Satz. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist gleich zwei rechten Winkeln.

Nehmen Sie ein Dreieck ABC (Abb. 208). Lassen Sie uns seine Innenwinkel mit 1, 2 und 3 bezeichnen. Lassen Sie uns das beweisen

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Ziehen wir durch eine Ecke des Dreiecks, zum Beispiel B, die Linie MN parallel zu AC.

Am Scheitelpunkt B haben wir drei Winkel: ∠4, ∠2 und ∠5. Ihre Summe ist ein gerader Winkel, daher ist sie gleich 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Aber ∠4 \u003d ∠1 sind interne kreuzende Winkel mit parallelen Linien MN und AC und einer Sekante AB.

∠5 = ∠3 sind kreuzende Innenwinkel mit Parallelen MN und AC und Sekante BC.

Daher können ∠4 und ∠5 durch ihre Gleichen ∠1 und ∠3 ersetzt werden.

Daher ist ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Der Satz ist bewiesen.

2. Eigenschaft des Außenwinkels eines Dreiecks.

Satz. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel.

Tatsächlich ist im Dreieck ABC (Abb. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, aber auch ∠BCD, der Außenwinkel dieses Dreiecks, das nicht an ∠1 und ∠2 angrenzt, ist ebenfalls gleich 180° - ∠3 .

Auf diese Weise:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Daher ist ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Die abgeleitete Eigenschaft des Außenwinkels eines Dreiecks verfeinert den Inhalt des zuvor bewiesenen Satzes über den Außenwinkel eines Dreiecks, in dem nur gesagt wurde, dass der Außenwinkel eines Dreiecks größer ist als jeder Innenwinkel des Dreiecks, das heißt nicht daneben; jetzt ist festgestellt, dass der Außenwinkel gleich der Summe der beiden nicht benachbarten Innenwinkel ist.

3. Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Winkel von 30°.

Satz. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gegenüber einem Winkel von 30° ist gleich der halben Hypotenuse.

Der Winkel B sei gleich 30° in einem rechtwinkligen Dreieck ACB (Abb. 210). Dann beträgt sein anderer spitzer Winkel 60°.

Beweisen wir, dass das Bein AC gleich der Hälfte der Hypotenuse AB ist. Wir setzen das Bein AC über den Scheitel des rechten Winkels C hinaus fort und legen das Segment CM gleich dem Segment AC beiseite. Wir verbinden Punkt M mit Punkt B. Das resultierende Dreieck BCM ist gleich dem Dreieck DIA. Wir sehen, dass jeder Winkel des Dreiecks AVM gleich 60° ist, also ist dieses Dreieck gleichseitig.

Der AC-Zweig ist gleich der Hälfte von AM, und da AM gleich AB ist, ist der AC-Zweig gleich der Hälfte der Hypotenuse AB.

1) Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.

Nachweisen

Sei ABC" ein beliebiges Dreieck. Zeichnen wir eine Linie durch den Scheitelpunkt B parallel zur Linie AC (eine solche Linie wird Euklidische Linie genannt). Markieren Sie darauf den Punkt D, so dass die Punkte A und D auf gegenüberliegenden Seiten liegen der Linie BC. Die Winkel DBC und ACB sind gleich wie die inneren liegenden Winkel, gebildet durch die Sekante BC mit den parallelen Linien AC und BD. Daher ist die Summe der Winkel des Dreiecks an den Ecken B und C gleich dem Winkel ABD Die Summe aller drei Winkel des Dreiecks ist gleich der Summe der Winkel ABD und BAC Da diese Winkel bei parallelen AC und BD bei der Sekante AB innen einseitig sind, ist ihre Summe gleich 180° Der Satz lautet bewiesen.
2) Der Außenwinkel eines Dreiecks an einer bestimmten Ecke ist der Winkel, der an den Winkel des Dreiecks an dieser Ecke angrenzt.

Satz: Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Dreieckswinkel

Nachweisen. Sei ABC das gegebene Dreieck. Nach dem Satz über die Winkelsumme im Dreieck
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180º.
dies impliziert
∠ ABC + ∠ CAB = 180º - ∠ BCA = ∠ BCD
Der Satz ist bewiesen.

