Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie sich überlappen können. Abbildung 1 zeigt gleiche Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1. Jedes dieser Dreiecke kann einem anderen überlagert werden, so dass sie vollständig kompatibel sind, dh ihre Ecken und Seiten sind paarweise miteinander verbunden. Es ist klar, dass in diesem Fall die Winkel dieser Dreiecke paarweise kombiniert werden.

Wenn also zwei Dreiecke gleich sind, dann sind die Elemente (d. h. Seiten und Winkel) eines Dreiecks jeweils gleich den Elementen des anderen Dreiecks. Beachten Sie, dass in gleichen Dreiecken gegen jeweils gleiche Seiten(d. h. Überlappung bei Überlagerung) gleiche Winkel liegen und zurück: entsprechend gleiche Winkel liegen gleiche Seiten gegenüber.

So liegen zum Beispiel in den gleichen Dreiecken ABC und A 1 B 1 C 1, wie in Abbildung 1 gezeigt, den gleichen Seiten AB und A 1 B 1 jeweils gegenüberliegende gleiche Winkel C und C 1. Die Gleichheit der Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 wird wie folgt bezeichnet: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Es stellt sich heraus, dass die Gleichheit zweier Dreiecke festgestellt werden kann, indem einige ihrer Elemente verglichen werden.

Satz 1. Das erste Zeichen der Gleichheit von Dreiecken. Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich (Abb. 2).

Nachweisen. Betrachten Sie die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1, in denen AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (siehe Abb. 2). Beweisen wir, dass Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Da ∠ A \u003d ∠ A 1, kann das Dreieck ABC dem Dreieck A 1 B 1 C 1 überlagert werden, so dass der Scheitel A mit dem Scheitel A 1 ausgerichtet ist und die Seiten AB bzw. AC überlagert werden die Strahlen A 1 B 1 und A 1 C eins . Da AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, wird Seite AB mit Seite A 1 B 1 und Seite AC - mit Seite A 1 C 1 kombiniert; insbesondere fallen die Punkte B und B 1 , C und C 1 zusammen. Daher werden die Seiten BC und B 1 C 1 ausgerichtet. Also sind die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 vollständig kompatibel, was bedeutet, dass sie gleich sind.

Satz 2 wird ähnlich durch das Superpositionsverfahren bewiesen.

Satz 2. Das zweite Zeichen der Gleichheit von Dreiecken. Wenn die Seite und zwei daran angrenzende Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei daran angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich (Abb. 34).

Kommentar. Basierend auf Theorem 2 ist Theorem 3 aufgestellt.

Satz 3. Die Summe zweier beliebiger Innenwinkel eines Dreiecks ist kleiner als 180°.

Satz 4 folgt aus dem letzten Satz.

Satz 4. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder Innenwinkel, der nicht daran angrenzt.

Satz 5. Das dritte Zeichen der Gleichheit von Dreiecken. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich ().

Beispiel 1 In den Dreiecken ABC und DEF (Abb. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Vergleiche die Dreiecke ABC und DEF. Welcher Winkel im Dreieck DEF ist gleich dem Winkel B?

Entscheidung. Diese Dreiecke sind im ersten Zeichen gleich. Der Winkel F des Dreiecks DEF ist gleich dem Winkel B des Dreiecks ABC, da diese Winkel den jeweils gleichen Seiten DE und AC gegenüberliegen.

Beispiel 2 Die Segmente AB und CD (Abb. 5) schneiden sich am Punkt O, der der Mittelpunkt von jedem von ihnen ist. Was ist Segment BD gleich, wenn Segment AC 6 m lang ist?

Entscheidung. Die Dreiecke AOC und BOD sind gleich (nach dem ersten Kriterium): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikal), AO = OB, CO = OD (nach Bedingung).
Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt die Gleichheit ihrer Seiten, also AC = BD. Da aber laut Bedingung AC = 6 m ist, ist BD = 6 m.

