Betrachten wir die Definition einer Linie in der Ebene, in der die Variablen x, y Funktionen der dritten Variablen t (genannt Parameter) sind:

Für jeden Wert t aus irgendeinem Intervall entsprechen bestimmte Werte x und y, und, also ein bestimmter Punkt M(x, y) der Ebene. Wann t Durchläuft alle Werte aus einem vorgegebenen Intervall, dann der Punkt M (x, y) beschreibt eine Zeile L. Die Gleichungen (2.2) heißen parametrische Geradengleichungen L.

Wenn die Funktion x = φ(t) eine Umkehrung t = Ä(x) hat, dann erhalten wir durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die Gleichung y = g(t) y = g(Ä(x)), was spezifiziert j als Funktion von x. In diesem Fall sollen die Gleichungen (2.2) die Funktion definieren j parametrisch.

Beispiel 1 Lassen M (x, y) ein beliebiger Punkt des Radiuskreises ist R und am Ursprung zentriert. Lassen t- der Winkel zwischen den Achsen Ochse und Radius Om(Siehe Abbildung 2.3). Dann x, y ausgedrückt durch t:

Gleichungen (2.3) sind Parametergleichungen des Kreises. Lassen Sie uns den Parameter t aus den Gleichungen (2.3) ausschließen. Dazu quadrieren wir jede der Gleichungen und addieren sie, wir erhalten: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) oder x 2 + y 2 \u003d R 2 - die Kreisgleichung im kartesischen Koordinatensystem. Es definiert zwei Funktionen: Jede dieser Funktionen ist durch parametrische Gleichungen (2.3) gegeben, aber für die erste Funktion , und für die zweite .

Beispiel 2. Parametrische Gleichungen

Definiere eine Ellipse mit Halbachsen ein, b(Abb. 2.4). Eliminieren des Parameters aus den Gleichungen t, erhalten wir die kanonische Gleichung der Ellipse:

Beispiel 3. Eine Zykloide ist eine Gerade, die durch einen auf einem Kreis liegenden Punkt beschrieben wird, wenn dieser Kreis ohne Schlupf auf einer Geraden abrollt (Abb. 2.5). Lassen Sie uns die parametrischen Gleichungen der Zykloide einführen. Der Radius des rollenden Kreises sei a, Punkt M, die Zykloide beschreibend, am Beginn der Bewegung fiel mit dem Ursprung zusammen.

Lassen Sie uns die Koordinaten bestimmen x, y Punkte M nachdem sich der Kreis um einen Winkel gedreht hat t
(Abb. 2.5), t = ÐMCB. Bogenlänge MB gleich der Segmentlänge OB, da rollt der kreis ohne zu rutschen, also

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – aKosten = a(1 – Kosten).

Damit erhält man die parametrischen Gleichungen der Zykloide:

Beim Ändern des Parameters t von 0 bis 2π der Kreis wird um eine Umdrehung gedreht, während der Punkt M beschreibt einen Bogen der Zykloide. Gleichungen (2.5) definieren j als Funktion von x. Obwohl die Funktion x = a(t - sint) hat eine umgekehrte Funktion, aber sie wird nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt, also der Funktion y = f(x) wird nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt.

Betrachten Sie die Ableitung der durch Gleichungen (2.2) parametrisch gegebenen Funktion. Die Funktion x = φ(t) auf einem bestimmten Änderungsintervall t hat eine inverse Funktion t = Ф(x), dann y = g(Ф(x)). Lassen x = φ(t), y = g(t) Derivate haben, und x"t≠0. Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion y"x=y"t×t"x. Aufgrund der Umkehrfunktions-Differenzierungsregel also:

Die resultierende Formel (2.6) erlaubt es, die Ableitung für eine parametrisch gegebene Funktion zu finden.

Beispiel 4. Lassen Sie die Funktion j, es hängt davon ab x, wird parametrisch eingestellt:

Entscheidung. .
Beispiel 5 Steigung finden k Tangente an die Zykloide am Punkt M 0 entsprechend dem Wert des Parameters .
Entscheidung. Aus den Zykloidengleichungen: y" t = asint, x" t = a(1 - Kosten), Deshalb

Steigung einer Tangente an einem Punkt M0 gleich dem Wert bei t 0 \u003d π / 4:

FUNKTION DIFFERENZ

Lassen Sie die Funktion an einem Punkt x0 hat ein Derivat. A-Priorat:
daher durch die Eigenschaften der Grenze (Abschn. 1.8) , wobei a ist bei unendlich klein ∆x → 0. Von hier

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Da Δx → 0 ist, ist der zweite Term in Gleichung (2.7) eine infinitesimale höhere Ordnung im Vergleich zu , daher sind Δy und f "(x 0) × Δx äquivalent, infinitesimal (für f "(x 0) ≠ 0).

