Zähler

Viertel

1. Ordentlichkeit. a und b Es gibt eine Regel, die es Ihnen ermöglicht, zwischen ihnen eine und nur eine der drei Beziehungen eindeutig zu identifizieren: „< », « >' oder '='. Diese Regel heißt Ordnungsregel und wird wie folgt formuliert: zwei nicht-negative Zahlen und stehen in der gleichen Beziehung wie zwei ganze Zahlen und ; zwei nicht positive Zahlen a und b stehen in der gleichen Beziehung wie zwei nicht negative Zahlen und ; wenn plötzlich a nicht negativ und b- also negativ a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Summierung von Brüchen

2. Additionsoperation. Für beliebige rationale Zahlen a und b es gibt einen sog Summationsregel c. Allerdings die Nummer selbst c namens Summe Zahlen a und b und ist mit bezeichnet, und der Prozess, eine solche Nummer zu finden, wird aufgerufen Summe. Die Summationsregel hat folgende Form: .
3. Multiplikationsoperation. Für beliebige rationale Zahlen a und b es gibt einen sog Multiplikationsregel, was sie in Übereinstimmung mit einer rationalen Zahl bringt c. Allerdings die Nummer selbst c namens Arbeit Zahlen a und b und wird mit bezeichnet, und der Prozess, eine solche Nummer zu finden, wird auch genannt Multiplikation. Die Multiplikationsregel lautet wie folgt: .
4. Transitivität der Ordnungsrelation. Für jedes Tripel rationaler Zahlen a , b und c Wenn a kleiner b und b kleiner c, dann a kleiner c, und wenn a gleich b und b gleich c, dann a gleich c. 6435">Kommutativität der Addition. Die Summe ändert sich nicht, wenn die Stellen der rationalen Terme ausgetauscht werden.
5. Assoziativität der Addition. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen addiert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
6. Das Vorhandensein von Null. Es gibt eine rationale Zahl 0, die alle anderen rationalen Zahlen erhält, wenn sie summiert werden.
7. Das Vorhandensein von Gegenzahlen. Jede rationale Zahl hat eine entgegengesetzte rationale Zahl, die summiert 0 ergibt.
8. Kommutativität der Multiplikation. Indem die Plätze der rationalen Faktoren geändert werden, ändert sich das Produkt nicht.
9. Assoziativität der Multiplikation. Die Reihenfolge, in der drei rationale Zahlen multipliziert werden, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.
10. Das Vorhandensein einer Einheit. Es gibt eine rationale Zahl 1, die bei Multiplikation jede andere rationale Zahl erhält.
11. Das Vorhandensein von Gegensätzen. Jede rationale Zahl hat eine umgekehrte rationale Zahl, die multipliziert 1 ergibt.
12. Distributivität der Multiplikation in Bezug auf die Addition. Die Multiplikationsoperation ist konsistent mit der Additionsoperation durch das Verteilungsgesetz:
13. Zusammenhang der Ordnungsbeziehung mit der Additionsoperation. Dieselbe rationale Zahl kann zur linken und rechten Seite einer rationalen Ungleichung addiert werden. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axiom von Archimedes. Was auch immer die rationale Zahl ist a, können Sie so viele Einheiten nehmen, dass ihre Summe überschritten wird a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Zusätzliche Eigenschaften

Alle anderen Eigenschaften, die rationalen Zahlen innewohnen, werden nicht als grundlegende Eigenschaften herausgegriffen, weil sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen grundlegenden Eigenschaften oder direkt durch die Definition von bewiesen werden können ein mathematisches Objekt. Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon zu nennen.

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Zählbarkeit einstellen

Numerierung rationaler Zahlen

Um die Anzahl der rationalen Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge finden. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu genügt es, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt.

Der einfachste dieser Algorithmen ist wie folgt. Für jeden wird eine unendliche Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem j te Spalte davon ist ein Bruch. Zur Eindeutigkeit wird angenommen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle von eins an nummeriert sind. Tabellenzellen sind mit , wo bezeichnet ich- die Zeilennummer der Tabelle, in der sich die Zelle befindet, und j- Spaltennummer.

Die resultierende Tabelle wird von einer "Schlange" gemäß dem folgenden formalen Algorithmus verwaltet.

Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird durch die erste Übereinstimmung ausgewählt.

