In diesem kurzen Video-Tutorial lernen wir, wie man Prozentprobleme mit einer speziellen Formel löst, die als einfache Zinsformel bezeichnet wird. Lassen Sie uns diese Formel in Form eines Satzes formulieren.

Der einfache Zinssatz. Nehmen wir an, es gibt einen Anfangswert x , der sich dann um k% ändert, und man erhält einen neuen Wert y. Dann hängen alle drei Zahlen durch die Formel zusammen:

Plus oder Minus vor dem Koeffizienten k wird je nach Zustand des Problems gesetzt. Wenn x durch die Bedingung wächst, dann wird k ein Plus vorangestellt. Sinkt der Wert, so wird dem Koeffizienten k ein Minus vorangestellt.

Trotz der scheinbaren Raffinesse dieser Formel lassen sich viele Aufgaben mit ihrer Hilfe sehr schnell und schön lösen. Lass es uns versuchen.

Aufgabe. Der Warenpreis wurde um 10% erhöht und betrug 2970 Rubel. Wie viel war das Produkt vor der Preiserhöhung wert?

Um dieses Problem mit der einfachen Zinsformel zu lösen, benötigen wir drei Zahlen: den ursprünglichen Wert x , den Prozentsatz k und den Endwert y . Von allen drei Zahlen kennen wir die Prozentsätze k = 10 und den Endwert y = 2970. Achtung: 2970 ist genau der Endpreis, d.h. y . Denn je nach Zustand des Problems ist der Anfangspreis für die Ware unbekannt (er muss nur gefunden werden). Aber dann wurde es erhöht und betrug erst dann 2970 Rubel.

Also müssen wir x finden, d.h. Originalwert. Nun, wir setzen unsere Zahlen in die Formel ein und erhalten:

Wir addieren die Zahlen im Zähler und erhalten:

Wir reduzieren eine Null im Zähler und Nenner und multiplizieren dann beide Seiten der Gleichung mit 10. Wir erhalten:

11x = 29700

Um x aus dieser einfachen linearen Gleichung zu finden, teilen Sie beide Seiten durch 11:

x = 29700: 11 = 2700

Wie Sie sehen können, sind dies ziemlich große Zahlen, daher können solche Berechnungen nicht im Kopf durchgeführt werden. Wenn Sie eine solche Aufgabe bei der Prüfung erfüllen, müssen Sie sich eine Ecke teilen. In diesem Fall wurde alles spurlos geteilt und wir haben den Wert x erhalten:

x=2700

Das war es vor der Preiserhöhung wert. Und es war diese Nummer, die wir je nach Zustand des Problems finden mussten. Das war's also: Problem gelöst. Außerdem wurde es nicht „leer“, sondern mit Hilfe einer einfachen Prozentformel gelöst – schnell, schön und übersichtlich.

Natürlich könnte dieses Problem auch anders gelöst werden. Zum Beispiel durch Proportionen. Oder eine exotische Koeffizientenmethode. Aber es wird viel besser und zuverlässiger sein, wenn Sie mit mehreren Tricks bewaffnet sind, um jedes Problem mit Interesse zu lösen. Üben Sie also unbedingt die Anwendung dieser Formel.

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Die einfachste und naheliegendste Methode ist das Aufstellen einer Proportion. Alle weiteren Berechnungen basieren darauf. Es sieht aus wie das:

• 45 ist eine bekannte Zahl gleich 100 %.
• ? - eine Zahl, die 15 % von 45 beträgt.

Außerdem wird der Bruch zu einer Gleichung mit einer Unbekannten vereinfacht. Nach mathematischen Gesetzen sind die Kreuzdaten im Verhältnis zueinander gleich, das heißt: 45*15%=?*100%. Um "?" zu finden, verwenden wir eine einfache Regel und erhalten Folgendes.

Die Berechnung der Proportionsformel erfolgt immer nach dem Prinzip, die bekannten diagonal stehenden Daten zu multiplizieren und durch eine dritte Zahl zu dividieren.

Sie können eine Formel mit jeder Unbekannten in schreiben. Um nicht verwirrt zu werden, wird als Ergebnis ein Prozentsatz oder eine Zahl erhalten. Wir erinnern an die Regel der Kürzung eines Bruchs - wenn das Prozentzeichen (%) oder das Währungssymbol (rub) sowohl darüber als auch darunter vorhanden ist, ist dies der Fall reduziert. Beispiel:

Das Ergebnis der Berechnung ist der Geldbetrag.

So finden Sie den Prozentsatz einer Zahl. Optionen

Betrachten wir der Reihe nach die Situationen, in denen Prozentsätze ermittelt werden.

