Linien zweiter Ordnung.
Ellipse und ihre kanonische Gleichung. Kreis

Nach gründlichem Studium gerade Linien in der Ebene Wir studieren weiterhin die Geometrie der zweidimensionalen Welt. Die Einsätze werden verdoppelt und ich lade Sie ein, die malerische Galerie der Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln zu besuchen, die typische Vertreter von sind Linien zweiter Ordnung. Der Rundgang hat bereits begonnen, und zunächst eine kurze Information über die gesamte Ausstellung auf verschiedenen Etagen des Museums:

Das Konzept einer algebraischen Linie und ihre Ordnung

Eine Linie in einer Ebene wird aufgerufen algebraisch, wenn drin affines Koordinatensystem seine Gleichung hat die Form , wobei ein Polynom ist, das aus Termen der Form besteht ( ist eine reelle Zahl, sind nicht negative ganze Zahlen).

Wie Sie sehen können, enthält die Gleichung einer algebraischen Linie keine Sinus-, Kosinus-, Logarithmus- und andere funktionale Schönheit. Nur "x" und "y" drin Ganzzahl nicht negativ Grad.

Zeilenreihenfolge gleich dem Maximalwert der darin enthaltenen Terme ist.

Nach dem entsprechenden Satz hängen sowohl der Begriff einer algebraischen Linie als auch ihre Ordnung nicht von der Wahl ab affines Koordinatensystem, daher gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass alle nachfolgenden Berechnungen in stattfinden Kartesischen Koordinaten.

Allgemeine Gleichung die Zeile zweiter Ordnung hat die Form , wo sind beliebige reelle Zahlen (es ist üblich, mit einem Multiplikator zu schreiben - "zwei"), und die Koeffizienten sind nicht gleichzeitig gleich Null.

Wenn , dann vereinfacht sich die Gleichung zu , und wenn die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind, dann ist dies genau so allgemeine Gleichung einer "flachen" Geraden, was darstellt erste Ordnungslinie.

Viele haben die Bedeutung der neuen Begriffe verstanden, aber um das Material zu 100% aufzunehmen, stecken wir unsere Finger in die Steckdose. Um die Zeilenreihenfolge zu bestimmen, iterieren Sie über alle Begriffe seine Gleichungen und für jeden von ihnen finden Summe der Kräfte eingehende Variablen.

Zum Beispiel:

der Begriff enthält „x“ bis zum 1. Grad;
der Begriff enthält „Y“ hoch 1;
Es gibt keine Variablen im Term, also ist die Summe ihrer Potenzen Null.

Lassen Sie uns nun herausfinden, warum die Gleichung die Linie setzt zweite Befehl:

der Begriff enthält „x“ 2. Grades;
der Term hat die Summe der Grade der Variablen: 1 + 1 = 2;
der Begriff enthält „y“ im 2. Grad;
alle anderen Begriffe - geringer Grad.

Höchstwert: 2

Wenn wir zusätzlich zu unserer Gleichung hinzufügen, sagen wir, , dann wird es bereits bestimmen dritte Ordnungslinie. Es ist offensichtlich, dass die allgemeine Form der Liniengleichung 3. Ordnung einen „vollständigen Satz“ von Termen enthält, deren Summe der Grade der Variablen gleich drei ist:
, wobei die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind.

Für den Fall, dass ein oder mehrere passende Begriffe hinzugefügt werden, die enthalten , dann reden wir darüber Linien 4. Ordnung, usw.

Insbesondere mit algebraischen Geraden 3., 4. und höherer Ordnung werden wir uns beim Kennenlernen mehr als einmal befassen müssen Polarkoordinatensystem.

Kehren wir jedoch zur allgemeinen Gleichung zurück und erinnern uns an ihre einfachsten Schulvarianten. Beispiele sind die Parabel, deren Gleichung leicht auf eine allgemeine Form gebracht werden kann, und die Hyperbel mit einer äquivalenten Gleichung. Allerdings ist nicht alles so glatt ....

Ein wesentlicher Nachteil der allgemeinen Gleichung besteht darin, dass fast immer nicht klar ist, welche Linie sie definiert. Selbst im einfachsten Fall werden Sie nicht sofort erkennen, dass dies eine Übertreibung ist. Solche Layouts sind nur bei einer Maskerade gut, daher wird im Verlauf der analytischen Geometrie ein typisches Problem betrachtet Reduktion der Liniengleichung 2. Ordnung auf die kanonische Form.

Was ist die kanonische Form einer Gleichung?

Dies ist die allgemein akzeptierte Standardform der Gleichung, wenn in Sekundenschnelle klar wird, welches geometrische Objekt sie definiert. Darüber hinaus ist die kanonische Form sehr praktisch, um viele praktische Aufgaben zu lösen. Also zum Beispiel nach der kanonischen Gleichung "flach" gerade, ist erstens sofort klar, dass es sich um eine Gerade handelt, und zweitens sind der zugehörige Punkt und der Richtungsvektor einfach sichtbar.

Offensichtlich irgendwelche 1. Ordnungszeile stellt eine Gerade dar. Im zweiten Stock wartet kein Hausmeister mehr auf uns, sondern eine viel vielfältigere Gesellschaft von neun Statuen:

Klassifizierung von Linien zweiter Ordnung

Mit Hilfe einer speziellen Reihe von Aktionen wird jede Liniengleichung zweiter Ordnung auf einen der folgenden Typen reduziert:

( und sind positive reelle Zahlen)

1) ist die kanonische Gleichung der Ellipse;

2) ist die kanonische Gleichung der Hyperbel;

3) ist die kanonische Gleichung der Parabel;

4) – imaginär Ellipse;

5) - ein Paar sich kreuzender Linien;

6) - Paar imaginär sich schneidende Linien (mit dem einzigen wirklichen Schnittpunkt im Ursprung);

7) - ein Paar paralleler Linien;

8) - Paar imaginär parallele Linien;

9) ist ein Paar zusammenfallender Linien.

Einige Leser könnten den Eindruck gewinnen, dass die Liste unvollständig ist. Beispielsweise legt die Gleichung in Absatz Nummer 7 das Paar fest Direkte, parallel zur Achse, und es stellt sich die Frage: Wo ist die Gleichung, die die Linien parallel zur y-Achse bestimmt? Antwort: es nicht als Kanon angesehen. Die Geraden stellen denselben um 90 Grad gedrehten Standardfall dar, und ein zusätzlicher Eintrag in der Klassifikation ist überflüssig, da er nichts grundlegend Neues enthält.

Somit gibt es neun und nur neun verschiedene Arten von Linien 2. Ordnung, aber in der Praxis sind die häufigsten Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Schauen wir uns zuerst die Ellipse an. Wie üblich konzentriere ich mich auf die Punkte, die für die Lösung von Problemen von großer Bedeutung sind, und wenn Sie eine detaillierte Herleitung von Formeln, Beweisen von Theoremen benötigen, lesen Sie beispielsweise das Lehrbuch von Bazylev / Atanasyan oder Aleksandrov.

Ellipse und ihre kanonische Gleichung

Rechtschreibung ... bitte wiederholen Sie nicht die Fehler einiger Yandex-Benutzer, die sich für "Wie baut man eine Ellipse", "den Unterschied zwischen einer Ellipse und einem Oval" und "Elebs-Exzentrizität" interessiert.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse hat die Form , wobei positive reelle Zahlen sind, und . Ich werde die Definition einer Ellipse später formulieren, aber jetzt ist es an der Zeit, eine Pause vom Reden einzulegen und ein häufiges Problem zu lösen:

Wie baut man eine Ellipse?

Ja, nimm es und zeichne es einfach. Die Aufgabe ist üblich, und ein erheblicher Teil der Schüler kommt mit der Zeichnung nicht ganz so gut zurecht:

Beispiel 1

Konstruieren Sie eine durch die Gleichung gegebene Ellipse

Entscheidung: zuerst bringen wir die Gleichung auf die kanonische Form:

Warum mitbringen? Einer der Vorteile der kanonischen Gleichung ist, dass Sie damit sofort bestimmen können Ellipsenecken, die an den Punkten sind . Es ist leicht zu sehen, dass die Koordinaten jedes dieser Punkte die Gleichung erfüllen.

In diesem Fall :


Liniensegment namens Hauptachse Ellipse;
Liniensegment – Nebenachse;
Anzahl namens große Halbachse Ellipse;
Anzahl – kleine Halbachse.
in unserem Beispiel: .

Um sich schnell vorzustellen, wie diese oder jene Ellipse aussieht, schauen Sie sich einfach die Werte von "a" und "be" ihrer kanonischen Gleichung an.

Alles ist in Ordnung, ordentlich und schön, aber es gibt eine Einschränkung: Ich habe die Zeichnung mit dem Programm fertiggestellt. Und Sie können mit jeder Anwendung zeichnen. Doch in der harten Realität liegt ein kariertes Stück Papier auf dem Tisch und Mäuse tanzen um unsere Hände. Menschen mit künstlerischem Talent können natürlich argumentieren, aber Sie haben auch Mäuse (wenn auch kleinere). Nicht umsonst hat die Menschheit ein Lineal, einen Zirkel, einen Winkelmesser und andere einfache Zeichengeräte erfunden.

Aus diesem Grund ist es unwahrscheinlich, dass wir eine Ellipse genau zeichnen können, wenn wir nur die Eckpunkte kennen. Immer noch in Ordnung, wenn die Ellipse klein ist, zum Beispiel mit Halbachsen. Alternativ können Sie den Maßstab und damit auch die Maße der Zeichnung verkleinern. Aber im allgemeinen Fall ist es sehr wünschenswert, zusätzliche Punkte zu finden.

Es gibt zwei Ansätze zum Konstruieren einer Ellipse - geometrisch und algebraisch. Ich mag es nicht, mit Zirkel und Lineal zu bauen, wegen des kurzen Algorithmus und der erheblichen Unordnung der Zeichnung. Im Notfall konsultieren Sie bitte das Lehrbuch, aber in Wirklichkeit ist es viel vernünftiger, die Werkzeuge der Algebra zu verwenden. Aus der Ellipsengleichung auf dem Entwurf drücken wir schnell aus:

Die Gleichung wird dann in zwei Funktionen aufgeteilt:
– definiert den oberen Bogen der Ellipse;
– definiert den unteren Bogen der Ellipse.

