Einige Konzepte und Begriffe werden streng in engen Grenzen verwendet, andere Definitionen finden sich in Bereichen, die scharf gegensätzlich sind. So wird beispielsweise der Begriff „Gradient“ von einem Physiker, einem Mathematiker und einem Spezialisten für Maniküre oder „Photoshop“ verwendet. Was ist ein Gradient als Konzept? Finden wir es heraus.

Was sagen Wörterbücher?

Was ein "Gradient" ist, interpretieren spezielle thematische Wörterbücher in Bezug auf ihre Besonderheiten. Aus dem Lateinischen übersetzt bedeutet dieses Wort - "Wer geht, wächst." Und "Wikipedia" definiert dieses Konzept als "einen Vektor, der die Richtung zunehmender Größe anzeigt". In erklärenden Wörterbüchern sehen wir die Bedeutung dieses Wortes als "Änderung eines beliebigen Werts um einen Wert". Das Konzept kann sowohl quantitative als auch qualitative Bedeutung haben.

Kurz gesagt, es ist ein glatter allmählicher Übergang eines beliebigen Werts um einen Wert, eine fortschreitende und kontinuierliche Änderung der Menge oder Richtung. Der Vektor wird von Mathematikern und Meteorologen berechnet. Dieses Konzept wird in der Astronomie, Medizin, Kunst und Computergrafik verwendet. Unter dem ähnlichen Begriff werden völlig unterschiedliche Arten von Aktivitäten definiert.

Mathematische Funktionen

Was ist der Gradient einer Funktion in der Mathematik? Dies gibt die Wachstumsrichtung einer Funktion in einem Skalarfeld von einem Wert zu einem anderen an. Die Größe des Gradienten wird anhand der Definition partieller Ableitungen berechnet. Um die schnellste Wachstumsrichtung der Funktion auf dem Graphen herauszufinden, werden zwei Punkte ausgewählt. Sie definieren Anfang und Ende des Vektors. Die Rate, mit der ein Wert von einem Punkt zum anderen wächst, ist die Größe des Gradienten. Mathematische Funktionen, die auf den Berechnungen dieses Indikators basieren, werden in Vektorcomputergrafiken verwendet, deren Objekte grafische Bilder mathematischer Objekte sind.

Was ist ein Gradient in der Physik?

Das Konzept eines Gradienten ist in vielen Bereichen der Physik üblich: der Gradient der Optik, Temperatur, Geschwindigkeit, Druck usw. In dieser Branche bezeichnet der Begriff ein Maß für die Zunahme oder Abnahme eines Wertes pro Einheit. Er wird als Differenz zwischen den beiden Indikatoren berechnet. Betrachten wir einige der Mengen genauer.

Was ist ein Potentialgradient? Bei der Arbeit mit einem elektrostatischen Feld werden zwei Eigenschaften bestimmt: Spannung (Leistung) und Potential (Energie). Diese unterschiedlichen Mengen stehen im Zusammenhang mit der Umwelt. Und obwohl sie unterschiedliche Eigenschaften definieren, haben sie dennoch eine Verbindung zueinander.

Zur Bestimmung der Stärke des Kraftfeldes wird der Potentialgradient verwendet - ein Wert, der die Änderungsrate des Potentials in Richtung der Feldlinie bestimmt. Wie man rechnet? Aus der bekannten Spannung wird mit dem Intensitätsvektor, der gleich dem Potentialgradienten ist, die Potentialdifferenz zweier Punkte des elektrischen Feldes berechnet.

Begriffe der Meteorologen und Geographen

Zum ersten Mal wurde das Konzept eines Gradienten von Meteorologen verwendet, um die Änderung der Größe und Richtung verschiedener meteorologischer Indikatoren zu bestimmen: Temperatur, Druck, Windgeschwindigkeit und -stärke. Sie ist ein Maß für die quantitative Veränderung verschiedener Größen. Maxwell führte den Begriff erst viel später in die Mathematik ein. Bei der Definition von Wetterbedingungen gibt es Konzepte von vertikalen und horizontalen Gradienten. Betrachten wir sie genauer.

Was ist ein vertikaler Temperaturgradient? Dabei handelt es sich um einen Wert, der die Leistungsänderung, berechnet auf 100 m Höhe, angibt, der sowohl positiv als auch negativ sein kann, im Gegensatz zur Horizontalen, die immer positiv ist.

Die Neigung zeigt die Größe oder den Winkel der Neigung auf dem Boden. Sie errechnet sich aus dem Verhältnis der Höhe zur Länge der Wegprojektion auf einem bestimmten Abschnitt. In Prozent ausgedrückt.

Medizinische Indikatoren

Die Definition von „Temperaturgradient“ findet sich auch unter medizinischen Fachbegriffen. Es zeigt den Unterschied in den entsprechenden Indikatoren der inneren Organe und der Körperoberfläche. In der Biologie legt der physiologische Gradient eine Veränderung in der Physiologie jedes Organs oder Organismus als Ganzes in jedem Stadium seiner Entwicklung fest. In der Medizin ist ein Stoffwechselindikator die Intensität des Stoffwechsels.

Nicht nur Physiker, sondern auch Mediziner verwenden diesen Begriff in ihrer Arbeit. Was ist ein Druckgradient in der Kardiologie? Dieses Konzept definiert den Blutdruckunterschied in allen miteinander verbundenen Abschnitten des Herz-Kreislauf-Systems.

Ein abnehmender Automatikgradient ist ein Indikator für eine Abnahme der Frequenz von Erregungen des Herzens in Richtung von seiner Basis nach oben, die automatisch auftreten. Darüber hinaus identifizieren Kardiologen den Ort der Arterienschädigung und ihren Grad, indem sie den Unterschied in den Amplituden der systolischen Wellen kontrollieren. Mit anderen Worten unter Verwendung des Amplitudengradienten des Pulses.

Was ist ein Geschwindigkeitsgradient?

