MM 1 N 1 N. Ang dalawang magkasalungat na panig nito (MM 1 at NN 1) ay magkapantay at magkatulad, ayon sa idinidikta ng magkatulad na mga kondisyon ng pagsasalin. Samakatuwid, ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram ayon sa isa sa mga palatandaan ng huli. Ito ay nagpapahiwatig na ang iba pang dalawang panig (MN at M 1 N 1) ng paralelogram ay mayroon pantay na haba, na dapat patunayan.

Kaya, ang parallel transfer ay talagang isang kilusan.

I-summarize natin. Pamilyar na tayo sa tatlong uri ng paggalaw: axial symmetry, sentral na simetrya at parallel transfer. Napatunayan namin na kapag gumagalaw, ang isang segment ay pumasa sa isang segment, at isang anggulo sa isang pantay na anggulo. Bilang karagdagan, maaari itong ipakita na ang isang tuwid na linya ay dumadaan sa isang tuwid na linya kapag gumagalaw, at ang isang bilog ay pumasa sa isang bilog na may parehong radius.

1. Atanasyan L. S. at iba pa. Geometry grades 7-9. Tutorial para sa institusyong pang-edukasyon. - M.: Edukasyon, 2010.

2. Farkov A. V. Mga pagsusulit sa geometry: Baitang 9. Sa aklat-aralin ng L. S. Atanasyan at iba pa - M .: Pagsusulit, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometry, account. para sa 7-11 na mga cell. pangkalahatan inst. - M.: Enlightenment, 1995.

1. Ruso portal ng edukasyon ().

2. Pagdiriwang pedagogical na ideya « Pampublikong aralin» ().

1. Atanasyan (tingnan ang mga sanggunian), p. 293, § 1, aytem 114.

Ang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa.

Sa ilang mga kaso, upang matukoy ang likas na katangian ng paggalaw ng isang sistema (lalo na ang isang matibay na katawan), sapat na upang malaman ang batas ng paggalaw ng sentro ng masa nito. Halimbawa, kung ihahagis mo ang isang bato sa isang target, hindi mo na kailangang malaman kung paano ito bumagsak sa panahon ng paglipad, mahalagang malaman kung ito ay tatama sa target o hindi. Upang gawin ito, sapat na upang isaalang-alang ang paggalaw ng ilang punto ng katawan na ito.

Upang mahanap ang batas na ito, bumaling tayo sa mga equation ng paggalaw ng system at idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng mga termino sa pamamagitan ng termino. Pagkatapos makuha namin:

Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay. Mula sa formula para sa radius vector ng sentro ng masa, mayroon tayong:

Ang pagkuha mula sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa pangalawang beses na derivative at napansin na ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives, makikita natin:

saan ang acceleration ng center of mass ng system. Dahil, sa pamamagitan ng pag-aari ng panloob pwersa ng sistema, pagkatapos, pinapalitan ang lahat ng mga nahanap na halaga, sa wakas ay makukuha natin:

Ang equation at nagpapahayag ng theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system: ang produkto ng mass ng system at ang acceleration ng center of mass nito ay geometric na kabuuan lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema. Ang paghahambing sa equation ng paggalaw ng isang materyal na punto, nakakakuha tayo ng isa pang pagpapahayag ng theorem: ang sentro ng masa ng sistema ay gumagalaw bilang isang materyal na punto, ang masa nito ay katumbas ng masa ng buong sistema at kung saan ang lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay inilalapat.

Pag-proyekto sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa mga coordinate axes, nakukuha natin ang:

Ang mga equation na ito ay differential equation ng paggalaw ng sentro ng masa sa mga projection sa mga axes ng Cartesian coordinate system.

Ang kahulugan ng napatunayang teorama ay ang mga sumusunod.

1) Ang theorem ay nagbibigay ng katwiran para sa mga pamamaraan ng point dynamics. Ito ay makikita mula sa mga equation na ang mga solusyon na nakukuha natin, isinasaalang-alang ang ibinigay na katawan bilang isang materyal na punto, tinutukoy ang batas ng paggalaw ng sentro ng masa ng katawan na ito, mga. ay may napaka tiyak na kahulugan.

Sa partikular, kung ang katawan ay sumulong, kung gayon ang paggalaw nito ay ganap na tinutukoy ng paggalaw ng sentro ng masa. Kaya, ang isang progresibong gumagalaw na katawan ay maaaring palaging ituring bilang isang materyal na punto na may masa, katumbas ng masa katawan. Sa ibang mga kaso, ang katawan ay maaaring ituring na isang materyal na punto lamang kapag, sa pagsasanay, upang matukoy ang posisyon ng katawan, ito ay sapat na upang malaman ang posisyon ng sentro ng masa nito.

2) Ang teorama ay nagpapahintulot, kapag tinutukoy ang batas ng paggalaw ng sentro ng masa ng anumang sistema, na ibukod mula sa pagsasaalang-alang ang lahat ng dati nang hindi kilalang panloob na pwersa. Ito ang praktikal na halaga nito.

Kaya ang paggalaw ng kotse sa isang pahalang na eroplano ay maaaring mangyari lamang sa ilalim ng pagkilos ng panlabas na pwersa, mga puwersa ng friction na kumikilos sa mga gulong mula sa gilid ng kalsada. At ang pagpepreno ng kotse ay posible lamang sa pamamagitan ng mga puwersang ito, at hindi sa pamamagitan ng alitan sa pagitan ng mga brake pad at ng brake drum. Kung makinis ang kalsada, kahit anong preno ng mga gulong, duusdusan ito at hindi titigil sa sasakyan.

O pagkatapos ng pagsabog ng isang lumilipad na projectile (sa ilalim ng pagkilos ng panloob na pwersa) mga bahagi, mga fragment nito, ay magkakalat upang ang kanilang sentro ng masa ay gumagalaw sa parehong tilapon.