Bei einem solchen Bypass wird jede neue rationale Zahl der nächsten natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, Brüche 1 / 1 erhalten die Nummer 1, Brüche 2 / 1 - die Nummer 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Das formale Zeichen der Irreduzibilität ist die Einheit des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner des Bruchs.

Nach diesem Algorithmus kann man alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuweist. Dass. auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch abzählbar durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch abzählbar als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen.

Die Aussage über die Zählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen mag etwas verwirren, da man auf den ersten Blick den Eindruck bekommt, dass sie viel größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall, und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen aufzuzählen.

Mangel an rationalen Zahlen

Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks wird durch keine rationale Zahl ausgedrückt

Rationale Zahlen der Form 1 / n im Großen und Ganzen n es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den trügerischen Eindruck, dass rationale Zahlen im Allgemeinen beliebige geometrische Abstände messen können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt.

Aus dem Satz des Pythagoras ist bekannt, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Dass. die Länge der Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit einem Einheitsschenkel ist gleich einer Zahl, deren Quadrat 2 ist.

Wenn wir annehmen, dass die Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt wird, dann gibt es eine solche ganze Zahl m und so eine natürliche Zahl n, wobei außerdem der Bruch irreduzibel ist, also die Zahlen m und n sind teilerfremd.

Wir verwenden Brüche die ganze Zeit in unserem Leben. Zum Beispiel, wenn wir mit Freunden Kuchen essen. Der Kuchen kann in 8 gleiche Teile oder 8 geteilt werden Anteile. Teilen ist ein gleichberechtigter Teil von etwas Ganzem. Vier Freunde aßen je ein Stück Kuchen. Vier aus acht ausgewählten Stücken können mathematisch geschrieben werden als gemeinsamer Bruchteil\(\frac(4)(8)\), lautet der Bruch „vier Achtel“ oder „vier geteilt durch acht“. Gemeinsamer Bruch wird auch genannt einfacher Bruch.

Der Bruchstrich ersetzt die Division:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Wir haben die Anteile in Bruchteilen notiert. In wörtlicher Form wird es so sein:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – Zähler oder teilbar, steht über dem Bruchstrich und zeigt an, wie viele Teile oder Anteile von der Gesamtsumme genommen wurden.
8 – Nenner oder Teiler, befindet sich unter dem Bruchbalken und zeigt die Gesamtzahl der Teile oder Anteile an.

Wenn wir genau hinsehen, sehen wir, dass die Freunde die Hälfte des Kuchens gegessen haben, oder einen Teil von zwei. Wir schreiben in Form eines gewöhnlichen Bruchs \(\frac(1)(2)\), es lautet „eine Sekunde“.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel:
Es gibt ein Quadrat. Das Quadrat wird in 5 gleiche Teile geteilt. Zwei Teile lackiert. Schreiben Sie einen Bruch für die schattierten Teile? Schreiben Sie den Bruch für die nicht schraffierten Teile auf?

Zwei Teile werden übermalt, und es gibt insgesamt fünf Teile, also sieht der Bruch aus wie \(\frac(2)(5)\), der Bruch „zwei Fünftel“ wird gelesen.
Drei Teile wurden nicht übermalt, insgesamt sind es fünf Teile, also schreiben wir den Bruch so \(\frac(3)(5)\), der Bruch „drei Fünftel“ wird gelesen.

Teilen Sie das Quadrat in kleinere Quadrate und schreiben Sie Brüche für die schattierten und nicht schattierten Teile.

Schattierte 6 Teile und nur 25 Teile. Wir erhalten den Bruch \(\frac(6)(25)\) , der Bruch „sechs fünfundzwanzig“ wird gelesen.
Nicht schattierte 19 Teile, sondern nur 25 Teile. Wir erhalten den Bruch \(\frac(19)(25)\), der Bruch „neunzehn fünfundzwanzig“ wird gelesen.

Shaded 4 Teile und nur 25 Teile. Wir erhalten den Bruch \(\frac(4)(25)\), der Bruch „vier fünfundzwanzig“ wird gelesen.
Nicht schattierte 21 Teile, sondern nur 25 Teile. Wir erhalten den Bruch \(\frac(21)(25)\), der Bruch „einundzwanzig Fünfundzwanzigstel“ wird gelesen.

Jede natürliche Zahl kann als Bruch ausgedrückt werden. Zum Beispiel:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Jede Zahl ist durch eins teilbar, also kann diese Zahl als Bruch dargestellt werden.

