Was müssen Sie über Ungleichheitssymbole wissen? Icon-Ungleichheiten mehr (> ), oder kleiner (< ) werden genannt strikt. Mit Ikonen mehr oder gleich (≥ ), weniger oder gleich (≤ ) werden genannt nicht streng. Symbol nicht gleich (≠ ) steht alleine, aber Sie müssen auch ständig Beispiele mit einem solchen Symbol lösen. Und wir werden.)

Das Symbol selbst hat keinen großen Einfluss auf den Lösungsprozess. Aber am Ende der Lösung, bei der Auswahl der endgültigen Antwort, erscheint die Bedeutung des Symbols in voller Kraft! Wie wir unten in den Beispielen sehen werden. Es gibt einige Witze...

Ungleichheiten sind wie Gleichheiten treu und untreu. Hier ist alles einfach, ohne Tricks. Sagen wir 5 > 2 ist die richtige Ungleichung. 5 < 2 ist falsch.

Eine solche Vorbereitung funktioniert für Ungleichheiten jeglicher Art und einfach zum Entsetzen.) Sie müssen nur zwei (nur zwei!) Elementaraktionen korrekt ausführen. Diese Aktionen sind jedem bekannt. Aber was typisch ist, die Pfosten in diesen Aktionen sind der Hauptfehler bei der Lösung von Ungleichheiten, ja ... Daher müssen diese Aktionen wiederholt werden. Diese Aktionen heißen wie folgt:

Identitätstransformationen von Ungleichheiten.

Identitätstransformationen von Ungleichungen sind Identitätstransformationen von Gleichungen sehr ähnlich. Eigentlich ist dies das Hauptproblem. Unterschiede rutschen über den Kopf und ... angekommen.) Daher werde ich diese Unterschiede besonders hervorheben. Also die erste identische Transformation von Ungleichungen:

1. Die gleiche Zahl oder der gleiche Ausdruck kann zu beiden Teilen der Ungleichung addiert (subtrahiert) werden. Irgendein. Das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht.

In der Praxis wird diese Regel als Übertragung von Termen von der linken Seite der Ungleichung auf die rechte Seite (und umgekehrt) mit Vorzeichenwechsel angewendet. Bei einem Vorzeichenwechsel des Terms keine Ungleichheit! Die Eins-zu-Eins-Regel ist die gleiche wie die Regel für Gleichungen. Aber die folgenden identischen Transformationen in Ungleichungen unterscheiden sich erheblich von denen in Gleichungen. Also markiere ich sie rot:

2. Beide Teile der Ungleichung können mit demselben multipliziert (dividiert) werdenpositivAnzahl. Für allepositiv Wird sich nicht ändern.

3. Beide Teile der Ungleichung können mit demselben multipliziert (dividiert) werdenNegativ Anzahl. Für alleNegativAnzahl. Daraus ergibt sich das Ungleichheitszeichenwird sich ins gegenteil ändern.

Sie erinnern sich (hoffentlich ...), dass eine Gleichung mit allem multipliziert/dividiert werden kann. Und für jede Zahl und für einen Ausdruck mit x. Solange es nicht null ist. Er, die Gleichung, ist davon weder heiß noch kalt.) Sie ändert sich nicht. Aber Ungleichungen reagieren empfindlicher auf Multiplikation/Division.

Ein gutes Beispiel für ein langes Gedächtnis. Wir schreiben eine Ungleichung, die keine Zweifel hervorruft:

5 > 2

Multiplizieren Sie beide Seiten mit +3, wir bekommen:

15 > 6

Gibt es Einwände? Es gibt keine Einwände.) Und wenn wir beide Teile der ursprünglichen Ungleichung mit multiplizieren -3, wir bekommen:

15 > -6

Und das ist eine glatte Lüge.) Eine komplette Lüge! Die Leute täuschen! Aber sobald das Ungleichheitszeichen umgedreht wird, passt alles:

15 < -6

Über Lügen und Betrug - ich schwöre nicht nur.) "Ich habe vergessen, das Ungleichheitszeichen zu ändern..."- Das Heimat Fehler beim Lösen von Ungleichungen. Diese unbedeutende und unkomplizierte Regel hat so viele Menschen verletzt! Wer hat es vergessen ...) Also ich schwöre. Vielleicht erinnern...)