Beweis: Wir legen A 1 B 1 C 1 ABC auf, so dass Punkt A 1 mit A zusammenfällt. Da AC \u003d A 1 C 1, dann fällt Punkt C 1 gemäß dem Axiom der Verschiebung von Segmenten mit C zusammen. Da A \u003d A 1 , dann fällt der Strahl A 1 B 1 gemäß dem Axiom der Ablegewinkel mit dem Strahl AB zusammen. Da AB \u003d A 1 B 1, dann fällt Punkt B 1 gemäß dem Axiom der Verschiebung von Segmenten mit Punkt B zusammen. Die Dreiecke A 1 B 1 C 1 und ABC fielen zusammen, was ABC \u003d A 1 B 1 C 1 bedeutet Ch.T.D.

Beweis: Wir legen A 1 B 1 C 1 ABC auf, so dass Punkt A 1 mit A zusammenfällt. Da AC \u003d A 1 C 1, dann fällt Punkt C 1 gemäß dem Axiom der Verschiebung von Segmenten mit C zusammen. Da A \u003d A 1 , dann fällt der Strahl A 1 B 1 gemäß dem Axiom der Ablegewinkel mit dem Strahl AB zusammen. Da C \u003d C 1 ist, fällt der Strahl C 1 IN 1 gemäß dem Axiom der Ablegewinkel mit dem Strahl CB zusammen. Punkt B 1 fällt mit Punkt B zusammen. Die Dreiecke A 1 B 1 C 1 und ABC fielen zusammen, was ABC \u003d A 1 B 1 C 1 FTD bedeutet

Mediana Ein Segment der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, das die Spitze des Dreiecks mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet, wird als Winkelhalbierende des Dreiecks bezeichnet. Medianabisektor 1 HÖHE Die Senkrechte, die von der Spitze des Dreiecks zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält, wird als Höhe des Dreiecks bezeichnet. Die Strecke, die die Spitze eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet, wird als Seitenhalbierende bezeichnet. Höhe

A B C K M O T Die Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks schneiden sich im Eckpunkt C. Die Höhen eines spitzwinkligen Dreiecks schneiden sich im Punkt O, der im Inneren des Dreiecks liegt. O A B C Der Schnittpunkt der Höhen wird Orthozentrum genannt.

Das Segment der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, das die Spitze des Dreiecks mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet, wird als Winkelhalbierende des Dreiecks bezeichnet. Auch dieser Punkt ist bemerkenswert - der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises. Ob i s s e c t r i c a

1 Die Senkrechte, die von der Spitze eines Dreiecks zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält, wird als Höhe des Dreiecks bezeichnet. HÖHE Eine Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck, gezeichnet von der Spitze eines spitzen Winkels, fällt mit dem Schenkel zusammen. Die Höhe in einem stumpfen Dreieck, gezeichnet von der Spitze eines spitzen Winkels, geht in den äußeren Bereich des Dreiecks über. HÖHE 11

Schlussfolgerung 1. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Höhe der Median und die Winkelhalbierende. 2. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Seitenhalbierende die Höhe und die Winkelhalbierende. 3. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Winkelhalbierende der Median und die Höhe.

Welche dieser Aussagen sind richtig? Schreibe ihre Nummern auf.
1) Sind zwei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten eines anderen Dreiecks, dann sind solche Dreiecke kongruent.
2) Wenn die Diagonalen in einem Viereck senkrecht stehen, dann ist dieses Viereck eine Raute.
3) Die Fläche eines Kreises ist kleiner als das Quadrat der Länge seines Durchmessers.

Die Lösung des Problems:

Betrachten wir jede Aussage.
1) "Wenn zwei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent", dies Aussage ist falsch, da entspricht keinem der Kriterien für die Gleichheit von Dreiecken.
2) "Wenn die Diagonalen in einem Viereck senkrecht sind, dann ist dieses Viereck eine Raute", dies Aussage ist falsch, da entspricht keiner Eigenschaft der Raute. Zum Beispiel sind die Diagonalen des in der Abbildung gezeigten Vierecks senkrecht, aber es ist offensichtlich, dass dies keine Raute ist.
3) "Die Fläche eines Kreises ist kleiner als das Quadrat der Länge seines Durchmessers." Die Fläche des Kreises ist ΠR 2 oder ΠD 2 /4. Die Zahl Π (Pi) beträgt ungefähr 3,14. Dann S-Kreis \u003d 0,785D 2. Und das ist natürlich kleiner als D 2 . Die Aussage ist wahr

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Andere Aufgaben in diesem Abschnitt

Aufgabe Nr. 03A3EF

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist 722 √ 3 . Einer der spitzen Winkel beträgt 30°. Finde die Länge des Beins gegenüber diesem Winkel.