Fragen zum Thema „gewöhnliche Brüche“:
Was ist eine Aktie?
Antworten: Teilen ist ein gleichberechtigter Teil von etwas Ganzem.

Was zeigt der Nenner?
Antwort: Der Nenner zeigt, wie viele Teile oder Aktien geteilt werden.

Was zeigt der Zähler?
Antwort: Der Zähler zeigt an, wie viele Teile oder Anteile genommen wurden.

Die Straße war 100m. Mischa ging 31m. Schreiben Sie den Ausdruck als Bruch auf, wie lange hat Mischa gegangen?
Antwort:\(\frac(31)(100)\)

Was ist ein gewöhnlicher Bruch?
Antwort: Ein gewöhnlicher Bruch ist das Verhältnis des Zählers zum Nenner, wobei der Zähler kleiner als der Nenner ist. Beispiel gemeinsame Brüche \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Wie wandle ich eine natürliche Zahl in einen gewöhnlichen Bruch um?
Antwort: Jede Zahl kann als Bruch geschrieben werden, zum Beispiel \(5 = \frac(5)(1)\)

Aufgabe 1:
2kg 700g Melone gekauft. Mischas \(\frac(2)(9)\) Melonen wurden abgeschnitten. Welche Masse hat das geschnittene Stück? Wie viel Gramm Melone bleiben übrig?

Entscheidung:
Konvertieren Sie Kilogramm in Gramm.
2 kg = 2000 g
2000 g + 700 g = 2700 g Gesamtgewicht der Melone.

Mischas \(\frac(2)(9)\) Melonen wurden abgeschnitten. Der Nenner ist 9, was bedeutet, dass die Melone in 9 Teile geteilt wurde.
2700: 9 = 300 g Gewicht eines Stücks.
Der Zähler ist die Zahl 2, also muss Misha zwei Stücke geben.
300 + 300 = 600 g oder 300 ⋅ 2 = 600 g, so viele Melonen hat Mischa gegessen.

Um herauszufinden, welche Melonenmasse übrig ist, müssen Sie die verzehrte Masse von der Gesamtmasse der Melone abziehen.
2700 - 600 = 2100 g Melonen übrig.

Fraktion- eine Darstellungsform einer Zahl in der Mathematik. Der Schrägstrich zeigt die Divisionsoperation an. Zähler Brüche heißt Dividende, und Nenner- Teiler. Beispiel: Bei einem Bruch ist der Zähler 5 und der Nenner 7.

Richtig Ein Bruch wird aufgerufen, wenn der Betrag des Zählers größer ist als der Betrag des Nenners. Wenn der Bruch richtig ist, dann ist der Modul seines Werts immer kleiner als 1. Alle anderen Brüche sind es falsch.

Bruch wird aufgerufen gemischt, wenn es als ganze Zahl und als Bruch geschrieben wird. Dies ist dasselbe wie die Summe dieser Zahl und eines Bruchs:

Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, d. h. zum Beispiel

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Um zwei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, braucht man:

1. Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten
2. Multipliziere den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten
3. Ersetze die Nenner beider Brüche durch ihr Produkt

Aktionen mit Brüchen

Zusatz. Um zwei Brüche zu addieren, benötigen Sie

1. Addiere neue Zähler beider Brüche und lasse den Nenner unverändert

Beispiel:

Subtraktion. Um einen Bruch von einem anderen zu subtrahieren,

1. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen
2. Subtrahiere den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und lasse den Nenner unverändert

Beispiel:

Multiplikation. Um einen Bruch mit einem anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie ihre Zähler und Nenner:

Aufteilung. Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und multiplizieren Sie den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten:

Zähler und Nenner eines Bruchs. Arten von Brüchen. Fahren wir mit Brüchen fort. Zunächst eine kleine Einschränkung - wir betrachten Brüche und die entsprechenden Beispiele damit, wir werden vorerst nur mit ihrer numerischen Darstellung arbeiten. Es gibt auch gebrochene wörtliche Ausdrücke (mit und ohne Zahlen).Alle "Prinzipien" und Regeln gelten jedoch auch für sie, aber wir werden in Zukunft separat über solche Ausdrücke sprechen. Ich empfehle, das Thema Brüche Schritt für Schritt zu besuchen und zu studieren (zu erinnern).

Das Wichtigste ist, zu verstehen, sich zu erinnern und zu erkennen, dass ein BRUCHTEIL eine ZAHL ist!!!

