Beim Hinzufügen von Minus durch Minus, was ergibt. Zeichenregeln für Multiplikation und Addition

"Der Feind meines Feindes ist mein Freund"

Warum ist minus eins mal minus eins gleich plus eins? Warum ist minus eins mal plus eins gleich minus eins? Die einfachste Antwort lautet: "Weil dies die Regeln für die Arbeit mit negativen Zahlen sind." Die Regeln, die wir in der Schule lernen und unser ganzes Leben lang anwenden. Die Lehrbücher erklären jedoch nicht, warum die Regeln so sind, wie sie sind. Wir werden zunächst versuchen, dies aus der Entwicklungsgeschichte der Arithmetik zu verstehen, und dann werden wir diese Frage aus der Sicht der modernen Mathematik beantworten.

Vor langer Zeit kannten die Menschen nur natürliche Zahlen: Sie wurden verwendet, um Utensilien, Beute, Feinde usw. zu zählen. Aber Zahlen an sich sind eher nutzlos – man muss damit umgehen können. Die Addition ist klar und verständlich, außerdem ist die Summe zweier natürlicher Zahlen auch eine natürliche Zahl (ein Mathematiker würde sagen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unter der Addition abgeschlossen ist). Multiplikation ist eigentlich dieselbe Addition, wenn wir über natürliche Zahlen sprechen. Im Leben führen wir häufig Aktionen im Zusammenhang mit diesen beiden Operationen durch (zum Beispiel addieren und multiplizieren wir beim Einkaufen), und es ist seltsam zu glauben, dass unsere Vorfahren ihnen seltener begegnet sind - Addition und Multiplikation wurden von der Menschheit sehr lange gemeistert vor. Oft ist es notwendig, eine Größe durch eine andere zu dividieren, aber hier wird das Ergebnis nicht immer als natürliche Zahl ausgedrückt - so erschienen Bruchzahlen.

Negative Zahlen erscheinen in indischen Dokumenten aus dem 7. Jahrhundert n. Chr.; Die Chinesen begannen anscheinend etwas früher, sie zu benutzen. Sie wurden verwendet, um Schulden zu berücksichtigen oder in Zwischenrechnungen, um die Lösung von Gleichungen zu vereinfachen - es war nur ein Werkzeug, um eine positive Antwort zu erhalten. Die Tatsache, dass negative Zahlen im Gegensatz zu positiven nicht die Anwesenheit einer Entität ausdrücken, erregte starkes Misstrauen. Menschen im wahrsten Sinne des Wortes vermieden negative Zahlen: Wenn das Problem negativ beantwortet wurde, glaubten sie, dass es überhaupt keine Antwort gab. Dieses Misstrauen hielt sehr lange an, und sogar Descartes – einer der „Begründer“ der modernen Mathematik – nannte sie „falsch“ (im 17. Jahrhundert!).

Nehmen wir als Beispiel die Gleichung. Es kann folgendermaßen gelöst werden: Bewegen Sie die Terme mit dem Unbekannten nach links und den Rest nach rechts, es wird sich herausstellen , , . Mit dieser Lösung sind wir nicht einmal auf negative Zahlen gestoßen.

Aber es hätte auch anders gemacht werden können: Verschiebe die Terme mit dem Unbekannten auf die rechte Seite und erhalte , . Um das Unbekannte zu finden, müssen Sie eine negative Zahl durch eine andere teilen: . Aber die richtige Antwort ist bekannt, und es bleibt zu schließen, dass .

Was zeigt dieses einfache Beispiel? Zunächst wird die Logik deutlich, die die Regeln für Aktionen mit negativen Zahlen bestimmt hat: Die Ergebnisse dieser Aktionen müssen mit den Antworten übereinstimmen, die auf andere Weise ohne negative Zahlen erhalten werden. Zweitens, indem wir die Verwendung negativer Zahlen zulassen, entledigen wir uns der mühsamen Suche nach dem Lösungsweg, bei dem alle Aktionen nur mit natürlichen Zahlen ausgeführt werden. Außerdem können wir nicht mehr jedes Mal über die Sinnhaftigkeit der umzurechnenden Größen nachdenken – und das ist bereits ein Schritt, die Mathematik zu einer abstrakten Wissenschaft zu machen.

Die Regeln für Aktionen auf negative Zahlen wurden nicht sofort gebildet, sondern wurden zu einer Verallgemeinerung zahlreicher Beispiele, die bei der Lösung angewandter Probleme auftraten. Im Allgemeinen kann die Entwicklung der Mathematik bedingt in Stufen unterteilt werden: Jede nächste Stufe unterscheidet sich von der vorherigen durch eine neue Abstraktionsebene in der Untersuchung von Objekten. So erkannten die Mathematiker im 19. Jahrhundert, dass ganze Zahlen und Polynome bei aller äußerlichen Verschiedenheit viel gemeinsam haben: Beide können addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Diese Operationen gehorchen den gleichen Gesetzmäßigkeiten – sowohl bei Zahlen als auch bei Polynomen. Aber die Division von ganzen Zahlen durcheinander, so dass das Ergebnis wieder ganze Zahlen sind, ist nicht immer möglich. Dasselbe gilt für Polynome.