Die durch die kanonische Gleichung gegebene Ellipse ist sowohl bezüglich der Koordinatenachsen als auch bezüglich des Ursprungs symmetrisch. Und das ist großartig - Symmetrie ist fast immer ein Vorbote eines Werbegeschenks. Offensichtlich reicht es aus, sich mit dem 1. Koordinatenviertel zu befassen, also brauchen wir eine Funktion . Es schlägt vor, zusätzliche Punkte mit Abszissen zu finden . Wir treffen drei SMS auf dem Rechner:

Erfreulich ist natürlich auch, dass ein grober Fehler bei der Berechnung sofort beim Bau auffällt.

Markieren Sie Punkte auf der Zeichnung (rote Farbe), symmetrische Punkte auf den anderen Bögen (blaue Farbe) und verbinden Sie das gesamte Unternehmen sorgfältig mit einer Linie:


Es ist besser, die erste Skizze dünn und dünn zu zeichnen und erst dann Druck auf den Stift auszuüben. Das Ergebnis sollte eine ziemlich anständige Ellipse sein. Möchten Sie übrigens wissen, was diese Kurve ist?

Definition einer Ellipse. Ellipsenbrennpunkte und Ellipsenexzentrizität

Eine Ellipse ist ein Sonderfall eines Ovals. Das Wort „Oval“ ist nicht im spießbürgerlichen Sinne zu verstehen („das Kind zeichnete ein Oval“ etc.). Dies ist ein mathematischer Begriff mit einer detaillierten Formulierung. Der Zweck dieser Lektion besteht nicht darin, die Theorie der Ovale und ihrer verschiedenen Typen zu betrachten, die im Standardkurs der analytischen Geometrie praktisch nicht behandelt werden. Und in Übereinstimmung mit aktuelleren Bedürfnissen gehen wir sofort zur strengen Definition einer Ellipse über:

Ellipse- dies ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände zu jedem von zwei gegebenen Punkten, genannt Tricks Ellipse, ist ein konstanter Wert, der numerisch gleich der Länge der Hauptachse dieser Ellipse ist: .
In diesem Fall ist der Abstand zwischen den Brennpunkten kleiner als dieser Wert: .

Jetzt wird es klarer:

Stellen Sie sich vor, dass der blaue Punkt auf einer Ellipse „reitet“. Also, egal welchen Punkt der Ellipse wir nehmen, die Summe der Längen der Segmente wird immer gleich sein:

Stellen wir sicher, dass in unserem Beispiel der Wert der Summe wirklich gleich acht ist. Setzen Sie den Punkt "em" im Geiste auf den rechten Eckpunkt der Ellipse, dann: , was überprüft werden musste.

Eine andere Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen, basiert auf der Definition einer Ellipse. Höhere Mathematik ist manchmal die Ursache für Anspannung und Stress, also ist es Zeit für eine weitere Entlastungssitzung. Nehmen Sie bitte ein Blatt Papier oder einen großen Bogen Pappe und heften Sie es mit zwei Nägeln an den Tisch. Das werden Tricks sein. Binden Sie einen grünen Faden an die hervorstehenden Nagelköpfe und ziehen Sie ihn mit einem Bleistift ganz durch. Der Hals des Bleistifts wird an einem Punkt sein, der zur Ellipse gehört. Beginnen Sie nun, den Stift über das Blatt Papier zu führen, wobei Sie den grünen Faden sehr straff halten. Setzen Sie den Vorgang fort, bis Sie zum Ausgangspunkt zurückkehren ... ausgezeichnet ... die Zeichnung kann zur Überprüfung durch den Arzt beim Lehrer eingereicht werden =)

Wie finde ich den Fokus einer Ellipse?

Im obigen Beispiel habe ich "fertige" Fokuspunkte dargestellt, und jetzt lernen wir, wie man sie aus den Tiefen der Geometrie extrahiert.

Wenn die Ellipse durch die kanonische Gleichung gegeben ist, dann haben ihre Brennpunkte Koordinaten , wo ist es Abstand von jedem der Brennpunkte zum Symmetriezentrum der Ellipse.

Berechnungen sind einfacher als mit gedämpften Rüben:

! Mit der Bedeutung "ce" ist es unmöglich, die spezifischen Koordinaten von Tricks zu identifizieren! Ich wiederhole, das ist ABSTAND von jedem Fokus zum Zentrum(die im allgemeinen Fall nicht genau am Ursprung liegen muss).
Und daher kann der Abstand zwischen den Brennpunkten auch nicht an die kanonische Position der Ellipse gebunden werden. Mit anderen Worten, die Ellipse kann an eine andere Stelle verschoben werden und der Wert bleibt unverändert, während die Tricks natürlich ihre Koordinaten ändern. Bitte beachten Sie dies, wenn Sie sich weiter mit dem Thema befassen.

Die Exzentrizität einer Ellipse und ihre geometrische Bedeutung

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Verhältnis, das Werte innerhalb annehmen kann.

In unserem Fall:

Lassen Sie uns herausfinden, wie die Form einer Ellipse von ihrer Exzentrizität abhängt. Dafür Fixieren Sie die linken und rechten Eckpunkte der betrachteten Ellipse, d. h. der Wert der großen Halbachse bleibt konstant. Dann nimmt die Exzentrizitätsformel die Form an: .

Beginnen wir damit, den Wert der Exzentrizität auf Eins anzunähern. Dies ist nur möglich, wenn . Was bedeutet das? ... Tricks erinnern . Dies bedeutet, dass die Brennpunkte der Ellipse entlang der Abszissenachse zu den seitlichen Eckpunkten "zerstreut" werden. Und da „die grünen Segmente kein Gummi sind“, wird die Ellipse unweigerlich flacher und verwandelt sich in eine immer dünnere Wurst, die auf der Achse aufgereiht ist.

Auf diese Weise, je näher die Exzentrizität der Ellipse bei eins liegt, desto länglicher ist die Ellipse.

Lassen Sie uns nun den umgekehrten Vorgang simulieren: die Brennpunkte der Ellipse gingen aufeinander zu und näherten sich der Mitte. Das bedeutet, dass der Wert von „ce“ kleiner wird und dementsprechend die Exzentrizität gegen Null geht: .
In diesem Fall werden die „grünen Segmente“ dagegen „überfüllt“ und beginnen, die Linie der Ellipse nach oben und unten zu „schieben“.

Auf diese Weise, Je näher der Exzentrizitätswert bei Null liegt, desto mehr sieht die Ellipse aus... betrachten Sie den Grenzfall, wenn die Fokusse erfolgreich am Ursprung wiedervereinigt werden:

Ein Kreis ist ein Sonderfall einer Ellipse

Tatsächlich nimmt bei Gleichheit der Halbachsen die kanonische Gleichung der Ellipse die Form an, die sich reflexartig in die bekannte Kreisgleichung aus der Schule mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Radius „a“ überführt.

In der Praxis wird häufiger die Schreibweise mit dem „sprechenden“ Buchstaben „er“ verwendet:. Der Radius wird als Länge des Segments bezeichnet, während jeder Punkt des Kreises um den Abstand des Radius vom Mittelpunkt entfernt ist.

Beachten Sie, dass die Definition einer Ellipse völlig korrekt bleibt: Die Brennpunkte passen zusammen, und die Summe der Längen der angepassten Segmente für jeden Punkt auf dem Kreis ist ein konstanter Wert. Da der Abstand zwischen Brennpunkten ist Die Exzentrizität jedes Kreises ist Null.

Ein Kreis ist einfach und schnell aufgebaut, es reicht aus, sich mit einem Kompass zu bewaffnen. Trotzdem ist es manchmal notwendig, die Koordinaten einiger seiner Punkte herauszufinden, in diesem Fall gehen wir den bekannten Weg - wir bringen die Gleichung in eine fröhliche Matan-Form:

ist die Funktion des oberen Halbkreises;
ist die Funktion des unteren Halbkreises.

Dann finden wir die gewünschten Werte, differenzierbar, integrieren und andere gute Dinge tun.

Der Artikel dient natürlich nur als Referenz, aber wie kann man ohne Liebe in der Welt leben? Kreative Aufgabe zur eigenständigen Lösung

Beispiel 2

Stellen Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse auf, wenn einer ihrer Brennpunkte und die kleine Halbachse bekannt sind (der Mittelpunkt ist der Ursprung). Finde Scheitelpunkte, zusätzliche Punkte und zeichne eine Linie auf der Zeichnung. Berechnen Sie die Exzentrizität.

Lösung und Zeichnung am Ende der Lektion

Lassen Sie uns eine Aktion hinzufügen:

Dreht und verschiebt eine Ellipse

Kehren wir zur kanonischen Gleichung der Ellipse zurück, nämlich zu der Bedingung, deren Rätsel seit der ersten Erwähnung dieser Kurve neugierige Geister quält. Hier haben wir eine Ellipse betrachtet , aber in der Praxis kann die Gleichung nicht ? Immerhin scheint es hier aber auch wie eine Ellipse zu sein!

Eine solche Gleichung ist selten, aber sie kommt vor. Und es definiert eine Ellipse. Lassen Sie uns die Mystik zerstreuen:

Als Ergebnis der Konstruktion wird unsere native Ellipse um 90 Grad gedreht erhalten. Also, - Das nicht-kanonischer Eintrag Ellipse . Aufzeichnung!- Die gleichung spezifiziert keine andere Ellipse, da es keine Punkte (Fokus) auf der Achse gibt, die die Definition einer Ellipse erfüllen würden.

Stellen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem in der Ebene auf und betrachten die allgemeine Gleichung zweiten Grades

indem
.

Die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung (8.4.1) erfüllen, heißt krumm (Linie) zweite Bestellung.