Wenn man von der Änderungsgeschwindigkeit einer bestimmten Größe spricht, meint man damit die zeitliche und räumliche Änderungsgeschwindigkeit. Mit anderen Worten, der Geschwindigkeitsgradient bestimmt die Änderung der räumlichen Koordinaten in Bezug auf zeitliche Indikatoren. Dieser Indikator wird von Meteorologen, Astronomen und Chemikern berechnet. Der Schergeschwindigkeitsgradient von Flüssigkeitsschichten wird in der Öl- und Gasindustrie bestimmt, um die Geschwindigkeit zu berechnen, mit der eine Flüssigkeit durch ein Rohr steigt. Ein solcher Indikator für tektonische Bewegungen ist der Bereich der Berechnungen von Seismologen.

Ökonomische Funktionen

Um wichtige theoretische Schlussfolgerungen zu untermauern, wird das Konzept eines Gradienten von Ökonomen häufig verwendet. Bei der Lösung von Verbraucherproblemen wird eine Nutzenfunktion verwendet, die hilft, Präferenzen aus einer Reihe von Alternativen darzustellen. "Budgetbeschränkungsfunktion" ist ein Begriff, der verwendet wird, um sich auf einen Satz von Verbraucherbündeln zu beziehen. Aus den Steigungen in diesem Bereich werden die optimalen Verbräuche berechnet.

Farbverlauf

Der Begriff „Verlauf“ ist Kreativen geläufig. Obwohl sie weit von den exakten Wissenschaften entfernt sind. Was ist ein Farbverlauf für einen Designer? Da es sich in den exakten Wissenschaften um eine allmähliche Wertsteigerung um eins handelt, bezeichnet dieser Indikator in der Farbe einen fließenden, gestreckten Übergang von Schattierungen derselben Farbe von heller zu dunkler oder umgekehrt. Künstler nennen diesen Vorgang „Strecken“. Es ist auch möglich, auf verschiedene Begleitfarben im gleichen Bereich zu wechseln.

Das graduelle Strecken von Farbtönen in der Farbgebung von Räumen hat eine starke Position unter den Designtechniken eingenommen. Der neumodische Ombre-Stil – ein fließender Farbverlauf von hell nach dunkel, von hell nach blass – verwandelt jeden Raum im Haus und Büro effektiv.

Optiker verwenden spezielle Gläser in ihren Sonnenbrillen. Was ist ein Farbverlauf bei Gläsern? Dies ist die Herstellung einer Linse auf besondere Weise, wenn die Farbe von oben nach unten von einem dunkleren zu einem helleren Farbton wechselt. Produkte, die mit dieser Technologie hergestellt werden, schützen die Augen vor Sonneneinstrahlung und ermöglichen es Ihnen, Objekte auch bei sehr hellem Licht zu sehen.

Farbe im Webdesign

Wer sich mit Webdesign und Computergrafik beschäftigt, kennt das universelle Werkzeug „Verlauf“, das die unterschiedlichsten Effekte erzeugt. Farbübergänge verwandeln sich in Highlights, ein ausgefallener Hintergrund, Dreidimensionalität. Farbtonmanipulation, Licht- und Schattenerzeugung verleihen Vektorobjekten Volumen. Zu diesem Zweck werden verschiedene Arten von Gradienten verwendet:

• Linear.
• Radial.
• konisch.
• Spiegel.
• Rhomboid.
• Rauschgradient.

Farbverlauf Schönheit

Für Besucher von Schönheitssalons wird die Frage, was ein Farbverlauf ist, nicht überraschen. Allerdings ist in diesem Fall die Kenntnis der mathematischen Gesetze und der Grundlagen der Physik nicht erforderlich. Es geht um Farbübergänge. Haare und Nägel werden zum Objekt des Farbverlaufs. Die Ombre-Technik, was auf Französisch „Ton“ bedeutet, kam bei Sportliebhabern des Surfens und anderer Strandaktivitäten in Mode. Natürlich verbranntes und nachgewachsenes Haar ist ein Hit geworden. Modefrauen begannen, ihre Haare mit einem kaum wahrnehmbaren Farbübergang speziell zu färben.

Die Ombre-Technik ging nicht an Nagelstudios vorbei. Der Verlauf auf den Nägeln erzeugt eine Färbung mit einer allmählichen Aufhellung der Platte von der Wurzel bis zum Rand. Meister bieten horizontale, vertikale, mit einem Übergang und andere Varianten an.

Handarbeit

Das Konzept des "Farbverlaufs" ist Nadelfrauen von einer anderen Seite bekannt. Eine solche Technik wird bei der Herstellung von handgefertigten Artikeln im Decoupage-Stil verwendet. So entstehen neue antike Dinge oder werden alte restauriert: Kommoden, Stühle, Truhen und so weiter. Decoupage ist das Aufbringen eines Musters mit einer Schablone, deren Grundlage ein Farbverlauf als Hintergrund ist.

Stoffkünstler haben das Färben auf diese Weise für neue Modelle übernommen. Kleider mit Farbverlauf eroberten die Laufstege. Mode wurde von Nadelfrauen - Strickerinnen - aufgegriffen. Strickwaren mit fließenden Farbübergängen sind ein Erfolg.

Wenn wir die Definition von "Gradient" zusammenfassen, können wir über einen sehr umfangreichen Bereich menschlicher Aktivität sagen, in dem dieser Begriff einen Platz hat. Die Ersetzung durch das Synonym „Vektor“ ist nicht immer sinnvoll, da der Vektor ja ein funktionaler, räumlicher Begriff ist. Was die Allgemeingültigkeit des Konzepts bestimmt, ist eine allmähliche Änderung einer bestimmten Menge, Substanz, physikalischen Parameter pro Einheit über einen bestimmten Zeitraum. In der Farbe ist dies ein sanfter Tonübergang.

Lassen Z= F(M) ist eine Funktion, die in irgendeiner Umgebung des Punktes definiert ist M(y;x);L={ Weil; Kos} – Einheitsvektor (in Abb. 33 1=  , 2= ); L ist eine Gerade, die durch einen Punkt geht M; M1(x1; y1), wobei x1=x+x und y1=y+y- ein Punkt auf einer Linie L;  L- die Größe des Segments MM1;  Z= F(x+x, y+y)-F(X, Y) – Funktionsinkrement F(M) am Punkt M(x;y).