Ang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema ay dapat gamitin upang malutas ang mga problema sa mekanika na nangangailangan ng:

Ayon sa mga puwersa na inilapat sa isang mekanikal na sistema (madalas sa isang solidong katawan), matukoy ang batas ng paggalaw ng sentro ng masa;

Sa pamamagitan ng ibinigay na batas paggalaw ng mga katawan na kasama sa mekanikal na sistema, hanapin ang mga reaksyon ng mga panlabas na bono;

Ayon sa ibinigay na magkaparehong paggalaw ng mga katawan na kasama sa mekanikal na sistema, tukuyin ang batas ng paggalaw ng mga katawan na ito na may kaugnayan sa ilang nakapirming frame ng sanggunian.

Gamit ang theorem na ito, ang isa sa mga equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema na may ilang antas ng kalayaan ay maaaring i-compile.

Kapag nilulutas ang mga problema, kadalasang ginagamit ang mga kahihinatnan ng theorem sa paggalaw ng sentro ng masa mekanikal na sistema.

Bunga 1. Kung pangunahing vector mga panlabas na puwersa na inilapat sa isang mekanikal na sistema, sero, kung gayon ang sentro ng masa ng sistema ay nakapahinga o gumagalaw nang pantay at patuwid. Dahil ang acceleration ng sentro ng masa ay zero, .

Corollary 2. Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa sa anumang axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang sentro ng masa ng system ay alinman ay hindi nagbabago sa posisyon nito na may kaugnayan sa axis na ito, o gumagalaw nang pantay na nauugnay dito.

Halimbawa, kung ang dalawang pwersa ay nagsimulang kumilos sa katawan, na bumubuo ng isang pares ng mga puwersa (Larawan 38), kung gayon ang sentro ng masa Sa lilipat ito sa parehong trajectory. At ang katawan mismo ay iikot sa paligid ng sentro ng masa. At hindi mahalaga kung saan inilalapat ang ilang puwersa.

Sa pamamagitan ng paraan, sa statics napatunayan namin na ang epekto ng isang pares sa isang katawan ay hindi nakasalalay sa kung saan ito inilapat. Dito ipinakita namin na ang pag-ikot ng katawan ay nasa paligid ng gitnang axis Sa.

Fig.38

Theorem sa pagbabago ng kinetic moment.

Kinetic moment ng isang mekanikal na sistema na may kaugnayan sa isang nakapirming sentro O ay isang sukatan ng paggalaw ng sistema sa paligid ng sentrong ito. Kapag nilulutas ang mga problema, kadalasan ay hindi ang vector mismo ang ginagamit, ngunit ang mga projection nito sa mga axes ng isang fixed coordinate system, na tinatawag na kinetic moments tungkol sa axis. Halimbawa, - ang kinetic moment ng system na may kaugnayan sa fixed axis Oz .

Ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay ang kabuuan ng momentum mga punto at katawan na kasama sa sistemang ito. Isaalang-alang ang mga paraan upang matukoy ang angular momentum materyal na punto at matibay na katawan iba't ibang okasyon kanilang mga galaw.

Para sa isang materyal na punto na may mass na may bilis, ang angular na momentum tungkol sa ilang axis Oz ay tinukoy bilang ang sandali ng momentum vector ng puntong ito tungkol sa napiling axis:

Ang angular na momentum ng isang punto ay itinuturing na positibo kung, mula sa gilid ng positibong direksyon ng axis, ang paggalaw ng punto ay nangyayari nang counterclockwise.

Kung ang isang punto ay gumawa ng isang kumplikadong paggalaw, upang matukoy ang angular na momentum nito, ang momentum vector ay dapat isaalang-alang bilang ang kabuuan ng mga dami ng mga kamag-anak at portable na paggalaw (Fig. 41)

Ngunit , nasaan ang distansya mula sa punto hanggang sa axis ng pag-ikot, at

kanin. 41

Ang pangalawang bahagi ng angular momentum vector ay maaaring tukuyin sa parehong paraan tulad ng sandali ng puwersa tungkol sa axis. Tulad ng para sa sandali ng puwersa, ang halaga ay zero kung ang kamag-anak na bilis ng vector ay namamalagi sa parehong eroplano bilang ang translational rotation axis.

Ang kinetic moment ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa isang nakapirming sentro ay maaaring tukuyin bilang ang kabuuan ng dalawang bahagi: ang una sa mga ito ay nagpapakilala sa pagsasalin na bahagi ng paggalaw ng katawan kasama ang sentro ng masa nito, ang pangalawa ay nagpapakilala sa paggalaw ng sistema sa paligid ng sentro ng masa:

Kung ang katawan ay nagsasagawa ng translational motion, kung gayon ang pangalawang bahagi ay katumbas ng zero

Ang kinetic moment ng isang matibay na katawan ay pinakasimpleng kinakalkula kapag ito ay umiikot sa isang nakapirming axis

kung saan ang sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan tungkol sa axis ng pag-ikot.

Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang mekanikal na sistema kapag ito ay gumagalaw sa paligid ng isang nakapirming sentro ay nabuo tulad ng sumusunod: ang kabuuang oras na derivative ng angular momentum vector ng isang mekanikal na sistema na may kinalaman sa ilang nakapirming sentro O sa magnitude at direksyon ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa mekanikal na sistema, na tinukoy na may kaugnayan sa parehong sentro

saan - pangunahing punto lahat ng panlabas na pwersa tungkol sa sentro O.

Kapag nilulutas ang mga problema kung saan ang mga katawan ay itinuturing na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis, ginagamit nila ang theorem sa pagbabago sa angular momentum na nauugnay sa isang nakapirming axis

Tulad ng para sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa, ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ay may mga kahihinatnan.

Corollary 1. Kung ang pangunahing sandali ng lahat ng panlabas na pwersa na nauugnay sa ilang nakapirming sentro ay katumbas ng zero, kung gayon ang kinetic moment ng mekanikal na sistema na nauugnay sa sentro na ito ay nananatiling hindi nagbabago.

Corollary 2. Kung ang pangunahing sandali ng lahat ng panlabas na pwersa tungkol sa ilang nakapirming axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang kinetic moment ng mekanikal na sistema tungkol sa axis na ito ay nananatiling hindi nagbabago.