Somit besteht das Inkrement der Funktion Δy aus zwei Termen, von denen der erste f"(x 0) × Δx ist Hauptteil Inkremente Δy, linear in Bezug auf Δx (für f "(x 0) ≠ 0).

Differential die Funktion f(x) an der Stelle x 0 heißt der Hauptteil des Inkrements der Funktion und wird bezeichnet als: dy oder df(x0). Somit,

df (x0) = f "(x0)×Δx. (2.8)

Beispiel 1 Finden Sie das Differential einer Funktion dy und das Inkrement der Funktion Δy für die Funktion y \u003d x 2, wenn:
1) willkürlich x und Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Entscheidung

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Wenn x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, dann Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Wir schreiben Gleichheit (2.7) in der Form:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Das Inkrement Δy weicht vom Differential ab dy zu einer infinitesimal höheren Ordnung im Vergleich zu Δx, daher wird in Näherungsrechnungen die Näherungsgleichung Δy ≈ dy verwendet, wenn Δx hinreichend klein ist.

Wenn man bedenkt, dass Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), erhalten wir eine ungefähre Formel:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Beispiel 2. Rechnen Sie ungefähr.

Entscheidung. Prüfen:

Mit Formel (2.10) erhalten wir:

Daher ≈ 2,025.

Betrachten Sie die geometrische Bedeutung des Differentials df(x0)(Abb. 2.6).

Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f (x) am Punkt M 0 (x0, f (x 0)), sei φ der Winkel zwischen der Tangente KM0 und der Achse Ox, dann f "(x 0 ) = tgφ Aus ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). PN ist jedoch das Inkrement der Tangentenordinate, wenn sich x von x 0 auf x 0 + Δx ändert.

Daher ist das Differential der Funktion f(x) am Punkt x 0 gleich dem Inkrement der tangentialen Ordinate.

Finden wir das Differential der Funktion
y=x. Da (x)" = 1, dann ist dx = 1 × Δx = Δx. Wir nehmen an, dass das Differential der unabhängigen Variablen x gleich ihrem Inkrement ist, also dx = Δx.

Wenn x eine beliebige Zahl ist, dann erhalten wir aus Gleichung (2.8) df(x) = f "(x)dx, woraus .
Somit ist die Ableitung für die Funktion y = f(x) gleich dem Verhältnis ihres Differentials zum Differential des Arguments.

Betrachten Sie die Eigenschaften des Differentials einer Funktion.

Wenn u(x), v(x) differenzierbare Funktionen sind, dann gelten folgende Formeln:

Um diese Formeln zu beweisen, werden Ableitungsformeln für Summe, Produkt und Quotient verwendet. Beweisen wir zum Beispiel Formel (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Betrachten Sie das Differential einer komplexen Funktion: y = f(x), x = φ(t), d.h. y = f(φ(t)).

Dann ist dy = y" t dt, aber y" t = y" x ×x" t , also dy = y" x x" t dt. In Anbetracht,

dass x" t = dx, erhalten wir dy = y" x dx =f "(x)dx.

Somit hat das Differential einer komplexen Funktion y \u003d f (x), wobei x \u003d φ (t), die Form dy \u003d f "(x) dx, genauso wie wenn x eine unabhängige Variable ist. Diese Eigenschaft wird genannt forminvariantes Differential a.

Bisher haben wir die Liniengleichungen in der Ebene betrachtet, die die aktuellen Koordinaten der Punkte dieser Linien direkt in Beziehung setzen. Häufig wird jedoch eine andere Art der Linienangabe verwendet, bei der die aktuellen Koordinaten als Funktionen einer dritten Variablen betrachtet werden.

Gegeben seien zwei Funktionen einer Variablen

betrachtet für die gleichen Werte von t. Dann entspricht jeder dieser Werte von t einem bestimmten Wert und einem bestimmten Wert von y und folglich einem bestimmten Punkt. Wenn die Variable t alle Werte aus dem Funktionsdefinitionsbereich (73) durchläuft, beschreibt der Punkt in der Ebene eine Linie C. Gleichungen (73) heißen parametrische Gleichungen dieser Linie, und die Variable heißt Parameter.

Angenommen, die Funktion hat eine inverse Funktion. Durch Einsetzen dieser Funktion in die zweite der Gleichungen (73) erhalten wir die Gleichung

y als Funktion ausdrücken

Vereinbaren wir, dass diese Funktion parametrisch durch die Gleichungen (73) gegeben ist. Der Übergang von diesen Gleichungen zu Gleichung (74) wird als Elimination des Parameters bezeichnet. Bei der Betrachtung parametrisch definierter Funktionen ist der Ausschluss des Parameters nicht nur nicht notwendig, sondern auch praktisch nicht immer möglich.

In vielen Fällen ist es bei unterschiedlichen Werten des Parameters viel bequemer, dann mithilfe von Formeln (73) die entsprechenden Werte des Arguments und der Funktion y zu berechnen.