Aus dem Satz folgt:
Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder Winkel des Dreiecks, der nicht daran angrenzt.
3) Die Summe der Winkel eines Dreiecks = 180 Grad. Wenn einer der Winkel eine gerade Linie (90 Grad) ist, haben die anderen beiden auch 90, was bedeutet, dass jeder von ihnen kleiner als 90 ist, dh sie sind scharf. wenn einer der Winkel stumpf ist, dann sind die anderen zwei kleiner als 90, das heißt, sie sind eindeutig scharf.
4) stumpf - größer als 90 Grad
akut - weniger als 90 Grad
5) a. Ein Dreieck, bei dem einer der Winkel 90 Grad beträgt.
b. Beine und Hypotenuse
6) 6°. In jedem Dreieck liegt der größeren Seite ein größerer Winkel gegenüber und umgekehrt: Die größere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber. Jedes Segment hat genau einen Mittelpunkt.
7) Nach dem Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine, was bedeutet, dass die Hypotenuse größer ist als jedes der Beine
8) --- wie 7
9) Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. und wenn jede Seite des Dreiecks größer wäre als die Summe der anderen beiden Seiten, dann wäre die Summe der Winkel größer als 180, was unmöglich ist. daher - jede Seite des Dreiecks ist kleiner als die Summe der anderen beiden Seiten.
10) Die Summe der Winkel eines beliebigen Dreiecks beträgt 180 Grad.
Da dieses Dreieck rechtwinklig ist, ist einer seiner Winkel richtig, dh er ist gleich 90 Grad.
Daher beträgt die Summe der anderen beiden spitzen Winkel 180 – 90 = 90 Grad.
11) 1. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC, in dem der Winkel A ein rechter Winkel ist, der Winkel B \u003d 30 Grad und der Winkel C \u003d 60. Wenden wir das Dreieck ABD gleich ihm auf das Dreieck ABC an. Wir erhalten Dreiecke BCD, in denen Winkel B = Winkel D = 60 Grad ist, also DC = BC. Aber durch den Bau von AC 1/2 BC, was bewiesen werden sollte.2. Wenn der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte der Hypotenuse ist, dann beträgt der diesem Schenkel gegenüberliegende Winkel 30 Grad. Wenden wir auf das Dreieck ABC sein gleiches Dreieck ABD an. Holen Sie sich ein gleichseitiges Dreieck BCD. Die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind einander gleich (da gleiche Winkel an gleichen Seiten liegen), also jeder von ihnen = 60 Grad. Aber der Winkel DBC = 2 Winkel ABC, also der Winkel ABC = 30 Grad, was zu beweisen war.

>>Geometrie: Die Summe der Winkel eines Dreiecks. Komplette Lektionen

THEMA DER UNTERRICHTSSTUNDE: Die Summe der Winkel eines Dreiecks.

Unterrichtsziele:

• Vertiefung und Überprüfung der Kenntnisse der Studierenden zum Thema: „Winkelsumme eines Dreiecks“;
• Beweis der Eigenschaften der Winkel eines Dreiecks;
• Die Verwendung dieser Eigenschaft bei der Lösung der einfachsten Probleme;
• Die Verwendung von historischem Material für die Entwicklung der kognitiven Aktivität von Schülern;
• Vermittlung der Fähigkeit zur Genauigkeit bei der Erstellung von Zeichnungen.

Unterrichtsziele:

• Überprüfen Sie die Fähigkeit der Schüler, Probleme zu lösen.

Unterrichtsplan:

1. Dreieck;
2. Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks;
3. Aufgabenbeispiel.

Dreieck.

Datei:O.gif Dreieck- das einfachste Polygon mit 3 Ecken (Ecken) und 3 Seiten; ein Teil einer Ebene, die von drei Punkten und drei Liniensegmenten begrenzt wird, die diese Punkte paarweise verbinden.
Drei Punkte im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, entsprechen genau einer Ebene.
Jedes Polygon kann in Dreiecke unterteilt werden - dieser Vorgang wird aufgerufen Triangulation.
Es gibt einen Abschnitt der Mathematik, der ausschließlich dem Studium der Muster von Dreiecken gewidmet ist - Trigonometrie.

Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks.

File:T.gif Der Dreieckswinkelsummensatz ist ein klassischer Satz der euklidischen Geometrie, der besagt, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt.

