In den „alten“ Lehrbüchern wird sie auch „Kettenregel“ genannt. Also wenn y \u003d f (u) und u \u003d φ (x), also

y \u003d f (φ (x))

Komplex - zusammengesetzte Funktion (Zusammensetzung von Funktionen) dann

wo , nach Berechnung wird bei berücksichtigt u = φ(x).

Beachten Sie, dass wir hier „unterschiedliche“ Zusammensetzungen aus denselben Funktionen genommen haben und das Ergebnis der Differenzierung sich natürlich als abhängig von der Reihenfolge des „Mischens“ herausstellte.

Die Kettenregel erstreckt sich natürlich auf die Zusammensetzung von drei oder mehr Funktionen. In diesem Fall gibt es drei oder mehr „Glieder“ in der „Kette“, die jeweils das Derivat bilden. Hier ist eine Analogie zur Multiplikation: „wir haben“ - eine Ableitungstabelle; "dort" - Einmaleins; „bei uns“ ist eine Kettenregel und „dort“ ist eine Multiplikationsregel mit einer „Spalte“. Bei der Berechnung solcher „komplexer“ Ableitungen werden natürlich keine Hilfsargumente (u¸v usw.) eingeführt, sondern sie „fädeln“ die entsprechenden Verknüpfungen ein, nachdem sie sich die Anzahl und Reihenfolge der an der Komposition beteiligten Funktionen notiert haben die angegebene Reihenfolge.

. Hier werden fünf Operationen mit "x" durchgeführt, um den Wert von "y" zu erhalten, dh es findet eine Zusammensetzung von fünf Funktionen statt: "extern" (die letzte von ihnen) - Exponential - e ; dann ist in umgekehrter Reihenfolge ein Potenzgesetz. (♦) 2 ; trigonometrische Sünde (); Energie. () 3 und schließlich das logarithmische ln.(). So

Die folgenden Beispiele werden „zwei Fliegen mit einer Klappe schlagen“: Wir üben das Differenzieren komplexer Funktionen und ergänzen die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. So:

4. Für eine Potenzfunktion - y \u003d x α - Umschreiben unter Verwendung der bekannten "logarithmischen Grundidentität" - b \u003d e ln b - in der Form x α \u003d x α ln x erhalten wir

5. Für eine beliebige Exponentialfunktion mit der gleichen Technik haben wir

6. Für eine beliebige logarithmische Funktion erhalten wir nach der bekannten Formel für den Übergang zu einer neuen Basis sukzessive

.

7. Zur Ableitung des Tangens (Cotangens) wenden wir die Ableitungsregel des Quotienten an:

Um Ableitungen von inversen trigonometrischen Funktionen zu erhalten, verwenden wir die Beziehung, die durch die Ableitungen zweier zueinander inverser Funktionen erfüllt wird, d. h. die Funktionen φ (x) und f (x), die durch die Beziehungen verbunden sind:

Hier ist das Verhältnis

Es ist aus dieser Formel für gegenseitig inverse Funktionen

und
,

Abschließend fassen wir diese und einige weitere, ebenso einfach zu beschaffende Derivate in der folgenden Tabelle zusammen.

Wenn ein g(x) und f(u) sind jeweils differenzierbare Funktionen ihrer Argumente an den Punkten x und u= g(x), dann ist die komplexe Funktion auch an der Stelle differenzierbar x und wird durch die Formel gefunden

Ein typischer Fehler bei der Lösung von Ableitungsproblemen ist die automatische Übertragung der Ableitungsregeln einfacher Funktionen auf komplexe Funktionen. Wir werden lernen, diesen Fehler zu vermeiden.

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Falsche Lösung: Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus jedes Terms in Klammern und finden Sie die Summe der Ableitungen:

Richtige Lösung: Wieder bestimmen wir, wo der "Apfel" und wo das "Hackfleisch" ist. Hier ist der natürliche Logarithmus des Ausdrucks in Klammern der "Apfel", also die Funktion auf dem Zwischenargument u, und der Ausdruck in Klammern ist "Hackfleisch", also ein Zwischenargument u durch unabhängige Variable x.