Problem Nr. 9FCAB9

Im Dreieck ABC sind die Winkelhalbierende BE und der Median AD senkrecht und haben die gleiche Länge gleich 96. Finden Sie die Seiten des Dreiecks ABC.

Zeichen der Gleichheit von Dreiecken

Gleiche Dreiecke sind solche, deren entsprechende Seiten gleich sind.

Satz (das erste Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken).
Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Theorem (das zweite Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken).
Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich einer Seite und zwei benachbarten Winkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Theorem (das dritte Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken).
Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

Dreiecke heißen ähnlich, wenn die Winkel gleich sind und die ähnlichen Seiten proportional sind: , wobei der Ähnlichkeitskoeffizient ist.

I Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils zwei Winkeln eines anderen Dreiecks entsprechen, dann sind diese Dreiecke ähnlich.

II Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken. Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

III Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken. Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

Satz 1.1. Wenn eine Gerade, die durch keinen der Eckpunkte eines Dreiecks verläuft, eine seiner Seiten schneidet, dann schneidet sie nur eine der beiden anderen Seiten.

Satz 2.1. Die Summe benachbarter Winkel ist 180 Über .
Konsequenzen:
Wenn zwei Winkel gleich sind, dann sind die angrenzenden Winkel gleich.
Wenn der Winkel nicht entwickelt ist, ist sein Gradmaß kleiner als 180 Über .
Ein an einen rechten Winkel angrenzender Winkel ist ein rechter Winkel.

Satz 2.2. Vertikale Winkel sind gleich.

Satz 2.3. Durch jeden Punkt einer Geraden kann man senkrecht dazu eine Gerade ziehen, und zwar nur eine.

Satz 3.1 (Das erste Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken). Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Satz 3.2 (Das zweite Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken). Wenn eine Seite und die an sie angrenzenden Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und der an sie angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Satz 3.3 (Eigenschaft der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks). In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.

Satz 3.4 (Vorzeichen eines gleichschenkligen Dreiecks). Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

Satz 3.5 (Eigenschaft der Seitenhalbierenden eines gleichschenkligen Dreiecks). In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Seitenhalbierende die Winkelhalbierende und die Höhe.

Satz 3.6 (Das dritte Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken). Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent.

Satz 4.1. Zwei Geraden parallel zu einer dritten sind parallel.

Satz 4.2 (Ein Kriterium für parallele Geraden). Wenn die kreuzenden Innenwinkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Innenwinkel 180 beträgt Über , dann sind die Geraden parallel.

Satz 4.3 (Umkehrung zu Satz 4.2). Wenn zwei parallele Linien von einer dritten Linie geschnitten werden, dann sind die inneren kreuzenden Winkel gleich und die Summe der inneren einseitigen Winkel ist 180 Über .

Satz 4.4. Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist 180 Über .
Folge: Jedes Dreieck hat mindestens zwei spitze Winkel.

Satz 4.5. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel.
Folge: Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist größer als jeder Innenwinkel, der nicht daran angrenzt.

Satz 4.6. Von jedem Punkt, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, kann man eine Senkrechte zu dieser Linie fallen lassen, und zwar nur eine.

Satz 5.1. Der Mittelpunkt des Kreises, der das Dreieck umschreibt, ist der Schnittpunkt der Senkrechten zu den Seiten des Dreiecks, die durch die Mittelpunkte dieser Seiten gezogen werden.

Satz 5.2. Der Mittelpunkt eines in ein Dreieck eingeschriebenen Kreises ist der Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden.

Satz 5.3. Der Ort von Punkten, die von zwei gegebenen Punkten gleich weit entfernt sind, ist eine Linie, die senkrecht zu dem Liniensegment ist, das diese Punkte verbindet und durch ihren Mittelpunkt verläuft.

Satz 6.1. Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks schneiden und der Schnittpunkt halbiert wird, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.

Satz 6.2 (Umkehrung zu Satz 6.1). Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich und der Schnittpunkt wird halbiert.

Satz 6.3. Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich und gegenüberliegende Winkel gleich.