Für jede Kurve zweiter Ordnung gibt es ein rechteckiges Koordinatensystem, das kanonisch genannt wird, in dem die Gleichung dieser Kurve eine der folgenden Formen hat:

1)
(Ellipse);

2)
(imaginäre Ellipse);

3)
(ein Paar imaginärer Schnittlinien);

4)
(Hyperbel);

5)
(ein Paar sich schneidender Linien);

6)
(Parabel);

7)
(Paar paralleler Linien);

8)
(ein Paar imaginärer paralleler Linien);

9)
(ein Paar zusammenfallender Linien).

Die Gleichungen 1)–9) werden aufgerufen kanonische Kurvengleichungen zweiter Ordnung.

Die Lösung des Problems, die Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung auf die kanonische Form zu reduzieren, umfasst das Auffinden der kanonischen Gleichung der Kurve und des kanonischen Koordinatensystems. Durch die Reduktion auf die kanonische Form können Sie die Parameter der Kurve berechnen und ihre Position relativ zum ursprünglichen Koordinatensystem bestimmen. Übergang vom ursprünglichen rechtwinkligen Koordinatensystem
zu kanonisch
erfolgt durch Rotation der Achsen des ursprünglichen Koordinatensystems um den Punkt Ö auf einen bestimmten Winkel  und anschließende parallele Übertragung des Koordinatensystems.

Kurveninvarianten zweiter Ordnung(8.4.1) werden solche Funktionen der Koeffizienten seiner Gleichung genannt, deren Werte sich beim Wechsel von einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu einem anderen desselben Systems nicht ändern.

Bei einer Kurve zweiter Ordnung (8.4.1) die Summe der Koeffizienten bei quadrierten Koordinaten

,

Determinante, die sich aus den Koeffizienten der führenden Terme zusammensetzt

und Determinante dritter Ordnung

sind Invarianten.

Der Wert der Invarianten s, ,  kann verwendet werden, um den Typ zu bestimmen und die kanonische Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung zusammenzustellen (Tabelle 8.1).

Tabelle 8.1

Klassifikation von Kurven zweiter Ordnung basierend auf Invarianten

Schauen wir uns Ellipse, Hyperbel und Parabel genauer an.

Ellipse(Abb. 8.1) heißt der Punktort der Ebene, für den die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten gilt
dieses Flugzeug, genannt Ellipsentricks, ist ein konstanter Wert (größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten). Dies schließt das Zusammenfallen der Brennpunkte der Ellipse nicht aus. Wenn die Brennpunkte gleich sind, dann ist die Ellipse ein Kreis.

Die Halbsumme der Entfernungen von einem Punkt einer Ellipse zu ihren Brennpunkten wird mit bezeichnet a, halber Abstand zwischen den Brennpunkten - mit. Wenn das rechtwinklige Koordinatensystem auf der Ebene gewählt wird, konzentriert sich die Ellipse auf die Achse Öx symmetrisch um den Ursprung, dann ist in diesem Koordinatensystem die Ellipse durch die Gleichung gegeben

, (8.4.2)

namens die kanonische Gleichung der Ellipse, wo
.

Reis. 8.1

Bei der angegebenen Wahl eines rechteckigen Koordinatensystems ist die Ellipse symmetrisch zu den Koordinatenachsen und dem Ursprung. Die Symmetrieachsen einer Ellipse nennen es Achsen, und das Symmetriezentrum ist das Zentrum der Ellipse. Gleichzeitig werden die Zahlen 2 oft als Achsen der Ellipse bezeichnet. a und 2 b, und die Zahlen a und b – groß und kleine Halbachse bzw.

Die Schnittpunkte einer Ellipse mit ihren Achsen werden genannt die Eckpunkte der Ellipse. Die Eckpunkte der Ellipse haben Koordinaten ( a, 0), (–a, 0), (0, b), (0, –b).

Exzentrizität der Ellipse eine Nummer angerufen

. (8.4.3)

Denn 0  c < a, Ellipsenexzentrizität 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Dies zeigt, dass die Exzentrizität die Form der Ellipse charakterisiert: Je näher  an Null liegt, desto mehr sieht die Ellipse wie ein Kreis aus; mit zunehmendem  wird die Ellipse länger.

Lassen
ist ein beliebiger Punkt der Ellipse,
und
- Entfernung vom Punkt M vor Tricks F 1 und F 2 bzw. Zahlen r 1 und r 2 werden aufgerufen Punkt Brennradien M Ellipse und werden durch die Formeln berechnet

Schulleiterinnen außer Kreis Ellipse mit der kanonischen Gleichung (8.4.2) werden zwei Geraden aufgerufen

.

Die Leitlinien der Ellipse befinden sich außerhalb der Ellipse (Abb. 8.1).

Brennradiusverhältnis PunkteMEllipse zum Abstand  dieser Ellipse (Fokus und Leitlinie gelten als übereinstimmend, wenn sie sich auf derselben Seite des Mittelpunkts der Ellipse befinden).

Hyperbel(Abb. 8.2) heißt Punktort der Ebene, für den der Betrag der Abstandsdifferenz zu zwei festen Punkten gilt und dieses Flugzeug, genannt Brennpunkte der Übertreibung, ist ein konstanter Wert (ungleich Null und kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten).

Der Abstand zwischen den Brennpunkten sei 2 mit, und der angegebene Modul der Abstandsdifferenz ist 2 a. Wir wählen ein rechteckiges Koordinatensystem wie bei einer Ellipse. In diesem Koordinatensystem ist die Hyperbel durch die Gleichung gegeben

, (8.4.4)

namens die kanonische Gleichung der Hyperbel, wo
.

Reis. 8.2

Bei dieser Wahl eines rechteckigen Koordinatensystems sind die Koordinatenachsen die Symmetrieachsen der Hyperbel und der Koordinatenursprung ihr Symmetriezentrum. Die Symmetrieachsen einer Hyperbel heißen Achsen, und das Symmetriezentrum ist das Zentrum der Hyperbel. Rechteck mit 2 Seiten a und 2 b, befindet sich wie in Abb. 8.2, genannt das Hauptrechteck einer Hyperbel. Zahlen 2 a und 2 b sind die Achsen der Hyperbel und die Zahlen a und b- Sie Achswellen. Es bilden sich gerade Linien, die eine Fortsetzung der Diagonalen des Hauptrechtecks ​​sind Hyperbel Asymptoten

.

Schnittpunkte der Hyperbel mit der Achse Ochse namens Ecken der Hyperbel. Die Eckpunkte der Hyperbel haben Koordinaten ( a, 0), (–a, 0).

Die Exzentrizität einer Hyperbel eine Nummer angerufen

. (8.4.5)

Soweit mit > a, die Exzentrizität der Hyperbel  > 1. Schreiben wir Gleichheit (8.4.5) um als

.

Dies zeigt, dass die Exzentrizität die Form des Hauptrechtecks ​​und folglich die Form der Hyperbel selbst charakterisiert: Je kleiner , desto mehr wird das Hauptrechteck verlängert und danach die Hyperbel selbst entlang der Achse Ochse.

Lassen
ist ein beliebiger Punkt der Hyperbel,
und
- Entfernung vom Punkt M vor Tricks F 1 und F 2 bzw. Zahlen r 1 und r 2 werden aufgerufen Punkt Brennradien M Hyperbel und werden durch die Formeln berechnet

Schulleiterinnen Hyperbel mit der kanonischen Gleichung (8.4.4) werden zwei Geraden aufgerufen

.

Die Leitlinien der Hyperbel schneiden das Hauptrechteck und verlaufen zwischen dem Zentrum und dem entsprechenden Scheitelpunkt der Hyperbel (Abb. 8.2).

Ö Brennradiusverhältnis PunkteM Hyperbeln zur Entfernung von diesem Punkt zum entsprechenden Fokus Directrix ist gleich Exzentrizität diese Hyperbel (Fokus und Leitlinie gelten als übereinstimmend, wenn sie sich auf derselben Seite des Mittelpunkts der Hyperbel befinden).

Parabel(Abb. 8.3) ist der Ort der Punkte in der Ebene, für den die Entfernung zu einem festen Punkt F (Fokus der Parabel) dieser Ebene ist gleich dem Abstand zu einer festen Linie ( Parabel-Leitlinien), ebenfalls in der betrachteten Ebene gelegen.

Wählen wir den Anfang Ö rechteckiges Koordinatensystem in der Mitte des Segments [ FD], die eine vom Fokus fallende Senkrechte ist F zur Leitlinie (es wird angenommen, dass der Fokus nicht zur Leitlinie gehört) und den Achsen Ochse und Ey direkt wie in Abb. 8.3. Sei die Länge des Segments [ FD] entspricht p. Dann im gewählten Koordinatensystem
und Kanonische Parabelgleichung hat die Form

. (8.4.6)

Wert p namens Parabelparameter.

Eine Parabel hat eine sogenannte Symmetrieachse Parabelachse. Der Schnittpunkt einer Parabel mit ihrer Achse heißt Spitze der Parabel. Wenn die Parabel durch ihre kanonische Gleichung (8.4.6) gegeben ist, dann ist die Achse der Parabel die Achse Ochse. Offensichtlich ist der Scheitelpunkt der Parabel der Ursprung.

Beispiel 1 Punkt SONDERN= (2, –1) gehört zur Ellipse, dem Punkt F= (1, 0) ist sein Fokus, entsprechend F die Leitlinie ergibt sich aus der Gleichung
. Schreiben Sie eine Gleichung für diese Ellipse.

Entscheidung. Wir gehen davon aus, dass das Koordinatensystem rechteckig ist. Dann die Distanz von diesem Punkt SONDERN zur Schulleiterin
gemäß Beziehung (8.1.8), in der


, gleich

.

Distanz von diesem Punkt SONDERN zu konzentrieren F gleich

,

wodurch Sie die Exzentrizität der Ellipse bestimmen können

.

Lassen M = (x, j) ist ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann die Distanz
von diesem Punkt M zur Schulleiterin
nach Formel (8.1.8) gleich ist

und die Entfernung von diesem Punkt M zu konzentrieren F gleich

.