Dann wurden andere Sammlungen mathematischer Objekte entdeckt, an denen solche Operationen durchgeführt werden können: formale Potenzreihen, kontinuierliche Funktionen ... Schließlich kam die Einsicht, dass, wenn Sie die Eigenschaften der Operationen selbst untersuchen, die Ergebnisse auf alle diese angewendet werden können Sammlungen von Objekten (dieser Ansatz ist typisch für die gesamte moderne Mathematik).

Als Ergebnis erschien ein neues Konzept: der Ring. Es ist nur eine Reihe von Elementen plus Aktionen, die an ihnen ausgeführt werden können. Die grundlegenden Regeln sind hier nur die Regeln (sie werden Axiome genannt), die Aktionen unterliegen, und nicht die Natur der Elemente der Menge (hier ist es eine neue Abstraktionsebene!). Um zu betonen, dass es auf die Struktur ankommt, die nach der Einführung von Axiomen entsteht, sagen Mathematiker: der Ring der ganzen Zahlen, der Ring der Polynome usw. Ausgehend von den Axiomen kann man andere Eigenschaften von Ringen ableiten.

Wir werden die Axiome des Rings formulieren (die natürlich den Regeln für Operationen mit ganzen Zahlen ähneln) und dann beweisen, dass in jedem Ring die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus ergibt.

Ein Ring ist eine Menge mit zwei binären Operationen (d. h. zwei Elemente des Rings sind an jeder Operation beteiligt), die traditionell als Addition und Multiplikation bezeichnet werden, und den folgenden Axiomen:

Beachten Sie, dass Ringe in der allgemeinsten Konstruktion keine Multiplikation erfordern, um permutierbar zu sein, noch umkehrbar sind (d. h. es ist nicht immer möglich, zu teilen), noch die Existenz einer Einheit erfordern - ein neutrales Element in Bezug auf zur Multiplikation. Wenn diese Axiome eingeführt werden, werden andere algebraische Strukturen erhalten, aber alle für Ringe bewiesenen Theoreme werden in ihnen wahr sein.

Nun beweisen wir das für beliebige Elemente und einen beliebigen Ring erstens und zweitens . Daraus folgen leicht Aussagen über Einheiten: und .

Dazu müssen wir einige Tatsachen feststellen. Zuerst beweisen wir, dass jedes Element nur ein Gegenteil haben kann. In der Tat, lassen Sie ein Element zwei entgegengesetzte haben: und . Also . Betrachten wir die Summe. Unter Verwendung der Assoziativ- und Kommutativgesetze und der Nulleigenschaft erhalten wir, dass die Summe einerseits gleich und andererseits gleich ist. Meint, .

Beachten Sie nun, dass and , und Gegensätze desselben Elements sind , also müssen sie gleich sein.

Die erste Tatsache erhält man wie folgt: , also das Gegenteil von , was bedeutet, dass sie gleich ist.

Um mathematisch streng zu sein, lassen Sie uns auch erklären, warum für jedes Element . Tatsächlich, . Das heißt, die Addition ändert die Summe nicht. Dieses Produkt ist also gleich Null.

Und die Tatsache, dass es genau eine Null im Ring gibt (schließlich sagen die Axiome, dass ein solches Element existiert, aber nichts über seine Eindeutigkeit!), überlassen wir dem Leser als einfache Übung.

Jewgeni Epifanov
"Elemente"

Kommentare: 0

Jaques Cesiano

In zwei Jahrtausenden gab es drei wichtige Erweiterungen des numerischen Bereichs. Zunächst um 450 v. Wissenschaftler der Schule des Pythagoras bewiesen die Existenz irrationaler Zahlen. Ihr ursprüngliches Ziel war es, die Diagonale des Einheitsquadrats numerisch auszudrücken. Zweitens gaben europäische Wissenschaftler im XIII-XV Jahrhundert beim Lösen von Systemen linearer Gleichungen die Möglichkeit einer negativen Lösung zu. Und drittens verwendete der italienische Algebraiker Raphael Bombelli 1572 komplexe Zahlen, um eine reelle Lösung für eine bestimmte kubische Gleichung zu erhalten.

Proskurjakow I. V.

Der Zweck dieses Buches ist es, Zahlen, Polynome und algebraische Brüche streng zu definieren und ihre bereits aus der Schule bekannten Eigenschaften zu begründen, und nicht, dem Leser neue Eigenschaften vorzustellen. Daher findet der Leser hier keine für ihn neuen Fakten (mit Ausnahme einiger Eigenschaften, reeller und komplexer Zahlen), sondern erfährt, wie Dinge bewiesen werden, die ihm gut bekannt sind, beginnend mit „zweimal zwei – vier “ und endet mit den Regeln der Operationen mit Polynomen und algebraischen Brüchen. Andererseits lernt der Leser eine Reihe allgemeiner Begriffe kennen, die in der Algebra die Hauptrolle spielen.

Ilja Schtschurow

Mathematiker Ilya Shchurov über Dezimalbrüche, Transzendenz und Irrationalität von Pi.

Leon Takhtajyan

Dies werden vier Kurzgeschichten sein. Wir beginnen mit Zahlen, dann sprechen wir über Bewegung, über Veränderung, dann sprechen wir über Formen und Größen, und dann sprechen wir über Anfänge und Enden. In solch einem etwas verschlüsselten Stil werden wir versuchen, die Mathematik von innen und außen und genau als Objekt zu betrachten. Worüber Mathematiker denken und wovon sie leben – darüber können wir später sprechen.