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiel 1. Sei ein beliebiger Punkt eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius R. Die kartesischen Koordinaten x und y dieses Punktes werden in Bezug auf seinen Polarradius und Polarwinkel ausgedrückt, die wir hier mit t bezeichnen, wie folgt ( siehe Kap. I, § 3, Punkt 3):

Die Gleichungen (75) heißen parametrische Kreisgleichungen. Der Parameter in ihnen ist der Polarwinkel, der von 0 bis variiert.

Werden die Gleichungen (75) quadriert und Term für Term addiert, so wird aufgrund der Identität der Parameter eliminiert und man erhält die Kreisgleichung im kartesischen Koordinatensystem, die zwei elementare Funktionen definiert:

Jede dieser Funktionen wird parametrisch durch Gleichungen (75) spezifiziert, aber die Bereiche der Parametervariation für diese Funktionen sind unterschiedlich. Für den ersten; der Graph dieser Funktion ist der obere Halbkreis. Der Graph der zweiten Funktion ist der untere Halbkreis.

Beispiel 2. Betrachten Sie gleichzeitig eine Ellipse

und ein Kreis, der am Ursprung und Radius a zentriert ist (Abb. 138).

Jedem Punkt M der Ellipse ordnen wir einen Punkt N des Kreises zu, der die gleiche Abszisse wie der Punkt M hat und mit ihm auf der gleichen Seite der Ochsenachse liegt. Die Position des Punktes N und damit des Punktes M wird vollständig durch den Polarwinkel des Punktes bestimmt t. In diesem Fall erhalten wir für ihre gemeinsame Abszisse den folgenden Ausdruck: x \u003d a. Wir finden die Ordinate am Punkt M aus der Ellipsengleichung:

Das Vorzeichen wird gewählt, weil die Ordinate am Punkt M und die Ordinate am Punkt N das gleiche Vorzeichen haben müssen.

Damit ergeben sich für die Ellipse folgende Parametergleichungen:

Hier ändert sich der Parameter t von 0 auf .

Beispiel 3. Betrachten Sie einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt a) und einem Radius a, der offensichtlich die x-Achse im Ursprung berührt (Abb. 139). Angenommen, es ist dieser Kreis, der ohne Schlupf entlang der x-Achse rollt. Dann beschreibt der Punkt M des Kreises, der im Anfangsmoment mit dem Ursprung zusammenfiel, eine Gerade, die als Zykloide bezeichnet wird.

Wir leiten die parametrischen Gleichungen der Zykloide ab, indem wir als Parameter t den Rotationswinkel des Kreises MSW nehmen, wenn sein fester Punkt von der Position O zur Position M verschoben wird. Dann erhalten wir für die Koordinaten und y des Punktes M die folgenden Ausdrücke:

Da der Kreis ohne Schlupf auf der Achse abrollt, ist die Länge der Strecke OB gleich der Bogenlänge VM. Da die Länge des VM-Bogens gleich dem Produkt aus Radius a und Zentriwinkel t ist, gilt . So . Aber deshalb

Diese Gleichungen sind die parametrischen Gleichungen der Zykloide. Wenn der Parameter t von 0 auf geändert wird, macht der Kreis eine vollständige Umdrehung. Punkt M beschreibt einen Bogen der Zykloide.

Der Ausschluss des Parameters t führt hier zu umständlichen Ausdrücken und ist praktisch unpraktisch.

Die parametrische Definition von Linien wird besonders häufig in der Mechanik verwendet, und die Zeit spielt die Rolle eines Parameters.

Beispiel 4. Lassen Sie uns die Flugbahn eines Projektils bestimmen, das von einer Kanone mit einer Anfangsgeschwindigkeit in einem Winkel a zum Horizont abgefeuert wird. Luftwiderstand und Projektilabmessungen werden, wenn man es als materiellen Punkt betrachtet, vernachlässigt.

Wählen wir ein Koordinatensystem. Für den Koordinatenursprung nehmen wir den Ausgangspunkt des Projektils von der Mündung. Richten wir die Ox-Achse horizontal und die Oy-Achse vertikal aus und platzieren sie in derselben Ebene wie die Mündung der Waffe. Wenn es keine Gravitationskraft gäbe, würde sich das Projektil entlang einer geraden Linie bewegen, die einen Winkel a mit der Ochsenachse bildet, und bis zum Zeitpunkt t hätte das Projektil die Strecke zurückgelegt. Aufgrund der Erdanziehungskraft muss das Projektil zu diesem Zeitpunkt vertikal um einen Wert absinken, daher werden in Wirklichkeit zum Zeitpunkt t die Koordinaten des Projektils durch die Formeln bestimmt:

Diese Gleichungen sind Konstanten. Wenn sich t ändert, ändern sich auch die Koordinaten des Flugbahnpunkts des Geschosses. Die Gleichungen sind parametrische Gleichungen der Flugbahn des Geschosses, bei denen der Parameter die Zeit ist

Ausdrücken aus der ersten Gleichung und Einsetzen in

Mit der zweiten Gleichung erhalten wir die Gleichung der Flugbahn des Projektils in der Form Dies ist die Gleichung einer Parabel.