Definition. Der Grenzwert der Relation, falls vorhanden, wird aufgerufen Ableitungsfunktion Z = F ( M ) am Punkt M ( X ; Y ) in Richtung des Vektors L .

Bezeichnung.

Wenn die Funktion F(M) an einem Punkt differenzierbar M(x;y), dann an der Stelle M(x;y) es gibt eine Ableitung in jede Richtung L kommen von M; er wird nach folgender Formel berechnet:

(8)

Woher Weil Und Kos- Richtungskosinus des Vektors L.

Beispiel 46. Berechne die Ableitung einer Funktion Z= X2 + Y2 X am Punkt M(1; 2) in Richtung des Vektors MM1, wo M1- Punkt mit Koordinaten (3; 0).

. Lassen Sie uns den Einheitsvektor finden L, mit dieser Richtung:

Woher Weil= ; Kos=- .

Wir berechnen die partiellen Ableitungen der Funktion an dem Punkt M(1; 2):

Durch Formel (8) erhalten wir

Beispiel 47. Finden Sie die Ableitung einer Funktion U = xy2 Z3 am Punkt M(3; 2; 1) In Vektorrichtung MN, wo N(5; 4; 2) .

. Finden wir den Vektor und seine Richtungskosinusse:

Berechnen Sie die Werte partieller Ableitungen an diesem Punkt M:

Somit,

Definition. Gradient FunktionenZ= F(M) am Punkt M(x; y) ist ein Vektor, dessen Koordinaten gleich den entsprechenden partiellen Ableitungen u am Punkt M(x; y) sind.

Bezeichnung.

Beispiel 48. Finden Sie den Gradienten einer Funktion Z= X2 +2 Y2 -5 am Punkt M(2; -1).

Entscheidung. Wir finden partielle Ableitungen: und ihre Werte an der Stelle M(2; -1):

Beispiel 49. Finden Sie die Größe und Richtung des Gradienten einer Funktion an einem Punkt

Entscheidung. Lassen Sie uns die partiellen Ableitungen finden und ihre Werte am Punkt M berechnen:

Somit,

Die Richtungsableitung für eine Funktion von drei Variablen wird ähnlich definiert U= F(X, Y, Z) , werden Formeln abgeleitet

Das Konzept eines Gradienten wird eingeführt

Das betonen wir Grundlegende Eigenschaften der Gradientenfunktion wichtiger für die Analyse der ökonomischen Optimierung: In Richtung des Gradienten steigt die Funktion. Bei wirtschaftlichen Problemen werden die folgenden Eigenschaften des Gradienten verwendet:

1) Gegeben sei eine Funktion Z= F(X, Y) , die partielle Ableitungen im Definitionsbereich hat. Betrachten Sie einen Punkt M0(x0, y0) aus dem Definitionsbereich. Der Wert der Funktion an dieser Stelle sei F(X0 , Y0 ) . Betrachten Sie den Funktionsgraphen. Durch den Punkt (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) Im dreidimensionalen Raum zeichnen wir eine Ebene, die die Oberfläche des Funktionsgraphen tangiert. Dann wird die Steigung der Funktion an dem Punkt berechnet (x0, y0), betrachtet geometrisch als ein an einem Punkt befestigter Vektor (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , senkrecht zur Tangentialebene. Die geometrische Darstellung ist in Abb. 1 dargestellt. 34.

2) Gradientenfunktion F(X, Y) am Punkt M0(x0, y0) gibt die Richtung des schnellsten Anstiegs der Funktion an dem Punkt an М0. Außerdem ist jede Richtung, die mit dem Gradienten einen spitzen Winkel bildet, die Wachstumsrichtung der Funktion an dem Punkt М0. Mit anderen Worten, eine kleine Bewegung von einem Punkt aus (x0, y0) in Richtung des Gradienten der Funktion führt an dieser Stelle zu einem Anstieg der Funktion, und zwar am stärksten.

Betrachten Sie einen Vektor, der dem Gradienten entgegengesetzt ist. Es wird genannt Antigradient . Die Koordinaten dieses Vektors sind:

Funktion Anti-Gradient F(X, Y) am Punkt M0(x0, y0) gibt die Richtung des schnellsten Abfalls der Funktion an dem Punkt an М0. Jede Richtung, die mit dem Antigradienten einen spitzen Winkel bildet, ist die Richtung, in der die Funktion an diesem Punkt abnimmt.

3) Beim Studium einer Funktion ist es oft notwendig, solche Paare zu finden (x, y) aus dem Gültigkeitsbereich der Funktion, für die die Funktion die gleichen Werte annimmt. Betrachten Sie die Menge der Punkte (X, Y) außerhalb des Funktionsumfangs F(X, Y) , so dass F(X, Y)= Konst, wo ist der Eintrag “ Konst” bedeutet, dass der Wert der Funktion fest und gleich einer Zahl aus dem Bereich der Funktion ist.

Definition. Zeile der Funktionsebene U = F ( X , Y ) die Linie genanntF(X, Y)=С im FlugzeugXOy, an deren Punkten die Funktion konstant bleibtU= C.

Höhenlinien werden geometrisch auf der Änderungsebene unabhängiger Variablen in Form von gekrümmten Linien dargestellt. Das Erhalten von Pegellinien kann man sich wie folgt vorstellen. Betrachten Sie den Satz Mit, die aus Punkten im dreidimensionalen Raum mit Koordinaten besteht (X, Y, F(X, Y)= Konst), die einerseits zum Graphen der Funktion gehören Z= F(X, Y), andererseits liegen sie in einer Ebene parallel zur Koordinatenebene WIE, und davon durch einen Wert getrennt, der gleich einer gegebenen Konstante ist. Um dann eine ebene Linie zu konstruieren, reicht es aus, die Oberfläche des Funktionsgraphen mit einer Ebene zu schneiden Z= Konst und projiziere die Schnittlinie auf eine Ebene WIE. Die obige Argumentation ist die Rechtfertigung für die Möglichkeit, Niveaulinien direkt auf einer Ebene zu konstruieren WIE.

Definition. Die Menge der Niveaulinien wird aufgerufen Ebene Linienkarte.

Bekannte Beispiele für Höhenlinien sind Ebenen gleicher Höhe auf einer topografischen Karte und Linien gleichen Luftdrucks auf einer Wetterkarte.