Da für jeden Punkt der Ellipse die Beziehung gilt ist ein konstanter Wert gleich der Exzentrizität der Ellipse, also haben wir

,

Beispiel 2 Die Kurve ist durch die Gleichung gegeben

in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Finden Sie das kanonische Koordinatensystem und die kanonische Gleichung dieser Kurve. Definieren Sie den Kurventyp.

Entscheidung. quadratische Form
hat eine Matrix

.

Sein charakteristisches Polynom

hat Wurzeln  1 = 4 und  2 = 9. Also in einer orthonormalen Basis von Matrix-Eigenvektoren SONDERN die betrachtete quadratische Form hat die kanonische Form

.

Fahren wir mit der Konstruktion der Matrix der orthogonalen Transformation von Variablen fort, die die betrachtete quadratische Form auf die angegebene kanonische Form reduziert. Dazu werden wir grundlegende Lösungssysteme homogener Gleichungssysteme konstruieren
und orthonormalisieren sie.

Beim
so sieht dieses System aus

Seine allgemeine Lösung ist
. Hier gibt es eine freie Variable. Daher besteht das grundlegende Lösungssystem aus einem Vektor, beispielsweise dem Vektor
. Wenn wir es normalisieren, erhalten wir den Vektor

.

Beim
Wir werden auch einen Vektor konstruieren

.

Vektoren und sind bereits orthogonal, da sie sich auf verschiedene Eigenwerte der symmetrischen Matrix beziehen SONDERN. Sie bilden die kanonische Orthonormalbasis der gegebenen quadratischen Form. Aus den Spalten ihrer Koordinaten wird die gewünschte Orthogonalmatrix (Rotationsmatrix) aufgebaut

.

Überprüfen Sie die Richtigkeit der Matrixfindung R laut Formel
, wo
ist eine Matrix quadratischer Form in der Basis
:

Matrix R richtig gefunden.

Lassen Sie uns die Transformation von Variablen durchführen

und schreibe die Gleichung dieser Kurve in das neue rechtwinklige Koordinatensystem mit den alten Zentrums- und Richtungsvektoren
:

wo
.

Wir haben die kanonische Gleichung der Ellipse

.

Aufgrund der Tatsache, dass die resultierende Transformation rechtwinkliger Koordinaten durch die Formeln bestimmt wird

,

,

Kanonisches Koordinatensystem
hat einen Anfang
und Richtungsvektoren
.

Beispiel 3 Bestimmen Sie mit Hilfe der Invariantentheorie den Typ und schreiben Sie die kanonische Gleichung der Kurve

Entscheidung. Soweit

,

entsprechend der Tabelle. 8.1 schließen wir daraus, dass dies eine Übertreibung ist.

Seit s = 0 das charakteristische Polynom der Matrix der quadratischen Form

seine Wurzeln
und
erlauben Sie uns, die kanonische Gleichung der Kurve zu schreiben

wo Mit wird aus der Bedingung ermittelt

,

.

Die gewünschte kanonische Gleichung der Kurve

.

In den Aufgaben dieses Abschnitts die Koordinatenx, jals rechteckig angenommen.

8.4.1. Für Ellipsen
und
finden:

a) Halbwellen;

b) Tricks;

c) Exzentrizität;

d) Directrix-Gleichungen.

8.4.2. Schreiben Sie die Gleichungen einer Ellipse und kennen Sie ihren Fokus
entsprechend der Leitlinie x= 8 und Exzentrizität . Finde den zweiten Brennpunkt und die zweite Leitlinie der Ellipse.

8.4.3. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ellipse, deren Brennpunkte (1, 0) und (0, 1) sind und deren Hauptachse zwei ist.

8.4.4. Dana Übertreibung
. Finden:

a) Achsen a und b;

b) Tricks;

c) Exzentrizität;

d) Asymptotengleichungen;

e) Directrix-Gleichungen.

8.4.5. Dana Übertreibung
. Finden:

a) Achsen a und b;

b) Tricks;

c) Exzentrizität;

d) Asymptotengleichungen;

e) Directrix-Gleichungen.

8.4.6. Punkt
gehört zu einer Hyperbel, deren Fokus ist
, und die entsprechende Leitlinie ist durch die Gleichung gegeben
. Schreiben Sie eine Gleichung für diese Hyperbel.

8.4.7. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel, wenn ihr Fokus gegeben ist
und Schulleiterin
.

8.4.8. Gegeben sei der Scheitelpunkt einer Parabel
und die Directrix-Gleichung
. Schreiben Sie eine Gleichung für diese Parabel.

8.4.9. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Parabel, deren Brennpunkt in einem Punkt liegt

und die Leitlinie ist durch die Gleichung gegeben
.

8.4.10. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Kurve zweiter Ordnung und kennen Sie deren Exzentrizität
, Fokus
und der entsprechende Direktor
.

8.4.11. Bestimmen Sie den Typ der Kurve zweiter Ordnung, schreiben Sie ihre kanonische Gleichung und finden Sie das kanonische Koordinatensystem:

G)
;

8.4.12.

ist eine Ellipse. Finden Sie die Längen der Halbachsen und die Exzentrizität dieser Ellipse, die Koordinaten des Zentrums und der Brennpunkte, schreiben Sie die Gleichungen der Achsen und Leitlinien.

8.4.13. Beweisen Sie, dass die Kurve zweiter Ordnung durch die Gleichung gegeben ist

ist eine Übertreibung. Finden Sie die Längen der Halbachsen und die Exzentrizität dieser Hyperbel, die Koordinaten des Zentrums und der Brennpunkte, schreiben Sie die Gleichungen für die Achsen, Leitlinien und Asymptoten.

8.4.14. Beweisen Sie, dass die Kurve zweiter Ordnung durch die Gleichung gegeben ist

,

ist eine Parabel. Finden Sie den Parameter dieser Parabel, die Koordinaten der Scheitelpunkte und den Fokus, schreiben Sie die Gleichungen für die Achse und die Leitlinie.

8.4.15. Bringen Sie jede der folgenden Gleichungen in kanonische Form. Zeichnen Sie die entsprechende Kurve zweiter Ordnung in Bezug auf das ursprüngliche rechtwinklige Koordinatensystem in die Zeichnung ein:

8.4.16. Bestimmen Sie mit Hilfe der Invariantentheorie den Typ und schreiben Sie die kanonische Gleichung der Kurve.

11.1. Grundlegendes Konzept

Betrachten Sie die durch Gleichungen zweiten Grades definierten Linien in Bezug auf die aktuellen Koordinaten

Die Koeffizienten der Gleichung sind reelle Zahlen, aber mindestens eine der Zahlen A, B oder C ist nicht Null. Solche Linien nennt man Linien (Kurven) zweiter Ordnung. Im Folgenden wird festgestellt, dass Gleichung (11.1) einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel in der Ebene definiert. Bevor wir zu dieser Behauptung übergehen, wollen wir die Eigenschaften der aufgezählten Kurven untersuchen.

11.2. Kreis

Die einfachste Kurve zweiter Ordnung ist ein Kreis. Erinnern Sie sich, dass ein Kreis mit Radius R, der an einem Punkt zentriert ist, die Menge aller Punkte Μ der Ebene ist, die die Bedingung erfüllen. Ein Punkt in einem rechteckigen Koordinatensystem habe die Koordinaten x 0, y 0 a - ein beliebiger Punkt des Kreises (siehe Abb. 48).

Dann erhalten wir aus der Bedingung die Gleichung

(11.2)

Gleichung (11.2) wird von den Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem gegebenen Kreis erfüllt und wird nicht von den Koordinaten eines beliebigen Punktes erfüllt, der nicht auf dem Kreis liegt.

Gleichung (11.2) wird aufgerufen die kanonische Kreisgleichung

Insbesondere unter der Annahme von und erhalten wir die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung .

Die Kreisgleichung (11.2) nimmt nach einfachen Umformungen die Form an. Vergleicht man diese Gleichung mit der allgemeinen Gleichung (11.1) einer Kurve zweiter Ordnung, sieht man leicht, dass für die Kreisgleichung zwei Bedingungen erfüllt sind:

1) die Koeffizienten bei x 2 und y 2 sind einander gleich;

2) es gibt kein Mitglied, das das xy-Produkt der aktuellen Koordinaten enthält.

Betrachten wir das inverse Problem. Setzen wir die Werte und in Gleichung (11.1) ein, erhalten wir

Lassen Sie uns diese Gleichung umwandeln:

(11.4)

Daraus folgt, dass Gleichung (11.3) unter der Bedingung einen Kreis definiert . Sein Zentrum ist am Punkt , und der Radius

.

Ob , dann hat Gleichung (11.3) die Form

.

Es wird durch die Koordinaten eines einzelnen Punktes erfüllt . In diesem Fall sagen sie: „Der Kreis ist zu einem Punkt entartet“ (hat einen Radius von Null).

Wenn ein , dann wird Gleichung (11.4) und damit die äquivalente Gleichung (11.3) keine Gerade bestimmen, da die rechte Seite von Gleichung (11.4) negativ und die linke Seite nicht negativ ist (sagen wir: „imaginärer Kreis“).

11.3. Ellipse

Kanonische Gleichung einer Ellipse

Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Tricks , ist ein konstanter Wert, der größer ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Bezeichne die Brennpunkte mit F1 und F2, der Abstand zwischen ihnen in 2 c, und die Summe der Entfernungen von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu den Brennpunkten - bis 2 a(siehe Abb. 49). Definitionsgemäß 2 a > 2c, d.h. a > c.

Um die Gleichung einer Ellipse herzuleiten, wählen wir ein Koordinatensystem, damit die Brennpunkte F1 und F2 liegen auf der Achse , und der Ursprung fällt mit dem Mittelpunkt des Segments zusammen F1 F2. Dann haben die Brennpunkte die folgenden Koordinaten: und .

Sei ein beliebiger Punkt der Ellipse. Dann ist gemäß der Definition einer Ellipse, d.h.

Dies ist tatsächlich die Gleichung einer Ellipse.

Wir transformieren Gleichung (11.5) wie folgt in eine einfachere Form:

Als a>mit, dann . Lasst uns

(11.6)

Dann nimmt die letzte Gleichung die Form oder an

(11.7)

Es kann bewiesen werden, dass Gleichung (11.7) der ursprünglichen Gleichung entspricht. Es heißt die kanonische Gleichung der Ellipse .