So finden Sie 100 %. Es ist notwendig, die Zahl zu berechnen, von der 15% gleich 45 sind. Wir bilden den Anteil:

Wir berechnen nach der Formel: (45*100)/15=300

Wenn nicht bekannt ist, wie viel 100 % sind. Manchmal wird die Berechnung in Bezug auf dieselben Anfangsdaten durchgeführt, aber ihr genauer Wert ist nicht bekannt. Zum Beispiel: gestern 15% der Gesamtzahl der Kekse in Höhe von 450 Rubel und heute 25%.

Wie viel hast du heute verkauft? Da die Summe für 100 % der Gesamtwert sowohl für 15 % als auch für 25 % ist, ist es möglich, Berechnungen durchzuführen, ohne nach den Gesamtkosten zu suchen.

Wir berechnen nach der Formel: (25*450)/15=750

Sie können die Aufgabe erschweren, wenn kein Vertrauen in die Berechnungen besteht oder das Ergebnis überprüft werden muss. Finden Sie dazu zuerst 100%, basierend auf vollständigen Daten (15% kosten 450 Rubel), und dann werden 25% von 100% gezählt.

Wie viel weniger als eine andere Zahl in Prozent

Zum Beispiel: Die üblichen Kosten für das Pulver betragen 500 Rubel. Laut der Aktion wurde der Preis auf 480 Rubel reduziert. Wie viel liegt der Aktienkurs unter dem anfänglichen Prozentsatz? Zuerst wird die prozentuale Komponente des Aktionspreises vom Basispreis ermittelt, und dann wird ihre Differenz ermittelt. Wir machen einen Anteil:

Wir berechnen nach der Formel: (480*100)/500=96. 100%-96%=4%. Der Aktienkurs liegt um 4 % unter dem ursprünglichen Kurs.

Wie viel eine Zahl in Prozent größer ist als eine andere. Beispiel: Die Tastatur kostete 300 Rubel, und nach der Aufwertung des Dollars stieg der Preis auf 390 Rubel. Wie stark hat sich der Preis einer Tastatur in Prozent verändert? Zuerst wird der Gesamtzinssatz des neuen Preises relativ zum ursprünglichen ermittelt, dann wird ihre Differenz berechnet. Wir machen einen Anteil:

Wir berechnen nach der Formel: (390 * 100) / 300 \u003d 130. 130%-100%=30%. Der Preis ist um 30 % gestiegen.

Die unbekannte Zahl ist um einen bestimmten Prozentsatz größer als die bekannte Zahl. Beispiel: Ein Produkt in einem Geschäft ist 15 % teurer als ein Produkt in einem Lagerhaus. Der Zuckerpreis im Lager beträgt 50 Rubel und entspricht 100%. Ladenpreis - 100 % + 15 % = 115 %. Wir berechnen nach der Formel: (115 * 50) / 100 \u003d 57,5

Die unbekannte Zahl ist um einen bestimmten Prozentsatz kleiner als die bekannte Zahl. Beispiel: Großhandel 5% günstiger. Der Verkaufspreis beträgt 60 Rubel und entspricht 100 Prozent für den Großhandel - 100% -5% \u003d 95%. Wir machen einen Anteil:

Wir berechnen nach der Formel: (60*95)/100=57

Prozent zwischen zwei Zahlen. Eine Situation, in der eine Zahl bekannt ist, die 100 % beträgt, und eine Zahl, die einen bestimmten Bruchteil des Originals ausmacht. Beispiel: Es wurde eine Charge von 60 Kisten erwartet, aber 53 geliefert Wie viel Prozent des Plans wurden erfüllt? Wir machen einen Anteil:

Wir berechnen nach der Formel: (53 * 100) / 60 \u003d 88,3

Die schwierigste „Aufgabe“ besteht darin, sich bei der Erstellung einer Proportion nicht zu verwirren.

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Beim Lösen der Probleme 149–156 ist es notwendig, den Schülern die Regel zum Finden eines Teils einer Zahl näher zu bringen:

Um den als Bruch ausgedrückten Teil einer Zahl zu finden, kannst du diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit seinem Zähler multiplizieren.

Natürlich können Schüler diese Regel nur für bestimmte Situationen formulieren: um zu finden 3 / 4 Zahl 24, Sie können diese Zahl durch den Nenner teilen Brüche 4 und Multipliziere das Ergebnis mit dem Zähler 3.

149 . a) 12 Vögel saßen auf einem Ast; 2/3 ihrer Zahl flogen weg. Wie viele Vögel sind geflogen?

b) Es gibt 32 Schüler in der Klasse; 3/4 aller Schüler sind Ski gefahren. Wie viele Schüler sind Ski gefahren?

