Lassen Sie uns das Problem lösen. Wir haben zwei Arten von Cookies. Einige sind Schokolade und einige sind einfach. Es gibt 48 Schokoladenstücke und einfache 36. Aus diesen Keksen muss die größtmögliche Anzahl von Geschenken hergestellt werden, und alle müssen verwendet werden.

Zuerst schreiben wir alle Teiler jeder dieser beiden Zahlen auf, da diese beiden Zahlen durch die Anzahl der Geschenke teilbar sein müssen.

Wir bekommen

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Lassen Sie uns unter den Teilern die gemeinsamen finden, die sowohl die erste als auch die zweite Zahl haben.

Gemeinsame Teiler sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Der größte gemeinsame Teiler von allen ist 12. Diese Zahl wird als größter gemeinsamer Teiler von 36 und 48 bezeichnet.

Anhand des Ergebnisses können wir schlussfolgern, dass aus allen Keksen 12 Geschenke gemacht werden können. Ein solches Geschenk enthält 4 Schokoladenkekse und 3 normale Kekse.

Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler

• Die größte natürliche Zahl, durch die zwei Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind, heißt größter gemeinsamer Teiler dieser Zahlen.

Manchmal wird die Abkürzung GCD verwendet, um den Eintrag abzukürzen.

Einige Zahlenpaare haben Eins als größten gemeinsamen Teiler. Solche Nummern werden angerufen teilerfremde Zahlen. Beispiel: Zahlen 24 und 35. Haben GCD = 1.

So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler

Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist es nicht notwendig, alle Teiler dieser Zahlen aufzuschreiben.

Sie können auch anders. Zerlege zunächst beide Zahlen in Primfaktoren.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nun streichen wir von den Faktoren, die in der Erweiterung der ersten Zahl enthalten sind, alle diejenigen, die nicht in der Erweiterung der zweiten Zahl enthalten sind. In unserem Fall sind dies zwei Zweien.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Übrig bleiben die Faktoren 2, 2 und 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36.

Diese Regel kann auf den Fall von drei, vier usw. erweitert werden. Zahlen.

Allgemeines Schema zum Finden des größten gemeinsamen Teilers

• 1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
• 2. Streichen Sie von den Faktoren, die in der Erweiterung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen durch, die nicht in der Erweiterung anderer Zahlen enthalten sind.
• 3. Berechnen Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Das Finden des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr Zahlen kann auf das sukzessive Finden des ggT von zwei Zahlen reduziert werden. Wir haben dies bei der Untersuchung der Eigenschaften von GCD erwähnt. Dort haben wir den Satz formuliert und bewiesen: Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen a 1 , a 2 , …, ein k ist gleich der Zahl dk, die in der sequentiellen Berechnung zu finden ist ggT(a 1 , a 2)=d 2, ggT(d 2 , a 3)=d 3, ggT(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k) = d k.

Sehen wir uns an, wie der Prozess zum Ermitteln des ggT mehrerer Zahlen aussieht, indem wir die Lösung des Beispiels betrachten.

Beispiel.

Finde den größten gemeinsamen Teiler von vier Zahlen 78 , 294 , 570 und 36 .

Entscheidung.

In diesem Beispiel a 1 = 78, a2=294, a 3 \u003d 570, a4=36.

Zuerst bestimmen wir mit dem Euklid-Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d2 ersten beiden Nummern 78 und 294 . Beim Dividieren erhalten wir die Gleichheit 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18 3+6 und 18=6 3. Auf diese Weise, d 2 \u003d GCD (78, 294) \u003d 6.

Jetzt rechnen wir d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Lassen Sie uns wieder den Algorithmus von Euclid verwenden: 570=6 95, somit, d 3 \u003d GCD (6, 570) \u003d 6.

Es bleibt zu rechnen d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Als 36 geteilt durch 6 , dann d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6.

Der größte gemeinsame Teiler der vier gegebenen Zahlen ist also d4=6, also, ggT(78, 294, 570, 36)=6.

Antworten:

ggT(78, 294, 570, 36)=6.