Definition. Die Richtung, in der die Anstiegsrate der Funktion maximal ist, wird bezeichnet "bevorzugte" Richtung, oder Richtung des schnellsten Wachstums.

Die "bevorzugte" Richtung ist durch den Steigungsvektor der Funktion gegeben. Auf Abb. 35 zeigt das Maximum, Minimum und den Sattelpunkt bei dem Problem der Optimierung einer Funktion von zwei Variablen ohne Beschränkungen. Der untere Teil der Abbildung zeigt die Höhenlinien und Richtungen des schnellsten Wachstums.

Beispiel 50. Suchen Sie Feature-Level-Linien U= X2 + Y2 .

Entscheidung. Die Gleichung der Schar der Höhenlinien hat die Form X2 + Y2 = C (C>0) . Geben Mit Bei unterschiedlichen reellen Werten erhalten wir konzentrische Kreise, die am Ursprung zentriert sind.

Bau von Niveaulinien. Ihre Analyse findet breite Anwendung bei ökonomischen Problemen auf Mikro- und Makroebene, der Gleichgewichtstheorie und effektiven Lösungen. Isokosten, Isoquanten, Indifferenzkurven – das sind alles Niveaulinien, die für verschiedene ökonomische Funktionen gebaut wurden.

Beispiel 51. Betrachten Sie die folgende wirtschaftliche Situation. Lassen Sie sich die Herstellung von Produkten beschreiben Cobb-Douglas-Funktion F(X, Y)=10x1/3y2/3, wo X- Arbeitsaufwand Beim- Höhe des Kapitals. 30 USD wurden für den Erwerb von Ressourcen bereitgestellt. Einheiten, der Arbeitspreis beträgt 5 c.u. Einheiten, Kapital - 10 c.u. Einheiten Stellen wir uns die Frage: Was ist die größte Leistung, die unter diesen Bedingungen erzielt werden kann? „Gegebene Bedingungen“ beziehen sich hier auf gegebene Technologien, Ressourcenpreise und die Art der Produktionsfunktion. Wie bereits erwähnt, die Funktion Cobb-Douglas ist in jeder Variablen monoton steigend, d. h. eine Erhöhung jeder Art von Ressource führt zu einer Erhöhung des Outputs. Unter diesen Bedingungen ist klar, dass es möglich ist, den Erwerb von Ressourcen zu erhöhen, solange genügend Geld vorhanden ist. Ressourcenpakete, die 30 c.u. kosten Einheiten, erfüllen die Bedingung:

5x + 10y = 30,

Das heißt, sie definieren die Funktionsebenenlinie:

G(X, Y) = 5x + 10y.

Zum anderen mit Hilfe von Niveaulinien Cobb-Douglas-Funktionen (Abb. 36) Es ist möglich, den Anstieg der Funktion zu zeigen: An jedem Punkt der Niveaulinie ist die Richtung des Gradienten die Richtung des größten Anstiegs, und um an einem Punkt einen Gradienten aufzubauen, reicht es aus Zeichnen Sie an dieser Stelle eine Tangente an die Niveaulinie, ziehen Sie eine Senkrechte zur Tangente und geben Sie die Richtung des Gradienten an. Von Abb. 36 ist ersichtlich, dass die Bewegung der Niveaulinie der Cobb-Douglas-Funktion entlang des Gradienten ausgeführt werden sollte, bis sie die Niveaulinie tangiert 5x + 10y = 30. So lassen sich mit den Konzepten Niveaulinie, Gefälle, Gefälleeigenschaften Ansätze zur optimalen Nutzung von Ressourcen im Hinblick auf steigende Produktionsmengen entwickeln.

Definition. Funktionsebene Oberfläche U = F ( X , Y , Z ) Oberfläche genanntF(X, Y, Z)=С, an deren Punkten die Funktion konstant bleibtU= C.

Beispiel 52. Finden Sie Oberflächen auf Feature-Ebene U= X2 + Z2 - Y2 .

Entscheidung. Die Gleichung der Familie der ebenen Flächen hat die Form X2 + Z2 - Y2 =C. Wenn ein C=0, dann bekommen wir X2 + Z2 - Y2 =0 - Kegel; Wenn C<0 , dann X2 + Z2 - Y2 = C - Eine Familie von zweiblättrigen Hyperboloiden.