Nachweisen" :

Sei Δ ABC gegeben. Lassen Sie uns eine Linie parallel zu (AC) durch den Scheitelpunkt B ziehen und den Punkt D darauf markieren, so dass die Punkte A und D auf gegenüberliegenden Seiten der Linie BC liegen. Dann sind der Winkel (DBC) und der Winkel (ACB) gleich als innere Kreuze, die auf den parallelen Linien BD und AC und der Sekante (BC) liegen. Dann ist die Summe der Winkel des Dreiecks an den Eckpunkten B und C gleich dem Winkel (ABD). Aber der Winkel (ABD) und der Winkel (BAC) an der Spitze A des Dreiecks ABC sind einseitig innenliegend mit parallelen Linien BD und AC und einer Sekante (AB), und ihre Summe ist 180°. Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt also 180°. Der Satz ist bewiesen.

Konsequenzen.

Der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden Winkel des Dreiecks, die ihm nicht benachbart sind.

Nachweisen:

Sei Δ ABC gegeben. Der Punkt D liegt auf der Geraden AC, so dass A zwischen C und D liegt. Dann liegt BAD außerhalb des Winkels des Dreiecks an der Spitze A und A + BAD = 180°. Aber A + B + C = 180°, also B + C = 180° – A. Also BAD = B + C. Die Folgerung ist bewiesen.

Konsequenzen.

Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder Winkel des Dreiecks, der nicht daran angrenzt.

Aufgabe.

Der Außenwinkel eines Dreiecks ist der Winkel, der an einen beliebigen Winkel dieses Dreiecks angrenzt. Beweisen Sie, dass ein Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe zweier nicht benachbarter Winkel des Dreiecks ist.
(Abb.1)

Entscheidung:

Sei Δ ABC ∠DAC extern (Abb.1). Dann ist ∠DAC=180°-∠BAC (nach der Eigenschaft benachbarter Winkel), nach dem Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks ∠B+∠C =180°-∠BAC. Aus diesen Gleichungen erhalten wir ∠DAC=∠B+∠C

Interessante Tatsache:

Die Summe der Winkel eines Dreiecks :

In der Geometrie von Lobatschewski ist die Summe der Winkel eines Dreiecks immer kleiner als 180. In der Geometrie von Euklid ist sie immer gleich 180. In der Riemannschen Geometrie ist die Summe der Winkel eines Dreiecks immer größer als 180.

Aus der Geschichte der Mathematik:

Euklid (III. Jahrhundert v. Chr.) Gibt in dem Werk „Anfänge“ die folgende Definition an: „Parallel sind gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und sich auf beiden Seiten nicht treffen, da sie sich in beide Richtungen auf unbestimmte Zeit erstrecken“ .
Posidonius (1. Jahrhundert v. Chr.) "Zwei gerade Linien, die in derselben Ebene liegen und den gleichen Abstand voneinander haben"
Der antike griechische Wissenschaftler Pappus (III. Jahrhundert v. Chr.) Führte das Symbol paralleler Linien ein - Zeichen =. Später verwendete der englische Ökonom Ricardo (1720-1823) dieses Symbol als Gleichheitszeichen.
Erst im 18. Jahrhundert begannen sie, das Symbol paralleler Linien zu verwenden - das Zeichen ||.
Die Live-Verbindung zwischen den Generationen wird keinen Moment unterbrochen, jeden Tag lernen wir die gesammelten Erfahrungen unserer Vorfahren kennen. Die alten Griechen zogen auf der Grundlage von Beobachtungen und praktischen Erfahrungen Schlussfolgerungen, äußerten Hypothesen und versuchten dann bei Treffen von Wissenschaftlern - Symposien (wörtlich "Fest") - diese Hypothesen zu untermauern und zu beweisen. Damals wurde die Aussage gemacht: "Wahrheit wird in einem Streit geboren."

Fragen:

1. Was ist ein Dreieck?
2. Was besagt der Dreieckssummensatz?
3. Wie groß ist der Außenwinkel des Dreiecks?

Die Tatsache, dass „die Summe der Winkel jedes Dreiecks in der euklidischen Geometrie 180 Grad beträgt“, kann man sich leicht merken. Wenn das Erinnern nicht einfach ist, können Sie ein paar Experimente durchführen, um sich besser zu erinnern.

Experiment eins

Zeichnen Sie einige beliebige Dreiecke auf ein Blatt Papier, zum Beispiel:

• mit beliebigen Seiten;
• gleichschenkligen Dreiecks;
• rechtwinkliges Dreieck.