Wladlen Timorin

Mathematiker Vladlen Timorin über die Vorteile komplexer Zahlen, Hamilton-Quaternionen, achtdimensionale Cayley-Zahlen und die Zahlenvielfalt in der Geometrie.

Jaques Cesiano

Wir wissen wenig über Diophantus. Er scheint in Alexandria gelebt zu haben. Kein griechischer Mathematiker erwähnt ihn vor dem 4. Jahrhundert, er lebte also wahrscheinlich in der Mitte des 3. Jahrhunderts. Das wichtigste Werk des Diophantus, „Arithmetik“ (Ἀριθμητικά), fand am Anfang von 13 „Büchern“ (βιβλία), also Kapiteln, statt. Wir haben heute 10 davon, nämlich: 6 im griechischen Text und 4 weitere in der mittelalterlichen arabischen Übersetzung, deren Platz in der Mitte der griechischen Bücher liegt: Bücher I-III auf Griechisch, IV-VII auf Arabisch, VIII-X auf Griechisch. „Arithmetik“ von Diophantus ist in erster Linie eine Sammlung von Problemen, insgesamt etwa 260. In Wahrheit gibt es keine Theorie; Es gibt nur allgemeine Anweisungen in der Einleitung des Buches und bei Bedarf spezielle Anmerkungen zu einigen Problemen. „Arithmetik“ hat bereits die Züge einer algebraischen Abhandlung. Erstens verwendet Diophantus verschiedene Zeichen, um das Unbekannte und seine Grade auszudrücken, auch einige Berechnungen; Wie jede algebraische Symbolik des Mittelalters stammt ihre Symbolik aus mathematischen Wörtern. Dann erklärt Diophantus, wie man das Problem auf algebraische Weise löst. Aber Diophantines Probleme sind nicht im üblichen Sinne algebraisch, weil sie fast alle darauf reduziert sind, eine unbestimmte Gleichung oder Systeme solcher Gleichungen zu lösen.

Die Welt der Mathematik ist ohne sie nicht denkbar – ohne Primzahlen. Was sind Primzahlen, was ist das Besondere an ihnen und welche Bedeutung haben sie im Alltag? In diesem Film lüftet der britische Mathematikprofessor Marcus du Sotoy das Geheimnis der Primzahlen.

George Shabat

In der Schule wird uns allen der Irrglaube eingetrichtert, dass es auf der Menge der rationalen Zahlen Q einen eindeutigen natürlichen Abstand (Differenzbetrag) gibt, bezüglich dessen alle arithmetischen Operationen stetig sind. Es gibt aber auch unendlich viele Abstände, die sogenannten p-adischen, einen für jede Zahl p. Nach dem Satz von Ostrovskii erschöpft die "gewöhnliche" Distanz zusammen mit allen p-adischen Distanzen wirklich alle vernünftigen Distanzen Q. Der Begriff Adele Democracy wurde von Yu.I.Manin eingeführt. Gemäß dem Prinzip der Adeledemokratie sind alle vernünftigen Abstände auf Q vor den Gesetzen der Mathematik gleich (vielleicht nur das traditionelle „etwas = etwas gleicher …“). Der Kurs stellt einen Adele-Ring vor, der es Ihnen ermöglicht, mit allen zu arbeiten diese Entfernungen gleichzeitig.

Wladimir Arnold

JL Lagrange bewies, dass eine Folge unvollständiger Quotienten (von einer Stelle ausgehend) genau dann periodisch ist, wenn die Zahl x eine quadratische Irrationalität ist. R. O. Kuzmin hat bewiesen, dass in einer Folge unvollständiger Quotienten fast jeder reellen Zahl der Anteil d_m gleich m unvollständiger Quotienten gleich ist (für typische reelle Zahlen). Der Bruch d_m nimmt mit m→∞ als 1/m^2 ab und sein Wert wurde von Gauß vorhergesagt (der nichts bewiesen hat). V. I. Arnolda (vor 20 Jahren) vermutete, dass die Gauß-Kuzmin-Statistik d_m auch für die Perioden von Kettenbrüchen der Wurzeln quadratischer Gleichungen x^2+px+q=0 (mit ganzen Zahlen p und q) gilt: wenn wir zusammen schreiben die unvollständigen Quotienten , die die Perioden aller Kettenbrüche der Wurzeln solcher Gleichungen mit p^2+q^2≤R^2 ausmachen, dann wird der Bruch des unvollständigen Quotienten m unter ihnen gegen die Zahl d_m als R→ streben ∞. V. A. Bykovsky und seine Studenten aus Chabarowsk haben kürzlich diese langjährige Hypothese bewiesen. Trotzdem ist die Frage der Statistik nicht von Buchstaben, sondern von aus ihnen zusammengesetzten Wörtern, die Perioden fortgesetzter Brüche beliebiger Wurzeln x der Gleichungen x^2+px+q=0 sind, noch lange nicht gelöst.

