- Dies ist eine polyedrische Figur, an deren Basis ein Polygon liegt, und die verbleibenden Flächen werden durch Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt dargestellt.

Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, spricht man von einer Pyramide viereckig, wenn das Dreieck ist dreieckig. Die Höhe der Pyramide wird von ihrer Spitze senkrecht zur Basis gezeichnet. Wird auch verwendet, um die Fläche zu berechnen Apothema ist die Höhe der Seitenfläche, die von ihrem Scheitel abgesenkt ist.
Die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen ihrer Seitenflächen, die einander gleich sind. Diese Berechnungsmethode wird jedoch sehr selten angewendet. Grundsätzlich wird die Fläche der Pyramide durch den Umfang der Basis und des Apothems berechnet:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Seitenfläche einer Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit der Basis ABCDE und der Spitze F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Lassen Sie uns den Umfang finden. Da alle Flächen der Basis gleich sind, ist der Umfang des Fünfecks gleich:
Jetzt können Sie den Seitenbereich der Pyramide finden:

Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide besteht aus einer Basis, die ein regelmäßiges Dreieck enthält, und drei Seitenflächen, die flächengleich sind.
Die Formel für die Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide kann auf viele Arten berechnet werden. Sie können die übliche Formel zur Berechnung des Umfangs und des Apothems anwenden oder die Fläche des Knochengesichts ermitteln und mit drei multiplizieren. Da die Fläche der Pyramide ein Dreieck ist, wenden wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks an. Es erfordert ein Apothem und die Länge der Basis. Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit einem Apothem a = 4 cm und einer Grundfläche b = 2 cm: Finde die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Finden Sie zuerst die Fläche einer der Seitenflächen. In diesem Fall wird es sein:
Ersetzen Sie die Werte in der Formel:
Da in einer regelmäßigen Pyramide alle Seiten gleich sind, ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide gleich der Summe der Flächen der drei Flächen. Bzw:

Die Fläche des Pyramidenstumpfes

gekürzt Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer Pyramide und ihrem Schnitt parallel zur Basis besteht.
Die Formel für die Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes ist sehr einfach. Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und dem Apothem:

Pyramide- eine der Varianten eines Polyeders, das aus Polygonen und Dreiecken besteht, die an der Basis liegen und seine Flächen sind.

Darüber hinaus werden an der Spitze der Pyramide (d. h. an einem Punkt) alle Flächen kombiniert.

Um die Fläche der Pyramide zu berechnen, lohnt es sich festzustellen, dass ihre Seitenfläche aus mehreren Dreiecken besteht. Und wir können ihre Bereiche leicht finden

verschiedene Formeln. Abhängig davon, welche Daten von Dreiecken wir kennen, suchen wir nach ihrer Fläche.

Wir listen einige Formeln auf, mit denen Sie die Fläche von Dreiecken finden können:

1. S = (a*h)/2 . In diesem Fall kennen wir die Höhe des Dreiecks h , die seitlich abgesenkt ist a .
2. S = a*b*sinβ . Hier die Seiten des Dreiecks a , b , und der Winkel zwischen ihnen ist β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Hier die Seiten des Dreiecks a, b, c . Der Radius eines Kreises, der einem Dreieck einbeschrieben ist, ist r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Der Radius des umschriebenen Kreises um das Dreieck ist R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Diese Formel sollte nur angewendet werden, wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.
6. S = (a²*√3)/4 . Wir wenden diese Formel auf ein gleichseitiges Dreieck an.

Erst nachdem wir die Flächen aller Dreiecke berechnet haben, die die Flächen unserer Pyramide sind, können wir die Fläche seiner Seitenfläche berechnen. Dazu verwenden wir die obigen Formeln.

Um die Fläche der Seitenfläche der Pyramide zu berechnen, treten keine Schwierigkeiten auf: Sie müssen die Summe der Flächen aller Dreiecke ermitteln. Drücken wir das mit der Formel aus:

Sp = ΣSi

Hier Si ist die Fläche des ersten Dreiecks und S P ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Bei einer regelmäßigen Pyramide werden ihre Seitenflächen von mehreren gleichseitigen Dreiecken gebildet,

« Geometrie ist das mächtigste Werkzeug zur Verfeinerung unserer geistigen Fähigkeiten.».

Galileo Galilei.

und das Quadrat ist die Basis der Pyramide. Außerdem hat der Rand der Pyramide eine Länge von 17 cm. Lassen Sie uns die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide ermitteln.

