Lösungsmethoden kombinatorische Probleme
Liste der möglichen Optionen
Einfache Probleme werden durch eine gewöhnliche vollständige Aufzählung möglicher Optionen ohne Kompilieren gelöst verschiedene Tische und Schemata.
Aufgabe 1.
Welche zweistelligen Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 bilden?
Antworten: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Aufgabe 2.
Ivanov, Gromov und Orlov nehmen am letzten 100-Meter-Lauf teil. Name Möglichkeiten Verteilung Preise.
Antworten:
Option 1: 1) Iwanow, 2) Gromow, 3) Orlow.
Option 2: 1) Iwanow, 2) Orlow, 3) Gromow.
Option 3: 1) Orlow, 2) Iwanow, 3) Gromow.
Option 4: 1) Orlow, 2) Gromow, 3) Iwanow.
Option 5: 1) Gromow, 2) Orlow, 3) Iwanow.
Option 6: 1) Gromow, 2) Iwanow, 3) Orlow.
Aufgabe 3.
Petya, Kolya, Vitya, Oleg, Tanya, Olya, Natasha, Sveta haben sich für den Gesellschaftstanzclub angemeldet. Welche Tanzpaare aus einem Mädchen und einem Jungen können sich bilden?
Antworten:
1) Tanja – Petja, 2) Tanja – Kolja, 3) Tanja – Witja, 4) Tanja – Oleg, 5) Olja – Petja, 6) Olja – Kolja, 7) Olja – Witja, 8) Olja – Oleg, 9) Natascha - Petja, 10) Natascha - Kolja, 11) Natascha - Witja, 12) Natascha - Oleg, 13) Sveta - Petja, 14) Sveta - Kolja, 15) Sveta - Witja, 16) Sveta - Oleg.
Baum der möglichen Optionen
Eine Vielzahl kombinatorischer Probleme wird durch die Erstellung spezieller Schemata gelöst. Äußerlich ähnelt ein solches Schema einem Baum, daher der Name der Methode - Baum der möglichen Optionen.
Aufgabe 4.
Welche dreistelligen Zahlen lassen sich aus den Zahlen 0, 2, 4 bilden?
Lösung.Lassen Sie uns einen Baum möglicher Optionen erstellen, da 0 nicht die erste Ziffer einer Zahl sein kann.
Antworten: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
Aufgabe 5.
Schultouristen entschieden sich für einen Ausflug zum Bergsee. Die erste Etappe der Reise kann mit Bahn oder Bus bewältigt werden. Die zweite Etappe erfolgt mit Kajaks, Fahrrädern oder zu Fuß. Und die dritte Etappe geht zu Fuß oder mit der Seilbahn. Welche Reisemöglichkeiten haben Schultouristen?
Lösung.Lassen Sie uns einen Baum möglicher Optionen erstellen und die Reise mit dem Zug P, mit dem Bus - A, mit dem Kajak - B, mit dem Fahrrad - C, zu Fuß - X, mit der Seilbahn - K bezeichnen.
Antworten:Die Abbildung listet alle 12 möglichen Reisemöglichkeiten für Schultouristen auf.
Aufgabe 6.
Notieren Sie alle möglichen Optionen für den Zeitplan von fünf Unterrichtsstunden pro Tag aus den Fächern: Mathematik, Russisch, Geschichte, englische Sprache, Sport und Mathematik sollten die zweite Lektion sein.
Lösung.Lassen Sie uns einen Baum möglicher Optionen erstellen, der M - Mathematik, R - Russisch, I - Geschichte, A - Englisch, F - Sportunterricht bezeichnet.
Antworten:Insgesamt gibt es 24 mögliche Optionen:
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R |
R |
R |
R |
R |
R |
Und |
Und |
Und |
Und |
Und |
Und |
ABER |
ABER |
ABER |
ABER |
ABER |
ABER |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
Aufgabe 7.
Sasha geht in Hosen oder Jeans zur Schule und trägt dafür graue, blaue, grüne oder karierte Hemden, austauschbare Schuhe nimmt Schuhe oder Turnschuhe.
a) Wie viele Tage wird Sasha in der Lage sein, auf eine neue Art und Weise auszusehen?
b) Wie viele Tage wird er in Turnschuhen laufen?
c) Wie viele Tage wird er ein kariertes Hemd und Jeans tragen?
Lösung.Lassen Sie uns einen Baum möglicher Optionen erstellen, der B - Hose, D - Jeans, C - graues Hemd, D - blaues Hemd, Z - grünes Hemd, P - kariertes Hemd, T - Schuhe, K - Turnschuhe bezeichnet.
Antworten:a) 16 Tage; b) 8 Tage; c) 2 Tage.
Tabellierung
Sie können kombinatorische Probleme mithilfe von Tabellen lösen. Sie stellen, wie der Baum der möglichen Optionen, die Lösung solcher Probleme visuell dar.
Aufgabe 8.
Wie viele ungerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 bilden?
Lösung.Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen: Die erste Spalte links enthält die ersten Ziffern der gesuchten Zahlen, die erste Zeile oben enthält die zweiten Ziffern.
Antworten: 28.
Aufgabe 9.
Masha, Olya, Vera, Ira, Andrey, Misha und Igor bereiteten sich darauf vor, Moderatoren zu werden Neujahr. Nennen Sie die möglichen Optionen, wenn nur ein Mädchen und ein Junge die Führung übernehmen können.
Lösung.Machen wir eine Tabelle: Links in der ersten Spalte stehen die Namen der Mädchen, oben in der ersten Reihe die Namen der Jungen.
Antworten:Alle möglichen Optionen sind in den Zeilen und Spalten der Tabelle aufgelistet.
Multiplikationsregel
Diese Methode zur Lösung kombinatorischer Probleme wird verwendet, wenn nicht alle möglichen Optionen aufgelistet werden müssen, aber die Frage beantwortet werden muss, wie viele davon existieren.
Aufgabe 10.