Ang momentum change theorem ay ginagamit upang malutas ang mga problema kung saan ang paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay isinasaalang-alang, na binubuo ng isang sentral na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis, at isa o higit pang mga katawan, ang paggalaw nito ay nauugnay sa gitnang isa. na isinasagawa gamit ang mga thread, ang mga katawan ay maaaring gumalaw sa ibabaw ng gitnang katawan o sa mga channel nito dahil sa mga panloob na puwersa. Gamit ang teorama na ito, matutukoy ng isa ang pag-asa ng batas ng pag-ikot ng gitnang katawan sa posisyon o paggalaw ng mga natitirang katawan.

Mga galaw ng eroplano at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa ng paggalaw. Pag-uuri ng mga paggalaw. Pangkat ng paggalaw. Paglalapat ng paggalaw sa paglutas ng problema

galaw- ito ay isang pagbabagong-anyo ng mga numero, kung saan ang mga distansya sa pagitan ng mga punto ay napanatili. Kung ang dalawang figure ay eksaktong pinagsama sa bawat isa sa pamamagitan ng paggalaw, ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

galaw ay isang bijective transformation φ ng plane π, kung saan para sa anumang magkakaibang mga punto X, Y є π ang relasyon XY  φ(X)φ(Y) ay nasiyahan.

Mga katangian ng paggalaw:

1. Komposisyon φ ◦ ψ dalawang galaw ψ , φ ay isang kilusan.

Doc-in: Hayaan ang pigura F isinalin sa pamamagitan ng paggalaw ψ sa isang pigura F ', at ang pigura F ' ay isinalin sa pamamagitan ng paggalaw φ sa isang pigura F ''. Hayaan ang punto X mga figure F napupunta sa punto X ' mga hugis F ' , at sa panahon ng ikalawang kilusan, ang punto X ' mga hugis F ' papunta sa punto X '' mga hugis F ''. Pagkatapos ay ang pagbabagong-anyo ng pigura F sa isang pigura F '', kung saan ang isang arbitrary na punto X mga figure F napupunta sa punto X '' mga hugis F '', pinapanatili ang distansya sa pagitan ng mga punto, at samakatuwid ay isa ring paggalaw.

Ang pagre-record ng kanta ay palaging nagsisimula sa huling paggalaw, dahil ang resulta ng komposisyon ay ang pangwakas na imahe - ito ay inilalagay sa linya kasama ang orihinal: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Kung φ – paggalaw, pagkatapos ay pagbabagong-anyo φ -1 ay isang kilusan din.

Doc-in: Hayaan ang pagbabago ng hugis F sa isang pigura F ' isinasalin iba't ibang puntos mga figure F sa iba't ibang mga punto sa figure F '. Hayaan ang isang arbitrary point X mga figure F sa ilalim ng pagbabagong ito ay napupunta sa isang punto X ' mga hugis F ’.

Pagbabago ng hugis F ' sa isang pigura F , kung saan ang punto X ' papunta sa punto X , ay tinatawag na inverse transformation ng ibinigay . Para sa bawat galaw φ posibleng tukuyin ang baligtad na kilusan, na tinutukoy φ -1 .

Kaya, ang pagbabagong-anyo baligtad na galaw, ay isang kilusan din.

Ito ay malinaw na ang pagbabagong-anyo φ -1 natutugunan ang mga pagkakapantay-pantay: f◦f-1 = f-1◦f = ε , saan ε ay ang magkaparehong display.

3. Pagkakaugnay ng mga komposisyon: Let φ 1 , φ 2 , φ 3 – boluntaryong paggalaw. Pagkatapos φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Ang katotohanan na ang komposisyon ng mga paggalaw ay may pag-aari ng associativity ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang antas φ kasama natural na tagapagpahiwatig n .

Ilagay natin φ 1= φ at φ n +1= φ n◦ φ , kung n≥ 1 . Kaya ang kilusan φ n nakuha ng n -marami pare-parehong aplikasyon mga galaw φ .

4. Pagpapanatili ng tuwid: Ang mga puntong nakahiga sa isang tuwid na linya, kapag gumagalaw, pumasa sa mga puntong nakahiga sa isang tuwid na linya, at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang kamag-anak na posisyon ay napanatili.

Nangangahulugan ito na kung ang mga puntos A ,B ,C nakahiga sa isang tuwid na linya (ang mga naturang punto ay tinatawag na collinear), pumunta sa mga punto A 1 ,B1 ,C1 , pagkatapos ang mga puntong ito ay namamalagi din sa linya; kung punto B namamalagi sa pagitan ng mga punto A at C , pagkatapos ay ang punto B1 namamalagi sa pagitan ng mga punto A 1 at C1 .

Dok. Hayaan ang punto B tuwid AC namamalagi sa pagitan ng mga punto A at C . Patunayan natin na ang mga puntos A 1 ,B1 ,C1 kasinungalingan sa parehong linya.

Kung ang mga puntos A 1 ,B1 ,C1 huwag magsinungaling sa isang tuwid na linya, kung gayon ang mga ito ay ang mga vertice ng ilang tatsulok A 1 B 1 C 1 . Kaya A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Sa pamamagitan ng kahulugan ng paggalaw, sinusundan nito iyon AC <AB +BC .

Gayunpaman, sa pamamagitan ng pag-aari ng pagsukat ng mga segment AC =AB +BC .

Dumating tayo sa isang kontradiksyon. Kaya ang punto B1 namamalagi sa pagitan ng mga punto A 1 at C1 .

Sabihin natin ang punto A 1 namamalagi sa pagitan ng mga punto B1 , at C1 . Pagkatapos A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , at samakatuwid AB +AC =BC . Ngunit ito ay salungat sa pagkakapantay-pantay. AB +BC =AC .

Kaya, punto A 1 ay hindi namamalagi sa pagitan ng mga punto B1 , at C1 .

Ito ay maaaring patunayan katulad na ang punto C1 hindi maaaring magsinungaling sa pagitan ng mga punto A 1 at B1 . kasi mula sa tatlong puntos A 1 ,B1 ,C1 ang isa ay nasa pagitan ng dalawang iba, kung gayon ang puntong ito ay maaari lamang B1 . Ang teorama ay ganap na napatunayan.