Wer besonders aufmerksam ist, wird feststellen, dass Ungleichheit nicht durch einen Ausdruck mit x multipliziert werden kann. Achtung aufmerksam!) Und warum nicht? Die Antwort ist einfach. Wir kennen das Vorzeichen dieses Ausdrucks mit x nicht. Es kann positiv, negativ sein ... Daher wissen wir nicht, welches Ungleichheitszeichen nach der Multiplikation gesetzt werden soll. Ändern oder nicht? Unbekannt. Natürlich kann diese Einschränkung (das Verbot, eine Ungleichung mit einem Ausdruck mit x zu multiplizieren/dividieren) umgangen werden. Wenn Sie es wirklich brauchen. Aber das ist ein Thema für andere Lektionen.

Das sind alles identische Transformationen von Ungleichungen. Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sie für arbeiten irgendein Ungleichheiten. Und jetzt können Sie zu bestimmten Typen übergehen.

Lineare Ungleichungen. Lösung, Beispiele.

Lineare Ungleichungen heißen Ungleichungen, bei denen x im ersten Grad ist und es keine Division durch x gibt. Typ:

x+3 > 5x-5

Wie werden diese Ungleichheiten gelöst? Sie sind sehr einfach zu lösen! Nämlich: mit der Hilfe reduzieren wir die verworrenste lineare Ungleichung direkt zur Antwort. Das ist die ganze Lösung. Ich werde die Hauptpunkte der Lösung hervorheben. Um dumme Fehler zu vermeiden.)

Wir lösen diese Ungleichung:

x+3 > 5x-5

Wir lösen auf die gleiche Weise wie eine lineare Gleichung. Mit dem einzigen Unterschied:

Achten Sie genau auf das Ungleichheitszeichen!

Der erste Schritt ist der häufigste. Mit x - nach links, ohne x - nach rechts ... Dies ist die erste identische Transformation, einfach und problemlos.) Nur nicht vergessen, die Vorzeichen der übertragenen Stäbe zu ändern.

Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten:

x-5x > -5-3

Wir stellen ähnliche vor.

Das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten:

4x > -8

Es bleibt die letzte identische Transformation anzuwenden: Beide Teile durch -4 teilen.

Teilen durch Negativ Anzahl.

Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt:

X < 2

Das ist die Antwort.

So werden alle linearen Ungleichungen gelöst.

Beachtung! Punkt 2 ist weiß gezeichnet, d.h. unbemalt. Innen leer. Dies bedeutet, dass sie nicht in der Antwort enthalten ist! Ich habe sie absichtlich so gesund gezeichnet. Ein solcher Punkt (leer, nicht gesund!)) wird in der Mathematik genannt ausgestanzter Punkt.

Die restlichen Zahlen auf der Achse können markiert werden, müssen aber nicht. Fremde Zahlen, die nichts mit unserer Ungleichheit zu tun haben, können verwirrend sein, ja ... Sie müssen sich nur daran erinnern, dass die Zunahme der Zahlen in Pfeilrichtung geht, d.h. Zahlen 3, 4, 5 usw. sind Nach rechts Zweier und die Zahlen 1, 0, -1 usw. - Nach links.

Ungleichung x < 2 - strikt. X ist strikt kleiner als zwei. Im Zweifel ist die Prüfung einfach. Wir setzen eine zweifelhafte Zahl in die Ungleichung ein und denken: „Zwei ist weniger als zwei? Natürlich nicht!“ Genau so. Ungleichheit 2 < 2 falsch. Eine Zwei ist nicht gut für eine Antwort.

Ist eine Single gut genug? Sicherlich. Weniger ... Und null ist gut und -17 und 0,34 ... Ja, alle Zahlen, die kleiner als zwei sind, sind gut! Und sogar 1,9999 .... Zumindest ein bisschen, aber weniger!

Also markieren wir alle diese Zahlen auf der Zahlenachse. Wie? Hier gibt es Optionen. Die erste Option ist das Schraffieren. Wir bewegen die Maus über das Bild (oder berühren das Bild auf dem Tablett) und sehen, dass der Bereich aller x, die der x-Bedingung entsprechen, schattiert ist < 2 . Das ist alles.

