In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur mithilfe von Integralberechnungen ermitteln. Zum ersten Mal begegnen wir der Formulierung eines solchen Problems in der High School, wenn das Studium bestimmter Integrale gerade abgeschlossen ist und es an der Zeit ist, mit der geometrischen Interpretation des in der Praxis erworbenen Wissens zu beginnen.
Was ist also erforderlich, um das Problem der Ermittlung der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen erfolgreich zu lösen:
- Fähigkeit, Zeichnungen richtig zu zeichnen;
- Fähigkeit, ein bestimmtes Integral mit der bekannten Newton-Leibniz-Formel zu lösen;
- Die Fähigkeit, eine rentablere Lösung zu "sehen" - d.h. zu verstehen, wie es in diesem oder jenem Fall bequemer sein wird, die Integration durchzuführen? Entlang der x-Achse (OX) oder y-Achse (OY)?
- Nun, wohin ohne korrekte Berechnungen?) Dazu gehört, zu verstehen, wie man diese andere Art von Integralen löst und numerische Berechnungen korrigiert.
Algorithmus zur Lösung des Problems der Berechnung der Fläche einer durch Linien begrenzten Figur:
1. Wir erstellen eine Zeichnung. Es ist ratsam, dies in großem Maßstab auf einem Blatt Papier in einem Käfig zu tun. Wir unterschreiben mit einem Bleistift über jedem Diagramm den Namen dieser Funktion. Die Signatur der Diagramme erfolgt ausschließlich zur Erleichterung weiterer Berechnungen. Nach Erhalt des Diagramms der gewünschten Figur ist in den meisten Fällen sofort klar, welche Integrationsgrenzen verwendet werden. Damit lösen wir das Problem grafisch. Es kommt jedoch vor, dass die Werte der Grenzwerte gebrochen oder irrational sind. Daher können Sie zusätzliche Berechnungen durchführen, gehen Sie zu Schritt zwei.
2. Wenn die Integrationsgrenzen nicht explizit gesetzt sind, dann finden wir die Schnittpunkte der Graphen miteinander und sehen, ob unsere grafische Lösung mit der analytischen übereinstimmt.
3. Als nächstes müssen Sie die Zeichnung analysieren. Je nachdem, wie sich die Funktionsgraphen befinden, gibt es unterschiedliche Ansätze, um den Bereich der Figur zu finden. Betrachten Sie verschiedene Beispiele zum Ermitteln der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen.
3.1. Die klassischste und einfachste Version des Problems ist, wenn Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes finden müssen. Was ist ein krummliniges Trapez? Dies ist eine flache Figur, die durch die x-Achse begrenzt wird (y=0), gerade x = a, x = b und jede Kurve kontinuierlich auf dem Intervall von a Vor b. Gleichzeitig ist diese Zahl nicht negativ und befindet sich nicht unter der x-Achse. In diesem Fall ist die Fläche des krummlinigen Trapezes numerisch gleich dem bestimmten Integral, das mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet wird:
Beispiel 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Welche Linien definieren die Figur? Wir haben eine Parabel y = x2 - 3x + 3, die sich über der Achse befindet OH, es ist nicht-negativ, weil alle Punkte dieser Parabel sind positiv. Als nächstes gegebene gerade Linien x = 1 und x = 3 die parallel zur Achse verlaufen OU, sind die Begrenzungslinien der Figur links und rechts. Na und y = 0, sie ist die x-Achse, die die Figur von unten begrenzt. Die resultierende Figur ist schattiert, wie in der Abbildung links zu sehen ist. In diesem Fall können Sie sofort mit der Lösung des Problems beginnen. Vor uns liegt ein einfaches Beispiel eines krummlinigen Trapezes, das wir dann mit der Newton-Leibniz-Formel lösen.
3.2. Im vorigen Abschnitt 3.1 wurde der Fall analysiert, wenn das krummlinige Trapez oberhalb der x-Achse liegt. Betrachten Sie nun den Fall, dass die Bedingungen des Problems dieselben sind, außer dass die Funktion unter der x-Achse liegt. Der Standard-Newton-Leibniz-Formel wird ein Minus hinzugefügt. Wie man ein solches Problem löst, werden wir weiter betrachten.