Bunga. Kapag gumagalaw, ang isang tuwid na linya ay nakamapa sa isang tuwid na linya, isang ray sa isang ray, isang segment sa isang segment, at isang tatsulok sa isang pantay na tatsulok.

Kung ipahiwatig namin sa pamamagitan ng X ang hanay ng mga punto ng eroplano, at sa pamamagitan ng φ(X) ang imahe ng set X sa ilalim ng paggalaw ng φ, i.e. ang hanay ng lahat ng mga punto ng anyong φ(x), kung saan ang x є X, kung gayon maaari tayong magbigay ng mas tamang pagbabalangkas ng ari-arian na ito:

Hayaang ang φ ay isang paggalaw, A, B, C tatlong magkakaibang mga collinear na puntos.

Pagkatapos ang mga puntos na φ(A), φ(B), φ(C) ay collinear din.

Kung ang l ay isang linya, kung gayon ang φ(l) ay isang linya din.

Kung ang set X ay isang ray (segment, half-plane), kung gayon ang set φ(X) ay isa ring ray (segment, half-plane).

5. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo sa pagitan ng mga beam ay napanatili.

Dok. Hayaan AB at AC - dalawang sinag na nagmumula sa isang punto A hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Kapag gumagalaw, ang mga sinag na ito ay nagiging ilang kalahating linya (mga sinag) A 1 B 1 at A 1 C 1 . kasi pinapanatili ng paggalaw ang mga distansya, pagkatapos ay mga tatsulok ABC at A 1 B 1 C 1 ay pantay ayon sa ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay pantay-pantay). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo BAC at B 1 A 1 C 1 , na dapat patunayan.

6. Ang anumang kilusan ay nagpapanatili ng co-direction ng mga sinag at ang parehong oryentasyon ng mga watawat.

Sinag l A at l B tinawag co-directional(katulad na nakatuon, pagtatalaga: l A l B ) kung ang isa sa mga ito ay nakapaloob sa isa pa, o kung ang mga ito ay pinagsama sa pamamagitan ng isang parallel na paglipat. BandilaF = (π l , l o) ay ang unyon ng kalahating eroplano πl at sinag lo.

Dot O - ang simula ng watawat, sinag lo simula sa punto O - poste ng bandila πl - kalahating eroplano na may hangganan l .

Dok. Hayaan φ - boluntaryong kilusan l A l B -codirectional ray na may pinagmulan sa mga punto PERO at AT ayon sa pagkakabanggit. Ipakilala natin ang notasyon: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (PERO ), l B1= φ (l B ),SA 1 = φ (PERO ).Kung ang mga sinag l A at l B nakahiga sa parehong tuwid na linya, kung gayon, sa bisa ng codirectivity, ang isa sa mga ito ay nakapaloob sa isa pa. Isinasaalang-alang na l A  l B , nakukuha namin φ (l A )  φ (l B ), ibig sabihin. l A1 l B1 (ang simbolo  ay nagsasaad ng pagsasama o pagkakapantay-pantay ng isang subset ng mga elemento sa isang set ng mga elemento). Kung, gayunpaman, l A, l B magsinungaling sa iba't ibang linya, pagkatapos ay hayaan n = (AB ). Pagkatapos ay mayroong ganoong kalahating eroplano n , Ano l A, l B  n . Mula rito φ (l A ),φ (l B ) φ (n ). Sa abot ng φ (n ) ay isang kalahating eroplano, at ang hangganan nito ay naglalaman ng mga puntos A 1 at SA 1 , muli nating nakuha iyon l A, l B co-directed.

Ilapat natin ang kilusan φ sa mga watawat na magkakaparehong nakatuon F= (π l ,l A ), G= (πm ,m B ). Isaalang-alang ang kaso kapag ang mga puntos A at B tugma. Kung diretso l at m ay magkaiba, kung gayon ang parehong oryentasyon ng mga flag ay nangangahulugan na alinman sa (1) l A πm , m A  π'l , o (2) l A π' m ,m A  πl . Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay na ang kondisyon (1) ay nasiyahan. Pagkatapos φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). Ito ay nagpapahiwatig ng parehong oryentasyon ng mga flag φ (F ) at φ (G ).Kung ang direktang l ,m magkatugma, pagkatapos ay alinman F=G o F = G'. Kasunod nito ang mga watawat φ (F ) at φ (G ) ay pantay na nakatuon.

Hayaan ngayon ang mga tuldok A at B magkaiba. Tukuyin ng n tuwid na linya ( AB ). Malinaw na may mga codirectional ray n A at nB at kalahating eroplano n tulad na ang watawat F 1 = (πn, n A ) ay kasama sa direksyon ni F , at ang watawat G 1 = (π n , n B , ) ay kasama sa direksyon ni G. ibig sabihin φ (F ) at φ (G ) ay pantay na nakatuon. Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawa ng paggalaw:

1) parallel translation - tulad ng isang pagbabagong-anyo ng isang figure kung saan ang lahat ng mga punto ng figure ay gumagalaw sa parehong direksyon sa parehong distansya.

2) symmetry na may paggalang sa isang tuwid na linya (axial o mirror symmetry). pagbabago σ mga figure F sa isang pigura F', kung saan ang bawat punto nito X napupunta sa punto X', na simetriko na may paggalang sa ibinigay na linya l, ay tinatawag na simetrya pagbabagong-anyo na may paggalang sa linya l. Kasabay nito, ang mga numero F at F' tinatawag na simetriko na may paggalang sa linya l.

3) iikot ang punto. Sa pamamagitan ng pag-ikot ng eroplano ρ sa paligid ng puntong ito O ay tinatawag na isang paggalaw kung saan ang bawat sinag na nagmumula sa puntong ito ay umiikot sa parehong anggulo α sa parehong direksyon

"Pagsisiyasat sa mga galaw ng eroplano at ilan sa kanilang mga ari-arian". pahina 21 ng 21

Pagsisiyasat ng mga galaw ng eroplano

at ilan sa kanilang mga ari-arian

Nilalaman

Mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng teorya ng mga galaw.

Kahulugan at katangian ng mga galaw.

Pagkakatugma ng mga numero.

Mga uri ng paggalaw.