150 . a) Radfahrer sind in zwei Tagen 48 gefahren km. Am ersten Tag legten sie 2/3 der Strecke zurück. Wie viele Kilometer sind sie am zweiten Tag gefahren?

b) Jemand, der 350 Rubel hat, hat 5/7 seines Geldes ausgegeben. Wie viel Geld hat er noch?

c) Das Heft hat 24 Seiten. Das Mädchen füllte am 5./8. alle Seiten des Notizbuches aus. Wie viele unbeschriebene Seiten bleiben übrig?

151 . Altes Problem. Kaufte eine Kommode für 36 R., musste ich es dann für 7/12 des Preises verkaufen. Wie viele Rubel habe ich bei diesem Verkauf verloren?

152 . Autotouristen reisten in drei Tagen 360 Grad km; am ersten Tag legten sie 2/5 und am zweiten Tag 3/8 der gesamten Reise zurück. Wie viele Kilometer sind die Autotouristen am dritten Tag gefahren?

153 . 1) Es gibt 24 Mädchen und mehrere Jungen im Theaterclub. Die Anzahl der Jungen beträgt 3/8 der Anzahl der Mädchen. Wie viele Schüler sind im Schauspielclub?

2) In der Sammlung befinden sich 45 Rubel-Gedenkmünzen. Die Anzahl der 3- und 5-Rubel-Münzen beträgt 2/9 der Anzahl der Rubel-Münzen. Wie viele Gedenkmünzen zu 1, 3 und 5 Rubel befinden sich in der Sammlung?

Die Schüler müssen die Aufgaben 154–156 lösen, indem sie zuerst den angegebenen Teil des Werts finden und dann diesen Wert um den gefundenen Teil erhöhen oder verringern. Eine andere Lösung wird später gezeigt.

154 . 1) Reduzieren Sie 90 Rubel um 1/10 dieses Betrags.

2) Erhöhen Sie 80 Rubel um 2/5 dieses Betrags.

155 . Letzten Monat betrug der Preis des Artikels 90 R. Jetzt ist es um 3/10 dieses Betrags gesunken. Was kostet der Artikel jetzt?

156 . Letzten Monat betrug das Gehalt 400 R. Jetzt hat es sich um 2/5 dieses Betrags erhöht. Wie hoch ist das Gehalt jetzt?

Beim Lösen der Aufgaben 157–158 und der folgenden Aufgaben sollten die Schüler dazu gebracht werden, die Regel zum Finden einer Zahl durch ihren Teil zu verstehen und richtig anzuwenden:

Um eine Zahl nach ihrem Teil zu finden, der als Bruch ausgedrückt wird, kannst du diesen Teil durch den Zähler des Bruchs dividieren und das Ergebnis mit seinem Nenner multiplizieren.

Die Formulierung dieser Regel ist aufgrund der Notwendigkeit kompliziert
irgendwie die Nummer anrufen, die wir genannt haben « Teil » . Auch die Autoren von Lehrbüchern müssen diese Schwierigkeit umgehen. Also im Lehrbuch I.V. Baranova und Z.G. Die Borchugsche Regel ist nur für spezielle Fälle formuliert: um eine Zahl zu finden, 3 / 5 was 90 km ist, ist es notwendig, 90 km durch den Zähler des Bruchs 3 zu teilen und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs 5 zu multiplizieren.

So können Schüler es nutzen. Es stimmt, wenn man von Zahl spricht, ist es besser, keine Namen zu verwenden, da Zahl und Größe nicht dasselbe sind. Später im selben Lehrbuch auf S. 226 wird eine allgemeine Regel formuliert, in der wir den Begriff verwenden « Teil » entsprechenden Umsatz « die entsprechende Zahl » , was kaum einfacher ist.

157 . a) 120 R. 3/4 des zur Verfügung stehenden Betrags ausmachen. Was ist dieser Betrag?

b) Bestimmen Sie die Länge des Segments, von dem 3/5 gleich 15 cm sind.

158 . a) Mein Sohn ist 10 Jahre alt. Sein Alter beträgt 2/7 des Alters seines Vaters. Wie alt ist Vater?

b) Tochter 12 Jahre alt. Ihr Alter beträgt 2/5 des Alters der Mutter. Wie alt ist die Mutter?

Für den Kauf von Gemüse gab die Gastgeberin 6 aus R., was 1/6 ihres Geldes ausmachte. Dann kaufte sie 2 kgÄpfel 7 R. pro Kilogramm. Wie viel Geld bleibt ihr nach diesen Einkäufen übrig?

