Lineare Gleichungssysteme lösen. Inkompatible Systeme

Gegeben seien zwei Ungleichungen f 1(x) > g 1(x) und f 2(x) > g 2(x). System der Ungleichheiten ist ist eine Konjunktion dieser Ungleichungen . Das System ist wie folgt geschrieben:

Die Lösung für dieses System X, wodurch jede der Ungleichungen in eine echte numerische Ungleichung umgewandelt wird. Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems ist die Schnittmenge der Lösungsmengen von Ungleichungen, die das gegebene System bilden.

Ungleichheit | x| < a, wo a> 0, entspricht einem System oder einer doppelten Ungleichung -- a < x < a.

Satz von Ungleichungen f 1(x) > g 1(x) und f 2(x) > g 2(x) ist dich selbst Disjunktion dieser Ungleichungen .

Der Satz ist wie folgt geschrieben:

Die Lösung dieses Sets ein beliebiger Wert der Variablen ist X, die mindestens eine der Ungleichungen in der Menge in eine echte numerische Ungleichung verwandelt. Die Lösungsmenge einer Menge ist die Vereinigung der Lösungsmengen von Ungleichungen, die die Menge bilden.

Ungleichheit | x| > a, wo a> 0, entspricht der Menge

Aufgabe. Finden Sie eine Reihe von Lösungen für das System der Ungleichungen:

Entscheidung. Lassen Sie uns die Lösungsmengen für jede der Ungleichungen des Systems finden und dann ihren Schnittpunkt finden. Lassen Sie uns jede der Ungleichungen in die Form umwandeln x > a oder x < a.

Û Û

Û Û Û

X> -7 ist ein numerisches Intervall (-7; ¥) und die Menge der Lösungen der Ungleichung X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).

Aufgabe. Ungleichheit lösen | x+ 3| £4.

Entscheidung. Diese Ungleichung entspricht der doppelten Ungleichung -4 £ x+ 3 £ 4. Wenn wir es lösen, finden wir -7 £ x£ 1, dh XО [-7; ein].

Aufgabe. Finden Sie eine Menge von Populationslösungen

Entscheidung. Lassen Sie uns zuerst die Lösungsmengen für jede der Bevölkerungsungleichungen finden und dann ihre Vereinigung.

Wir transformieren jede der Populationsungleichungen und ersetzen sie durch eine äquivalente: Û Û Û

Die Menge der Lösungen für die Ungleichung X> 2 ist das numerische Intervall (2; ¥) und die Menge der Lösungen der Ungleichung X> 1 - Intervall (1; ¥). Finden wir ihre Vereinigung: (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥). Daher ist die Menge der Lösungen der Sammlung das numerische Intervall (1; ¥).

Aufgabe. Ungleichheit lösen | x+ 3| > 5.

Entscheidung. Diese Ungleichung entspricht der Menge der Ungleichungen:

Somit ist die Lösung der resultierenden Menge das Zahlenintervall (-¥; -8) È (2; ¥).

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Finde die Wahrheitsmengen der folgenden Konjunktionen von Ungleichungen und zeichne sie auf eine reelle Linie:

a) ( X> 3) du ( X> 5); G) ( X³ -7) u ( X³ -9);

b) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) du ( X£ -2);

in) ( X³ -4) u ( X£ -2); e) ( X³ -6) u ( X < 11).

2. Lösen Sie Ungleichungssysteme:

a) b)

in) G)

3. Lösungen von Ungleichungen finden:

a) | x - 6| < 13; в) |3x- 6| 0 €;

b) |5 - 2 x| £3; d) |3 x - 8| < - 1.

4. Finden Sie die Wahrheitsmengen der folgenden Disjunktionen von Ungleichungen:

a) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); G) ( X < 2) Ú (X > 8);

§ein. Systeme linearer Gleichungen.

System anzeigen

ein System genannt m lineare Gleichungen mit n Unbekannt.

Hier
- Unbekannt, - Koeffizienten für Unbekannte,
- freie Mitglieder der Gleichungen.

Wenn alle freien Terme der Gleichungen gleich Null sind, wird das System aufgerufen homogen.Entscheidung System heißt eine Menge von Zahlen
, wenn sie anstelle von Unbekannten in das System eingesetzt werden, werden alle Gleichungen zu Identitäten. Das System wird aufgerufen gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein gemeinsames System mit einer einzigartigen Lösung wird aufgerufen sicher. Die beiden Systeme werden aufgerufen gleichwertig wenn die Mengen ihrer Lösungen gleich sind.

System (1) kann mit der Gleichung in Matrixform dargestellt werden

(2)

§2. Kompatibilität linearer Gleichungssysteme.

Wir nennen die erweiterte Matrix des Systems (1) die Matrix

Kronecker-Capelli-Theorem. System (1) ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Systemmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist:

§3. Systemlösungn lineare Gleichungen mitn Unbekannt.

Betrachten Sie ein inhomogenes System n lineare Gleichungen mit n Unbekannt:

(3)

Satz von Cramer.Wenn die Hauptdeterminante des Systems (3)
, dann hat das System eine eindeutige Lösung, die durch die Formeln bestimmt wird:

jene.
,

wo - die aus der Determinante erhaltene Determinante Ersatz Spalte zur Spalte der freien Mitglieder.

Wenn ein
, und mindestens einer von ≠0, dann hat das System keine Lösungen.

Wenn ein
, dann hat das System unendlich viele Lösungen.

System (3) kann mit seiner Matrixschreibweise (2) gelöst werden. Wenn der Rang der Matrix SONDERN gleich n, d.h.
, dann die Matrix SONDERN hat eine Umkehrung
. Multiplizieren der Matrixgleichung
zu Matrix
links erhalten wir:

Die letzte Gleichheit drückt eine Möglichkeit aus, lineare Gleichungssysteme mit einer inversen Matrix zu lösen.

Beispiel. Lösen Sie das Gleichungssystem mit der inversen Matrix.

Entscheidung. Matrix
nicht entartet, weil
, also gibt es eine inverse Matrix. Lassen Sie uns die inverse Matrix berechnen:
.

Die Übung. Lösen Sie das System nach Cramers Methode.

§4. Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme.

Gegeben sei ein inhomogenes System linearer Gleichungen der Form (1).

Nehmen wir an, das System sei konsistent, d.h. die Bedingung des Satzes von Kronecker-Capelli ist erfüllt:
. Wenn der Rang der Matrix
(auf die Anzahl der Unbekannten), dann hat das System eine eindeutige Lösung. Wenn ein
, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Lassen Sie uns erklären.

Lassen Sie den Rang der Matrix r(EIN)= r< n. Soweit
, dann gibt es eine von Null verschiedene Ordnung r. Nennen wir es das grundlegende Moll. Die Unbekannten, deren Koeffizienten den Basisminor bilden, werden Basisvariablen genannt. Die verbleibenden Unbekannten werden als freie Variablen bezeichnet. Wir ordnen die Gleichungen neu an und nummerieren die Variablen neu, sodass sich dieser Minor in der oberen linken Ecke der Systemmatrix befindet:

Zuerst r Zeilen sind linear unabhängig, der Rest wird durch sie ausgedrückt. Daher können diese Zeilen (Gleichungen) verworfen werden. Wir bekommen:

Geben wir freien Variablen beliebige Zahlenwerte: . Wir lassen nur die Basisvariablen auf der linken Seite und verschieben die freien Variablen auf die rechte Seite.