Satz 6.4. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich.

Satz 6.5. Die Diagonalen der Raute schneiden sich im rechten Winkel. Die Diagonalen einer Raute sind die Winkelhalbierenden ihrer Winkel.

Satz 6.6 (Satz von Thales). Wenn parallele Linien, die die Seiten eines Winkels schneiden, gleiche Segmente auf einer seiner Seiten abschneiden, dann schneiden sie gleiche Segmente auf der anderen Seite ab.

Satz 6.7. Die Mittellinie eines Dreiecks, das die Mittelpunkte zweier gegebener Seiten verbindet, ist parallel zur dritten Seite und gleich der Hälfte davon.

Satz 6.8. Die Mittellinie des Trapezes ist parallel zu den Basen und gleich der Hälfte ihrer Summe.

Satz 6.9. Parallele Linien, die die Seiten des Winkels schneiden, schneiden proportionale Segmente von den Seiten des Winkels ab.

Satz 7.1. Der Kosinus eines Winkels hängt nur vom Gradmaß des Winkels ab und nicht von der Lage und Größe des Dreiecks.

Satz 7.2 (Satz des Pythagoras). In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate.
Konsequenzen:
- In einem rechtwinkligen Dreieck ist jedes Bein kleiner als die Hypotenuse.
- cosA
- Wenn eine Senkrechte und eine Schräge von einem Punkt zu einer geraden Linie gezogen werden, dann ist jede Schräge größer als die Senkrechte, gleiche Schrägen haben gleiche Projektionen, von zwei Schrägen ist die mit der größten Projektion größer.

Satz 7.3 (Dreiecksungleichung). Was auch immer die drei Punkte sind, der Abstand zwischen zwei beliebigen dieser Punkte ist nicht größer als die Summe ihrer Abstände zum dritten Punkt.
Folge: In jedem Dreieck ist jede Seite kleiner als die Summe der anderen beiden.

Satz 7.4. Für jeden spitzen Winkel A.
Sünde (90 Ö -A) = cosA, cos(90 Ö -A) = sinA.

Satz 7.5. Wenn der spitze Winkel zunimmtsinAundtgAnehmen zu undcosAsinkt.

Satz 9.1. Punkte, die auf einer geraden Linie liegen, gehen beim Bewegen in Punkte über, die auf einer geraden Linie liegen, und die Reihenfolge ihrer gegenseitigen Anordnung bleibt erhalten.
Folge: Beim Verschieben werden gerade Linien zu geraden Linien, Halblinien zu Halblinien, Segmente zu Segmenten.

Satz 9.2. Eine Symmetrietransformation um einen Punkt ist eine Bewegung.

Satz 9.3. Eine Symmetrietransformation um eine Linie ist eine Bewegung.

Satz 9.4. Unabhängig von den beiden PunktenSONDERN undSONDERN ' gibt es eine und nur eine parallele Übersetzung, in der der PunktSONDERN geht zur SacheSONDERN ’.

Satz 10.1. Was auch immer die Punkte sindSONDERN , BEIM , Mit , die Vektorgleichheit

Satz 10.2. Der Absolutwert des Vektors entspricht . Vektorrichtung beim stimmt mit der Richtung des Vektors überein , Wennl > 0 und entgegengesetzt zur Richtung des Vektors , Wennl

Satz 10.3. Das Skalarprodukt von Vektoren ist gleich dem Produkt ihrer Absolutwerte und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Konsequenzen:
Stehen die Vektoren senkrecht, so ist ihr Skalarprodukt 0.
Wenn das Skalarprodukt von Nicht-0-Vektoren 0 ist, dann sind die Vektoren senkrecht.

Satz 11.1. Homothetie ist eine Ähnlichkeitstransformation.

Satz 11.2 (Ein Test für die Ähnlichkeit von Dreiecken in zwei Winkeln). Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich zwei Winkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

Satz 11.3 (Ein Test für die Ähnlichkeit von Dreiecken auf zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen). Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die von diesen Seiten gebildeten Winkel gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Satz 11.4 (Gleichheitskriterium für Dreiecke auf drei Seiten). Wenn die Seiten eines Dreiecks proportional zu den Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Satz 11.5. Ein einbeschriebener Winkel in einem Kreis ist die Hälfte des entsprechenden Zentriwinkels.
Konsequenzen:
- Einbeschriebene Winkel, deren Seiten durch die Punkte A und B des Kreises gehen und deren Scheitel auf derselben Seite der Geraden AB liegen, sind gleich.
-Die einbeschriebenen Winkel bezogen auf den Durchmesser sind gerade.