Die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion.
Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

In diesem Artikel betrachten wir zwei weitere typische Aufgaben, die häufig in Tests in der höheren Mathematik zu finden sind. Um den Stoff erfolgreich zu meistern, ist es notwendig, Derivate zumindest auf durchschnittlichem Niveau finden zu können. Wie Sie Derivate praktisch von Grund auf finden, lernen Sie in zwei grundlegenden Lektionen und Ableitung einer zusammengesetzten Funktion. Wenn mit Differenzierungsfähigkeit alles in Ordnung ist, dann los.

Ableitung einer implizit definierten Funktion

Oder kurz gesagt die Ableitung einer impliziten Funktion. Was ist eine implizite Funktion? Erinnern wir uns zunächst an die eigentliche Definition einer Funktion einer Variablen:

Funktion einer Variablen gilt die Regel, dass jeder Wert der unabhängigen Variablen genau einem Wert der Funktion entspricht.

Die Variable wird aufgerufen unabhängige Variable oder Streit.
Die Variable wird aufgerufen abhängige Variable oder Funktion .

Bisher haben wir Funktionen betrachtet, die in definiert sind explizit form. Was bedeutet das? Lassen Sie uns eine Nachbesprechung zu konkreten Beispielen vereinbaren.

Betrachten Sie die Funktion

Wir sehen, dass wir links ein einsames „y“ haben und rechts - nur x. Nämlich die Funktion ausdrücklich ausgedrückt in Bezug auf die unabhängige Variable .

Betrachten wir eine andere Funktion:

Hier liegen die Variablen und "gemischt". Und irgendwie unmöglich drücken Sie "Y" nur durch "X" aus. Was sind diese Methoden? Übertragen von Termen von Teil zu Teil mit Vorzeichenwechsel, Klammern, Werfen von Faktoren nach der Proportionsregel etc. Schreibe die Gleichheit um und versuche „y“ explizit auszudrücken:. Sie können die Gleichung stundenlang drehen und wenden, aber Sie werden keinen Erfolg haben.

Gestatten Sie mir, Folgendes vorzustellen: - ein Beispiel implizite Funktion.

Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die implizite Funktion existieren(aber nicht immer), es hat einen Graphen (genau wie eine "normale" Funktion). Dasselbe gilt für eine implizite Funktion. existieren erste Ableitung, zweite Ableitung usw. Wie sie sagen, werden alle Rechte sexueller Minderheiten respektiert.

Und in dieser Lektion werden wir lernen, wie man die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion findet. Es ist nicht so schwer! Alle Ableitungsregeln, die Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen bleiben in Kraft. Der Unterschied liegt in einem besonderen Punkt, den wir gleich betrachten werden.

Ja, und ich sage Ihnen die gute Nachricht - die unten besprochenen Aufgaben werden nach einem ziemlich starren und klaren Algorithmus ohne einen Stein vor drei Spuren ausgeführt.

Beispiel 1

1) In der ersten Phase hängen wir Striche an beide Teile:

2) Wir verwenden die Regeln der Linearität der Ableitung (die ersten beiden Regeln der Lektion Wie finde ich die Ableitung? Lösungsbeispiele):

3) Direkte Differenzierung.
Wie zu differenzieren und völlig verständlich. Was tun, wenn unter den Strichen „Spiele“ stehen?

- nur zur Schande, Die Ableitung einer Funktion ist gleich ihrer Ableitung: .

Wie man unterscheidet
Hier haben wir komplexe Funktion. Wieso den? Es scheint, dass es unter dem Sinus nur einen Buchstaben "Y" gibt. Aber Tatsache ist, dass nur ein Buchstabe "y" - IST EINE FUNKTION FÜR SICH(siehe die Definition am Anfang der Lektion). Somit ist der Sinus eine externe Funktion, ist eine interne Funktion. Wir verwenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion :

Das Produkt ist nach der üblichen Regel differenzierbar :

Beachten Sie, dass dies auch eine komplexe Funktion ist, Jedes „Drehspielzeug“ ist eine komplexe Funktion:

Das Design der Lösung selbst sollte in etwa so aussehen:


Wenn Klammern vorhanden sind, öffnen Sie sie:

4) Auf der linken Seite sammeln wir die Begriffe, in denen ein „y“ mit Strich steht. Auf der rechten Seite - wir übertragen alles andere:

5) Auf der linken Seite nehmen wir die Ableitung aus Klammern heraus:

6) Und gemäß der Proportionsregel lassen wir diese Klammern in den Nenner der rechten Seite fallen:

Das Derivat wurde gefunden. Bereit.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Funktion implizit umgeschrieben werden kann. Zum Beispiel die Funktion kann so umgeschrieben werden: . Und nach dem eben betrachteten Algorithmus differenzieren. Tatsächlich unterscheiden sich die Ausdrücke „implizite Funktion“ und „implizite Funktion“ in einer semantischen Nuance. Der Ausdruck "implizit definierte Funktion" ist allgemeiner und richtiger, - diese Funktion ist implizit gegeben, aber hier können Sie "y" ausdrücken und die Funktion explizit darstellen. Der Ausdruck "implizite Funktion" bedeutet eine "klassische" implizite Funktion, wenn "y" nicht ausgedrückt werden kann.