BEI Fußballturnier mehrere Teams sind beteiligt. Es stellte sich heraus, dass sie alle Weiß, Rot, Blau und Weiß für Shorts und T-Shirts verwendeten. grüne Farben und alle möglichen Optionen wurden vorgestellt. Wie viele Mannschaften nahmen am Turnier teil?
Lösung.
Slips können weiß, rot, blau oder grün sein, d.h. es gibt 4 möglichkeiten. Jede dieser Optionen hat 4 Jersey-Farboptionen.
4 x 4 = 16.
Antworten: 16 Mannschaften.
Aufgabe 11.
6 Schüler bestehen eine Prüfung in Mathematik. Auf wie viele Arten können sie auf die Liste gesetzt werden?
Lösung.
Der erste in der Liste kann einer der 6 Schüler sein,
der zweite in der Liste kann einer der verbleibenden 5 Schüler sein,
3. - einer der verbleibenden 4 Schüler,
viertens - einer der verbleibenden 3 Schüler,
fünfter - einer der verbleibenden 2 Schüler,
Sechster - der letzte 1 Schüler.
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
Antworten: 720 Wege.
Aufgabe 12.
Wie viele gerade zweistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 0, 2, 3, 4, 6, 7 bilden?
Lösung.
Erster zweistellig es kann 5 Ziffern geben (die Zahl 0 kann nicht die erste in einer Zahl sein), die zweite in einer zweistelligen Zahl kann 4 Ziffern haben (0, 2, 4, 6, da die Zahl gerade sein muss).
5 x 4 = 20.
Antworten: 20 Zahlen.
Aufgaben zur Lösung der Konsolidierung von neuem Material
Aufgabe 1. Auf wie viele Arten können die 5 Teilnehmer im Finale
Laufen auf 5 Laufbändern?
Lösung: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 Möglichkeiten.
Aufgabe Nummer 2. Wie dreistellige Zahlen kann aus den Zahlen 1,2,3 bestehen, falls vorhanden
Kommt die Ziffer nur einmal im Bild der Zahl vor?
Lösung: Die Anzahl aller Permutationen von drei Elementen ist P 3 =3!, wobei 3!=1 * 2 * 3=6
Das bedeutet, dass es sechs dreistellige Zahlen gibt, die sich aus den Zahlen 1,2,3 zusammensetzen.
Aufgabe Nummer 3. Auf wie viele Arten können vier Jungen vier von sechs einladen?
Mädchen zum Tanzen?
Lösung: Zwei Jungen können nicht gleichzeitig dasselbe Mädchen einladen. Und
Optionen, bei denen dieselben Mädchen mit verschiedenen Jungen tanzen,
anders betrachtet, also:
Aufgabe Nr. 4. Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, vorausgesetzt, dass jede Ziffer nur in der Nummerneingabe verwendet wird
einmal?
Lösung: In der Bedingung der Aufgabe wird vorgeschlagen, die Zahl der möglichen Kombinationen aus zu zählen
drei Ziffern aus den vorgeschlagenen neun Ziffern, mit der Reihenfolge
die Anordnung der Zahlen in der Kombination ist wichtig (z. B. die Zahlen 132)
und 231 verschiedene). Mit anderen Worten, Sie müssen die Anzahl der Platzierungen aus neun ermitteln
drei Elemente.
Nach der Formel für die Anzahl der Platzierungen finden wir:
Antwort: 504 dreistellige Zahlen.
Aufgabe Nr. 5 Auf wie viele Arten kann aus 7 Personen ein 3er-Komitee gewählt werden?
Lösung: Um alle möglichen Provisionen zu berücksichtigen, müssen Sie alle berücksichtigen
mögliche 3-elementige Teilmengen der Menge bestehend aus 7
Mensch. Die gewünschte Anzahl von Wegen ist
Aufgabe Nummer 6. 12 Mannschaften nehmen am Wettbewerb teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es
Preisverteilung (1, 2, 3) Plätze?
Lösung: A 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 Möglichkeiten der Gewinnverteilung.
Antwort: 1320 Optionen.
Aufgabe Nummer 7. Bei Leichtathletikwettkämpfen war unsere Schule mit einem Team aus vertreten
10 Sportler. Auf wie viele Arten kann der Trainer bestimmen, welche davon
wird in der 4x100m-Staffel auf der ersten, zweiten, dritten und vierten Etappe laufen?
Lösung: Auswahl von 10 bis 4 unter Berücksichtigung der Reihenfolge: 
Wege.
Antwort: 5040 Möglichkeiten.
Aufgabe Nummer 8. Auf wie viele Arten können Rot, Schwarz, Blau u
grüne Kugeln?
Lösung: An erster Stelle können Sie jeden der vier Bälle (4 Möglichkeiten) aufsetzen
zweiter - einer der drei verbleibenden (3 Möglichkeiten), dritter Platz - einer der
die verbleibenden zwei (2 Wege), auf dem vierten Platz - der verbleibende letzte Ball.
Insgesamt 4 3 2 1 = 24 Möglichkeiten.
P4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. Antwort: 24 Möglichkeiten.
Aufgabe Nummer 9. Die Schüler erhielten eine Liste mit 10 Büchern, die sie währenddessen lesen sollten
Ferienzeit. Auf wie viele Arten kann ein Schüler 6 Bücher daraus auswählen?
Lösung: Auswahl 6 aus 10 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: 
Wege.
Antwort: 210 Wege.
Aufgabe Nummer 10. Es gibt 7 Schüler in der 9. Klasse, 9 Schüler in der 10. Klasse und 8 Schüler in der 11. Klasse. Zum
Arbeit auf dem Schulgelände ist es notwendig, zwei Schüler aus der 9. Klasse herauszuheben,
drei von 10 und einer von 11. Wie viele Möglichkeiten gibt es zu wählen
Schüler auf dem Schulgelände arbeiten?