Dann (mit Formel 14 aus der Ableitungstabelle)

Bei vielen realen Problemen ist der Ausdruck mit dem Logarithmus etwas komplizierter, weshalb es eine Lektion gibt

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Falsche Lösung:

Richtige Lösung. Wieder einmal stellen wir fest, wo der „Apfel“ und wo das „Hackfleisch“ ist. Hier ist der Kosinus des Ausdrucks in Klammern (Formel 7 in der Ableitungstabelle) "Apfel", er wird im Modus 1 vorbereitet, der nur ihn betrifft, und der Ausdruck in Klammern (die Ableitung des Grades - Nummer 3 in die Tabelle der Derivate) ist "Hackfleisch", es wird in Modus 2 gekocht und betrifft nur es. Und wie immer verbinden wir zwei Ableitungen mit einem Produktzeichen. Ergebnis:

Die Ableitung einer komplexen logarithmischen Funktion ist eine häufige Aufgabe in Tests, daher empfehlen wir Ihnen dringend, die Lektion "Ableitung einer logarithmischen Funktion" zu besuchen.

Die ersten Beispiele betrafen komplexe Funktionen, bei denen das Zwischenargument über der unabhängigen Variablen eine einfache Funktion war. Bei praktischen Aufgaben ist es jedoch häufig erforderlich, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, wobei das Zwischenargument entweder selbst eine komplexe Funktion ist oder eine solche Funktion enthält. Was tun in solchen Fällen? Finden Sie Ableitungen solcher Funktionen mithilfe von Tabellen und Ableitungsregeln. Wenn die Ableitung des Zwischenarguments gefunden ist, wird sie einfach an der richtigen Stelle in der Formel eingesetzt. Nachfolgend finden Sie zwei Beispiele, wie dies durchgeführt wird.

Darüber hinaus ist es nützlich, Folgendes zu wissen. Wenn eine komplexe Funktion als Kette von drei Funktionen dargestellt werden kann

dann sollte seine Ableitung als Produkt der Ableitungen jeder dieser Funktionen gefunden werden:

Bei vielen Ihrer Hausaufgaben müssen Sie möglicherweise Tutorials in neuen Fenstern öffnen. Aktionen mit Kräften und Wurzeln und Aktionen mit Brüchen .

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir wenden die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an, wobei wir nicht vergessen, dass das resultierende Produkt von Ableitungen das Zwischenargument in Bezug auf die unabhängige Variable ist xändert sich nicht:

Wir bereiten den zweiten Faktor des Produkts vor und wenden die Regel zum Differenzieren der Summe an:

Der zweite Term ist die Wurzel, also

Somit wurde festgestellt, dass das Zwischenargument, das die Summe ist, eine komplexe Funktion als einen der Terme enthält: Potenzierung ist eine komplexe Funktion, und was potenziert wird, ist ein Zwischenargument durch eine unabhängige Variable x.

Daher wenden wir wieder die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an:

Wir wandeln den Grad des ersten Faktors in eine Wurzel um, und beim Differenzieren des zweiten Faktors vergessen wir nicht, dass die Ableitung der Konstanten gleich Null ist:

Jetzt können wir die Ableitung des Zwischenarguments finden, die benötigt wird, um die Ableitung der komplexen Funktion zu berechnen, die in der Bedingung des Problems erforderlich ist j:

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Zuerst verwenden wir die Regel zum Differenzieren der Summe:

Berechnen Sie die Summe der Ableitungen zweier komplexer Funktionen. Finde den ersten:

Hier ist das Potenzieren des Sinus eine komplexe Funktion, und der Sinus selbst ist ein Zwischenargument in der unabhängigen Variablen x. Deshalb wenden wir nebenbei die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an Nehmen Sie den Multiplikator aus Klammern :

Jetzt finden wir den zweiten Term von denen, die die Ableitung der Funktion bilden j:

Hier ist das Potenzieren des Kosinus eine komplexe Funktion f, und der Kosinus selbst ist ein Zwischenargument in Bezug auf die unabhängige Variable x. Auch hier verwenden wir die Ableitungsregel einer komplexen Funktion:

Das Ergebnis ist die gesuchte Ableitung:

Tabelle der Ableitungen einiger komplexer Funktionen

Für komplexe Funktionen, basierend auf der Ableitungsregel einer komplexen Funktion, nimmt die Formel für die Ableitung einer einfachen Funktion eine andere Form an.