4.1. Parallel na paglipat.

4.2. Lumiko.

4.3. Symmetry tungkol sa isang tuwid na linya.

4.4. Sliding symmetry.

5. Pag-aaral ng mga espesyal na katangian ng axial symmetry.

6. Pagsisiyasat sa posibilidad ng pagkakaroon ng iba pang mga uri ng paggalaw.

7. Mobility theorem. Dalawang uri ng paggalaw.

8. Pag-uuri ng mga paggalaw. Ang teorama ni Chall.

Mga paggalaw bilang isang pangkat ng mga pagbabagong geometriko.

Paglalapat ng mga galaw sa paglutas ng problema.

Panitikan.

Kasaysayan ng pag-unlad ng teorya ng mga galaw.

Ang unang nagsimulang patunayan ang ilang mga geometriko na proposisyon ay itinuturing na sinaunang Griyego na matematiko Thales ng Miletus(625-547 BC). Ito ay salamat kay Thales na ang geometry ay nagsimulang maging isang tunay na agham mula sa isang hanay ng mga praktikal na tuntunin. Bago si Thales, wala talagang ebidensya!

Paano ginawa ni Thales ang kanyang mga patunay? Para sa layuning ito, gumamit siya ng mga paggalaw.

galaw - ito ay isang pagbabagong-anyo ng mga numero, kung saan ang mga distansya sa pagitan ng mga punto ay napanatili. Kung ang dalawang figure ay eksaktong pinagsama sa bawat isa sa pamamagitan ng paggalaw, ang mga figure na ito ay pareho, pantay.

Sa ganitong paraan napatunayan ni Thales ang isang bilang ng mga unang theorems ng geometry. Kung ang eroplano ay pinaikot bilang isang matibay na kabuuan sa paligid ng ilang mga punto O 180 o, sinag OA mapupunta sa pagpapatuloy nito OA ’ . Sa ganyan lumingon (tinatawag din sentral na simetrya nakasentro O ) bawat punto PERO gumagalaw sa isang punto PERO ’ , Ano O ay ang midpoint ng segment AA ’ (Larawan 1).

Fig.1 Fig.2

Hayaan O - karaniwang vertex ng mga patayong sulok AOB at PERO ’ OV ’ . Ngunit pagkatapos ay malinaw na kapag lumiko sa 180 °, ang mga gilid ng isa sa dalawang patayong anggulo ay dadaan lamang sa mga gilid ng isa, i.e. ang dalawang sulok na ito ay nakahanay. Nangangahulugan ito na ang mga patayong anggulo ay pantay (Larawan 2).

Pinatutunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle, ginamit ni Thales axial symmetry : pinagsama niya ang dalawang halves ng isang isosceles triangle sa pamamagitan ng pagyuko ng drawing kasama ang bisector ng anggulo sa tuktok (Fig. 3). Sa parehong paraan, pinatunayan ni Thales na ang diameter ay humahati sa bilog.

Fig.3 Fig.4

Inilapat si Thales at isa pang paggalaw - parallel transfer , kung saan ang lahat ng mga punto ng figure ay inilipat sa isang tiyak na direksyon sa parehong distansya. Sa kanyang tulong, napatunayan niya ang teorama na ngayon ay nagtataglay ng kanyang pangalan:

kung ang pantay na mga segment ay itinatabi sa isang gilid ng anggulo at ang magkatulad na mga linya ay iguguhit sa mga dulo ng mga segment na ito hanggang sa mag-intersect ang mga ito sa pangalawang bahagi ng anggulo, kung gayon ang pantay na mga segment ay makukuha rin sa kabilang panig ng anggulo.(Larawan 4).

Noong sinaunang panahon, ang ideya ng paggalaw ay ginamit din ng mga sikat Euclid, ang may-akda ng "Mga Simula" - isang aklat na nakaligtas nang higit sa dalawang milenyo. Si Euclid ay isang kontemporaryo ni Ptolemy I, na namuno sa Egypt, Syria at Macedonia mula 305-283 BC.

Ang mga paggalaw ay tahasang naroroon, halimbawa, sa pangangatwiran ni Euclid nang pinatutunayan ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok: "Magpataw tayo ng isang tatsulok sa isa pa sa ganoon at ganoong paraan." Ayon kay Euclid, ang dalawang figure ay tinatawag na pantay kung maaari silang "pagsamahin" ng lahat ng kanilang mga punto, i.e. sa pamamagitan ng paglipat ng isang pigura bilang isang solidong kabuuan, maaari itong tumpak na ipapatong sa pangalawang pigura. Para kay Euclid, ang paggalaw ay hindi pa isang konseptong matematikal. Ang sistema ng mga axiom na unang itinakda niya sa "Mga Prinsipyo" ay naging batayan ng isang teoryang geometriko na tinatawag na Euclidean geometry.

Sa modernong panahon, nagpapatuloy ang pag-unlad ng mga disiplinang matematika. Ang analytical geometry ay nilikha noong ika-11 siglo. Propesor ng Matematika sa Unibersidad ng Bologna Bonaventure Cavalieri(1598-1647) naglathala ng sanaysay na "Geometry, na nakasaad sa bagong paraan sa tulong ng hindi mahahati na tuloy-tuloy." Ayon kay Cavalieri, ang anumang flat figure ay maaaring ituring bilang isang hanay ng mga parallel na linya o "mga bakas" na iniiwan ng isang linya kapag gumagalaw parallel sa sarili nito. Katulad nito, ang isang ideya ay ibinigay tungkol sa mga katawan: sila ay nabuo sa panahon ng paggalaw ng mga eroplano.

Ang karagdagang pag-unlad ng teorya ng paggalaw ay nauugnay sa pangalan ng Pranses na matematiko at mananalaysay ng agham Michel Chall(1793-1880). Noong 1837, inilathala niya ang akdang "Historical review of the origin and development of geometric method." Sa proseso ng kanyang sariling geometric na pananaliksik, pinatunayan ni Schall ang pinakamahalagang teorama:

ang bawat orientation-nagpepreserba ng paggalaw ng isang eroplano ay alinman

parallel na pagsasalin o pag-ikot,

anumang orientation-changing motion ng isang eroplano ay alinman sa axial

symmetry o sliding symmetry.