Lösung: Auswahl aus drei Sets ohne Rücksicht auf Bestellung, jeweils Auswahl aus
des ersten Satzes (C 7 2) können mit jeder Wahl aus kombiniert werden
Sekunde (C 9 3)) und bei jeder Wahl der Terz (C 8 1) gemäß der Regel
Multiplikation erhalten wir:
Antwort: 14.112 Wege.
Aufgabe Nummer 11. Die Neuntklässler Zhenya, Seryozha, Kolya, Natasha und Olya liefen zu
zum Tennistisch wechseln, an dem bereits gespielt wurde. Wie viele
fünf Neuntklässler, die bis zum Tisch rannten, mitnehmen können
Warteschlange für Tischtennis?
Lösung: Jeder Neuntklässler könnte der Erste in der Reihe sein, jeder von ihnen könnte der Zweite sein.
die verbleibenden drei, die dritte - eine der verbleibenden zwei und die vierte -
ein Neuntklässler, der den vorletzten hochlief, und der fünfte war der letzte. Durch
Multiplikationsregel, fünf Schüler haben 5 4321=120 Möglichkeiten
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1 1 Grundbegriffe der Kombinatorik 1 Anhang Definition Das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis einschließlich n heißt n-Faktor und wird geschrieben Beispiel Berechne 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! Beispiel berechnen! 7! 5! 5!! Gegeben seien drei Buchstaben dieser Buchstaben: 7 1! Permutationen 5 3 A, B, C Machen wir alle möglichen Kombinationen von ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (Gesamtkombinationen) Wir sehen, dass sie sich nur in der Reihenfolge der Buchstaben voneinander unterscheiden Definition Kombinationen von n Elementen, die unterscheiden sich voneinander nur durch die Reihenfolge der Elemente, werden Permutationen genannt Permutationen werden mit dem Symbol n bezeichnet, wobei n die Anzahl der Elemente ist, die in jeder Permutation enthalten sind 3 3! Die Anzahl der Permutationen kann mit der Formel n oder mit der Fakultät berechnet werden: n n 1 n 3 1 n n! Somit ist die Anzahl der Permutationen von drei Elementen gemäß der Formel, die mit dem Ergebnis des obigen Beispiels übereinstimmt, 5 0 Beispiel Berechnen,! ! !- 5! 5! -fünfzehn! 5! 1 5 0! ! eines! Beispiel Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 1, 3, 4, 5 bilden, sofern sich in der Zahl keine Ziffer wiederholt?
2 5! Beispiel Vier Teams haben am Wettbewerb teilgenommen, wie viele Möglichkeiten der Platzverteilung untereinander sind möglich? vier! Platzierung Seien es vier Buchstaben A, B, C, D Setze alle Kombinationen aus nur zwei Buchstaben zusammen, wir erhalten: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC Das sehen wir alle resultierenden Kombinationen unterscheiden sich entweder durch Buchstaben oder ihre Reihenfolge (Kombinationen BA und AB werden als unterschiedlich betrachtet) Definition Kombinationen von m Elementen mal n Elementen, die sich entweder durch die Elemente selbst oder durch die Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden, werden Platzierungen genannt Platzierungen sind bezeichnet mit n A m n die Anzahl der Elemente in jeder Kombination , wobei m die Anzahl aller verfügbaren Elemente ist, A n m m! (m n)! Beispiel Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung von drei Preisen, wenn 7 Teams an der Verlosung teilnehmen? 3 7! 7! EIN! vier! 10 Beispiel Wie viele verschiedene vierstellige Zahlen lassen sich aus den Zahlen 0, 1, 8, 9 bilden? 4 10! zehn! EIN!! Beispiel Wie viele Zeitplanoptionen können für einen Tag erstellt werden, wenn es insgesamt 8 gibt Themen, und nur drei davon können in den Tagesplan aufgenommen werden? 3 8! acht! EIN! 5! Beispiel Wie viele Optionen für die Verteilung von drei Gutscheinen an ein Sanatorium mit verschiedenen Profilen können für fünf Bewerber gemacht werden? 3 5! 5! EIN!!
3 Kombinationen Definition Kombinationen sind alle möglichen Kombinationen von m Elementen durch n, die sich voneinander unterscheiden in wenigstens mindestens ein Element (hier m und n ganze Zahlen, und n 4 Ein Zufallsphänomen kann durch das Verhältnis der Anzahl seines Auftretens zur Anzahl der Versuche charakterisiert werden, in denen es unter den gleichen Bedingungen aller Versuche auftreten oder nicht auftreten könnte, um diese Regelmäßigkeiten zu erfassen und zu untersuchen , führen wir einige grundlegende Konzepte und Definitionen ein Definition Jede Aktion, jedes Phänomen, jede Beobachtung mit mehreren unterschiedlichen Ergebnissen, die unter bestimmten Bedingungen realisiert wird, wird als Test bezeichnet Definition Das Ergebnis dieser Aktion oder Beobachtung wird als zufälliges Ereignis bezeichnet. Zum Beispiel ist das Auftreten einer Zahl beim Werfen einer Münze ein zufälliges Ereignis, da es eingetreten sein kann oder auch nicht Definition Wenn wir an einem bestimmten Ereignis aus allen möglichen interessiert sind mögliche Ereignisse, dann nennen wir es das gewünschte Ereignis (oder das gewünschte Ergebnis) Definition Alle in Betracht gezogenen Ereignisse werden als gleichermaßen möglich angesehen, diejenigen, die die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, dass sie eintreten. Also, wenn ein Würfel geworfen wird, 1-Punkt, 3, 4, 5 oder Punkte können erscheinen Testergebnisse sind gleich wahrscheinlich Mit anderen Worten Gleichheit bedeutet Gleichheit, Symmetrie einzelner Testergebnisse unter bestimmten Bedingungen Ereignisse werden üblicherweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: A, B, C, D Definition Ereignisse werden genannt inkompatibel, wenn in diesem Experiment keine zwei von ihnen zusammen auftreten können Andernfalls werden die Ereignisse als gemeinsam bezeichnet.Das heißt, wenn eine Münze geworfen wird, schließt das Erscheinen einer Zahl das gleichzeitige Erscheinen eines Wappens aus; Dies ist ein Beispiel für inkompatible Ereignisse 4 5 Betrachten Sie ein anderes Beispiel. Lassen Sie einen Kreis, eine Raute und ein Dreieck auf das Ziel zeichnen. Ein