1. Ableitung einer komplexen Potenzfunktion, wobei u x
2. Ableitung der Wurzel des Ausdrucks
3. Ableitung der Exponentialfunktion
4. Sonderfall der Exponentialfunktion
5. Ableitung einer logarithmischen Funktion mit beliebiger positiver Basis a
6. Ableitung einer komplexen logarithmischen Funktion, wobei u ist eine differenzierbare Funktion des Arguments x
7. Sinusableitung
8. Cosinus-Ableitung
9. Tangensableitung
10. Ableitung des Kotangens
11. Ableitung des Arkussinus
12. Ableitung des Arkuskosinus
13. Ableitung des Arkustangens
14. Ableitung des inversen Tangens

Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Entscheidung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es sich anhört, seien Sie also gewarnt: In den Beispielen gibt es oft Fallstricke, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

komplexe Derivate. Logarithmische Ableitung.
Ableitung der Exponentialfunktion

Wir verbessern unsere Differenzierungstechnik weiter. In dieser Lektion festigen wir den behandelten Stoff, betrachten komplexere Ableitungen und lernen auch neue Tricks und Kniffe zum Finden der Ableitung kennen, insbesondere mit der logarithmischen Ableitung.

Leser mit einem geringen Vorbereitungsniveau sollten auf den Artikel verweisen Wie finde ich die Ableitung? Lösungsbeispiele wodurch Sie Ihre Fähigkeiten fast von Grund auf verbessern können. Als nächstes müssen Sie die Seite sorgfältig studieren Ableitung einer komplexen Funktion, verstehen und lösen alles die Beispiele, die ich gegeben habe. Diese Lektion ist logischerweise die dritte in Folge, und nachdem Sie sie gemeistert haben, werden Sie ziemlich komplexe Funktionen sicher unterscheiden können. Es ist unerwünscht, an der Position „Wo sonst? Ja, und das reicht!“, denn alle Beispiele und Lösungen stammen aus realen Tests und sind oft in der Praxis zu finden.

Beginnen wir mit der Wiederholung. Im Unterricht Ableitung einer komplexen Funktion Wir haben eine Reihe von Beispielen mit detaillierten Kommentaren betrachtet. Im Laufe des Studiums der Differentialrechnung und anderer Bereiche der mathematischen Analyse müssen Sie sehr oft differenzieren, und es ist nicht immer bequem (und nicht immer notwendig), Beispiele sehr detailliert zu malen. Daher werden wir in der mündlichen Findung von Derivaten üben. Die geeignetsten „Kandidaten“ dafür sind Ableitungen einfachster von komplexen Funktionen, zum Beispiel:

Nach der Ableitungsregel einer komplexen Funktion :

Wenn in Zukunft andere Themen von matan studiert werden, ist eine solche detaillierte Aufzeichnung meistens nicht erforderlich, es wird davon ausgegangen, dass der Student in der Lage ist, ähnliche Ableitungen im Autopiloten zu finden. Stellen wir uns vor, dass um 3 Uhr morgens das Telefon klingelte und eine angenehme Stimme fragte: "Was ist die Ableitung des Tangens von zwei x?". Darauf sollte eine fast sofortige und höfliche Antwort folgen: .

Das erste Beispiel ist gleich für eine eigenständige Lösung gedacht.