Gemeinsamer Bruch ist eine Zahl der Form:

Die „oben“ stehende Zahl (in diesem Fall m) heißt Zähler, die darunter liegende Zahl (die Zahl n) heißt Nenner. Diejenigen, die das Thema gerade angerissen haben, geraten oft in Verwirrung - wie heißt es?

Hier ist ein Trick für Sie, wie Sie sich für immer merken können, wo der Zähler und wo der Nenner ist. Diese Technik ist mit verbal-figurativer Assoziation verbunden. Stellen Sie sich ein Glas mit trübem Wasser vor. Es ist bekannt, dass beim Absetzen des Wassers sauberes Wasser oben bleibt und sich Trübung (Schmutz) absetzt. Denken Sie daran:

CHISSS-Schmelzwasser OBEN (CHISSS-Ausgießer oben)

Dreck ZZZNNN Wasser UNTEN (ZZZNN Amenator unten)

Sobald es also notwendig wird, sich daran zu erinnern, wo der Zähler und wo der Nenner ist, präsentierten sie sofort visuell ein Gefäß mit abgesetztem Wasser, in dem SAUBERES Wasser oben und schmutziges Wasser unten ist. Es gibt noch andere Tricks, an die Sie sich erinnern sollten, wenn sie Ihnen helfen, dann gut.

Beispiele für gewöhnliche Brüche:

Was bedeutet der horizontale Strich zwischen Zahlen? Dies ist nichts weiter als ein Teilungszeichen. Es stellt sich heraus, dass ein Bruch als Beispiel mit der Aktion der Division betrachtet werden kann. Diese Aktion wird einfach in diesem Formular festgehalten. Das heißt, die obere Zahl (Zähler) wird durch die untere Zahl (Nenner) dividiert:

Darüber hinaus gibt es eine andere Form der Aufzeichnung - ein Bruch kann so geschrieben werden (durch einen Schrägstrich):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 und so weiter...

Wir können die obigen Brüche wie folgt schreiben:

Das Ergebnis der Division ist, wie Sie wissen, die Zahl.

Aufgeklärt - FRAKTION DIESER ZAHL !!!

Wie du bereits bemerkt hast, kann in einem gewöhnlichen Bruch der Zähler kleiner als der Nenner, größer als der Nenner und gleich diesem sein. Viele wichtige Punkte sind intuitiv verständlich, ohne theoretischen Schnickschnack. Zum Beispiel:

1. Brüche 1 und 3 können als 0,5 und 0,01 geschrieben werden. Lassen Sie uns ein wenig vorauslaufen - das sind Dezimalbrüche, wir werden etwas tiefer darüber sprechen.

2. Brüche 4 und 6 ergeben eine ganze Zahl 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Bruchteil 5 ergibt als Ergebnis eine Einheit 155:155 = 1.

Welche Schlussfolgerungen bieten sich an? Folgende:

1. Der Zähler kann, wenn er durch den Nenner dividiert wird, eine endliche Zahl ergeben. Es kann nicht funktionieren, durch eine Spalte 7 durch 13 oder 17 durch 11 zu dividieren - auf keinen Fall! Sie können unbegrenzt teilen, aber wir werden auch etwas niedriger darüber sprechen.

2. Ein Bruch kann eine ganze Zahl ergeben. Daher können wir jede ganze Zahl als Bruch darstellen, oder besser gesagt eine unendliche Reihe von Brüchen, sehen Sie, alle diese Brüche sind gleich 2:

Noch! Wir können jede ganze Zahl immer als Bruch schreiben - diese Zahl selbst steht im Zähler, Eins im Nenner:

3. Wir können eine Einheit immer als Bruch mit beliebigem Nenner darstellen:

*Die angegebenen Punkte sind extrem wichtig für die Arbeit mit Brüchen bei Berechnungen und Umrechnungen.

Arten von Brüchen.

Und nun zur theoretischen Teilung gewöhnlicher Brüche. Sie sind unterteilt in richtig und falsch.

Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, heißt echter Bruch. Beispiele:

Ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, wird als unechter Bruch bezeichnet. Beispiele:

gemischte Fraktion(gemischte Zahl).

Ein gemischter Bruch ist ein ganzzahliger Bruch und ein echter Bruch und versteht sich als Summe dieser Zahl und ihres Bruchteils. Beispiele:

Ein gemischter Bruch kann immer als echter Bruch dargestellt werden und umgekehrt. Gehen wir weiter!

Dezimalstellen.