Durch die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren können Sie auch den ggT von drei oder mehr Zahlen berechnen. In diesem Fall ergibt sich der größte gemeinsame Teiler als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der gegebenen Zahlen.

Beispiel.

Berechnen Sie den ggT der Zahlen aus dem vorherigen Beispiel unter Verwendung ihrer Primfaktorzerlegungen.

Entscheidung.

Lassen Sie uns die Zahlen zerlegen 78 , 294 , 570 und 36 in Primfaktoren erhalten wir 78=2 3 13,294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3 3. Die gemeinsamen Primfaktoren aller gegebenen vier Zahlen sind die Zahlen 2 und 3 . Somit, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Antworten:

ggT(78, 294, 570, 36)=6.

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Den ggT negativer Zahlen finden

Sind eine, mehrere oder alle Zahlen, deren größter Teiler gefunden werden soll, negative Zahlen, so ist ihr ggT gleich dem größten gemeinsamen Teiler der Module dieser Zahlen. Dies liegt daran, dass entgegengesetzte Zahlen a und -a dieselben Teiler haben, was wir beim Studium der Teilbarkeitseigenschaften besprochen haben.

Beispiel.

Finden Sie den ggT von negativen ganzen Zahlen −231 und −140 .

Entscheidung.

Der absolute Wert einer Zahl −231 gleich 231 , und der Modul der Zahl −140 gleich 140 , und ggT(−231, −140)=ggT(231, 140). Der Algorithmus von Euklid gibt uns die folgenden Gleichungen: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 und 42=7 6. Somit, ggT(231, 140)=7. Dann der gesuchte größte gemeinsame Teiler negativer Zahlen −231 und −140 gleich 7 .

Antworten:

GCD(-231,-140)=7.

Beispiel.

Bestimme den ggT von drei Zahlen −585 , 81 und −189 .

Entscheidung.

Bei der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler können negative Zahlen durch ihre absoluten Werte ersetzt werden, d.h. ggT(−585, 81, −189)=ggT(585, 81, 189). Zahlenerweiterungen 585 , 81 und 189 in Primfaktoren sind jeweils von der Form 585=3 3 5 13, 81=3 3 3 3 und 189=3 3 3 7. Die gemeinsamen Primfaktoren dieser drei Zahlen sind 3 und 3 . Dann ggT(585, 81, 189)=3 3=9, somit, ggT(−585, 81, −189)=9.

Antworten:

ggT(−585, 81, −189)=9.

35. Wurzeln eines Polynoms. Satz von Bezout. (ab 33)

36. Mehrfachwurzeln, Kriterium der Vielfachheit der Wurzel.

Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.

zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;

Die Zahl 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.

Die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist (bei 12 sind es 1, 2, 3, 4, 6 und 12), werden aufgerufen Zahlenteiler. Teiler einer natürlichen Zahl a ist die natürliche Zahl, die die gegebene Zahl teilt a ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, wird aufgerufen zusammengesetzt. Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Dies sind die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12.

Gemeinsamer Teiler zweier gegebener Zahlen a und b ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind a und b. Gemeinsamer Teiler mehrerer Zahlen (ggT) ist die Zahl, die als Teiler für jeden von ihnen dient.

Kurz gesagt der größte gemeinsame Teiler von Zahlen a und b werden so geschrieben:

Beispiel: ggT (12; 36) = 12.

Die Teiler von Zahlen im Lösungsdatensatz werden durch einen Großbuchstaben „D“ gekennzeichnet.

Beispiel:

ggT (7; 9) = 1

Die Zahlen 7 und 9 haben nur einen gemeinsamen Teiler - die Zahl 1. Solche Zahlen werden genannt teilerfremdChi-Slam.

Koprime-Zahlen sind natürliche Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Ihr ggT ist 1.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT), Eigenschaften.