Beispiel 2 . Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
In diesem Beispiel haben wir eine Parabel y=x2+6x+2, die unter der Achse entsteht OH, gerade x=-4, x=-1, y=0. Hier y = 0 begrenzt die gewünschte Figur von oben. Direkte x = -4 und x = -1 Dies sind die Grenzen, innerhalb derer das bestimmte Integral berechnet wird. Das Prinzip der Lösung des Problems, die Fläche einer Figur zu finden, stimmt fast vollständig mit Beispiel Nummer 1 überein. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die angegebene Funktion nicht positiv ist und alles auch im Intervall kontinuierlich ist [-4; -1] . Was heißt nicht positiv? Wie aus der Abbildung ersichtlich, hat die Figur, die innerhalb des gegebenen x liegt, ausschließlich „negative“ Koordinaten, was wir bei der Lösung des Problems sehen und uns merken müssen. Wir suchen die Fläche der Figur mit der Newton-Leibniz-Formel, nur mit Minuszeichen am Anfang.
Der Artikel ist nicht abgeschlossen.
In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur mithilfe von Integralberechnungen ermitteln. Zum ersten Mal begegnen wir der Formulierung eines solchen Problems in der High School, wenn das Studium bestimmter Integrale gerade abgeschlossen ist und es an der Zeit ist, mit der geometrischen Interpretation des in der Praxis erworbenen Wissens zu beginnen.
Was ist also erforderlich, um das Problem der Ermittlung der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen erfolgreich zu lösen:
- Fähigkeit, Zeichnungen richtig zu zeichnen;
- Fähigkeit, ein bestimmtes Integral mit der bekannten Newton-Leibniz-Formel zu lösen;
- Die Fähigkeit, eine rentablere Lösung zu "sehen" - d.h. zu verstehen, wie es in diesem oder jenem Fall bequemer sein wird, die Integration durchzuführen? Entlang der x-Achse (OX) oder y-Achse (OY)?
- Nun, wohin ohne korrekte Berechnungen?) Dazu gehört, zu verstehen, wie man diese andere Art von Integralen löst und numerische Berechnungen korrigiert.
Algorithmus zur Lösung des Problems der Berechnung der Fläche einer durch Linien begrenzten Figur:
1. Wir erstellen eine Zeichnung. Es ist ratsam, dies in großem Maßstab auf einem Blatt Papier in einem Käfig zu tun. Wir unterschreiben mit einem Bleistift über jedem Diagramm den Namen dieser Funktion. Die Signatur der Diagramme erfolgt ausschließlich zur Erleichterung weiterer Berechnungen. Nach Erhalt des Diagramms der gewünschten Figur ist in den meisten Fällen sofort klar, welche Integrationsgrenzen verwendet werden. Damit lösen wir das Problem grafisch. Es kommt jedoch vor, dass die Werte der Grenzwerte gebrochen oder irrational sind. Daher können Sie zusätzliche Berechnungen durchführen, gehen Sie zu Schritt zwei.
2. Wenn die Integrationsgrenzen nicht explizit gesetzt sind, dann finden wir die Schnittpunkte der Graphen miteinander und sehen, ob unsere grafische Lösung mit der analytischen übereinstimmt.
3. Als nächstes müssen Sie die Zeichnung analysieren. Je nachdem, wie sich die Funktionsgraphen befinden, gibt es unterschiedliche Ansätze, um den Bereich der Figur zu finden. Betrachten Sie verschiedene Beispiele zum Ermitteln der Fläche einer Figur mithilfe von Integralen.
3.1. Die klassischste und einfachste Version des Problems ist, wenn Sie die Fläche eines krummlinigen Trapezes finden müssen. Was ist ein krummliniges Trapez? Dies ist eine flache Figur, die durch die x-Achse begrenzt wird (y=0), gerade x = a, x = b und jede Kurve kontinuierlich auf dem Intervall von a Vor b. Gleichzeitig ist diese Zahl nicht negativ und befindet sich nicht unter der x-Achse. In diesem Fall ist die Fläche des krummlinigen Trapezes numerisch gleich dem bestimmten Integral, das mit der Newton-Leibniz-Formel berechnet wird:
Beispiel 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Welche Linien definieren die Figur? Wir haben eine Parabel y = x2 - 3x + 3, die sich über der Achse befindet OH, es ist nicht-negativ, weil alle Punkte dieser Parabel sind positiv. Als nächstes gegebene gerade Linien x = 1 und x = 3 die parallel zur Achse verlaufen OU, sind die Begrenzungslinien der Figur links und rechts. Na und y = 0, sie ist die x-Achse, die die Figur von unten begrenzt. Die resultierende Figur ist schattiert, wie in der Abbildung links zu sehen ist. In diesem Fall können Sie sofort mit der Lösung des Problems beginnen. Vor uns liegt ein einfaches Beispiel eines krummlinigen Trapezes, das wir dann mit der Newton-Leibniz-Formel lösen.