einzelner Schuss wird abgefeuert. Ereignis A trifft den Kreis, Ereignis B trifft die Raute, Ereignis C trifft das Dreieck. Dann Ereignisse A und B, A und C, C und B sind inkompatibel. Definition Ein Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet, wenn es in diesem Test unbedingt eintritt. Zum Beispiel ist der Gewinn eines Win-Win-Lotteriescheins ein zuverlässiges Ereignis. Zuverlässige Ereignisse werden mit dem Buchstaben U gekennzeichnet. Definition Ein Ereignis wird als unmöglich bezeichnet, wenn es nicht eintreten kann In diesem Test ist es zum Beispiel unmöglich, beim Würfeln 7 Punkte zu bekommen. Unmögliches Ereignis, das mit dem Buchstaben V gekennzeichnet ist. Definition Das vollständige Ereignissystem A 1, A, A 3, A n ist eine Reihe von inkompatiblen Ereignissen, das Auftreten von denen mindestens einer für diesen Test obligatorisch ist. Der Verlust von einem, zwei, drei, vier, fünf, sechs Punkten beim Werfen eines Spielknochens ist ein vollständiges System von Ereignissen, da alle diese Ereignisse unvereinbar sind und das Auftreten Mindestens einer davon ist erforderlich Definition Besteht das komplette System aus zwei Ereignissen, dann heißen solche Ereignisse entgegengesetzt und werden mit A und A bezeichnet Beispiel Es gibt einen Lottoschein „6 aus 45“, den er nicht gewinnen kann Sind diese Ereignisse nicht kompatibel ? Beispiel Es gibt 30 nummerierte Kugeln in einer Kiste Bestimmen Sie, welche der folgenden Ereignisse unmöglich, sicher, entgegengesetzt sind: eine nummerierte Kugel wird gezogen (; eine geradzahlige Kugel wird gezogen (eine ungeradzahlige Kugel wird gezogen (C); eine Kugel ohne Zahl wird gezogen (D) Welche von ihnen bilden eine vollständige Gruppe Beispiel Sind die Ereignisse wahr oder unmöglich, dass ein einzelner Würfelwurf ergibt: 5 Punkte; 7 Punkte; von 1 bis Punkte? Welche Ereignisse in diesem Versuch eine komplette Gruppe bilden? 5 6 Definition Die Summe mehrerer Ereignisse ist ein Ereignis, das darin besteht, dass mindestens eines von ihnen als Ergebnis des Tests auftritt Die Summe der Ereignisse A und B, bezeichnet als (A + und bedeutet, dass das Ereignis A oder B oder A und B gemeinsam eingetreten Definition Als Ereignis bezeichnet man das Produkt mehrerer Ereignisse, bestehend aus dem gemeinsamen Eintreten aller dieser Ereignisse als Ergebnis des Tests Das Produkt der Ereignisse A und B bedeutet: AB 3 Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Zufällig Ereignisse werden mit unterschiedlichen Möglichkeiten realisiert Einige treten häufiger, andere seltener auf Um die Möglichkeiten zur Realisierung eines Ereignisses zu quantifizieren, wird der Begriff der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eingeführt. Definition Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl M von günstige Ergebnisse auf die Gesamtzahl N gleichwahrscheinlicher Ergebnisse, die eine vollständige Gruppe bilden: Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1, unmöglich 0, zufällig: 0 (1 Dies ist die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit eines Ereignisses n Tests: M N * (Beispiel Aus dem Wort „Poliklinik“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um einen Vokal handelt? Was ist der Buchstabe K? Was ist ein Vokal oder Buchstabe K? Gesamtbuchstaben 11 Ereignis A als Ergebnis des Experiments erschien ein Vokalbuchstabe Ereignis B, der Buchstabe K erschien Ereignis A wird von fünf Ereignissen (5 Vokalen) begünstigt, Ereignis B wird von zwei begünstigt m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 Grundlegende Sätze und Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsadditionssatz Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines der unvereinbaren Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten: 7 A A A A A 1 n 1 A n Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier gemeinsamer Ereignisse A A Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse (1 Definition Seien A und B zwei zufällige Ereignisse desselben Tests Bezeichnung: A B A WahrscDie Wahrscheinlichkeit der das gleichzeitige Auftreten zweier unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse A 7 Mathematik (BkPl-100) M.P. Kharlamov Studienjahr 2011/2012, 1. Semester Vorlesung 5. Thema: Kombinatorik, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Thema: Kombinatorik Die Kombinatorik ist ein Studienzweig der Mathematik Institut für Mathematik und Informatik Mathematik Pädagogischer und methodologischer Komplex für Schüler der Sekundarstufe II, die mit Ferntechnologien studieren Modul 6 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik THEMA. THEOREME DER ADDITION UND MULTIPLIKATION VON WAHRSCHEINLICHKEITEN Operationen mit zufälligen Ereignissen. Algebra der Ereignisse. Das Konzept der Kompatibilität von Ereignissen. Komplette Ereignisgruppe. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von zufälligen Ereignissen. Bedingt Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie Grundkonzepte Experiment Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Muster von Zufallsphänomenen untersucht. Zufällige Ereignisse sind Ereignisse, die, wenn LEKTION 3 EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE METHODISCHE EMPFEHLUNGEN MISIS 2013 GENEHMIGT: D.E. Kaputkin Vorsitzender der Bildungs- und Methodenkommission für die Umsetzung des Abkommens mit dem Bildungsministerium der Berge. 1 TEIL I. WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE KAPITEL 1. 1. Elemente der Kombinatorik Definition 1. Beispiele: Definition. -fakultät ist die durch ! bezeichnete Zahl, während! = 1** * für alle natürlichen Zahlen 1, ; Außerdem, 1) Wie viele dreistellige natürliche Zahlen gibt es, die nur zwei Stellen weniger als fünf haben? Es sind nur fünf Ziffern kleiner als 5: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) Die restlichen fünf Ziffern sind nicht kleiner als 5: ( ; ; ; ; ) 1. Lösungsweg Vorlesung 3 Thema Hauptsätze und Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie Inhalte des Themas Algebra der Ereignisse. Sätze der Addition von Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssätze. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Vorlesungsthema: ALGEBRA DER EREIGNISSE GRUNDSÄTZE ZUR WAHRSCHEINLICHKEIT Algebra der Ereignisse Die Summe der Ereignisse wird als Ereignis S = + bezeichnet, das im Eintreten mindestens eines von ihnen besteht Das Produkt der Ereignisse und heißt Institut für Höhere Mathematik Vorlesungen zur Sektion Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. Wahrscheinlichkeitstheorie Das Thema der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Untersuchung spezifischer Regelmäßigkeiten in homogenen Massen INHALT THEMA III. EINFÜHRUNG IN DIE WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE... 2 1. REFERENZMATERIALIEN... 2 1.1. GRUNDLEGENDE KONZEPTE UND DEFINITIONEN... 2 1.2. AKTIONEN BEI ZUFÄLLIGEN EREIGNISSEN... 4 1.3. KLASSISCHE DEFINITION Vorlesung 2. Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten Die Summe und das Produkt eines Ereignisses BUNDESHAUSHALTSBILDUNGSEINRICHTUNG FÜR HOCHSCHULBILDUNG "Staatliche Akademie für Kultur und Kunst Tscheljabinsk" Institut für Informatik WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE WAHRSCHEINLICHKEIT EINES ZUFÄLLIGEN EREIGNISSES Axiome von Kolmogorov 1933 gab AN Kolmogorov in seinem Buch „Grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie“ eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie. „Das bedeutet, dass danach ARBEITSPROGRAMM DES NORTHERN DISTRICT DEPARTMENT OF EDUCATION Klasse für Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Verwendete Lehrmittel: Lehrbuch: Tyurin Yu.N. usw. Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. M., MTsNMO: ABl Bundesamt für Bildung Staatliche Bildungseinrichtung für Höhere Berufsbildung „NATIONALE FORSCHUNG POLYTECHNISCHE UNIVERSITÄT TOMSK“ VORTRAG ÜBER THEORIE KOMBINATORISCHE WAHRSCHEINLICHKEIT Thema 5 Vorlesungsinhalt 1 Einleitung 2 3 4 Nächster Absatz 1 Einleitung 2 3 4 Problem... Problem... Problem... ... und Lösung: Mädchen VORLESUNG ZUR BESTIMMUNG DER WAHRSCHEINLICHKEIT EINES EREIGNISSES Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bezieht sich auf die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und drückt ein Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses aus. Für praktische Tätigkeiten ist es wichtig I Definition der Wahrscheinlichkeit und Grundregeln ihrer Berechnung Probabilistisches Experiment Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabenbuch Chudesenko, Wahrscheinlichkeitstheorie, Variante Zwei Würfel werden geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a die Summe der Punktezahl N nicht überschreitet; b das Produkt der Punktzahl N nicht überschreitet; in Zusammengestellt von: Außerordentlicher Professor der Abteilung für medizinische und biologische Physik Romanova N.Yu. Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Vorlesung Einführung. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine mathematische Wissenschaft, die die Muster zufälliger Phänomene untersucht. MVDubatovskaya Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik Vorlesung 3 Methoden zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten 0 Klassische Definition von Wahrscheinlichkeiten Wir nennen alle möglichen Ergebnisse eines Experiments elementar Vorlesung 3 Thema Hauptsätze und Formeln der Wahrscheinlichkeitstheorie Inhalte des Themas Algebra der Ereignisse. Sätze der Addition von Wahrscheinlichkeiten. Bedingte Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssätze. Hauptkategorien der Algebra Vorlesung 1. Thema: GRUNDLAGEN ZUR BESTIMMUNG DER WAHRSCHEINLICHKEIT Das Thema Wahrscheinlichkeitstheorie. Historischer Hintergrund MP Kharlamov http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik Zusammenfassung des ersten Abschnitts (Fragen und Antworten) Dr. phys.-math. Wissenschaftsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov Vorlesungsplan Wahrscheinlichkeitstheorie P Zur Wahrscheinlichkeit als Wissenschaft P Grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeit P Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses Definition der Wahrscheinlichkeit P 4 Anwendung der Kombinatorik auf das Zählen Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie Zufällige Ereignisse Deterministische Prozesse In Wissenschaft und Technik werden Prozesse betrachtet, deren Ausgang sicher vorhergesagt werden kann: Wenn an die Enden des Leiters eine Differenz angelegt wird THEMA 1 Kombinatorik Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 1B 17 Mannschaften nehmen am nationalen Fußballpokal teil Wie viele Möglichkeiten gibt es, Gold-, Silber- und Bronzemedaillen zu verteilen? Weil die ( σ-Algebra - Feld der zufälligen Ereignisse - erste Gruppe der Kolmogorov-Axiome - zweite Gruppe der Kolmogorov-Axiome - Grundformeln der Wahrscheinlichkeitstheorie - Wahrscheinlichkeitsadditionssatz - bedingte Wahrscheinlichkeit Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorlesung 2 Inhalt 1. Bedingte Wahrscheinlichkeit 2. Wahrscheinlichkeit des Produkts von Ereignissen 3. Wahrscheinlichkeit der Summe von Ereignissen 4. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel Abhängige und unabhängige Ereignisse Definition N. G. TAKTAROV WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND MATHEMATISCHE STATISTIK: EIN KURZKURS MIT BEISPIELE UND LÖSUNGEN Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation Staatliche staatliche Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung „Saratov State Socio-Economic University“ Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Zufällige Ereignisse Aufgabe. In einer Charge von N Artikeln weisen Artikel einen versteckten Fehler auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von k zufällig ausgewählten Elementen WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. AUFGABEN. Inhaltsverzeichnis (nach Themen) 1. Die Formel zur klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit. Elemente der Kombinatorik. Geometrische Wahrscheinlichkeit 4. Operationen auf Ereignissen. Additions- und Multiplikationssätze Kombinatorische Formeln Es gebe eine Menge bestehend aus n Elementen. Bezeichnen wir es mit U n. Eine Permutation von n Elementen ist eine gegebene Ordnung in der Menge U n. Beispiele für Permutationen: 1) Verteilung KAPITEL 5 ELEMENTE DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 5 Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie Verschiedene Ereignisse können wie folgt klassifiziert werden: Unmögliches Ereignis Ein Ereignis, das nicht eintreten kann Bestimmtes Ereignis PRCTICUM Grundformeln der Kombinatorik Arten von Ereignissen Aktionen auf Ereignisse Klassische Wahrscheinlichkeit Geometrische Wahrscheinlichkeit Grundformeln der Kombinatorik Die Kombinatorik untersucht die Anzahl der Kombinationen, Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Es gebe eine Gruppe von Ereignissen H 1, H 2,..., H n mit folgenden Eigenschaften: 1) Alle Ereignisse sind paarweise unverträglich: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) Ihre Vereinigungsformen BILDUNGSMINISTERIUM DER RUSSISCHEN FÖDERATION IVANOVO STATE ENERGY UNIVERSITY ABTEILUNG FÜR HÖHERE MATHEMATIK KULTURMINISTERIUM DER RUSSISCHEN FÖDERATION BUNDESHAUSHALT BILDUNGSEINRICHTUNG FÜR HÖHERE BERUFLICHE BILDUNG "ST. Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik Doktor der Phys.-Math. Wissenschaftsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov "Page" mit methodischen Materialien http://inter.vags.ru/hmp Wolgograder Zweig der RANEPA (FGOU Worobjow V. V. "Lyzeum" von Kalachinsk, Region Omsk Workshop zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik Doktor der Phys.-Math. Wissenschaftsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov „Page“ mit methodischen Materialien http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Wolgograder Zweig der RANEPA WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. VERTEILUNG VON ZUFÄLLIGEN WERTEN Aufgabe. Wähle die richtige Antwort:. Die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses A ist ein Wert gleich ... a) dem Verhältnis der Anzahl der Fälle, die begünstigen GRUNDLEGENDE KONZEPTE DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. 3.1. Zufällige Geschehnisse. Jede Wissenschaft arbeitet beim Studium der Phänomene der materiellen Welt mit bestimmten Konzepten, unter denen es notwendigerweise grundlegende gibt; Höhere Berufsausbildung Undergraduate V. S. Mkhitaryan, V. F. Shishov, A. Yu. Kozlov Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik Lehrbuch Empfohlen von der Educational and Methodological Association for Education INHALT ABSCHNITT I. WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE Vorwort....................................................... ................ ......... 6 TEIL I. ZUFÄLLIGE EREIGNISSE ................... ............... 7 KAPITEL 1. Kombinatorische Analyse der Elemente .................... Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik Doktor der Phys.-Math. Wissenschaftsprofessor Mikhail Pavlovich Kharlamov Internetressource mit methodischen Materialien http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Zweigstelle Wolgograd Chiv bis S kann das Ereignis, das darin besteht, dass das System nicht geschlossen ist, geschrieben werden: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. Analog zur Lösung der Aufgaben 2.5, 2.6 erhalten wir S = A(B 1 + B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation KAZAN NATIONAL RESEARCH TECHNICAL WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE Kombinatorik, Produkt- und Summenregeln Kombinatorik als Wissenschaft Die Kombinatorik ist ein Zweig der Mathematik, der die Verbindungen einer Teilmenge von Elementen untersucht, aus denen extrahiert wird Föderale Bildungsbehörde Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics NE Lugina WORKSHOP ZUR WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE Lehrbuch Tomsk 2006 Rezensenten: Cand. Vorlesung Zufallsereignisse Definition. Ein elementares Ergebnis (oder ein elementares Ereignis) ist jedes einfache (d. h. im Rahmen einer gegebenen Erfahrung unteilbare) Ergebnis einer Erfahrung. Die Menge aller elementaren Ergebnisse BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG Staatliche Bildungseinrichtung für Höhere Berufsbildung Staatliche Technische Universität Uljanowsk S. G. Valeev S. V. Kurkina Test 4. Wahrscheinlichkeitstheorie Die Kontrollarbeit zu diesem Thema umfasst vier Aufgaben. Lassen Sie uns die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie vorstellen, die für ihre Implementierung notwendig sind. Um Probleme lösen zu können, sind Kenntnisse des Themas erforderlich Abschnitt "Wahrscheinlichkeit und Statistik" E.M. Udalova. Bezirk Primorsky, Schule 579 Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine mathematische Wissenschaft, die es Ihnen ermöglicht, die Wahrscheinlichkeiten anderer zufälliger Ereignisse aus den Wahrscheinlichkeiten einiger zufälliger Ereignisse zu ermitteln Aufgabe 1. In einer Urne sind 40 Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 gezogene Kugeln weiß sind, ist 7 60. Wie viele weiße Kugeln sind in der Urne? Die Anzahl der Möglichkeiten, auf denen k Elemente aus n ausgewählt werden können, ist gleich C k 4 Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Russischen Föderation