• Haupteigenschaft: größter gemeinsamer Teiler m und n durch jeden gemeinsamen Teiler dieser Zahlen teilbar ist. Beispiel: für die Zahlen 12 und 18 ist der größte gemeinsame Teiler 6; sie ist durch alle gemeinsamen Teiler dieser Zahlen teilbar: 1, 2, 3, 6.
• Korollar 1: Menge gemeinsamer Teiler m und n fällt mit der Menge der Teiler ggT( m, n).
• Korollar 2: Menge gemeinsamer Vielfacher m und n stimmt mit der Menge mehrerer LCMs überein ( m, n).

Das bedeutet insbesondere, dass man, um einen Bruch auf eine irreduzible Form zu bringen, Zähler und Nenner durch ihren ggT dividieren muss.

• Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen m und n kann als das kleinste positive Element der Menge aller ihrer Linearkombinationen definiert werden:

und daher als Linearkombination von Zahlen darstellen m und n:

Dieses Verhältnis heißt Bezouts Verhältnis, und die Koeffizienten u und v — Bezout-Koeffizienten. Bézout-Koeffizienten werden effizient durch den erweiterten Euklid-Algorithmus berechnet. Diese Aussage wird auf Mengen natürlicher Zahlen verallgemeinert - ihre Bedeutung ist, dass die Untergruppe der von der Menge erzeugten Gruppe zyklisch ist und von einem Element erzeugt wird: ggT ( a 1 , a 2 , … , ein).

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT).

Effiziente Möglichkeiten, den ggT zweier Zahlen zu berechnen, sind Euklids Algorithmus und binärAlgorithmus. Außerdem ist der GCD-Wert ( m,n) kann leicht berechnet werden, wenn die kanonische Entwicklung von Zahlen bekannt ist m und n für Primfaktoren:

wobei verschiedene Primzahlen sind und und nicht negative ganze Zahlen sind (sie können Null sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Erweiterung enthalten ist). Dann gcd ( m,n) und LCM ( m,n) werden durch die Formeln ausgedrückt:

Wenn es mehr als zwei Zahlen gibt: , wird ihr ggT nach folgendem Algorithmus ermittelt:

- Dies ist der gewünschte GCD.

Auch um zu finden größter gemeinsamer Teiler, kannst du jede der gegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegen. Schreiben Sie dann nur die Faktoren separat aus, die in allen angegebenen Zahlen enthalten sind. Dann multiplizieren wir die ausgeschriebenen Zahlen untereinander – das Ergebnis der Multiplikation ist der größte gemeinsame Teiler .

Analysieren wir Schritt für Schritt die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers:

1. Zerlege die Teiler von Zahlen in Primfaktoren:

Berechnungen werden bequem mit einem vertikalen Balken geschrieben. Schreiben Sie links von der Zeile zuerst den Dividenden auf, rechts den Divisor. Weiter in der linken Spalte schreiben wir die Werte von privat auf. Lassen Sie es uns gleich an einem Beispiel erklären. Zerlegen wir die Zahlen 28 und 64 in Primfaktoren.

2. Wir unterstreichen in beiden Zahlen dieselben Primfaktoren:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Wir finden das Produkt identischer Primfaktoren und schreiben die Antwort auf:

ggT (28; 64) = 2. 2 = 4

Antwort: ggT (28; 64) = 4

Sie können die Position des GCD auf zwei Arten anordnen: in einer Spalte (wie oben) oder „in einer Zeile“.

Der erste Weg, GCD zu schreiben:

Finden Sie GCD 48 und 36.

ggT (48; 36) = 2 . 2. 3 = 12

Die zweite Möglichkeit, GCD zu schreiben:

Lassen Sie uns nun die GCD-Suchlösung in eine Zeile schreiben. Finden Sie GCD 10 und 15.

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Größter gemeinsamer Teiler

Bestimmung 2

Wenn eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar ist, dann heißt $b$ ein Teiler von $a$ und die Zahl $a$ heißt ein Vielfaches von $b$.

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Die Zahl $c$ wird gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ genannt.

Die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist endlich, da keiner dieser Teiler größer als $a$ sein kann. Das bedeutet, dass es unter diesen Teilern den größten gibt, der als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ bezeichnet wird, und die Notation verwendet wird, um ihn zu bezeichnen:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​oder \ D \ (a;b)$

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden:

1. Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

Beispiel 1

Finden Sie den ggT der Zahlen $121$ und $132,$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Wählen Sie die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$gcd=2\cdot 11=22$

Beispiel 2

Finden Sie den ggT der Monome $63$ und $81$.