Beispiel 1

Finden Sie zum Beispiel die folgenden Ableitungen mündlich in einem Schritt: . Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie nur verwenden Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen(falls sie sich nicht schon erinnert hat). Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, empfehle ich, die Lektion noch einmal zu lesen Ableitung einer komplexen Funktion.

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Antworten am Ende der Lektion

Komplexe Derivate

Nach der vorbereitenden Vorbereitung der Artillerie werden Beispiele mit 3-4-5 Anhängen von Funktionen weniger beängstigend sein. Vielleicht werden die folgenden beiden Beispiele für einige kompliziert erscheinen, aber wenn sie verstanden werden (jemand leidet), dann wird fast alles andere in der Differentialrechnung wie ein Kinderwitz erscheinen.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie bereits erwähnt, ist es zunächst notwendig, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden Rechts INVESTITIONEN VERSTEHEN. In Zweifelsfällen erinnere ich Sie an einen nützlichen Trick: Wir nehmen zum Beispiel den experimentellen Wert "x" und versuchen (gedanklich oder auf einem Entwurf), diesen Wert in den "schrecklichen Ausdruck" zu ersetzen.

1) Zuerst müssen wir den Ausdruck berechnen, also ist die Summe die tiefste Verschachtelung.

2) Dann müssen Sie den Logarithmus berechnen:

4) Dann würfeln Sie den Kosinus:

5) Im fünften Schritt die Differenz:

6) Und schließlich ist die äußerste Funktion die Quadratwurzel:

Differenzierungsformel für komplexe Funktionen werden in umgekehrter Reihenfolge angewendet, von der äußersten Funktion zur innersten. Wir entscheiden:

Scheint kein Fehler zu sein...

(1) Wir ziehen die Ableitung der Quadratwurzel.

(2) Wir leiten die Differenz nach der Regel ab

(3) Die Ableitung des Tripels ist gleich Null. Im zweiten Term nehmen wir die Ableitung des Grades (Würfel).

(4) Wir nehmen die Ableitung des Kosinus.

(5) Wir leiten den Logarithmus ab.

(6) Schließlich nehmen wir die Ableitung der tiefsten Verschachtelung.

Es mag zu schwierig erscheinen, aber dies ist nicht das brutalste Beispiel. Nehmen Sie zum Beispiel Kuznetsovs Sammlung und Sie werden den ganzen Charme und die Einfachheit des analysierten Derivats zu schätzen wissen. Mir ist aufgefallen, dass sie bei der Prüfung gerne etwas Ähnliches geben, um zu überprüfen, ob der Schüler versteht, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion findet, oder ob er es nicht versteht.

Das folgende Beispiel gilt für eine eigenständige Lösung.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hinweis: Zuerst wenden wir die Linearitäts- und die Differentiationsregel des Produkts an

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Es ist Zeit, zu etwas Kompakterem und Hübscherem überzugehen.
Nicht selten kommt es vor, dass in einem Beispiel das Produkt von nicht zwei, sondern drei Funktionen angegeben wird. Wie findet man die Ableitung des Produkts von drei Faktoren?

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Zuerst schauen wir, aber ist es möglich, das Produkt von drei Funktionen in ein Produkt von zwei Funktionen umzuwandeln? Hätten wir zum Beispiel zwei Polynome im Produkt, könnten wir die Klammern öffnen. Aber in diesem Beispiel sind alle Funktionen unterschiedlich: Grad, Exponent und Logarithmus.

In solchen Fällen ist es notwendig nacheinander Wenden Sie die Produktdifferenzierungsregel an zweimal

Der Trick ist, dass wir für "y" das Produkt zweier Funktionen bezeichnen: , und für "ve" - ​​​​den Logarithmus:. Warum ist das möglich? Ist es - das ist nicht das Produkt zweier Faktoren und die Regel funktioniert nicht?! Es gibt nichts Kompliziertes:

Nun bleibt die Regel ein zweites Mal anzuwenden zu klammern:

Sie können immer noch pervertieren und etwas aus den Klammern nehmen, aber in diesem Fall ist es besser, die Antwort in dieser Form zu belassen - es ist einfacher zu überprüfen.