Reid Miles

Ich lasse den Titel und die Zusammenfassung so vage wie möglich, damit ich über das sprechen kann, worauf ich an dem Tag Lust habe. Viele für die Sortenklassifikation interessante Sorten werden als Spec oder Proj eines Gorenstein-Rings erhalten. In der Kodimension ⩽3 liefert die bekannte Strukturtheorie explizite Berechnungsmethoden mit Gorensteinringen. Für Ringe der Kodimension ⩾4 gibt es dagegen keine brauchbare Strukturtheorie. Dennoch bieten in vielen Fällen die Gorenstein-Projektion (und ihre Umkehrung, die Kustin-Miller-Unprojektion) Methoden zum Angriff auf diese Ringe. Diese Methoden gelten für sporadische Klassen kanonischer Ringe regulärer algebraischer Oberflächen und für systematischere Konstruktionen von Q-Fano-3-Falten, Sarkisov-Verbindungen zwischen diesen und den 3-Falt-Flips des Typs A der Mori-Theorie.

Warum ergibt ein Minus mal ein Minus ein Plus?

- (1 Stock) - (2 Stöcke) = ((1 Stock)+(2 Stöcke))= 2 Stöcke (Und zwei Stöcke sind +, weil es 2 Stöcke an der Stange gibt)))

Ein Minus mal ein Minus ergibt ein Plus, weil es eine Schulregel ist. Im Moment gibt es meiner Meinung nach keine genaue Antwort warum. Das ist die Regel, und das schon seit vielen Jahren. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass ein Splitter für einen Splitter eine Wäscheklammer ergibt.

Aus dem Schulmathematikkurs wissen wir, dass Minus mal Minus Plus ergibt. Es gibt auch eine vereinfachte, spielerische Erklärung dieser Regel: Minus ist ein Strich, zwei Minus sind zwei Striche, Plus besteht eben aus 2 Strichen. Daher ergibt Minus mal Minus ein Pluszeichen.

Ich denke schon: Minus ist ein Stick - noch einen Minusstab hinzufügen - dann bekommt man zwei stäbchen, und wenn man sie über kreuz verbindet, dann wird das zeichen + lernen, so habe ich meine meinung zu der frage gesagt: minus minus daten plus.

Ein Minus mal ein Minus ergibt nicht immer ein Plus, auch nicht in der Mathematik. Aber im Grunde vergleiche ich diese Aussage mit der Mathematik, wo sie am häufigsten vorkommt. Sie sagen auch, dass sie mit einem Brecheisen Schrott ausschlagen - das ist auch irgendwie mit Minuspunkten verbunden.

Stellen Sie sich vor, Sie hätten sich 100 Rubel geliehen. Jetzt Ihr Konto: -100 Rubel. Dann haben Sie diese Schulden zurückgezahlt. Es stellt sich also heraus, dass Sie Ihre Schulden (-100) um den gleichen Geldbetrag reduziert haben (-). Wir erhalten: -100-(-100)=0

Das Minus zeigt das Gegenteil an: Das Gegenteil von 5 ist -5. Aber -(-5) ist die Zahl, die dem Gegenteil gegenübersteht, d.h. 5.

Wie in einem Witz:

1. - Wo ist die gegenüberliegende Straßenseite?

2. - auf der anderen Seite

1. - und sie sagten das dazu ...

Stellen Sie sich eine Waage mit zwei Schalen vor. Die Tatsache, dass auf der rechten Schüssel immer ein Pluszeichen steht, auf der linken Schüssel - Minus. Nun bedeutet die Multiplikation mit einer Zahl mit Pluszeichen, dass es auf derselben Schüssel vorkommt, und die Multiplikation mit einer Zahl mit Minuszeichen bedeutet, dass das Ergebnis auf eine andere Schüssel übertragen wird. Beispiele. Wir multiplizieren 5 Äpfel mit 2. Wir bekommen 10 Äpfel auf der rechten Schale. Wir multiplizieren - 5 Äpfel mit 2, wir bekommen 10 Äpfel in der linken Schüssel, also -10. Multiplizieren Sie nun -5 mit -2. Dies bedeutet, dass 5 Äpfel in der linken Schüssel mit 2 multipliziert und in die rechte Schüssel übertragen werden, das heißt, die Antwort ist 10. Interessanterweise hat die Multiplikation von Plus mit Minus, also Äpfel in der rechten Schüssel, ein negatives Ergebnis, d. h. Äpfel gehen nach links. Und wenn man minus linke Äpfel mit plus multipliziert, bleiben sie im Minus, auf der linken Schale.

Ich denke, dies kann auf folgende Weise demonstriert werden. Wenn Sie fünf Äpfel in fünf Körbe legen, sind es insgesamt 25 Äpfel. In Körben. Und minus fünf Äpfel bedeutet, dass ich sie nicht gemeldet, sondern aus jedem der fünf Körbe genommen habe. und es stellte sich heraus, dass die gleichen 25 Äpfel, aber nicht in Körben waren. Daher gehen Körbe als Minus.

Sie können dies auch sehr gut mit dem folgenden Beispiel demonstrieren. Wenn Ihr Haus brennt, ist das ein Minus. Aber wenn Sie vergessen haben, den Wasserhahn in der Badewanne abzustellen, und Sie anfingen zu fluten, dann ist dies auch ein Minus. Aber das ist getrennt. Aber wenn alles gleichzeitig passiert ist, ergibt Minus durch Minus ein Plus, und Ihre Wohnung hat eine Chance zu überleben.