3.2. Im vorigen Abschnitt 3.1 wurde der Fall analysiert, wenn das krummlinige Trapez oberhalb der x-Achse liegt. Betrachten Sie nun den Fall, dass die Bedingungen des Problems dieselben sind, außer dass die Funktion unter der x-Achse liegt. Der Standard-Newton-Leibniz-Formel wird ein Minus hinzugefügt. Wie man ein solches Problem löst, werden wir weiter betrachten.
Beispiel 2 . Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
In diesem Beispiel haben wir eine Parabel y=x2+6x+2, die unter der Achse entsteht OH, gerade x=-4, x=-1, y=0. Hier y = 0 begrenzt die gewünschte Figur von oben. Direkte x = -4 und x = -1 Dies sind die Grenzen, innerhalb derer das bestimmte Integral berechnet wird. Das Prinzip der Lösung des Problems, die Fläche einer Figur zu finden, stimmt fast vollständig mit Beispiel Nummer 1 überein. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die angegebene Funktion nicht positiv ist und alles auch im Intervall kontinuierlich ist [-4; -1] . Was heißt nicht positiv? Wie aus der Abbildung ersichtlich, hat die Figur, die innerhalb des gegebenen x liegt, ausschließlich „negative“ Koordinaten, was wir bei der Lösung des Problems sehen und uns merken müssen. Wir suchen die Fläche der Figur mit der Newton-Leibniz-Formel, nur mit Minuszeichen am Anfang.
Der Artikel ist nicht abgeschlossen.
Aufgabe Nummer 3. Machen Sie eine Zeichnung und berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur
Anwendung des Integrals zur Lösung angewandter Probleme
Flächenberechnung
Das bestimmte Integral einer stetigen nichtnegativen Funktion f(x) ist numerisch gleich die Fläche eines krummlinigen Trapezes, begrenzt durch die Kurve y \u003d f (x), die O x-Achse und die geraden Linien x \u003d a und x \u003d b. Dementsprechend schreibt sich die Flächenformel wie folgt:
Betrachten Sie einige Beispiele für die Berechnung der Flächen von ebenen Figuren.
Aufgabennummer 1. Berechnen Sie die durch die Linien y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 begrenzte Fläche.
Entscheidung. Lassen Sie uns eine Figur bauen, deren Fläche wir berechnen müssen.
y \u003d x 2 + 1 ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, und die Parabel ist relativ zur O y-Achse um eine Einheit nach oben verschoben (Abbildung 1).
Abbildung 1. Graph der Funktion y = x 2 + 1
Aufgabe Nummer 2. Berechnen Sie die durch die Linien y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 begrenzte Fläche im Bereich von 0 bis 1.
 |
Entscheidung. Der Graph dieser Funktion ist die Parabel des nach oben gerichteten Zweigs, und die Parabel ist relativ zur O y -Achse um eine Einheit nach unten verschoben (Abbildung 2).
Abbildung 2. Diagramm der Funktion y \u003d x 2 - 1
Aufgabe Nummer 3. Machen Sie eine Zeichnung und berechnen Sie die durch Linien begrenzte Fläche der Figur
y = 8 + 2x - x 2 und y = 2x - 4.
Entscheidung. Die erste dieser beiden Linien ist eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen, da der Koeffizient bei x 2 negativ ist, und die zweite Linie ist eine Gerade, die beide Koordinatenachsen schneidet.
Um eine Parabel zu konstruieren, suchen wir die Koordinaten ihres Scheitelpunkts: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – Scheitelpunkt Abszisse; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ist seine Ordinate, N(1;9) ist sein Scheitelpunkt.
Nun finden wir die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden, indem wir das Gleichungssystem lösen:
Gleichsetzen der rechten Seiten einer Gleichung, deren linke Seiten gleich sind.