Das obige Beispiel kann auf die zweite Art gelöst werden:

Beide Lösungen sind absolut gleichwertig.

Beispiel 5

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung, im Beispiel wird es auf die erste Art gelöst.

Betrachten Sie ähnliche Beispiele mit Brüchen.

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie auf mehreren Wegen vorgehen:

Oder so:

Die Lösung lässt sich aber kompakter schreiben, wenn wir zunächst die Ableitungsregel des Quotienten anwenden , wobei für den ganzen Zähler gilt:

Im Prinzip ist das Beispiel gelöst, und wenn es in dieser Form belassen wird, ist es kein Fehler. Aber wenn Sie Zeit haben, ist es immer ratsam, einen Entwurf zu überprüfen, aber ist es möglich, die Antwort zu vereinfachen? Wir bringen den Ausdruck des Zählers auf einen gemeinsamen Nenner und Befreien Sie sich von der dreistöckigen Fraktion:

Der Nachteil zusätzlicher Vereinfachungen besteht darin, dass die Gefahr besteht, dass nicht beim Auffinden eines Derivats, sondern bei banalen Schultransformationen ein Fehler gemacht wird. Auf der anderen Seite lehnen Lehrer die Aufgabe oft ab und bitten darum, die Ableitung „in Erinnerung zu rufen“.

Ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir beherrschen weiterhin die Techniken zum Finden der Ableitung und betrachten nun einen typischen Fall, in dem ein „schrecklicher“ Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie einen langen Weg gehen, indem Sie die Ableitungsregel einer komplexen Funktion verwenden:

Aber der allererste Schritt stürzt Sie sofort in Verzweiflung - Sie müssen eine unangenehme Ableitung von einem Bruchteil und dann auch von einem Bruch nehmen.

So Vor wie man die Ableitung des „ausgefallenen“ Logarithmus bildet, wird zuvor mit bekannten Schuleigenschaften vereinfacht:

! Wenn Sie ein Übungsheft zur Hand haben, kopieren Sie diese Formeln direkt dorthin. Wenn Sie kein Notizbuch haben, zeichnen Sie sie auf ein Blatt Papier, da sich die restlichen Beispiele der Lektion um diese Formeln drehen werden.

Die Lösung selbst kann wie folgt formuliert werden:

Transformieren wir die Funktion:

Wir finden die Ableitung:

Die vorläufige Transformation der Funktion selbst hat die Lösung stark vereinfacht. Wenn also ein ähnlicher Logarithmus zur Differenzierung vorgeschlagen wird, ist es immer ratsam, ihn „zu zerlegen“.

Und nun ein paar einfache Beispiele für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Alle Transformationen und Antworten am Ende der Lektion.

logarithmische Ableitung

Wenn die Ableitung von Logarithmen so süße Musik ist, stellt sich die Frage, ob es in einigen Fällen möglich ist, den Logarithmus künstlich zu organisieren? Dürfen! Und sogar notwendig.

Beispiel 11

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Ähnliche Beispiele haben wir kürzlich betrachtet. Was zu tun ist? Man kann nacheinander die Ableitungsregel des Quotienten und dann die Ableitungsregel des Produkts anwenden. Der Nachteil dieser Methode ist, dass Sie einen riesigen dreistöckigen Bruch erhalten, mit dem Sie sich überhaupt nicht beschäftigen möchten.

Aber in Theorie und Praxis gibt es so etwas Wunderbares wie die logarithmische Ableitung. Logarithmen können künstlich organisiert werden, indem man sie auf beiden Seiten "aufhängt":

Notiz : da Die Funktion kann negative Werte annehmen, dann müssen Sie im Allgemeinen Module verwenden: , die durch Differenzierung verschwinden. Das aktuelle Design ist jedoch auch akzeptabel, wobei standardmäßig die Komplex Werte. Aber wenn bei aller Strenge, dann ist es in beiden Fällen notwendig, dies zu reservieren.

