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"Volumen eines Prismas" - Der Begriff eines Prismas. direktes Prisma. Das Volumen des ursprünglichen Prismas ist gleich dem Produkt S · h. Wie findet man das Volumen eines geraden Prismas? Das Prisma kann in gerade dreieckige Prismen mit der Höhe h unterteilt werden. Zeichne die Höhe des Dreiecks ABC. Die Lösung des Problems. Unterrichtsziele. Grundlegende Schritte zum Beweis des direkten Prismensatzes? Untersuchung des Prismenvolumensatzes.

"Prismenpolyeder" - Definieren Sie ein Polyeder. DABC ist ein Tetraeder, ein konvexer Polyeder. Die Verwendung von Prismen. Wo werden Prismen verwendet? ABCDMP ist ein Oktaeder, das aus acht Dreiecken besteht. ABCDA1B1C1D1 ist ein Parallelepiped, ein konvexer Polyeder. Konvexes Polyeder. Das Konzept eines Polyeders. Das Polyeder A1A2..AnB1B2..Bn ist ein Prisma.

"Prismenklasse 10" - Ein Prisma ist ein Polyeder, dessen Flächen in parallelen Ebenen liegen. Die Verwendung eines Prismas im Alltag. Seite = Pbasiert. + h Für ein gerades Prisma: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Geneigt. Richtig. Gerade. Prisma. Formeln zum Finden der Fläche. Die Verwendung von Prismen in der Architektur. Sp.p \u003d S-Seite + 2 S-basiert.

"Beweis des Satzes von Pythagoras" - Geometrischer Beweis. Die Bedeutung des Satzes des Pythagoras. Satz des Pythagoras. Euklids Beweis. "In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten." Beweise des Satzes. Die Bedeutung des Satzes besteht darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet werden können.

Im Schullehrplan für den Studiengang Festkörpergeometrie beginnt das Studium dreidimensionaler Figuren meist mit einem einfachen geometrischen Körper - einem Prismenpolyeder. Die Rolle seiner Basen übernehmen 2 gleiche Polygone, die in parallelen Ebenen liegen. Ein Sonderfall ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma. Seine Grundflächen sind 2 identische regelmäßige Vierecke, zu denen die Seiten senkrecht stehen und die Form von Parallelogrammen (oder Rechtecken, wenn das Prisma nicht geneigt ist) haben.

Wie sieht ein prisma aus

Ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist ein Hexaeder, an dessen Basis sich 2 Quadrate befinden und dessen Seitenflächen durch Rechtecke dargestellt werden. Ein anderer Name für diese geometrische Figur ist ein gerades Parallelepiped.

Die Abbildung, die ein viereckiges Prisma darstellt, ist unten gezeigt.

Kann man auch auf dem Bild sehen die wichtigsten Elemente, aus denen ein geometrischer Körper besteht. Sie werden allgemein bezeichnet als:

Manchmal findet man in Geometrieaufgaben das Konzept eines Abschnitts. Die Definition wird so lauten: Ein Schnitt sind alle Punkte eines Volumenkörpers, die zur Schnittebene gehören. Der Schnitt ist senkrecht (schneidet die Kanten der Figur in einem Winkel von 90 Grad). Bei einem rechteckigen Prisma wird auch ein Diagonalschnitt berücksichtigt (es können maximal 2 Schnitte gebaut werden), der durch 2 Kanten und die Diagonalen der Basis verläuft.

Wird der Schnitt so gezeichnet, dass die Schnittebene weder zu den Grund- noch zu den Seitenflächen parallel ist, entsteht ein Prismenstumpf.

Verschiedene Verhältnisse und Formeln werden verwendet, um die reduzierten prismatischen Elemente zu finden. Einige von ihnen sind aus dem Verlauf der Planimetrie bekannt (um beispielsweise die Fläche der Basis eines Prismas zu ermitteln, reicht es aus, sich an die Formel für die Fläche eines Quadrats zu erinnern).