Wir argumentieren so: Wir wissen, dass die Flächen der Pyramide Dreiecke sind, sie sind gleichseitig. Wir wissen auch, wie lang die Kante dieser Pyramide ist. Daraus folgt, dass alle Dreiecke gleiche Seiten haben, ihre Länge beträgt 17 cm.

Um die Fläche jedes dieser Dreiecke zu berechnen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Da wir wissen, dass das Quadrat an der Basis der Pyramide liegt, stellt sich heraus, dass wir vier gleichseitige Dreiecke haben. Damit lässt sich die Fläche der Seitenfläche der Pyramide ganz einfach nach folgender Formel berechnen: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Unsere Antwort lautet: 500,548 cm² – das ist die Fläche der Seitenfläche dieser Pyramide.

ist eine Figur, an deren Basis ein beliebiges Vieleck liegt und deren Seitenflächen durch Dreiecke dargestellt sind. Ihre Spitzen liegen an einem Punkt und entsprechen der Spitze der Pyramide.

Die Pyramide kann variiert werden - dreieckig, viereckig, sechseckig usw. Sein Name kann in Abhängigkeit von der Anzahl der an die Basis angrenzenden Ecken bestimmt werden.
Korrekte Pyramide Pyramide genannt, bei der die Seiten der Basis, die Winkel und die Kanten gleich sind. Außerdem ist in einer solchen Pyramide die Fläche der Seitenflächen gleich.
Die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen:
Das heißt, um die Fläche der Seitenfläche einer beliebigen Pyramide zu berechnen, muss die Fläche jedes einzelnen Dreiecks ermittelt und addiert werden. Wenn die Pyramide abgeschnitten ist, werden ihre Flächen durch Trapeze dargestellt. Für die richtige Pyramide gibt es eine andere Formel. Darin errechnet sich die Mantelfläche durch den Halbumfang der Basis und die Länge des Apothems:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Seitenfläche einer Pyramide.
Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide. Basisseite b= 6 cm und Apothem a\u003d 8 cm Finden Sie die Fläche der Seitenfläche.

An der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide liegt ein Quadrat. Lassen Sie uns zuerst seinen Umfang finden:

Jetzt können wir die Fläche der Seitenfläche unserer Pyramide berechnen:

Um die Gesamtfläche eines Polyeders zu finden, müssen Sie die Fläche seiner Basis finden. Die Formel für die Grundfläche einer Pyramide kann unterschiedlich sein, je nachdem welches Vieleck an der Grundfläche liegt. Verwenden Sie dazu die Formel für die Fläche eines Dreiecks, Parallelogrammbereich usw.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Basis der Pyramide, die durch unsere Bedingungen gegeben ist. Da die Pyramide regelmäßig ist, hat sie an ihrer Basis ein Quadrat.
quadratische Fläche berechnet nach der Formel: ,
wobei a die Seite des Quadrats ist. Wir haben es gleich 6 cm, also die Fläche der Basis der Pyramide:

Jetzt bleibt nur noch die Gesamtfläche des Polyeders zu finden. Die Formel für die Fläche einer Pyramide ist die Summe aus der Fläche ihrer Grundfläche und ihrer Seitenfläche.

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Bevor Sie Fragen zu dieser geometrischen Figur und ihren Eigenschaften untersuchen, müssen Sie einige Begriffe verstehen. Wenn jemand von der Pyramide hört, stellt er sich riesige Gebäude in Ägypten vor. So sehen die einfachsten aus. Aber es gibt sie in verschiedenen Typen und Formen, was bedeutet, dass die Berechnungsformel für geometrische Formen anders sein wird.

Figurentypen

Pyramide - geometrische Figur, bezeichnet und repräsentiert mehrere Gesichter. Tatsächlich ist dies dasselbe Polyeder, an dessen Basis ein Polygon liegt, und an den Seiten befinden sich Dreiecke, die an einem Punkt verbunden sind - dem Scheitelpunkt. Die Figur besteht aus zwei Haupttypen:

• Korrekt;
• gekürzt.

Im ersten Fall ist die Basis ein regelmäßiges Vieleck. Hier sind alle Seitenflächen gleich zwischen sich und der Figur selbst wird das Auge eines Perfektionisten erfreuen.

Im zweiten Fall gibt es zwei Basen - eine große ganz unten und eine kleine oben, die die Form der Hauptbasis wiederholen. Mit anderen Worten, ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit einem Abschnitt, der parallel zur Basis ausgebildet ist.