Achten Sie darauf, die Linie zu verwenden. Jetzt müssen Sie die resultierenden Dreiecke genau entlang der gezeichneten Linien ausschneiden. Male die Ecken jedes Dreiecks mit Bunt- oder Filzstift aus. Zum Beispiel sind im ersten Dreieck alle Ecken rot, im zweiten blau, im dritten grün. http://bit.ly/2gY4Yfz

Schneiden Sie vom ersten Dreieck alle 3 Ecken ab und verbinden Sie sie an einem Punkt mit den Eckpunkten, sodass die nächsten Seiten jeder Ecke verbunden sind. Wie Sie sehen können, bilden die drei Winkel des Dreiecks einen geraden Winkel, der 180 Grad entspricht. Machen Sie dasselbe mit den anderen beiden Dreiecken - das Ergebnis wird dasselbe sein. http://bit.ly/2zurCrd

Versuch zwei

Wir zeichnen ein beliebiges Dreieck ABC. Wir wählen einen beliebigen Scheitelpunkt (z. B. C) und ziehen eine gerade Linie DE durch ihn hindurch, parallel zur gegenüberliegenden Seite (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Wir erhalten Folgendes:

1. Die Winkel BAC und ACD sind gleich, da sie sich intern in Bezug auf AC kreuzen;
2. Die Winkel ABC und BCE sind gleich, da sie sich in Bezug auf BC kreuzen;
3. Wir sehen, dass die Winkel 1, 2 und 3 - die Winkel des Dreiecks, die an einem Punkt verbunden sind, einen entwickelten Winkel DCE bildeten, der 180 Grad entspricht.

Der Dreieckssummensatz besagt, dass die Summe aller Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks 180° beträgt.

Die Innenwinkel des Dreiecks seien a, b und c, dann gilt:

a + b + c = 180°.

Aus dieser Theorie können wir schließen, dass die Summe aller Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks 360 ° beträgt. Da der Außenwinkel an den Innenwinkel angrenzt, beträgt ihre Summe 180°. Die Innenwinkel eines Dreiecks seien a, b und c, dann sind die Außenwinkel an diesen Winkeln 180° - a, 180° - b und 180° - c.

Finden Sie die Summe der Außenwinkel des Dreiecks:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Antwort: Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°; Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360°.

„Sag es mir und ich werde es vergessen
Zeig es mir und ich werde mich erinnern
Beteilige mich und ich werde lernen“
Östliches Sprichwort

Zweck: Beweisen Sie den Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks, üben Sie das Lösen von Problemen mit diesem Satz, entwickeln Sie die kognitive Aktivität der Schüler mit zusätzlichem Material aus verschiedenen Quellen, entwickeln Sie die Fähigkeit, anderen zuzuhören.

Ausrüstung: Winkelmesser, Lineal, Dreiecksmuster, Stimmungsstreifen.

WÄHREND DER KLASSEN

1. Organisatorischer Moment.

Markieren Sie auf dem Stimmungsband Ihren Zustand zu Beginn der Stunde.

2. Wiederholung.

Wiederholen Sie die Konzepte, die beim Beweis des Satzes verwendet werden: die Eigenschaften von Winkeln mit parallelen Linien, die Definition eines geraden Winkels, das Gradmaß eines geraden Winkels.

3. Neues Material.

3.1. Praktische Arbeit.

Jeder Schüler hat drei Modelle eines Dreiecks: spitz, rechteckig und stumpf. Es wird vorgeschlagen, die Winkel eines Dreiecks zu messen und ihre Summe zu finden. Analysieren Sie das Ergebnis. Sie können die Werte 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 Grad erhalten. Berechnen Sie das arithmetische Mittel (= 180 °) Es wird vorgeschlagen, sich daran zu erinnern, wann die Winkel ein Gradmaß von 180 Grad haben. Die Schüler erinnern sich, dass dies ein gerader Winkel und die Summe einseitiger Winkel ist.

Versuchen wir, die Summe der Winkel eines Dreiecks mit Origami zu berechnen.

Geschichtlicher Bezug

Origami (jap. wörtlich: „gefaltetes Papier“) ist die uralte Kunst, Papierfiguren zu falten. Die Kunst des Origami hat ihre Wurzeln im alten China, wo Papier entdeckt wurde.

3.2. Beweis des Satzes aus dem Lehrbuch von L. S. Atanasyan.

Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks.