Betrachten wir die zweite Option im zweiten Beispiel:

X ≥ -0,5

Zeichnen Sie eine Achse, markieren Sie die Zahl -0,5. So:

Hast du den Unterschied bemerkt?) Nun, ja, es ist schwer, es nicht zu bemerken ... Dieser Punkt ist schwarz! Übermalt. Dies bedeutet, dass -0,5 in der Antwort enthalten. Hier übrigens überprüfen und jemanden verwirren. Wir ersetzen:

-0,5 ≥ -0,5

Wie so? -0,5 ist nichts anderes als -0,5! Es gibt noch mehr Symbole ...

Nichts Schlimmes. Bei einer nicht-strikten Ungleichung ist alles geeignet, was zur Ikone passt. Und gleich passen und mehr gut. Daher ist -0,5 in der Antwort enthalten.

Also haben wir -0,5 auf der Achse markiert, es bleibt, alle Zahlen zu markieren, die größer als -0,5 sind. Diesmal markiere ich den Bereich geeigneter x-Werte Schäkel(aus dem Wort Bogen) anstatt zu schraffieren. Bewegen Sie den Mauszeiger über das Bild und sehen Sie diesen Bogen.

Es gibt keinen besonderen Unterschied zwischen Schraffur und Bögen. Mach es wie der Lehrer sagt. Wenn es keinen Lehrer gibt, zeichne die Arme. Bei komplexeren Aufgaben ist die Schraffur weniger auffällig. Sie können verwirrt werden.

So werden lineare Ungleichungen auf der Achse gezeichnet. Wir gehen zur nächsten Singularität von Ungleichungen über.

Schreiben Sie eine Antwort für Ungleichungen.

Es war gut in den Gleichungen.) Wir haben x gefunden und die Antwort aufgeschrieben, zum Beispiel: x \u003d 3. Bei Ungleichungen gibt es zwei Formen, Antworten zu schreiben. Eins - in Form der endgültigen Ungleichheit. Gut für einfache Fälle. Zum Beispiel:

X< 2.

Dies ist eine vollständige Antwort.

Manchmal ist es erforderlich, dasselbe zu schreiben, aber in einer anderen Form, durch numerische Lücken. Dann sieht der Eintrag sehr wissenschaftlich aus):

x ∈ (-∞; 2)

Unter dem Symbol ∈ versteckt das Wort "gehört".

Der Eintrag liest sich wie folgt: x gehört zum Intervall von minus unendlich bis zwei Nicht beinhaltet. Ganz logisch. X kann eine beliebige Zahl aller möglichen Zahlen von minus unendlich bis zwei sein. Double X kann nicht sein, was uns das Wort sagt "Nicht beinhaltet".

Wo steht das in der Antwort "Nicht beinhaltet"? Diese Tatsache wird in der Antwort vermerkt. runden Klammer unmittelbar nach der Zwei. Wenn die Zwei enthalten wäre, wäre die Klammer Quadrat. Hier ist es: ]. Das folgende Beispiel verwendet eine solche Klammer.

Schreiben wir die Antwort auf: x ≥ -0,5 durch Intervalle:

x ∈ [-0,5; +∞)

Liest: x gehört zum Intervall von minus 0,5, einschließlich, bis plus unendlich.

Unendlichkeit kann sich niemals einschalten. Es ist keine Zahl, es ist ein Symbol. Daher koexistiert in solchen Einträgen immer unendlich mit einer Klammer.

Diese Form der Aufzeichnung eignet sich für komplexe Antworten, die aus mehreren Lücken bestehen. Aber - nur für die endgültigen Antworten. Bei Zwischenergebnissen, bei denen eine weitere Lösung erwartet wird, ist es besser, die übliche Form in Form einer einfachen Ungleichung zu verwenden. Darauf gehen wir in den entsprechenden Themen ein.

Beliebte Aufgaben mit Ungleichheiten.

Die linearen Ungleichungen selbst sind einfach. Daher werden die Aufgaben oft schwieriger. Also, zu denken, dass es notwendig war. Dies ist, wenn auch aus Gewohnheit, nicht sehr angenehm.) Aber es ist nützlich. Ich werde Beispiele für solche Aufgaben zeigen. Nicht für Sie, sie zu lernen, es ist überflüssig. Und um keine Angst zu haben, wenn man auf ähnliche Beispiele trifft. Ein kleiner Gedanke - und alles ist einfach!)

1. Finden Sie zwei beliebige Lösungen für die 3x - 3-Ungleichung< 0

Wenn es nicht ganz klar ist, was zu tun ist, denken Sie an die Hauptregel der Mathematik:

Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können!