Ellipse ist eine Kurve zweiter Ordnung.

Studium der Form einer Ellipse nach ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Ellipse anhand ihrer kanonischen Gleichung ermitteln.

1. Gleichung (11.7) enthält x und y nur in geraden Potenzen, wenn also ein Punkt zu einer Ellipse gehört, dann gehören auch Punkte ,, dazu. Daraus folgt, dass die Ellipse symmetrisch in Bezug auf die Achsen und sowie in Bezug auf den Punkt ist, der als Mittelpunkt der Ellipse bezeichnet wird.

2. Finde die Schnittpunkte der Ellipse mit den Koordinatenachsen. Wenn wir setzen, finden wir zwei Punkte und , an denen die Achse die Ellipse schneidet (siehe Abb. 50). In Gleichung (11.7) finden wir die Schnittpunkte der Ellipse mit der Achse: und . Punkte EIN 1 , A2 , B1, B2 namens die Eckpunkte der Ellipse. Segmente EIN 1 A2 und B1 B2, sowie ihre Längen 2 a und 2 b werden jeweils genannt Haupt- und Nebenachse Ellipse. Zahlen a und b heißen groß bzw. klein. Achswellen Ellipse.

3. Aus Gleichung (11.7) folgt, dass jeder Term auf der linken Seite nicht größer als eins ist, d.h. es gibt Ungleichungen und oder und . Daher liegen alle Punkte der Ellipse innerhalb des durch die Geraden gebildeten Rechtecks.

4. In Gleichung (11.7) ist die Summe der nicht negativen Terme und gleich eins. Wenn also ein Term zunimmt, nimmt der andere ab, dh wenn er zunimmt, nimmt er ab und umgekehrt.

Aus dem Gesagten folgt, dass die Ellipse die in Abb. 50 (ovale geschlossene Kurve).

Mehr über die Ellipse

Die Form der Ellipse hängt vom Verhältnis ab. Wenn sich die Ellipse in einen Kreis verwandelt, nimmt die Ellipsengleichung (11.7) die Form an. Als Merkmal für die Form einer Ellipse wird häufiger das Verhältnis verwendet. Das Verhältnis des halben Abstands zwischen den Brennpunkten zur großen Halbachse der Ellipse wird als Exzentrizität der Ellipse bezeichnet und o6o wird mit dem Buchstaben ε ("epsilon") bezeichnet:

mit 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Dies zeigt, dass die Ellipse umso weniger abgeflacht ist, je kleiner die Exzentrizität der Ellipse ist; setzen wir ε = 0, dann verwandelt sich die Ellipse in einen Kreis.

Sei M(x; y) ein beliebiger Punkt der Ellipse mit den Brennpunkten F 1 und F 2 (siehe Abb. 51). Die Streckenlängen F 1 M=r 1 und F 2 M = r 2 heißen Brennradien des Punktes M. Offensichtlich,

Es gibt Formeln

Gerade Linien werden aufgerufen

Satz 11.1. Wenn der Abstand von einem beliebigen Punkt der Ellipse zu einem Brennpunkt ist, d der Abstand von demselben Punkt zu der Leitlinie ist, die diesem Brennpunkt entspricht, dann ist das Verhältnis ein konstanter Wert, der gleich der Exzentrizität der Ellipse ist:

Aus Gleichheit (11.6) folgt, dass . Wenn , dann definiert Gleichung (11.7) eine Ellipse, deren Hauptachse auf der Oy-Achse und deren Nebenachse auf der Ox-Achse liegt (siehe Abb. 52). Die Brennpunkte einer solchen Ellipse sind an den Punkten und , wo .

11.4. Hyperbel

Kanonische Gleichung einer Hyperbel

Hyperbel heißt die Menge aller Punkte der Ebene, der Betrag der Differenz der Entfernungen von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Tricks , ist ein konstanter Wert, kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Bezeichne die Brennpunkte mit F1 und F2 die Entfernung zwischen ihnen durch 2s, und der Betrag der Distanzdifferenz von jedem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten hindurch 2a. A-Priorat 2a < 2s, d.h. a < c.

Um die Hyperbelgleichung herzuleiten, wählen wir ein Koordinatensystem, damit die Brennpunkte F1 und F2 liegen auf der Achse , und der Ursprung fiel mit dem Mittelpunkt des Segments zusammen F1 F2(siehe Abb. 53). Dann haben die Brennpunkte Koordinaten und

Sei ein beliebiger Punkt der Hyperbel. Dann nach der Definition einer Hyperbel oder , d.h. Nach Vereinfachungen, wie sie bei der Ableitung der Ellipsengleichung gemacht wurden, erhalten wir Kanonische Gleichung einer Hyperbel

(11.9)

(11.10)

Eine Hyperbel ist eine Gerade zweiter Ordnung.

Untersuchung der Form einer Hyperbel nach ihrer Gleichung

Lassen Sie uns die Form der Hyperbel unter Verwendung ihrer kakonischen Gleichung bestimmen.

1. Gleichung (11.9) enthält x und y nur in geraden Potenzen. Daher ist die Hyperbel symmetrisch in Bezug auf die Achsen und , sowie in Bezug auf den Punkt , der aufgerufen wird das Zentrum der Hyperbel.

2. Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel mit den Koordinatenachsen. In Gleichung (11.9) finden wir zwei Schnittpunkte der Hyperbel mit der Achse : und . Setzen wir (11.9) ein, erhalten wir , was nicht sein kann. Daher schneidet die Hyperbel die y-Achse nicht.

Die Punkte und werden aufgerufen Spitzen Hyperbeln und das Segment

echte Achse , Liniensegment - echte Halbachse Hyperbel.

Das Liniensegment, das die Punkte verbindet, wird aufgerufen imaginäre Achse , Nummer b - imaginäre Achse . Rechteck mit Seiten 2a und 2b namens das Hauptrechteck einer Hyperbel .

3. Aus Gleichung (11.9) folgt, dass der Minuend nicht kleiner als eins ist, also oder . Das bedeutet, dass die Punkte der Hyperbel rechts von der Geraden (rechter Ast der Hyperbel) und links von der Geraden (linker Ast der Hyperbel) liegen.

4. Aus der Gleichung (11.9) der Hyperbel ist ersichtlich, dass wenn sie zunimmt, sie auch zunimmt. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Differenz einen konstanten Wert gleich Eins behält.

Aus dem Gesagten folgt, dass die Hyperbel die in Abbildung 54 gezeigte Form hat (eine Kurve, die aus zwei unbegrenzten Ästen besteht).

Asymptoten einer Hyperbel

Die Gerade L heißt Asymptote einer unbegrenzten Kurve K, wenn der Abstand d vom Punkt M der Kurve K zu dieser Linie gegen Null tendiert, wenn sich der Punkt M entlang der Kurve K unbegrenzt vom Ursprung wegbewegt. Abbildung 55 veranschaulicht das Konzept einer Asymptote: Die Linie L ist eine Asymptote für die Kurve K.

Zeigen wir, dass die Hyperbel zwei Asymptoten hat:

(11.11)

Da die Geraden (11.11) und die Hyperbel (11.9) symmetrisch zu den Koordinatenachsen sind, genügt es, nur die Punkte der angegebenen Geraden zu betrachten, die im ersten Quadranten liegen.

Nimm auf einer geraden Linie einen Punkt N mit der gleichen Abszisse x wie einen Punkt auf einer Hyperbel (siehe Abb. 56) und finden Sie die Differenz ΜN zwischen den Ordinaten der Geraden und dem Ast der Hyperbel:

Wie Sie sehen können, steigt der Nenner des Bruchs, wenn x zunimmt; Zähler ist ein konstanter Wert. Daher die Länge des Segments ΜN geht gegen Null. Da ΜN größer als der Abstand d vom Punkt Μ zur Geraden ist, strebt d noch stärker gegen Null. Die Geraden sind also Asymptoten der Hyperbel (11.9).

Beim Konstruieren einer Hyperbel (11.9) ist es ratsam, zuerst das Hauptrechteck der Hyperbel zu konstruieren (siehe Abb. 57), Linien zu zeichnen, die durch die gegenüberliegenden Eckpunkte dieses Rechtecks ​​verlaufen - die Asymptoten der Hyperbel, und die Eckpunkte und zu markieren , Hyperbel .

Die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel.

deren Asymptoten die Koordinatenachsen sind

Die Hyperbel (11.9) heißt gleichseitig, wenn ihre Halbachsen gleich sind (). Seine kanonische Gleichung

(11.12)

Die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel haben Gleichungen und sind daher Winkelhalbierende der Koordinatenwinkel.

Betrachten Sie die Gleichung dieser Hyperbel in einem neuen Koordinatensystem (siehe Abb. 58), das Sie aus dem alten erhalten, indem Sie die Koordinatenachsen um einen Winkel drehen. Wir verwenden die Formeln für die Rotation der Koordinatenachsen:

Wir ersetzen die Werte von x und y in Gleichung (11.12):

Die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel, für die die Achsen Ox und Oy Asymptoten sind, hat die Form .

Mehr über Übertreibung

Exzentrizität Hyperbel (11.9) ist das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zum Wert der reellen Achse der Hyperbel, bezeichnet mit ε:

Da für eine Hyperbel die Exzentrizität der Hyperbel größer als eins ist: . Exzentrizität charakterisiert die Form einer Hyperbel. Tatsächlich folgt aus Gleichheit (11.10), dass d.h. und .

Daraus ist ersichtlich, dass je kleiner die Exzentrizität der Hyperbel ist, desto kleiner das Verhältnis - ihrer Halbachsen ist, was bedeutet, dass ihr Hauptrechteck um so mehr verlängert wird.

Die Exzentrizität einer gleichseitigen Hyperbel ist . Wirklich,

Fokusradien und denn die Punkte des rechten Astes der Hyperbel haben die Form und , und für den linken - und .