Wir erhalten 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 oder x 2 - 12 \u003d 0, woher 
.
Die Punkte sind also die Schnittpunkte der Parabel und der Geraden (Abbildung 1).
Abbildung 3 Graphen der Funktionen y = 8 + 2x – x 2 und y = 2x – 4
Bauen wir eine Gerade y = 2x - 4. Sie verläuft durch die Punkte (0;-4), (2; 0) auf den Koordinatenachsen.
Um eine Parabel zu bauen, können Sie auch ihre Schnittpunkte mit der 0x-Achse haben, dh die Wurzeln der Gleichung 8 + 2x - x 2 = 0 oder x 2 - 2x - 8 = 0. Nach dem Satz von Vieta ist es so leicht seine Wurzeln zu finden: x 1 = 2, x 2 = 4.
Abbildung 3 zeigt eine durch diese Linien begrenzte Figur (Parabelsegment M 1 N M 2).
Der zweite Teil des Problems besteht darin, die Fläche dieser Figur zu finden. Seine Fläche kann mit einem bestimmten Integral unter Verwendung der Formel gefunden werden 
.
Bezüglich dieser Bedingung erhalten wir das Integral: 
2 Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers
Das Volumen des Körpers, das aus der Rotation der Kurve y \u003d f (x) um die O x -Achse erhalten wird, wird nach folgender Formel berechnet:
Beim Rotieren um die O y -Achse sieht die Formel so aus:
Aufgabe Nummer 4. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung eines krummlinigen Trapezes ergibt, das durch gerade Linien x \u003d 0 x \u003d 3 und eine Kurve y \u003d um die Achse O x begrenzt wird.
Entscheidung. Lassen Sie uns eine Zeichnung erstellen (Abbildung 4).
Abbildung 4. Graph der Funktion y =
Das gewünschte Volumen ist gleich 
Aufgabe Nummer 5. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das sich aus der Drehung eines krummlinigen Trapezes ergibt, das von einer Kurve y = x 2 und geraden Linien y = 0 und y = 4 um die Achse O y begrenzt wird.
Entscheidung. Wir haben:
Rezensionsfragen
a)
Entscheidung.
Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung.
Machen wir eine Zeichnung:
Die gleichung y=0 setzt die x-Achse;
- x=-2 und x=1 - gerade, parallel zur Achse OE;
- y \u003d x 2 +2 - eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, mit einem Scheitelpunkt im Punkt (0;2).
Kommentar. Um eine Parabel zu konstruieren, genügt es, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu finden, d.h. Putten x=0 Finden Sie den Schnittpunkt mit der Achse OU und Lösen der entsprechenden quadratischen Gleichung, finde den Schnittpunkt mit der Achse Oh .
Der Scheitelpunkt einer Parabel kann mit den folgenden Formeln gefunden werden: 
Sie können Linien und Punkt für Punkt zeichnen.
Auf dem Intervall [-2;1] der Graph der Funktion y=x 2 +2 gelegen über Achse Ochse , Deshalb:
Antworten: S \u003d 9 Quadrateinheiten
Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir „mit dem Auge“ die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, dass, wenn wir beispielsweise die Antwort hätten: 20 Quadrateinheiten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen eindeutig nicht in die fragliche Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.
Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter Achse Oh?
b) Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur y=-e x , x=1 und Koordinatenachsen.
Entscheidung.
Machen wir eine Zeichnung.
Wenn ein krummliniges Trapez komplett unter der Achse Oh , dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:
Antworten: S=(e-1) qm Einheit" 1,72 qm Einheit
Beachtung! Verwechseln Sie die beiden Arten von Aufgaben nicht:
1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.
2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu finden, dann ist die Fläche immer positiv! Deshalb kommt in der eben betrachteten Formel das Minus vor.
In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene.
mit) Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten ebenen Figur y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Entscheidung.
Zuerst müssen Sie eine Zeichnung machen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Finde die Schnittpunkte der Parabel 
und direkt 
Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische.