Der zweite Lösungsweg

Beachtung! Sie können sich nur mit der zweiten Methode vertraut machen, wenn Sie wissen, wie man sicher findet partielle Ableitungen. Rechnen-Anfänger und Dummies bitte lesen und überspringen Sie diesen Absatz nicht, sonst ist der Kopf ein komplettes Durcheinander.

Finden Sie die Ableitung der impliziten Funktion auf dem zweiten Weg.

Wir verschieben alle Terme auf die linke Seite:

Und betrachten Sie eine Funktion von zwei Variablen:

Dann kann unsere Ableitung durch die Formel gefunden werden
Lassen Sie uns partielle Ableitungen finden:

Auf diese Weise:

Mit der zweiten Lösung können Sie eine Überprüfung durchführen. Es ist jedoch nicht wünschenswert, eine endgültige Version der Aufgabe für sie zu erstellen, da partielle Ableitungen später gemeistert werden und ein Student, der sich mit dem Thema „Ableitung einer Funktion einer Variablen“ befasst, keine partiellen Ableitungen kennen sollte.

Sehen wir uns noch ein paar weitere Beispiele an.

Beispiel 2

Finde die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Wir hängen Striche an beide Teile:

Wir verwenden die Linearitätsregeln:

Derivate finden:

Erweitern aller Klammern:

Wir übertragen alle Terme mit auf die linke Seite, den Rest - auf die rechte Seite:

Endgültige Antwort:

Beispiel 3

Finde die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Vollständige Lösung und Designbeispiel am Ende der Lektion.

Nicht selten treten nach der Differenzierung Brüche auf. In solchen Fällen müssen Fraktionen verworfen werden. Schauen wir uns zwei weitere Beispiele an.

Beispiel 4

Finde die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Wir schließen beide Teile unter Strichen ab und wenden die Linearitätsregel an:

Wir differenzieren nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion und die Ableitungsregel des Quotienten :

Erweitern der Klammern:

Jetzt müssen wir den Bruch loswerden. Dies kann später erfolgen, aber es ist vernünftiger, es sofort zu tun. Der Nenner des Bruchs ist . Multiplizieren auf der . Im Detail wird es so aussehen:

Manchmal erscheinen nach der Differenzierung 2-3 Fraktionen. Wenn wir zum Beispiel noch einen Bruch hätten, müsste die Operation wiederholt werden - multiplizieren jeder Begriff von jedem Teil auf der

Auf der linken Seite setzen wir es aus Klammern:

Endgültige Antwort:

Beispiel 5

Finde die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Das einzige, was darin ist, bevor Sie die Fraktion loswerden, müssen Sie zuerst die dreistöckige Struktur der Fraktion selbst loswerden. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

Überanstrengen Sie sich nicht, auch in diesem Absatz ist alles ganz einfach. Sie können die allgemeine Formel einer parametrisch gegebenen Funktion aufschreiben, aber um es klarer zu machen, werde ich gleich ein konkretes Beispiel aufschreiben. In parametrischer Form wird die Funktion durch zwei Gleichungen angegeben: . Oft werden Gleichungen nicht unter geschweiften Klammern geschrieben, sondern nacheinander:,.

Die Variable wird als Parameter bezeichnet und kann Werte von "minus unendlich" bis "plus unendlich" annehmen. Betrachten Sie zum Beispiel den Wert und setzen Sie ihn in beide Gleichungen ein: . Oder menschlich: „Wenn x gleich vier ist, dann ist y gleich eins.“ Sie können einen Punkt auf der Koordinatenebene markieren, und dieser Punkt entspricht dem Wert des Parameters. Ebenso können Sie einen Punkt für jeden Wert des Parameters "te" finden. Was die "normale" Funktion betrifft, werden auch für die Indianer einer parametrisch gegebenen Funktion alle Rechte respektiert: Sie können einen Graphen zeichnen, Ableitungen finden und so weiter. Übrigens, wenn es notwendig ist, einen Graphen einer parametrisch gegebenen Funktion zu erstellen, können Sie mein Programm verwenden.

Im einfachsten Fall ist es möglich, die Funktion explizit darzustellen. Wir drücken den Parameter aus der ersten Gleichung aus: und in die zweite Gleichung einsetzen: . Das Ergebnis ist eine gewöhnliche kubische Funktion.