X < 1

Na und? Nichts Besonderes. Was werden wir gefragt? Wir werden gebeten, zwei bestimmte Zahlen zu finden, die die Lösung einer Ungleichung sind. Jene. die Antwort passen. Zwei irgendein Zahlen. Eigentlich ist das peinlich.) Ein paar 0 und 0,5 sind geeignet. Ein paar -3 und -8. Ja, es gibt unendlich viele dieser Paare! Was ist die korrekte Antwort?!

Ich antworte: alles! Jedes Zahlenpaar, von denen jede kleiner als eins ist, wäre die richtige Antwort. Schreiben Sie, was Sie wollen. Gehen wir weiter.

2. Lösen Sie die Ungleichung:

4x - 3 ≠ 0

Jobs wie dieser sind selten. Aber als Hilfsungleichungen, zum Beispiel beim Auffinden der ODZ oder beim Auffinden des Definitionsbereichs einer Funktion, trifft man sie ständig an. Eine solche lineare Ungleichung kann als gewöhnliche lineare Gleichung gelöst werden. Nur überall, außer dem "=" Zeichen ( gleich) setze das Zeichen " ≠ " (nicht gleich). Sie kommen also zur Antwort mit einem Ungleichheitszeichen:

X ≠ 0,75

Bei komplexeren Beispielen ist es besser, die Dinge anders zu machen. Ungleichheit gleich machen. So:

4x - 3 = 0

Lösen Sie es ruhig wie gelehrt und erhalten Sie die Antwort:

x = 0,75

Die Hauptsache ganz am Ende, wenn Sie die endgültige Antwort aufschreiben, ist, nicht zu vergessen, dass wir x gefunden haben, was ergibt Gleichberechtigung. Und wir brauchen - Ungleichheit. Daher brauchen wir dieses X einfach nicht.) Und wir müssen es mit dem richtigen Symbol aufschreiben:

X ≠ 0,75

Dieser Ansatz führt zu weniger Fehlern. Diejenigen, die Gleichungen an der Maschine lösen. Und für diejenigen, die Gleichungen nicht lösen, sind Ungleichungen tatsächlich nutzlos ...) Ein weiteres Beispiel für eine beliebte Aufgabe:

3. Finde die kleinste ganzzahlige Lösung der Ungleichung:

3(x - 1) < 5x + 9

Zuerst lösen wir einfach die Ungleichung. Wir öffnen die Klammern, übertragen, geben ähnliche ... Wir bekommen:

X > - 6

Ist es nicht passiert!? Bist du den Schildern gefolgt? Und hinter den Zeichen der Mitglieder und hinter dem Zeichen der Ungleichheit ...

Stellen wir uns das noch einmal vor. Wir müssen eine bestimmte Zahl finden, die sowohl der Antwort als auch der Bedingung entspricht "kleinste ganze Zahl". Wenn es dir nicht sofort auffällt, kannst du einfach eine beliebige Zahl nehmen und es herausfinden. Zwei ist größer als minus sechs? Sicherlich! Gibt es eine passende kleinere Nummer? Natürlich. Null ist beispielsweise größer als -6. Und noch weniger? Wir brauchen das kleinstmögliche! Minus drei ist mehr als minus sechs! Sie können das Muster bereits erkennen und aufhören, die Zahlen dumm zu sortieren, oder?)

Wir nehmen eine Zahl näher an -6. Zum Beispiel -5. Antwort ausgeführt, -5 > - 6. Können Sie eine andere Zahl finden, die kleiner als -5, aber größer als -6 ist? Sie können zum Beispiel -5,5 ... Stop! Uns wurde gesagt ganz Entscheidung! Rollt nicht -5,5! Was ist mit minus sechs? Eee! Die Ungleichung ist streng, minus 6 ist nicht weniger als minus 6!

Die richtige Antwort ist also -5.

Ich hoffe, dass mit der Auswahl des Werts aus der allgemeinen Lösung alles klar ist. Ein anderes Beispiel:

4. Lösen Sie die Ungleichung:

7 < 3x+1 < 13

Wie! Ein solcher Ausdruck heißt Dreifache Ungleichheit. Genau genommen ist dies eine verkürzte Schreibweise des Systems der Ungleichungen. Aber solche dreifachen Ungleichungen muss man bei manchen Aufgaben trotzdem lösen ... Es wird ohne irgendwelche Systeme gelöst. Durch dieselben identischen Transformationen.

