Zur Vereinfachung der Betrachtung einer Potenzfunktion betrachten wir 4 separate Fälle: eine Potenzfunktion mit einem natürlichen Exponenten, eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten, eine Potenzfunktion mit einem rationalen Exponenten und eine Potenzfunktion mit einem irrationalen Exponenten.
Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten
Zunächst führen wir den Begriff Grad mit natürlichem Exponenten ein.
Bestimmung 1
Die Potenz einer reellen Zahl $a$ mit natürlichem Exponenten $n$ ist eine Zahl gleich dem Produkt von $n$ Faktoren, von denen jeder gleich der Zahl $a$ ist.
Bild 1.
$a$ ist die Basis des Abschlusses.
$n$ - Exponent.
Betrachten Sie nun eine Potenzfunktion mit einem natürlichen Exponenten, ihre Eigenschaften und ihren Graphen.
Bestimmung 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ heißt Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten.
Betrachten Sie der Einfachheit halber getrennt die Potenzfunktion mit geradem Exponenten $f\left(x\right)=x^(2n)$ und die Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.
Eigenschaften einer Potenzfunktion mit natürlichem geraden Exponenten
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ ist eine gerade Funktion.
Geltungsbereich -- $ \
Die Funktion verringert sich als $x\in (-\infty ,0)$ und erhöht sich als $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$
Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich konvex.
Verhalten an den Enden des Bereichs:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
Diagramm (Abb. 2).
Abbildung 2. Graph der Funktion $f\left(x\right)=x^(2n)$
Eigenschaften einer Potenzfunktion mit natürlichem ungeraden Exponenten
Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ ist eine ungerade Funktion.
$f(x)$ ist stetig auf dem gesamten Definitionsbereich.
Der Bereich besteht ausschließlich aus reellen Zahlen.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu.
$f\left(x\right)0$, für $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\links(x\rechts))=(\links(\links(2n-1\rechts)\cdot x^(2\links(n-1\rechts))\rechts))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Die Funktion ist konkav für $x\in (-\infty ,0)$ und konvex für $x\in (0,+\infty)$.
Diagramm (Abb. 3).
Abbildung 3. Graph der Funktion $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten
Zunächst führen wir den Begriff Grad mit ganzzahligem Exponenten ein.
Bestimmung 3
Der Grad einer reellen Zahl $a$ mit einem ganzzahligen Exponenten $n$ wird durch die Formel bestimmt:
Figur 4
Betrachten Sie nun eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten, ihre Eigenschaften und ihren Graphen.
Bestimmung 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ heißt Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten.
Ist der Grad größer Null, dann liegt der Fall einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten vor. Wir haben es oben bereits besprochen. Für $n=0$ erhalten wir eine lineare Funktion $y=1$. Ihre Betrachtung überlassen wir dem Leser. Es bleibt noch, die Eigenschaften einer Potenzfunktion mit negativem ganzzahligen Exponenten zu betrachten
Eigenschaften einer Potenzfunktion mit einem negativen ganzzahligen Exponenten
Der Geltungsbereich ist $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Wenn der Exponent gerade ist, dann ist die Funktion gerade, wenn er ungerade ist, dann ist die Funktion ungerade.
$f(x)$ ist stetig auf dem gesamten Definitionsbereich.
Wertebereich:
Wenn der Exponent gerade ist, dann $(0,+\infty)$, wenn er ungerade ist, dann $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Wenn der Exponent ungerade ist, verringert sich die Funktion als $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Bei einem geraden Exponenten nimmt die Funktion als $x\in (0,+\infty)$ ab. und erhöht sich als $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ über die gesamte Domäne
1. Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und ihr Diagramm;
2. Transformationen:
Parallelübertragung;
Symmetrie um die Koordinatenachsen;
Symmetrie um den Ursprung;
Symmetrie um die Gerade y = x;
Strecken und Schrumpfen entlang der Koordinatenachsen.
3. Eine Exponentialfunktion, ihre Eigenschaften und ihr Graph, ähnliche Transformationen;
4. Logarithmische Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Diagramm;
5. Trigonometrische Funktion, ihre Eigenschaften und ihr Graph, ähnliche Transformationen (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Funktion: y = x\n - seine Eigenschaften und Graph.
Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und ihr Diagramm
y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x etc. Alle diese Funktionen sind Sonderfälle der Potenzfunktion, also der Funktion y = xp, wobei p eine gegebene reelle Zahl ist.
Die Eigenschaften und der Verlauf einer Potenzfunktion hängen im Wesentlichen von den Eigenschaften einer Potenz mit reellem Exponenten ab, und insbesondere von deren Werten x und p macht Sinn XP. Lassen Sie uns zu einer ähnlichen Betrachtung verschiedener Fälle übergehen, je nachdem
Exponent p.
- Indikator p = 2n ist eine gerade natürliche Zahl.
y=x2n, wo n ist eine natürliche Zahl und hat folgende Eigenschaften:
- der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen, dh die Menge R;
- Wertesatz - nicht negative Zahlen, d.h. y ist größer oder gleich 0;
- Funktion y=x2n sogar, weil x2n = (-x)2n
- Die Funktion nimmt im Intervall ab x< 0 und im Intervall ansteigend x > 0.
Funktionsgraph y=x2n hat die gleiche Form wie beispielsweise der Graph einer Funktion y=x4.
2. Anzeige p = 2n - 1- ungerade natürliche Zahl
In diesem Fall die Potenzfunktion y=x2n-1, wobei eine natürliche Zahl ist, hat die folgenden Eigenschaften:
- Definitionsbereich - Menge R;
- Wertesatz - R setzen;
- Funktion y=x2n-1 seltsam, weil (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
- die Funktion nimmt auf der gesamten reellen Achse zu.
Funktionsgraph y=x2n-1 y=x3.
3. Anzeige p=-2n, wo n- natürliche Zahl.
In diesem Fall die Potenzfunktion y=x-2n=1/x2n hat folgende Eigenschaften:
- Wertesatz - positive Zahlen y>0;
- Funktion y = 1/x2n sogar, weil 1/(-x) 2n= 1/x2n;
- die Funktion wächst im Intervall x0.
Graph der Funktion y = 1/x2n hat die gleiche Form wie beispielsweise der Graph der Funktion y = 1/x2.
4. Anzeige p = -(2n-1), wo n- natürliche Zahl.
In diesem Fall die Potenzfunktion y=x-(2n-1) hat folgende Eigenschaften:
- der Definitionsbereich ist die Menge R, außer für x = 0;
- Wertesatz - R setzen, außer y = 0;
- Funktion y=x-(2n-1) seltsam, weil (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
- Die Funktion nimmt in den Intervallen ab x< 0 und x > 0.
Funktionsgraph y=x-(2n-1) hat die gleiche Form wie zum Beispiel der Graph der Funktion y = 1/x3.