Ang patunay ng teorama ni Chall ay ganap na isinasagawa sa aytem 8 ng abstract na ito.

Ang isang mahalagang pagpapayaman na inutang ng geometry noong ika-19 na siglo ay ang paglikha ng teorya ng mga pagbabagong geometriko, sa partikular, ang matematikal na teorya ng mga galaw (displacements). Sa oras na ito, nagkaroon ng pangangailangan na magbigay ng isang pag-uuri ng lahat ng umiiral na mga geometric na sistema. Ang problemang ito ay nalutas ng isang German mathematician Christian Felix Klein(1849-1925).

Noong 1872, sa pag-aakalang propesor sa Unibersidad ng Erlangen, nagbigay si Klein ng panayam sa "Isang Paghahambing na Pagsusuri ng Mga Pinakabagong Geometric na Pananaliksik". Tinawag ang ideyang iniharap sa kanya ng muling pag-iisip ng lahat ng geometry batay sa teorya ng mga galaw "Programa ng Erlangen".

Ayon kay Klein, upang makabuo ng isang partikular na geometry, kailangan mong tukuyin ang isang hanay ng mga elemento at isang pangkat ng mga pagbabago. Ang gawain ng geometry ay pag-aralan ang mga ugnayang iyon sa pagitan ng mga elemento na nananatiling invariant sa ilalim ng lahat ng pagbabago ng isang partikular na grupo. Halimbawa, pinag-aaralan ng geometry ni Euclid ang mga katangian ng mga figure na nananatiling hindi nagbabago sa panahon ng paggalaw. Sa madaling salita, kung ang isang figure ay nakuha mula sa isa pa sa pamamagitan ng paggalaw (ang mga figure ay tinatawag na congruent), kung gayon ang mga figure na ito ay may parehong geometric na katangian.

Sa ganitong kahulugan, ang mga galaw ay bumubuo sa batayan ng geometry, at ang lima axioms ng congruence ay pinili ng isang independiyenteng grupo sa sistema ng mga axiom ng modernong geometry. Ang kumpleto at medyo mahigpit na sistema ng mga axiom, na nagbubuod sa lahat ng nakaraang pag-aaral, ay iminungkahi ng German mathematician. David Gilbert(1862-1943). Ang kanyang sistema ng dalawampung axiom, na nahahati sa limang grupo, ay unang inilathala noong 1899 sa aklat "Mga Batayan ng Geometry".

Noong 1909 isang German mathematician Friedrich Schur(1856-1932), kasunod ng mga ideya nina Thales at Klein, ay bumuo ng isa pang sistema ng axioms ng geometry - batay sa pagsasaalang-alang ng mga paggalaw. Sa kanyang sistema, lalo na, sa halip na ang Hilbert group of axioms of congruence, isang grupo ng tatlo. axioms ng paggalaw.

Ang mga uri at ilang mahahalagang katangian ng mga paggalaw ay tinalakay nang detalyado sa sanaysay na ito, ngunit maaari silang maipahayag nang maikli tulad ng sumusunod: ang mga galaw ay bumubuo ng isang pangkat na tumutukoy at tumutukoy sa Euclidean geometry.

Kahulugan at katangian ng mga galaw.

Sa pamamagitan ng paglilipat ng bawat punto ng figure na ito sa ilang paraan, isang bagong figure ang nakuha. Sinasabi na ang figure na ito ay nakuha pagbabago mula sa isang ito. Ang pagbabagong-anyo ng isang pigura patungo sa isa pa ay tinatawag na paggalaw kung pinapanatili nito ang mga distansya sa pagitan ng mga punto, i.e. nagsasalin ng alinmang dalawang punto X at Y isang hugis bawat tuldok X ’ at Y ’ ibang figure kaya na XY = X ’Y ’.

Kahulugan. Pagbabago ng hugis na nagpapanatili ng distansya

sa pagitan ng mga punto ay tinatawag na paggalaw ng figure na ito.

! Komento: ang konsepto ng paggalaw sa geometry ay konektado sa karaniwang ideya ng displacement. Ngunit kung, sa pagsasalita tungkol sa pag-aalis, naiisip natin ang isang tuluy-tuloy na proseso, kung gayon sa geometry lamang ang paunang at panghuling (imahe) na posisyon ng pigura ay mahalaga sa atin. Ang geometric na diskarte na ito ay naiiba sa pisikal.

Kapag gumagalaw, ang iba't ibang mga punto ay tumutugma sa iba't ibang mga imahe, at bawat punto X ang isang pigura ay inilalagay sa pagsusulatan sa tanging tuldok X ’ isa pang pigura. Ang ganitong uri ng pagbabago ay tinatawag isa-sa-isa o bijective.

Tungkol sa mga paggalaw, sa halip na ang terminong "pagkakapantay-pantay" ng mga numero (mga tuwid na linya, mga segment, eroplano, atbp.), ang termino ay ginagamit "congruence" at ginamit ang simbolo  . Ang simbolo na є ay ginagamit upang tukuyin ang pagmamay-ari. Sa pag-iisip na ito, maaari tayong magbigay ng mas tamang kahulugan ng paggalaw:

Ang paggalaw ay isang bijective transformation φ ng eroplano π, kung saan para sa alinman

iba't ibang puntos X, Y є π ang kaugnayan XY  φ (X ) φ (Y ).

Ang resulta ng sunud-sunod na pagpapatupad ng dalawang paggalaw ay tinatawag komposisyon. Kung ang paglipat ay ginawa muna φ , na sinusundan ng paggalaw ψ , kung gayon ang komposisyon ng mga galaw na ito ay tinutukoy ng ψ ◦ φ .

Ang pinakasimpleng halimbawa ng paggalaw ay ang pagpapakita ng pagkakakilanlan (karaniwan itong tukuyin - ε ), kung saan ang bawat punto X , na kabilang sa eroplano, ang puntong ito mismo ay inihambing, i.e. ε (X ) = X .

Isaalang-alang natin ang ilang mahahalagang katangian ng mga galaw.

C ari-arian 1.