Wir werden gemäß dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür:

Zerlegen wir Zahlen in Primfaktoren

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Wir wählen die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Lassen Sie uns das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen finden. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$gcd=3\cdot 3=9$

Sie können den ggT zweier Zahlen auf andere Weise finden, indem Sie die Menge der Teiler von Zahlen verwenden.

Beispiel 3

Finde den ggT der Zahlen $48$ und $60$.

Entscheidung:

Finde den Teilersatz von $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Lassen Sie uns nun die Menge der Teiler der Zahl $60$ finden:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Finden wir den Schnittpunkt dieser Mengen: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - diese Menge bestimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $48$ und $60 $. Das größte Element in diesem Set ist die Zahl $12$. Der größte gemeinsame Teiler von 48 $ und 60 $ ist also 12 $.

Definition von NOC

Bestimmung 3

gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen$a$ und $b$ sind natürliche Zahlen, die ein Vielfaches von $a$ und $b$ sind.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, die durch das Original ohne Rest teilbar sind. Zum Beispiel sind die gemeinsamen Vielfachen für die Zahlen $25$ und $50$ die Zahlen $50,100,150,200$ usw.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet und mit LCM$(a;b)$ oder K$(a;b).$ bezeichnet

Um das LCM von zwei Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen
2. Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil der ersten Zahl sind, und fügen Sie die Faktoren hinzu, die Teil der zweiten Zahl sind und nicht zur ersten gehören

Beispiel 4

Finden Sie das LCM der Zahlen $99$ und $77$.

Wir werden gemäß dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür

Zahlen in Primfaktoren zerlegen

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Schreiben Sie die Faktoren auf, die in der ersten enthalten sind

Fügen Sie ihnen Faktoren hinzu, die Teil des zweiten sind und nicht zum ersten gehören

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Das Erstellen von Teilerlisten von Zahlen ist oft sehr zeitaufwändig. Es gibt einen Weg, GCD zu finden, der als Euklid-Algorithmus bezeichnet wird.

Aussagen, auf denen Euklids Algorithmus basiert:

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind und $a\vdots b$, dann ist $D(a;b)=b$

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, so dass $b

Mit $D(a;b)= D(a-b;b)$ können wir die betrachteten Zahlen sukzessive verringern, bis wir ein Zahlenpaar erreichen, bei dem die eine durch die andere teilbar ist. Dann ist die kleinere dieser Zahlen der gesuchte größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$.

Eigenschaften von GCD und LCM

1. Jedes gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist durch K$(a;b)$ teilbar
2. Wenn $a\vdots b$ ist, dann ist K$(a;b)=a$

Wenn K$(a;b)=k$ und $m$-natürliche Zahl, dann ist K$(am;bm)=km$

Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, dann ist K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Wenn $a\vdots c$ und $b\vdots c$ , dann ist $\frac(ab)(c)$ ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$

Für beliebige natürliche Zahlen $a$ und $b$ die Gleichheit

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Jeder gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ ist ein Teiler von $D(a;b)$

Dieser Artikel widmet sich der Frage, wie man den größten gemeinsamen Teiler findet. Zuerst werden wir erklären, was es ist, und einige Beispiele geben, die Definitionen des größten gemeinsamen Teilers von 2, 3 oder mehr Zahlen einführen, danach werden wir auf die allgemeinen Eigenschaften dieses Konzepts eingehen und sie beweisen.

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Was sind gemeinsame teiler

Um zu verstehen, was der größte gemeinsame Teiler ist, formulieren wir zunächst, was ein gemeinsamer Teiler für ganze Zahlen ist.

Im Artikel über Vielfache und Teiler haben wir gesagt, dass eine ganze Zahl immer mehrere Teiler hat. Hier interessieren uns die Teiler einer bestimmten Anzahl von ganzen Zahlen auf einmal, insbesondere gemeinsame (identische) für alle. Lassen Sie uns die Hauptdefinition aufschreiben.