Jetzt müssen Sie den Logarithmus der rechten Seite so weit wie möglich „zerlegen“ (Formeln vor Ihren Augen?). Ich werde diesen Vorgang ausführlich beschreiben:

Beginnen wir mit der Differenzierung.
Beide Teile schließen wir mit einem Strich ab:

Die Ableitung der rechten Seite ist recht einfach, ich werde sie nicht kommentieren, denn wenn Sie diesen Text lesen, sollten Sie damit sicher umgehen können.

Was ist mit der linken Seite?

Auf der linken Seite haben wir komplexe Funktion. Ich sehe die Frage voraus: „Warum gibt es einen Buchstaben „y“ unter dem Logarithmus?“.

Tatsache ist, dass dieser "ein Buchstabe y" - IST EINE FUNKTION FÜR SICH(Wenn es nicht sehr klar ist, lesen Sie den Artikel Ableitung einer implizit angegebenen Funktion). Daher ist der Logarithmus eine externe Funktion und "y" eine interne Funktion. Und wir verwenden die Differenzierungsregel für zusammengesetzte Funktionen :

Auf der linken Seite haben wir wie durch Zauberei eine Ableitung. Außerdem werfen wir gemäß der Proportionsregel das „y“ vom Nenner der linken Seite nach oben auf der rechten Seite:

Und jetzt erinnern wir uns, über was für eine "Spiel"-Funktion wir bei der Differenzierung gesprochen haben? Schauen wir uns den Zustand an:

Endgültige Antwort:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Beispieldesign eines solchen Beispiels am Ende der Lektion.

Mit Hilfe der logarithmischen Ableitung konnte jedes der Beispiele Nr. 4-7 gelöst werden, eine andere Sache ist, dass die Funktionen dort einfacher sind und die Verwendung der logarithmischen Ableitung möglicherweise nicht sehr gerechtfertigt ist.

Ableitung der Exponentialfunktion

Diese Funktion haben wir noch nicht berücksichtigt. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die hat und der Grad und die Basis hängen von "x" ab. Ein klassisches Beispiel, das Ihnen in jedem Lehrbuch oder bei jeder Vorlesung gegeben wird:

Wie findet man die Ableitung einer Exponentialfunktion?

Es ist notwendig, die gerade betrachtete Technik zu verwenden - die logarithmische Ableitung. Wir hängen Logarithmen auf beiden Seiten auf:

In der Regel wird der Grad unter dem Logarithmus auf der rechten Seite herausgenommen:

Als Ergebnis haben wir auf der rechten Seite ein Produkt zweier Funktionen, die nach der Standardformel differenziert werden .

Wir finden die Ableitung, dazu schließen wir beide Teile unter Striche ein:

Die nächsten Schritte sind einfach:

Endlich:

Wenn eine Transformation nicht ganz klar ist, lesen Sie die Erläuterungen zu Beispiel 11 bitte noch einmal sorgfältig durch.

Bei praktischen Aufgaben wird die Exponentialfunktion immer komplizierter sein als das betrachtete Vorlesungsbeispiel.

Beispiel 13

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir verwenden die logarithmische Ableitung.

Auf der rechten Seite haben wir eine Konstante und das Produkt zweier Faktoren – „x“ und „Logarithmus des Logarithmus von x“ (ein weiterer Logarithmus ist unter dem Logarithmus verschachtelt). Beim Ableiten einer Konstanten ist es, wie wir uns erinnern, besser, sie gleich aus dem Vorzeichen der Ableitung herauszunehmen, damit sie nicht stört; und wenden Sie natürlich die bekannte Regel an :

Komplexe Funktionen passen nicht immer zur Definition einer komplexen Funktion. Wenn es eine Funktion der Form y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 gibt, kann sie im Gegensatz zu y \u003d sin 2 x nicht als komplex betrachtet werden.