1) Warum ist minus eins mal minus eins gleich plus eins?
2) Warum ist minus eins mal plus eins gleich minus eins?

"Der Feind meines Feindes ist mein Freund."

Die einfachste Antwort lautet: "Weil dies die Regeln für die Arbeit mit negativen Zahlen sind." Die Regeln, die wir in der Schule lernen und unser ganzes Leben lang anwenden. Die Lehrbücher erklären jedoch nicht, warum die Regeln so sind, wie sie sind. Wir werden zunächst versuchen, dies aus der Entwicklungsgeschichte der Arithmetik zu verstehen, und dann werden wir diese Frage aus der Sicht der modernen Mathematik beantworten.

Vor langer Zeit kannten die Menschen nur natürliche Zahlen: 1, 2, 3, ... Sie wurden verwendet, um Utensilien, Beute, Feinde usw. zu zählen. Aber die Zahlen selbst sind ziemlich nutzlos - Sie müssen damit umgehen können Sie. Die Addition ist klar und verständlich, und außerdem ist die Summe zweier natürlicher Zahlen auch eine natürliche Zahl (ein Mathematiker würde sagen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unter der Operation der Addition abgeschlossen ist). Multiplikation ist eigentlich dieselbe Addition, wenn wir über natürliche Zahlen sprechen. Im Leben führen wir häufig Aktionen im Zusammenhang mit diesen beiden Operationen durch (zum Beispiel addieren und multiplizieren wir beim Einkaufen), und es ist seltsam zu glauben, dass unsere Vorfahren ihnen seltener begegnet sind - Addition und Multiplikation wurden von der Menschheit sehr lange gemeistert vor. Oft ist es notwendig, eine Größe durch eine andere zu dividieren, aber hier wird das Ergebnis nicht immer durch eine natürliche Zahl ausgedrückt - so erschienen Bruchzahlen.

Negative Zahlen erscheinen in indischen Dokumenten aus dem 7. Jahrhundert n. Chr.; Die Chinesen begannen anscheinend etwas früher, sie zu benutzen. Sie wurden verwendet, um Schulden zu berücksichtigen oder in Zwischenrechnungen, um die Lösung von Gleichungen zu vereinfachen - es war nur ein Werkzeug, um eine positive Antwort zu erhalten. Die Tatsache, dass negative Zahlen im Gegensatz zu positiven nicht die Anwesenheit einer Entität ausdrücken, erregte starkes Misstrauen. Menschen im wahrsten Sinne des Wortes vermieden negative Zahlen: Wenn das Problem negativ beantwortet wurde, glaubten sie, dass es überhaupt keine Antwort gab. Dieses Misstrauen hielt sehr lange an, und sogar Descartes, einer der „Begründer“ der modernen Mathematik, nannte sie „falsch“ (im 17. Jahrhundert!).

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 7x - 17 = 2x - 2. Es kann so gelöst werden: Bewegen Sie die Terme mit dem Unbekannten auf die linke Seite und den Rest nach rechts, es wird sich herausstellen 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Mit dieser Lösung sind wir nicht einmal auf negative Zahlen gestoßen.

Aber man könnte es versehentlich auch anders machen: die Terme mit dem Unbekannten auf die rechte Seite verschieben und bekommen 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Um das Unbekannte zu finden, müssen Sie eine negative Zahl durch eine andere teilen: x = (-15)/(-5). Aber die richtige Antwort ist bekannt, und das bleibt zu folgern (-15)/(-5) = 3 .

Was zeigt dieses einfache Beispiel? Zunächst wird die Logik deutlich, die die Regeln für Aktionen auf negative Zahlen bestimmt hat: Die Ergebnisse dieser Aktionen müssen mit den Antworten übereinstimmen, die auf andere Weise ohne negative Zahlen erhalten werden. Zweitens, indem wir die Verwendung negativer Zahlen zulassen, entledigen wir uns der mühsamen Suche nach dem Lösungsweg, bei dem alle Aktionen nur mit natürlichen Zahlen ausgeführt werden. Außerdem können wir nicht mehr jedes Mal über die Sinnhaftigkeit der umzurechnenden Größen nachdenken – und das ist bereits ein Schritt, die Mathematik zu einer abstrakten Wissenschaft zu machen.

Als Ergebnis erschien ein neues Konzept: Ring. Es ist nur eine Reihe von Elementen plus Aktionen, die an ihnen ausgeführt werden können. Die grundlegenden Regeln hier sind nur die Regeln (sie heißen Axiome), denen Aktionen unterliegen, nicht die Natur der Elemente der Menge (hier ist es eine neue Abstraktionsebene!). Um zu betonen, dass es auf die Struktur ankommt, die nach der Einführung von Axiomen entsteht, sagen Mathematiker: der Ring der ganzen Zahlen, der Ring der Polynome usw. Ausgehend von den Axiomen kann man andere Eigenschaften von Ringen ableiten.