Bestimmung 1

Der gemeinsame Teiler mehrerer Ganzzahlen ist eine Zahl, die ein Teiler jeder Zahl aus der angegebenen Menge sein kann.

Beispiel 1

Hier sind Beispiele für einen solchen Divisor: Das Tripel wird ein gemeinsamer Teiler für die Zahlen - 12 und 9 sein, da die Gleichungen 9 = 3 · 3 und − 12 = 3 · (− 4) wahr sind. Die Zahlen 3 und - 12 haben andere gemeinsame Teiler, wie 1 , - 1 und - 3 . Nehmen wir ein anderes Beispiel. Die vier ganzen Zahlen 3 , − 11 , − 8 und 19 haben zwei gemeinsame Teiler: 1 und - 1 .

Wenn wir die Eigenschaften der Teilbarkeit kennen, können wir sagen, dass jede ganze Zahl durch eins und minus eins geteilt werden kann, was bedeutet, dass jede Menge von ganzen Zahlen bereits mindestens zwei gemeinsame Teiler haben wird.

Beachten Sie auch, dass, wenn wir einen gemeinsamen Teiler für mehrere Zahlen b haben, dieselben Zahlen durch die entgegengesetzte Zahl geteilt werden können, dh durch - b. Grundsätzlich können wir nur positive Teiler nehmen, dann sind auch alle gemeinsamen Teiler größer als 0 . Dieser Ansatz kann ebenfalls verwendet werden, aber negative Zahlen sollten nicht vollständig ignoriert werden.

Was ist der größte gemeinsame Teiler (ggT)

Wenn b ein Teiler einer ganzen Zahl a ist, die nicht gleich 0 ist, kann gemäß den Eigenschaften der Teilbarkeit der Modul von b nicht größer sein als der Modul von a, daher hat jede Zahl ungleich 0 eine endliche Anzahl von Teilern . Das bedeutet, dass die Anzahl der gemeinsamen Teiler mehrerer ganzer Zahlen, von denen mindestens eine von Null verschieden ist, auch endlich sein wird und wir aus ihrer Gesamtmenge immer die größte Zahl auswählen können (über das Konzept der größten und haben wir bereits gesprochen kleinste ganze Zahlen, wir empfehlen Ihnen, gegebenes Material zu wiederholen).

In der weiteren Argumentation gehen wir davon aus, dass mindestens eine der Zahlen, für die Sie den größten gemeinsamen Teiler finden müssen, von 0 verschieden sein wird. Wenn sie alle gleich 0 sind, dann kann ihr Teiler eine beliebige ganze Zahl sein, und da es unendlich viele davon gibt, können wir nicht den größten wählen. Mit anderen Worten, es ist unmöglich, den größten gemeinsamen Teiler für die Zahlenmenge gleich 0 zu finden.

Wir gehen zur Formulierung der Hauptdefinition über.

Bestimmung 2

Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen ist die größte ganze Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

In der Schrift wird der größte gemeinsame Teiler meist mit der Abkürzung GCD bezeichnet. Für zwei Zahlen kann es als ggT (a, b) geschrieben werden.

Beispiel 2

Was ist ein Beispiel für GCD für zwei ganze Zahlen? Zum Beispiel wäre es für 6 und - 15 3 . Lassen Sie uns das begründen. Zuerst schreiben wir alle Teiler von sechs auf: ± 6, ± 3, ± 1, und dann alle Teiler von fünfzehn: ± 15, ± 5, ± 3 und ± 1. Danach wählen wir gemeinsame aus: Dies sind − 3 , − 1 , 1 und 3 . Von diesen müssen Sie die größte Zahl auswählen. Das wird 3 sein.

Für drei oder mehr Zahlen ist die Definition des größten gemeinsamen Teilers ziemlich gleich.

Bestimmung 3

Der größte gemeinsame Teiler von drei oder mehr Zahlen ist die größte ganze Zahl, die alle diese Zahlen gleichzeitig teilt.