Oberfläche und Volumen

Um das Volumen eines Prismas mithilfe der Formel zu bestimmen, müssen Sie die Fläche seiner Basis und Höhe kennen:

V = Sprim h

Da die Basis eines regulären tetraedrischen Prismas ein Quadrat mit einer Seite ist a, Sie können die Formel in einer detaillierteren Form schreiben:

V = a²h

Wenn wir über einen Würfel sprechen - ein regelmäßiges Prisma mit gleicher Länge, Breite und Höhe, wird das Volumen wie folgt berechnet:

Um zu verstehen, wie man die seitliche Oberfläche eines Prismas findet, muss man sich seinen Schwung vorstellen.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Seitenfläche aus 4 gleichen Rechtecken besteht. Seine Fläche errechnet sich aus dem Produkt des Umfangs der Basis und der Höhe der Figur:

Seite = Pos h

Da der Umfang ein Quadrat ist P = 4a, die Formel hat die Form:

Seite = 4a h

Für Würfel:

Seite = 4a²

Um die Gesamtfläche eines Prismas zu berechnen, fügen Sie der Seitenfläche 2 Grundflächen hinzu:

Svoll = SSeite + 2SBasis

Angewendet auf ein viereckiges regelmäßiges Prisma hat die Formel die Form:

Svoll = 4a h + 2a²

Für die Oberfläche eines Würfels:

Svoll = 6a²

Mit Kenntnis des Volumens oder der Oberfläche können Sie die einzelnen Elemente eines geometrischen Körpers berechnen.

Prismenelemente finden

Oft gibt es Probleme, bei denen das Volumen angegeben ist oder der Wert der Seitenfläche bekannt ist, wo es notwendig ist, die Länge der Seite der Basis oder die Höhe zu bestimmen. In solchen Fällen können Formeln abgeleitet werden:

• Grundseitenlänge: a = Seite / 4h = √(V / h);
• Höhe bzw. Seitenrippenlänge: h = Seite / 4a = V / a²;
• Grundfläche: Sprim = V/h;
• Seitenfläche: Seite gr = Seite / 4.

Um zu bestimmen, wie viel Fläche eine Diagonale hat, müssen Sie die Länge der Diagonale und die Höhe der Figur kennen. Für ein Quadrat d = a√2. Deshalb:

Sdiag = ah√2

Um die Diagonale des Prismas zu berechnen, wird die Formel verwendet:

dPreis = √(2a² + h²)

Um zu verstehen, wie die obigen Verhältnisse anzuwenden sind, können Sie einige einfache Aufgaben üben und lösen.

Beispiele für Probleme mit Lösungen

Hier sind einige der Aufgaben, die in den staatlichen Abschlussprüfungen in Mathematik vorkommen.

Übung 1.

Sand wird in eine Kiste gegossen, die wie ein regelmäßiges viereckiges Prisma geformt ist. Die Höhe des Sandes beträgt 10 cm. Wie hoch wird der Sand sein, wenn Sie ihn in einen Behälter mit der gleichen Form, aber mit einer doppelt so langen Basislänge bringen?

Es soll wie folgt argumentiert werden. Die Sandmenge im ersten und zweiten Behälter änderte sich nicht, d. h. sein Volumen darin ist gleich. Sie können die Länge der Basis definieren als a. In diesem Fall beträgt das Volumen des Stoffes für das erste Kästchen:

V₁ = ha² = 10a²

Für die zweite Box ist die Länge der Basis 2a, aber die Höhe des Sandspiegels ist unbekannt:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Soweit V₁ = V₂, können die Ausdrücke gleichgesetzt werden:

10a² = 4ha²

Nachdem wir beide Seiten der Gleichung um a² reduziert haben, erhalten wir:

Als Ergebnis wird die neue Sandebene sein h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Aufgabe 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ist ein regelmäßiges Prisma. Es ist bekannt, dass BD = AB₁ = 6√2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Körpers.

Um besser verständlich zu machen, welche Elemente bekannt sind, können Sie eine Figur zeichnen.

Da es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt, können wir daraus schließen, dass die Grundfläche ein Quadrat mit einer Diagonale von 6√2 ist. Die Diagonale der Seitenfläche hat den gleichen Wert, daher hat die Seitenfläche auch die Form eines Quadrats gleich der Grundfläche. Es stellt sich heraus, dass alle drei Dimensionen – Länge, Breite und Höhe – gleich sind. Wir können daraus schließen, dass ABCDA₁B₁C₁D₁ ein Würfel ist.

Die Länge einer beliebigen Kante wird durch die bekannte Diagonale bestimmt:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Die Gesamtoberfläche ergibt sich aus der Würfelformel:

Svoll = 6a² = 6 6² = 216

Aufgabe 3.

Das Zimmer wird renoviert. Es ist bekannt, dass sein Boden die Form eines Quadrats mit einer Fläche von 9 m² hat. Die Raumhöhe beträgt 2,5 m. Was kostet das Tapezieren eines Raumes am wenigsten, wenn 1 m² 50 Rubel kostet?