Lemma 2. 1. Komposisyonφ ◦ ψ dalawang galawψ , φ ay isang kilusan.

Patunay.

Hayaan ang pigura F isinalin sa pamamagitan ng paggalaw ψ sa isang pigura F ', at ang pigura F ' ay isinalin sa pamamagitan ng paggalaw φ sa isang pigura F ''. Hayaan ang punto X mga figure F napupunta sa punto X ' mga hugis F ' , at sa panahon ng ikalawang kilusan, ang punto X ' mga hugis F ' papunta sa punto X '' mga hugis F ''. Pagkatapos ay ang pagbabagong-anyo ng pigura F sa isang pigura F '', kung saan ang isang arbitrary na punto X mga figure F napupunta sa punto X '' mga hugis F '', pinapanatili ang distansya sa pagitan ng mga punto, at samakatuwid ay isa ring paggalaw.

Tandaan na ang pagtatala ng isang komposisyon ay palaging nagsisimula sa huling paggalaw, dahil ang resulta ng komposisyon ay ang pangwakas na imahe - ito ay inilalagay sa linya kasama ang orihinal:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C ari-arian 2.

Lemma 2.2 . Kung angφ – paggalaw, pagkatapos ay pagbabagong-anyoφ -1 ay isang kilusan din.

Patunay.

Hayaan ang pagbabago ng hugis F sa isang pigura F ' isinasalin ang iba't ibang mga punto ng figure F sa iba't ibang mga punto sa figure F '. Hayaan ang isang arbitrary point X mga figure F sa ilalim ng pagbabagong ito ay napupunta sa isang punto X ' mga hugis F ’.

Pagbabago ng hugis F ' sa isang pigura F , kung saan ang punto X ' papunta sa punto X , ay tinatawag na pagbabagong kabaligtaran sa ibinigay. Para sa bawat galaw φ posibleng tukuyin ang baligtad na kilusan, na tinutukoy φ -1 .

Sa pagtatalo ng katulad ng patunay ng ari-arian 1, maaari nating i-verify na ang isang pagbabagong kabaligtaran sa isang mosyon ay isa ring mosyon.

Ito ay malinaw na ang pagbabagong-anyo φ -1 natutugunan ang mga pagkakapantay-pantay:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , saan ε ay ang magkaparehong display.

Ari-arian 3 (associativity ng mga komposisyon).

Lemma 2.3. Hayaan ang φ 1 , φ 2 , φ 3 - boluntaryong paggalaw. Pagkatapos φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Ang katotohanan na ang komposisyon ng mga paggalaw ay may pag-aari ng associativity ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang antas φ na may natural na tagapagpahiwatig n .

Ilagay natin φ 1 = φ at φ n+1 = φ n ◦ φ , kung n ≥ 1 . Kaya ang kilusan φ n nakuha ng n -multiple sequential application ng paggalaw φ .

C ari-arian 4 (pagpapanatili ng tuwid).

Teorama 2. 1. Ang mga puntos na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kapag gumagalaw, pumasa sa mga punto,

galaw mga katawan sa ilalim ng impluwensya ng grabidad

Coursework >> Physics

Uri ng mga trajectory sila mga galaw Kinukumpirma ang tumaas na ... aero- at hydrodynamics ay pag-aaral mga galaw mga solido sa gas at ... friction) ay ari-arian tunay na likido lumaban... bariles at eroplano horizon arms na binubuo ilang iniksyon,...

Mag-aral mga distribusyon ng electrical conductivity sa overcompressed detonation waves sa condensed explosives

Diploma work >> Chemistry

... pananaliksik electrophysical ari-arian... resulta at sila pagsusuri 2.1 ... mga produkto ng pagpapasabog sa eroplano Chapman-Jouguet ... nagbibigay-daan sa iyo upang mabilang galaw semiclassical ng elektron. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O ilang sistematikong mga pagkakamali kapag sinusukat ang conductivity...

Ari-arian mga materyales sa engineering (2)

Praktikal na gawain >> Industriya, produksyon

SEKSYON I Ang mga istrukturang bakal at haluang metal Ang mga istrukturang bakal ay ang mga inilaan para sa paggawa ng mga bahagi ng makina (mga bakal na gumagawa ng makina), mga istruktura at istruktura (mga bakal na gusali). Carbon Structural Steels Carbon Structural...

Ang mga paggalaw ay nagpapanatili ng mga distansya at samakatuwid ay pinapanatili ang lahat ng mga geometrical na katangian ng mga figure, dahil ang mga ito ay tinutukoy ng mga distansya. Sa puntong ito, masusulit natin pangkaraniwang katangian paggalaw, na nagbabanggit ng ebidensya sa mga kaso kung saan hindi ito halata.

Ari-arian 1. Tatlong puntos na nakahiga sa parehong tuwid na linya, kapag gumagalaw, pumunta sa tatlong puntos na nakahiga sa parehong tuwid na linya, at tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, sa tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Hayaang isalin ng paggalaw ang mga puntos sa mga puntos, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ay mananatili ang mga pagkakapantay-pantay

Kung ang mga puntong A, B, C ay nasa parehong tuwid na linya, kung gayon ang isa sa mga ito, halimbawa, ang punto B ay nasa pagitan ng dalawa. Sa kasong ito at mula sa pagkakapantay-pantay (1) ito ay sumusunod na . At ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang punto B ay nasa pagitan ng mga punto A at C. Ang unang assertion ay napatunayan. Ang pangalawa ay sumusunod mula sa una at ang reversibility ng kilusan (sa pamamagitan ng kontradiksyon).

Property 2. Ang isang segment ay nababago sa isang segment sa pamamagitan ng paggalaw.

Hayaang maiugnay ang mga dulo ng segment AB ng paggalaw f na may mga puntos na A at B. Kunin ang alinmang punto X ng segment na AB. Pagkatapos, tulad ng sa patunay ng ari-arian 1, maaari itong maitatag na ang imahe nito - isang punto ay namamalagi sa segment AB sa pagitan ng mga punto A at B. Dagdag pa, ang bawat punto

Ang Y ng segment A B ay ang imahe ng ilang punto Y ng segment AB. Namely, ang point Y, na inalis mula sa point A sa layo na A Y. Samakatuwid, ang segment AB ay inililipat sa pamamagitan ng paggalaw sa segment AB.