Für die Zahlen a 1 , a 2 , … , a n wird der Divisor praktischerweise als ggT (a 1 , a 2 , … , a n) bezeichnet. Der Teilerwert selbst wird als GCD (a 1 , a 2 , … , a n) = b geschrieben.

Beispiel 3

Hier sind Beispiele für den größten gemeinsamen Teiler mehrerer ganzer Zahlen: 12 , - 8 , 52 , 16 . Es wird gleich vier sein, was bedeutet, dass wir ggT (12, - 8, 52, 16) = 4 schreiben können.

Du kannst die Richtigkeit dieser Aussage überprüfen, indem du alle Teiler dieser Zahlen aufschreibst und dann den größten davon wählst.

In der Praxis gibt es oft Fälle, in denen der größte gemeinsame Teiler gleich einer der Zahlen ist. Dies geschieht, wenn alle anderen Zahlen durch eine gegebene Zahl geteilt werden können (im ersten Absatz des Artikels haben wir den Beweis dieser Aussage gegeben).

Beispiel 4

Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 60, 15 und - 45 ist also 15, da fünfzehn nicht nur durch 60 und - 45 teilbar ist, sondern auch durch sich selbst, und es für alle diese Zahlen keinen größeren Teiler gibt.

Teilerzahlen sind ein Sonderfall. Sie sind ganze Zahlen mit einem größten gemeinsamen Teiler von 1.

Haupteigenschaften von GCD und Euklids Algorithmus

Der größte gemeinsame Teiler hat einige charakteristische Eigenschaften. Wir formulieren sie in Form von Sätzen und beweisen sie jeweils.

Beachten Sie, dass diese Eigenschaften für ganze Zahlen größer als Null formuliert sind und wir nur positive Teiler berücksichtigen.

Bestimmung 4

Die Zahlen a und b haben den größten gemeinsamen Teiler gleich ggT für b und a , d.h. ggT (a , b) = ggT (b , a) . Das Ändern der Stellen von Zahlen hat keinen Einfluss auf das Endergebnis.

Diese Eigenschaft ergibt sich aus der eigentlichen Definition von GCD und muss nicht bewiesen werden.

Bestimmung 5

Wenn die Zahl a durch die Zahl b geteilt werden kann, dann ist die Menge der gemeinsamen Teiler dieser beiden Zahlen ähnlich der Menge der Teiler der Zahl b, d. h. ggT (a, b) = b.

Beweisen wir diese Aussage.

Beweis 1

Wenn die Zahlen a und b gemeinsame Teiler haben, dann kann jede von ihnen durch sie geteilt werden. Wenn a ein Vielfaches von b ist, ist gleichzeitig jeder Teiler von b auch ein Teiler von a , da Teilbarkeit eine Eigenschaft wie Transitivität hat. Daher wird jeder Teiler b für die Zahlen a und b gemeinsam sein. Dies beweist, dass, wenn wir a durch b teilen können, die Menge aller Teiler beider Zahlen mit der Menge der Teiler einer Zahl b übereinstimmt. Und da der größte Teiler jeder Zahl die Zahl selbst ist, ist auch der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a und b gleich b, d.h. ggT(a, b) = b. Wenn a = b , dann ggT (a , b) = ggT (a , a) = ggT (b , b) = a = b , z.B. ggT (132 , 132) = 132 .

Mit dieser Eigenschaft können wir den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen finden, wenn eine von ihnen durch die andere teilbar ist. Ein solcher Teiler ist gleich einer dieser beiden Zahlen, durch die die zweite Zahl geteilt werden kann. Zum Beispiel ist ggT (8, 24) = 8, weil 24 ein Vielfaches von acht ist.

Definition 6 Beweis 2

Versuchen wir diese Eigenschaft zu beweisen. Wir haben zunächst die Gleichheit a = b q + c , und jeder gemeinsame Teiler von a und b wird auch c teilen, was durch die entsprechende Teilbarkeitseigenschaft erklärt wird. Daher teilt jeder gemeinsame Teiler von b und c a . Das bedeutet, dass die Menge der gemeinsamen Teiler a und b mit der Menge der Teiler b und c übereinstimmt, einschließlich des größten von ihnen, was bedeutet, dass die Gleichheit ggT (a, b) = ggT (b, c) wahr ist.