Lassen Sie uns einen der wichtigsten Sätze der Geometrie beweisen - den Satz über die Summe der Winkel eines Dreiecks.

Satz. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.

Nachweisen. Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck ABC und beweisen Sie, dass A + B + C = 180°.

Ziehen wir eine Gerade a durch den Scheitelpunkt B, parallel zur Seite AC. Die Winkel 1 und 4 sind kreuzweise liegende Winkel am Schnittpunkt der Parallelen a und AC durch die Sekante AB, und die Winkel 3 und 5 sind kreuzweise liegende Winkel am Schnittpunkt derselben Parallelen durch die Sekante BC. Winkel 4 ist also gleich Winkel 1, Winkel 5 ist gleich Winkel 3.

Offensichtlich ist die Summe der Winkel 4, 2 und 5 gleich dem Winkel mit Scheitelpunkt B, also Winkel 4+Winkel 2+Winkel 5=180°. Von hier aus erhalten wir unter Berücksichtigung der vorherigen Gleichungen: Winkel 1 + Winkel 2 + Winkel 3 = 180 ° oder A + B + C = 180 °. Der Satz ist bewiesen.

3.3. Beweis des Satzes aus dem Lehrbuch von A. V. Pogorelov

Beweisen Sie: A + B + C = 180°

Nachweisen:

1. Ziehe durch den Scheitelpunkt B die Linie BD // AC

2. DBC=ACB, querliegend bei AC//BD und Sekante BC.

3.ABD=ACB+CBD

Daher ist A + B + C = ABD + BAC

4. ABD und BAC sind einseitig mit BD // AC und Sekante AB, also ist ihre Summe gleich 180 °, d.h. À+B + C=180 ° , was zu beweisen war.

3. 4. Beweis des Satzes aus dem Lehrbuch Kiselev A.N., Rybkina N.A.

Gegeben: ABC

Beweisen: A+B+C=180°

Nachweisen:

1. Wir setzen die Seite AC fort. Wir führen CE//AB durch

2. A \u003d ESD, entsprechend AB / / CE und AD - Sekante

3. B \u003d ALLE, als ob sie kreuzweise mit AB / / CE und BC - Sekante liegen würden.

4. ESD + ALL + C \u003d 180 °, also A + B + C \u003d 180 °, was bewiesen werden musste.

3.5. Folgerungen 1. In jedem Dreieck sind alle Winkel spitz, oder zwei Winkel sind spitz und der dritte ist stumpf oder rechtwinklig.

Folge 2.

Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden anderen Winkel des Dreiecks, die ihm nicht benachbart sind.

3.6. Der Satz erlaubt es uns, Dreiecke nicht nur nach Seiten, sondern auch nach Winkeln zu klassifizieren.

Dreiecksansicht	Gleichschenklig	Gleichseitig	Vielseitig
rechteckig
stumpf
spitzwinklig

4. Befestigung.

4.1. Problemlösung nach vorgefertigten Zeichnungen.

Finden Sie unbekannte Winkel eines Dreiecks.

4.2. Wissenscheck.

1. Beantworten Sie am Ende unserer Lektion die Fragen:

Gibt es Dreiecke mit Ecken:

a) 30, 60, 90 Grad,

b) 46, 4, 140 Grad,

c) 56, 46, 72 Grad?

2. Kann es in einem Dreieck geben:

a) zwei stumpfe Winkel

b) stumpfe und rechte Winkel,

c) zwei rechte Winkel?

3. Bestimmen Sie die Art des Dreiecks, wenn ein Winkel 45 Grad und der andere 90 Grad beträgt.

4. In welchem ​​Dreieck ist die Winkelsumme größer: im spitzen, stumpfen oder rechtwinkligen Dreieck?

5. Ist es möglich, die Winkel eines beliebigen Dreiecks zu messen?

Das ist eine Scherzfrage, weil Da ist das Bermuda-Dreieck im Atlantischen Ozean zwischen Bermuda, dem Bundesstaat Puerto Rico und der Halbinsel Florida, für das es unmöglich ist, Winkel zu messen. (Anhang 1)

5. Das Ergebnis der Lektion.

Markieren Sie auf dem Stimmungsband Ihren Zustand am Ende der Stunde.

Hausaufgaben.

S. 30–31; Nr. 223 a, b; Nr. 227 a; Arbeitsheft Nr. 116, 118.