Da der Boden und die Decke Quadrate sind, dh regelmäßige Vierecke, und seine Wände senkrecht zu horizontalen Flächen stehen, können wir daraus schließen, dass es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt. Es ist notwendig, die Fläche seiner Seitenfläche zu bestimmen.

Die Raumlänge beträgt a = √9 = 3 m.

Der Platz wird tapeziert Seite = 4 3 2,5 = 30 m².

Die niedrigsten Tapetenkosten für diesen Raum betragen 50 30 = 1500 Rubel.

Um Probleme auf einem rechteckigen Prisma zu lösen, reicht es also aus, die Fläche und den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks ​​berechnen zu können und die Formeln zur Bestimmung des Volumens und der Oberfläche zu kennen.

So finden Sie die Fläche eines Würfels

Prisma. Parallelepiped

Prisma wird ein Polyeder genannt, dessen zwei Flächen gleiche n-Ecke sind (Grund) , die in parallelen Ebenen liegen, und die verbleibenden n Flächen sind Parallelogramme (Seitenkanten) . Seitenrippe Prisma ist die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört.

Ein Prisma, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basen stehen, wird als Prisma bezeichnet gerade Prisma (Abb. 1). Wenn die Seitenkanten nicht senkrecht zu den Ebenen der Basen sind, wird das Prisma genannt schräg . Korrekt Ein Prisma ist ein gerades Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Polygone sind.

Höhe Prisma wird der Abstand zwischen den Ebenen der Basen genannt. Diagonale Ein Prisma ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die nicht zur selben Fläche gehören. Diagonalschnitt Ein Schnitt eines Prismas durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören, wird als bezeichnet. Senkrechter Schnitt bezeichnet den Schnitt des Prismas durch eine Ebene senkrecht zur seitlichen Kante des Prismas.

Seitenfläche Prisma ist die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig die Summe der Flächen aller Flächen des Prismas genannt wird (d. h. die Summe der Flächen der Seitenflächen und der Flächen der Basen).

Für ein beliebiges Prisma gelten die Formeln:

wo l ist die Länge der Seitenrippe;

H- Höhe;

P

Q

S-Seite

S voll

S Haupt ist die Fläche der Basen;

v ist das Volumen des Prismas.

Für ein gerades Prisma gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

l ist die Länge der Seitenrippe;

H- Höhe.

Parallelepiped Ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist, heißt. Ein Quader, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen, wird genannt Direkte (Abb. 2). Wenn die Seitenkanten nicht senkrecht zu den Basen stehen, wird das Parallelepiped genannt schräg . Man nennt ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist rechteckig. Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, heißt Würfel.

Die Flächen eines Parallelepipeds, die keine gemeinsamen Ecken haben, werden aufgerufen Gegenteil . Die Längen der Kanten, die von einem Knoten ausgehen, werden genannt Messungen parallelepiped. Da der Quader ein Prisma ist, werden seine Hauptelemente auf die gleiche Weise definiert, wie sie für Prismen definiert sind.

Sätze.

1. Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und halbieren ihn.

2. In einem rechteckigen Parallelepiped ist das Quadrat der Länge der Diagonale gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen:

3. Alle vier Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind einander gleich.

Für ein beliebiges Parallelepiped gelten die folgenden Formeln:

wo l ist die Länge der Seitenrippe;

H- Höhe;

P ist der Umfang des senkrechten Schnitts;

Q– Bereich des senkrechten Schnitts;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S Haupt ist die Fläche der Basen;

v ist das Volumen des Prismas.

Für ein rechtwinkliges Parallelepiped gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

l ist die Länge der Seitenrippe;

H ist die Höhe des rechten Parallelepipeds.

Für ein rechteckiges Parallelepiped gelten die folgenden Formeln:

(3)

wo p- Umfang der Basis;

H- Höhe;

d- diagonal;

ABC– Messungen eines Parallelepipeds.

Die richtigen Formeln für einen Würfel sind:

wo a ist die Länge der Rippe;

d ist die Diagonale des Würfels.

Beispiel 1 Die Diagonale eines rechteckigen Quaders beträgt 33 dm, und seine Maße stehen im Verhältnis 2:6:9. Ermitteln Sie die Maße des Quaders.