Staatliche Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung Abteilung „Staatliche Akademie für Wirtschaft und Recht Chabarowsk“. BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG DES MINISTERIUMS FÜR BILDUNG UND WISSENSCHAFT DER RUSSISCHEN FÖDERATION Perm State University Assoc. VV Morozenko UDC 59. (075.8) Institut für Höhere Mathematiktheorie BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG Staatliche Bildungseinrichtung für Höhere Berufsbildung "Tomsk Polytechnic University" L. I. Konstantinova WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE UND MATHEMATIK Bundesagentur für Eisenbahnverkehr Zweigstelle der staatlichen staatlichen Bildungseinrichtung für höhere Berufsbildung "Sibirische Staatsuniversität Definition einer Matrixdeterminante Eine quadratische Matrix besteht aus einem Element A = (a). Die Determinante einer solchen Matrix ist A = det(a) = a. () a a Quadratische Matrix 2 2 besteht aus vier Elementen A = TOMSK COLLEGE OF RAILWAY TRANSPORT ZWEIG SGUPS SAMMLUNG VON EINZELAUFGABEN „Elemente der Kombinatorik. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie" Disziplinen Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik
À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì MINISTERIUM FÜR BILDUNG UND WISSENSCHAFT RUSSLANDS Föderalstaatliche Haushaltsbildungseinrichtung für Höhere Berufsbildung „Uchta State Technical University“ (USTU) Workshop zum Thema Disziplin MVDubatov Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik Vorlesung 4 Additions- und Multiplikationssätze Gesamtwahrscheinlichkeitsformel Bayes-Formel Seien und B inkompatible Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten AUFGABEN: 1. Schreiben Sie in geschweiften Klammern die Menge der natürlichen Zahlen auf, die sich auf dem Strahl zwischen den Zahlen 10 und 15 befinden. Welche der Zahlen 0; zehn; elf; 12; fünfzehn; 50 gehören zu diesem Set? 2. Schreiben Sie den Satz auf BUNDESBILDUNGSAGENTUR Staatliche Bildungseinrichtung für Höhere Berufsbildung "NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNICAL UNIVERSITY" L.I. KONSTANTINOV Vorlesung 5 Thema Bernoulli-Schema. Themeninhalt Bernoulli-Schema. Bernoulli-Formel. Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Bernoulli-Schema. Binomiale Zufallsvariable. Die Hauptkategorien von Newtons Binomialschema Als Ergebnis des Studiums des Abschnitts muss der Student: kennt: ¾ Grundbegriffe der Kombinatorik; ¾ klassische Definition der Wahrscheinlichkeit; ¾ Definition einer Zufallsvariablen; ¾ mathematische Eigenschaften einer Zufallsvariablen: mathematischer Erwartungswert und Varianz; in der Lage sein: ¾ Probleme lösen, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu ermitteln; ¾ Probleme lösen, um den mathematischen Erwartungswert und die Varianz einer Zufallsvariablen zu finden. Grundbegriffe der Kombinatorik Im mathematischen Teil der Kombinatorik werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Betrachtung von Mengen und der Zusammenstellung verschiedener Kombinationen von Elementen dieser Mengen gelöst. Wenn wir zum Beispiel 10 verschiedene Zahlen 0, 1, 2, ..., 9 nehmen und daraus Kombinationen bilden, erhalten wir verschiedene Zahlen, zum Beispiel 345, 534, 1036, 5671, 45 usw. Wir sehen, dass sich einige dieser Kombinationen nur in der Reihenfolge der Ziffern unterscheiden (345 und 534), andere in den darin enthaltenen Zahlen (1036, 5671), wieder andere unterscheiden sich auch in der Anzahl der Ziffern (345 und 45). Somit erfüllen die erhaltenen Kombinationen verschiedene Bedingungen. Abhängig von den Kompositionsregeln können drei Arten von Kombinationen unterschieden werden: Platzierungen, Permutationen und Kombinationen. Machen wir uns jedoch zuerst mit dem Konzept der Fakultät vertraut. Das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis einschließlich n heißt n-faktoriell. 1. Unterkünfte
. Anordnungen von jeweils n Elementen sind solche Verbindungen, die sich entweder durch die Elemente selbst oder durch die Reihenfolge ihrer Anordnung voneinander unterscheiden. Beispiel. Wie viele zweistellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 bilden, sofern sich keine davon wiederholt? Lösung. Da sich zweistellige Zahlen entweder durch die Zahlen selbst oder durch ihre Reihenfolge voneinander unterscheiden, ist die gesuchte Zahl gleich der Anzahl der Stellen von fünf Elementen mal zwei: Übung. Auf wie viele Arten können drei Personen aus acht Kandidaten für drei Positionen ausgewählt werden? Antwort: 336. 2. Permutationen
. Permutationen von n Elementen sind solche Verbindungen aller n Elemente, die sich in der Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden. Beispiel. Gegeben seien drei Buchstaben A, B, C. Wie viele Kombinationen dieser Buchstaben können gemacht werden? Lösung. Die Anzahl der Permutationen von drei Elementen kann mit der Formel berechnet werden: 3! == 6. Übung. Auf wie viele Arten können 7 Personen an 7 Plätzen sitzen? Lösung. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Antwort: 5040. 3. Beispiel.Auf wie viele Arten können drei Betreuer gewählt werden, wenn die Klasse 30 Schüler hat? Lösung. Da Sie 3 aus 30 Schülern auswählen müssen, können Sie Kombinationen bilden, die sich durch mindestens ein Element voneinander unterscheiden, d.h. Kombinationen von 30 bis 3: Antwort: 4060. Übung. Auf wie viele Arten können aus 15 Arbeitern Teams von 5 Personen gebildet werden? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Antwort: 3003. Fragen zur Selbstkontrolle 1. Nennen Sie die Hauptaufgaben der Kombinatorik. 2. Was nennt man Permutationen? 3. Schreiben Sie die Formel für Permutationen von n Elementen auf. 4. Was nennt man Platzierungen? 5. Schreiben Sie die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen durch m auf. 6. Was nennt man Kombinationen? 