Habe ein System r lineare Gleichungen mit r unbekannt, deren Determinante von 0 verschieden ist. Sie hat eine eindeutige Lösung.

Dieses System wird als allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems (1) bezeichnet. Ansonsten: Der Ausdruck von Grundvariablen in Bezug auf freie Variablen wird aufgerufen gemeinsame Lösung Systeme. Daraus können Sie eine unendliche Anzahl erhalten private Entscheidungen, wobei freien Variablen beliebige Werte gegeben werden. Eine bestimmte Lösung, die aus einem allgemeinen bei Nullwerten der freien Variablen erhalten wird, wird aufgerufen grundlegende Lösung. Die Zahl der verschiedenen Grundlösungen wird nicht überschritten
. Eine Basislösung mit nichtnegativen Komponenten wird aufgerufen ausschlaggebend Systemlösung.

Beispiel.

,r=2.

Variablen
- Basic,
- frei.

Lassen Sie uns die Gleichungen hinzufügen; ausdrücken
durch
:

- gemeinsame Entscheidung.

- private Lösung
.

- Grundlösung, basisch.

§5. Gauss-Methode.

Die Gauß-Methode ist eine universelle Methode zum Untersuchen und Lösen beliebiger linearer Gleichungssysteme. Es besteht darin, das System durch sequentielle Eliminierung von Unbekannten unter Verwendung elementarer Transformationen, die die Äquivalenz von Systemen nicht verletzen, in eine diagonale (oder dreieckige) Form zu bringen. Eine Variable gilt als ausgeschlossen, wenn sie in nur einer Gleichung des Systems mit einem Koeffizienten von 1 enthalten ist.

Elementare Transformationen Systeme sind:

Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl ungleich Null;

Addieren einer Gleichung multipliziert mit einer beliebigen Zahl mit einer anderen Gleichung;

Umordnung von Gleichungen;

Fallenlassen der Gleichung 0 = 0.

Elementare Transformationen können nicht an Gleichungen, sondern an erweiterten Matrizen der resultierenden äquivalenten Systeme durchgeführt werden.

Beispiel.

Entscheidung. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems:

Durch elementare Transformationen bringen wir die linke Seite der Matrix in die Einheitsform: Wir erstellen Einheiten auf der Hauptdiagonale und Nullen außerhalb davon.

Kommentar. Wenn bei elementaren Transformationen eine Gleichung der Form 0 = zu(wo zu0), dann ist das System inkonsistent.

Die Lösung linearer Gleichungssysteme durch die Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten kann in der Form formalisiert werden Tische.

Die linke Spalte der Tabelle enthält Informationen zu den ausgeschlossenen (Basis-)Variablen. Die restlichen Spalten enthalten die Koeffizienten der Unbekannten und die freien Terme der Gleichungen.

Die erweiterte Matrix des Systems wird in die Quelltabelle geschrieben. Fahren Sie als Nächstes mit der Implementierung der Jordan-Transformationen fort:

1. Wählen Sie eine Variable aus , die zur Grundlage wird. Die entsprechende Spalte wird Schlüsselspalte genannt. Wählen Sie eine Gleichung, in der diese Variable bleibt und von anderen Gleichungen ausgeschlossen wird. Die entsprechende Tabellenzeile wird Schlüsselzeile genannt. Koeffizient Das , das am Schnittpunkt der Schlüsselreihe und der Schlüsselspalte steht, wird als Schlüssel bezeichnet.

2. Elemente der Schlüsselzeichenfolge werden durch das Schlüsselelement dividiert.

3. Die Schlüsselspalte wird mit Nullen gefüllt.

4. Die restlichen Elemente werden nach der Rechteckregel berechnet. Sie bilden ein Rechteck, an dessen gegenüberliegenden Ecken sich ein Schlüsselelement und ein neu berechnetes Element befinden; vom Produkt der Elemente auf der Diagonalen des Rechtecks mit dem Schlüsselelement wird das Produkt der Elemente einer anderen Diagonale abgezogen, die resultierende Differenz wird durch das Schlüsselelement dividiert.

Beispiel. Finden Sie die allgemeine Lösung und die Basislösung des Gleichungssystems:

Entscheidung.

Allgemeine Lösung des Systems:

Grundlösung:
.

Eine einmalige Substitutionstransformation ermöglicht es, von einer Basis des Systems zu einer anderen zu gelangen: Anstelle einer der Hauptvariablen wird eine der freien Variablen in die Basis eingeführt. Dazu wird in der freien Variablenspalte ein Schlüsselelement ausgewählt und Transformationen nach obigem Algorithmus durchgeführt.

§6. Unterstützungslösungen finden

Die Referenzlösung eines linearen Gleichungssystems ist eine Basislösung, die keine negativen Komponenten enthält.

Die Stützlösungen des Systems werden durch das Gauß-Verfahren unter den folgenden Bedingungen gefunden.

1. Im Originalsystem müssen alle freien Terme nichtnegativ sein:
.

2. Das Schlüsselelement wird aus positiven Koeffizienten ausgewählt.

3. Wenn die in die Basis eingeführte Variable mehrere positive Koeffizienten hat, dann ist die Schlüsselkette diejenige, in der das Verhältnis des freien Terms zum positiven Koeffizienten am kleinsten ist.

Bemerkung 1. Wenn beim Eliminieren der Unbekannten eine Gleichung auftritt, in der alle Koeffizienten nicht positiv sind, und der freie Term
, dann hat das System keine nichtnegativen Lösungen.

Bemerkung 2. Wenn in den Koeffizientenspalten für freie Variablen kein einziges positives Element vorhanden ist, ist der Übergang zu einer anderen Referenzlösung unmöglich.

Beispiel.

Wenn ein Problem weniger als drei Variablen hat, ist es kein Problem; bei mehr als acht ist es unentscheidbar. Enon.