160 . Vater kaufte seinem Sohn einen Anzug für 24 R., für die er 1/3 seines Geldes ausgab. Danach kaufte er mehrere Bücher und hatte noch 39 übrig. R. Wie viel haben die Bücher gekostet?

161 . Der Sohn ist 8 Jahre alt, sein Alter beträgt 2/9 des Alters seines Vaters. Und das Alter des Vaters beträgt 3/5 des Alters des Großvaters. Wie alt ist Opa?

162 .* Aus dem Papyrus von Ahmes (Ägypten, ca. 2000 v. Chr.).

Ein Hirte kommt mit 70 Bullen. Er wird gefragt:

Wie viele bringst du aus deiner zahlreichen Herde?

Der Hirte antwortet:

Ich bringe zwei Drittel eines Drittels des Viehs mit. Anzahl!

Wie viele Bullen sind in der Herde?

Mit dem Prozentrechner können Sie alle möglichen Berechnungen mit Prozenten durchführen. Rundet Ergebnisse auf die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen.

Welcher Prozentsatz ist X von Y. Welche Zahl ist X Prozent von Y. Addieren oder subtrahieren Sie Prozentsätze von einer Zahl.

Zinsrechner

klare Form

Wie viel ist % der Zahl

Berechnung

0% der Zahl 0 = 0

Zinsrechner

klare Form

Wie viel Prozent ist die Zahl von Nummer

Berechnung

Die Zahl 15 der Zahl 3000 = 0,5 %

Zinsrechner

klare Form

hinzufügen % zu Zahl

Berechnung

Addiere 0 % zur Zahl 0 = 0

Zinsrechner

klare Form

Subtrahieren % von der Zahl

Berechnung alles löschen

Der Rechner ist speziell für die Berechnung von Prozentsätzen konzipiert. Ermöglicht Ihnen verschiedene Berechnungen beim Arbeiten mit Prozentsätzen. Besteht funktional aus 4 verschiedenen Rechnern. Beispiele für Berechnungen mit dem Prozentrechner siehe unten.

Ein Prozent in der Mathematik heißt Hundertstel einer Zahl. Zum Beispiel sind 5 % von 100 gleich 5.
Mit diesem Rechner können Sie den Prozentsatz einer bestimmten Zahl genau berechnen. Es gibt verschiedene Berechnungsmodi. Sie können verschiedene Berechnungen mit Prozentsätzen durchführen.

• Der erste Rechner wird benötigt, wenn Sie den Prozentsatz des Betrags berechnen möchten. Jene. Kennen Sie die Bedeutung von Prozent und Betrag?
• Die zweite ist, wenn Sie berechnen müssen, wie viel Prozent X von Y ist. X und Y sind Zahlen, und Sie suchen nach dem Prozentsatz des ersten im zweiten
• Der dritte Modus ist das Hinzufügen eines Prozentsatzes der angegebenen Zahl zur angegebenen Zahl. Zum Beispiel hat Vasya 50 Äpfel. Misha brachte Vasya weitere 20 % der Äpfel. Wie viele Äpfel hat Vasya?
• Der vierte Rechner ist das Gegenteil des dritten. Vasya hat 50 Äpfel und Mischa hat 30 % der Äpfel genommen. Wie viele Äpfel hat Vasya noch?

Häufige Aufgaben

Aufgabe 1. Ein einzelner Unternehmer erhält jeden Monat 100.000 Rubel. Er arbeitet vereinfacht und zahlt monatlich 6 % Steuern. Wie viel Steuern muss ein Einzelunternehmer im Monat zahlen?

Entscheidung: Wir verwenden den ersten Rechner. Geben Sie den Einsatz 6 in das erste Feld ein, 100000 in das zweite
Wir bekommen 6000 Rubel. - Steuerbetrag.

Aufgabe 2. Mischa hat 30 Äpfel. 6 gab er Katya. Wie viel Prozent der Gesamtzahl der Äpfel hat Mischa Katja gegeben?

Entscheidung: Wir verwenden den zweiten Rechner – geben Sie im ersten Feld 6 ein, im zweiten 30. Wir erhalten 20 %.

Aufgabe 3. Bei der Tinkoff Bank erhält der Einleger für die Auffüllung einer Einzahlung von einer anderen Bank 1 % zusätzlich zum Auffüllungsbetrag. Kolya füllte die Einzahlung mit einer Überweisung von einer anderen Bank in Höhe von 30.000 auf, mit welchem ​​Gesamtbetrag Kolyas Einzahlung aufgefüllt wird.

Entscheidung: Verwenden Sie den 3. Rechner. Geben Sie 1 in das erste Feld ein, 10000 in das zweite. Wir drücken die Berechnung, wir bekommen den Betrag von 10100 Rubel.