Wir haben sie oben bereits angesprochen, dies sind die Beispiele (1) und (3), jetzt ausführlicher. Hier sind Beispiele für Dezimalzahlen: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Ein Bruch, dessen Nenner eine Potenz von 10 ist, wie 10, 100, 1000 usw., wird als Dezimalzahl bezeichnet. Es ist nicht schwierig, die ersten drei angegebenen Brüche als gewöhnliche Brüche zu schreiben:

Der vierte ist ein gemischter Bruch (gemischte Zahl):

Ein Dezimalbruch hat die folgende Notation - mitder ganzzahlige Teil begann, dann war das Trennzeichen der ganzzahligen und gebrochenen Teile ein Punkt oder ein Komma und dann der gebrochene Teil, die Anzahl der Stellen des gebrochenen Teils wird streng durch die Dimension des gebrochenen Teils bestimmt: wenn es Zehntel sind, der Bruchteil wird als eine Ziffer geschrieben; wenn Tausendstel - drei; Zehntausendstel - vier usw.

Diese Brüche sind endlich und unendlich.

Endkommabeispiele: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.

Beispiele sind endlos. Zum Beispiel ist die Zahl Pi ein unendlicher Dezimalbruch, aber - 0,333333333333…... 0,16666666666…. und andere. Auch das Ergebnis des Wurzelziehens aus den Zahlen 3, 5, 7 usw. wird ein unendlicher Bruch sein.

Der Bruchteil kann zyklisch sein (es gibt einen Zyklus darin), die beiden obigen Beispiele sind genau gleich, weitere Beispiele:

0,123123123123…... Zyklus 123

0,781781781718…... Zyklus 781

0,0250102501…. Zyklus 02501

Sie können als 0, (123) 0, (781) 0, (02501) geschrieben werden.

Die Zahl Pi ist kein zyklischer Bruch, wie zum Beispiel die Wurzel aus drei.

Unten in den Beispielen erklingen Wörter wie „umdrehen“ des Bruchs – das bedeutet, dass Zähler und Nenner vertauscht sind. Tatsächlich hat ein solcher Bruch einen Namen - den reziproken Bruch. Beispiele für reziproke Brüche:

Kleine Zusammenfassung! Brüche sind:

Gewöhnlich (richtig und falsch).

Dezimalzahlen (endlich und unendlich).

Gemischt (gemischte Nummern).

Das ist alles!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Themas mit dem Studium des Konzepts eines Bruchs als Ganzes, was uns ein vollständigeres Verständnis der Bedeutung eines gewöhnlichen Bruchs vermitteln wird. Lassen Sie uns die Hauptbegriffe und ihre Definition geben, das Thema in einer geometrischen Interpretation untersuchen, d.h. auf der Koordinatenlinie und definieren Sie auch eine Liste grundlegender Aktionen mit Brüchen.

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Anteile am Ganzen

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das aus mehreren, völlig gleichen Teilen besteht. Das kann zum Beispiel eine Orange sein, die aus mehreren identischen Scheiben besteht.

Bestimmung 1

Anteil an einem Ganzen oder Anteil ist jeder der gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen.

Offensichtlich können die Anteile unterschiedlich sein. Um diese Aussage klar zu erklären, stellen Sie sich zwei Äpfel vor, von denen einer in zwei gleiche Teile und der zweite in vier Teile geschnitten wird. Es ist klar, dass die Größe der resultierenden Anteile für verschiedene Äpfel variieren wird.

Die Aktien haben ihre eigenen Namen, die von der Anzahl der Aktien abhängen, aus denen das gesamte Subjekt besteht. Wenn ein Artikel zwei Teile hat, dann wird jeder von ihnen als ein zweiter Teil dieses Artikels definiert; wenn ein Objekt aus drei Teilen besteht, dann ist jeder von ihnen ein Drittel und so weiter.

Bestimmung 2

Halb- ein zweiter Teil des Themas.

Dritter- ein Drittel des Themas.

Quartal- ein Viertel des Themas.

Um die Aufzeichnungen zu verkürzen, wurde die folgende Notation für Aktien eingeführt: halb - 1 2 oder 1 / 2 ; Dritter - 1 3 oder 1 / 3 ; ein Viertel teilen 1 4 oder 1/4 und so weiter. Einträge mit einem horizontalen Balken werden häufiger verwendet.