7. Schreiben Sie die Formel für die Anzahl der Kombinationen von n Elementen nach m auf. Kontrollaufgabe PRAKTISCHE AUFGABEN ZUR SELBSTKONTROLLE Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Verteilung von drei Preisen, wenn 7 Teams an der Verlosung teilnehmen? Auf wie viele Arten können zwei Studenten für die Konferenz ausgewählt werden, wenn die Gruppe 33 Personen umfasst? Gleichungen lösen Aus einer Gruppe von 15 Personen sollten ein Vorarbeiter und 4 Brigademitglieder ausgewählt werden. Auf wie viele Arten kann dies geschehen? Morsecode-Buchstaben bestehen aus Symbolen (Punkte und Striche). Wie viele Buchstaben können dargestellt werden, wenn jeder Buchstabe nicht mehr als fünf Zeichen enthalten darf? Auf wie viele Arten können vierfarbige Bänder aus sieben verschiedenfarbigen Bändern bestehen? Auf wie viele Arten können aus neun Kandidaten vier Personen für vier verschiedene Positionen ausgewählt werden? Auf wie viele Arten können Sie 3 von 6 Karten auswählen? Vor dem Abschluss tauschte eine Gruppe von 30 Studenten Fotos aus. Wie viele Fotos wurden verteilt. Auf wie viele Arten können 10 Gäste an zehn Plätzen an der festlich gedeckten Tafel Platz nehmen? Wie viele Spiele müssen 20 Fußballmannschaften in einer einrundigen Meisterschaft bestreiten? Auf wie viele Arten können 12 Personen in Teams aufgeteilt werden, wenn jedes Team aus 6 Personen besteht? Wahrscheinlichkeitstheorie Neun verschiedene Bücher sind zufällig auf einem Regal angeordnet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass vier bestimmte Bücher nebeneinander platziert werden (Ereignis C). Von 10 Losen gewinnen 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 zufällig gezogenen Losen eines gewinnt. 3 Karten werden zufällig aus einem Kartenspiel (52 Karten) gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Drei, Sieben, ein Ass ist. Das Kind spielt mit den fünf Buchstaben des geteilten Alphabets A, K, R, W, Y. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei einer zufälligen Anordnung von Buchstaben hintereinander das Wort „Dach“ erhält? Eine Schachtel enthält 6 weiße und 4 rote Kugeln. Zwei Bälle werden zufällig genommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die gleiche Farbe haben? Die erste Urne enthält 6 schwarze und 4 weiße Kugeln, die zweite Urne enthält 5 schwarze und 7 weiße Kugeln. Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind? Zufallsvariable, mathematischer Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student das gesuchte Buch in der Bibliothek findet, ist 0,3. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der Bibliotheken, die er besuchen wird, wenn es in der Stadt vier Bibliotheken gibt. Der Jäger schießt vor dem ersten Treffer auf das Wild, schafft aber nicht mehr als vier Schüsse. Ermitteln Sie die Varianz der Anzahl der Fehlschüsse, wenn die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, 0,7 beträgt. Finden Sie die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen X, wenn das Gesetz ihrer Verteilung durch die Tabelle gegeben ist: X R Die Anlage verfügt über vier automatische Linien. Die Wahrscheinlichkeit, dass während der Arbeitsschicht die erste Linie nicht angepasst werden muss, beträgt 0,9, die zweite - 0,8, die dritte - 0,75, die vierte - 0,7. Finden Sie die mathematische Erwartung der Anzahl der Linien, die während der Arbeitsschicht nicht angepasst werden müssen. X R V. ANTWORTEN Kombinatorik Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvariable, mathematischer Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen. 0,046656 2. 0,3 3. 13 EMBED-Gleichung.3 1415 4. 13 EMBED-Gleichung.3 1415 5.13 EMBED-Gleichung.3 1415 6.13 EMBED-Gleichung.3 1415. StammeintragEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native
Kombinationen
. Kombinationen aus jeweils n Elementen sind solche Verbindungen, die sich durch mindestens ein Element voneinander unterscheiden.
Kombinatorik
Wie viele verschiedene fünfstellige Zahlen können aus den Ziffern 1, 3, 5, 7, 9 gebildet werden, vorausgesetzt, dass sich keine Ziffer in der Zahl wiederholt?
a) 13 EMBED-Gleichung.3 1415. b) 13 EMBED-Gleichung.3 1415.
Wie viele durch 5 teilbare vierstellige Zahlen können aus den Ziffern 0, 1, 2, 5, 7 gebildet werden, wenn nicht jede Zahl die gleichen Ziffern enthalten darf?
Eine Urne enthält 7 rote und 6 blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden gleichzeitig aus der Urne genommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind (Ereignis A)?
Geben Sie das Verteilungsgesetz für die Anzahl der Treffer auf der Scheibe mit sechs Schüssen an, wenn die Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zu treffen, 0,4 beträgt.
1
2
3
4
0,3
0,1
0,2
0,4
Finden Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X, indem Sie das Gesetz ihrer Verteilung kennen:
0
1
2
3
4
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
1. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 2. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 3. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 4. a) 13 EMBED-Gleichung.3 1415, 5; b) 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 5. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 6.13 EMBED-Gleichung.3 1415. 7. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 8. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 9.13 EMBED-Gleichung.3 1415. 10.13 EMBED-Gleichung.3 1415. 11. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 12. 13 EMBED-Gleichung.3 1415. 13.190.14.924.
1. 13 EMBED Gleichung.3 1415 2.13 EMBED Gleichung.3 1415 3. 13 EMBED Gleichung.3 1415 4. 13 EMBED Gleichung.3 14155. 13 EMBED Gleichung.3 14156.13 EMBED Gleichung.3 1415 7. 13 EMBED Gleichung.3 14
1.
0
1
2
3
4
5
6
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096
1
2
3
4
0,21
0,147
0,343