Geraden werden Leitlinien einer Hyperbel genannt. Da für die Hyperbel ε > 1, dann . Das heißt, die rechte Leitlinie befindet sich zwischen der Mitte und dem rechten Scheitel der Hyperbel, die linke Leitlinie zwischen der Mitte und dem linken Scheitel.

Die Leitlinien einer Hyperbel haben die gleiche Eigenschaft wie die Leitlinien einer Ellipse.

Die durch die Gleichung definierte Kurve ist ebenfalls eine Hyperbel, deren reelle Achse 2b auf der Oy-Achse und deren imaginäre Achse 2 liegt a- auf der Ox-Achse. In Abbildung 59 ist es als gepunktete Linie dargestellt.

Offensichtlich haben die Hyperbeln und gemeinsame Asymptoten. Solche Hyperbeln nennt man konjugiert.

11.5. Parabel

Kanonische Parabelgleichung

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, von denen jeder gleich weit von einem bestimmten Punkt, genannt Brennpunkt, und einer bestimmten Linie, genannt Leitlinie, entfernt ist. Der Abstand vom Brennpunkt F zur Leitlinie wird Parameter der Parabel genannt und mit p bezeichnet (p > 0).

Zur Herleitung der Parabelgleichung wählen wir das Oxy-Koordinatensystem so, dass die Oxy-Achse durch den Fokus F senkrecht zur Leitlinie in Richtung von der Leitlinie zu F verläuft und der Ursprung O in der Mitte zwischen Fokus und Leitlinie liegt (siehe Abb. 60). Im ausgewählten System hat der Fokus F die Koordinaten , und die Leitliniengleichung hat die Form , oder .

1. In Gleichung (11.13) ist die Variable y in einem geraden Grad enthalten, was bedeutet, dass die Parabel symmetrisch zur Ox-Achse ist; die x-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel.

2. Wegen ρ > 0 folgt aus (11.13) . Daher befindet sich die Parabel rechts von der y-Achse.

3. Wenn wir haben y \u003d 0. Daher geht die Parabel durch den Ursprung.

4. Bei unbegrenzter Vergrößerung von x wächst auch der Modul y unbegrenzt. Die Parabel hat die in Abbildung 61 gezeigte Form (Form). Der Punkt O (0; 0) wird als Scheitelpunkt der Parabel bezeichnet, das Segment FM \u003d r wird als Brennradius des Punktes M bezeichnet.

Gleichungen , , ( p>0) definieren ebenfalls Parabeln, sie sind in Abbildung 62 dargestellt

Es ist leicht zu zeigen, dass der Graph eines quadratischen Trinoms, bei dem , B und C beliebige reelle Zahlen sind, eine Parabel im Sinne der obigen Definition ist.

11.6. Allgemeine Gleichung der Linien zweiter Ordnung

Kurvengleichungen zweiter Ordnung mit Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen

Finden wir zunächst die Gleichung einer Ellipse mit Mittelpunkt im Punkt , deren Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen Ox und Oy bzw. deren Halbachsen liegen a und b. Setzen wir in die Mitte der Ellipse O 1 den Ursprung des neuen Koordinatensystems , dessen Achsen und Halbachsen a und b(siehe Abb. 64):

Und schließlich haben die in Abbildung 65 gezeigten Parabeln entsprechende Gleichungen.

Die gleichung

Die Gleichungen einer Ellipse, Hyperbel, Parabel und die Kreisgleichung nach Transformationen (Klammern öffnen, alle Terme der Gleichung in eine Richtung verschieben, gleiche Terme einbringen, neue Notation für die Koeffizienten einführen) können mit einer einzigen Gleichung geschrieben werden die Form

wobei die Koeffizienten A und C gleichzeitig ungleich Null sind.

Es stellt sich die Frage: Bestimmt irgendeine Gleichung der Form (11.14) eine der Kurven (Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel) zweiter Ordnung? Die Antwort liefert der folgende Satz.

Satz 11.2. Gleichung (11.14) definiert immer: entweder einen Kreis (für A = C) oder eine Ellipse (für A C > 0) oder eine Hyperbel (für A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Allgemeine Gleichung zweiter Ordnung

Betrachten Sie nun die allgemeine Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten:

Sie unterscheidet sich von Gleichung (11.14) durch das Vorhandensein eines Terms mit dem Koordinatenprodukt (B¹ 0). Durch Drehen der Koordinatenachsen um einen Winkel a kann diese Gleichung so umgeformt werden, dass der Term mit dem Koordinatenprodukt darin fehlt.

Verwenden von Formeln für Drehachsen

Drücken wir die alten Koordinaten durch die neuen aus:

Wir wählen den Winkel a so, dass der Koeffizient bei x "y" verschwindet, also damit die Gleichheit

Wenn also die Achsen um einen Winkel a gedreht werden, der die Bedingung (11.17) erfüllt, reduziert sich Gleichung (11.15) auf Gleichung (11.14).

Fazit: Die allgemeine Gleichung zweiter Ordnung (11.15) definiert in der Ebene (außer bei Entartung und Zerfall) folgende Kurven: Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel.

Hinweis: Wenn A = C, dann verliert Gleichung (11.17) ihre Bedeutung. In diesem Fall ist cos2α = 0 (siehe (11.16)), dann ist 2α = 90°, also α = 45°. Bei A = C sollte also das Koordinatensystem um 45° gedreht werden.

1. Linien zweiter Ordnung auf der euklidischen Ebene.

2. Invarianten der Geradengleichungen zweiter Ordnung.

3. Bestimmen des Typs von Linien zweiter Ordnung aus den Invarianten ihrer Gleichung.

4. Linien zweiter Ordnung auf der affinen Ebene. Eindeutigkeitssatz.

5. Mittelpunkte von Linien zweiter Ordnung.

6. Asymptoten und Durchmesser von Linien zweiter Ordnung.

7. Reduktion der Liniengleichungen zweiter Ordnung auf das Einfachste.

8. Hauptrichtungen und Durchmesser von Linien zweiter Ordnung.

LITERATURVERZEICHNIS

1. Linien zweiter Ordnung in der euklidischen Ebene.

Definition:

Euklidische Ebene ist ein Raum der Dimension 2,

(zweidimensionaler realer Raum).

Geraden zweiter Ordnung sind Schnittlinien eines Kreiskegels mit Ebenen, die nicht durch seine Spitze gehen.

Diese Zeilen finden sich häufig in verschiedenen naturwissenschaftlichen Fragestellungen. Beispielsweise erfolgt die Bewegung eines materiellen Punktes unter dem Einfluss des zentralen Gravitationsfeldes entlang einer dieser Linien.

Wenn die Schnittebene alle geradlinigen Erzeugenden eines Hohlraums des Kegels schneidet, wird im Abschnitt eine Linie erhalten, genannt Ellipse(Abb. 1.1, a). Wenn die Schnittebene die Generatoren beider Hohlräume des Kegels schneidet, wird im Schnitt eine Linie erhalten, genannt Hyperbel(Abb. 1.1.6). Und schließlich, wenn die Sekantenebene parallel zu einem der Erzeuger des Kegels ist (nach 1.1, in- Das ist der Generator AB), dann erhalten Sie im Abschnitt eine Zeile mit dem Namen Parabel. Reis. 1.1 gibt eine visuelle Darstellung der Form der betrachteten Linien.

Abbildung 1.1

Die allgemeine Gleichung der Geraden zweiter Ordnung hat folgende Form:

(1)

(1*)

Ellipse ist die Menge der Punkte in der Ebene, für die die Summe der Entfernungen zwei ist Fixpunkte F 1 und F 2 diese Ebene, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert.

Dies schließt das Zusammenfallen der Brennpunkte der Ellipse nicht aus. Offensichtlich Wenn die Brennpunkte gleich sind, ist die Ellipse ein Kreis.

Zur Herleitung der kanonischen Gleichung der Ellipse wählen wir den Ursprung O des kartesischen Koordinatensystems in der Mitte der Strecke F 1 F 2 , Achsen Oh und OU direkt wie in Abb. 1.2 (wenn Tricks F 1 und F 2 zusammenfallen, dann fällt O mit zusammen F 1 und F 2 und für die Achse Oh man kann jede durchgehende Achse nehmen Ö).

Lassen Sie die Länge des Segments F 1 F 2 F 1 und F 2 haben jeweils die Koordinaten (-c, 0) und (c, 0). Bezeichne mit 2a die Konstante, auf die in der Definition einer Ellipse verwiesen wird. Offensichtlich ist 2a > 2c, d.h. a > c ( Wenn ein M- Punkt der Ellipse (siehe Abb. 1.2), dann | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , und seit der Summe zweier Seiten MF 1 und MF 2 Dreieck MF 1 F 2 mehr als ein Dritter F 1 F 2 = 2c, dann 2a > 2c. Es liegt nahe, den Fall 2a = 2c auszuschließen, da dann der Punkt M befindet sich auf dem Segment F 1 F 2 und die Ellipse degeneriert zu einem Segment. ).

Lassen M- Punkt der Ebene mit Koordinaten (x, y)(Abb. 1.2). Bezeichne mit r 1 und r 2 die Abstände von dem Punkt M zu Punkten F 1 und F 2 bzw. Gemäß der Definition einer Ellipse Gleichberechtigung

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage des Punktes M(x, y) auf der gegebenen Ellipse.

Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten erhalten wir

(1.2)

Aus (1.1) und (1.2) folgt das Verhältnis

(1.3)

stellt eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Lage eines Punktes M mit den Koordinaten x und y auf einer gegebenen Ellipse dar. Daher kann die Beziehung (1.3) betrachtet werden als Ellipsengleichung. Mit der Standardmethode der "Radikalzerstörung" wird diese Gleichung auf die Form gebracht

(1.4) (1.5)

Da Gleichung (1.4) ist algebraische Konsequenz Ellipsengleichung (1.3), dann die Koordinaten x und y irgendein Punkt M Ellipse wird auch Gleichung (1.4) erfüllen. Da bei algebraischen Transformationen im Zusammenhang mit dem Entfernen von Radikalen "zusätzliche Wurzeln" auftreten können, müssen wir dies unbedingt sicherstellen M, dessen Koordinaten die Gleichung (1.4) erfüllen, befindet sich auf der gegebenen Ellipse. Dazu genügt es offensichtlich zu beweisen, dass die Größen r 1 und r 2 für jeden Punkt die Beziehung (1.1) erfüllen. Also lassen Sie die Koordinaten X und beim Punkte M Gleichung (1.4) erfüllen. Ersatzwert um 2 von (1.4) auf die rechte Seite des Ausdrucks (1.2) für r 1 nach einfachen Transformationen finden wir das

, dann .