Dieser Artikel zeigt das Konzept einer komplexen Funktion und ihre Identifizierung. Lassen Sie uns mit Formeln arbeiten, um die Ableitung mit Lösungsbeispielen im Schluss zu finden. Die Verwendung der Ableitungstabelle und der Ableitungsregeln verkürzen die Zeit zum Auffinden der Ableitung erheblich.

Grundlegende Definitionen

Bestimmung 1

Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument ebenfalls eine Funktion ist.

Es wird so bezeichnet: f (g (x)) . Wir haben, dass die Funktion g (x) als Argument f (g (x)) betrachtet wird.

Bestimmung 2

Wenn es eine Funktion f gibt und eine Kotangensfunktion ist, dann ist g(x) = ln x die natürliche Logarithmusfunktion. Wir erhalten, dass die komplexe Funktion f (g (x)) als arctg (lnx) geschrieben wird. Oder eine Funktion f, bei der es sich um eine zur 4. Potenz erhobene Funktion handelt, bei der g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 als vollständige rationale Funktion betrachtet wird, erhalten wir, dass f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Offensichtlich kann g(x) schwierig sein. Aus dem Beispiel y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 ist ersichtlich, dass der Wert von g eine Kubikwurzel mit einem Bruch hat. Dieser Ausdruck kann als y = f (f 1 (f 2 (x))) bezeichnet werden. Daraus ergibt sich, dass f eine Sinusfunktion ist und f 1 eine Funktion unter der Quadratwurzel ist, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 ist eine gebrochene rationale Funktion.

Bestimmung 3

Der Verschachtelungsgrad ist durch eine beliebige natürliche Zahl definiert und wird geschrieben als y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Bestimmung 4

Das Konzept der Funktionskomposition bezieht sich auf die Anzahl der verschachtelten Funktionen gemäß der Problemstellung. Für die Lösung die Formel zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion der Form

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Beispiele

Beispiel 1

Finde die Ableitung einer komplexen Funktion der Form y = (2 x + 1) 2 .

Entscheidung

Konventionsgemäß ist f eine quadrierende Funktion und g(x) = 2 x + 1 wird als lineare Funktion betrachtet.

Wir wenden die Ableitungsformel auf eine komplexe Funktion an und schreiben:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Es ist notwendig, eine Ableitung mit einer vereinfachten Anfangsform der Funktion zu finden. Wir bekommen:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Daher haben wir das

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Die Ergebnisse stimmten überein.

Beim Lösen von Problemen dieser Art ist es wichtig zu verstehen, wo sich die Funktion der Form f und g (x) befinden wird.

Beispiel 2

Sie sollten die Ableitungen komplexer Funktionen der Form y \u003d sin 2 x und y \u003d sin x 2 finden.

Entscheidung

Der erste Eintrag der Funktion besagt, dass f die Quadrierfunktion und g(x) die Sinusfunktion ist. Dann bekommen wir das

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 - 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

Der zweite Eintrag zeigt, dass f eine Sinusfunktion ist und g (x) = x 2 die Potenzfunktion bezeichnet. Daraus folgt, dass das Produkt einer komplexen Funktion geschrieben werden kann als

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Die Formel für die Ableitung y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) wird geschrieben als y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x )) )) . . . f n "(x)

Beispiel 3

Finde die Ableitung der Funktion y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Entscheidung

Dieses Beispiel zeigt die Komplexität des Schreibens und Bestimmens der Position von Funktionen. Dann y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) bezeichnen, wobei f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) die Sinusfunktion ist, die Funktion der Erhöhung auf 3 Grad, eine Funktion mit Logarithmus und Basis e, eine Funktion des Arkustangens und eine lineare.