Ring ist eine Menge mit zwei binären Operationen (d. h. zwei Elemente des Rings sind an jeder Operation beteiligt), die traditionell als Addition und Multiplikation bezeichnet werden, und den folgenden Axiomen:

Addition von Ringelementen gehorcht kommutativ ( A + B = B + A für beliebige Elemente EIN und B) und assoziativ ( A + (B + C) = (A + B) + C) Rechtsvorschriften; der Ring enthält ein spezielles Element 0 (ein neutrales Element durch Addition), so dass A + 0 = A, und für jedes Element EIN es gibt ein entgegengesetztes Element (bezeichnet (-EIN)), was A + (-A) = 0 ;
Multiplikation gehorcht dem Kombinationsgesetz: A (B C) = (A B) C ;
Addition und Multiplikation hängen durch die folgenden Erweiterungsregeln in Klammern zusammen: (A + B) C = A C + B C und A (B + C) = A B + A C .

Wir stellen fest, dass Ringe in der allgemeinsten Konstruktion keine Multiplikation erfordern, um permutierbar zu sein, noch umkehrbar (d. h. es ist nicht immer möglich, zu dividieren), noch die Existenz einer Einheit, eines neutralen Elements mit Bezug auf die Multiplikation. Wenn diese Axiome eingeführt werden, werden andere algebraische Strukturen erhalten, aber alle für Ringe bewiesenen Theoreme werden in ihnen wahr sein.

Wir beweisen das jetzt für beliebige Elemente EIN und B willkürlicher Ring ist erstens wahr, (-A) B = -(A B), und zweitens (-(-A)) = A. Daraus folgen leicht Aussagen über Einheiten: (-1) 1 = -(1 1) = -1 und (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .

Dazu müssen wir einige Tatsachen feststellen. Zuerst beweisen wir, dass jedes Element nur ein Gegenteil haben kann. In der Tat, lassen Sie das Element EIN es gibt zwei gegensätze: B und Mit. Also A + B = 0 = A + C. Betrachten Sie die Summe A+B+C. Unter Verwendung der Assoziativ- und Kommutativgesetze und der Nulleigenschaft erhalten wir, dass einerseits die Summe gleich ist B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, und andererseits ist es gleich C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Meint, B=C .

Lassen Sie uns das jetzt festhalten EIN, und (-(-EIN)) stehen dem gleichen Element gegenüber (-EIN), also müssen sie gleich sein.

Der erste Fakt geht so: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, also (-A)B Gegenteil Ein B, also ist es gleich -(A B) .

Um mathematisch streng zu sein, erklären wir warum 0 B = 0 für irgendein Element B. Tatsächlich, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Nämlich der Zusatz 0 Bändert den Betrag nicht. Dieses Produkt ist also gleich Null.

Evgeny Epifanov, Erde (Sol III).

In der Tat, warum? Die einfachste Antwort lautet: "Weil dies die Regeln für die Arbeit mit negativen Zahlen sind." Die Regeln, die wir in der Schule lernen und unser ganzes Leben lang anwenden. Die Lehrbücher erklären jedoch nicht, warum die Regeln so sind, wie sie sind. Wir erinnerten uns - das war's, und stellten die Frage nicht mehr.

Und fragen wir...

Unverzichtbar ist natürlich auch die Subtraktion. Aber in der Praxis neigen wir dazu, die kleinere Zahl von der größeren Zahl zu subtrahieren, und es besteht keine Notwendigkeit, negative Zahlen zu verwenden. (Wenn ich 5 Bonbons habe und meiner Schwester 3 gebe, dann habe ich 5 - 3 = 2 Bonbons, aber ich kann ihr nicht mit all meinem Verlangen 7 Bonbons geben.) Dies kann erklären, warum die Leute keine negativen Zahlen verwendet haben längst.

Negative Zahlen erscheinen in indischen Dokumenten aus dem 7. Jahrhundert n. Chr.; Die Chinesen begannen anscheinend etwas früher, sie zu benutzen. Sie wurden verwendet, um Schulden zu berücksichtigen oder in Zwischenrechnungen, um die Lösung von Gleichungen zu vereinfachen - es war nur ein Werkzeug, um eine positive Antwort zu erhalten. Die Tatsache, dass negative Zahlen im Gegensatz zu positiven nicht die Anwesenheit einer Entität ausdrücken, erregte starkes Misstrauen. Menschen im wahrsten Sinne des Wortes vermieden negative Zahlen: Wenn das Problem negativ beantwortet wurde, glaubten sie, dass es überhaupt keine Antwort gab. Dieses Misstrauen hielt sehr lange an, und sogar Descartes, einer der „Begründer“ der modernen Mathematik, nannte sie „falsch“ (im 17. Jahrhundert!).

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 7x - 17 \u003d 2x - 2. Sie kann wie folgt gelöst werden: Verschieben Sie die Terme mit dem Unbekannten auf die linke Seite und den Rest nach rechts, Sie erhalten 7x - 2x \u003d 17 - 2, 5x \u003d 15, x \u003d 3. Damit sind wir in der Lösung nicht einmal auf negative Zahlen gestoßen.

Aber es hätte auch anders gemacht werden können: Verschieben Sie die Terme mit der Unbekannten auf die rechte Seite und erhalten Sie 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Um die Unbekannte zu finden, müssen Sie eine negative Zahl durch eine andere teilen: x = (-15)/(-5). Aber die richtige Antwort ist bekannt, und es bleibt zu schließen, dass (-15)/(-5) = 3.