Probleme mit Parametern finden sich in allen Varianten der USE, da sich bei deren Lösung am deutlichsten herausstellt, wie tief und informell das Wissen des Absolventen ist. Die Schwierigkeiten, auf die Schüler bei der Bewältigung solcher Aufgaben stoßen, werden nicht nur durch ihre relative Komplexität verursacht, sondern auch durch die Tatsache, dass sie in Lehrbüchern unzureichend berücksichtigt werden. In Varianten von KIMs in der Mathematik gibt es zwei Arten von Zuordnungen mit Parametern. Erstens: "Löse für jeden Wert des Parameters die Gleichung, Ungleichung oder das System." Zweitens: "Finde alle Werte des Parameters, für die die Lösungen der Ungleichung, Gleichung oder des Systems die gegebenen Bedingungen erfüllen." Dementsprechend unterscheiden sich die Antworten bei diesen beiden Arten von Problemen im Wesentlichen. Im ersten Fall werden alle möglichen Werte des Parameters in der Antwort aufgelistet und Lösungen der Gleichung für jeden dieser Werte geschrieben. Der zweite listet alle Parameterwerte auf, unter denen die Bedingungen des Problems erfüllt sind. Die Aufzeichnung der Antwort ist ein wesentlicher Schritt der Lösung. Es ist sehr wichtig, nicht zu vergessen, alle Phasen der Entscheidung in der Antwort widerzuspiegeln. Darauf müssen die Studierenden aufmerksam gemacht werden.
Der Anhang zur Lektion enthält zusätzliches Material zum Thema "Lösen linearer Gleichungssysteme mit Parametern", das die Vorbereitung auf die Abschlusszertifizierung erleichtert.

Unterrichtsziele:

Systematisierung des studentischen Wissens;
Entwicklung von Fähigkeiten zur Anwendung grafischer Darstellungen beim Lösen von Gleichungssystemen;
Bildung der Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme zu lösen, die Parameter enthalten;
Durchführung der betrieblichen Kontrolle und Selbstkontrolle der Studierenden;
Entwicklung der Forschung und kognitiven Aktivität von Schulkindern, die Fähigkeit, die erzielten Ergebnisse zu bewerten.

Der Unterricht ist auf zwei Unterrichtsstunden ausgelegt.

Während des Unterrichts

Zeit organisieren

Nachrichtenthemen, Ziele und Ziele der Lektion.

Aktualisierung des Grundwissens der Schüler

Überprüfung der Hausaufgaben. Als Hausaufgabe sollten die Schüler jedes der drei linearen Gleichungssysteme lösen

a) b) in)

grafisch und analytisch; ziehen Sie eine Schlussfolgerung über die Anzahl der erhaltenen Lösungen für jeden Fall

Die Schlussfolgerungen der Schüler werden angehört und analysiert. Die Ergebnisse der Arbeit unter Anleitung der Lehrkraft werden in Heften zusammengefasst.

Im Allgemeinen kann ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten dargestellt werden als: .

Ein gegebenes Gleichungssystem grafisch zu lösen bedeutet, die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen dieser Gleichungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine gibt. Der Graph jeder Gleichung dieses Systems in der Ebene ist eine gerade Linie.

Es gibt drei Fälle der gegenseitigen Anordnung zweier Geraden in einer Ebene:

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Für jeden Fall ist es sinnvoll, ein Bild zu zeichnen.

Neues Material lernen

Heute lernen wir in der Lektion, wie man lineare Gleichungssysteme löst, die Parameter enthalten. Ein Parameter ist eine unabhängige Variable, deren Wert in dem Problem als eine gegebene feste oder willkürliche reelle Zahl oder als eine Zahl, die zu einer vorbestimmten Menge gehört, betrachtet wird. Ein Gleichungssystem mit einem Parameter zu lösen bedeutet, eine Entsprechung herzustellen, die es ermöglicht, für jeden Wert des Parameters den entsprechenden Satz von Lösungen für das System zu finden.

Die Lösung eines Problems mit einem Parameter hängt von der darin gestellten Frage ab. Wenn Sie nur ein Gleichungssystem für verschiedene Werte eines Parameters lösen oder untersuchen müssen, müssen Sie für jeden Parameterwert oder für einen Parameterwert, der zu einer im Voraus festgelegten Menge gehört, eine vernünftige Antwort geben . Wenn es notwendig ist, die Werte des Parameters zu finden, die bestimmte Bedingungen erfüllen, ist eine vollständige Studie nicht erforderlich, und die Lösung des Systems ist darauf beschränkt, diese bestimmten Werte des Parameters zu finden.

Beispiel 1 Für jeden Parameterwert lösen wir das Gleichungssystem

Entscheidung.

Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn

In diesem Fall haben wir

Wenn a = 0, dann nimmt das System die Form an

Das System ist inkonsistent, d.h. hat keine Lösungen.

Wenn dann das System in Form geschrieben werden kann

Es ist offensichtlich, dass das System in diesem Fall unendlich viele Lösungen der Form x = t hat; wobei t eine beliebige reelle Zahl ist.

Antworten:

Beispiel 2

hat eine eindeutige Lösung;
hat viele Lösungen;
hat keine Lösungen?

Entscheidung.

Antworten:

Beispiel 3 Lassen Sie uns die Summe der Parameter a und b finden, für die das System

hat unendlich viele Lösungen.

Entscheidung. Das System hat unendlich viele Lösungen, wenn

Das heißt, wenn a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 = 48.

Antwort: 48.

Festigung des Erlernten im Zuge der Problemlösung

Nr. 15.24(a) . Lösen Sie für jeden Parameterwert das Gleichungssystem

#15.25(a) Lösen Sie für jeden Parameterwert das Gleichungssystem

Für welche Werte des Parameters a das Gleichungssystem

a) hat keine Lösungen; b) hat unendlich viele Lösungen.

Antwort: Für a = 2 gibt es keine Lösungen, für a = -2 gibt es unendlich viele Lösungen

Praktische Arbeit in Gruppen

Die Klasse wird in Gruppen von 4-5 Personen eingeteilt. Jede Gruppe umfasst Studenten mit unterschiedlichen Niveaus der mathematischen Ausbildung. Jede Gruppe erhält eine Karte mit einer Aufgabe. Sie können alle Gruppen einladen, ein Gleichungssystem zu lösen und die Lösung zu erstellen. Die Gruppe, die die Aufgabe richtig gelöst hat, stellt zuerst ihre Lösung vor; der Rest übergibt die Entscheidung an den Lehrer.

Karte. Lineares Gleichungssystem lösen

für alle Werte des Parameters a.

Antwort: wann Das System hat eine einzigartige Lösung ; wenn es keine Lösungen gibt; für a = -1 gibt es unendlich viele Lösungen der Form (t; 1- t) mit t R

Bei starker Klasse können den Gruppen verschiedene Gleichungssysteme angeboten werden, deren Liste in Anhang 1 zu finden ist. Anschließend stellt jede Gruppe ihre Lösung der Klasse vor.

Bericht der Gruppe, die die Aufgabe zuerst richtig gelöst hat

Die Teilnehmer äußern und erklären ihre Version der Lösung und beantworten Fragen, die von Vertretern anderer Gruppen aufgekommen sind.

Selbstständige Arbeit

Variante 1

Option 2

Zusammenfassung der Lektion

Das Lösen linearer Gleichungssysteme mit Parametern kann mit einer Studie verglichen werden, die drei Hauptbedingungen umfasst. Der Lehrer fordert die Schüler auf, diese zu formulieren.