Entscheidung. Um die Abmessungen des Parallelepipeds zu finden, verwenden wir Formel (3), d.h. die Tatsache, dass das Quadrat der Hypotenuse eines Quaders gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen ist. Bezeichne mit k Koeffizient der Proportionalität. Dann sind die Abmessungen des Parallelepipeds gleich 2 k, 6k und 9 k. Wir schreiben Formel (3) für die Problemdaten:

Lösen Sie diese Gleichung für k, wir bekommen:

Daher sind die Abmessungen des Parallelepipeds 6 dm, 18 dm und 27 dm.

Antworten: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Beispiel 2 Ermitteln Sie das Volumen eines geneigten dreieckigen Prismas, dessen Basis ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 8 cm ist, wenn die Seitenkante gleich der Seite der Basis ist und in einem Winkel von 60º zur Basis geneigt ist.

Entscheidung . Machen wir eine Zeichnung (Abb. 3).

Um das Volumen eines geneigten Prismas zu ermitteln, müssen Sie die Fläche seiner Basis und Höhe kennen. Die Fläche der Basis dieses Prismas ist die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit einer Seite von 8 cm. Berechnen wir es:

Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen seinen Grundflächen. Von oben SONDERN 1 der oberen Basis senken wir die Senkrechte auf die Ebene der unteren Basis SONDERN 1 D. Seine Länge entspricht der Höhe des Prismas. Betrachten Sie D SONDERN 1 ANZEIGE: da dies der Neigungswinkel der Seitenrippe ist SONDERN 1 SONDERN zur Basisebene SONDERN 1 SONDERN= 8 cm Aus diesem Dreieck finden wir SONDERN 1 D:

Nun berechnen wir das Volumen mit Formel (1):

Antworten: 192 cm3.

Beispiel 3 Die Seitenkante eines regelmäßigen sechseckigen Prismas beträgt 14 cm, die Fläche des größten diagonalen Abschnitts 168 cm 2. Finden Sie die Gesamtfläche des Prismas.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 4)

Der größte Diagonalabschnitt ist ein Rechteck AA 1 DD 1 , da die Diagonale ANZEIGE regelmäßiges Sechseck ABCDEF ist der grösste. Um die seitliche Oberfläche eines Prismas zu berechnen, ist es notwendig, die Seite der Basis und die Länge der seitlichen Rippe zu kennen.

Wenn wir die Fläche des diagonalen Abschnitts (Rechteck) kennen, finden wir die Diagonale der Basis.

Weil dann

Seit damals AB= 6cm.

Dann ist der Umfang der Basis:

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche des Prismas:

Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 6 cm beträgt:

Finden Sie die Gesamtfläche des Prismas:

Antworten:

Beispiel 4 Die Basis eines rechten Parallelepipeds ist eine Raute. Die Flächen der Diagonalschnitte betragen 300 cm 2 und 875 cm 2. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche des Parallelepipeds.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 5).

Bezeichne die Seite der Raute mit a, die Diagonalen der Raute d 1 und d 2 , die Höhe der Box h. Um die Seitenfläche eines geraden Parallelepipeds zu finden, muss der Umfang der Basis mit der Höhe multipliziert werden: (Formel (2)). Basisumfang p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, als A B C D- Raute. H = AA 1 = h. Dass. Ich muss finden a und h.

Betrachten Sie diagonale Abschnitte. AA 1 SS 1 - ein Rechteck, dessen eine Seite die Diagonale einer Raute ist AC = d 1, zweite - Seitenkante AA 1 = h, dann

Ebenso für die Sektion BB 1 DD 1 erhalten wir:

Unter Verwendung der Eigenschaft eines Parallelogramms, dass die Summe der Quadrate der Diagonalen gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten ist, erhalten wir die Gleichheit. Wir erhalten Folgendes.

Die Fläche der Seitenfläche des Prismas. Hallo! In dieser Veröffentlichung werden wir eine Gruppe von Aufgaben zur Stereometrie analysieren. Stellen Sie sich eine Kombination von Körpern vor - ein Prisma und einen Zylinder. Dieser Artikel vervollständigt derzeit die gesamte Artikelserie zur Betrachtung von Aufgabentypen in der Stereometrie.

Wenn neue Aufgaben in der Aufgabendatenbank auftauchen, dann wird es in Zukunft natürlich Ergänzungen im Blog geben. Aber was schon da ist, reicht völlig aus, um im Rahmen der Prüfung alle Probleme mit einer kurzen Antwort lösen zu lernen. Der Stoff reicht für die nächsten Jahre (der Studiengang Mathematik ist statisch).