Genauso finden wir das

. Also für den betrachteten Punkt M , (1.6)

d.h. r 1 + r 2 = 2a, und daher befindet sich der Punkt M auf einer Ellipse. Gleichung (1.4) wird aufgerufen die kanonische Gleichung der Ellipse. Mengen a und b werden jeweils genannt große und kleine Halbachsen einer Ellipse(Der Name „groß“ und „klein“ erklärt sich dadurch, dass a > b).

Kommentar. Wenn die Halbachsen der Ellipse a und b gleich sind, dann ist die Ellipse ein Kreis, dessen Radius gleich ist R = a = b, und der Mittelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen.

Hyperbel ist die Menge der Punkte in der Ebene, für die der Betrag der Differenz der Entfernungen zu zwei festen Punkten, F 1 und F 2 diese Ebene, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert ( Fokussiert F 1 und F 2 Es ist natürlich, Hyperbeln anders zu betrachten, denn wenn die in der Definition einer Hyperbel angegebene Konstante nicht gleich Null ist, dann gibt es keinen einzigen Punkt der Ebene, wenn F 1 und F 2 , was den Anforderungen der Definition einer Hyperbel genügen würde. Wenn diese Konstante Null ist und F 1 fällt zusammen mit F 2 , dann erfüllt jeder Punkt der Ebene die Anforderungen der Definition einer Hyperbel. ).

Um die kanonische Gleichung der Hyperbel herzuleiten, wählen wir den Koordinatenursprung in der Mitte der Strecke F 1 F 2 , Achsen Oh und OU direkt wie in Abb. 1.2. Lassen Sie die Länge des Segments F 1 F 2 ist gleich 2s. Dann im gewählten Koordinatensystem die Punkte F 1 und F 2 haben jeweils die Koordinaten (-с, 0) und (с, 0) Bezeichne mit 2 a die Konstante, auf die in der Definition einer Hyperbel Bezug genommen wird. Offensichtlich 2a< 2с, т. е. a < с. Wir müssen sicherstellen, dass Gleichung (1.9), erhalten durch algebraische Transformationen von Gleichung (1.8), keine neuen Wurzeln erhalten hat. Dazu genügt es, dies für jeden Punkt zu beweisen M, Koordinaten X und beim die Gleichung (1.9) erfüllen, erfüllen die Größen r 1 und r 2 die Beziehung (1.7). In ähnlicher Argumentation wie bei der Ableitung der Formeln (1.6) finden wir für die uns interessierenden Größen r 1 und r 2 folgende Ausdrücke:

(1.11)

Also für den betrachteten Punkt M wir haben

, und liegt daher auf einer Hyperbel.

Gleichung (1.9) wird aufgerufen Kanonische Gleichung einer Hyperbel. Mengen a und b heißen reell bzw. imaginär. Halbachsen der Hyperbel.

Parabel ist die Menge von Punkten in der Ebene, für die der Abstand zu einem festen Punkt F Diese Ebene ist gleich dem Abstand zu einer festen Linie, die sich ebenfalls in der betrachteten Ebene befindet.

Gleichungen Kurven sind reichlich vorhanden bei der Lektüre wirtschaftswissenschaftlicher Literatur Lassen Sie uns auf einige dieser Kurven hinweisen.

Indifferenzkurve - eine Kurve, die verschiedene Kombinationen von zwei Produkten zeigt, die den gleichen Verbraucherwert oder Nutzen für den Verbraucher haben.

Verbraucherbudgetkurve ist eine Kurve, die die verschiedenen Kombinationen von Mengen zweier Güter zeigt, die ein Verbraucher bei einer bestimmten Höhe seines Geldeinkommens kaufen kann.

Produktionsmöglichkeitskurve - eine Kurve, die die verschiedenen Kombinationen zweier Güter oder Dienstleistungen darstellt, die unter Vollbeschäftigungs- und Vollproduktionsbedingungen in einer Wirtschaft mit konstanten Ressourcenvorräten und unveränderter Technologie produziert werden können.

Investitionsnachfragekurve - eine Kurve, die die Dynamik des Zinssatzes und das Investitionsvolumen bei unterschiedlichen Zinssätzen zeigt.

Phillips-Kurve- eine Kurve, die das Bestehen einer stabilen Beziehung zwischen der Arbeitslosenquote und der Inflationsrate zeigt.

Laffer-Kurve- eine Kurve, die das Verhältnis zwischen Steuersätzen und Steuereinnahmen darstellt und einen solchen Steuersatz zeigt, bei dem die Steuereinnahmen ein Maximum erreichen.

Schon eine einfache Aufzählung von Begriffen zeigt, wie wichtig es für Ökonomen ist, Diagramme erstellen und die Gleichungen von Kurven analysieren zu können, die gerade Linien und Kurven zweiter Ordnung sind - ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel. Darüber hinaus ist es bei der Lösung einer großen Klasse von Problemen erforderlich, einen Bereich auf der Ebene auszuwählen, der durch einige Kurven begrenzt ist, deren Gleichungen angegeben sind Meistens werden diese Probleme wie folgt formuliert: Finden Sie den besten Produktionsplan für gegebene Ressourcen. Die Zuweisung von Ressourcen erfolgt in der Regel in Form von Ungleichheiten, deren Gleichungen gegeben sind. Daher muss man nach den größten oder kleinsten Werten suchen, die von einer Funktion in dem Bereich angenommen werden, der durch die Gleichungen des Ungleichungssystems angegeben ist.

In der analytischen Geometrie Linie im Flugzeug ist definiert als die Menge von Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen F(x,y)=0. In diesem Fall müssen der Funktion F Beschränkungen auferlegt werden, damit diese Gleichung einerseits eine unendliche Lösungsmenge hat und andererseits diese Lösungsmenge kein „Stück der Ebene“ ausfüllt “. Eine wichtige Klasse von Geraden sind solche, für die die Funktion F(x,y) ein Polynom in zwei Variablen ist, in welchem ​​Fall die durch die Gleichung F(x,y)=0 definierte Gerade genannt wird algebraisch. Die durch die Gleichung ersten Grades gegebenen algebraischen Geraden sind Geraden. Eine Gleichung zweiten Grades, die unendlich viele Lösungen hat, definiert eine Ellipse, Hyperbel, Parabel oder eine Linie, die sich in zwei gerade Linien teilt.

Gegeben sei ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem in der Ebene. Eine gerade Linie in einer Ebene kann durch eine der folgenden Gleichungen angegeben werden:

zehn . Allgemeine Geradengleichung

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(А,В) orthogonal zu einer Geraden steht, die Zahlen A und B nicht gleichzeitig Null sind.

20 . Liniengleichung mit Steigung

y - y o = k (x - x o), (2.2)

wobei k die Steigung der Geraden ist, also k = tg a, wobei a - der Wert des Winkels, den die gerade Linie mit der Achse Оx, M (x o , y o) bildet - ein Punkt, der zur geraden Linie gehört.

Gleichung (2.2) nimmt die Form y = kx + b an, wenn M (0, b) der Schnittpunkt der Geraden mit der Oy-Achse ist.

dreißig . Gleichung einer Geraden in Segmenten

x/a + y/b = 1, (2.3)

wobei a und b die Werte der Segmente sind, die durch eine gerade Linie auf den Koordinatenachsen abgeschnitten sind.

40 . Die Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht, ist A(x 1 , y 1) und B(x 2 , y 2):

. (2.4)

fünfzig . Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt A(x 1 , y 1) parallel zu einem gegebenen Vektor verläuft a(m, n)

. (2.5)

60 . Normalgleichung einer Geraden

rn o - p = 0, (2.6)

wo r ist der Radius eines beliebigen Punktes M (x, y) dieser Linie, n o ist ein Einheitsvektor, der orthogonal zu dieser Linie ist und vom Ursprung zur Linie gerichtet ist; p ist der Abstand vom Ursprung zur Geraden.

Die Normale in Koordinatenform hat die Form:

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

wo ein - der Wert des Winkels, der von einer geraden Linie mit der x-Achse gebildet wird.

Die Gleichung eines Linienbündels, das im Punkt A (x 1, y 1) zentriert ist, hat die Form:

y-y 1 = l (x-x 1),

wo l ist der Strahlparameter. Wenn der Strahl durch zwei sich schneidende Linien A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 gegeben ist, hat seine Gleichung die Form:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

wo l und m sind die Strahlparameter, die nicht gleichzeitig auf 0 gehen.

Der Winkel zwischen den Linien y \u003d kx + b und y \u003d k 1 x + b 1 wird durch die Formel angegeben:

tg j = .

Die Gleichheit 1 + k 1 k = 0 ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Geraden senkrecht stehen.

Zwei Gleichungen aufstellen

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

dieselbe Gerade setzen, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Koeffizienten proportional sind:

A1 / A2 = B1 / B2 = C1 / C2.

Die Gleichungen (2.7), (2.8) definieren zwei verschiedene parallele Geraden, wenn A 1 /A 2 = B 1 /B 2 und B 1 /B 2¹ C1/C2; Linien schneiden sich, wenn A 1 /A 2¹B1/B2.

Der Abstand d vom Punkt M o (x o, y o) zur Geraden ist die Länge der vom Punkt M o zur Geraden gezogenen Senkrechten. Wenn die Linie durch eine normale Gleichung gegeben ist, dann ist d =ê rÜber n o - r ê , wo r o ist der Radiusvektor des Punktes M o oder in Koordinatenform d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Die allgemeine Gleichung der Kurve zweiter Ordnung hat die Form

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Es wird angenommen, dass es unter den Koeffizienten der Gleichung a 11 , a 12 , a 22 andere als Null gibt.