Aus der Formel zur Definition einer komplexen Funktion haben wir das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Erhalten, was zu finden ist

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) als Ableitung des Sinus in der Ableitungstabelle, dann f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)). ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) als Ableitung einer Potenzfunktion, dann f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 Bogen t g (2 x) = 3 ln 2 Bogen t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) als logarithmische Ableitung, dann f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) als Ableitung des Arkustangens, dann f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Wenn Sie die Ableitung f 4 (x) \u003d 2 x finden, nehmen Sie 2 aus dem Vorzeichen der Ableitung heraus, indem Sie die Formel für die Ableitung der Potenzfunktion mit einem Exponenten von 1 verwenden, dann f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Wir kombinieren die Zwischenergebnisse und erhalten das

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Die Analyse solcher Funktionen ähnelt Verschachtelungspuppen. Ableitungsregeln können nicht immer explizit über eine Ableitungstabelle angewendet werden. Oft müssen Sie die Formel anwenden, um Ableitungen komplexer Funktionen zu finden.

Es gibt einige Unterschiede zwischen einer komplexen Ansicht und einer komplexen Funktion. Mit einer klaren Fähigkeit, dies zu unterscheiden, wird das Auffinden von Derivaten besonders einfach.

Beispiel 4

Es ist notwendig, darüber nachzudenken, ein solches Beispiel zu bringen. Wenn es eine Funktion der Form y = t g 2 x + 3 t g x + 1 gibt, dann kann sie als komplexe Funktion der Form g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 betrachtet werden . Offensichtlich ist es notwendig, die Formel für die komplexe Ableitung anzuwenden:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Eine Funktion der Form y = t g x 2 + 3 t g x + 1 wird nicht als komplex angesehen, da sie die Summe t g x 2 , 3 t g x und 1 hat. t g x 2 wird jedoch als komplexe Funktion betrachtet, dann erhalten wir eine Potenzfunktion der Form g (x) \u003d x 2 und f, die eine Funktion der Tangente ist. Dazu müssen Sie nach der Menge differenzieren. Das verstehen wir

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 wegen 2 x

Gehen wir weiter zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Wir erhalten, dass y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Komplexe Funktionen können in komplexen Funktionen enthalten sein, und die komplexen Funktionen selbst können komplexe Funktionen der komplexen Form sein.

Beispiel 5

Betrachten Sie zum Beispiel eine komplexe Funktion der Form y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Diese Funktion kann als y = f (g (x)) dargestellt werden, wobei der Wert von f eine Funktion des Logarithmus zur Basis 3 ist und g (x) als Summe zweier Funktionen der Form h (x) = angesehen wird x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 und k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Offensichtlich ist y = f (h (x) + k (x)) .

Betrachten Sie die Funktion h(x) . Dies ist das Verhältnis von l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 zu m (x) = e x 2 + 3 3

Wir haben, dass l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) die Summe zweier Funktionen n (x) = x 2 + 7 und p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , wobei p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) eine komplexe Funktion mit einem numerischen Koeffizienten von 3 und p 1 ein Würfel ist Funktion, p 2 Kosinusfunktion, p 3 (x) = 2 x + 1 - lineare Funktion.

Wir haben festgestellt, dass m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) die Summe der beiden Funktionen q (x) = e x 2 und r (x) = 3 3 ist, wobei q (x) = q 1 (q 2 (x)) ist eine komplexe Funktion, q 1 ist eine Funktion mit einem Exponenten, q 2 (x) = x 2 ist eine Potenzfunktion.

Dies zeigt, dass h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Beim Übergang zu einem Ausdruck der Form k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) ist klar, dass die Funktion in Form eines Komplexes dargestellt wird s ( x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) mit einem ganzzahligen rationalen t (x) = x 2 + 1, wobei s 1 eine Quadrierfunktion und s 2 (x) = ln x ist logarithmisch mit Basis e.

Daraus folgt, dass der Ausdruck die Form k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) annehmen wird.

Dann bekommen wir das

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Anhand der Strukturen der Funktion wurde deutlich, wie und welche Formeln angewendet werden müssen, um den Ausdruck beim Differenzieren zu vereinfachen. Um sich mit solchen Problemen vertraut zu machen und ihre Lösung zu verstehen, ist es notwendig, sich auf den Punkt der Ableitung einer Funktion zu beziehen, dh ihre Ableitung zu finden.

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