In "schwereren" Fällen funktioniert ein solcher Trick nicht. Aber das spielt keine Rolle, denn es gibt eine Formel, um die Ableitung einer parametrischen Funktion zu finden:

Wir finden die Ableitung von "the player in Bezug auf die Variable te":

Für den Buchstaben gelten natürlich alle Ableitungsregeln und die Ableitungstabelle, also Der Prozess der Suche nach Derivaten ist nicht neu. Ersetzen Sie einfach alle "x" in der Tabelle durch den Buchstaben "te".

Wir finden die Ableitung von "x nach der Variablen te":

Jetzt müssen wir nur noch die gefundenen Ableitungen in unsere Formel einsetzen:

Bereit. Die Ableitung hängt wie die Funktion selbst auch vom Parameter ab.

Was die Notation betrifft, so könnte man sie, anstatt in die Formel zu schreiben, einfach ohne Index schreiben, da dies die „normale“ Ableitung „nach x“ ist. Aber es gibt immer eine Variante in der Literatur, daher werde ich nicht vom Standard abweichen.

Beispiel 6

Wir verwenden die Formel

In diesem Fall:

Auf diese Weise:

Ein Merkmal beim Finden der Ableitung einer parametrischen Funktion ist die Tatsache, dass Bei jedem Schritt ist es vorteilhaft, das Ergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. In dem betrachteten Beispiel habe ich also beim Finden die Klammern unter der Wurzel geöffnet (obwohl ich dies möglicherweise nicht getan habe). Es besteht eine große Chance, dass beim Ersetzen und in der Formel viele Dinge gut reduziert werden. Obwohl es natürlich Beispiele mit ungeschickten Antworten gibt.

Beispiel 7

Finde die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.

Im Artikel Die einfachsten typischen Probleme mit einem Derivat Wir haben Beispiele betrachtet, in denen es erforderlich war, die zweite Ableitung einer Funktion zu finden. Für eine parametrisch gegebene Funktion können Sie auch die zweite Ableitung finden, und zwar mit der folgenden Formel: . Es ist ziemlich offensichtlich, dass man zuerst die erste Ableitung finden muss, um die zweite Ableitung zu finden.

Beispiel 8

Finden Sie die erste und zweite Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Lassen Sie uns zuerst die erste Ableitung finden.
Wir verwenden die Formel

In diesem Fall:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Formel ein. Der Einfachheit halber verwenden wir die trigonometrische Formel:

Logarithmische Ableitung

Ableitungen elementarer Funktionen

Grundregeln der Differenzierung

Funktion Differential

Linearer Hauptteil des Funktionsinkrements EIN D x in der Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion

D f=f(x)-f(x 0)=A(x-x 0)+o(x-x 0), x®x 0

heißt Differential der Funktion f(x) am Punkt x 0 und bezeichnet

df(x 0)=f¢(x 0)D x = A D x.

Die Differenz hängt vom Punkt ab x 0 und ab Inkrement D x. Auf D x wenn man es als unabhängige Variable betrachtet, so dass an jedem Punkt ist das Differential eine lineare Funktion des Inkrements D x.

Betrachten wir als Funktion f(x)=x, dann bekommen wir dx= D x, dy=Adx. Dies ist konsistent mit der Leibniz-Notation

Geometrische Interpretation des Differentials als Inkrement der Tangenten-Ordinaten.

Reis. 4.3

1) f= konst , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Folge. (vgl(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 und die Ableitung existiert dann f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

Der Kürze halber werden wir bezeichnen u=u(x), u 0 = u(x 0), dann

Grenzübergang bei D x® 0 wir erhalten die geforderte Gleichheit.

5) Ableitung einer komplexen Funktion.

Satz. Wenn es f¢(x 0), g¢(x 0)und x 0 =g(t 0), dann in irgendeiner Nachbarschaft t 0 eine komplexe Funktion f(g(t)), sie ist im Punkt t differenzierbar 0 und

Nachweisen.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ a( g(t))(g(t)-g(t 0)).

Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichheit durch ( t - t 0) und bis zur Grenze bei passieren t®t 0 .

6) Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion.

Satz. Sei f stetig und streng monoton[ein, b]. Lassen Sie an der Stelle x 0 Î( ein, b)existiert f¢(x 0)¹ 0 , dann die Umkehrfunktion x=f -1 (j)hat am Punkt y 0 Ableitung gleich

Nachweisen. Wir glauben f also streng monoton steigend f -1 (j) ist stetig, monoton steigend auf [ f(a),f(b)]. Lasst uns j 0 =f(x 0), y=f(x), x-x 0=D x,

y-y 0=D j. Aufgrund der Stetigkeit der Umkehrfunktion D j®0 Þ D x®0 haben wir

Beim Übergang zur Grenze erhalten wir die geforderte Gleichheit.

7) Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.

In der Tat, wenn x-x 0 , dann - x® x 0 , Deshalb

Für eine gerade Funktion für eine ungerade Funktion

1) f= konstant, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,

4) f(x)= ein x,(ein x)¢ = x ln a.