Es ist notwendig, diese Ungleichung zu vereinfachen und auf ein reines X zu bringen. Aber... Was soll wohin transferiert werden!? Hier ist die Zeit, sich daran zu erinnern, dass das Verschieben von links nach rechts ist Kurzform die erste identische Transformation.

Und das vollständige Formular sieht so aus: Sie können eine beliebige Zahl oder einen beliebigen Ausdruck zu beiden Teilen der Gleichung addieren / subtrahieren (Ungleichheit).

Hier gibt es drei Teile. Wir werden also identische Transformationen auf alle drei Teile anwenden!

Lassen Sie uns also die im mittleren Teil der Ungleichung loswerden. Ziehe eins vom gesamten Mittelteil ab. Damit sich die Ungleichung nicht ändert, subtrahieren wir eins von den verbleibenden zwei Teilen. So:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Schon besser, oder?) Es bleibt, alle drei Teile in drei zu unterteilen:

2 < X < 4

Das ist alles. Das ist die Antwort. X kann eine beliebige Zahl von zwei (ohne) bis vier (ohne) sein. Diese Antwort wird auch in Intervallen geschrieben, solche Einträge werden in quadratischen Ungleichungen sein. Dort sind sie am häufigsten.

Am Ende der Lektion wiederhole ich das Wichtigste. Der Erfolg beim Lösen linearer Ungleichungen hängt von der Fähigkeit ab, lineare Gleichungen zu transformieren und zu vereinfachen. Wenn gleichzeitig Folgen Sie dem Ungleichheitszeichen, es wird keine probleme geben. Was ich dir wünsche. Kein Problem.)

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Jede Ungleichung, die eine Funktion unter der Wurzel enthält, wird aufgerufen irrational. Es gibt zwei Arten solcher Ungleichheiten:

Im ersten Fall ist die Wurzel kleiner als die Funktion g (x), im zweiten - mehr. Wenn g(x) - Konstante, vereinfacht sich die Ungleichung dramatisch. Bitte beachten Sie, dass diese Ungleichungen äußerlich sehr ähnlich sind, ihre Lösungsschemata jedoch grundlegend unterschiedlich sind.

Heute lernen wir, wie man irrationale Ungleichungen des ersten Typs löst - sie sind die einfachsten und verständlichsten. Das Ungleichheitszeichen kann streng oder nicht streng sein. Für sie gilt folgende Aussage:

Satz. Jede irrationale Ungleichheit der Form

Äquivalent zum Ungleichungssystem:

Nicht schwach? Schauen wir uns an, woher ein solches System kommt:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - hier ist alles klar. Dies ist das Quadrat der ursprünglichen Ungleichung;
2. f(x) ≥ 0 ist die ODZ der Wurzel. Zur Erinnerung: Die arithmetische Quadratwurzel existiert nur aus nicht negativ Zahlen;
3. g(x) ≥ 0 ist der Bereich der Wurzel. Indem wir die Ungleichheit quadrieren, verbrennen wir die Nachteile. Als Ergebnis können zusätzliche Wurzeln erscheinen. Die Ungleichung g (x) ≥ 0 schneidet sie ab.

Viele Schüler "gehen in Zyklen" auf die erste Ungleichung des Systems: f (x) ≤ g 2 (x) - und vergessen die anderen beiden vollständig. Das Ergebnis ist vorhersehbar: Fehlentscheidung, verlorene Punkte.

Da irrationale Ungleichheiten ein ziemlich kompliziertes Thema sind, analysieren wir gleich 4 Beispiele. Von elementar bis richtig komplex. Alle Aufgaben stammen aus den Aufnahmeprüfungen der Staatlichen Universität Moskau. M. W. Lomonossow.

Beispiele für Problemlösungen

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Wir haben einen Klassiker irrationale Ungleichheit: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 ist eine Konstante. Wir haben:

Am Ende der Lösung blieben nur zwei der drei Ungleichungen übrig. Denn die Ungleichung 2 ≥ 0 gilt immer. Lassen Sie uns die verbleibenden Ungleichungen schneiden:

Also ist x ∈ [−1,5; 0,5]. Alle Punkte sind schattiert, weil Ungleichheiten sind nicht streng.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

Wir wenden den Satz an:

Wir lösen die erste Ungleichung. Dazu öffnen wir das Quadrat der Differenz. Wir haben:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Lösen wir nun die zweite Ungleichung. Da auch quadratisches Trinom:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)