Wir lösen die Gleichung:
Also die untere Integrationsgrenze a=0 , die obere Integrationsgrenze b=3 .
|
Wir bauen die gegebenen Geraden: 1. Parabel - Scheitelpunkt im Punkt (1;1); Achsenkreuzung Oh - Punkte(0;0) und (0;2). 2. Gerade - die Winkelhalbierende des 2. und 4. Koordinatenwinkels. Und jetzt Achtung! Wenn im Intervall [ a;b] eine stetige Funktion f(x) größer oder gleich einer stetigen Funktion g(x), dann kann die Fläche der entsprechenden Figur durch die Formel gefunden werden: Und es spielt keine Rolle, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse, aber es ist wichtig, welches Diagramm HÖHER (relativ zu einem anderen Diagramm) und welches UNTEN ist. In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss |
.Es ist möglich, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ ermittelt werden. Trotzdem muss manchmal die analytische Methode der Grenzwertfindung angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein).
Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment 
, nach der entsprechenden Formel:
Antworten: S \u003d 4,5 Quadratmeter Einheiten
Aufgabe 1(über die Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes).
Im kartesischen rechteckigen Koordinatensystem xOy ist eine Figur angegeben (siehe Abbildung), begrenzt durch die x-Achse, gerade Linien x \u003d a, x \u003d b (ein krummliniges Trapez. Es ist erforderlich, die Fläche von \ zu berechnen u200b\u200bdas krummlinige Trapez.
Entscheidung. Die Geometrie gibt uns Rezepte zur Berechnung der Flächen von Polygonen und einigen Teilen eines Kreises (Sektor, Segment). Unter Verwendung geometrischer Überlegungen können wir nur einen ungefähren Wert der erforderlichen Fläche finden, wenn wir wie folgt argumentieren.
Teilen wir das Segment [a; b] (Basis eines krummlinigen Trapezes) in n gleiche Teile; diese Aufteilung ist mit Hilfe der Punkte x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 machbar. Lassen Sie uns Linien durch diese Punkte parallel zur y-Achse ziehen. Dann wird das gegebene krummlinige Trapez in n Teile, in n schmale Spalten unterteilt. Die Fläche des gesamten Trapezes ist gleich der Summe der Flächen der Säulen.
Betrachten Sie separat die k-te Spalte, d.h. krummliniges Trapez, dessen Basis ein Segment ist. Ersetzen wir es durch ein Rechteck mit derselben Basis und Höhe gleich f(x k) (siehe Abbildung). Die Fläche des Rechtecks ist \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), wobei \(\Delta x_k \) die Länge des Segments ist; Es ist natürlich, das zusammengestellte Produkt als ungefähren Wert der Fläche der k-ten Spalte zu betrachten. 
Wenn wir nun dasselbe mit allen anderen Säulen machen, dann kommen wir zu folgendem Ergebnis: Die Fläche S eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist ungefähr gleich der Fläche S n einer Stufenfigur aus n Rechtecken (siehe Abbildung):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Hier gehen wir aus Gründen der Einheitlichkeit der Notation davon aus, dass a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - Segmentlänge , \(\Delta x_1 \) - Segmentlänge usw.; während, wie oben vereinbart, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Also \(S \approx S_n \), und diese ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je größer n ist.
Per Definition wird angenommen, dass die gewünschte Fläche des krummlinigen Trapezes gleich der Grenze der Folge (S n) ist:
$$ S = \lim_(n \bis \infty) S_n $$
Aufgabe 2(über das Verschieben eines Punktes)
Ein materieller Punkt bewegt sich auf einer geraden Linie. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit wird durch die Formel v = v(t) ausgedrückt. Finden Sie die Verschiebung eines Punktes über das Zeitintervall [a; b].
Entscheidung. Wäre die Bewegung gleichförmig, dann wäre das Problem ganz einfach gelöst: s = vt, d.h. s = v(b-a). Für ungleichmäßige Bewegungen muss man die gleichen Ideen verwenden, auf denen die Lösung des vorherigen Problems basierte.
1) Teilen Sie das Zeitintervall [a; b] in n gleiche Teile.
2) Betrachten Sie ein Zeitintervall und nehmen Sie an, dass während dieses Zeitintervalls die Geschwindigkeit konstant war, wie zum Beispiel zum Zeitpunkt t k . Wir nehmen also an, dass v = v(t k).