Beachten Sie bei der Entscheidung:

Damit das System eine eindeutige Lösung hat, müssen sich die Linien, die der Gleichung des Systems entsprechen, schneiden, d.h. es ist notwendig, die Bedingung zu erfüllen;
Um keine Lösungen zu haben, müssen die Linien parallel sein, d.h. die Bedingung war erfüllt
und schließlich, damit das System unendlich viele Lösungen hat, müssen die Geraden zusammenfallen, d.h. Bedingung war erfüllt.

Der Lehrer bewertet die Arbeit im Unterricht der Klasse als Ganzes und setzt Noten für den Unterricht für einzelne Schüler fest. Nach Überprüfung der selbstständigen Arbeit erhält jeder Schüler eine Beurteilung für die Unterrichtsstunde.

Hausaufgaben

Für welche Werte des Parameters b das Gleichungssystem

hat unendlich viele Lösungen;
hat keine Lösungen?

Die Graphen der Funktionen y = 4x + b und y = kx + 6 sind symmetrisch um die y-Achse.

Finden Sie b und k,
Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts dieser Graphen.

Lösen Sie das Gleichungssystem für alle Werte von m und n.

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen für alle Werte des Parameters a (beliebige Wahl).

Literatur

Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse: Lehrbuch. für 11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin - M .: Bildung, 2008.
Mathematik: Klasse 9: Vorbereitung auf das staatliche Abschlusszeugnis / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
Vorbereitung auf die Uni. Mathematik. Teil 2 Zustand Technik. un-t; Institut für Moderne Technik. und Wirtschaft; Zusammengestellt von: S. N. Gorshkova, L. M. Danovich, N. A. Naumova, A. V. Martynenko, I.A. Palschtschikow. – Krasnodar, 2006.
Sammlung mathematischer Probleme für Vorbereitungskurse TUSUR: Lehrbuch / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S.N. Kudinov. – Tomsk: Tomsk. Bundesland. Universität für Kontrollsysteme und Radioelektronik, 1998.
Mathematik: ein intensiver Vorbereitungskurs für die Prüfung / O. Yu. Cherkasov, A. G. Yakushev. - M.: Rolf, Irispresse, 1998.

Wir beschäftigen uns weiterhin mit linearen Gleichungssystemen. Bisher haben wir Systeme betrachtet, die eine einzigartige Lösung haben. Solche Systeme können auf beliebige Weise gelöst werden: Substitutionsmethode("Schule") nach Cramers Formeln, Matrixmethode, Gauss-Methode. In der Praxis sind jedoch zwei weitere Fälle weit verbreitet, wenn:

1) das System ist inkonsistent (hat keine Lösungen);

2) Das System hat unendlich viele Lösungen.

Für diese Systeme kommt das universellste aller Lösungsverfahren zum Einsatz - Gauss-Methode. Tatsächlich wird auch die "Schul"-Methode zur Antwort führen, aber in der höheren Mathematik ist es üblich, die Gaußsche Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten zu verwenden. Diejenigen, die mit dem Algorithmus der Gauß-Methode nicht vertraut sind, lesen Sie bitte zuerst die Lektion Gauss-Methode

Die elementaren Matrixtransformationen selbst sind genau gleich, wird der Unterschied am Ende der Lösung liegen. Betrachten Sie zunächst einige Beispiele, bei denen das System keine Lösungen hat (inkonsistent).

Beispiel 1

Was fällt Ihnen bei diesem System sofort ins Auge? Die Anzahl der Gleichungen ist kleiner als die Anzahl der Variablen. Es gibt ein Theorem, das besagt: „Wenn die Anzahl der Gleichungen im System kleiner ist als die Anzahl der Variablen, dann ist das System entweder inkonsistent oder hat unendlich viele Lösungen. Und es bleibt nur herauszufinden.

Der Anfang der Lösung ist ganz gewöhnlich - wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

(ein). Auf der oberen linken Stufe müssen wir (+1) oder (-1) erhalten. In der ersten Spalte gibt es keine solchen Zahlen, daher funktioniert das Neuanordnen der Zeilen nicht. Die Einheit muss unabhängig organisiert werden, und dies kann auf verschiedene Weise erfolgen. Das haben wir getan. Zur ersten Zeile addieren wir die dritte Zeile, multipliziert mit (-1).

(2). Jetzt bekommen wir zwei Nullen in der ersten Spalte. Addieren Sie zur zweiten Zeile die erste Zeile multipliziert mit 3. Fügen Sie zur dritten Zeile die erste Zeile multipliziert mit 5 hinzu.

(3). Nachdem die Transformation abgeschlossen ist, ist es immer ratsam zu prüfen, ob es möglich ist, die resultierenden Zeichenfolgen zu vereinfachen? Dürfen. Wir teilen die zweite Zeile durch 2 und erhalten gleichzeitig die gewünschte Eins (-1) im zweiten Schritt. Teilen Sie die dritte Zeile durch (-3).

(4). Fügen Sie die zweite Zeile zur dritten Zeile hinzu. Wahrscheinlich haben alle auf die schlechte Linie geachtet, die sich als Ergebnis elementarer Transformationen herausstellte:

. Dass das nicht sein kann, ist klar.

Tatsächlich schreiben wir die resultierende Matrix um

zurück zum linearen Gleichungssystem:

Wenn als Ergebnis elementarer Transformationen eine Zeichenfolge der Form , woλ eine Zahl ungleich Null ist, dann ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen).

Wie zeichnet man das Ende einer Aufgabe auf? Sie müssen den Satz aufschreiben:

„Als Ergebnis elementarer Transformationen erhält man eine Zeichenfolge der Form wo λ ≠ 0 ". Antwort: "Das System hat keine Lösungen (inkonsistent)."

Bitte beachten Sie, dass es in diesem Fall keine Rückwärtsbewegung des Gaußschen Algorithmus gibt, es keine Lösungen gibt und einfach nichts zu finden ist.

Beispiel 2

Löse ein lineares Gleichungssystem

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wir erinnern Sie noch einmal daran, dass Ihr Lösungsprozess von unserem Lösungsprozess abweichen kann, die Gauß-Methode keinen eindeutigen Algorithmus vorgibt, Sie das Verfahren und die Aktionen selbst jeweils selbst erraten müssen.

Ein weiteres technisches Feature der Lösung: Elementare Transformationen können gestoppt werden sofort, sobald eine Zeile wie , wo λ ≠ 0 . Betrachten Sie ein bedingtes Beispiel: Nehmen Sie an, dass wir nach der ersten Transformation eine Matrix erhalten

Diese Matrix wurde noch nicht auf eine Stufenform reduziert, aber es besteht keine Notwendigkeit für weitere elementare Transformationen, da eine Linie der Form erschienen ist, wo λ ≠ 0 . Es sollte sofort geantwortet werden, dass das System inkompatibel ist.

Wenn ein lineares Gleichungssystem keine Lösungen hat, ist dies fast ein Geschenk an den Schüler, da eine kurze Lösung erhalten wird, manchmal buchstäblich in 2-3 Schritten. Aber alles auf dieser Welt ist ausgeglichen, und das Problem, bei dem das System unendlich viele Lösungen hat, ist nur länger.