Die Addition von Ringelementen gehorcht kommutativen (A + B = B + A für beliebige Elemente A und B) und kombinatorischen (A + (B + C) = (A + B) + C) Gesetzen; der Ring hat ein spezielles Element 0 (additionsneutral), so dass A + 0 = A, und für jedes Element von A gibt es ein entgegengesetztes Element (mit (-A) bezeichnet), so dass A + (-A) = 0;
- Multiplikation gehorcht dem Kombinationsgesetz: A (B C) = (A B) C;
Addition und Multiplikation hängen durch die folgenden Klammererweiterungsregeln zusammen: (A + B) C = A C + B C und A (B + C) = A B + A C.

Nun wollen wir beweisen, dass für beliebige Elemente A und B eines beliebigen Rings erstens (-A) B = -(A B) und zweitens (-(-A)) = A gilt. Daraus lassen sich leicht Aussagen über Einheiten implizieren: (- 1) 1 = -(1 1) = -1 und (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1.

Dazu müssen wir einige Tatsachen feststellen. Zuerst beweisen wir, dass jedes Element nur ein Gegenteil haben kann. Lassen Sie das Element A tatsächlich zwei entgegengesetzte haben: B und C. Das heißt, A + B = 0 = A + C. Betrachten Sie die Summe A + B + C. Unter Verwendung der Assoziativ- und Kommutativgesetze und der Nulleigenschaft können wir erhalten, dass einerseits die Summe gleich B ist: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, und andererseits gleich C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Also B = C.

Beachten Sie nun, dass sowohl A als auch (-(-A)) Gegensätze desselben Elements (-A) sind, also müssen sie gleich sein.

Die erste Tatsache erhält man wie folgt: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, d.h. (-A) B ist entgegengesetzt zu A B, also gleich -(A B ).

Um mathematisch streng zu sein, wollen wir auch erklären, warum 0·B = 0 für jedes Element von B. Tatsächlich ist 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Das heißt, das Hinzufügen von 0 B ändert die Summe nicht. Dieses Produkt ist also gleich Null.

Jewgeni Epifanov

Wenn man einem Mathematiklehrer zuhört, nehmen die meisten Schüler den Stoff als Axiom wahr. Gleichzeitig versuchen nur wenige Menschen, auf den Grund zu gehen und herauszufinden, warum "Minus" zu "Plus" ein "Minus" -Zeichen ergibt und wenn zwei negative Zahlen multipliziert werden, eine positive herauskommt.

Gesetze der Mathematik

Die meisten Erwachsenen sind nicht in der Lage, sich selbst oder ihren Kindern zu erklären, warum dies geschieht. Sie hatten diesen Stoff in der Schule gründlich gelernt, aber sie versuchten nicht einmal herauszufinden, woher solche Regeln kamen. Aber vergeblich. Moderne Kinder sind oft nicht so leichtgläubig, sie müssen der Sache auf den Grund gehen und verstehen, warum "Plus" auf "Minus" "Minus" ergibt. Und manchmal stellen Wildfang bewusst knifflige Fragen, um den Moment zu genießen, in dem Erwachsene keine verständliche Antwort geben können. Und es ist wirklich eine Katastrophe, wenn ein junger Lehrer in Schwierigkeiten gerät ...

Übrigens sei darauf hingewiesen, dass die oben genannte Regel sowohl für die Multiplikation als auch für die Division gilt. Das Produkt aus einer negativen und einer positiven Zahl ergibt nur ein „Minus“. Handelt es sich um zwei Ziffern mit einem „-“-Zeichen, dann ergibt sich eine positive Zahl. Gleiches gilt für die Division Zahlen negativ ist, dann wird der Quotient auch mit dem Vorzeichen "- " sein.

Um die Richtigkeit dieses mathematischen Gesetzes zu erklären, ist es notwendig, die Axiome des Rings zu formulieren. Aber zuerst müssen Sie verstehen, was es ist. In der Mathematik ist es üblich, einen Ring als Menge zu bezeichnen, an der zwei Operationen mit zwei Elementen beteiligt sind. Aber es ist besser, dies anhand eines Beispiels zu verstehen.

Ring-Axiom

Es gibt mehrere mathematische Gesetze.

Der erste von ihnen ist nach ihm verschiebbar, C + V = V + C.
Die zweite heißt assoziativ (V + C) + D = V + (C + D).

Die Multiplikation (V x C) x D \u003d V x (C x D) gehorcht ihnen ebenfalls.

Niemand hat die Regeln aufgehoben, nach denen Klammern geöffnet werden (V + C) x D = V x D + C x D, es ist auch wahr, dass C x (V + D) = C x V + C x D.

Außerdem wurde festgestellt, dass ein spezielles, additionsneutrales Element in den Ring eingeführt werden kann, mit dem gilt: C + 0 = C. Außerdem gibt es zu jedem C ein entgegengesetztes Element, das kann als (-C) bezeichnet werden. In diesem Fall C + (-C) \u003d 0.