Das Konzept eines Anteils erweitert sich natürlich von Objekten zu Größen. Sie können also Bruchteile eines Meters (ein Drittel oder ein Hundertstel) verwenden, um kleine Objekte als eine der Längeneinheiten zu messen. Anteile anderer Mengen können in ähnlicher Weise aufgebracht werden.

Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele

Gewöhnliche Brüche werden verwendet, um die Anzahl der Aktien zu beschreiben. Betrachten Sie ein einfaches Beispiel, das uns der Definition eines gewöhnlichen Bruchs näher bringt.

Stellen Sie sich eine Orange vor, die aus 12 Scheiben besteht. Jede Aktie wird dann - ein Zwölftel oder 1 / 12 sein. Zwei Anteile - 2/12; drei Aktien - 3 / 12 usw. Alle 12 Teile oder eine Ganzzahl würden so aussehen: 12 / 12 . Jeder der im Beispiel verwendeten Einträge ist ein Beispiel für einen gewöhnlichen Bruch.

Bestimmung 3

Gemeinsamer Bruch ist eine Aufzeichnung des Formulars m n oder m / n , wobei m und n beliebige natürliche Zahlen sind.

Beispiele für gewöhnliche Brüche können nach dieser Definition die Eingaben sein: 4 / 9, 1134, 91754. Und diese Einträge: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 sind keine gewöhnlichen Brüche.

Zähler und Nenner

Bestimmung 4

Zähler gemeinsamer Bruchteil m n oder m / n ist eine natürliche Zahl m .

Nenner gemeinsamer Bruchteil m n oder m / n ist eine natürliche Zahl n .

Jene. Der Zähler ist die Zahl über dem Strich eines gewöhnlichen Bruchs (oder links vom Schrägstrich), und der Nenner ist die Zahl unter dem Strich (rechts vom Schrägstrich).

Was bedeuten Zähler und Nenner? Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, und der Zähler gibt uns Auskunft darüber, wie viele solcher Anteile berücksichtigt werden. Zum Beispiel zeigt uns der gemeinsame Bruch 7 54 an, dass ein bestimmtes Objekt aus 54 Aktien besteht, und wir haben 7 solcher Aktien zur Prüfung genommen.

Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1

Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall kann man sagen, dass der betrachtete Gegenstand (Wert) unteilbar ist, etwas Ganzes. Der Zähler in einem solchen Bruch gibt an, wie viele solcher Elemente genommen werden, d.h. ein gewöhnlicher Bruch der Form m 1 hat die Bedeutung einer natürlichen Zahl m . Diese Aussage dient als Begründung für die Gleichheit m 1 = m .

Schreiben wir die letzte Gleichheit so: m = m 1 . Es gibt uns die Möglichkeit, jede natürliche Zahl in Form eines gewöhnlichen Bruchs zu verwenden. Beispielsweise ist die Zahl 74 ein gewöhnlicher Bruch der Form 74 1 .

Bestimmung 5

Jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden, wobei der Nenner eins ist: m 1 .

Jeder gewöhnliche Bruch der Form m 1 kann wiederum durch eine natürliche Zahl m dargestellt werden.

Bruchstrich als Divisionszeichen

Die obige Darstellung eines bestimmten Objekts als n Aktien ist nichts anderes als eine Teilung in n gleiche Teile. Wenn ein Objekt in n Teile geteilt wird, haben wir die Möglichkeit, es gleichmäßig auf n Personen aufzuteilen – jeder bekommt seinen Anteil.

Wenn wir zunächst m identische Objekte haben (jeweils in n Teile geteilt), dann können diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufgeteilt werden, wobei jeder von ihnen einen Anteil von jedem der m Objekte erhält. In diesem Fall hat jede Person m Aktien 1 n , und m Aktien 1 n ergeben einen ordentlichen Bruch m n . Daher kann der gemeinsame Bruch m n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.

Die resultierende Aussage stellt eine Verbindung zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division her. Und diese Beziehung kann wie folgt ausgedrückt werden : es ist möglich, den Bruchstrich als Teilungszeichen zu meinen, d.h. m/n=m:n.

Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können wir das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben. Zum Beispiel wird das Teilen von 7 Äpfeln durch 10 Personen als 7 10 geschrieben: Jede Person erhält sieben Zehntel.

Gleiche und ungleiche gemeinsame Brüche

Die logische Handlung besteht darin, gewöhnliche Brüche zu vergleichen, da es offensichtlich ist, dass zum Beispiel 1 8 eines Apfels anders ist als 7 8 .