Die vorgestellten Aufgaben beziehen sich auf die Berechnung der Prismenfläche. Ich stelle fest, dass wir im Folgenden ein gerades Prisma (und dementsprechend einen geraden Zylinder) betrachten.

Ohne irgendwelche Formeln zu kennen, verstehen wir, dass die Seitenfläche eines Prismas alle seine Seitenflächen sind. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenflächen Rechtecke.

Die Seitenfläche eines solchen Prismas ist gleich der Summe der Flächen aller seiner Seitenflächen (dh Rechtecke). Wenn wir über ein regelmäßiges Prisma sprechen, in das ein Zylinder eingeschrieben ist, dann ist es klar, dass alle Flächen dieses Prismas GLEICHE Rechtecke sind.

Formal lässt sich die Seitenfläche eines regelmäßigen Prismas wie folgt ausdrücken:

27064. Ein regelmäßiges viereckiges Prisma wird um einen Zylinder herum umschrieben, dessen Basisradius und Höhe gleich 1 sind. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche des Prismas.

Die Mantelfläche dieses Prismas besteht aus vier flächengleichen Rechtecken. Die Höhe der Fläche ist 1, die Kante der Basis des Prismas ist 2 (dies sind zwei Radien des Zylinders), also ist die Fläche der Seitenfläche:

Seitenfläche:

73023. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das um einen Zylinder herumbeschrieben ist, dessen Basisradius √0,12 und dessen Höhe 3 ist.

Die Fläche der Seitenfläche dieses Prismas ist gleich der Summe der Flächen der drei Seitenflächen (Rechtecke). Um die Fläche der Seitenfläche zu finden, müssen Sie ihre Höhe und die Länge der Basiskante kennen. Die Höhe beträgt drei. Finden Sie die Länge der Kante der Basis. Betrachten Sie die Projektion (Draufsicht):

Wir haben ein regelmäßiges Dreieck, dem ein Kreis mit Radius √0,12 einbeschrieben ist. Aus dem rechtwinkligen Dreieck AOC können wir AC finden. Und dann AD (AD=2AC). Per Definition der Tangente:

Also AD \u003d 2AC \u003d 1.2 Somit ist die Fläche der Seitenfläche gleich:

27066. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, das um einen Zylinder herumbeschrieben ist, dessen Basisradius √75 und dessen Höhe 1 ist.

Die gewünschte Fläche ist gleich der Summe der Flächen aller Seitenflächen. Bei einem regelmäßigen sechseckigen Prisma sind die Seitenflächen gleiche Rechtecke.

Um die Fläche eines Gesichts zu finden, müssen Sie seine Höhe und die Länge der Basiskante kennen. Die Höhe ist bekannt, sie ist gleich 1.

Finden Sie die Länge der Kante der Basis. Betrachten Sie die Projektion (Draufsicht):

Wir haben ein regelmäßiges Sechseck, in das ein Kreis mit Radius √75 einbeschrieben ist.

Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABO. Wir kennen den Schenkel OB (das ist der Radius des Zylinders). Wir können auch den Winkel AOB bestimmen, er ist gleich 300 (das Dreieck AOC ist gleichseitig, OB ist eine Winkelhalbierende).

Verwenden wir die Definition der Tangente in einem rechtwinkligen Dreieck:

AC \u003d 2AB, da OB ein Median ist, das heißt, es teilt AC in zwei Hälften, was AC \u003d 10 bedeutet.

Somit ist die Fläche der Seitenfläche 1∙10=10 und die Fläche der Seitenfläche ist:

76485. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Prismas, das in einen Zylinder eingeschrieben ist, dessen Basisradius 8√3 und dessen Höhe 6 ist.

Die Fläche der Seitenfläche des angegebenen Prismas aus drei gleich großen Flächen (Rechtecken). Um die Fläche zu finden, müssen Sie die Länge der Kante der Basis des Prismas kennen (wir kennen die Höhe). Betrachten wir die Projektion (Draufsicht), dann haben wir ein regelmäßiges Dreieck, das einem Kreis einbeschrieben ist. Die Seite dieses Dreiecks wird als Radius ausgedrückt als:

Details dieser Beziehung. Es wird also gleich sein

Dann ist die Fläche der Seitenfläche gleich: 24∙6=144. Und der benötigte Bereich:

245354. Ein regelmäßiges viereckiges Prisma wird in der Nähe eines Zylinders umschrieben, dessen Basisradius 2 beträgt. Die Seitenfläche des Prismas beträgt 48. Ermitteln Sie die Höhe des Zylinders.