Die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt C(a, b) und einem Radius gleich R:

(x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 . (2.9)

Ellipseder Ort der Punkte heißt, die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F 1 und F 2 (Brennpunkte) ist ein konstanter Wert gleich 2a.

Kanonische (einfachste) Gleichung einer Ellipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Die durch Gleichung (2.10) gegebene Ellipse ist bezüglich der Koordinatenachsen symmetrisch. Optionen a und b namens Achswellen Ellipse.

Sei a > b, dann liegen die Brennpunkte F 1 und F 2 auf der Ox-Achse in einem Abstand
c= vom Ursprung. Verhältnis c/a = e < 1 называется Exzentrizität Ellipse. Die Abstände vom Punkt M(x, y) der Ellipse zu ihren Brennpunkten (Brennpunktradiusvektoren) werden durch die Formeln bestimmt:

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.

Wenn ein< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.

Wenn a = b, dann ist die Ellipse ein Kreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung des Radius ist a.

Hyperbelder Ort der Punkte wird genannt, dessen Abstandsdifferenz von zwei gegebenen Punkten F 1 und F 2 (Fokus) im Betrag gleich der gegebenen Zahl 2a ist.

Kanonische Gleichung einer Hyperbel

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Die durch Gleichung (2.11) gegebene Hyperbel ist bezüglich der Koordinatenachsen symmetrisch. Sie schneidet die Ox-Achse an den Punkten A (a,0) und A (-a,0) – den Scheitelpunkten der Hyperbel – und schneidet die Oy-Achse nicht. Parameter a namens echte Halbachse, b -imaginäre Achse. Der Parameter c= ist der Abstand vom Fokus zum Ursprung. Verhältnis c/a = e >1 wird aufgerufen Exzentrizität Hyperbel. Geraden, deren Gleichungen y =± b/a x heißen Asymptoten Hyperbel. Die Abstände vom Punkt M(x,y) der Hyperbel zu ihren Brennpunkten (Brennpunktradiusvektoren) werden durch die Formeln bestimmt:

r 1 = ê e x - ein ê , r 2 = ê e x + ein ê .

Eine Hyperbel mit a = b heißt gleichseitig, seine Gleichung x 2 - y 2 \u003d a 2 und die Asymptotengleichung y \u003d± x. Hyperbeln x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 und
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 genannt werden konjugiert.

Parabelist der Ort von Punkten, die von einem gegebenen Punkt (Fokus) und einer gegebenen Linie (Leitlinie) gleich weit entfernt sind.

Die kanonische Gleichung einer Parabel hat zwei Formen:

1) y 2 \u003d 2px - die Parabel ist symmetrisch zur Ochsenachse.

2) x 2 \u003d 2py - die Parabel ist symmetrisch zur Oy-Achse.

In beiden Fällen ist p > 0 und der Scheitelpunkt der Parabel, also der auf der Symmetrieachse liegende Punkt, befindet sich im Ursprung.

Eine Parabel, deren Gleichung y 2 = 2ðx den Brennpunkt F(ð/2,0) und die Leitlinie x = - ð/2, den Fokusradiusvektor des Punktes M(x, y) darauf hat r = x+ ð/2.

Die Parabel, deren Gleichung x 2 = 2py den Fokus F(0, p/2) und die Leitlinie y = – p/2 hat; der Fokusradiusvektor des Punktes M(x, y) der Parabel ist r = y + p/2.

Die Gleichung F(x, y) = 0 definiert eine Linie, die die Ebene in zwei oder mehr Teile teilt. In einem dieser Teile ist die Ungleichung F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Mit anderen Worten, die Linie
F(x, y)=0 trennt den Teil der Ebene mit F(x, y)>0 von dem Teil der Ebene mit F(x, y)<0.

Die Gerade, deren Gleichung Ax+By+C = 0 ist, teilt die Ebene in zwei Halbebenen. In der Praxis, um herauszufinden, in welcher Halbebene wir Ax + By + C haben<0, а в какой Ax+By+C>0, wenden Sie die Breakpoint-Methode an. Nehmen Sie dazu einen Kontrollpunkt (der natürlich nicht auf einer geraden Linie liegt, dessen Gleichung Ax + By + C = 0 ist) und prüfen Sie, welches Vorzeichen der Ausdruck Ax + By + C an dieser Stelle hat. Dasselbe Vorzeichen hat den angegebenen Ausdruck in der gesamten Halbebene, wo der Kontrollpunkt liegt. In der zweiten Halbebene hat Ax+By+C das entgegengesetzte Vorzeichen.

Nichtlineare Ungleichungen mit zwei Unbekannten werden auf die gleiche Weise gelöst.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Ungleichung x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 lösen. Sie kann umgeschrieben werden als (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Die Gleichung (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definiert einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Punkt C(2,-3) und einem Radius von 5. Der Kreis teilt die Ebene in zwei Teile - innen und außen. Um herauszufinden, in welchen von ihnen diese Ungleichheit stattfindet, nehmen wir einen Kontrollpunkt im inneren Bereich, beispielsweise das Zentrum C(2,-3) unseres Kreises. Wenn wir die Koordinaten von Punkt C in die linke Seite der Ungleichung einsetzen, erhalten wir eine negative Zahl -25. Daher an allen innerhalb des Kreises liegenden Punkten die Ungleichheit
x2-4x+y2+6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Beispiel 1.5.Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt A(3,1) verlaufen und in einem Winkel von 45° zur Geraden 2x+3y-1 = 0 geneigt sind.

Entscheidung.Wir suchen in der Form y=kx+b. Da die Gerade durch den Punkt A verläuft, erfüllen ihre Koordinaten die Geradengleichung, d.h. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Winkel zwischen Linien
y= k 1 x+b 1 und y= kx+b wird durch die Formel tg definiert j = . Da die Steigung k 1 der ursprünglichen Linie 2x+3y – 1 = 0 – 2/3 ist, und der Winkel j = 45 o , dann haben wir eine Gleichung zur Bestimmung von k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 oder (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Wir haben zwei Werte von k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Wenn wir die entsprechenden Werte von b nach der Formel b=1-3k finden, erhalten wir zwei gewünschte Linien, deren Gleichungen lauten: x - 5y + 2 = 0 und
5x + y - 16 = 0.

Beispiel 1.6. Bei welchem ​​Wert des Parameters t Linien, deren Gleichungen 3tx-8y+1 = 0 und (1+t)x-2ty = 0 parallel sind?

Entscheidung.Durch allgemeine Gleichungen gegebene Geraden sind parallel, wenn die Koeffizienten at x und j proportional, d.h. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Lösen wir die resultierende Gleichung, finden wir t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.

Beispiel 1.7. Finden Sie die Gleichung der gemeinsamen Sehne zweier Kreise:
x 2 + y 2 = 10 und x 2 + y 2 – 10 x – 10 y + 30 = 0.

Entscheidung.Finden Sie die Schnittpunkte der Kreise, dazu lösen wir das Gleichungssystem:

Beim Lösen der ersten Gleichung finden wir die Werte x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. Aus der zweiten Gleichung - die entsprechenden Werte j: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Jetzt erhalten wir die Gleichung eines gemeinsamen Akkords, wenn wir zwei Punkte A (3,1) und B (1,3) kennen, die zu dieser Linie gehören: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) oder y+ x - 4 = 0.

Beispiel 1.8. Wie befinden sich die Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die Bedingungen (x-3) 2 + (y-3) 2 erfüllen< 8, x >ja?

Entscheidung.Die erste Ungleichung des Systems definiert das Innere des Kreises ohne den Rand, d.h. Kreis mit Mittelpunkt im Punkt (3,3) und Radius . Die zweite Ungleichung definiert eine Halbebene, die durch eine Gerade definiert ist, deren Gleichung x = y ist, und da die Ungleichung streng ist, gehören die Punkte der Geraden selbst nicht zur Halbebene und alle Punkte unterhalb dieser Geraden Linie gehören zur Halbebene. Da wir nach Punkten suchen, die beide Ungleichungen erfüllen, ist die gesuchte Fläche das Innere des Halbkreises.

Beispiel 1.9.Berechnen Sie die Länge der Seite eines Quadrats, das in eine Ellipse eingeschrieben ist, deren Gleichung x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 ist.

Entscheidung.Lassen M(s,s)- der Eckpunkt des Quadrats, der im ersten Viertel liegt. Dann ist die Seite des Quadrats 2 mit. weil Punkt M zur Ellipse gehört, erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung der Ellipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, woher
c = ab/ ; also ist die Seite des Quadrats 2ab/ .

Beispiel 1.10.Die Kenntnis der Asymptotengleichung der Hyperbel y =± 0,5 x und einem ihrer Punkte M (12, 3), stellen Sie die Gleichung einer Hyperbel auf.

Entscheidung.Wir schreiben die kanonische Gleichung der Hyperbel: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Die Asymptoten der Hyperbel sind durch die Gleichungen y = gegeben± 0,5 x, also b/a = 1/2, also a=2b. Soweit M- Punkt der Hyperbel, dann erfüllen ihre Koordinaten die Gleichung der Hyperbel, d.h. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Da a = 2b ist, finden wir b: b 2 = 9Þ b=3 und a=6. Dann ist die Gleichung der Hyperbel x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Beispiel 1.11.Berechnen Sie die Seitenlänge eines regelmäßigen Dreiecks ABC, das einer Parabel mit Parameter einbeschrieben ist R, unter der Annahme, dass Punkt A mit dem Scheitelpunkt der Parabel zusammenfällt.

Entscheidung.Die kanonische Gleichung einer Parabel mit einem Parameter R hat die Form y 2 = 2ðx, ihr Scheitel fällt mit dem Ursprung zusammen und die Parabel ist symmetrisch zur x-Achse. Da die Gerade AB mit der Achse Ox einen Winkel von 30° bildet, lautet die Geradengleichung: y = x. viele Diagramme

Daher können wir die Koordinaten von Punkt B finden, indem wir das Gleichungssystem y 2 =2px, y = x lösen, womit x = 6p, y = 2p. Daher beträgt der Abstand zwischen den Punkten A(0,0) und B(6p,2p) 4p.