Ableitung von Axiomen für negative Zahlen

Nachdem wir die obigen Aussagen akzeptiert haben, können wir die Frage beantworten: ""Plus" auf "Minus" ergibt welches Zeichen? Wenn man das Axiom über die Multiplikation negativer Zahlen kennt, muss man bestätigen, dass tatsächlich (-C) x V = -(C x V) gilt. Und auch, dass die folgende Gleichheit gilt: (-(-C)) = C.

Dazu müssen wir zunächst beweisen, dass jedes der Elemente nur einen entgegengesetzten „Bruder“ hat. Betrachten Sie das folgende Beweisbeispiel. Versuchen wir uns vorzustellen, dass zwei Zahlen für C - V und D entgegengesetzt sind. Daraus folgt, dass C + V = 0 und C + D = 0, dh C + V = 0 = C + D. Erinnern wir uns an die Verschiebungsgesetze und über die Eigenschaften der Zahl 0 können wir die Summe aller drei Zahlen betrachten: C, V und D. Versuchen wir, den Wert von V herauszufinden. Es ist logisch, dass V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, weil der Wert von C + D, wie oben angenommen, gleich 0 ist. Daher ist V = V + C + D.

Der Wert für D ergibt sich auf die gleiche Weise: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Daraus ergibt sich, dass V = D.

Um zu verstehen, warum das "Plus" auf dem "Minus" trotzdem ein "Minus" ergibt, müssen Sie Folgendes verstehen. Für das Element (-C) sind also die Gegensätze C und (-(-C)), das heißt, sie sind einander gleich.

Dann ist es offensichtlich, dass 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Daraus folgt, dass C x V das Gegenteil von (-) C x V ist , was bedeutet (-C) x V = -(C x V).

Für vollständige mathematische Strenge ist es auch notwendig zu bestätigen, dass 0 x V = 0 für jedes Element ist. Wenn Sie der Logik folgen, dann 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Dies bedeutet, dass das Hinzufügen des Produkts 0 x V den eingestellten Betrag in keiner Weise ändert. Schließlich ist dieses Produkt gleich Null.

Wenn man all diese Axiome kennt, kann man nicht nur ableiten, wie viel "Plus" durch "Minus" ergibt, sondern auch, was passiert, wenn negative Zahlen multipliziert werden.

Multiplikation und Division zweier Zahlen mit "-" Zeichen

Wenn Sie sich nicht mit den mathematischen Nuancen befassen, können Sie versuchen, die Handlungsregeln mit negativen Zahlen einfacher zu erklären.

Angenommen, dass C - (-V) = D, basierend darauf, C = D + (-V), das heißt, C = D - V. Wir übertragen V und erhalten, dass C + V = D. Das heißt, C + V = C - (-V). Dieses Beispiel erklärt, warum in einem Ausdruck, in dem zwei „Minus“ hintereinander stehen, die genannten Zeichen in „Plus“ geändert werden sollten. Kommen wir nun zur Multiplikation.

(-C) x (-V) \u003d D, zwei identische Produkte können zum Ausdruck addiert und subtrahiert werden, was seinen Wert nicht ändert: (-C) x (-V) + (C x V) - (C xV) \u003d D.

Wenn wir uns an die Regeln für die Arbeit mit Klammern erinnern, erhalten wir:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Daraus folgt, dass C x V \u003d (-C) x (-V).

Ebenso können wir beweisen, dass das Ergebnis der Division zweier negativer Zahlen positiv ist.

Allgemeine mathematische Regeln

Natürlich ist eine solche Erklärung nicht für Grundschüler geeignet, die gerade erst anfangen, abstrakte negative Zahlen zu lernen. Es ist besser für sie, an sichtbaren Objekten zu erklären und den vertrauten Begriff durch den Spiegel zu manipulieren. Dort befinden sich zum Beispiel erfundene, aber nicht existierende Spielzeuge. Sie können mit einem "-" Zeichen angezeigt werden. Die Multiplikation zweier Spiegelobjekte versetzt sie in eine andere Welt, die der Gegenwart gleichgesetzt wird, d.h. wir haben als Ergebnis positive Zahlen. Aber die Multiplikation einer abstrakten negativen Zahl mit einer positiven liefert nur das jedem bekannte Ergebnis. Immerhin ergibt „Plus“ multipliziert mit „Minus“ „Minus“. Es stimmt, Kinder bemühen sich nicht zu sehr, sich mit allen mathematischen Nuancen zu beschäftigen.

Obwohl, wenn Sie der Wahrheit ins Auge sehen, bleiben für viele Menschen selbst mit höherer Bildung viele Regeln ein Rätsel. Jeder nimmt das, was seine Lehrer ihm beibringen, als selbstverständlich hin und ist nicht verlegen, sich in all die Komplexitäten zu vertiefen, mit denen die Mathematik behaftet ist. „Minus“ auf „Minus“ ergibt ein „Plus“ – das weiß ausnahmslos jeder. Dies gilt sowohl für ganze Zahlen als auch für Bruchzahlen.

Achtung, nur HEUTE!

Sortiermethoden in der Programmierung: Bubble Sort

Portal für den Studenten. Selbsttraining

Gesetze der Mathematik

Ring-Axiom

Ableitung von Axiomen für negative Zahlen

Multiplikation und Division zweier Zahlen mit "-" Zeichen

Allgemeine mathematische Regeln

ZUM THEMA PASSENDE ARTIKEL