3) Finden Sie den Näherungswert der Punktverschiebung über das Zeitintervall , dieser Näherungswert wird mit sk bezeichnet
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Finden Sie den ungefähren Wert der Verschiebung s:
\(s \approx S_n \) wobei
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Updelta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Updelta t_(n-1) \)
5) Die erforderliche Verschiebung ist gleich der Grenze der Folge (S n):
$$ s = \lim_(n \bis \infty) S_n $$
Fassen wir zusammen. Die Lösungen verschiedener Probleme wurden auf dasselbe mathematische Modell reduziert. Viele Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik führen im Lösungsprozess zum gleichen Modell. Daher sollte dieses mathematische Modell speziell untersucht werden.
Der Begriff eines bestimmten Integrals
Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung des Modells geben, das in den drei betrachteten Problemen für die stetige (aber nicht notwendigerweise nicht-negative, wie in den betrachteten Problemen angenommene) Funktion y = f(x) auf der Strecke [ a; b]:
1) Splitte das Segment [a; b] in n gleiche Teile;
2) Summe $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) berechne $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass diese Grenze im Fall einer stetigen (oder stückweise stetigen) Funktion existiert. Sein Name ist ein bestimmtes Integral der Funktion y = f(x) über die Strecke [a; b] und werden so bezeichnet:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Die Zahlen a und b heißen Integrationsgrenzen (untere bzw. obere).
Kehren wir zu den oben besprochenen Aufgaben zurück. Die in Aufgabe 1 gegebene Flächendefinition kann nun wie folgt umgeschrieben werden:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hier ist S die Fläche des in der obigen Abbildung gezeigten krummlinigen Trapezes. Das ist was geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.
Die in Aufgabe 2 gegebene Definition der Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über das Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, lässt sich wie folgt umschreiben:
Newton - Leibniz-Formel
Lassen Sie uns zunächst die Frage beantworten: Welche Beziehung besteht zwischen einem bestimmten Integral und einer Stammfunktion?
Die Antwort findet sich in Aufgabe 2. Zum einen wird die Verschiebung s eines Punktes, der sich entlang einer Geraden mit der Geschwindigkeit v = v(t) über ein Zeitintervall von t = a bis t = b bewegt, berechnet und berechnet sich aus die Formel
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Andererseits ist die Koordinate des sich bewegenden Punktes die Stammfunktion für die Geschwindigkeit – nennen wir sie s(t); daher wird die Verschiebung s durch die Formel s = s(b) - s(a) ausgedrückt. Als Ergebnis erhalten wir:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
wobei s(t) die Stammfunktion für v(t) ist.
Der folgende Satz wurde im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.
Satz. Ist die Funktion y = f(x) auf der Strecke [a; b], dann die Formel
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
wobei F(x) die Stammfunktion für f(x) ist.
Diese Formel wird normalerweise aufgerufen Newton-Leibniz-Formel zu Ehren des englischen Physikers Isaac Newton (1643-1727) und des deutschen Philosophen Gottfried Leibniz (1646-1716), die es unabhängig voneinander und nahezu gleichzeitig erhielten.
In der Praxis verwenden sie, anstatt F(b) - F(a) zu schreiben, die Notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (manchmal auch genannt doppelte Substitution) und dementsprechend die Newton-Leibniz-Formel in dieser Form umschreiben:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Berechnen Sie ein bestimmtes Integral, finden Sie zuerst die Stammfunktion und führen Sie dann eine doppelte Substitution durch.
Basierend auf der Newton-Leibniz-Formel kann man zwei Eigenschaften eines bestimmten Integrals erhalten.
Eigentum 1. Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Eigenschaft 2. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen herausgenommen werden:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Berechnung der Flächeninhalte ebener Figuren mit einem bestimmten Integral
Mit dem Integral können Sie die Fläche nicht nur von krummlinigen Trapezen berechnen, sondern auch von komplexeren ebenen Figuren, wie der in der Abbildung gezeigten. Die Figur P wird durch Geraden x = a, x = b und Graphen stetiger Funktionen y = f(x), y = g(x) begrenzt und auf der Strecke [a; b] gilt die Ungleichung \(g(x)\leq f(x)\). Um die Fläche S einer solchen Figur zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Also, die Fläche S der Figur, begrenzt durch die geraden Linien x = a, x = b und die Graphen der Funktionen y = f(x), y = g(x), stetig auf dem Segment und so, dass für jedes x von das Segment [a; b] die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \) erfüllt ist, wird durch die Formel berechnet
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