Ari-arian 3. Kapag gumagalaw, ang isang sinag ay nagiging isang sinag, isang tuwid na linya - sa isang tuwid na linya.

Patunayan ang mga pahayag na ito sa iyong sarili. Pag-aari 4. Ang isang tatsulok ay isinalin sa isang tatsulok sa pamamagitan ng paggalaw, isang kalahating eroplano sa isang kalahating eroplano, isang eroplano sa isang eroplano, parallel na eroplano- sa parallel na eroplano.

Ang Triangle ABC ay puno ng mga segment na nagkokonekta sa vertex A na may mga puntos na X kabaligtaran BC (Larawan 26.1). Ang kilusan ay magtatalaga sa segment BC ng ilang segment BC at sa point A - point A, hindi nakahiga sa linya BC. Sa bawat segment na AX, ang kilusang ito ay magtatalaga ng isang segment na AX, kung saan ang punto X ay nasa BC. Ang lahat ng mga segment na ito ay pupunuin ng AX ang tatsulok na ABC.

Ang tatsulok ay pumasok dito

Ang isang kalahating eroplano ay maaaring kinakatawan bilang isang unyon ng walang katapusang pagpapalawak na mga tatsulok, kung saan ang isang gilid ay nasa hangganan ng kalahating eroplano.

(Larawan 26.2). Samakatuwid, ang kalahating eroplano ay pupunta sa kalahating eroplano kapag gumagalaw.

Katulad nito, ang isang eroplano ay maaaring katawanin bilang isang unyon ng walang katapusang pagpapalawak ng mga tatsulok (Larawan 26.3). Samakatuwid, kapag gumagalaw, ang isang eroplano ay nakamapa sa isang eroplano.

Dahil ang paggalaw ay nagpapanatili ng mga distansya, ang mga distansya sa pagitan ng mga figure ay hindi nagbabago kapag gumagalaw. Mula dito, sinusunod, lalo na, na sa panahon ng mga paggalaw, ang mga kahanay na eroplano ay pumasa sa magkatulad na mga eroplano.

Pag-aari 5. Kapag gumagalaw, ang imahe ng isang tetrahedron ay isang tetrahedron, ang imahe ng isang kalahating espasyo ay isang kalahating espasyo, ang imahe ng isang espasyo ay ang buong espasyo.

Ang Tetrahedron ABCD ay ang unyon ng mga segment ng linya na nagkokonekta sa punto D sa lahat ng posibleng mga punto X tatsulok ABC(Larawan 26.4). Kapag gumagalaw, ang mga segment ay nakamapa sa mga segment, at samakatuwid ang tetrahedron ay magiging isang tetrahedron.

Ang kalahating espasyo ay maaaring katawanin bilang isang unyon ng lumalawak na tetrahedra na ang mga base ay nasa boundary plane ng kalahating espasyo. Samakatuwid, kapag gumagalaw, ang imahe ng kalahating espasyo ay magiging kalahating espasyo.

Ang espasyo ay maaaring isipin bilang isang unyon ng walang katapusang pagpapalawak ng tetrahedra. Samakatuwid, kapag gumagalaw, ang espasyo ay nakamapa sa lahat ng espasyo.

Property 6. Kapag gumagalaw, ang mga anggulo ay pinapanatili, ibig sabihin, ang bawat anggulo ay nakamapa sa isang anggulo ng parehong uri at parehong magnitude. Ang parehong ay totoo para sa dihedral anggulo.

Kapag gumagalaw, ang isang kalahating eroplano ay nakamapa sa isang kalahating eroplano. Bilang matambok na anggulo ay ang intersection ng dalawang kalahating eroplano, at ang isang di-matambok na anggulo at isang dihedral na anggulo ay ang pagsasama ng mga kalahating eroplano, pagkatapos kapag gumagalaw, ang matambok na anggulo ay pumasa sa isang matambok na anggulo, at ang hindi matambok.

anggulo at dihedral na anggulo, ayon sa pagkakabanggit, sa isang nonconvex at dihedral na anggulo.

Hayaang ang mga sinag a at b, na nagmumula sa puntong O, ay nakamapa sa mga sinag a at b, na nagmumula sa puntong O. Kunin ang tatsulok na OAB na may mga vertices A sa sinag a at B sa sinag b (Fig. 26.5) . Ito ay lilitaw sa pantay na tatsulok BAB na may vertices A sa ray a at B sa ray b. Samakatuwid, ang mga anggulo sa pagitan ng mga sinag a, b at a, b ay pantay. Samakatuwid, kapag gumagalaw, ang mga magnitude ng mga anggulo ay napanatili.

Dahil dito, ang perpendicularity ng mga tuwid na linya, at samakatuwid ang linya at ang eroplano, ay napanatili. Pag-alala sa mga kahulugan ng anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano at ang mga dami dihedral na anggulo, nalaman namin na ang mga halaga ng mga anggulong ito ay napanatili.

Ari-arian 7. Ang mga paggalaw ay nagpapanatili ng mga lugar sa ibabaw at dami ng mga katawan.

Sa katunayan, dahil pinapanatili ng paggalaw ang perpendicularity, ang paggalaw ng taas (mga tatsulok, tetrahedra, prisms, atbp.) ay isinasalin sa mga taas (ang mga imahe ng mga tatsulok na ito, tetrahedra, prisms, atbp.). Sa kasong ito, ang mga haba ng mga taas na ito ay mapangalagaan. Samakatuwid, ang mga lugar ng mga tatsulok at ang mga volume ng tetrahedra ay napanatili sa panahon ng paggalaw. Nangangahulugan ito na ang parehong mga lugar ng polygons at ang mga volume ng polyhedra ay mapapanatili. Ang mga lugar ng mga hubog na ibabaw at ang mga volume ng mga katawan na nakatali sa naturang mga ibabaw ay nakuha limitahan ang mga transition sa mga lugar ng polyhedral na ibabaw at mga volume ng polyhedral na katawan. Samakatuwid, sila ay napanatili sa panahon ng paggalaw.