Wenn an jedem Punkt im Raum oder Teil des Raumes der Wert einer bestimmten Größe definiert ist, dann sagt man, dass der Körper dieser Größe gegeben ist. Das Feld heißt skalar, wenn der betrachtete Wert skalar ist, d.h. gut charakterisiert durch seinen Zahlenwert. Zum Beispiel das Temperaturfeld. Das Skalarfeld ist durch die Skalarfunktion des Punktes u = /(M) gegeben. Führt man im Raum ein kartesisches Koordinatensystem ein, dann gibt es eine Funktion von drei Variablen x, yt, z - die Koordinaten des Punktes M: Definition. Die ebene Fläche eines Skalarfeldes ist die Menge der Punkte, an denen die Funktion f(M) den gleichen Wert annimmt. Beispiel für eine Niveau-Oberflächen-Gleichung 1. Suchen Sie Niveau-Oberflächen eines Skalarfelds VEKTORANALYSE Skalarfeld Niveau-Oberflächen und Niveaulinien Richtungsableitung Ableitung Gradient eines Skalarfelds Grundlegende Gradienteneigenschaften Invariante Definition eines Gradienten Regeln zur Berechnung eines Gradienten -4 Per Definition ein Niveau Oberflächengleichung wird. Dies ist die Gleichung einer Kugel (mit Ä 0), deren Mittelpunkt der Ursprung ist. Ein skalares Feld heißt flach, wenn das Feld in allen Ebenen parallel zu einer Ebene gleich ist. Wenn die angegebene Ebene als die xOy-Ebene genommen wird, hängt die Feldfunktion nicht von der z-Koordinate ab, d. h. sie ist nur eine Funktion der Argumente x und y und auch der Bedeutung. Höhenliniengleichung - Beispiel 2. Finden Sie die Höhenlinien eines Skalarfelds. Höhenlinien werden durch Gleichungen gegeben. Bei c = 0 erhalten wir ein Linienpaar, wir erhalten eine Familie von Hyperbeln (Abb. 1). 1.1. Richtungsableitung Es sei ein Skalarfeld definiert durch eine Skalarfunktion u = /(Af). Nehmen wir den Punkt Afo und wählen die durch den Vektor I bestimmte Richtung. Nehmen wir einen anderen Punkt M, so dass der Vektor M0M parallel zum Vektor 1 verläuft (Abb. 2). Wir bezeichnen die Länge des MoM-Vektors mit A/ und das Inkrement der Funktion /(Af) - /(Afo), das der Verschiebung D1 entspricht, mit Di. Das Verhältnis bestimmt die durchschnittliche Änderungsgeschwindigkeit des Skalarfeldes pro Längeneinheit in die gegebene Richtung.. Gehen wir nun gegen Null, so dass der Vektor Ì0Ì die ganze Zeit parallel zum Vektor I bleibt. Definition. Existiert für D/O eine endliche Grenze der Beziehung (5), so heißt sie die Ableitung der Funktion im gegebenen Punkt Afo nach der gegebenen Richtung I und wird mit dem Symbol zr bezeichnet! Diese Definition hat also definitionsgemäß nichts mit der Wahl des Koordinatensystems zu tun, hat also einen **Variantencharakter. Finden wir einen Ausdruck für die Ableitung nach der Richtung im kartesischen Koordinatensystem. Die Funktion / sei in einem Punkt differenzierbar. Betrachten Sie den Wert /(Af) an einem Punkt. Dann kann das Gesamtinkrement der Funktion in folgender Form geschrieben werden: wobei und die Symbole bedeuten, dass die partiellen Ableitungen am Punkt Afo berechnet werden. Daher sind hier die Größen jfi, ^ die Richtungskosinusse des Vektors. Da die Vektoren MoM und I gleichgerichtet sind, sind ihre Richtungskosinusse gleich: Ableitungen sind Ableitungen der Funktion und entlang der Richtungen der Koordinatenachsen mit dem externen nno- Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung der Funktion zum Punkt Der Vektor hat eine Länge. Seine Richtungskosinusse: Durch Formel (9) werden wir haben Die Tatsache, dass bedeutet, dass das skalare Feld an einem Punkt in einer bestimmten Altersrichtung- Für ein flaches Feld wird die Ableitung in der Richtung I an einem Punkt durch die Formel berechnet wobei a der Winkel ist, den der Vektor I mit der Achse Oh bildet. Zmmchmm 2. Formel (9) zur Berechnung der Ableitung entlang der Richtung I an einem gegebenen Punkt Afo bleibt auch dann gültig, wenn der Punkt M entlang einer Kurve zum Punkt Mo tendiert, für die der Vektor I den Punkt PrISp tangiert. 4. Berechnen die Ableitung des Skalarfeldes am Punkt Afo(l, 1). Zugehörigkeit zu einer Parabel in Richtung dieser Kurve (in Richtung zunehmender Abszisse). Die Richtung ] einer Parabel an einem Punkt ist die Richtung der Tangente an die Parabel an diesem Punkt (Abb. 3). Die Tangente an die Parabel im Punkt Afo bilde einen Winkel o mit der Ox-Achse. Dann, woher richten Kosinus einer Tangente Lassen Sie uns Werte und in einem Punkt berechnen. Wir haben nun durch Formel (10) erhalten wir. Finden Sie die Ableitung des Skalarfeldes an einem Punkt in Richtung des Kreises. Die Vektorgleichung des Kreises hat die Form. Wir finden den Einheitsvektor m der Tangente an den Kreis, der Punkt entspricht dem Wert des Parameters. Skalarfeldgradient Ein Skalarfeld sei durch eine Skalarfunktion definiert, die als differenzierbar angenommen wird. Definition. Der Gradient eines Skalarfeldes » an einem gegebenen Punkt M ist ein Vektor, der mit dem Symbol grad bezeichnet und durch die Gleichheit definiert ist. Es ist klar, dass dieser Vektor sowohl von der Funktion / als auch von dem Punkt M abhängt, an dem seine Ableitung berechnet wird. Sei 1 ein Einheitsvektor in Richtung Dann kann die Formel für die Richtungsableitung wie folgt geschrieben werden: . somit ist die Ableitung der Funktion u entlang der Richtung 1 gleich dem Skalarprodukt der Steigung der Funktion u(M) und dem Einheitsvektor 1° der Richtung I. 2.1. Grundlegende Eigenschaften des Gradienten Satz 1. Der skalare Feldgradient steht senkrecht auf der ebenen Fläche (oder auf der ebenen Linie, wenn das Feld flach ist). (2) Zeichnen wir eine ebene Fläche u = const durch einen beliebigen Punkt M und wählen wir auf dieser Fläche eine glatte Kurve L, die durch den Punkt M verläuft (Abb. 4). Sei I ein Tangentenvektor an die Kurve L im Punkt M. Da auf der ebenen Fläche u(M) = u(M|) für jeden Punkt Mj ∈ L gilt, ist andererseits = (gradu, 1°) . So. Dies bedeutet, dass die Vektoren grad und und 1° orthogonal sind.Der Vektor grad und ist also orthogonal zu jeder Tangente an die ebene Fläche im Punkt M. Er ist also orthogonal zur ebenen Fläche selbst im Punkt M. Satz 2 Der Gradient ist in Richtung zunehmender Feldfunktion gerichtet. Wir haben bereits bewiesen, dass der Gradient des Skalarfeldes entlang der Normalen zur ebenen Fläche gerichtet ist, die entweder auf die Zunahme der Funktion u(M) oder auf ihre Abnahme ausgerichtet sein kann. Bezeichnen wir mit n die Normale der ebenen Fläche, die in Richtung der ansteigenden Funktion ti(M) orientiert ist, und finden wir die Ableitung der Funktion u in Richtung dieser Normalen (Abb. 5). Wir haben Da gemäß der Bedingung von Abb. 5 und damit VEKTORANALYSE Skalarfeld Flächen und Höhenlinien Ableitung in Richtung Ableitung Gradient eines Skalarfeldes Grundlegende Eigenschaften des Gradienten Invariante Definition des Gradienten Regeln zur Berechnung des Gradienten Daraus folgt, dass grad und in die gleiche Richtung gerichtet ist wie die, die wir für das normale n gewählt haben, also in Richtung der steigenden Funktion u(M). Satz 3. Die Länge des Gradienten ist gleich der größten Ableitung in Bezug auf die Richtung an einem gegebenen Punkt des Feldes (hier wird max $ in alle möglichen Richtungen an einem gegebenen Punkt M zu dem Punkt genommen). Wir haben wo ist der Winkel zwischen den Vektoren 1 und grad n. Da der größte Wert Beispiel 1 ist, finden Sie die Richtung des größten und absoluten Skalarfelds am Punkt und auch die Größe dieser größten Änderung am angegebenen Punkt. Die Richtung der größten Änderung im Skalarfeld wird durch einen Vektor angezeigt. Wir haben so Dieser Vektor bestimmt die Richtung des größten Anstiegs des Feldes zu einem Punkt. Der Wert der größten Feldänderung an diesem Punkt beträgt 2,2. Invariante Definition des Gradienten Die Größen, die die Eigenschaften des untersuchten Objekts charakterisieren und nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, heißen Invarianten des gegebenen Objekts. Beispielsweise ist die Länge einer Kurve eine Invariante dieser Kurve, aber der Winkel der Tangente an die Kurve mit der x-Achse ist keine Invariante. Basierend auf den obigen drei Eigenschaften des skalaren Feldgradienten können wir die folgende unveränderliche Definition des Gradienten geben. Definition. Der skalare Feldgradient ist ein Vektor, der entlang der Normalen zur ebenen Oberfläche in Richtung der ansteigenden Feldfunktion gerichtet ist und eine Länge hat, die gleich der größten Richtungsableitung (an einem gegebenen Punkt) ist. Sei ein Einheitsnormalenvektor, der in Richtung des zunehmenden Feldes gerichtet ist. Dann Beispiel 2. Finden Sie den Entfernungsgradienten - einen festen Punkt und M(x,y,z) - den aktuellen. 4 Wir haben wo ist der Einheitsrichtungsvektor. Regeln zur Berechnung des Gradienten, wobei c eine konstante Zahl ist. Die obigen Formeln ergeben sich direkt aus der Definition des Gradienten und den Eigenschaften der Derivate. Durch die Ableitungsregel des Produkts Der Beweis ist ähnlich dem Beweis der Eigenschaft Sei F(u) eine differenzierbare Skalarfunktion. Dann 4 Durch die Definition des Gradienten haben wir Wenden Sie auf alle Terme auf der rechten Seite die Ableitungsregel einer komplexen Funktion an. Wir erhalten insbesondere Formel (6) folgt von der Formelebene zu zwei Fixpunkten dieser Ebene. Betrachten Sie eine beliebige Ellipse mit den Brennpunkten Fj und F] und beweisen Sie, dass jeder Lichtstrahl, der aus einem Brennpunkt der Ellipse austritt, nach Reflexion an der Ellipse in den anderen Brennpunkt eintritt. Die Höhenlinien der Funktion (7) sind VEKTORANALYSE Skalarfeld Oberflächen und Höhenlinien Richtungsableitung Ableitung Skalarfeld Gradient Grundlegende Eigenschaften des Gradienten Invariante Definition des Gradienten Regeln zur Berechnung des Gradienten Gleichungen (8) beschreiben eine Familie von Ellipsen mit Brennpunkten an den Punkten F ) und Fj. Gemäß dem Ergebnis von Beispiel 2 haben wir und Radiusvektoren. von den Brennpunkten F| zum Punkt P(x, y) gezogen und Fj und liegt somit auf der Winkelhalbierenden zwischen diesen Radiusvektoren (Abb. 6). Nach Tooromo 1 steht der Gradient PQ im Punkt senkrecht zur Ellipse (8). Daher Abb.6. die Normale zur Ellipse (8) halbiert an jedem Punkt den Winkel zwischen den zu diesem Punkt gezeichneten Radiusvektoren. Daraus und aus der Tatsache, dass der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist, erhalten wir: Ein Lichtstrahl, der aus einem Brennpunkt der Ellipse kommt und von ihm reflektiert wird, wird sicherlich in den anderen Brennpunkt dieser Ellipse fallen.