Beispiel 3:

Löse ein lineares Gleichungssystem

Es gibt 4 Gleichungen und 4 Unbekannte, sodass das System entweder eine einzige Lösung oder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben kann. Was auch immer es war, aber die Gauß-Methode wird uns auf jeden Fall zur Antwort führen. Das ist seine Vielseitigkeit.

Der Anfang ist wieder Standard. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Das ist alles, und du hattest Angst.

(ein). Bitte beachten Sie, dass alle Zahlen in der ersten Spalte durch 2 teilbar sind, also geben wir uns auf der oberen linken Stufe auch mit einer Zwei zufrieden. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit (-4). Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit (-2). Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit (-1).

Beachtung! Viele mögen von der vierten Linie an versucht werden subtrahieren erste Linie. Dies kann gemacht werden, ist aber nicht notwendig, die Erfahrung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Berechnungsfehlers um ein Vielfaches zunimmt. Wir addieren einfach: Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit (-1) - genau so!

(2). Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon können gelöscht werden. Auch hier gilt es zu zeigen erhöhte Aufmerksamkeit, aber sind die Linien wirklich proportional? Für die Rückversicherung ist es nicht überflüssig, die zweite Zeile mit (-1) zu multiplizieren und die vierte Zeile durch 2 zu dividieren, was drei identische Zeilen ergibt. Und erst danach zwei davon entfernen. Durch elementare Transformationen wird die erweiterte Matrix des Systems auf eine Stufenform reduziert:

Wenn Sie eine Aufgabe in einem Notizbuch erledigen, ist es ratsam, die gleichen Notizen zur besseren Übersichtlichkeit mit Bleistift zu machen.

Wir schreiben das entsprechende Gleichungssystem um:

Die „übliche“ einzige Lösung des Systems stinkt hier nicht. Schlechte Linie wo λ ≠ 0, auch nicht. Dies ist also der dritte verbleibende Fall - das System hat unendlich viele Lösungen.

Die unendliche Menge von Lösungen des Systems wird kurz in Form der sogenannten geschrieben allgemeine Systemlösung.

Wir werden die allgemeine Lösung des Systems finden, indem wir die umgekehrte Bewegung des Gauß-Verfahrens verwenden. Für Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen tauchen neue Konzepte auf: "Grundlegende Variablen" und "freie Variablen". Lassen Sie uns zunächst definieren, welche Variablen wir haben Basic, und welche Variablen - frei. Es ist nicht notwendig, die Begriffe der linearen Algebra im Detail zu erklären, es genügt, sich daran zu erinnern, dass es solche gibt Basisvariablen und freie Variablen.

Basisvariablen "sitzen" immer strikt auf den Stufen der Matrix. In diesem Beispiel sind die Basisvariablen x 1 und x 3 .

Freie Variablen sind alles verbleibend Variablen, die keinen Schritt bekommen haben. In unserem Fall sind es zwei: x 2 und x 4 - freie Variablen.

Jetzt brauchen Sie allesBasisvariablen ausdrücken nur durchfreie Variablen. Die umgekehrte Bewegung des Gaußschen Algorithmus funktioniert traditionell von unten nach oben. Aus der zweiten Gleichung des Systems drücken wir die Grundvariable aus x 3:

Betrachten Sie nun die erste Gleichung: . Zuerst ersetzen wir den gefundenen Ausdruck:

Es bleibt, die Grundvariable auszudrücken x 1 durch freie Variablen x 2 und x 4:

Das Ergebnis ist, was Sie brauchen - alles Basisvariablen ( x 1 und x 3) ausgedrückt nur durch freie Variablen ( x 2 und x 4):

Eigentlich ist die allgemeine Lösung fertig:

Wie schreibe ich die allgemeine Lösung auf? Zunächst werden freie Variablen „von alleine“ und strikt an ihren Stellen in die allgemeine Lösung geschrieben. In diesem Fall die freien Variablen x 2 und x 4 sollte an der zweiten und vierten Position geschrieben werden:

Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen und muss natürlich an erster und dritter Stelle geschrieben werden:

Aus der allgemeinen Lösung des Systems kann man unendlich viele finden private Entscheidungen. Es ist sehr einfach. freie Variablen x 2 und x 4 werden so genannt, weil sie gegeben werden können eventuelle Endwerte. Die beliebtesten Werte sind Nullwerte, da dies der einfachste Weg ist, eine bestimmte Lösung zu erhalten.

Ersetzen ( x 2 = 0; x 4 = 0) in die allgemeine Lösung erhalten wir eine der speziellen Lösungen:

, oder ist eine bestimmte Lösung, die freien Variablen mit Werten entspricht ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Die einen sind ein weiteres süßes Paar, lasst uns ersetzen ( x 2 = 1 und x 4 = 1) in die allgemeine Lösung:

, d.h. (-1; 1; 1; 1) ist eine weitere spezielle Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass das Gleichungssystem gilt unendlich viele Lösungen da wir freie Variablen angeben können irgendein Werte.

Jede eine bestimmte Lösung muss genügen zu jedem Systemgleichung. Dies ist die Grundlage für eine „schnelle“ Überprüfung der Richtigkeit der Lösung. Nehmen Sie zum Beispiel eine bestimmte Lösung (-1; 1; 1; 1) und setzen Sie sie in die linke Seite jeder Gleichung im ursprünglichen System ein:

Alles muss zusammenpassen. Und bei jeder speziellen Lösung, die Sie erhalten, sollte auch alles zusammenlaufen.

Streng genommen täuscht die Überprüfung einer bestimmten Lösung manchmal, d.h. eine bestimmte Lösung kann jede Gleichung des Systems erfüllen, und die allgemeine Lösung selbst wird tatsächlich falsch gefunden. Daher ist zunächst einmal die Überprüfung der allgemeinen Lösung gründlicher und zuverlässiger.

So überprüfen Sie die resultierende allgemeine Lösung ?

Es ist nicht schwierig, aber es erfordert eine ziemlich lange Transformation. Wir müssen Ausdrücke nehmen Basic Variablen, in diesem Fall und , und ersetzen Sie sie auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems.

Zur linken Seite der ersten Gleichung des Systems:

Die rechte Seite der ursprünglichen ersten Gleichung des Systems wird erhalten.

Zur linken Seite der zweiten Gleichung des Systems:

Die rechte Seite der ursprünglichen zweiten Gleichung des Systems wird erhalten.

Und weiter - zu den linken Teilen der dritten und vierten Gleichung des Systems. Diese Prüfung ist zwar länger, garantiert aber die 100%ige Korrektheit der Gesamtlösung. Darüber hinaus ist es bei einigen Aufgaben erforderlich, die allgemeine Lösung zu überprüfen.

Beispiel 4:

Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode. Finden Sie eine allgemeine Lösung und zwei private. Überprüfen Sie die Gesamtlösung.

Beispiel 5:

Löse ein lineares Gleichungssystem. Wenn das System unendlich viele Lösungen hat, finden Sie zwei bestimmte Lösungen und überprüfen Sie die allgemeine Lösung

Entscheidung: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen auf eine Stufenform:

(ein). Fügen Sie die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2. Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 3.