Bestimmung 7

Die folgende Eigenschaft wird als Euklid-Algorithmus bezeichnet. Damit können Sie den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen berechnen und andere Eigenschaften von ggT beweisen.

Bevor Sie die Eigenschaft formulieren, empfehlen wir Ihnen, den Satz zu wiederholen, den wir im Artikel über die Division mit einem Rest bewiesen haben. Demnach kann die teilbare Zahl a als b q + r dargestellt werden, und hier ist b ein Teiler, q eine ganze Zahl (auch unvollständiger Quotient genannt) und r ein Rest, der die Bedingung 0 ≤ r ≤ erfüllt b.

Nehmen wir an, wir haben zwei ganze Zahlen größer als 0, für die die folgenden Gleichheiten gelten:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Diese Gleichheiten enden, wenn r k + 1 gleich 0 wird. Das wird auf jeden Fall passieren, denn die Folge b > r 1 > r 2 > r 3 , … ist eine Folge fallender ganzer Zahlen, die nur endlich viele davon enthalten kann. Daher ist r k der größte gemeinsame Teiler von a und b , d. h. r k = ggT (a , b) .

Zunächst müssen wir beweisen, dass r k ein gemeinsamer Teiler der Zahlen a und b ist, und danach, dass r k nicht nur ein Teiler, sondern der größte gemeinsame Teiler der beiden gegebenen Zahlen ist.

Schauen wir uns die Liste der Gleichheiten oben von unten nach oben an. Nach der letzten Gleichheit
r k − 1 kann durch r k geteilt werden. Basierend auf dieser Tatsache sowie der zuvor bewiesenen Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers kann argumentiert werden, dass r k − 2 durch r k geteilt werden kann, da
r k − 1 ist teilbar durch r k und r k ist teilbar durch r k .

Die dritte Gleichheit von unten lässt uns schließen, dass r k − 3 durch r k geteilt werden kann, und so weiter. Die zweite von unten ist, dass b durch r k teilbar ist, und die erste ist, dass a durch r k teilbar ist. Aus all dem schließen wir, dass r k ein gemeinsamer Teiler von a und b ist.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass r k = ggT (a , b) . Was muss ich tun? Zeigen Sie, dass jeder gemeinsame Teiler von a und b r k teilt. Nennen wir es r 0 .

Schauen wir uns dieselbe Liste von Gleichheiten an, aber von oben nach unten. Basierend auf der vorherigen Eigenschaft können wir schließen, dass r 1 durch r 0 teilbar ist, was bedeutet, dass gemäß der zweiten Gleichheit r 2 durch r 0 teilbar ist. Wir gehen alle Gleichheiten durch und schließen aus der letzten, dass r k durch r 0 teilbar ist. Daher gilt r k = ggT (a , b) .

Nachdem wir diese Eigenschaft betrachtet haben, schließen wir, dass die Menge der gemeinsamen Teiler von a und b der Menge der Teiler des ggT dieser Zahlen ähnlich ist. Diese Aussage, die eine Folge von Euklids Algorithmus ist, erlaubt uns, alle gemeinsamen Teiler zweier gegebener Zahlen zu berechnen.

Kommen wir zu anderen Eigenschaften.

Bestimmung 8

Wenn a und b ganze Zahlen ungleich 0 sind, dann muss es zwei andere ganze Zahlen u 0 und v 0 geben, für die die Gleichheit ggT (a , b) = a · u 0 + b · v 0 gilt.

Die in der Property-Anweisung angegebene Gleichheit ist eine lineare Darstellung des größten gemeinsamen Teilers von a und b . Es wird Bezout-Verhältnis genannt, und die Zahlen u 0 und v 0 werden Bezout-Koeffizienten genannt.