Das Ergebnis des Vergleichs gewöhnlicher Brüche kann sein: gleich oder ungleich.

Bestimmung 6

Gleiche gemeinsame Brüche sind gewöhnliche Brüche a b und c d , für die die Gleichheit gilt: a d = b c .

Ungleiche gemeinsame Brüche- gewöhnliche Brüche a b und c d , für die die Gleichheit: a · d = b · c nicht gilt.

Ein Beispiel für gleiche Brüche: 1 3 und 4 12 - da die Gleichheit 1 12 \u003d 3 4 wahr ist.

Stellt sich heraus, dass Brüche ungleich sind, muss man in der Regel auch herausfinden, welcher der angegebenen Brüche kleiner und welcher größer ist. Um diese Fragen zu beantworten, werden gewöhnliche Brüche verglichen, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt und dann die Zähler vergleicht.

Bruchzahlen

Jeder Bruch ist eine Aufzeichnung einer Bruchzahl, die eigentlich nur eine „Hülle“ ist, eine Visualisierung der semantischen Last. Aber der Einfachheit halber kombinieren wir die Konzepte eines Bruchs und einer Bruchzahl, einfach gesagt - ein Bruch.

Alle Bruchzahlen haben wie jede andere Zahl ihre eigene eindeutige Position auf dem Koordinatenstrahl: Es besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Brüchen und Punkten auf dem Koordinatenstrahl.

Um einen Punkt auf dem Koordinatenstrahl zu finden, der den Bruchteil m n bezeichnet, ist es notwendig, m Segmente in positiver Richtung vom Koordinatenursprung zu verschieben, deren Länge jeweils 1 n einem Bruchteil eines Einheitssegments ist. Segmente können erhalten werden, indem ein einzelnes Segment in n identische Teile geteilt wird.

Als Beispiel sei der Punkt M auf dem Koordinatenstrahl bezeichnet, der dem Bruch 14 10 entspricht. Die Länge des Segments, dessen Enden der Punkt O ist und dessen nächster Punkt mit einem kleinen Strich markiert ist, entspricht 1 10 Bruchteilen des Einheitssegments. Der dem Bruchteil 14 10 entsprechende Punkt befindet sich in einem Abstand vom Koordinatenursprung in einem Abstand von 14 solcher Segmente.

Sind die Brüche gleich, d.h. entsprechen sie derselben Bruchzahl, dann dienen diese Brüche als Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entsprechen die Koordinaten in Form von gleichen Brüchen 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 demselben Punkt auf dem Koordinatenstrahl, der sich in einem Abstand von einem Drittel des Einheitssegments befindet, verschoben von dem Ursprung in positiver Richtung.

Hier funktioniert das gleiche Prinzip wie bei ganzen Zahlen: Auf einem nach rechts gerichteten horizontalen Koordinatenstrahl liegt der Punkt, dem der große Bruch entspricht, rechts von dem Punkt, dem der kleinere Bruch entspricht. Und umgekehrt: Der Punkt, dessen Koordinate der kleinere Bruch ist, befindet sich links von dem Punkt, der der größeren Koordinate entspricht.

Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele

Die Aufteilung von Brüchen in echte und unechte Brüche basiert auf dem Vergleich von Zähler und Nenner innerhalb desselben Bruchs.

Bestimmung 7

Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist. Das heißt, wenn die Ungleichung m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist. Das heißt, wenn die Ungleichung undefined wahr ist, dann ist der gewöhnliche Bruch m n uneigentlich.

Hier einige Beispiele: - echte Brüche:

Beispiel 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Unechte Brüche:

Beispiel 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Es ist auch möglich, anhand des Vergleichs eines Bruchs mit einer Einheit eine Definition von echten und unechten Brüchen zu geben.

Bestimmung 8

Richtiger Bruchteil ist ein gemeinsamer Bruch, der kleiner als eins ist.

Unechter Bruch ein gemeinsamer Bruch gleich oder größer als eins ist.

Zum Beispiel ist der Bruch 8 12 richtig, weil 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 und 14 14 = 1 .

Lassen Sie uns ein wenig tiefer darüber nachdenken, warum Brüche, bei denen der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, als „unecht“ bezeichnet werden.