5) ln a.

6) f(x)=ln x ,

Folge. (die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade)

7) (x m )¢= m x m-1 , x>0, x m =e m ln x .

8) (Sünde x)¢= cos x,

9) (Kos x)¢=- Sünde x,(Kos x)¢= (Sünde( x+ p/2)) ¢= weil ( x+ p/2)=-sünde x.

10) (tlg x)¢= 1/cos 2 x.

11) (vgl x)¢= -1/sünde2 x.

16) sch x, CH x.

f(x),, woraus folgt f¢(x)=f(x)(Ln f(x))¢ .

Dieselbe Formel kann unterschiedlich erhalten werden f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (Ln f(x))¢.

Beispiel. Berechne die Ableitung einer Funktion f=x x .

= x x = x x = x x = x x(Ln x + 1).

Ortskurve von Punkten auf einer Ebene

wird der Graph der Funktion genannt, parametrisch gegeben. Sie sprechen auch über die parametrische Definition einer Funktion.

Bemerkung 1. Wenn ein x, y durchgehend an [ein, b] und x(t) streng monoton auf dem Segment (zum Beispiel streng monoton steigend), dann auf [ ein, b], a=x(a) ,b=x(b) Funktion definiert f(x)=y(t(x)), wo t(x) – Funktion umgekehrt zu x(t). Der Graph dieser Funktion ist derselbe wie der Graph der Funktion

Wenn der Umfang parametrisch definierte Funktion kann in eine endliche Anzahl von Segmenten unterteilt werden ,k= 1,2,…,n, auf denen jeweils die Funktion x(t) streng monoton ist, dann zerfällt die parametrisch definierte Funktion in eine endliche Anzahl gewöhnlicher Funktionen f k(x)=y(t -1 (x)) mit Zielfernrohren [ x(a k), x(b k)] für ansteigende Bereiche x(t) und mit Domänen [ x(b k), x(a k)] für absteigende Abschnitte der Funktion x(t). Die auf diese Weise erhaltenen Funktionen werden als einwertige Zweige einer parametrisch definierten Funktion bezeichnet.

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer parametrisch definierten Funktion

Bei der gewählten Parametrisierung der Definitionsbereich ist in fünf Abschnitte strikter Monotonie der Funktion sin(2 t), exakt: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , und dementsprechend zerfällt der Graph in fünf einwertige Zweige, die diesen Abschnitten entsprechen.

Reis. 4.4

Reis. 4.5

Sie können eine andere Parametrisierung desselben Punkteortes wählen

In diesem Fall gibt es nur vier solcher Zweige. Sie entsprechen Bereichen strikter Monotonie tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ Funktionen Sünde (2 t).

Reis. 4.6

Vier Monotonieabschnitte der Funktion sin(2 t) auf einem Segment lang.

Reis. 4.7

Die Abbildung beider Graphen in einer Abbildung ermöglicht es Ihnen, den Graphen einer parametrisch gegebenen Funktion näherungsweise darzustellen, indem Sie die Monotoniebereiche beider Funktionen verwenden.

Betrachten Sie zum Beispiel den ersten Zweig, der dem Segment entspricht tÎ . Am Ende dieses Abschnitts wird die Funktion x= Sünde (2 t) nimmt die Werte -1 an und 1 , also wird dieser Zweig auf [-1,1] definiert. Danach müssen Sie sich die Monotoniebereiche der zweiten Funktion ansehen y= weil ( t), Sie hat zwei Bereiche der Monotonie . Dies erlaubt uns zu sagen, dass der erste Zweig zwei Segmente von Monotonie hat. Nachdem Sie die Endpunkte des Diagramms gefunden haben, können Sie sie mit geraden Linien verbinden, um die Art der Monotonie des Diagramms anzuzeigen. Nachdem wir dies mit jedem Zweig getan haben, erhalten wir Bereiche der Monotonie von einwertigen Zweigen des Diagramms (in der Abbildung sind sie rot hervorgehoben).

Reis. 4.8

Erster Einzelast f 1 (x)=y(t(x)) , entsprechend dem Abschnitt bestimmt wird für xí[-1,1] . Erster Einzelast tÎ , xО[-1,1].

Alle anderen drei Zweige haben ebenfalls die Menge [-1,1] als ihre Domäne .

Reis. 4.9

Zweiter Zweig tÎ xО[-1,1].

Reis. 4.10

Dritter Zweig tÎ xí[-1,1]

Reis. 4.11

Vierter Zweig tÎ xí[-1,1]

Reis. 4.12

Kommentar 2. Dieselbe Funktion kann unterschiedliche parametrische Zuweisungen haben. Unterschiede können beide Funktionen selbst betreffen x(t), ja(t) , und Definitionsbereiche diese Funktionen.