(2). Zur dritten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit (-5). Zur vierten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit (-7).

(3). Die dritte und vierte Zeile sind gleich, wir löschen eine davon. Hier ist so eine Schönheit:

Basisvariablen sitzen auf Stufen, sind also Basisvariablen.

Es gibt nur eine freie Variable, die keinen Schritt bekommen hat: .

(4). Rückwärtsbewegung. Wir drücken die Basisvariablen durch die freie Variable aus:

Aus der dritten Gleichung:

Betrachten Sie die zweite Gleichung und setzen Sie den gefundenen Ausdruck ein:

, , ,

Betrachten Sie die erste Gleichung und setzen Sie die gefundenen Ausdrücke und in sie ein:

Also die allgemeine Lösung mit einer freien Variablen x 4:

Noch einmal, wie ist es passiert? freie Variable x 4 sitzt allein auf seinem rechtmäßigen vierten Platz. Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen , , stehen ebenfalls an ihren Stellen.

Lassen Sie uns gleich die allgemeine Lösung überprüfen.

Wir setzen die Basisvariablen , , in die linke Seite jeder Gleichung des Systems ein:

Man erhält die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen und damit die richtige allgemeine Lösung.

Nun von der gefundenen allgemeinen Lösung wir erhalten zwei besondere Lösungen. Alle Variablen werden hier durch eine einzige ausgedrückt freie Variable x 4 . Sie müssen sich nicht den Kopf zerbrechen.

Lassen x 4 = 0, dann ist die erste spezielle Lösung.

Lassen x 4 = 1, dann ist eine weitere besondere Lösung.

Antworten: Gemeinsame Entscheidung: . Private Lösungen:

und .

Beispiel 6:

Finden Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Die allgemeine Lösung haben wir bereits geprüft, der Antwort kann man vertrauen. Ihre Vorgehensweise kann von unserer Vorgehensweise abweichen. Die Hauptsache ist, dass die allgemeinen Lösungen übereinstimmen. Wahrscheinlich haben viele einen unangenehmen Moment in den Lösungen bemerkt: Sehr oft mussten wir im umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode mit gewöhnlichen Brüchen herumspielen. In der Praxis trifft dies zu, Fälle, in denen es keine Brüche gibt, sind viel seltener. Bereiten Sie sich mental und vor allem technisch vor.

Lassen Sie uns auf die Merkmale der Lösung eingehen, die in den gelösten Beispielen nicht gefunden wurden. Die allgemeine Lösung des Systems kann manchmal eine Konstante (oder Konstanten) enthalten.

Zum Beispiel die allgemeine Lösung: . Hier ist eine der Grundvariablen gleich einer konstanten Zahl: . Darin ist nichts Exotisches, das passiert. Offensichtlich wird in diesem Fall jede bestimmte Lösung eine Fünf an der ersten Position enthalten.

Selten, aber es gibt Systeme, in denen die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen. Die Gauß-Methode funktioniert jedoch unter den härtesten Bedingungen. Sie sollten die erweiterte Matrix des Systems in aller Ruhe nach dem Standardalgorithmus in eine abgestufte Form bringen. Ein solches System kann inkonsistent sein, unendlich viele Lösungen haben und seltsamerweise eine eindeutige Lösung haben.

Wir wiederholen unseren Ratschlag - um sich beim Lösen eines Systems mit der Gauß-Methode wohl zu fühlen, sollten Sie Ihre Hand füllen und mindestens ein Dutzend Systeme lösen.

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:

Entscheidung:Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems auf und bringen sie durch elementare Transformationen in eine Stufenform.

Durchgeführte elementare Transformationen:

(1) Die erste und dritte Zeile wurden vertauscht.

(2) Die erste Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert, multipliziert mit (-6). Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit (-7).

(3) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit (-1).

Als Ergebnis elementarer Transformationen entsteht eine Zeichenfolge der Form, wo λ ≠ 0 .Das System ist also inkonsistent.Antworten: es gibt keine lösungen.

Beispiel 4:

Entscheidung:Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Durchgeführte Konvertierungen:

(ein). Die erste Zeile multipliziert mit 2 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

Für den zweiten Schritt gibt es keine Einheit , und Transformation (2) zielt darauf ab, es zu erhalten.

(2). Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -3.

(3). Die zweite und dritte Zeile wurden vertauscht (die resultierende -1 wurde in den zweiten Schritt verschoben)

(4). Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile addiert und mit 3 multipliziert.

(5). Das Vorzeichen der ersten beiden Zeilen wurde geändert (multipliziert mit -1), die dritte Zeile wurde durch 14 geteilt.

Rückwärtsbewegung:

(ein). Hier sind die grundlegenden Variablen (die sich auf Stufen befinden) und sind freie Variablen (die den Schritt nicht bekommen haben).

(2). Wir drücken die Grundvariablen durch freie Variablen aus:

Aus der dritten Gleichung: .

(3). Betrachten Sie die zweite Gleichung:, besondere Lösungen:

Antworten: Gemeinsame Entscheidung:

Komplexe Zahlen

In diesem Abschnitt stellen wir das Konzept vor komplexe Zahl, in Betracht ziehen algebraisch, trigonometrisch und Form zeigen komplexe Zahl. Außerdem lernen Sie, wie Sie Operationen mit komplexen Zahlen durchführen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung und Wurzelziehen.

Um komplexe Zahlen zu beherrschen, benötigen Sie keine speziellen Kenntnisse aus dem Studium der höheren Mathematik, und der Stoff steht sogar einem Schulkind zur Verfügung. Es reicht aus, algebraische Operationen mit "gewöhnlichen" Zahlen ausführen zu können und sich an die Trigonometrie zu erinnern.

Erinnern wir uns zuerst an die "normalen" Zahlen. In der Mathematik heißen sie Menge reeller Zahlen und sind mit dem Buchstaben gekennzeichnet R, oder R (dick). Alle reellen Zahlen liegen auf dem bekannten Zahlenstrahl:

Die Gesellschaft der reellen Zahlen ist sehr bunt - hier gibt es ganze Zahlen und Brüche und irrationale Zahlen. In diesem Fall entspricht jeder Punkt der numerischen Achse notwendigerweise einer reellen Zahl.

In der Praxis sind jedoch zwei weitere Fälle weit verbreitet:

– Das System ist inkonsistent (hat keine Lösungen);
Das System ist konsistent und hat unendlich viele Lösungen.

Notiz : Der Begriff "Konsistenz" impliziert, dass das System zumindest eine Lösung hat. Bei einer Reihe von Aufgaben ist es erforderlich, das System vorab auf Kompatibilität zu untersuchen, wie dies zu tun ist - siehe Artikel über Matrix Rang.

Beispiel 1

Was fällt Ihnen bei diesem System sofort ins Auge? Die Anzahl der Gleichungen ist kleiner als die Anzahl der Variablen. Wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen, dann können wir sofort sagen, dass das System entweder inkonsistent ist oder unendlich viele Lösungen hat. Und es bleibt nur herauszufinden.