1 0 Der Gradient wird entlang der Normalen zur ebenen Oberfläche (oder zur ebenen Linie, wenn das Feld flach ist) gerichtet.

2 0 Der Gradient ist in Richtung zunehmender Feldfunktion gerichtet.

3 0 Der Gradientenmodul ist gleich der größten Richtungsableitung an einem gegebenen Punkt des Feldes:

Diese Eigenschaften ergeben eine unveränderliche Eigenschaft des Gradienten. Sie sagen, dass der gradU-Vektor die Richtung und Größe der größten Änderung im Skalarfeld an einem bestimmten Punkt angibt.

Bemerkung 2.1. Wenn die Funktion U(x,y) eine Funktion zweier Variablen ist, dann der Vektor

(2.3)

liegt in der Oxyebene.

Seien U=U(x,y,z) und V=V(x,y,z) Funktionen, die am Punkt Ì 0 (x,y,z) differenzierbar sind. Dann gelten die folgenden Gleichungen:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V) = gradU gradV; d) d) Grad = , V ;

e) gradU( = gradU, wobei , U=U() eine Ableitung nach hat.

Beispiel 2.1. Gegeben ist die Funktion U = x 2 + y 2 + z 2 . Bestimmen Sie die Steigung der Funktion am Punkt M(-2;3;4).

Entscheidung. Nach Formel (2.2) haben wir

.

Die ebenen Flächen dieses Skalarfeldes sind die Sphärenschar x 2 +y 2 +z 2 , der Vektor gradU=(-4;6;8) ist der Normalenvektor der Ebenen.

Beispiel 2.2. Finden Sie den Gradienten des Skalarfeldes U=x-2y+3z.