Betrachten Sie den unechten Bruch 8 8: Er sagt uns, dass 8 Teile eines Objekts, das aus 8 Teilen besteht, genommen werden. So können wir aus den verfügbaren acht Anteilen ein ganzes Objekt zusammensetzen, d.h. Der angegebene Bruchteil 8 8 stellt im Wesentlichen das gesamte Objekt dar: 8 8 \u003d 1. Brüche, bei denen Zähler und Nenner gleich sind, ersetzen die natürliche Zahl 1 vollständig.

Betrachten Sie auch Brüche, bei denen der Zähler den Nenner übersteigt: 11 5 und 36 3 . Es ist klar, dass der Bruch 11 5 anzeigt, dass wir zwei ganze Objekte daraus machen können und es wird immer noch ein Fünftel davon geben. Jene. Bruchteil 11 5 sind 2 Objekte und weitere 1 5 davon. 36 3 wiederum ist ein Bruch, was im Wesentlichen 12 ganze Objekte bedeutet.

Diese Beispiele lassen den Schluss zu, dass unechte Brüche durch natürliche Zahlen (wenn der Zähler ohne Rest durch den Nenner teilbar ist: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) oder die Summe einer natürlichen Zahl und a ersetzt werden können echter Bruch (wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist: 11 5 = 2 + 1 5). Das ist wahrscheinlich der Grund, warum solche Brüche als "unecht" bezeichnet werden.

Auch hier begegnen wir einer der wichtigsten Zahlenfertigkeiten.

Bestimmung 9

Extrahieren des ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch ist ein unechter Bruch, der als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs geschrieben wird.

Beachten Sie auch, dass es eine enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen gibt.

Positive und negative Brüche

Oben haben wir gesagt, dass jeder gewöhnliche Bruch einer positiven Bruchzahl entspricht. Jene. Gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind die Brüche 5 17 , 6 98 , 64 79 positiv, und wenn es notwendig ist, die „Positivität“ eines Bruchs hervorzuheben, wird er mit einem Pluszeichen geschrieben: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Wenn wir einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen zuweisen, ist der resultierende Datensatz ein Datensatz mit einer negativen Bruchzahl, und in diesem Fall sprechen wir von negativen Brüchen. Zum Beispiel - 8 17 , - 78 14 usw.

Positive und negative Brüche m n und - m n sind entgegengesetzte Zahlen, beispielsweise sind die Brüche 7 8 und - 7 8 entgegengesetzt.

Positive Brüche bedeuten, wie alle positiven Zahlen im Allgemeinen, eine Addition, eine Veränderung nach oben. Negative Brüche wiederum entsprechen dem Verbrauch, einer Änderung der Abnahmerichtung.

Wenn wir die Koordinatenlinie betrachten, sehen wir, dass sich negative Brüche links vom Bezugspunkt befinden. Die Punkte, denen die gegenüberliegenden Brüche entsprechen (m n und - m n), befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung der O-Koordinaten, jedoch auf gegenüberliegenden Seiten davon.

Hier sprechen wir auch separat über Brüche, die in der Form 0 n geschrieben sind. Ein solcher Bruch ist gleich Null, d.h. 0 n = 0 .

Wenn wir all das Obige zusammenfassen, sind wir zum wichtigsten Konzept der rationalen Zahlen gekommen.

Bestimmung 10

Rationale Zahlen ist eine Menge positiver Brüche, negativer Brüche und Brüche der Form 0 n .

Aktionen mit Brüchen

Lassen Sie uns die grundlegenden Operationen mit Brüchen auflisten. Im Allgemeinen ist ihr Wesen das gleiche wie die entsprechenden Operationen mit natürlichen Zahlen

1. Vergleich von Brüchen - wir haben diese Aktion oben besprochen.
2. Addition von Brüchen - das Ergebnis der Addition von gewöhnlichen Brüchen ist ein gewöhnlicher Bruch (in einem bestimmten Fall auf eine natürliche Zahl reduziert).
3. Die Subtraktion von Brüchen ist eine Aktion, das Gegenteil der Addition, wenn ein unbekannter Bruch aus einem bekannten Bruch und einer gegebenen Summe von Brüchen bestimmt wird.
4. Multiplikation von Brüchen - diese Aktion kann als Finden eines Bruchs aus einem Bruch beschrieben werden. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (in einem bestimmten Fall gleich einer natürlichen Zahl).
5. Die Division von Brüchen ist die Umkehrung der Multiplikation, wenn wir den Bruch bestimmen, mit dem der gegebene multipliziert werden muss, um ein bekanntes Produkt aus zwei Brüchen zu erhalten.

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