Der Anfang der Lösung ist ganz gewöhnlich - wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine schrittweise Form:

(1) Auf der oberen linken Stufe müssen wir +1 oder -1 erhalten. In der ersten Spalte gibt es keine solchen Zahlen, daher funktioniert das Neuanordnen der Zeilen nicht. Die Einheit muss unabhängig organisiert werden, und dies kann auf verschiedene Weise erfolgen. Ich habe folgendes gemacht: Zur ersten Zeile füge die dritte Zeile hinzu, multipliziert mit -1.

(2) Jetzt bekommen wir zwei Nullen in der ersten Spalte. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 3. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 5.

(3) Nachdem die Transformation abgeschlossen ist, ist es immer ratsam zu prüfen, ob es möglich ist, die resultierenden Zeichenfolgen zu vereinfachen? Dürfen. Wir teilen die zweite Zeile durch 2 und erhalten gleichzeitig die gewünschte -1 im zweiten Schritt. Teilen Sie die dritte Zeile durch -3.

(4) Fügen Sie die zweite Zeile zur dritten Zeile hinzu.

Wahrscheinlich haben alle auf die schlechte Linie geachtet, die sich als Ergebnis elementarer Transformationen herausstellte: . Dass das nicht sein kann, ist klar. Tatsächlich schreiben wir die resultierende Matrix um zurück zum linearen Gleichungssystem:

Wenn als Ergebnis elementarer Transformationen eine Zeichenfolge der Form erhalten wird, wobei eine Zahl ungleich Null ist, dann ist das System inkonsistent (hat keine Lösungen) .

Wie zeichnet man das Ende einer Aufgabe auf? Zeichnen wir mit weißer Kreide: "Als Ergebnis elementarer Transformationen wird eine Linie der Form erhalten, wo" und geben Sie die Antwort: Das System hat keine Lösungen (inkonsistent).

Wenn es gemäß der Bedingung erforderlich ist, das System auf Kompatibilität zu ERFORSCHEN, muss eine Lösung in einem solideren Stil unter Einbeziehung des Konzepts herausgegeben werden Matrixrang und das Kronecker-Capelli-Theorem.

Bitte beachten Sie, dass es hier keine Rückwärtsbewegung des Gaußschen Algorithmus gibt - es gibt keine Lösungen und es gibt einfach nichts zu finden.

Beispiel 2

Löse ein lineares Gleichungssystem

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Ich erinnere Sie noch einmal daran, dass Ihr Lösungsweg von meinem Lösungsweg abweichen kann, der Gaußsche Algorithmus hat keine starke „Steifigkeit“.

Ein weiteres technisches Feature der Lösung: Elementare Transformationen können gestoppt werden sofort, sobald eine Zeile wie , wo . Betrachten Sie ein bedingtes Beispiel: Nehmen Sie an, dass wir nach der ersten Transformation eine Matrix erhalten . Die Matrix wurde noch nicht auf eine Stufenform reduziert, aber es besteht keine Notwendigkeit für weitere elementare Transformationen, da eine Linie der Form erschienen ist, wo . Es sollte sofort geantwortet werden, dass das System inkompatibel ist.

Wenn ein lineares Gleichungssystem keine Lösungen hat, ist dies fast ein Geschenk, da eine kurze Lösung erhalten wird, manchmal buchstäblich in 2-3 Schritten.

Aber alles auf dieser Welt ist ausgeglichen, und das Problem, bei dem das System unendlich viele Lösungen hat, ist nur länger.

Beispiel 3

Löse ein lineares Gleichungssystem

Der Anfang ist wieder Standard. Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Das ist alles, und du hattest Angst.

(1) Beachten Sie, dass alle Zahlen in der ersten Spalte durch 2 teilbar sind, also ist eine 2 auf der obersten linken Sprosse in Ordnung. Zur zweiten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit -4. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit -2. Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile, multipliziert mit -1.

Beachtung! Viele mögen von der vierten Linie an versucht werden subtrahieren erste Linie. Dies kann gemacht werden, ist aber nicht notwendig, die Erfahrung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Berechnungsfehlers um ein Vielfaches zunimmt. Einfach addieren: Zur vierten Zeile addieren Sie die erste Zeile, multipliziert mit -1 - genau so!

(2) Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon können gestrichen werden.

Auch hier gilt es zu zeigen erhöhte Aufmerksamkeit, aber sind die Linien wirklich proportional? Für die Rückversicherung (insbesondere für eine Teekanne) wäre es nicht überflüssig, die zweite Zeile mit -1 zu multiplizieren und die vierte Zeile durch 2 zu teilen, was drei identische Zeilen ergibt. Und erst danach zwei davon entfernen.

Durch elementare Transformationen wird die erweiterte Matrix des Systems auf eine Stufenform reduziert:

Wenn Sie eine Aufgabe in einem Notizbuch erledigen, ist es ratsam, die gleichen Notizen zur besseren Übersichtlichkeit mit Bleistift zu machen.

Wir schreiben das entsprechende Gleichungssystem um:

Die „übliche“ einzige Lösung des Systems stinkt hier nicht. Es gibt auch keine schlechte Linie. Dies bedeutet, dass dies der dritte verbleibende Fall ist - das System hat unendlich viele Lösungen. Manchmal ist es bedingt notwendig, die Kompatibilität des Systems zu untersuchen (d. h. nachzuweisen, dass es überhaupt eine Lösung gibt), dazu können Sie im letzten Absatz des Artikels nachlesen Wie findet man den Rang einer Matrix? Aber jetzt lassen Sie uns die Grundlagen aufschlüsseln:

Die unendliche Menge von Lösungen des Systems wird kurz in Form der sogenannten geschrieben allgemeine Systemlösung .

Wir werden die allgemeine Lösung des Systems finden, indem wir die umgekehrte Bewegung des Gauß-Verfahrens verwenden.

Zuerst müssen wir bestimmen, welche Variablen wir haben Basic, und welche Variablen frei. Es ist nicht notwendig, sich mit den Begriffen der linearen Algebra zu beschäftigen, es genügt, sich daran zu erinnern, dass es solche gibt Basisvariablen und freie Variablen.

Basisvariablen "sitzen" immer strikt auf den Stufen der Matrix.
In diesem Beispiel sind die Basisvariablen und

Freie Variablen sind alles verbleibend Variablen, die keinen Schritt bekommen haben. In unserem Fall gibt es zwei davon: - freie Variablen.

Jetzt brauchen Sie alles Basisvariablen ausdrücken nur durch freie Variablen.

Die umgekehrte Bewegung des Gaußschen Algorithmus funktioniert traditionell von unten nach oben.
Aus der zweiten Gleichung des Systems drücken wir die Grundvariable aus:

Betrachten Sie nun die erste Gleichung: . Zuerst ersetzen wir den gefundenen Ausdruck:

Es bleibt, die Grundvariable durch freie Variablen auszudrücken:

Das Ergebnis ist, was Sie brauchen - alles die Basisvariablen ( und ) werden ausgedrückt nur durch freie Variablen:

Eigentlich ist die allgemeine Lösung fertig:

Wie schreibe ich die allgemeine Lösung auf?
Freie Variablen werden "von alleine" und strikt an ihren Stellen in die allgemeine Lösung geschrieben. In diesem Fall sollten an zweiter und vierter Stelle freie Variablen geschrieben werden:
.

Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen und muss natürlich an erster und dritter Stelle geschrieben werden:

Freie Variablen geben willkürliche Werte, es gibt unendlich viele private Entscheidungen. Die beliebtesten Werte sind Nullen, da die jeweilige Lösung am einfachsten zu bekommen ist. Ersatz in der allgemeinen Lösung:

ist eine private Entscheidung.

Einsen sind ein weiteres süßes Paar, lassen Sie uns in die allgemeine Lösung einsetzen:

ist eine weitere besondere Lösung.

Es ist leicht zu sehen, dass das Gleichungssystem gilt unendlich viele Lösungen(da wir freie Variablen angeben können irgendein Werte)

Jede eine bestimmte Lösung muss genügen zu jedem Systemgleichung. Dies ist die Grundlage für eine „schnelle“ Überprüfung der Richtigkeit der Lösung. Nehmen Sie zum Beispiel eine bestimmte Lösung und setzen Sie sie in die linke Seite jeder Gleichung im ursprünglichen System ein:

Alles muss zusammenpassen. Und bei jeder speziellen Lösung, die Sie erhalten, sollte auch alles zusammenlaufen.

Aber streng genommen täuscht die Überprüfung einer bestimmten Lösung manchmal; eine bestimmte Lösung kann jede Gleichung des Systems erfüllen, und die allgemeine Lösung selbst wird tatsächlich falsch gefunden.

Daher ist die Überprüfung der allgemeinen Lösung gründlicher und zuverlässiger. So überprüfen Sie die resultierende allgemeine Lösung ?

Es ist einfach, aber ziemlich mühsam. Wir müssen Ausdrücke nehmen Basic Variablen, in diesem Fall und , und ersetzen Sie sie auf der linken Seite jeder Gleichung des Systems.

Zur linken Seite der ersten Gleichung des Systems:

Zur linken Seite der zweiten Gleichung des Systems:

Die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung wird erhalten.

Beispiel 4

Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode. Finden Sie eine allgemeine Lösung und zwei private. Überprüfen Sie die Gesamtlösung.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Übrigens ist auch hier die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten, wodurch sofort klar ist, dass das System entweder inkonsistent sein wird oder unendlich viele Lösungen haben wird. Was ist im Entscheidungsprozess selbst wichtig? Achtung und nochmals Achtung. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und noch ein paar Beispiele, um das Material zu verstärken

Beispiel 5

Löse ein lineares Gleichungssystem. Wenn das System unendlich viele Lösungen hat, finden Sie zwei bestimmte Lösungen und überprüfen Sie die allgemeine Lösung

Entscheidung: Schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit Hilfe elementarer Transformationen auf die Stufenform:

(1) Fügen Sie die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu. Zur dritten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2. Zur vierten Zeile addieren wir die erste Zeile multipliziert mit 3.
(2) Fügen Sie zur dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit -5. Zur vierten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -7.
(3) Die dritte und vierte Zeile sind gleich, wir löschen eine davon.

Hier ist so eine Schönheit:

Basisvariablen sitzen auf Stufen, sind also Basisvariablen.
Es gibt nur eine freie Variable, die keinen Schritt bekommen hat:

Rückwärtsbewegung:
Wir drücken die Basisvariablen durch die freie Variable aus:
Aus der dritten Gleichung:

Betrachten Sie die zweite Gleichung und setzen Sie den gefundenen Ausdruck ein:

Betrachten Sie die erste Gleichung und setzen Sie die gefundenen Ausdrücke und in sie ein:

Ja, ein Taschenrechner, der gewöhnliche Brüche zählt, ist immer noch praktisch.

Die allgemeine Lösung lautet also:

Noch einmal, wie ist es passiert? Die freie Variable sitzt allein auf ihrem rechtmäßigen vierten Platz. Die resultierenden Ausdrücke für die Basisvariablen nahmen ebenfalls ihre Ordinalstellen ein.

Lassen Sie uns gleich die allgemeine Lösung überprüfen. Arbeite für Schwarze, habe ich aber schon gemacht, also fang an =)

Wir setzen drei Helden , , in die linke Seite jeder Gleichung des Systems ein:

Die entsprechenden rechten Seiten der Gleichungen werden erhalten, sodass die allgemeine Lösung korrekt gefunden wird.

Nun von der gefundenen allgemeinen Lösung wir erhalten zwei besondere Lösungen. Der Koch ist hier die einzige freie Variable. Sie müssen sich nicht den Kopf zerbrechen.

Lass dann ist eine private Entscheidung.
Lass dann ist eine weitere besondere Lösung.

Antworten: Gemeinsame Entscheidung: , besondere Lösungen: , .

Ich hätte hier nicht an Schwarze denken sollen ... ... denn mir kamen allerlei sadistische Motive in den Sinn und ich erinnerte mich an die bekannte Fotozhaba, in der Ku-Klux-Klan-Männer in weißen Overalls nach einem schwarzen Fußball über das Feld rennen Spieler. Ich sitze und lächle leise. Sie wissen, wie ablenkend ….

Viel Mathe schadet, daher ein ähnliches abschließendes Beispiel für eine eigenständige Lösung.

Beispiel 6

Finden Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems.

Ich habe bereits die allgemeine Lösung überprüft, der Antwort kann vertraut werden. Ihre Lösung kann von meiner Lösung abweichen, Hauptsache die allgemeinen Lösungen stimmen überein.

Wahrscheinlich haben viele einen unangenehmen Moment in den Lösungen bemerkt: Sehr oft mussten wir im umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode mit gewöhnlichen Brüchen herumspielen. In der Praxis trifft dies zu, Fälle, in denen es keine Brüche gibt, sind viel seltener. Bereiten Sie sich mental und vor allem technisch vor.

Ich werde auf einige Merkmale der Lösung eingehen, die in den gelösten Beispielen nicht gefunden wurden.

Die allgemeine Lösung des Systems kann manchmal eine Konstante (oder Konstanten) enthalten, zum Beispiel: . Hier ist eine der Grundvariablen gleich einer konstanten Zahl: . Darin ist nichts Exotisches, das passiert. Offensichtlich wird in diesem Fall jede bestimmte Lösung eine Fünf an der ersten Position enthalten.

Selten, aber es gibt Systeme, in denen die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Variablen. Die Gaußsche Methode funktioniert unter den härtesten Bedingungen, man sollte die erweiterte Matrix des Systems gemäß dem Standardalgorithmus in Ruhe in eine Stufenform bringen. Ein solches System kann inkonsistent sein, unendlich viele Lösungen haben und seltsamerweise eine eindeutige Lösung haben.

Während des Unterrichts

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