Entscheidung. Nach Formel (2.2) haben wir

Die ebenen Flächen eines gegebenen Skalarfeldes sind die Ebenen

x-2y+3z=C; der Vektor gradU=(1;-2;3) ist der Normalenvektor der Ebenen dieser Familie.

Beispiel 2.3. Finde die steilste Steigung der Fläche U=x y am Punkt M(2;2;4).

Entscheidung. Wir haben:

Beispiel 2.4. Ermitteln Sie den Einheitsnormalenvektor zur ebenen Fläche des Skalarfeldes U=x 2 +y 2 +z 2 .

Entscheidung. Ebene Flächen einer gegebenen skalaren Feldkugel x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Der Gradient ist entlang der Normalen zur ebenen Fläche gerichtet, so dass

Definiert den Normalenvektor zur ebenen Fläche am Punkt M(x,y,z). Für einen Einheitsnormalenvektor erhalten wir den Ausdruck

, wo

.

Beispiel 2.5. Finde den Feldgradienten U= , wobei und konstante Vektoren sind, r der Radiusvektor des Punktes ist.

Entscheidung. Lassen

Dann:
. Nach der Ableitungsregel der Determinante erhalten wir

Somit,

Beispiel 2.6. Finden Sie den Abstandsgradienten , wobei P(x,y,z) der Punkt des untersuchten Feldes ist, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ein fester Punkt ist.

Entscheidung. Wir haben - Einheitsrichtungsvektor .

Beispiel 2.7. Finden Sie den Winkel zwischen den Steigungen der Funktionen am Punkt M 0 (1,1).

Entscheidung. Wir finden die Steigungen dieser Funktionen am Punkt M 0 (1,1), wir haben

; Aus der Gleichheit wird der Winkel zwischen gradU und gradV im Punkt M 0 bestimmt

Also =0.

Beispiel 2.8. Finden Sie die Ableitung in Bezug auf die Richtung, der der Radiusvektor gleich ist

(2.4)

Entscheidung. Finden des Gradienten dieser Funktion:

Durch Einsetzen von (2.5) in (2.4) erhalten wir

Beispiel 2.9. Finde am Punkt M 0 (1;1;1) die Richtung der größten Änderung im Skalarfeld U=xy+yz+xz und die Größe dieser größten Änderung an diesem Punkt.

Entscheidung. Die Richtung der größten Feldänderung wird durch den Gradvektor U(M) angegeben. Wir finden es:

Und deshalb, . Dieser Vektor bestimmt die Richtung des größten Anstiegs dieses Feldes am Punkt M 0 (1;1;1). Der Wert der größten Änderung im Feld an dieser Stelle ist gleich

.

Beispiel 3.1. Finden Sie Vektorlinien des Vektorfeldes wobei ein konstanter Vektor ist.

Entscheidung. Wir haben es

(3.3)

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit x, des zweiten mit y, des dritten mit z und addieren Sie Glied für Glied. Unter Verwendung der Proportionseigenschaft erhalten wir

Also xdx+ydy+zdz=0, was bedeutet

x 2 + y 2 + z 2 = A 1 , A 1 – const > 0. Multiplizieren wir nun den Zähler und Nenner des ersten Bruchs (3.3) mit c 1, den zweiten mit c 2, den dritten mit c 3 und summieren ihn Term für Term, erhalten wir

Von wo c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Und daher mit 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Ein 2-konst.

Erforderliche Gleichungen von Vektorlinien

Diese Gleichungen zeigen, dass Vektorlinien als Ergebnis des Schnitts von Kugeln mit einem gemeinsamen Mittelpunkt im Ursprung mit Ebenen senkrecht zum Vektor erhalten werden . Daraus folgt, dass die Vektorlinien Kreise sind, deren Mittelpunkte auf einer Geraden liegen, die durch den Ursprung in Richtung des Vektors c verläuft. Die Ebenen der Kreise stehen senkrecht auf der angegebenen Linie.

Beispiel 3.2. Finden Sie die Vektorfeldlinie Durchgang durch den Punkt (1,0,0).

Entscheidung. Differentialgleichungen von Vektorlinien

daher haben wir . Lösen der ersten Gleichung. Oder wenn wir den Parameter t einführen, dann haben wir In diesem Fall die Gleichung nimmt die Gestalt an oder dz=bdt, womit z=bt+c 2 .

Aus einem Schulmathematikkurs ist bekannt, dass ein Vektor auf einer Ebene eine gerichtete Strecke ist. Sein Anfang und sein Ende haben zwei Koordinaten. Die Vektorkoordinaten werden berechnet, indem die Startkoordinaten von den Endkoordinaten subtrahiert werden.

Das Konzept eines Vektors kann auch auf einen n-dimensionalen Raum erweitert werden (statt zwei Koordinaten gibt es n Koordinaten).

Gradient gradz Funktion z=f(x 1 , x 2 , ... x n) ist der Vektor der partiellen Ableitungen der Funktion an einem Punkt, d.h. Vektor mit Koordinaten.

Es kann bewiesen werden, dass die Steigung einer Funktion die Richtung des schnellsten Anstiegs des Niveaus der Funktion an einem Punkt charakterisiert.

Beispielsweise hat für die Funktion z \u003d 2x 1 + x 2 (siehe Abbildung 5.8) der Gradient an jedem Punkt Koordinaten (2; 1). Es kann auf verschiedene Arten in der Ebene aufgebaut werden, wobei jeder Punkt als Anfang des Vektors genommen wird. Beispielsweise können Sie Punkt (0; 0) mit Punkt (2; 1) oder Punkt (1; 0) mit Punkt (3; 1) oder Punkt (0; 3) mit Punkt (2; 4) verbinden. oder t .P. (siehe Abbildung 5.8). Alle auf diese Weise konstruierten Vektoren haben die Koordinaten (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

Abbildung 5.8 zeigt deutlich, dass das Niveau der Funktion in Richtung des Gradienten wächst, da die konstruierten Niveaulinien den Niveauwerten 4 > 3 > 2 entsprechen.

Abbildung 5.8 - Gradient der Funktion z \u003d 2x 1 + x 2

Betrachten wir ein weiteres Beispiel – die Funktion z= 1/(x 1 x 2). Die Steigung dieser Funktion wird an verschiedenen Stellen nicht mehr immer gleich sein, da ihre Koordinaten durch die Formeln (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) bestimmt sind.