Satz 12.1 (Kosinussatz). Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, ohne das Produkt dieser Seiten mal dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu verdoppeln.

Satz 12.2 (Sinussatz). Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinus der gegenüberliegenden Winkel.

Satz 13.1. Die Länge der Polylinie ist nicht kleiner als die Länge des Segments, das ihre Enden verbindet.

Satz 13.2. Die Summe der Winkel einer Konvexitätn-gon ist 180 0 (n – 2).

Satz 13.3. Ein regelmäßiges konvexes Polygon wird in einen Kreis einbeschrieben und um den Kreis herum umschrieben.

Satz 13.4. Regelmäßig konvexn-gons sind ähnlich. Insbesondere wenn ihre Seiten gleich sind, dann sind sie gleich.

Satz 13.5. Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser hängt nicht vom Kreis ab, d.h. das gleiche für zwei beliebige Kreise.

Satz 15.1.

Satz 15.2.
Folge:

Satz 15.3.

Satz 15.4. XundYXYXundYXYdurchquert das Flugzeug.

Satz 16.1.

Satz 16.2.

Satz 16.5.

Satz 17.3.

Satz 17.4.

Satz 17.6.

Satz 15.1. Durch eine Linie und einen nicht darauf liegenden Punkt kann man eine Ebene zeichnen, und zwar nur eine.

Satz 15.2. Wenn zwei Punkte einer Linie zu einer Ebene gehören, dann gehört die gesamte Linie zu dieser Ebene.
Folge: Eine Ebene und eine nicht darauf liegende Gerade schneiden sich entweder nicht oder in einem Punkt.

Satz 15.3. Durch drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, lässt sich eine Ebene zeichnen, und zwar nur eine.

Satz 15.4. Die Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume. Wenn die PunkteXundYzum gleichen Halbraum gehören, dann das SegmentXYüberquert das Flugzeug nicht. Wenn die PunkteXundYzu verschiedenen Halbräumen gehören, dann das SegmentXYdurchquert das Flugzeug.

Satz 16.1. Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Linie kann man eine Linie parallel zu dieser Linie ziehen, und zwar nur eine.

Satz 16.2. Zwei Linien parallel zu einer dritten Linie sind parallel.

Satz 16.3. Wenn eine Linie, die nicht zu einer Ebene gehört, parallel zu einer Linie in dieser Ebene ist, dann ist sie auch parallel zur Ebene selbst.

Satz 16.4. Wenn zwei sich schneidende Geraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Geraden einer anderen Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.

Satz 16.5. Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Ebene kann man eine Ebene parallel zu der gegebenen ziehen, und zwar nur eine.

Satz 17.1. Wenn zwei sich schneidende Geraden parallel bzw. zu zwei senkrechten Geraden sind, dann sind sie auch senkrecht.

Satz 17.2. Wenn eine Gerade senkrecht auf zwei sich schneidende Geraden steht, die in einer Ebene liegen, dann steht sie senkrecht auf der gegebenen Ebene.

Satz 17.3. Steht eine Ebene senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, so steht sie auch senkrecht auf der anderen.

Satz 17.4. Zwei Geraden, die senkrecht auf derselben Ebene stehen, sind parallel.

Satz 17.5. Wenn eine gerade Linie, die in einer Ebene durch die Basis einer schrägen Linie gezogen wird, senkrecht zu ihrer Projektion ist, dann ist sie senkrecht zur schrägen Linie. Und zurück: steht eine gerade Linie in einer Ebene senkrecht auf einer schrägen, so steht sie auch senkrecht auf der Projektion der schrägen.

Satz 17.6. Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

Satz 18.1. Die Fläche einer orthogonalen Projektion eines Polygons auf eine Ebene ist gleich dem Produkt aus seiner Fläche und dem Kosinus des Winkels zwischen der Ebene des Polygons und der Projektionsebene.