Begriffe und Notation

Grundbegriffe:

• Regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck Eine Figur mit drei gleichen Winkeln und gleichen Seiten. In diesem Fall betragen alle Winkel 60 Grad. Die Figur ist die einfachste der regulären Polyeder. Wenn diese Figur an der Basis liegt, wird ein solches Polyeder ein regelmäßiges Dreieck genannt. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, wird die Pyramide eine regelmäßige viereckige Pyramide genannt.
• Scheitel- der höchste Punkt, an dem sich die Kanten treffen. Die Höhe der Spitze wird durch eine gerade Linie gebildet, die von der Spitze zur Basis der Pyramide verläuft.
• Kante ist eine der Ebenen des Polygons. Es kann bei einer dreieckigen Pyramide die Form eines Dreiecks oder bei einem Pyramidenstumpf die Form eines Trapezes haben.
• Kreuzung- eine flache Figur, die durch Dissektion entstanden ist. Nicht zu verwechseln mit einem Schnitt, da ein Schnitt auch anzeigt, was sich hinter dem Schnitt verbirgt.
• Apothema- ein Segment, das von der Spitze der Pyramide bis zu ihrer Basis gezogen wird. Es ist auch die Höhe des Gesichts, wo sich der zweite Höhenpunkt befindet. Diese Definition gilt nur in Bezug auf ein regelmäßiges Polyeder. Wenn es sich beispielsweise nicht um einen Pyramidenstumpf handelt, ist das Gesicht ein Dreieck. In diesem Fall wird die Höhe dieses Dreiecks zu einem Apothem.

Flächenformeln

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide jeder Typ kann auf verschiedene Arten erfolgen. Ist die Figur nicht symmetrisch und ein Vieleck mit unterschiedlichen Seiten, dann ist es in diesem Fall einfacher, die Gesamtfläche durch die Gesamtheit aller Flächen zu berechnen. Mit anderen Worten, Sie müssen die Fläche jedes Gesichts berechnen und addieren.

Je nachdem, welche Parameter bekannt sind, können Formeln zur Berechnung eines Quadrats, eines Trapezes, eines beliebigen Vierecks usw. erforderlich sein. Die Formeln selbst in verschiedenen Fällen wird auch anders sein.

Bei einer regelmäßigen Figur ist das Auffinden des Bereichs viel einfacher. Es reicht aus, nur ein paar Schlüsselparameter zu kennen. In den meisten Fällen sind Berechnungen genau für solche Zahlen erforderlich. Daher werden im Folgenden die entsprechenden Formeln angegeben. Andernfalls müssten Sie alles auf mehrere Seiten malen, was nur verwirrt und verwirrt.

Grundformel zur Berechnung Die Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide sieht folgendermaßen aus:

S \u003d ½ Pa (P ist der Umfang der Basis und das Apothem)

Betrachten wir eines der Beispiele. Das Polyeder hat eine Basis mit Segmenten A1, A2, A3, A4, A5, und sie sind alle gleich 10 cm. Lassen Sie das Apothem gleich 5 cm sein. Zuerst müssen Sie den Umfang finden. Da alle fünf Flächen der Basis gleich sind, kann sie wie folgt ermittelt werden: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm Als nächstes wenden wir die Grundformel an: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm im Quadrat .

Seitenfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide am einfachsten zu berechnen. Die Formel sieht so aus:

S =½* ab *3, wobei a der Apothem ist, b die Facette der Basis ist. Der Faktor drei bedeutet hier die Anzahl der Grundflächen, und der erste Teil ist die Seitenfläche. Betrachten Sie ein Beispiel. Bei einer Figur mit einem Apothem von 5 cm und einer Grundfläche von 8 cm berechnen wir: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm im Quadrat.

Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes es ist etwas schwieriger zu berechnen. Die Formel sieht folgendermaßen aus: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, wobei p_01 und p_02 die Umfänge der Basen und das Apothem sind. Betrachten Sie ein Beispiel. Angenommen, für eine viereckige Figur betragen die Seitenabmessungen der Basen 3 und 6 cm, das Apothem 4 cm.

Hier sollten Sie zunächst die Umfänge der Basen finden: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Es bleibt übrig, die Werte in die Hauptformel einzusetzen und zu erhalten: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm im Quadrat.

Somit ist es möglich, die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide beliebiger Komplexität zu finden. Achten Sie darauf, nicht zu verwechseln diese Berechnungen mit der Gesamtfläche des gesamten Polyeders. Und wenn Sie dies noch tun müssen, reicht es aus, die Fläche der größten Basis des Polyeders zu berechnen und zur Fläche der Seitenfläche des Polyeders hinzuzufügen.

Video

Um Informationen darüber zu konsolidieren, wie Sie die seitliche Oberfläche verschiedener Pyramiden finden, hilft Ihnen dieses Video.