Abbildung 5.9 zeigt die Pegellinien der Funktion z= 1/(x 1 x 2) für die Ebenen 2 und 10 (die Linie 1/(x 1 x 2) = 2 ist gestrichelt dargestellt, die Linie 1/( x 1 x 2) = 10 ist durchgezogene Linie).

Abbildung 5.9 - Gradienten der Funktion z \u003d 1 / (x 1 x 2) an verschiedenen Punkten

Nehmen Sie zum Beispiel den Punkt (0,5; 1) und berechnen Sie den Gradienten an diesem Punkt: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Beachten Sie, dass der Punkt (0,5; 1) auf der Niveaulinie 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 liegt, weil z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. To Zeichnen Sie den Vektor (-4; -2) in Abbildung 5.9, verbinden Sie den Punkt (0,5; 1) mit dem Punkt (-3,5; -1), denn (-3,5 - 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Nehmen wir einen anderen Punkt auf derselben Höhenlinie, zum Beispiel Punkt (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Berechnen Sie den Gradienten an diesem Punkt (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Um es in Abbildung 5.9 darzustellen, verbinden wir den Punkt (1; 0,5) mit dem Punkt (-1; -3,5), denn (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Nehmen wir noch einen Punkt auf der gleichen Höhenlinie, aber nur jetzt in einem kraftschlüssigen Koordinatenviertel. Beispiel: Punkt (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Der Gradient an diesem Punkt ist (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Stellen wir es in Abbildung 5.9 dar, indem wir den Punkt (-0,5; -1) mit dem Punkt (3,5; 1) verbinden, denn (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Es sei darauf hingewiesen, dass in allen drei betrachteten Fällen der Gradient die Wachstumsrichtung des Niveaus der Funktion zeigt (in Richtung der Niveaulinie 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Es kann bewiesen werden, dass die Steigung immer senkrecht zur Nivellierlinie (Niveaufläche) steht, die durch den gegebenen Punkt verläuft.

Extrema einer Funktion mehrerer Variablen

Lassen Sie uns das Konzept definieren extrem für eine Funktion mit vielen Variablen.

Die Funktion vieler Variablen f(X) hat an der Stelle X (0) Maximum Minimum), wenn es eine solche Umgebung dieses Punktes gibt, dass für alle Punkte X aus dieser Umgebung die Ungleichungen f(X)f(X (0)) () gelten.

Sind diese Ungleichungen streng erfüllt, so spricht man vom Extremum stark, und wenn nicht, dann schwach.

Beachten Sie, dass das auf diese Weise definierte Extremum ist lokal Charakter, da diese Ungleichungen nur für eine gewisse Umgebung des Extremumpunktes gelten.

Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion z=f(x 1, . . ., x n) an einem Punkt ist die Nullgleichheit aller partiellen Ableitungen erster Ordnung an diesem Punkt:
.

Die Punkte, an denen diese Gleichheiten gelten, werden aufgerufen stationär.

Anders lässt sich die notwendige Bedingung für ein Extremum wie folgt formulieren: Am Extremumpunkt ist die Steigung gleich Null. Es ist möglich, eine allgemeinere Aussage zu beweisen - am Extremum verschwinden die Ableitungen der Funktion in alle Richtungen.

Stationäre Punkte sollten zusätzlichen Studien unterzogen werden - ob ausreichende Bedingungen für die Existenz eines lokalen Extremums erfüllt sind. Bestimmen Sie dazu das Vorzeichen des Differentials zweiter Ordnung. Wenn es für alle, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, immer negativ (positiv) ist, dann hat die Funktion ein Maximum (Minimum). Wenn es nicht nur bei Nullinkrementen verschwinden kann, dann bleibt die Frage nach dem Extremum offen. Wenn es sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, gibt es am stationären Punkt kein Extremum.

Im allgemeinen Fall ist die Bestimmung des Vorzeichens des Differentials ein ziemlich kompliziertes Problem, auf das wir hier nicht eingehen werden. Für eine Funktion von zwei Variablen kann man das beweisen, wenn sie an einem stationären Punkt ist
, dann gibt es ein Extremum. In diesem Fall stimmt das Vorzeichen des zweiten Differentials mit dem Vorzeichen überein
, d.h. Wenn
, dann ist dies das Maximum, und wenn
, dann ist dies das Minimum. Wenn ein
, dann gibt es an dieser Stelle kein Extremum, und wenn
, dann bleibt die Frage nach dem Extremum offen.

Beispiel 1. Finden Sie Extrema einer Funktion
.

Lassen Sie uns partielle Ableitungen durch die Methode der logarithmischen Differenzierung finden.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Ähnlich
.

Lassen Sie uns stationäre Punkte aus dem Gleichungssystem finden:

Somit werden vier stationäre Punkte (1; 1), (1; -1), (-1; 1) und (-1; -1) gefunden.

Finden wir partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Ähnlich
;
.

Als
, Ausdruckszeichen
hängt nur davon ab
. Beachten Sie, dass bei diesen beiden Ableitungen der Nenner immer positiv ist, sodass Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder sogar das Vorzeichen der Ausdrücke x (x 2 - 3) und y (y 2 - 3) berücksichtigen können. Lassen Sie es uns an jedem kritischen Punkt bestimmen und die Erfüllung der hinreichenden Extremumsbedingung überprüfen.

Für Punkt (1; 1) erhalten wir 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 und
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Für Punkt (1; -1) erhalten wir 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Weil das Produkt dieser Zahlen
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Für den Punkt (-1; -1) erhalten wir (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. Produkt zweier positiver Zahlen
> 0 und
> 0, am Punkt (-1; -1) findet man ein Minimum. Es ist gleich 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Finden global Das Maximum oder Minimum (der größte oder kleinste Wert der Funktion) ist etwas komplizierter als das lokale Extremum, da diese Werte nicht nur an stationären Punkten, sondern auch an der Grenze des Definitionsbereichs erreicht werden können. Es ist nicht immer einfach, das Verhalten einer Funktion an der Grenze dieses Bereichs zu untersuchen.