Beispiel für verschiedene parametrische Zuweisungen derselben Funktion

und tí[-1, 1] .

Bemerkung 3. Wenn x,y kontinuierlich an sind , x(t)- streng monoton auf dem Segment und es gibt Derivate y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, dann existiert f¢(x 0)= .

Wirklich, .

Die letzte Anweisung erstreckt sich auch auf einwertige Zweige einer parametrisch definierten Funktion.

4.2 Derivate und Differentiale höherer Ordnung

Höhere Ableitungen und Differentiale. Differentiation parametrisch gegebener Funktionen. Leibniz-Formel.

Die Funktion kann auf verschiedene Arten definiert werden. Es hängt von der Regel ab, die bei der Einstellung verwendet wird. Die explizite Form der Funktionsdefinition ist y = f (x) . Es gibt Fälle, in denen seine Beschreibung unmöglich oder unbequem ist. Wenn es eine Menge von Paaren (x; y) gibt, die für den Parameter t über das Intervall (a; b) berechnet werden müssen. Um das System x = 3 cos t y = 3 sin t mit 0 ≤ t zu lösen< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametrische Funktionsdefinition

Also sind x = φ (t) , y = ψ (t) für den Wert t ∈ (a ; b) definiert und haben dann eine Umkehrfunktion t = Θ (x) für x = φ (t) wir sprechen über das Aufstellen einer Parametergleichung einer Funktion der Form y = ψ (Θ (x)) .

Es gibt Fälle, in denen zur Untersuchung einer Funktion die Ableitung nach x gesucht werden muss. Betrachten Sie die Formel für die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion der Form y x " = ψ " (t) φ " (t) , sprechen wir über die Ableitung der 2. und n. Ordnung.

Herleitung der Formel für die Ableitung einer parametrisch gegebenen Funktion

Wir haben x = φ (t) , y = ψ (t) , definiert und differenzierbar für t ∈ a ; b , wobei x t " = φ " (t) ≠ 0 und x = φ (t) , dann gibt es eine Umkehrfunktion der Form t = Θ (x) .

Zunächst sollten Sie von einer parametrischen Aufgabe zu einer expliziten wechseln. Dazu benötigen Sie eine komplexe Funktion der Form y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , wobei es ein Argument x gibt.

Basierend auf der Regel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion erhalten wir, dass y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x.

Dies zeigt, dass t = Θ (x) und x = φ (t) Umkehrfunktionen sind aus der Umkehrfunktionsformel Θ "(x) = 1 φ" (t) , dann y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Betrachten wir nun die Lösung mehrerer Beispiele unter Verwendung einer Ableitungstabelle gemäß der Ableitungsregel.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung für die Funktion x = t 2 + 1 y = t .

Entscheidung

Durch die Bedingung haben wir, dass φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, daher erhalten wir, dass φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Es ist notwendig, die abgeleitete Formel zu verwenden und die Antwort in der Form zu schreiben:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Antworten: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Beim Arbeiten mit der Ableitung einer Funktion gibt der Parameter t den Ausdruck des Arguments x durch den gleichen Parameter t an, um den Zusammenhang zwischen den Werten der Ableitung und der parametrisch definierten Funktion mit dem Argument, zu dem diese stehen, nicht zu verlieren Werte entsprechen.

Um die Ableitung zweiter Ordnung einer parametrisch gegebenen Funktion zu bestimmen, müssen Sie die Formel für die Ableitung erster Ordnung auf die resultierende Funktion anwenden, dann bekommen wir das

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Beispiel 2

Finde die Ableitungen 2. und 2. Ordnung der gegebenen Funktion x = cos (2 t) y = t 2 .

Entscheidung

Durch Bedingung erhalten wir, dass φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Dann nach der Verwandlung

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - Sünde (2 t) 2 t " \u003d - 2 Sünde (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Daraus folgt, dass y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Wir erhalten, dass die Form der Ableitung 1. Ordnung x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) ist.

Um es zu lösen, müssen Sie die Ableitungsformel zweiter Ordnung anwenden. Wir bekommen einen Ausdruck wie

y x "" \u003d - t Sünde (2 t) φ "t \u003d - t " Sünde (2 t) - t (Sünde (2 t)) " Sünde 2 (2 t) - 2 Sünde (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Stellen Sie dann die Ableitung 2. Ordnung mit der parametrischen Funktion ein

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Eine ähnliche Lösung kann durch eine andere Methode gelöst werden. Dann

φ "t \u003d (cos (2 t)) " \u003d - Sünde (2 t) 2 t " \u003d - 2 Sünde (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 Sünde (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Daher bekommen wir das

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 Sünde 2 t 3 \u003d \u003d Sünde (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ich n 3 (2 t)

Antworten: y "" x \u003d Sünde (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s ich n 3 (2 t)

In ähnlicher Weise werden Ableitungen höherer Ordnung mit parametrisch spezifizierten Funktionen gefunden.

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