Beweis 3

Beweisen wir diese Eigenschaft. Wir schreiben die Folge der Gleichheiten nach dem Euklid-Algorithmus auf:

a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Die erste Gleichheit sagt uns, dass r 1 = a − b · q 1 . Bezeichne 1 = s 1 und − q 1 = t 1 und schreibe diese Gleichheit um als r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Hier sind die Zahlen s 1 und t 1 ganze Zahlen. Die zweite Gleichheit erlaubt uns zu schließen, dass r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Bezeichne − s 1 q 2 = s 2 und 1 − t 1 q 2 = t 2 und schreibe die Gleichheit um als r 2 = s 2 a + t 2 b , wobei s 2 und t 2 auch ganze Zahlen sein werden. Dies liegt daran, dass die Summe der ganzen Zahlen, ihr Produkt und ihre Differenz ebenfalls ganze Zahlen sind. Genauso erhalten wir aus der dritten Gleichung r 3 = s 3 · a + t 3 · b , aus dem Folgenden r 4 = s 4 · a + t 4 · b usw. Schließlich schließen wir, dass r k = s k a + t k b für ganze Zahlen s k und t k . Da r k \u003d GCD (a, b) , bezeichnen wir s k \u003d u 0 und t k \u003d v 0. Als Ergebnis können wir eine lineare Darstellung von GCD in der erforderlichen Form erhalten: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.

Bestimmung 9

ggT (m a, m b) = m ggT (a, b) für jeden natürlichen Wert m.

Beweis 4

Diese Eigenschaft kann wie folgt begründet werden. Multiplizieren Sie beide Seiten jeder Gleichheit im Euklid-Algorithmus mit der Zahl m und wir erhalten, dass ggT (m a , m b) = m r k und r k ggT (a , b) ist. Daher ist ggT (m a, m b) = m ggT (a, b) . Es ist diese Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers, die verwendet wird, wenn der ggT durch die Faktorisierungsmethode ermittelt wird.

Bestimmung 10

Wenn die Zahlen a und b einen gemeinsamen Teiler p haben, dann ist ggT (a: p , b: p) = ggT (a , b) : p . Im Fall p = ggT (a , b) erhalten wir ggT (a: ggT (a , b) , b: ggT (a , b) = 1, also die Zahlen a: ggT (a , b) und b : ggT (a , b) sind teilerfremd.

Da a = p (a: p) und b = p (b: p) , können wir aufgrund der vorherigen Eigenschaft Gleichungen der Form ggT (a , b) = ggT (p (a: p) , p · (b: p)) = p · ggT (a: p , b: p) , unter denen es einen Beweis dieser Eigenschaft geben wird. Wir verwenden diese Aussage, wenn wir gewöhnliche Brüche auf eine irreduzible Form reduzieren.

Bestimmung 11

Der größte gemeinsame Teiler a 1 , a 2 , … , a k ist die Zahl d k , die durch sukzessive Berechnung von ggT (a 1 , a 2) = d 2 , ggT (d 2 , a 3) = d 3 , ggT (d 3 , a 4) = d 4 , … , ggT (d k - 1 , a k) = d k .

Diese Eigenschaft ist nützlich, um den größten gemeinsamen Teiler von drei oder mehr Zahlen zu finden. Damit können Sie diese Aktion auf Operationen mit zwei Zahlen reduzieren. Seine Grundlage ist eine Folgerung aus Euklids Algorithmus: Wenn die Menge der gemeinsamen Teiler a 1 , a 2 und a 3 mit der Menge d 2 und a 3 übereinstimmt, dann stimmt sie auch mit den Teilern d 3 überein. Die Teiler der Zahlen a 1 , a 2 , a 3 und a 4 stimmen mit den Teilern von d 3 überein, was bedeutet, dass sie auch mit den Teilern von d 4 übereinstimmen, und so weiter. Am Ende erhalten wir, dass die gemeinsamen Teiler der Zahlen a 1 , a 2 , … , a k mit den Teilern d k zusammenfallen, und da die Zahl selbst der größte Teiler der Zahl d k sein wird, dann ist ggT (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .

Das ist alles, was wir über die Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers sprechen möchten.

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